3^ Lezione - · SISTEMI DI DISEQUAZIONI : Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di...

3^ Lezione

• Disequazioni algebriche .

• Disequazioni di 1° .

• Disequazioni di 2° .

• Disequazioni fattoriali .

• Disequazioni biquadratiche .

• Disequazioni binomie .

• Disequazioni fratte .

• Sistemi di disequazioni .

Corso di Analisi: Algebra di Base

• Allegato Esercizi .

DISEQUAZIONI DI 1° GRADO :

Per disequazione si intende una diseguaglianza tra due espressioni algebriche. I simboliche rappresentano tale diseguaglianza sono detti simboli di maggiorazione (>) e diminorazione (<).

Risolvere una disequazione significa determinare un insieme di valori da assegnare allavariabile x affinché risulti verificata la diseguaglianza data.

ax b+ > 0 ax⇒ > xb ⇒− > − b

a

Es. 2 4x − > 0 x⇒ > 2

da notare che il valore di x = 2 non fa parte dell’insieme delle soluzioni.

Equivalentemente potremo rappresentare l’insieme delle soluzioni trovate tramite ladefinizione di intervallo ( insieme di numeri reali limitato da due estremi , inclusi o esclusi , dallostesso) .

E quindi dire che x > 2 equivalentemente significa : ] [+∞∈ℜ∈∀ ,2: xx (intervallo aperto)

Es. 2 4x ≥ 2≥⇒ x

in questo caso il valore di x = 2 fa parte dell’insieme delle soluzioni.

E cioè saranno soluzioni della disequazione tutte le [ [x ∈ +∞2,

Sarà possibile comunque verificare se le soluzioni sono corrette considerando un valoredell’intervallo ( per es. x = 3 ) e sostituirlo alla diseguaglianza data :

04)3(2 ≥− 02046 ≥⇒≥−⇒ che sicuramente verifica.

2

- +

2

- +

Da notare che se avessimo 042 ≥−− x e quindi il coefficiente del termine incognitonegativo, converrà cambiare segno a tutti i termini della disequazione ricordando che conessi cambierà necessariamente anche il verso.

Di qui allora si avrà : 2042 −≤⇒≤+ xx

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO :

Es . 2 3 1 02x x− + ≥ ∆ = − = >9 8 1 0

0132 2 =+− xx equaz. associata

=

==

±=

12

1

4

13

2

1

21

x

xx

-2

- +

ax bx c2 0+ + > a > 0 ax bx c2 0+ + <

1) ∆ > 0 x x< 1 e x x> 2 1) ∆ > 0 x x x1 2< <

2) ∆ = 0

−

ℜ∈∀a

bx

2\ 2) ∆ = 0 /∀ ∈ ℜx

3) ∆ < 0 ∀ ∈ ℜx 3) ∆ < 0 /∀ ∈ ℜx

da cui si ha :

2

1≤x , 1≥x

Es . 4 4 1 02x x+ + > ∆ = − =16 16 0

∀ ∈ℜx \ x = − = −

4

8

1

2

Da ricordare che un polinomio di 2° grado il cui discriminante sia nullo rappresenta sempreil quadrato di un binomio.

Per cui 4 4 1 02x x+ + = ( ) 012 2 =+⇒ x

Es. x x2 4 5 0+ + ≥ ∆ = − = − <16 20 4 0

∀ ∈ℜx

Es. 3 5 1 02x x+ + < ∆ = − = >25 12 13 0

3 5 1 02x x+ + = x 12

5 13

6=

− ±

+ - +

12

1

2

1−

− −

< <− +5 13

6

5 13

6x

Es. 9 6 1 02x x+ + < ∆ = − =36 36 0

/∀ ∈ ℜx

e infatti ricordiamo che :

( ) 0131690 22 <+=++⇒=∆ xxx

+ < 0 non può mai essere vero !

Es. 9 6 1 02x x− + ≤ ∆ = 0

/∀ ∈ ℜx \ xb

ax= − ⇒ =

2

1

3

Es. 4 2 2 02x x+ + < ∆ < 0

/∀ ∈ ℜx

3

1

6

135

6

135 +−−−

Ricordiamo come fatto importante che un’equazione di 2° grado del tipo :

il cui discriminante sia ∆ ≥ 0 è sempre scomponibile

nella forma :

E quindi se abbiamo 2 3 1 02x x− + ≥ ∆ = − = >9 8 1 0

possiamo scrivere equivalentemente : ( )21

21x x−

⋅ − ≥ 0

DISEQUAZIONI FATTORIALI :

Derivano da tutte le disequazioni di grado uguale o superiore al 2°.

A x B x C x( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ ........ ⋅ ≥Z x( ) 0

Risolveremo tali tipi di disequazioni discutendo la positività di ogni singolo fattore ; quindischematicamente avremo :

A x

B x

C x

Z x

( )

( )

( )

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

( )

≥≥≥

≥

0

0

0

0

ax bx c2 0+ + =

( ) ( )a x x x x− ⋅ − =1 2 0

Riprendendo l’esempio di sopra abbiamo che :

( ) ( )x x− ⋅ − ≥12 1 0 Risolveremo quindi come segue :

( )x − ≥12 0

2

1≥⇒ x

( )x − ≥1 0 1≥⇒ x

e cioè sarà verificata per valori esterni alle due soluzioni.

Dobbiamo infine unire tramite prodotto i risultati finali della disequazione :prenderemo comerisultati che verificano la disequazione quelli che sono concordi con il segno iniziale dellastessa. E quindi in questo caso abbiamo che :

x ≤1

2 , x ≥ 1

DISEQUAZIONI BIQUADRATICHE

Così come già affrontato per le equazioni , anche per le disequazioni di 4° grado mancanti deitermini di grado dispari si parla di BIQUADRATICA.

Simbolicamente si avrà : ax bx c4 2 0+ + >

La risoluzione di tale tipo di disequazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :

dopo aver posto x t2 = andremo a risolvere una semplice disequazione di 2° grado nellavariabile t per riportarci infine , dopo una ulteriore sostituzione , alle corrispondenti disequazionipure nella variabile x .

12

1

+ - +

12

1

Es. 024 >++ cbxax posto x t2 = 02 >++⇒ cbtat

tb b ac

a

t

t1

2

21

2

4

2=

− ± −=

==

. . . .

. . . .

=

=⇒

22

12

tx

tx

4 3 1 04 2x x− − ≤ txposto =⇒ 2 0134 2 ≤−−⇒ tt

e quindi risolvendo in t troviamo − ≤ ≤ +1

41t il che porta a :

− ≤ ≤ +1

412x

+≤≤−ℜ∈∀

⇒

+≤

−≥⇒

111

4

1

2

2

x

x

x

x

le soluzioni finali saranno date dalla unione delle singole soluzioni;

E quindi avremo che 11 +≤≤− x .

Ricordiamo che la soluzione poteva essere trovata anche in altra maniera :

4 3 1 04 2x x− − ≤ 0134 22 ≤−−⇒=⇒ tttx e poiché ∆ ≥ 0

ricordando che ( ) ( ) 00 212 =−⋅−⇒=++ ttttacbtat allora avremo :

( )41

41 0t t+

⋅ − ≤ da risolvere come disequazione fattoriale :

( )41

41 02 2x x+

⋅ − ≤ ⇒

+≥−≤⇒≥−

ℜ∈∀⇒≥+

1;101

04

1

2

2

xxx

xx

E quindi avremo che : 11 +≤≤− x .

Es. 0132 24 ≥+− xx ( ) 012

12 22 ≥−⋅

−⇒ xx

≥−

≥−⇒

01

02

1

2

2

x

x

+≥−≤

+≥−≤

1;12

1;

2

1

xx

xx

e quindi 1−≤x ; 2

1

2

1+≤≤− x ; 1−≥x

DISEQUAZIONI BINOMIE

Come visto per le equazioni anche per le disequazioni di grado superiore al 2° costituite da unpolinomio di soli due termini ( binomio ) si parla di disequazione binomia .

La forma sarà del tipo 0>+ baxn

La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazionefattoriale .

12

1

2

11 ++−−

+ - + - +

11 +−

+ - +

Es: risolvere : 014 <−x

( )( ) 1101101 224 +<<−⇒<+−⇒<− xxxx

Es: risolvere : 083 ≥−x

( )( ) 2042208 23 ≥⇒≥++−⇒≥− xxxxx

Es: risolvere : 0646 >−x

( ) ( ) ( )( ) 2,2016440202 242323266 +>−<⇒>++−⇒>−⇒>− xxxxxxx

Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi ,possiamo risolvere una disequazione binomia in maniera più semplice:

a) come una disequazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,b) come una disequazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice ,( se di indice n-dispari ).

Sinteticamente :

Riesaminando gli esempi precedenti si ha :

Es: risolvere : 014 <−x ⇒ 1114 +<<−⇒< xx

)(0

)(0

)(,0

disparina

bx

a

bxbax

parina

bx

a

b

a

bxbax

parina

bx

a

bx

a

bxbax

nnn

nnnn

nnnn

−−>⇒−>⇒>+

−−+<<−−⇒−<⇒<+

−−+>−−<⇒−>⇒>+

Es: risolvere : 083 ≥−x ⇒ 2288 3 333 ≥⇒≥⇒≥⇒≥ xxxx

Es: risolvere : 0646 >−x ⇒ 2,2646 +>−<⇒> xxx

Es: risolvere : 033 ≤+x ⇒ 333 333 −≤⇒−≤⇒−≤ xxx

Es: risolvere : 058 >+x ⇒ ℜ∈∀⇒−> xx 58

DISEQUAZIONI FRATTE

Così come le equazioni fratte , le disequazioni si presentano nella forma :

0)(

)(≥

xB

xA opp. 0

)(

)(≤

xB

xA

La loro risoluzione ricalca identicamente il metodo usato per le fattoriali :quindiindipendentemente dal segno si discuterà la positività del singolo numeratore edel singolo denominatore.E quindi sarà :

0)(

0)(

>

≥

xB

xA di qui ci comporteremo come per le fattoriali

N.B. come si può notare per la realtà di una frazione il denominatore non può essere mai nullo ( quindi B x( ) > 0 e non B x( ) ≥ 0 ).

Es. 01

652

≥−

+−x

xx

1010

3;20650 2

>⇒>−⇒>

≥≤⇒≥+−⇒≥

xxD

xxxxN

quindi il risultato finale sarà + < ≤1 2x , x ≥ 3

Es. ( )

073

422 ≤

−−

xx

xx

( )

3

7;00730

4

00420

2 ><⇒>−⇒>

≥≥

⇒≥−⇒≥

xxxxD

x

xxxN

per cui avremo :

3

7;00

4;00

><⇒>

≥≤⇒≥

xxD

xxN

da cui i risultati finali che sono : 7

34< ≤x

0 3

7

0 4

321

- + - +

0 3

7 4

+ + - +

SISTEMI DI DISEQUAZIONI :

Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di due o più disequazioni . Risolvere talesistema significa determinare quell’insieme di valori da attribuire alla incognita x affinché lesingole diseguaglianze siano contemporaneamente verificate ( valuteremo le intersezioni dellalinea continua).

Es.

2 4 0

3 2 0

1

10

2

x

x

x

x

− <

− + ≥+−

>

andiamo a risolvere singolarmente ogni disequazione ;

+>−<

+≤≤−

<

1;1

3

2

3

2

2

xx

x

x

e quindi non essendo la linea continua presente contemporaneamente per le tre disequazioni,concluderemo che il sistema non ha soluzioni.

-1 3

2

3

2 +− +1 +2

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE

ESERCIZI SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Esercizi della 3°lezione di Algebra di base

pino s treu

pino s treu

pino s treu

pino s treu

pino s treu

pino s treu

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USO DEI PULSANTI

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pino s treu

pino s treu

pino s treu

pino s treu

pino s treu

pino s treu

Risolvere le seguenti disequazioni di primo e di secondo grado :

1. 3 7 0x − ≥

3

773073 ≥⇒≥⇒≥− xxx

2. 3 27 0x − ≤

92730273 ≤⇒≤⇒≤− xxx

3. − + ≥4 16 0x

401640164 ≤⇒≤−⇒≥+− xxx

4. 063 ≥−− x

2063063 −≤⇒≤+⇒≥−− xxx

5. 0135 ≥−x

5

1301350135 ≥⇒≤−⇒≥− xxx

6. 3 4 1 02x x− + <

13

1

13

1

3

1201

40143

0143.'0143

2

1

21

2

22

<<⇒⇒

=

==±=⇒>=∆=+−⇒

=+−<+−

xnidisequaziolerelativatabellalapere

x

xxpoichèxx

xxassociataequazlrisolvendoxx

3

7

9

4

-2

5

13

7. 2 3 2 02x x+ − >

2

1,2

2

1

2

4

2530250232

0232.'0232

2

1

21

2

22

>−<⇒⇒

=

−==±−=⇒>=∆=−+⇒

=−+>−+

xxnidisequaziolerelativatabellalapere

x

xxpoichèxx


8. x x2 6 3 0+ − >

323,323

323

323123012

4036

036.'036

2

1

21

2

22

+−>−−<⇒⇒

+−=

−−==±−=⇒>=∆=−+⇒

=−+>−+


x

xxpoichèxx


3

1 1

-2 2

1

323 −− 323 +−

9. x x2 4 5 0− − ≤

51

5

19209

4054

054.'054

2

1

21

2

22

≤≤−⇒⇒

=

−==±=⇒>=

∆=−−⇒

=−−≤−−


x

xxpoichèxx


10. − − + <x x2 3 0

2

131,

2

131

2

131

2

131

2

13101303

03.'03

2

1

21

2

22

+−>

−−<⇒⇒

+−=

−−=

=±−

=⇒>=∆=−+⇒

=+−−<+−−


x

xxpoichèxx


11. ( ) ( )− − − − + >x x x2 2 1 82 2

( ) ( ) ( ) xxxxxxxx 8144448122 2222 >+−−++⇒>+−−−−

-1 5

2

131 −−

2

131 +−

( )

11

1033'033

03308383814444

21

22

2222

+<<−⇒⇒

±=⇒=−<−⇒

<−⇒>−++−⇒>+−−++⇒


xxassociataequazionelrisolvendox

xxxxxxxxx

12. x 2 12 0+ <

ℜ∈∀/⇒⇒

<−=∆=+<+


poichèxassociataequazlrisolvendox 048012.'012 22

13. 9 25 02x − >

3

5,

3

5

3

5

09000259.'0259

21

22

>−<⇒⇒±=⇒

>=∆=−>−

xxnidisequaziolerelativatabellalaperex

poichèxassociataequazlrisolvendox

-1 +1

3

5−

3

5+

14. − − <4 6 02x

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆=+<−−



15. 16 5 02x + >

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆=+>+



16. 1

52 5 02x x− + ≤

{ }

5

52

002510.'0525

1

21

22

=

−ℜ∈∀/⇒−==⇒

=∆=+−≤+−

xancheo

xnidisequaziolerelativatabellalaperea

bxx

poichèxxassociataequazlrisolvendoxx

5

17. ( )7 3 4 2 12x x x x− − + ≥ +

( )

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆

⇒=++>++⇒

>++⇒+>++−⇒+≥+−−


xxassociataequazionelrisolvendoxx

xxxxxxxxxx

0104

0112'0112

011212123712437

22

222

18. ( )8 3 2 3 12− ≥ + −x x

( )

3

101

3

101

3

101

3

101

3

101010

40323

.'0323032313238

2

1

21

2

222

+−≤≤−−⇒⇒

+−=

−−=

=±−=⇒>=∆=−+⇒

≤−+⇒≥+−−⇒−+≥−


x

xxpoichèxxassociata

equazlrisolvendoxxxxxx

3

101 −−

3

101 +−

19. − −

≤ −2

21 2

3

4

2xx

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆⇒=+≥+⇒

−≤−+−⇒−≤

+−−⇒−≤

−−


xassociataequazionelrisolvendox

xxx

xxx

xx

040052'052

4

3222

24

321

42

4

321

22

22

222

20. ( )

−−>−−

8

3

2

13232 2 xxx

( ) ( )

ℜ∈∀/⇒

⇒<−=∆

⇒=+−⇒

<+−⇒+>−+−⇒

+−>+−−⇒

−−>−−

x

nidisequaziolerelativatabellalaperexx

associataequazionelrisolvendoxxxxx

xxxxxxx

09564

015318864

'0153188648

9

2

118248

8

9

2

3291242

8

3

2

132322

2

22

22

Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo :

21. x x x3 24 7 4 0− + − ≥

0474 23 ≥−+− xxx tramite Ruffini

( )( ) 0431 2 ≥+−− xxx

( )( )ℜ∈∀⇒<−=∆⇒≥+−

≥⇒≥−⇒≥+−−⇒

xxx

xxxxx

07043

1010431

22

per cui si ha :

1≥x

22. − − + + ≤x x x3 22 5 6 0

0652 23 ≤++−− xxx tramite Ruffini

( )( ) 061 2 ≤+−−+ xxx

( )( )23025

0606

101

061 222

+≤≤−⇒>=∆⇒≤−+⇒≥+−−

−≥⇒≥+

⇒≤+−−+⇒x

xxxx

xx

xxx

per cui si ha :

2,13 +≥−≤≤− xx

+ 1

- +

+ 1 - 4 + 7 - 4

x = +1 + 1 - 3 + 4

+ 1 - 3 + 4 0

- 1 - 2 + 5 + 6

x = - 1 + 1 + 1 - 6

- 1 - 1 + 6 0

- 3 - 1 + 2

+ - + -

23. x x3 5 2 0− + ≥

0253 ≥+− xx tramite Ruffini

( )( ) 0122 2 ≥−+− xxx

( )( )21,21

024

012

202

0122 22

+−≥−−≤⇒

>=∆

⇒≥−+

+≥⇒≥−

⇒≥−+−⇒

xx

xx

xx

xxx

per cui si ha :

2,2121 +≥+−≤≤−− xx

24. x x x3 22 2 0− − + ≤

022 23 ≤+−− xxx tramite Ruffini

( )( ) 021 2 ≤−−− xxx

( )( )2,1

0902

101

021 22

+≥−≤⇒>=∆⇒≥−−

≥⇒≥−

⇒≤−−−⇒xx

xx

xx

xxx

per cui si ha :

21,1 +≤≤+−≤ xx

21−− 21+− + 2

- + - +

- 1 + 1 + 2

- + - +

+ 1 - 2 - 1 + 2

x = + 1 + 1 - 1 - 2

+ 1 - 1 - 2 0

+ 1 0 - 5 + 2

x = + 2 + 2 + 4 - 2

+ 1 + 2 - 1 0

25. x x3 8 8 0− − <

0883 <−− xx tramite Ruffini

( )( ) 0422 2 <−−+ xxx

( )( )51,51

054

042

202

0422 22

+>−<⇒

>=∆

⇒>−−

−>⇒>+

⇒<−−+⇒

xx

xx

xx

xxx

per cui si ha :

5151,2 +≤≤−−< xx

26. x x x4 3 27 17 0+ + ≤

( ) 01770177 22234 ≤++⇒≤++ xxxxxx

( )ℜ∈∀⇒<−=∆⇒≥++

ℜ∈∀⇒≥⇒≤++⇒

xxx

xxxxx

0190177

00177

2

222

per cui si ha :

{ } 00 =−ℜ∈∀/ xancheox

-2 51− 51+

- + - +

0

+ +

+ 1 0 - 8 - 8

x = - 2 - 2 + 4 + 8

+ 1 - 2 - 4 0

27. x x4 23 2 0− + ≤

023 24 ≤+− xx tramite Ruffini

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )( )( ) 0211

01211.0221

2

223

≤−+−⇒

≤+−+−⇒⇒≤−−+−

xxx

xxxxteparzialmenraccexxxx

( )( )( )2,20802

101

101

02112

2

≥−≤⇒>=∆⇒≥−

−≥⇒≥+≥⇒≥−

⇒≤−+−⇒

xxx

xx

xx

xxx

per cui si ha :

21,12 +≤≤−≤≤− xx

Potevamo risolvere anche la disequazione come biquadratica :

( )( ) ( )( )

2,2

1,1

2

1021021

om2

1

2

13023

'01023023

2

2222

2

1

21

2

2224

+≥−≤

+≥−≤⇒

≥

≥⇒≤−−⇒=≤−−⇒

=

==±=⇒=+−

>=∆⇒≤+−⇒=⇒≤+−

xx

xx

x

xxxtxndorisostitueett

notevoleiotrinilperet

ttttassociata

equazionedalletttxpostoxx

2− -1 +1 2+

+ - + - +

+ 1 0 -3 0 + 2

x = + 1 + 1 + 1 - 2 - 2

+ 1 + 1 - 2 - 2 0

per cui si ha :

21,12 +≤≤−≤≤− xx

28. 0127 24 >+− xx

( )( ) ( )( )

2,2

3,3

4

3043043

om4

3

2

170127

'0101270127

2

2222

2

1

21

2

2224

+>−<+>−<

⇒

>

>⇒>−−⇒=>−−⇒

=

==±=⇒=+−

>=∆⇒>+−⇒=⇒>+−

xx

xx

x

xxxtxndorisostitueett


ttttassociata


per cui si ha :

2,33,2 +>+<<−−< xxx

2− -1 +1 2+

+ - + - +

-2 3− 3+ +2

+ - + - +

29. 0134 24 ≥−− xx

( ) ( )

1,11

4

1

014

1401

4

14

om1

4

1

8

2530134

'02501340134

2

2

222

2

1

21

2

2224

+≥−≤

ℜ∈∀⇒

≥

−≥⇒

≥−

+⇒=≥−

+⇒

=

−==

±=⇒=−−

>=∆⇒≥−−⇒=⇒≥−−

xx

x

x

x

xxtxndorisostitueett


ttttassociata


per cui si ha :

1,1 +≥−≤ xx

30. 0583 24 ≤+− xx

( ) ( )

3

5,

3

5

1,1

3

5

1

03

5130

3

513

om

3

5

1

3

140583

'014

05830583

2

2

222

2

1

21

2

2224

+≥−≤

+≥−≤⇒

≥

≥⇒

≤

−−⇒=≤

−−⇒

=

==

±=⇒=+−

>=∆⇒≤+−⇒=⇒≤+−

xx

xx

x

x

xxtxndorisostitueett


ttttassociata


-1 +1

+ - +

per cui si ha :

3

51,1

3

5+≤≤+−≤≤− xx

31. 015 ≥−x

015 ≥−x tramite Ruffini

( )( ) 011 234 ≥++++− xxxxx

ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazioneassociata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha che :

( )( ) 101011 234 ≥⇒≥−⇒≥++++− xxxxxxx

quindi più direttamente si avrà che se :

11101 555 ≥⇒≥⇒≥⇒≥− xxxx

3

5− -1 +1

3

5+

+ - + - +

+1 0 0 0 0 - 1

x = +1 +1 +1 +1 +1 +1

+1 +1 +1 +1 +1 0

32. 0325 <+x

0325 <+x tramite Ruffini

( )( ) 0168422 234 <+−+−+ xxxxx

ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazioneassociata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha che :

( )( ) 2020168422 234 −<⇒<+⇒<+−+−+ xxxxxxx


( ) 223232032 5 5555 −<⇒−<⇒−<⇒−<⇒<+ xxxxx

33. 0137 ≥−x

direttamente si avrà che : 777 1313013 −≥⇒−≥⇒≥+ xxx

34. ( ) 063 ≥+x

ora poiché : ( ) ( )( )( ) 066606 3 ≥+++⇒≥+ xxxx

da cui per l'esponente dispari ( n° dispari di fattori ) : ( ) 606 −≥⇒≥+ xx

+1 0 0 0 0 +32

x = -2 - 2 +4 -8 +16 -32

+1 -2 +4 -8 +16 0

35 . 0273 ≤−x tramite Ruffini

( )( ) 0933 2 ≤++− xxx

ora poiché il polinomio di secondo grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazioneassociata non ha soluzioni reali , 0<∆ ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si hache :

( )( ) 3030933 2 ≤⇒≤−⇒≤++− xxxxx


332727027 3 5333 ≤⇒≤⇒≤⇒≤⇒≤− xxxxx

36. 01311 ≥−− x

direttamente si avrà che : 111111 1313013 −≤⇒−≤⇒≥−− xxx

37. ( ) 044 ≥+− x

ora poiché : ( ) ( )( )( )( ) 04444044 ≥+−+−+−+−⇒≥+− xxxxx

da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : ( ) ℜ∈∀⇒≥+ xx 06

+1 0 0 -27

x = +3 +3 +9 +27

+1 +3 +9 0

38. 016 ≥−x

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 101

10101101

3

3332323

−≥⇒≥+

≥⇒≥−≥+−⇒≥−

xx

xxxxx

e quindi :

1,1 ≥−≤ xx

più semplicemente si poteva procedere in questo modo :

1,11,1:

1,10101

33

236

≥−≤⇒≥−≤

≥−≤⇒≥−⇒=≥−

xxxxquidie

ttttxpostox

39. 014 <−x

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ℜ∈∀⇒>+

>−<⇒>−<+−⇒<−

xx

xxxxxx

01

1,10101101

2

2222222

e quindi : 11 <<− x

-1 +1

+ - +

-1 +1

+ - +

40. ( ) 0326 ≤−x

ora poiché : ( ) ( )( )( )( )( )( ) 0323232323232032 6 ≤−−−−−−⇒≤− xxxxxxx

da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : 032: =−ℜ∈∀/⇒ xx

o meglio la disequazione è verificata da : 2

3032 =⇒=− xx

Risolvere le seguenti disequazioni fratte :

41. x

x

x

x

−−

− <−1

2 23

3

( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1,000

1,20200

1

2

2

3

12

633

12

0

12

2266

12

66

12

132

12

16133

22

1

2

22

2222

><⇒>−⇒>

>−<⇒>−+⇒>⇒>

−−+⋅⇒

−−+

<−

⇒−

+−−<

−+−−

⇒

−−−

<−

−−−⇒

−<−

−−

xxxxD

xxxxN

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xxxx

x

x

x

x

e quindi :

10,2 ≠>−< xconxx

42. x

x

x−>

+3 5 6

2

( ) ( )

0020

062500

2

625

2

625

2

0

2

65

2

662

2

65

2

32

2

653

22

22

>⇒>⇒>ℜ∈∀⇒>+−⇒>

⇒<+−⇒

+−>⇒+>+−⇒

+>

−⇒

+>

−

xxD

xxxN

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

-2 0 +1

+ - + +

e quindi :

0<x

43. 4 1

2 1

11

x

x x

++

− >

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )0,

2

1020

2

31,

2

31

01220

012

122

12

0

12

122

12

2

12

124

12

12

12

12141

1

12

14

2

2

2

222

>−<⇒>+⇒>

+>

−<⇒

>−−⇒>

⇒>+

−−⇒

+>

+−−

⇒++

>+

−−+⇒

++>

++−+⇒>−

++

xxxxD

xx

xxN

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

x

e quindi :

2

31,0

2

31,

2

1 +><<

−−< xxx

0

- +

2

1−

2

31 − 0

2

31 +

+ - + - +

44. 21

2

4 1

2x

x

x

x−

−−

<−

( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2020

000

22

2222

0

22

284

22

2284

22

214

22

1224

2

14

2

12

22

>⇒>−⇒>>⇒>

⇒>−

⇒

−<

−⇒

−+−−

<−

+−−⇒

−−−

<−

−−−⇒

−<

−−

−

xxD

xN

x

x

x

x

xx

xxx

x

xxx

x

xx

x

xxxx

x

xx

e quindi :

2,0 +>< xx

45. − +

−−

−≤

x

x

x

x

1

1

5

20

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2,1

0230

1,3

1

02860

021

286

021

2860

21

5522

021

15210

2

5

1

1

2

2

2

222

><⇒>+−⇒>

≥≤⇒

≥+−⇒≥

⇒≥−−+−⇒

≥−−+−

⇒≤−−

+−−++−⇒

≤−−

−−−+−⇒≤−

−−+−

xx

xxD

xx

xxN

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

0 +2

+ - +

e quindi :

2,3

1+>≤ xx

46. 2 3

3

2

2 2

3

2

x

x

x

x

+−

+− +

−≥

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

3,1

031019

21021190

0312

2119

0312

2119

312

9393

312

6326464

312

313

312

233212

2

3

22

2

3

32

222

><⇒>−−⇒>

≥⇒≥−⇒≥

⇒≥−−

−⇒

≥−−

−⇒

−−+−−

≥−−

−++−−−+⇒

−−−−≥

−−+−−++−⇒≥

−+−+

−+

xx

xxD

xxN

xx

x

xx

x

xx

xxx

xx

xxxxxx

xx

xx

xx

xxxx

x

x

x

x

e quindi :

3,19

211 +>+≤<+ xx

3

1+ +1 +2

+ - - +

+1 19

21+ +3

- + - +

47. 16 2

2 54+

−−

>x

xx

( )

2

50520

4

335,

4

335

012080

052

1208

52

1208

52

0

52

208

52

2652

52

524

52

26524

52

261

2

2

22

>⇒>−⇒>

+>−<⇒

>−−⇒>

⇒<−

−−⇒

−−−

>−

⇒−

−>

−−+−

⇒

−−

>−

−+−⇒>

−−

+

xxD

xx

xxN

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xxx

x

x

e quindi :

4

335

2

5,

4

335 +<<+

−≤ xx

48. x

x

x

x

−−

− <−−

5

2 6

1

2

2 3

3

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 3030

104400

32

44

32

44

32

0

32

64

32

35

32

322

32

35

3

32

2

1

62

5

>⇒>−⇒>>⇒>−⇒>

⇒>−−

⇒

−−<

−⇒

−−<

−+−−⇒

−−<

−−−−⇒

−−<−

−−

xxD

xxN

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

4

335 −

2

5+

4

335 +

- + - +

e quindi :

3,1 >≤ xx

49. 3

32

2 1

92

x

x

x

x− +≥ −

+−

( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )3,3090

10

4297,

10

4297

019750

033

1975

33

1975

33

0

33

12182

33

93

33

1292

33

33

33

122

3

3

9

122

3

3

2

2

2

222

2

2

+>−<⇒>−⇒>

+−≥−−≤⇒

≥−+⇒≥

⇒≤+−−+⇒

+−−+≥

+−⇒

+−−−−≥

+−−−⇒

+−+−−

≥+−

+−⇒

+−+

−≥−

−⇒

−+

−≥+−

xxxD

xx

xxN

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

e quindi :

310

4297,

10

42973 +<≤

+−−−≤<− xx

+1 +3

+ - +

-3 10

4297 −−

10

4297 +− +3

+ - + - +

50. ( )1

1 1

1

2

2

x

x

x

x

x−<

−−

−−

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )2020

21,21

0120

02

12

101021

1210

21

13

21

0

21

13

21

12

21

2

21

112

21

2

2

1

11

1

2

2

223

23232

22

<⇒>−⇒>

+>−<⇒

>−−⇒>

⇒<−

−−⇒

≠⇒≠−⇒<−−

−−−⇒<

−−++−

⇒

−−<

−−++−

⇒−−

−++−−<

−−−

⇒

−−−−−−

<−−

−⇒

−−

−−

<−

xxD

xx

xxN

x

xx

xxpostoxx

xxx

xx

xxx

xxxx

xxx

xx

xxxxx

xx

x

xx

xxxx

xx

x

x

x

x

x

x

e quindi :

21,221 +><<− xx

21− +2 21+

+ - + -

Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni :

51. x x

x x

2

2

4 0

2 3 0

− >

− − + <

>−<><

⇒

>−+

>−⇒

<+−−

>−1,3

4,0

032

04

032

042

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

di qui si ha :

4,3 >−< xx

52. − + − >

− >

2 5 3 0

1 0

2x x

x

<

<<⇒

<−<+−

⇒

>−>−+−

12

31

01

0352

01

0352 22

x

x

x

xx

x

xx

di qui si ha :

ℜ∈∀/

-3 0 +1 +4

+1 2

3+

53.

x x

x

x

2 2 1 0

3 3 0

15 5 0

− + >

− + ≤− ≥

( ) { }

≥

≥−ℜ∈∀

⇒

≥−≥−

>−⇒

≥−≤+−

>+−

3

1

1

1

013

01

01

0515

033

012 22

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

di qui si ha :

1>x

54.

x x

x x

x x

2

2

2

2 4 0

0

2 1 0

+ + >

− <

− − + >

+−<<−−

<<ℜ∈∀

⇒

<−+

<−

>++

⇒

>+−−

<−

>++

2121

10

012

0

042

012

0

042

2

2

2

2

2

2

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

di qui si ha :

210 +−<< x

3

1+ +1

21−− 0 21+− +1

55. ( )5

2

2

6

3

22

1

32

1

4

2

x xx

x xx

−+

< −

−+ >

++

( )

ℜ∈∀

<

>+−

<−⇒

++>

+−

−<

−−

⇒

++

>+−

−<+

−

x

x

xx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

23

20

017154

02023

12

1233

12

2444

6

918

6

215

4

12

3

1

22

3

6

2

2

5

222

di qui si ha :

23

20<x

56. ( )

x x x

x x x

2

2

1

4

2

21

1

2

1 1

−−

−< +

−

− + ≥ −

( )

≥≤

+<<−

≥−

<−⇒

−≥−−

−+<

+−−⇒

−≥+−

−+<

−−

−

2,0

33

02

03

11

4

224

4

421

11

2

11

2

2

4

1

2

2

2

2

2

2

xx

x

xx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

23

20+

di qui si ha :

03 ≤<− x

57.

x x

x

x

3 2 0

2 5 0

4 0

− <

− − >− <

( )

>

−<

+>−<

>⇒

>−

>⇒<−

⇒

>−<+<−

⇒

<−>−−<−

42

5

2,2

0

02

002

04

052

02

04

052

02

22

33

x

x

xx

x

x

xxx

x

x

xx

x

x

xx

per la disequazione fattoriale si ha :

20,2 +≤<−≤ xx

e quindi il sistema diventa :

>

−<

+≤<−≤

42

5

20,2

x

x

xx

3− 0 3+ 2

2− 0 2+

- + - +

di qui si ha :

ℜ∈∀/ x

58. ( )

+>

−

−>+

−

2

3

5

1

322

12

42 xx

xxx

( )

+>

−<

>

>−−

>−⇒

+>

−

−>

−−

⇒

+>

−

−>+

−

4

1615,

4

1615

9

10

01752

0109

10

155

10

22

4

128

4

24

2

3

5

1

322

12

4222

xx

x

xx

x

xx

xxx

xx

xxx

di qui si ha :

4

1615 +>x

2

5− 2− 0 2+ +4

4

1615 −

9

10+

4

1615 +

59.

x x x

x xx

−−

−<

+− >

1

3

3

2

3

2

1

4

3

2

2

+>−<

>

>+−

>−⇒

>−+

<+−−

⇒

>−+

<−

−−

625,625

10

7

0110

0710

4

4

4

61

6

9

6

9322

2

3

4

1

2

3

2

3

3

1

222

xx

x

xx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

di qui si ha :

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2

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2

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2

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di qui si ha :

8

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8

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8

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1131 +−

3^ Lezione - · SISTEMI DI DISEQUAZIONI : Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di...

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