Le disequazioni di primo grado

Prof. Walter Pugliese

Concetto di disequazioneConsideriamo la seguente disuguaglianza:

2𝑥 − 3 < 5 + 𝑥

Procedendo per tentativi, attribuiamo alla lettera 𝑥 alcuni valori e verifichiamo se la disuguaglianza che otteniamo è vera o falsa:

𝑥 = 2: 4 − 3 < 5 + 2 vera𝑥 = 7: 14 − 3 < 5 + 7 vera𝑥 = 8: 16 − 3 < 5 + 8 falsa𝑥 = 9: 18 − 3 < 5 + 9 falsa

Come si può intuire, la disuguaglianza è vera per tutti i valori di 𝒙minori di 8, mentre è falsa per i valori 𝒙maggiori o uguali a 8. La disuguaglianza considerata è una disequazione.

Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni. Tali valori vengono solitamente ricercati nell’insieme dei numeri reali.

Nel nostro esempio l’insieme delle soluzioni è 𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 8 , che per brevità indicheremo con: 𝐱 < 𝟖

Definizione di disequazione

Se la parola equazione significa uguaglianza, la parola disequazione significadisuguaglianza. In maniera analoga a quanto detto per le equazioni, possiamodire quindi:

DEF.: Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per laquale si vuole stabilire per quali valori di una o più lettere la disuguaglianza data èvera.

Simboli usatiNelle disequazioni può comparire uno di questi simboli:<minore≤minore o uguale>maggiore≥maggiore o uguale

Esempio:La disequazione:

𝑥 + 1 < 3è verificata da tutti i numeri minori di 2.La disequazione:

𝑥 + 1 ≤ 3è verificata, invece, da tutti i numeri minori di 2 e anche dal numero 2.

La rappresentazione delle soluzioni

Per rappresentare le soluzioni di una disequazione possiamo usare una retta orientata, i cui punti corrispondono ai numeri reali.Sulla retta orientata faremo uso delle seguenti convenzioni:• Una linea continua rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione;• Non disegniamo le parti della retta che non corrispondono a soluzioni;• Un cerchietto pieno su un punto indica che il valore corrispondente è una soluzione;• Un cerchietto vuoto su un punto indica che il vaslore corrispondente non è una soluzione.

I vari tipi di disequazioni

Buona parte della terminologia e delle definizioni usate per le disequazioni è analoga a quella usata per le equazioni.

Esempio:

• 2𝑥 > 89:; disequazione numerica intera

• :=− 8>> ;

>disequazione letterale intera

• ?:@8A@:

> 0 disequazione numerica fratta

• A:> 𝑎 disequazione letterale fratta

Le disequazioni equivalenti

Anche in questo caso, in analogia a quanto detto per le equazioni, diremo che:

DEF.: due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Esempio:Le disequazioni:

𝑥 + 1 < 3 e 𝑥 + 3 < 5sono due disequazioni equivalenti poichè entrambe sono soddisfatte per tutti i valori di 𝑥 minori di 2.

Primo principio di equivalenzaData una disequazione, si ottiene una disequazione a essa equivalente

aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero o espressione.

Esempio:La disequazione

2𝑥 − 3 > 𝑥 + 5è equivalente alla disequazione

𝑥 − 3 > 50ttenuta aggiungendo −𝑥 a entrambi i membri.Possiamo anche dire che il termine 𝒙 è stato trasportato al primo membro, con il segno cambiato

Secondo principio di equivalenzaPer trasformare una disequazione in una equivalente si può:

• Moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per uno stesso numero positivo• Moltiplicare (o dividere) entrambi i membri per un numero negativo e cambiare il verso alla

disequazione.

Esempio:La disequazione

−3𝑥 < 6è equivalente alle disequazioni

• −𝑥 < 2 ottenuta dividendo entrambi i membri per 3 (o moltiplicando entrambi i membri per A8

)

• 𝑥 > −2 ottenuta dividendo entrambi i membri per −3 (o moltiplicando entrambi i membri per − A

8) e cambiando il verso della disequazione

Osservazione:In particolare, se si cambia il segno di tutti i termini di una disequazione e s’inverte il suo verso, si ottiene una disequazione equivalente

−𝑥 < −2 è equivalente a 𝑥 > 2Questa operazione corrisponde alla moltiplicazione per −1 dei membri della disequazione.

Le disequazioni numeriche intereLa strategia risolutiva delle disequazioni intere è simile a quella utilizzata per le equazioni.

Esempio 1:Risolviamo la disequazione:

13𝑥 − 4 + 2𝑥 >

3 + 𝑥2

riducendo tutti i termini della disequazione allo stesso denominatore (6che è il m.c.m. dei denominatori) e moltiplicando entrambi i membri per 6, si ottiene:

6 D2𝑥 − 24 + 12𝑥

6>9 + 3𝑥6

D 62𝑥 − 24 + 12𝑥 > 9 + 3𝑥

trasportiamo i termini con l’incognita al primo membro, quelli noti al secondo membro e poi sommiamo i termini simili:

2𝑥 + 12𝑥 − 3𝑥 > 24 + 911𝑥 > 33

Dividiamo entrambi i membri per 11, cioè il. coefficiente di 𝑥:𝑥 > 3

l’intervallo delle soluzioni è dunque:3;+∞

Le disequazioni numeriche intereEsempio 2:Risolviamo la disequazione:

32𝑥 − 4 <

𝑥 − 22

+6𝑥 + 35

riducendo tutti i termini della disequazione allo stesso denominatore (10che è il m.c.m. dei denominatori) e moltiplicando entrambi i membri per 10, si ottiene:

10 D15𝑥 − 40

10<5 𝑥 − 2 + 2(6𝑥 + 3)

10D 10

15𝑥 − 40 < 5𝑥 − 10 + 12𝑥 + 6trasportiamo i termini con l’incognita al primo membro, quelli noti al secondo membro e poi sommiamo i termini simili:

15𝑥 − 5𝑥 − 12𝑥 < 40 − 10 + 6−2𝑥 < 36

Dividiamo entrambi i membri per −2 ; dato che −2 è un numero negativo, cambierà anche il verso della disequazione:

𝑥 > −18l’intervallo delle soluzioni è dunque:

−18;+∞

Le disequazioni numeriche intereEsempio 3:Risolviamo la disequazione:

32𝑥 − 4 <

𝑥 − 22

+5𝑥 + 35

riducendo tutti i termini della disequazione allo stesso denominatore (10che è il m.c.m. dei denominatori) e moltiplicando entrambi i membri per 10, si ottiene:

10 D15𝑥 − 40

10<5 𝑥 − 2 + 2(5𝑥 + 3)

10D 10

15𝑥 − 40 < 5𝑥 − 10 + 10𝑥 + 6trasportiamo i termini con l’incognita al primo membro, quelli noti al secondo membro e poi sommiamo i termini simili:

15𝑥 − 5𝑥 − 10𝑥 < 40 − 10 + 60 D 𝑥 < 36

qualunque valore sostituiamo a 𝑥, il prodotto 0 D 𝑥 vale sempre 0. Poiché 0 < 36 è vera, la disequazione risulta sempre verificata . In tal caso l’intervallo delle soluzioni è tutto ℝ; come soluzione scriviamo ∀𝒙 ∈ ℝ

Le disequazioni numeriche intere

Esempio 4:Risolviamo la disequazione:

3𝑥 − 2 − 𝑥 > 4 + 2𝑥 + 13𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 > 2 + 4 + 1

0 D 𝑥 > 7qualunque valore sostituiamo a 𝑥, il prodotto 0 D 𝑥 vale sempre 0. Poiché 0 < 7 è falsa, la disequazione non risulta mai verificata . In tal caso l’intervallo delle soluzioni è l’insieme vuoto: la disequazione è impossibile.

Lo studio del segno di un prodottoConsideriamo la disequazione seguente, in cui il primo membro è un prodotto di polinomi:

𝑥 − 3 2𝑥 + 5 > 0Per risolverla bisogna studiare il segno del prodotto al variare dell’incognita 𝑥.

Studiamo il segno dei due fattori singolarmente e rappresentiamo i risultati in uno schema grafico:

𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3

2𝑥 + 5 > 0 → 𝑥 > −52

La disequazione data, per essere soddisfatta, richiede che il prodotto sia positivo, quindi l’insieme delle soluzioni è dato da.

𝑥 < −52∨ 𝑥 > 3

Le disequazioni fratteLe disequazioni fratte sono quelle che contengono l’incognita in almeno un denominatore.Le disequazioni fratte sono sempre riconducibili in una forma del tipo:

L(:)M(:)

< 0, L(:)M(:)

> 0, oppure L(:)M(:)

≤ 0, L :M :

≥ 0

dove 𝑁(𝑥) e 𝐷(𝑥) rappresentano due polinomi nella variabile 𝑥.

Esempio: ;:@QA@:

− 1 > 0 → ;:@Q@A A@:A@:

> 0 → ;:@Q@A9:A@:

> 0 → 8:@?A@:

> 0

Quando abbiamo una disequazione nella forma L(:)M(:)

> 0 , non possiamo eliminare ildenominatore, come quando operiamo con le equazioni, perché il segno complessivo dellafrazione dipende anche dal segno del denominatore.

Per risolvere la disequazione dobbiamo studiare il segno della frazione, cioè dobbiamodeterminare per quali valori di 𝑥 la frazione è positiva, nulla o negativa.

Lo studio del segno di una frazione

Per esaminare il segno di una frazione del tipo L(:)M(:)

, occorre studiare

separatamente il segno del polinomio al numeratore e quello del polinomio al denominatore.Studiare il segno di un polinomio significa determinare per quali valori di 𝑥 il polinomio è negativo, nullo o positivo.

La risoluzione di una disequazione frattaEsempio:Risolviamo la seguente disequazione:

3𝑥 − 51 − 𝑥

> 0Studiamo il segno del numeratore𝑁, ponendo 𝑁 > 0:

𝑁 > 0 ↔ 3𝑥 − 5 > 0 → 𝑥 >53

Analogamente, studiamo il segno del denominatore 𝐷, ponendo 𝐷 > 0:

𝐷 > 0 ↔ 1 − 𝑥 > 0 → 𝑥 < 1

Rappresentiamo i risultati in uno schema grafico:

La disequazione richiede che la frazione sia positiva , quindi l’insieme delle soluzioni è dato da:

1 < 𝑥 <53

I sistemi di disequazioniDEF.: Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni, in cui compaiono le stesse incognite, per il quale si cercano i valori da attribuire alle incognite che verificano contemporaneamente tali disequazioni.

Esempio 1:Consideriamo le disequazioni

𝑥 − 1 > 0𝑒4 − 𝑥 > 0esistono valori di 𝑥 che soddisfano contemporaneamente le due disequazioni.Per esempio, 2 è soluzione di entrambe le disequazioni.Per cercare tutte le altre eventuali soluzioni comuni senza dover procedere per tentativi, risolviamo il

seguente sistema di disequazioni: T𝑥 − 1 > 04 − 𝑥 > 0 → U𝑥 > 1

𝑥 < 4Rappresentiamo graficamente le soluzioni di ogni disequazione in modo da poter individuare gli intervalli di soluzioni comuni a tutte le disequazioni:

Le due disequazioni sono soddisfatte contemporaneamente nell’intervallo aperto 1; 4 . Diremo quindi che i valori di 𝑥 che risolvono il sistema formato dalle due disequazioni sono tali che

1 < 𝑥 < 4

Sistemi di disequazioniEsempio 2:Risolviamo il seguente sistema di disequazioni:

V2𝑥 + 4 > 0𝑥 − 3 ≥ 05 − 𝑥 > 0.

V2𝑥 + 4 > 0𝑥 − 3 ≥ 05 − 𝑥 > 0

→ X2𝑥 > −4𝑥 ≥ 3

−𝑥 > −5→ V

𝑥 > −2𝑥 ≥ 3𝑥 < 5

Le soluzioni del sistemadi disequazioni sono datedall’intervallo 3; 5 , ossiadai valori di x tali che

3 ≤ 𝑥 < 5