3 Algebra Disequazioni Algebriche

5/9/2018 3 Algebra Disequazioni Algebriche - slidepdf.com

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3 ̂Lezione

• Disequazioni algebriche .

• Disequazioni di 1° .

• Disequazioni di 2° .

• Disequazioni fattoriali .

• Disequazioni biquadratiche .

• Disequazioni binomie .

• Disequazioni fratte .

• Sistemi di disequazioni .

Corso di Analisi: Algebra di Base

• Allegato Esercizi .



DISEQUAZIONI DI 1° GRADO :

Per disequazione si intende una diseguaglianza tra due espressioni algebriche. I simboli

che rappresentano tale diseguaglianza sono detti simboli di maggiorazione (>) e diminorazione (<).

Risolvere una disequazione significa determinare un insieme di valori da assegnare alla

variabile x affinché risulti verificata la diseguaglianza data.

ax b+ > 0 ax⇒ > xb ⇒− >− b

a

Es. 2 4 x − > 0 x⇒ > 2

da notare che il valore di x = 2 non fa parte dell’insieme delle soluzioni.

Equivalentemente potremo rappresentare l’insieme delle soluzioni trovate tramite la

definizione di intervallo ( insieme di numeri reali limitato da due estremi , inclusi o esclusi , dallo

stesso) .

E quindi dire che x >2 equivalentemente significa : ] [+∞∈ℜ∈∀ ,2: x x (intervallo aperto)

Es. 2 4 x ≥ 2≥⇒ x

in questo caso il valore di x = 2 fa parte dell’insieme delle soluzioni.

E cioè saranno soluzioni della disequazione tutte le [ [ x ∈ +∞2,

Sarà possibile comunque verificare se le soluzioni sono corrette considerando un valore

dell’intervallo ( per es. x = 3 ) e sostituirlo alla diseguaglianza data :

04)3(2 ≥− 02046 ≥⇒≥−⇒ che sicuramente verifica.

2

- +

2

- +

INDICE



Da notare che se avessimo 042 ≥−− x e quindi il coefficiente del termine incognito

negativo, converrà cambiare segno a tutti i termini della disequazione ricordando che con

essi cambierà necessariamente anche il verso.

Di qui allora si avrà : 2042 −≤⇒≤+ x x

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO :

Es . 2 3 1 02 x x− + ≥ ∆ = − = >9 8 1 0

0132 2 =+− x x equaz. associata

=

==±=

12

1

4

13

2

12

1

x

x x

-2

- +

ax bx c2 0+ + > a > 0 ax bx c

2 0+ + <

1) ∆ > 0 x x< 1 e x x> 2 1) ∆ > 0 x x x1 2< <

2) ∆ = 0

−

ℜ∈∀a

b x

2 \ 2)∆ = 0 /∀ ∈ ℜ x

3) ∆ < 0 ∀ ∈ ℜ x 3) ∆ < 0 /∀ ∈ ℜ x

INDICE



da cui si ha :

21≤ x , 1≥ x

Es . 4 4 1 02 x x+ + > ∆ = − =16 16 0

∀ ∈ℜ x \ x = − = −

4

8

1

2

Da ricordare che un polinomio di 2° grado il cui discriminante sia nullo rappresenta sempre

il quadrato di un binomio.

Per cui 4 4 1 02 x x+ + = ( ) 012

2 =+⇒ x

Es. x x2 4 5 0+ + ≥ ∆ = − = − <16 20 4 0

∀ ∈ℜ x

Es. 3 5 1 02 x x+ + < ∆ = − = >25 12 13 0

3 5 1 02 x x+ + = x 12

5 136= − ±

+ - +

12

1

2

1−

INDICE



− −

< <− +5 13

6

5 13

6 x

Es. 9 6 1 02 x x+ + < ∆ = − =36 36 0

/∀ ∈ ℜ x

e infatti ricordiamo che :

( ) 013169022 <+=++⇒=∆ x x x

+ < 0 non può mai essere vero !

Es. 9 6 1 02 x x− + ≤ ∆ = 0

/∀ ∈ ℜ x \ xb

a x= − ⇒ =

2

1

3

Es. 4 2 2 02 x x+ + < ∆ < 0

/∀ ∈ ℜ x

31

6

135

6

135 +−−−

INDICE



Ricordiamo come fatto importante che un’equazione di 2° grado del tipo :

il cui discriminante sia ∆ ≥ 0 è sempre scomponibile

nella forma :

E quindi se abbiamo 2 3 1 02 x x− + ≥ ∆ = − = >9 8 1 0

possiamo scrivere equivalentemente : ( )21

21 x x−

⋅ − ≥ 0

DISEQUAZIONI FATTORIALI :

Derivano da tutte le disequazioni di grado uguale o superiore al 2°.

A x B x C x( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ ........ ⋅ ≥ Z x( ) 0

Risolveremo tali tipi di disequazioni discutendo la positività di ogni singolo fattore ; quindi

schematicamente avremo :

A x

B x

C x

Z x

( )

( )

( )

. .. ... . ...

. .. ... . ...

( )

≥≥≥

≥

0

0

0

0

ax bx c2

0+ + =

( ) ( )a x x x x− ⋅ − =1 2 0

INDICE



Riprendendo l’esempio di sopra abbiamo che :

( )( ) x x− ⋅ − ≥1

21 0 Risolveremo quindi come segue :

( ) x − ≥12 0

2

1≥⇒ x

( ) x − ≥1 0 1≥⇒ x

e cioè sarà verificata per valori esterni alle due soluzioni.

Dobbiamo infine unire tramite prodotto i risultati finali della disequazione :prenderemo come

risultati che verificano la disequazione quelli che sono concordi con il segno iniziale della

stessa. E quindi in questo caso abbiamo che :

x ≤1

2, x ≥ 1

DISEQUAZIONI BIQUADRATICHE

Così come già affrontato per le equazioni , anche per le disequazioni di 4° grado mancanti dei

termini di grado dispari si parla di BIQUADRATICA.

Simbolicamente si avrà : ax bx c4 2 0+ + >

La risoluzione di tale tipo di disequazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :

dopo aver posto x t 2 = andremo a risolvere una semplice disequazione di 2° grado nella

variabile t per riportarci infine , dopo una ulteriore sostituzione , alle corrispondenti disequazionipure nella variabile x .

12

1

+ - +

121

INDICE



Es. 024 >++ cbxax posto x t 2 = 02 >++⇒ cbt at

t b b ac

a

t

t 1

2

21

2

4

2=

− ± −=

==

. . . .

. . . .

=

=⇒

2

2

1

2

t x

t x

4 3 1 04 2 x x− − ≤ t x posto =⇒ 2 0134 2 ≤−−⇒ t t

e quindi risolvendo in t troviamo − ≤ ≤ +14

1t il che porta a :

− ≤ ≤ +1

412

x

+≤≤−ℜ∈∀

⇒

+≤

−≥⇒

111

4

1

2

2

x

x

x

x

le soluzioni finali saranno date dalla unione delle singole soluzioni;

E quindi avremo che 11 +≤≤− x .

Ricordiamo che la soluzione poteva essere trovata anche in altra maniera :

4 3 1 04 2 x x− − ≤ 0134 22 ≤−−⇒=⇒ t t t x e poiché ∆ ≥ 0

ricordando che ( ) ( ) 00 21

2 =−⋅−⇒=++ t t t t acbt at allora avremo :

( )41

4 1 0t t + ⋅ − ≤ da risolvere come disequazione fattoriale :

INDICE



( )41

41 02 2

x x+

⋅ − ≤ ⇒

+≥−≤⇒≥−

ℜ∈∀⇒≥+

1;101

04

1

2

2

x x x

x x

E quindi avremo che : 11 +≤≤− x .

Es. 0132 24 ≥+− x x ( ) 012

12 22 ≥−⋅

−⇒ x x

≥−

≥−⇒

01

02

1

2

2

x

x

+≥−≤

+≥−≤

1;1

2

1;

2

1

x x

x x

e quindi 1−≤ x ;2

1

2

1+≤≤− x ; 1−≥ x

DISEQUAZIONI BINOMIE

Come visto per le equazioni anche per le disequazioni di grado superiore al 2° costituite da un

polinomio di soli due termini ( binomio ) si parla di disequazione binomia .

La forma sarà del tipo 0>+ baxn

La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazione

fattoriale .

12

1

2

11 ++−−

+ - + - +

11 +−

+ - +

INDICE



Es: risolvere : 014 <− x

( ( 1101101 224 +<<−⇒<+−⇒<− x x x x

Es: risolvere : 083 ≥− x

( )( ) 2042208 23 ≥⇒≥++−⇒≥− x x x x x

Es: risolvere : 0646 >− x

( ) ( ) ( )( ) 2,2016440202 242323266 +>−<⇒>++−⇒>−⇒>− x x x x x x x

Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi ,

possiamo risolvere una disequazione binomia in maniera più semplice:

a) come una disequazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,

b) come una disequazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice ,( se di indice n-dispari ).

Sinteticamente :

Riesaminando gli esempi precedenti si ha :

Es: risolvere : 014 <− x ⇒ 1114 +<<−⇒< x x

)(0

)(0

)(,0

disparina

b x

a

b xbax

parina

b

xa

b

a

b

xbax

parina

b x

a

b x

a

b xbax

nnn

nn

nn

nnnn

−−>⇒−>⇒>+

−−+<<−−⇒−<⇒<+

−−+>−−<⇒−>⇒>+

INDICE



Es: risolvere : 083 ≥− x ⇒ 2288 3 333 ≥⇒≥⇒≥⇒≥ x x x x

Es: risolvere : 0646 >− x ⇒ 2,2646 +>−<⇒> x x x

Es: risolvere : 033 ≤+ x ⇒ 333 333 −≤⇒−≤⇒−≤ x x x

Es: risolvere : 058 >+ x ⇒ ℜ∈∀⇒−> x x 58

DISEQUAZIONI FRATTE

Così come le equazioni fratte , le disequazioni si presentano nella forma :

0)(

)(≥

x B

x Aopp. 0

)(

)(≤

x B

x A

La loro risoluzione ricalca identicamente il metodo usato per le fattoriali :quindi

indipendentemente dal segno si discuterà la positività del singolo numeratore e

del singolo denominatore.

E quindi sarà :

0)(

0)(

>

≥

x B

x Adi qui ci comporteremo come per le fattoriali

N.B. come si può notare per la realtà di una frazione il denominatore non può essere

mai nullo ( quindi B x( ) > 0 e non B x( ) ≥ 0 ).

Es. 0

1

652

≥−

+−

x

x x

INDICE



1010

3;20650 2

>⇒>−⇒>

≥≤⇒≥+−⇒≥

x x D

x x x x N

quindi il risultato finale sarà + < ≤1 2 x , x ≥ 3

Es.( )

073

422

≤−−

x x

x x

( )

3

7;00730

4

00420

2 ><⇒>−⇒>

≥≥

⇒≥−⇒≥

x x x x D

x

x x x N

per cui avremo :

3

7;00

4;00

><⇒>

≥≤⇒≥

x x D

x x N

da cui i risultati finali che sono :7

34< ≤ x

0

3

7

0 4

321

- + - +

03

74

+ + - +

INDICE



SISTEMI DI DISEQUAZIONI :

Per sistema di disequazioni intendiamo l’insieme di due o più disequazioni . Risolvere tale

sistema significa determinare quell’insieme di valori da attribuire alla incognita x affinché le

singole diseguaglianze siano contemporaneamente verificate ( valuteremo le intersezioni della

linea continua).

Es.

2 4 0

3 2 0

1

10

2

x

x

x

x

− <− + ≥

+−

>

andiamo a risolvere singolarmente ogni disequazione ;

+>−<

+≤≤−

<

1;1

3

2

3

2

2

x x

x

x

e quindi non essendo la linea continua presente contemporaneamente per le tre disequazioni,

concluderemo che il sistema non ha soluzioni.

-13

2

3

2 +− +1 +2

INDICE



ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI DI 1°E DI 2°GRADO

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE

ESERCIZI SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Esercizi della 3°lezione di Algebra di base

GUIDA



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Nasconde le soluzioni

Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi

Visualizza solo la soluzione dell'esercizio

USO DEI PULSANT I

Torna all'indice della lezione

?

INDIETRO

RISOLVI

ASCONDI

INDICE

ESERCIZI



Risolvere le seguenti disequazioni di primo e di secondo grado :

1. 3 7 0 x − ≥

3

773073 ≥⇒≥⇒≥− x x x

2. 3 27 0 x − ≤

92730273 ≤⇒≤⇒≤− x x x

3. − + ≥4 16 0 x

401640164 ≤⇒≤−⇒≥+− x x x

4. 063 ≥−− x

2063063 −≤⇒≤+⇒≥−− x x x

5. 0135 ≥− x

5

1301350135 ≥⇒≤−⇒≥− x x x

6. 3 4 1 02 x x− + <

13

11

3

1

3

1201

40143

0143.'0143

2

1

21

2

22

<<⇒⇒

=

==±=⇒>=∆=+−⇒

=+−<+−

xnidisequaziolerelativatabellala per e

x

x x poichè x x

x xassociataequazlrisolvendo x x

3

7

9

4

-2

513

?

?

?

?

?

?

RISOLVI NASCONDIINDICE ESERCIZIGUIDA



7. 2 3 2 02 x x+ − >

2

1,2

2

1

2

4

2530250232

0232.'0232

2

1

21

2

22

>−<⇒⇒

=

−==±−=⇒>=∆=−+⇒

=−+>−+

x xnidisequaziolerelativatabellala per e

x

x

x poichè x x


8. x x2 6 3 0+ − >

323,323

323

323123012

4036

036.'036

2

1

21

2

22

+−>−−<⇒⇒

+−=

−−==±−=⇒>=∆=−+⇒

=−+>−+


x

x x poichè x x


3

11

-2

2

1

323 −− 323 +−

?

?




9. x x2 4 5 0− − ≤

51

5

19209

4054

054.'054

2

1

21

2

22

≤≤−⇒⇒

=−=

=±=⇒>=∆=−−⇒

=−−≤−−


x

x x poichè x x


10. − − + < x x2 3 0

2

131,

2

131

2

1312

131

213101303

03.'03

2

1

21

2

22

+−>

−−<⇒⇒

+−=

−−=

=±−=⇒>=∆=−+⇒

=+−−<+−−


x

x

x poichè x x


11. ( ) ( )− − − − + > x x x2 2 1 82 2

( ) ( ) ( ) x x x x x x x x 81444481222222

>+−−++⇒>+−−−−

-1 5

2

131 −−

2

131 +−

?

?

?




( )

11

1033'033

03308383814444

21

22

2222

+<<−⇒⇒

±=⇒=−<−⇒

<−⇒>−++−⇒>+−−++⇒


x xassociataequazionelrisolvendo x

x x x x x x x x x

12. x2 12 0+ <

ℜ∈∀/⇒⇒

<−=∆=+<+


poichè xassociataequazlrisolvendo x 048012.'012 22

13. 9 25 02 x − >

3

5,3

5

3

5

09000259.'0259

21

22

>−<⇒⇒±=⇒

>=∆=−>−

x xnidisequaziolerelativatabellala per e x

poichè xassociataequazlrisolvendo x

-1 +1

3

5−

3

5+

?

?




14. − − <4 6 02 x

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆=+<−−



15. 16 5 02 x + >

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆=+>+



16.1

52 5 02 x x− + ≤

{ }

5

52

002510.'0525

1

21

22

=

−ℜ∈∀/⇒−==⇒

=∆=+−≤+−

xancheo

xnidisequaziolerelativatabellala per ea

b

x x

poichè x xassociataequazlrisolvendo x x

5

?

?

?




17. ( )7 3 4 2 12 x x x x− − + ≥ +

( )

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆

⇒=++>++⇒

>++⇒+>++−⇒+≥+−−


x xassociataequazionelrisolvendo x x

x x x x x x x x x x

0104

0112'0112

011212123712437

22

222

18. ( )8 3 2 3 12− ≥ + − x x

( )

3

101

3

101

3

101

3

101

3

101010

40323

.'0323032313238

2

1

21

2

222

+−≤≤−−⇒⇒

+−=

−−=

=±−=⇒>=∆=−+⇒

≤−+⇒≥+−−⇒−+≥−


x

x

x poichè x xassociata

equazlrisolvendo x x x x x x

3

101 −−

3

101 +−

?

?




19. − −

≤ −2

21 2

3

4

2 x

x

ℜ∈∀⇒⇒

<−=∆⇒=+≥+⇒

−≤−+−⇒−≤

+−−⇒−≤

−−


xassociataequazionelrisolvendo x

x x x

x x x

x x

040052'052

4

3222

24

321

42

4

321

22

22

222

20. ( )

−−>−−

8

3

2

13232

2 x x x

( ) ( )

ℜ∈∀/⇒

⇒<−=∆

⇒=+−⇒

<+−⇒+>−+−⇒

+−>+−−⇒

−−>−−

x

nidisequaziolerelativatabellala per e x x

associataequazionelrisolvendo x x x x x

x x x x x x x

09564

015318864

'0153188648

9

2

118248

8

9

2

3291242

8

3

2

132322

2

22

22

?

?




Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo :

21. x x x3 24 7 4 0− + − ≥

0474 23 ≥−+− x x x tramite Ruffini

( )( ) 0431 2 ≥+−− x x x

( )( ) ℜ∈∀⇒<−=∆⇒≥+−

≥⇒≥−

⇒≥+−−⇒ x x x

x x

x x x 07043

101

0431 2

2

per cui si ha :

1≥ x

22. − − + + ≤ x x x3 22 5 6 0

0652 23 ≤++−− x x x tramite Ruffini

( )( ) 061 2 ≤+−−+ x x x

( )( )23025

0606

101

061 222

+≤≤−⇒>=∆⇒≤−+⇒≥+−−

−≥⇒≥+

⇒≤+−−+⇒ x

x x x x

x x

x x x

per cui si ha :

2,13 +≥−≤≤− x x

+ 1

- +

+ 1 - 4 + 7 - 4

x = +1 + 1 - 3 + 4

+ 1 - 3 + 4 0

- 1 - 2 + 5 + 6

x = - 1 + 1 + 1 - 6

- 1 - 1 + 6 0

- 3 - 1 + 2

+ - + -

?

?




23. x x3 5 2 0− + ≥

0253 ≥+− x x tramite Ruffini

( )( ) 0122 2 ≥−+− x x x

( )( )

21,21

024

012

202

0122 22

+−≥−−≤⇒

>=∆

⇒≥−+

+≥⇒≥−

⇒≥−+−⇒

x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

2,2121 +≥+−≤≤−− x x

24. x x x3 22 2 0− − + ≤

022 23 ≤+−− x x x tramite Ruffini

( )( ) 021 2 ≤−−− x x x

( )( )2,1

0902

101

021 22

+≥−≤⇒>=∆⇒≥−−

≥⇒≥−

⇒≤−−−⇒ x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

21,1 +≤≤+−≤ x x

21−− 21+− + 2

- + - +

- 1 + 1 + 2

- + - +

+ 1 - 2 - 1 + 2

x = + 1 + 1 - 1 - 2

+ 1 - 1 - 2 0

+ 1 0 - 5 + 2

x = + 2 + 2 + 4 - 2

+ 1 + 2 - 1 0

?

?




25. x x3 8 8 0− − <

0883 <−− x x tramite Ruffini

( )( ) 0422 2 <−−+ x x x

( )( )

51,51

054

042

202

0422 22

+>−<⇒

>=∆

⇒>−−

−>⇒>+

⇒<−−+⇒

x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

5151,2 +≤≤−−< x x

26. x x x4 3 27 17 0+ + ≤

( ) 01770177 22234 ≤++⇒≤++ x x x x x x

( )ℜ∈∀⇒<−=∆⇒≥++

ℜ∈∀⇒≥⇒≤++⇒

x x x

x x x x x

0190177

00177

2

2

22

per cui si ha :

{ } 00 =−ℜ∈∀/ xancheo x

-2 51− 51+

- + - +

0

+ +

+ 1 0 - 8 - 8

x = - 2 - 2 + 4 + 8

+ 1 - 2 - 4 0

?

?




27. x x4 23 2 0− + ≤

023 24 ≤+− x x tramite Ruffini

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) 0211

01211.0221

2

223

≤−+−⇒

≤+−+−⇒⇒≤−−+−

x x x

x x x xte parzialmenracce x x x x

( )( )( )2,20802

101

101

02112

2

≥−≤⇒>=∆⇒≥−−≥⇒≥+

≥⇒≥−

⇒≤−+−⇒ x x x

x x

x x

x x x

per cui si ha :

21,12 +≤≤−≤≤− x x

Potevamo risolvere anche la disequazione come biquadratica :

( )( ) ( )( )

2,21,1

2

1021021

om2

1

2

13023

'01023023

2

2

222

2

1

21

2

2224

+≥−≤+≥−≤⇒

≥

≥⇒≤−−⇒=≤−−⇒

=

==±=⇒=+−

>=∆⇒≤+−⇒=⇒≤+−

x x x x

x

x x xt xndorisostitueet t

notevoleiotrinil per et

t t t t associata

equazionedallet t t x posto x x

2− -1 +1 2++ - + - +

+ 1 0 -3 0 + 2

x = + 1 + 1 + 1 - 2 - 2

+ 1 + 1 - 2 - 2 0

?




per cui si ha :

21,12 +≤≤−≤≤− x x

28. 0127 24 >+− x x

( )( ) ( )( )

2,2

3,3

4

3043043

om4

3

2

170127

'0101270127

2

2

222

2

1

21

2

2224

+>−<+>−<

⇒

>

>⇒>−−⇒=>−−⇒

=

==±=⇒=+−

>=∆⇒>+−⇒=⇒>+−

x x

x x

x

x x xt xndorisostitueet t


t t t t associata


per cui si ha :

2,33,2 +>+<<−−< x x x

2− -1 +1 2+

+ - + - +

-2 3− 3+ +2

+ - + - +

?




29. 0134 24 ≥−− x x

( ) ( )

1,11

4

1

014

1401

4

14

om

1

4

1

8

2530134

'02501340134

2

2

222

2

1

21

2

2224

+≥−≤ℜ∈∀

⇒

≥

−≥⇒

≥−

+⇒=≥−

+⇒

=

−==

±=⇒=−−

>=∆⇒≥−−⇒=⇒≥−−

x x

x

x

x

x xt xndorisostitueet t

notevoleiotrinil per e

t

t t t t associata


per cui si ha :

1,1 +≥−≤ x x

30. 0583 24 ≤+− x x

( ) ( )

3

5,3

5

1,1

3

5

1

03

5130

3

513

om

3

5

1

3

140583

'01

4

05830583

2

2

222

2

1

21

2

2224

+≥−≤

+≥−≤⇒

≥

≥⇒

≤

−−⇒=≤

−−⇒

=

==

±=⇒=+−

>=∆⇒≤+−⇒=⇒≤+−

x x

x x

x

x

x xt xndorisostitueet t


t

t t t associata


-1 +1

+ - +

?

?




per cui si ha :

3

51,1

3

5 +≤≤+−≤≤− x x

31. 015 ≥− x

015 ≥− x tramite Ruffini

( )( ) 011 234 ≥++++− x x x x x

ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione

associata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha che :

( )( ) 101011 234 ≥⇒≥−⇒≥++++− x x x x x x x

quindi più direttamente si avrà che se :

11101 555 ≥⇒≥⇒≥⇒≥− x x x x

35− -1 +1

35+

+ - + - +

+1 0 0 0 0 - 1

x = +1 +1 +1 +1 +1 +1

+1 +1 +1 +1 +1 0

?




32. 0325 <+ x

0325 <+ x tramite Ruffini

( )( ) 0168422 234 <+−+−+ x x x x x

ora poiché il polinomio di quarto grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione

associata non ha soluzioni reali ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha che :

( )( ) 2020168422 234 −<⇒<+⇒<+−+−+ x x x x x x x


( ) 223232032 5 5555 −<⇒−<⇒−<⇒−<⇒<+ x x x x x

33. 0137 ≥− x

direttamente si avrà che : 777 1313013 −≥⇒−≥⇒≥+ x x x

34. ( ) 063 ≥+ x

ora poiché : ( ) ( )( )( ) 0666063 ≥+++⇒≥+ x x x x

da cui per l'esponente dispari ( n° dispari di fattori ) : ( ) 606 −≥⇒≥+ x x

+1 0 0 0 0 +32

x = -2 - 2 +4 -8 +16 -32

+1 -2 +4 -8 +16 0

?

?

?




35 . 0273 ≤− x tramite Ruffini

( )( ) 0933 2 ≤++− x x x

ora poiché il polinomio di secondo grado non è esattamente scomponibile ( la relativa equazione

associata non ha soluzioni reali , 0<∆ ) ed esprime una quantità sempre positiva , ℜ∈∀ x , si ha

che :

( )( ) 3030933 2 ≤⇒≤−⇒≤++− x x x x x


332727027 3 5333 ≤⇒≤⇒≤⇒≤⇒≤− x x x x x

36. 01311 ≥−− x

direttamente si avrà che : 111111 1313013 −≤⇒−≤⇒≥−− x x x

37. ( ) 044 ≥+− x

ora poiché : ( ) ( )( )( )( ) 04444044 ≥+−+−+−+−⇒≥+− x x x x x

da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : ( ) ℜ∈∀⇒≥+ x x 06

+1 0 0 -27

x = +3 +3 +9 +27

+1 +3 +9 0

?

?

?




38. 016 ≥− x

( ) ( ) ( )( )( )

( ) 101

10101101

3

3

332323

−≥⇒≥+

≥⇒≥−≥+−⇒≥−

x x

x x x x x

e quindi :

1,1 ≥−≤ x x

più semplicemente si poteva procedere in questo modo :

1,11,1:

1,10101

33

236

≥−≤⇒≥−≤

≥−≤⇒≥−⇒=≥−

x x x xquidie

t t t t x posto x

39. 014 <− x

( ) ( ) ( )( )( )( ) ℜ∈∀⇒>+

>−<⇒>−<+−⇒<− x x

x x x

x x x01

1,101

01101 2

2

222222

e quindi : 11 <<− x

-1 +1

+ - +

-1 +1

+ - +

?

?




40. ( ) 0326 ≤− x

ora poiché : ( ) ( )( )( )( )( )( ) 03232323232320326 ≤−−−−−−⇒≤− x x x x x x x

da cui per l'esponente pari ( n° pari di fattori ) : 032: =−ℜ∈∀/⇒ x x

o meglio la disequazione è verificata da :2

3032 =⇒=− x x

?




Risolvere le seguenti disequazioni fratte :

41. x

x

x

x

−

− − <

−1

2 23

3

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1,000

1,20200

1

2

2

3

12

633

12

0

12

2266

12

66

12

132

12

16133

22

1

2

22

2222

><⇒>−⇒>>−<⇒>−+⇒>⇒>

−−+⋅⇒

−−+

<−

⇒−

+−−<

−+−−

⇒

−−−<

−−−−⇒−<−

−−

x x x x D

x x x x N

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x x x

x

x

x

x

e quindi :

10,2 ≠>−< xcon x x

42. x

x

x−>

+3 5 6

2

( ) ( )

0020062500

2625

2

625

2

0

2

65

2

662

2

65

2

32

2

653

22

22

>⇒>⇒> ℜ∈∀⇒>+−⇒>⇒<+−⇒

+−>⇒+>+−⇒

+>

−⇒

+>

−

x x D x x x N

x x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

-2 0 +1

+ - + +

?

?




e quindi :

0< x

43. 4 1

2 1

11

x

x x

++

− >

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0,2

1020

2

31,

2

3101220

012

122

12

0

12

122

12

2

12

124

12

12

12

12141

1

12

14

2

2

2

222

>−<⇒>+⇒>

+>

−<⇒

>−−⇒>⇒>

+−−

⇒

+>

+−−

⇒++

>+

−−+⇒

++>

++−+⇒>−

++

x x x x D

x x

x x N

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x

e quindi :

2

31,0

2

31,

2

1 +><<

−−< x x x

0

- +

2

1−

2

31 −0

2

31 +

+ - + - +

?




44. 21

2

4 1

2 x

x

x

x−

−−

<−

( ) ( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2020

000

22

2222

0

22

284

22

2284

22

214

22

1224

2

14

2

12

22

>⇒>−⇒>>⇒>

⇒>−

⇒

−<

−⇒

−+−−<

−+−−⇒

−−−<

−−−−⇒−<

−−−

x x D

x N

x

x

x

x

x x

x x x

x

x x x

x

x x

x

x x x x

x

x x

e quindi :

2,0 +>< x x

45. − +

−−

−≤

x

x

x

x

1

1

5

20

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2,1

0230

1,3

1

02860

0

21

286

021

2860

21

5522

021

15210

2

5

1

1

2

2

2

222

><⇒>+−⇒>

≥≤⇒

≥+−⇒≥

⇒≥

−−

+−⇒

≥−−+−

⇒≤−−

+−−++−⇒

≤−− −−−+−⇒≤−−−+−

x x

x x D

x x

x x N

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x x

x x

x x x x

x

x

x

x

0 +2

+ - +

?

?




e quindi :

2,3

1+>≤ x x

46. 2 3

3

2

2 2

3

2

x

x

x

x

+− +

− +− ≥

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

3,1

0310

19

21021190

0312

2119

0312

2119

312

9393

312

6326464

312

313

312

233212

2

3

22

2

3

32

222

><⇒>−−⇒>

≥⇒≥−⇒≥

⇒≥−−

−⇒

≥−−

−⇒

−−+−−

≥−−

−++−−−+⇒

−−−−≥

−−+−−++−⇒≥

−+−+

−+

x x

x x D

x x N

x x

x

x x

x

x x

x x x

x x

x x x x x x

x x

x x

x x

x x x x

x

x

x

x

e quindi :

3,19

21

1 +>+≤<+ x x

3

1+ +1 +2

+ - - +

+119

21+ +3

- + - +

?




47. 16 2

2 54+

−−

> x

x x

( )

2

50520

4

335

,4

335

012080

052

1208

52

1208

52

0

52

208

52

2652

52

524

52

2652452

261

2

2

22

>⇒>−⇒>

+

>

−

<⇒

>−−⇒>

⇒<−

−−

⇒

−−−>

−⇒

−−>

−−+−⇒

−−>

−−+−⇒>

−−+

x x D

x x

x x N

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x x x

x

e quindi :

4

335

2

5,

4

335 +<<+

−≤ x x

48. x

x

x

x

−

−

− <−

−

5

2 6

1

2

2 3

3

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 3030104400

3244

32

44

32

0

32

64

32

35

32

322

32

35

3

32

2

1

62

5

>⇒>−⇒>>⇒>−⇒>⇒>

−−⇒

−−<

−⇒

−−<

−+−−⇒

−−<

−−−−⇒

−−<−

−−

x x D x x N

x x

x

x

x x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

x

x

x

4

335

− 25+

4

335

+

- + - +

?

?




e quindi :

3,1 >≤ x x

49. 3

3

22 1

9

2

x

x

x

x− +

≥ −+

−

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

3,3090

10

4297,

10

4297

019750

033

1975

33

1975

33

0

33

12182

33

93

33

1292

33

33

33

122

3

3

9

122

3

3

2

2

2

222

2

2

+>−<⇒>−⇒>

+−≥−−≤⇒

≥−+⇒≥

⇒≤+−−+⇒

+−−+≥

+−⇒

+−−−−≥

+−−−⇒

+−+−−

≥+−

+−⇒

+−+

−≥−

−⇒

−+

−≥+−

x x x D

x x

x x N

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

e quindi :

310

4297,10

42973 +<≤+−−−≤<− x x

+1 +3

+ - +

-310

4297 −−

10

4297 +−+3

+ - + - +

?




50. ( )

1

1 1

1

2

2

x

x

x

x

x−<

−−

−−

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( )2020

21,21

0120

02

12

101021

1210

21

13

21

0

21

13

21

12

21

2

21

112

21

2

2

1

11

1

2

2

223

23232

22

<⇒>−⇒>

+>−<⇒>−−⇒>

⇒<−

−−⇒

≠⇒≠−⇒<−−

−−−⇒<

−−++−

⇒

−−<

−−++−

⇒−−

−++−−<

−−−

⇒

−−−−−−

<−−−

⇒−−

−−<−

x x D

x x

x x N

x

x x

x x posto x x

x x x

x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x

x

x x

x x x x

x x

x

x

x

x

x

x

e quindi :

21,221 +><<− x x

21− +2 21+

+ - + -

?




Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni :

51. x x

x x

2

2

4 0

2 3 0− >

− − + <

>−<><

⇒

>−+

>−⇒

<+−−

>−1,3

4,0

032

04

032

04

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

di qui si ha :

4,3 >−< x x

52. − + − >

− >

2 5 3 0

1 0

2 x x

x

<

<<⇒

<−<+−

⇒

>−>−+−

1

2

31

01

0352

01

0352 22

x

x

x

x x

x

x x

di qui si ha :

ℜ∈∀/

-3 0 +1 +4

+12

3+

?

?




53.

x x

x

x

2 2 1 0

3 3 0

15 5 0

− + >

− + ≤− ≥

( ) { }

≥

≥−ℜ∈∀

⇒

≥−≥−

>−⇒

≥−≤+−

>+−

3

1

1

1

013

01

01

0515

033

01222

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

di qui si ha :

1> x

54.

x x

x x

x x

2

2

2

2 4 0

0

2 1 0

+ + >

− <

− − + >

+−<<−−

<<ℜ∈∀

⇒

<−+

<−

>++

⇒

>+−−

<−

>++

2121

10

012

0

042

012

0

042

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

di qui si ha :

210 +−<< x

3

1+ +1

21−− 0 21+− +1

?

?




55.

( )5

2

2

6

3

22

1

32

1

4

2

x x x

x x x

−+

< −

−+ >

++

( )

ℜ∈∀

<

>+−

<−⇒

++>

+−

−<−−

⇒

++>+−

−<+

−

x

x

x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

23

20

017154

02023

12

1233

12

2444

6

918

6

215

4

12

3

1

22

3

6

2

2

5

222

di qui si ha :

23

20< x

56. ( )

x x x

x x x

2

2

1

4

2

21

1

21 1

−−

−< +

−

− + ≥ −

( )

≥≤+<<−

≥−

<−⇒

−≥−−

−+<

+−−⇒

−≥+−

−+<

−−

−

2,0

33

02

03

11

4

224

4

421

11

2

11

2

2

4

1

2

2

2

2

2

2

x x

x

x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

23

20+

?

?




di qui si ha :

03 ≤<− x

57. x x

x

x

3

2 02 5 0

4 0

− <− − >

− <

( )

>

−<

+>−<

>⇒

>−

>⇒<−

⇒

>−<+

<−⇒

<−>−−<−

4

25

2,2

0

02

002

04

052

02

04

052

02

2

2

33

x

x

x x

x

x

x x x

x

x

x x

x

x

x x

per la disequazione fattoriale si ha :

20,2 +≤<−≤ x x

e quindi il sistema diventa :

>−<

+≤<−≤

42

5

20,2

x

x

x x

3− 0 3+ 2

2− 0 2+

- + - +

?




di qui si ha :

ℜ∈∀/ x

58.

( )

+>

−

−>+−

2

3

5

1

322

12

42 x x

x x x

( )

+>

−<

>

>−−

>−⇒

+>−

−>

−−

⇒

+>−

−>+

−

4

1615,

4

1615

9

10

01752

0109

10155

1022

4

128

4

24

23

51

322

12

4222

x x

x

x x

x

x x

x x x

x x

x x x

di qui si ha :

41615 +> x

2

5− 2− 0 2+ +4

4

1615 −

9

10+

4

1615 +

?




59.

x x x

x x x

−−

−<

+− >

1

3

3

2

3

2

1

4

3

2

2

+>−<

>

>+−

>−⇒

>−+

<+−−

⇒

>−+

<−

−−

625,625

10

7

0110

0710

4

4

4

61

6

9

6

9322

2

3

4

1

2

3

2

3

3

1

222

x x

x

x x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

di qui si ha :

625 +> x

60.

( )

2 2

3

1

6

2

3

1 3

2

2

x x x

x x

−+

− +>

−

+ − − > −

( )

ℜ∈∀

+−>

−−<

>+−

>−+⇒

>+−

−>

+−−⇒

−>−−+

−>

+−+

−

x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

8

1131,

8

1131

02

074

02

6

24

6

144

31

3

2

6

1

3

22

2

2

2

2

2

2

625 − 10

7

+ 625 +

?

?




di qui si ha :

8

1131,

8

1131 +−>

−−< x x

8

1131−−

8

1131 +−


3 Algebra Disequazioni Algebriche

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