Le espressioni algebriche letterali

1 Le espressioni algebriche letterali

1

DEFINIZIONE. Chiamiamo espressione algebrica letterale un insieme di numeri, rappresentati

anche da lettere, legati uno all’altro da segni di operazione.

ESEMPI

2a3x Si legge <<due a meno tre x>>

5ax 2a Si legge <<cinque ax più due a>>

Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 92

2 I monomi

2

DEFINIZIONE. Si chiama monomio un’espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati

tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione.

ESEMPIO

REGOLA. Se in un monomio non figura alcun coefficiente si considera come coefficiente:

• il numero +1 se il monomio è preceduto dal segno più;

• il numero −1 se il monomio è preceduto dal segno meno.

In un monomio è possibile distinguere una parte numerica, chiamata coefficiente, e una parte letterale.

5ab

coefficiente

parte letterale

ab

parte letterale

1

4a2b2c2

coefficiente

parte letterale


2 I monomi

3

DEFINIZIONI.

• due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale, ovvero le stesse lettere con

gli stessi esponenti;

• due monomi si dicono opposti quando sono simili ed hanno coefficienti opposti;

• due monomi si dicono uguali quando sono simili ed hanno lo stesso coefficiente.

DEFINIZIONE. Il grado di un monomio rispetto ad una sua lettera è l’esponente con cui questa vi

figura.

DEFINIZIONE. Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti delle varie lettere

che in esso figurano.


3 L’addizione algebrica di monomi

4

REGOLA. La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile ai monomi dati

avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi simili. Se i monomi non sono

simili la somma algebrica si lascia indicata.

ESEMPIO

8a2b2c2 2

3ab 4a2b2c2

1

4ab

8 4 a2b2c2 2

3

1

4

ab

12a2b2c2 11

12ab


ESEMPIO

4 La moltiplicazione di monomi

5

PROPRIETÀ. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha

per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

ESEMPIO

3a2b2c 2ac 4a2b

PROPRIETÀ. Il prodotto di due o più monomi è un monomio avente:

• per coefficiente, il prodotto dei coefficienti;

• per parte letterale, tutte le lettere presenti nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta e con

esponente uguale alla somma degli esponenti della stessa lettera.

a3 a2 a a321 a6

3 2 4 a212b21c11 24a5b3c2

Prima di eseguire la moltiplicazione di due monomi è utile ricordare che:


ESEMPIO

5 La divisione di monomi

6

PROPRIETÀ. Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che

ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

ESEMPIO

15a5b4c : 3a3b2 15 : 3 a53b42c10 5a2b2c

PROPRIETÀ. Il quoziente di due monomi, di cui il secondo non nullo, è un monomio avente:

• per coefficiente, il quoziente fra i coefficienti;

• per parte letterale, tutte le lettere presenti nel dividendo, ciascuna scritta una sola volta e con

esponente uguale alla differenza tra gli esponenti della stessa lettera che compaiono nel dividendo

e nel divisore.

a5 : a2 : a a521 a2

Prima di eseguire la divisione di due monomi è utile ricordare che:


6 La potenza di un monomio

7

DEFINIZIONE. Si dice potenza di un monomio il prodotto di tanti monomi, tutti uguali al monomio

dato, detto base, quanti ne indica l’esponente.

ESEMPIO

REGOLA. La potenza di un monomio è un monomio avente:

• per coefficiente, il coefficiente elevato all’esponente della potenza;

• per parte letterale, tutte le lettere aventi ognuna per esponente il prodotto tra il proprio esponente

e quello della potenza.

2ab 2 2ab 2ab 4a2b2

Prima di eseguire la potenza di un monomio è utile ricordare che:


7 I polinomi

8

DEFINIZIONE. Il polinomio è la somma algebrica di più monomi non simili tra loro. Un polinomio

che non contiene termini simili si dice ridotto.

ESEMPIO

DEFINIZIONE. Si dice grado relativo di un polinomio rispetto ad una lettera il massimo esponente

con cui quella lettera compare nel polinomio. Il maggiore fra i gradi dei monomi che costituiscono un

polinomio rappresenta il grado complessivo del polinomio.

3ab2bac

ESEMPIO

4a2bc2 a3b2c2 3a2bc3

• Il grado relativo rispetto alla lettera a è 3 • Il grado relativo rispetto alla lettera b è 2

• Il grado relativo rispetto alla lettera c è 3 • Il grado complessivo del polinomio è 7


7 I polinomi

9

DEFINIZIONE. Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (o crescenti) di

una lettera, quando gli esponenti della lettera stessa si succedono in modo decrescente (o

crescente).

ESEMPIO

DEFINIZIONE. Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera quando essa vi compare con

tutte le potenze, da quella con esponente maggiore a quella con esponente di grado zero.

3x5y 5x2y 3xy 7

ESEMPIO

2a4 3

4a3b a2b2

6

7ab3

5

4b4

DEFINIZIONE. Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.

ESEMPIO

2a2b2c 3

4ab2c2

2

3a2bc2

6

5a3b2

Ordinato secondo le potenze

decrescenti della lettera x.

Completo rispetto alle lettere a e b.

Omogeneo di quinto grado.


8 L’addizione algebrica di polinomi

10

ESEMPIO

a2 1

2ab5b3

5

3a2

4

3ab

1

5b3

3

5a2

1

6ab b3

Vogliamo risolvere l’espressione

Si tolgono le parentesi utilizzando le regole dei numeri relativi e del calcolo dei monomi:

a2 1

2ab5b3

5

3a2

4

3ab

1

5b3

3

5a2

1

6ab b3

Si esegue la somma algebrica degli eventuali termini simili:

1

15a2

2

3ab

31

5b3


9 La moltiplicazione di un polinomio per un monomio

11

REGOLA. Per moltiplicare un polinomio per un monomio basta moltiplicare ciascun termine del

polinomio per il monomio.

ESEMPIO

ab2c 3a2b4

5bc

5ac

ab2c 5ac 3a2b 5ac 4

5bc 5ac

5a2b2c2 15a3bc 4abc2


9 La moltiplicazione di due polinomi

12

REGOLA. Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per tutti i

termini del secondo e si esegue quindi la somma algebrica dei prodotti ottenuti.

ESEMPIO

5

4a2b

3

2ac2

4

3a2c

8

5b2c

5

4a2b

4

3a2c

8

5b2c

3

2ac2

4

3a2c

8

5b2c

5

4a2b

4

3a2c

5

4a2b

8

5b2c

3

2ac2

4

3a2c

3

2ac2

8

5b2c

5

3a4bc 2a2b3c 2a3c3

12

5ab2c3


10 La divisione di un polinomio per un monomio

13

REGOLA. Per dividere un polinomio per un monomio non nullo si divide ciascun termine del

polinomio per il monomio.

ESEMPIO

10a3b5c 15a2b3c4 20a4b3c5 : 5a2b2c

10a3b5c : 5a2b2c 15a2b3c4 : 5a2b2c 20a4b3c5 : 5a2b2c

2ab3 3bc3 4a2bc4


11 I prodotti notevoli

14

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

REGOLA. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza

tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio. In simboli:

a b a b a2 b2

ESEMPIO

2x 3y 2x 3y

4x2 6xy 6xy 9y 2

4x2 9y 2


11

15

Il quadrato di un binomio

REGOLA. Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica del quadrato del primo

monomio, con il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, con il quadrato del secondo

monomio.

a b 2 a2 2ab b2

ESEMPIO

2a 3b 2

2a3b 2a3b 4a2 6ab 6ab9b2

4a2 12ab9b2

I prodotti notevoli


11

16

Il cubo di un binomio

REGOLA. Il cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica del cubo del primo monomio, con il

triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio, con il triplo prodotto del primo per il

quadrato del secondo monomio, con il cubo del secondo monomio.

a b 3 a3 3a2b3ab2 b3

ESEMPIO

2a b 3

2a b 2 2a b 4a2 4ab b2 2a b

8a3 12a2b 6ab2 b3

8a3 4a2b 8a2b 4ab2 2ab2 b3

I prodotti notevoli


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