METODI 2 2005-2006METODI 2 2005-2006

Esempio 1Esempio 1 Risoluzione di un problema di Risoluzione di un problema di

determinazione del budget per determinazione del budget per pubblicitàpubblicità

1.a tra due divisioni della stessa 1.a tra due divisioni della stessa azienda azienda

1.b tra due imprese concorrenti sul 1.b tra due imprese concorrenti sul mercato mercato

Ex 1.aEx 1.aAllocazione budget tra due Allocazione budget tra due divisioni (producenti beni divisioni (producenti beni succedanei) di una stessa succedanei) di una stessa aziendaazienda

Ciascuna divisione cerca di farsi assegnare Ciascuna divisione cerca di farsi assegnare la maggior quota possibile di budgetla maggior quota possibile di budget

Ma all’azienda interessa il risultato Ma all’azienda interessa il risultato complessivo della campagna pubblicitariacomplessivo della campagna pubblicitaria

Essa cercherà quindi di stabilire le quote in Essa cercherà quindi di stabilire le quote in modo tale che nessuna divisione danneggi modo tale che nessuna divisione danneggi l’altra facendosi pubblicità l’altra facendosi pubblicità

Ci troviamo quindi in un contesto di Ci troviamo quindi in un contesto di

gioco cooperativogioco cooperativo : ricerchiamo la : ricerchiamo la

soluzione di equilibrio secondo soluzione di equilibrio secondo

ParetoPareto

Variabili rilevanti per il problema:Variabili rilevanti per il problema:

ui (t) : quota totale di budget per pubblicità totale di budget per pubblicità

assegnata alla divisione i al tempo t assegnata alla divisione i al tempo t

xi (t) : ricavi lordi della divisione i al tempo t

con i = 1,2 ; u , x > 0

(t)u - (t) x- (t)u 2 - (t)u 12 (t)x

(t)u - (t) x- (t)u 2 - (t)u 12 (t)x

12

2

222

21

2

111

totalebudget

pubblicitàper con B(t)u(t)u 21

Dinamica del

sistema

Analizziamo la struttura di tali funzioni Analizziamo la struttura di tali funzioni

per comprenderne il significatoper comprenderne il significato

parabola con asse verticale e concavità verso il bassoparabola con asse verticale e concavità verso il basso

gli incrementi dei ricavi di ciascuna division gli incrementi dei ricavi di ciascuna division dipendono dalla quota di budget secondo una dipendono dalla quota di budget secondo una legge legge

quadraticaquadratica ; inoltre ; inoltre uui (t) > > 0 e xxi (t) > > 0

perciò si considera solo il semiasse positivo delle

ascisse fino al valore ûi(t)=6 in cui il giocatore i-

esimo si ritira poiché diventa anti-economico proseguire (incrementi dei ricavi negativi)

Con tali limitazioni si ha che xxi (t) > 0

(t)u - (t)u termineprimo 2

ii 212 y( i = 1,2 )

(t)u i6 3 0

3;18 v

Ciò significa che la funzione xx (t) è

non decrescente nell’intervallo

considerato [0;6]

Più precisamente

Cresce a tassi crescenti (concavità verso

l’alto) per uui (t) [0;3[

Cresce a tassi decrescenti (concavità

verso il basso) per uui (t) ]3;6]

(t)x i

(t)u i6 3 0

: indica che maggiore è la quota di budget

ottenuta dalla divisione 2 , più questa otterrà

buoni ricavi a scapito della divisione 1

(t)u -y 2

( più una divisione si fa pubblicità rispetto all’altra, più le

“succhia” ricavi )

: significa che maggiori sono i ricavi di

una divisione ( )

minore è il loro tasso di

incremento ( )

(t) x- y 1 (t)x1

(t)x1

In ogni istante t il tasso di variazione dei ricavi di una divisione ha

andamento opposto all’ ammontare dei ricavi stessi (redditività

decrescente)

Introduciamo il secondo elemento Introduciamo il secondo elemento necessario per definire la struttura del necessario per definire la struttura del giocogioco

Funzioni obiettivo :Funzioni obiettivo :

rappresentano i rappresentano i ricavi nettiricavi netti delle due divisioni delle due divisioni

dt (t)u-(t) xJ1T

0

111 31

dt (t)u-(t) xJ2T

0

222 31

Ma tali espressioni economicamente (i=1,2) valgono solo se

positive (valori negativi significano perdite in corrispondenza delle

quali

le attività, quindi il gioco , cessano )

perciò si deve avere che :

(t) x (t)u i i 31

time stopping T 1,2) (i i

In particolare :

Gli estremi superiori di integrazione sono i valori di t in cui i

giocatori abbandonano il gioco

1,2) (iii

ii

0 (t) uT t

0 (t)uT t

per

per

netti ricavispesa - lordi ricavi31 (t)u - (t)x ii

Per trovare la soluzione di equilibrio paretiano devo tener conto

che i ricavi da massimizzare sono quelli dell’azienda nel suo

complesso non quelli dei suoi singoli rami;

introduciamo a tal fine una funzione obiettivo della

coalizione (combinazione lineare delle f.o. individuali)

dt (t)u - (t) x dt (t)u - (t) x JT

022 2

T

011 1 3

1 3

1

Dobbiamo massimizzare questa funzione rispetto a

Per farlo utilizziamo il principio del minimo di

Pontryagin

(t)u (t),u 21

Poi calcoliamo le tre condizioni del principio di Pontryagin

Per prima cosa costruiamo la funzione

Hamiltoniana (t)xp(t)xp(t)u-(t)x(t)u-(t)x 2211222111 31

31

p

Hx

x

Hp

0u

iniziale condizione; x )(t x

ordineo1 del cnd.

finale condizione;

00con

x(T)

x(T)G p(T) con

HConsiderando

u´= [ u1 ; u2 ]

x´= [ x1 ; x2 ]

p´= [ p1 ; p2 ]

0pup 4p 12 u

0pup 4p 12 u

122222

211111

I Fase

Da cui si

ricava

2

12

1

2121 p4

p3

4p

p3] , [ uuu´

;

I Fase

Perché u´ generi il massimo di J va verificata anche la condizione del secondo ordine

p4 0

0p4

u0

0u

0 u 2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

H

HH

p : vettore delle variabili aggiuntive o di costato ; rappresenta il prezzo ombra (quanto chi decide è disposto a pagare per una variazione unitaria di ) o il peso assegnato alle variazioni di che deve avere componenti positive.

Verificando la condizione del secondo ordine si ottiene : Jmax u u *

xx

p

II Fase

Per verificare che pi > 0 (i=1,2) calcoliamo:

TaaHH

pp 2211

T

21

T

21 31

31 p p

xx p

Che possiamo riscrivere come un sistema di 2 equazioni differenziali non omogenee che si risolve in questo modo:

1,2 icon 31 pp iii

tiii eppp I. Soluzione generale della

equazione omogenea associata:

II. Soluzione particolare della non omogenea: soluzione stazionaria

i iiii 31

31 p0 p p

III. Soluzione generale della non omogenea: i2

t1i 3

1ce c(t)p

Dalla condizione finale si ha che pi (T) = 0

(il termine extraintegrale di J , G [x (t)] è nullo : peso assegnato allo stato finale)

Per trovare c1 e c2 si può normalizzare l’intervallo di tempo in

[0;1]

cioè porre T= 1

da cui:

Poi porre e sostituire nell’integrale generale

ottenendo:

0 ce c(T)p i21i 31

21-

11 c e c31

1 c2

1-tii e(t)p 1

31

Essendo i > 0, il segno di pi(t) dipende dall’espressione tra

parentesi

(t - 1) < 0 poiché ho normalizzato il tempo : [0,T] = [0,1]

quindi 0 < e t-1 < 1 quindi pi(t) > 0

III Fase

Abbiamo verificato che il vettore u* è un ottimo paretiano

sostituendo p1 e p2 in u* troviamo le espressioni delle sue componenti

2

11-1-t*2

1

21-1-t*1

411

43

3

41

143

3

)e-((t)u

)e-((t)u

Evoluzione nel tempo delle spese per pubblicità delle due

divisioni: i valori che assumono cambiano a seconda dei pesi

(1 ; 2 ) assegnati i quali riflettono l’importanza relativa di

ciascuna divisione per l’azienda Notiamo che due giocatori hanno strategie simmetriche

(infatti sono partiti da una situazione in cui avevano stessa dinamica e

stesse f.o.)

Dobbiamo come ultima cosa assicurare che ui(t) > 0

(quote di budget pubblicitario negative ui(t) < 0 significano

che l’azienda disinveste,il che non ha senso)

T0; t 0e-1

e43

t(t)u

21-t

1-t*i

u*i(t) ha derivata prima negativa , è cioè una funzione decrescente di t

allora dobbiamo trovare il punto in cui interseca l’asse delle ascisse:

imponiamo la condizione

) ( ) (

ln T t 0(t)uii

iii

*i

112

19 1

quindi Ti è lo stopping time

il momento in cui ha termine gioco

per t > Ti ui*(t) < 0

Oltre l’istante che abbiamo trovato non ha più senso continuare

il gioco perde di significato economico

L’esempio ricalca il precedente ma con la differenza che L’esempio ricalca il precedente ma con la differenza che

ora i giocatori sono singole aziende,distinte, concorrentiora i giocatori sono singole aziende,distinte, concorrenti lo scopo del gioco per ciascuno non è più massimizzare lo scopo del gioco per ciascuno non è più massimizzare

l’utile dell’impresa (assumendo un atteggiamento l’utile dell’impresa (assumendo un atteggiamento

cooperativo),ma massimizzare solo la propria funzione cooperativo),ma massimizzare solo la propria funzione

obiettivo prescindendo dal fatto che la propria strategia obiettivo prescindendo dal fatto che la propria strategia

possa danneggiare l’avversariopossa danneggiare l’avversario assumiamo implicitamente simmetria informativa e assumiamo implicitamente simmetria informativa e

contemporaneità nelle decisioni (non c’è leader)contemporaneità nelle decisioni (non c’è leader)

Ex 1.bEx 1.bdeterminazione budget per determinazione budget per la pubblicità tra due aziende la pubblicità tra due aziende concorrenti sullo stesso concorrenti sullo stesso mercatomercato

Ricerchiamo la soluzione di equilibrio più adatta in tale

contesto (gioco differenziale, simmetrico, non

cooperativo) : la soluzione di Nash

Dinamica(stessa di prima)

(t)u - (t) x- (t)u - (t)u (t)x

(t)u - (t) x- (t)u - (t)u (t)x

122222

212111

212

212

Funzioni obiettivo

(invariate)

1,2) (i31

;dt (t)u - (t) x JiT

0

ii i

A differenza di prima non calcoliamo la f.o. comuneora ognuno pensa a massimizzare la propria J indipendentemente

dall’altrodovremo quindi calcolare due Hamiltoniane , una per ogni giocatore

0;1t Inoltre consideriamo il problema nell’arco di un anno:

Costruiamo le funzioni Hamiltoniane per ciascun giocatore:

)u - x-u - u (p )u - x-u - u (p u - x

)u - x-u - u (p )u - x-u - u (p u - x

12 2

222221 2

1121 2 22

12 2

221221 2

1111 1 11

21221231

21221231

pij : J-esima componente del vettore delle variabili

aggiuntive relative all’ i-esimo giocatore

Ora possiamo applicare il principio di Pontryagin :

I Fase

p 4

p1-3 u 0 p - up 4 - p 12 1 -

u

p 4

p1-3 u 0 p - up 4 - p 12 1 -

u

22

21*

22122222

2

2

11

12*

11211111

1

1

H

H

Come si vede abbiamo derivato la Hamiltoniana di ciascun giocatore per la propria variabile decisionale

controlliamo le cnd del II ordine:

2222

22

22

22

1121

12

21

12

p4 u

0 u

p4 u

0 u

;

Soddisfatte se pii > 0 (con i=1,2)

per verificare tale condizione per p passiamo alla

II Fase

Ora abbiamo una coppia di equazioni differenziali per ciascun giocatore

'

'

;

;

pp p dove x

p

pp p dove x

p

221222

2

121111

1

0 (1)p C.F.con p31

x p

0 (1)p C.F.con p x

p

0 (1)p C.F.con p x

p

0 (1)p C.F.con p31

x p

22222

222

21211

221

12122

112

11111

111

Risolviamo le 4 equazioni

differenziali grazie alle relative

condizioni finali

1-t11

1-

111

t111111

e(t)pe C

0 e C (1)p C.F. ; e C (t)p p p

1 31

31

31

31

31

0 (t)p 0 C

0 e C(1)p C.F. e C(t)ppp

12

112

t121212

0 (t)p 0 C

0 e C(1)p C.F. e C(t)ppp

21

121

t212121

1-t22

1-

122

t222222

e(t)pe C

0 e C (1)p C.F. e C (t)p p p

1 31

31

31

31

31

Quindi il segno di pij(t) è positivo ; ciò garantisce che le

espressioni che abbiamo trovato per u1 u2

esprimano le

strategie ottime

Ora non ci resta che sostituire le soluzioni trovate per pij nei

controlli u1 e u2 per determinare le espressioni delle

strategie

ottime secondo Nash :

)e-(1 4

33(t)u

)e-(1 4

33(t)u

1-t

*

2

1-t

*

1

Diversamente dalla soluzione di Pareto, nel caso di Nash le

strategie sono identiche : ciò è dovuto al fatto che i giocatori fin

dall’inizio hanno la stessa visione della realtà (descritta dalla

dinamica ) e le stesse f.o.

Le strategie dei giocatori non dipendono l’una dall’altra

Le strategie decrescono al crescere del tempo: 0ee1

t

(t)u 1-t11-ti

4

3

Poiché il gioco si deve fermare quando u1*,u2

* =0 dobbiamo

infine calcolare il tempo (Ti) in cui i controlli si annullano (e i

giocatori smettono di far pubblicità perché diventa

antieconomico)

1

4

3ln1T 0

e1

1-3(t)u i

1-t

*i

3

4

Ti:stopping

time

Come ultima considerazione se calcoliamo le derivate seconde

delle Hamiltoniane otteniamo: 222

22

1121

21 p4

u

H;p4

u

H

Poiché pii>0 le derivate sono sempre negative quindi le H. sono

convesse (presentano punti di massimo);ciò garantisce che le

condizioni necessarie per trovare u1*,u2

* sono anche sufficienti

Esempio 2Esempio 2

Risoluzione di uno sciopero:Risoluzione di uno sciopero:

Modello di contrattazione Modello di contrattazione

salarialesalariale

Immaginiamo di trovarci in un sistema economico in cui Immaginiamo di trovarci in un sistema economico in cui

vi sono vi sono due parti : due parti : capitalisticapitalisti e e lavoratorilavoratori

Essi sono posti di fronte ad una contrattazione salariale posti di fronte ad una contrattazione salariale

che dà che dà origine ad uno sciopero.origine ad uno sciopero.

Lo sciopero è dannoso per entrambe le parti e se per il Lo sciopero è dannoso per entrambe le parti e se per il

singolo singolo lavoratore il danno subito non ricevendo lo lavoratore il danno subito non ricevendo lo

stipendio è minore stipendio è minore rispetto a quello subito rispetto a quello subito

dall’imprenditore non producendo,ciò non dall’imprenditore non producendo,ciò non è più vero se è più vero se

consideriamo i lavoratori nel loro complesso.consideriamo i lavoratori nel loro complesso.

Quindi siccome la situazione danneggia entrambi sarà Quindi siccome la situazione danneggia entrambi sarà

interesse interesse comune trovare un accordo in tempi comune trovare un accordo in tempi

relativamente brevi relativamente brevi

Perché ciò sia possibile è necessario che richieste e Perché ciò sia possibile è necessario che richieste e

offerte non offerte non siano troppo distanti fra lorosiano troppo distanti fra loro

Variabili rilevanti:

I. x(t) : offerta dei capitalisti

II. y(t) : domanda dei lavoratori

y0 rappresenta l’incremento salariale richiesto dai

lavoratori

X0 proposta di aumento degli imprenditori

y0 - x0 > 0 :le richieste saranno sempre più alte delle

offerte

III. u : variabile di controllo dei capitalisti. Esprime la velocità

di adeguamento delle offerte dei capitalisti rispetto alla distanza esistente tra domanda ed offerta

IV. v : variabile di controllo dei lavoratori. velocità di

adeguamento delle richieste dei lavoratori rispetto

alla distanza tra y ed x

Obiettivo di entrambi è una veloce risoluzione della contrattazioneObiettivo di entrambi è una veloce risoluzione della contrattazione

perciò le parti cercheranno rispettivamente di aumentare le offerte e ridurre perciò le parti cercheranno rispettivamente di aumentare le offerte e ridurre

le richieste in relazione alla distanza (le richieste in relazione alla distanza (y-x)y-x);;

cioè se (cioè se (y-x)y-x) è molto grande i capitalisti aumenteranno le offerte di una è molto grande i capitalisti aumenteranno le offerte di una

percentuale maggiore di quanto non farebbero se questa differenza fosse percentuale maggiore di quanto non farebbero se questa differenza fosse

minore minore

(analogamente,in senso inverso,per i lavoratori)(analogamente,in senso inverso,per i lavoratori)

Quindi possiamo così rappresentare la Quindi possiamo così rappresentare la dinamica dell’offerta:dinamica dell’offerta:

l’offerta dipende dal modo in cui i capitalisti adeguano le loro offerte (u) alla l’offerta dipende dal modo in cui i capitalisti adeguano le loro offerte (u) alla distanza tra domanda ed offerta (dinamica dell’offerta crescente)distanza tra domanda ed offerta (dinamica dell’offerta crescente)

Dinamica della domanda:Dinamica della domanda:

il segno meno esprime una dinamica della domanda decrescente. Più grande il segno meno esprime una dinamica della domanda decrescente. Più grande

è la distanza è la distanza (y - x)(y - x) tanto più i lavoratori ridurranno le proprie richieste tanto più i lavoratori ridurranno le proprie richieste

ba,u(t) x -y u x

dc, v(t) x -y v- y

Introduciamo le funzioni obiettivo dei due giocatori:

entrambi hanno interesse a che lo sciopero cessi il più in fretta

possibile quindi vorranno minimizzare il tempo T in cui è

raggiunto l’accordo,

per ogni giocatore dobbiamo minimizzare le quantità:

2

1

Kmin

Kmin Con K1 , K2 0 : peso che ogni giocatore

assegna alla durata dello sciopero ;i K

riflettono le condizioni economiche delle

parti Inoltre gli imprenditori vogliono minimizzare l’offerta

finale,mentre i lavoratori vogliono massimizzare la domanda

finale,ma noi vogliamo costruire funzioni obiettivo da

minimizzare , perciò minimizziamo l’opposta della domanda

cioè - y(t) y(t)KminJmin

x(t)KminJmin

22

11

Funzioni

obiettiv

o

Lo sciopero termina quando la distanza tra domanda dei lavoratori

y(t) ed offerta dei capitalisti x(t) raggiunge un certo valore di

compromesso m:

se ad esempio al momento iniziale t0 i lavoratori hanno chiesto 100

e i capitalisti offerto 10 e prefissiamo m=5 la distanza domanda-

offerta raggiunta la quale lo sciopero cessa possono

verificarsi due situazioni:

i capitalisti hanno potere contrattuale tale da mantenere invariata

l’offerta,saranno quindi i lavoratori ad abbassare le proprie

richieste fino al raggiungimento dell’ equilibrio : in t=T y-

x=m 15-10=5

della contrattazione sono soddisfatti solo i capitalisti che hanno

applicato un saggio di variazione nullo: u(t)=0 t

se sono invece i lavoratori ad aver maggior potere contrattuale,

mantengono invariata la domanda adottando una strategia

v(t) costantemente nulla costringendo i capitalisti ad alzare

l’offerta per fare cessare lo sciopero fino a quando in

t=T y-x=m 100-95=5

ora chiaramente sono soddisfatti solo i lavoratori che avendo,per

così dire,il coltello dalla parte del manico hanno applicato un

saggio di variazione nullo

In generale lo sciopero cessa quando y(T) - x(T) = m ; m

0però il criterio con cui i giocatori scelgono le loro strategie

(la distanza y-x) ha un significato relativo poiché come appena visto tale vincolo può essere soddisfatto a favore di entrambi i giocatori ma anche di uno solo di essi.

Per ovviare all’inconveniente si possono esprimere sia la dinamica che le funzioni obiettivo in termini assoluti anziché relativi:

riformuliamo il gioco

in termini della variabile z(t) = y(t) - x(t) z(t) > 0

z(t) vu -(t)z

T

022

T

011

dt z(t) vkJ

dt z(t)u kJFunzioni obiettivo:

Dinamica: Con condizione iniziale:

z(to= 0) = zo = yo-xo

Con e >

0

1k 2k

2k

bua 0

dvc 0

Ora calcoliamo la soluzione di equilibrio di Nash

ricercando le strategie ottime dei due

giocatoriCostruiamo le Hamiltoniane per ciascun giocatore :

z u)(v -pz vk H

z u)(v -pzu k H

222

111

Osserviamo che le H. sono lineari nei controlli;applicando il

principio di Pontryagin per trovare i controlli ottimi dovremmo

calcolare oltre alla derivata prima della H. rispetto al

controllo ,anche la derivata seconda,per verificare se è

concava e assicurarci che le condizioni necessarie sono anche

sufficienti (cerchiamo punti di minimo)

Ma esiste anche un altro modo di procedere ,basato sulla

condizione di Rozonov che dice che se l’Hamiltoniana è una

funzione lineare possiamo determinare condizioni necessarie e

sufficienti per le strategie ottime

Infatti se ad esempio H1 fosse

lineare e decrescente nel controllo

u allora il minimo della H. sarebbe

in corrispondenza del valore

massimo di u

min H1

ua b = max u

H1

Invece se H1 fosse lineare e

crescente nel controllo u allora il

minimo della H. sarebbe in

corrispondenza del valore minimo

di u

min H1

u a= min u b

H1

Quindi se riusciamo a stabilire che l’ Hamiltoniana oltre che

lineare è anche crescente o decrescente automaticamente

riusciamo a determinare il valore ottimo del controllo , che

sarà uno dei due estremi dell’ intervallo limitato e chiuso in

cui esso è compreso.

Tale situazione si presta all’applicazione del principio del

Bang-Bang,che non è altro che lo studio della crescenza o

decrescenza della H. attraverso lo studio del suo

coefficiente angolare:

z vpku p- zH 1111 1 H è crescente se: z (1-p1) > 0

ma siccome z = y-x > 0 sempre, per garantire la crescenza

di H1

basta porre 1-p1 > 0 dove p1 è il moltiplicatore, o

variabile aggiuntiva , associata alla dinamica dal primo

giocatore

Possono quindi verificarsi tre situazioni :

bu e H 0

ba,uu e costante H 0

bua0 au e H 0

p1

1

*1

*1

1

Analogamente per il secondo giocatore troviamo:

d ve H 0

dc,v ve costante H 0

dvc0 c ve H 0

p1

2

*2

*2

2

p1 e p2 : variabili aggiuntive ; indicano il costo che ogni

giocatore è disposto a sopportare in conseguenza di un

aumento unitario della funzione obiettivo dovuto alle

variazioni della dinamica del sistema. Per determinarle

agiamo come nei casi precedenti ,calcolando le equazioni

canoniche :

0TxG 0(T)p(T)p :

vp vuvupv z

Hp

up vuvupu z

Hp

21

222

2

111

1

poichèfinale condizione con

Sono due equazioni differenziali lineari in p1 e p2 non

omogenee;siccome ciascuna equazione non dipende dalla

variabile aggiuntiva dell’altro giocatore, possiamo risolverle

col metodo classico:

I. calcolo della soluzione stazionaria (soluzione particolare della equazione non omogenea):

vu

up 0up vu 0p 111

II. Calcolo della soluzione generale della equazione omogenea associata:

tv)(u 0111 eCp p v)(u p

III. Infine calcolo della soluzione generale della non omogenea:

vu

ueCp tv)(u

01

IV. Resta solo da determinare C0 imponendo la condizione finale:

v)T(u0v)T(u

01e v)(u

uC 0

vu

ue CT)(p

Otteniamo quindi:

T)(t v)(uv)T(u

tv)(u

1 e vu

u

vu

u

e v)(u

eu )t(p 1

Analogamente per la seconda equazione :

T)(t v)(u2 e

vu

v )t(p 1

Integrali generali delle equazioni canoniche relative alle variabili

aggiuntive e che soddisfano le condizioni al contorno p1(T) =

p2(T) = 0

Ora che abbiamo la espressioni di p possiamo verificare se

(1-p1) e (1-p2) sono maggiori uguali o minori di zero

cioè se p1 e p2 sono maggiori uguali o minori di uno

Ragionando solo per p1 vediamo che

t)(T v)(u1 e

vu

u )t(p 1

Al crescere di t è

funzione decrescente

del tempo ed è sempre

compresa tra 0 e 1

jjj:jjj:

Allora possiamo dire che : au t 0)t(p- *11

Tuttavia ,in generale, se

troviamo espressioni di

p(t) sempre positive

dobbiamo andare a vedere

cosa succede al tempo

iniziale t = 0,

poiché possono verificarsi

tre diverse situazioni:

(0)p 0 t ?1 1per

tt*0

p1(0) = 1

p1(0) < 1

p1(0) > 1

p1(t)

I. Se p1(0) > 1

T, tper t 0(t)p1

tper t 0(t)p1

t0, per t 0(t)p1

*1

*1

*1

In questo caso il primo giocatore (l’imprenditore) adotta una

strategia ottima u*= b nell’intervallo [0,t*[ il che significa che

egli minimizza la propria funzione di utilità facendo crescere le

proprie offerte molto in fretta alla velocità massima e costante

b.Al tempo t* invece gli è indifferente scegliere

una qualunque strategia tra a e b.

Mentre superato l’istante t* la strategia ottimadell’imprenditore sarà di aumentare le proprie

offerte alla velocità minore e costante essendo u*= a

t t* T0

a

b

u* Graficamente

per p1(0) > 1

II. Se p1(0) = 1

T,0 per t 0(t)p1

0per t 0(t)p1

1

1

In questo caso il primo giocatore (l’imprenditore) potrà assumere,

all’istante iniziale t = 0, qualunque strategia compresa tra a

e b perché tutte minimizzano la sua funzione di utilità.

Ma non appena t > 0 la strategia

ottima dell’imprenditore diventa

sempre u*= a cioè di aumentare

le proprie offerte alla velocità minore

(e costante) possibile. t* T0

a

b

u*

Graficamente

per p1(0) = 1

t

III. Se p1(0) < 1 T,0 t 0(t)p1 1

in quest’ultima ipotesi l’imprenditore adotta sempre la

strategia ottima u*= a , dato che in qualunque istante egli

minimizza la propria funzione di utilità facendo crescere

le sue offerte con la minore

velocità possibile

t* T0

a

b

u*

Graficamente

per p1(0) < 1

t

Come abbiamo appena visto il nodo principale per poter

scoprire quale comportamento adotteranno le parti durante la

contrattazione è calcolare il valore assunto da p1(t) al

tempo zero; 0)t(p1 T0,t 1)t(p

1 e vu

u )0(p

11

T v)(u1 1

(0)(0)

(0)

Ergo la strategia ottima per il primo giocatore (imprenditore) è

u*= a

In modo analogo per il secondo giocatore si giunge ai risultati : 0)t(p1 T0,t 1)t(p 1(0)p 222

Quindi la strategia ottima per il secondo giocatore è v*= c

il che significa che anche i lavoratori minimizzano

la propria funzione di utilità se abbassano le loro richieste con

la minore velocità possibile

Nel

nostro

caso

Resta da determinare il momento T in cui cessa lo

sciopero ; a tal fine ricordiamo che il gioco termina

quando : 0m ; mx(t)-y(t)z(t) Se rappresentiamo su un piano le curve di offerta (degli

imprenditori) e di domanda (dei lavoratori), partendo da certi

valori iniziali

x(0) = x0 e y(0) = y0

se si fissa m=0 il gioco termina quando

le due curve si intersecano nel punto A

altrimenti il gioco termina quando

la distanza tra le due curve

raggiunge il valore m

A(m=0)

0 Tm T0 t

x,y

y0

x0

m

Per giungere all’espressione di T dobbiamo prima determinare

le espressioni delle curve di offerta x(t) e di

domanda y(t)

(è molto probabile che siano due esponenziali che

rispettivamente, crescono e decrescono molto

lentamente dal momento che u*= a e v*= c )

Per farlo ci basta sostituire nella dinamica le strategie ottime e

risolvere l’equazione differenziale ottenuta: 000 xyz z(t) ca (t)z C.I.con

Questa è l'espressione della dinamica ottima del sistema e la soluzione è

tc)(ae zz(t) 0

Se poniamo m = 0 e vogliamo trovare T significa che dobbiamo porre

z (T) = 0 ottenendo: 0e z(T) z T c)(a0

Tale uguaglianza è verificata solo per

il che significa che le curve y(t) e x(t) sono

asintotiche ;non esiste alcun valore finito del tempo in cui

l’offerta sia uguale alla domanda

T

t

x,y

0

y0

x0

Se invece m > 0 , per trovare l’espressione di T basta imporre

che la differenza tra domanda e offerta z(t) sia uguale al valore

desiderato m me z z(T) T c)(a0

Passando ai logaritmi da ambo i membri e risolvendo si ottiene:

camz

ln T

m lnzln T c)(a mln T c)(azln

0

00

Da cui:Notiamo come

0Tzm

T0m

0

per

per

Più la distanza tra domanda ed offerta richiesta per porre fine allo sciopero (m) è piccola,tanto più il tempo necessario a trovare un accordo (T) sarà lungo;

mentre più la distanza richiesta si avvicina al

valore iniziale della differenza (z0) tanto più

breve sarà il tempo impiegato per accordarsi.