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APPUNTI DI MATEMATICA

LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

• Le disequazioni fratte

• Le disequazioni di secondo grado

• I sistemi di disequazioni

Alessandro Bocconi

Indice

1 Le disequazioni non lineari 2

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Un approfondimento di logica matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Le disequazioni fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Le disequazioni con un prodotto di fattori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Le disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 I sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Capitolo 1

Le disequazioni non lineari

1.1 Introduzione

Conosciamo gia le disequazioni di primo grado: il metodo per risolverle presenta molte analogiecon la risoluzione delle equazioni di primo grado. Come prevedibile i metodi che affronteremo perrisolvere disequazioni non lineari (cioe non di primo grado) saranno notevolmente diversi: cio no-nostante risultera fondamentale conoscere le tecniche gia usate per la risoluzione delle disequazionidi primo grado.

Ricordiamo adesso la:

Definizione di soluzione di una disequazione. La soluzione di una disequazione e l’insiemedei valori che, sostituiti all’incognita, rendono la disequazione una disuguaglianza vera.

�

Consideriamo adesso i seguenti:

Esempi

. Risolvere la disequazione 5x− 2 < 0

Risolvere tale equazione significa porsi la seguente domanda: per quali valori di x, l’espressione5x− 2 risulta minore di zero?

Per rispondere a tale domanda si usano i metodi conosciuti:

5x− 2 < 0→ 5x < 2→ 6565x <

2

5→ x <

2

5

quindi la risposta alla domanda precedente e: l’espressione 5x − 2 risulta minore di zero se x eminore di 2

5 . La soluzione si indica:

S = {x ∈ R|x <2

5}

. Risolvere la disequazione 8− 6x > 0

Risolvere tale equazione significa porsi la seguente domanda: per quali valori di x, l’espressione8− 6x risulta maggiore di zero?

Per rispondere a tale domanda si usano i metodi conosciuti:

8− 6x > 0→ −6x > −8→ 6−6

6−6x <

6−8 4

6−6 3→ x <

4

3

Alessandro Bocconi 3

quindi la risposta alla domanda precedente e: l’espressione 8 − 6x risulta maggiore di zero se x eminore di 4

3 . La soluzione si indica:

S = {x ∈ R|x <4

3}

�

1.2 Un approfondimento di logica matematica

Abbiamo incontrato nei capitoli precedenti sia l’insieme delle condizioni di esistenza che l’insiemedelle soluzioni di un’equazione. Ad esempio in una frazione algebrica puo accadere di trovare leseguenti condizioni di esistenza:

C.E. = {x ∈ R|x 6= −3;x 6= 2}

Oppure l’insieme delle soluzioni di una equazione di secondo grado potrebbe essere:

S = {x ∈ R|x = 4;x = 7}

Osserviamo quindi che abbiamo 2 condizioni nelle C.E. (la condizione che x sia diversa da −3 e lacondizione che x sia diversa da 2); e due condizioni nell’insieme S: la condizione che x sia ugualea 4 e la condizione che x sia uguale a 7. In entrambi i casi le due condizioni sono separate da unpunto e virgola, ma fra i due casi c’e una profonda differenza. Vediamolo con un esempio:

• Frase 1: Mario andra in vacanza se i genitori gli daranno il permesso e se riesce a trovare isoldi.

• Frase 2: Roberta andra in vacanza se le aggiusteranno la macchina o se trova un volo lowcost.

Le due frasi sono molto differenti: Mario andra in vacanza se avra il permesso dei genitori e seriuscira a trovare i soldi. In pratica l’andare in vacanza e legato al verificarsi di entrambe lecondizioni, mentre a Roberta ne basta una: o le riparano la macchina o trova un volo low cost(se si verificano entrambe tanto meglio: sara lei a scegliere fra la macchina e l’aereo). Quando ledue condizioni devono verificarsi contemporaneamente, devono essere legate fra loro dal simbolo ∧che si legge come la nostra congiunzione “e”, mentre se e sufficiente che se ne verifichi una sola lecondizioni devono essere legate fra loro dal simbolo ∨ che si legge “o”.

Tornando all’esempio delle condizioni di esistenza risulta che x deve essere diverso sia da −3 cheda 2. Quindi le due condizioni devono essere entrambe verificate e si scrive:

C.E. = {x ∈ R|x 6= −3 ∧ x 6= 2}

mentre per essere soluzione x deve essere uguale a 4 oppure uguale a 7. Quindi:

S = {x ∈ R|x = 4 ∨ x = 7}

Piu in generale possiamo affermare che nelle condizioni di esistenza bisogna scrivere il simbolo ∧,mentre nell’insieme delle soluzioni bisogna mettere il simbolo ∨.


1.3 Le disequazioni fratte

Consideriamo adesso disequazioni in cui compare l’incognita al denominatore.

Cominciamo con studiare il segno (cioe la positivita e negativita) di una frazione ab in cui a e b

sono numeri interi (e quindi dotati di segno). Osserviamo che tale frazione, per avere senso, deveavere il denominatore, cioe b, diverso da zero.

La frazione ab rappresenta il quoziente della divisione a : b e quindi sottosta alla regola dei segni

della divisione (che e ovviamente uguale a quella della moltiplicazione). Quindi:

• se a e b sono entrambi maggiori di zero la frazione e positiva.

• se a > 0 e b < 0 la frazione e negativa.

• se a < 0 e b > 0 la frazione e negativa.

• se a e b sono entrambi minori di zero la frazione e positiva.

Inoltre se a = 0 la frazione e uguale a zero.

Queste considerazioni possono essere utilizzate per studiare il segno di una frazione algebrica, comesi evidenzia nel seguente:

Esempio

. Studiare il segno della seguente frazione algebrica:

2x− 6

x− 1

Inizialmente bisogna studiare le condizioni di esistenza, cioe capire per quali valori di x si annullail denominatore:

x− 1 = 0→ x = 1

quindi otteniamo:C.E. = {x ∈ R|x 6= 1}

Chiediamoci per quali valori di x il numeratore e maggiore di zero, cioe risolviamo la disequazione:

2x− 6 > 0→ 62 x

62>66 3

62→ x > 3

Quindi il numeratore e positivo se x > 3. Rappresentiamo questa situazione tramite il grafico difigura 1.1.

Nella figura la retta orientata (quella con la freccia e i valori numerici) rappresenta i valori che puoassumere x. La retta soprastante e continua in corrispondenza di quei valori di x che rendono ilnumeratore positivo ed e tratteggiata in corrispondenza di quei valori di x che rendono il numeratorenegativo.

Ripetiamo la stessa operazione per il denominatore chiedendoci per quali valori di x e maggiore dizero, cioe risolviamo la disequazione:

x− 1 > 0→ x > 1

Quindi il denominatore e positivo se x > 1. Rappresentiamo questa situazione tramite il grafico difigura 1.2.

A noi pero interessa conoscere i valori di x per cui e positiva la frazione e non il numeratore e ildenominatore singolarmente. Per arrivare a cio uniamo i due grafici precedenti come in figura 1.3.


0 1 2 3 4 5 6 70 1 2-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Linea del numeratore

Figura 1.1: La parte continua e in corrispondenza dei valori di x in cui il numeratore e positivo,la parte tratteggiata e in corrispondenza dei valori di x in cui il numeratore e negativo

0 1 2 3 4 5 6 70 1 2-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Linea del denominatore

Figura 1.2: La parte continua e in corrispondenza dei valori di x in cui il denominatore e positivo,la parte tratteggiata e in corrispondenza dei valori di x in cui il denominatore e negativo

Si osserva che per x < 1 entrambe le linee sono tratteggiate e quindi sia il numeratore che ildenominatore sono negativi: dal momento che “meno diviso meno uguale piu” la frazione e positivaper x < 1. Per 1 < x < 3 e continua la linea del denominatore e tratteggiata la linea del numeratore:dal momento che “meno diviso piu uguale meno” la frazione e negativa per 1 < x < 3. Per x > 5entrambe le linee sono continue e quindi sia il numeratore che il denominatore sono positivi: “piudiviso piu uguale piu” la frazione e positiva.

Inoltre, come abbiamo visto in precedenza, la frazione e uguale a zero quando il numeratore euguale a zero. Quindi:

2x− 6 = 0→ 62 x

62=66 3

62→ x = 3

Riassumendo:

• La frazione e positiva per x < 1.

• La frazione non e definita per x = 1.

• La frazione e negativa per 1 < x < 3.

• La frazione e zero per x = 3

• La frazione e positiva per x > 3.

�


1 31+ +-

Linea del numeratore

Linea del denominatore

Figura 1.3: Con il segno “+” viene indicato l’insieme dei valori di x nel quale la frazione e positiva.Con il segno “-” viene indicato l’insieme dei valori di x nel quale la frazione e negativa

-2 5+ +-

N

D

Figura 1.4: N sta per linea del numeratore e D sta per linea del denominatore

Grazie allo studio del segno possiamo risolvere qualunque disequazione fratta, come emerge daiseguenti:

Esempi

. Risolvere la disequazione 3x−152x+4 > 0.

Studiamo le condizioni di esistenza chiedendoci per quali valori di x si annulla il denominatore:

2x + 4 = 0→ 6262x = −64

2

62→ x = −2

Pertanto le condizioni di esistenza risultano:

C.E. = {x ∈ R|x 6= −2}

Studiamo adesso il numeratore:

3x− 15 > 0→ 6363x =

615 5

63→ x > 5

e il denominatore:

2x + 4 > 0→ 6262x > −64

2

62→ x > −2

Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.4.


-2/3 3/2+ +-

N

D

Figura 1.5:

Dal momento che la disequazione iniziale e col maggiore le soluzioni risltano quelle evidenziate dalsegno +. Pertanto la soluzione e:

S = {x ∈ R|x < −2 ∨ x > 5}

�

Osservazione importante. Il senso della disequazione non influisce sullo studio del segno. In altreparole noi avremmo posto numeratore e denominatore maggiori di zero anche se la disequazionefosse stata col minore. Il senso della disequazione “entra in gioco” dopo aver disegnato il grafico eserve per scegliere gli intervalli che costituiscono la soluzione: quelli col segno + se la disequazioneha il maggiore, quelli col segno − se la disequazione ha il minore.

�

Esempi

. Risolvere la disequazione 3x+24x−6 < 0.


4x− 6 = 0→ 6464x =66 3

64 2→ x =

3

2


C.E. = {x ∈ R|x 6= 3

2}

Studiamo adesso il numeratore (ponendolo maggiore di zero anche se la disequazione ha il segno diminore come indicato dall’osservazione importante):

3x + 2 > 0→ 6363x = −2

3→ x > −2

3

e il denominatore:

4x− 6 > 0→ 6464x >66 3

64 2→ x >

3

2


Dal momento che la disequazione iniziale e col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dalsegno −. Pertanto la soluzione e:

S = {x ∈ R| − 2

3< x <

3

2}


2/7 2- -+

N

D

Figura 1.6: Essendo positivo per x < 2 la linea continua del denominatore e a sinistra e latratteggiata a destra

. Risolvere la disequazione 7x−28−4x < 0.


8− 4x = 0→ 6−4

6−4x =

6−8 2

6−4→ x = 2


C.E. = {x ∈ R|x 6= 2}


7x− 2 > 0→ 6767x =

2

7→ x >

2

7

e il denominatore:

8− 4x > 0→ 6−4

6−4x <

6−8 2

6−4→ x < 2

Riportiamo adesso i risultati ottenuti sul grafico di figura 1.6, osservando che il denominatore emaggiore di zero per x < 2. Quindi la linea continua e tracciata verso sinistra e la tratteggiata adestra.


S = {x ∈ R|x <2

7∨ x > 2}

. Risolvere la disequazione 7x−5 < 0.


x− 5 = 0→ x = 5


C.E. = {x ∈ R|x 6= 5}

Osserviamo adesso che il numeratore non contiene la x ma soltanto un numero: questo significache, a differenza dei casi precedenti, il segno del numeratore non dipende da x ma e sempre positivo(perche 7 e un numero positivo, fosse stato ad esempio −3 sarebbe stato sempre negativo). Questa


5- +

N

D

Figura 1.7: Essendo il numeratore sempre positivo, in corrispondenza del numeratore abbiamo unalinea sempre continua

situazione si riporta nel grafico disegnando, in corrispondenza del numeratore, una linea semprecontinua.

Invece il denominatore dipende da x e quindi ci comportiamo come negli altri casi:

x− 5 > 0→ x > 5



S = {x ∈ R|x < 5}

�

Regola per le disequazioni con ≥ o ≤. Se una disequazione ha il ≥ o ≤ anche nella solu-zione bisogna aggiungere il simbolo dell’uguale “accanto” ai valori non esclusi dalla condizione diesistenza.

�

. Risolvere la disequazione 11−x3x+4 ≥ 0.


3x + 4 = 0→ 6363x = −4

3→ x = −4

3


C.E. = {x ∈ R|x 6= −4

3}


11− x > 0→ −x > −11→ x < 11

e il denominatore:

3x + 4 > 0→ 6363x > −4

3→ x > −4

3



-4/3 11- -+

N

D

Figura 1.8: La disequazione col ≥ prevede che nella soluzione siano compresi gli estremi non esclusidalle C.E.

Dal momento che la disequazione iniziale e col maggiore uguale le soluzioni risultano quelle eviden-ziate dal segno + e bisogna includere anche gli estremi non esclusi dalle C.E. Pertanto la soluzionee:

S = {x ∈ R| − 4

3< x ≤ 11}

�

Definizione di forma normale di una disequazione fratta. Una disequazione fratta e informa normale se al primo termine della disequazione vi e un’unica frazione e al secondo termine0.

�

Le disequazioni fratte viste in precedenza erano tutte in forma normale. Se una disequazione frattanon e in forma normale va portata in tale forma e poi risolta come abbiamo visto.

Esempio

. Risolvere la seguente disequazione 2x+14x−4 > 2

Iniziamo dalle condizioni di esistenza:

4x− 4 = 0→ 6464x =6464→ x = 1


C.E. = {x ∈ R|x 6= 1}

Si osserva che la disequazione non e in forma normale. Portiamola in tale forma ricordandoci leoperazioni con le frazioni algebriche:

2x + 1

4x− 4> 2→ 2x + 1

4x− 4− 2 > 0→ 2x + 1− 2(4x− 4)

4x− 4> 0→ 2x + 1− 8x + 8

4x− 4> 0→ −6x + 9

4x− 4> 0

A questo punto la disequazione e in forma normale e possiamo procedere come nei casi precedenti.

Studiamo il numeratore:

−6x + 9 > 0→ 6−6

6−6x <

6−9 3

6−6 2→ x <

3

2

e il denominatore:

4x− 4 > 0→ 6464x >6464→ x > 1


1 3/2- -+

N

D

Figura 1.9:


Dal momento che la disequazione iniziale e col maggiore le soluzioni risultano quelle evidenziatedal segno +. Pertanto la soluzione e:

S = {x ∈ R|1 < x <3

2}

�

1.4 Le disequazioni con un prodotto di fattori lineari

Quanto abbiamo appreso e utilizzato per le disequazioni fratte puo essere utilizzato per risolveredisequazioni in cui compare il prodotto di due fattori lineari, come emerge dal seguente

Esempio

. Risolvere la seguente disequazione: (2x + 7)(5x− 10) < 0

A differenza delle disequazioni fratte non c’e un denominatore e quindi le condizioni di esistenzasono verificate qualunque valore di x. Studiamo quando il primo fattore e maggiore di zero:

2x + 7 > 0→ 6262x > −7

2→ x > −7

2

e il secondo fattore:

5x− 10 > 0→ 6565x >

610 2

65→ x > 2

Dal momento che la regola dei segni del prodotto e uguale alla regola dei segni del quoziente,costruiamo il grafico come abbiamo fatto per le disequazioni fratte (figura 1.10).


S = {x ∈ R| − 7

2< x < 2}

. Risolvere la seguente disequazione: (x + 6)(3− 5x) ≤ 0

Come in precedenza le condizioni di esistenza sono verificate qualunque valore di x. Studiamoquando il primo fattore e maggiore di zero:

x + 6 > 0→ x > −6


-7/2 2+ +-

1F

2F

Figura 1.10: 1F indica la linea del primo fattore e 2F la linea del secondo fattore

-6 3/5- -+

1F

2F

Figura 1.11: 1F indica la linea del primo fattore e 2F la linea del secondo fattore


3− 5x > 0→ 6−5

6−5x <

−3

−5→ x <

3

5

Costruiamo il grafico (1.11).

Dal momento che la disequazione iniziale e col minore uguale le soluzioni risultano quelle eviden-ziate dal segno −. Inoltre nella soluzione devono essere compresi gli estremi (ricordiamoci che lecondizioni di esistenza sono soddisfatte da qualunque valore di x). Pertanto la soluzione e:

S = {x ∈ R|x ≤ −6 ∨ x ≥ 3

5}

�

Consideriamo adesso disequazioni formate dal prodotto di piu di 2 fattori lineari e vedremo che ilmetodo di risoluzione e concettualmente identico a quello adottato fino ad adesso, come emerge dalseguente:

Esempio

. Risolvere la seguente disequazione: (x + 4)(3− 4x)(2x− 12) ≥ 0

Come in precedenza le condizioni di esistenza sono verificate qualunque valore di x. Studiamoquando il primo fattore e maggiore di zero:

x + 4 > 0→ x > −4


3− 4x > 0→ 6−4

6−4x <

−3

−4→ x <

3

4


-4 3/4+ -+ 6-

Figura 1.12: Il grafico e formato da 3 linee perche 3 sono i fattori della disequazione

e il terzo fattore:

2x− 12 > 0→ 6262x >

612 6

62→ x > 6

In questo caso il grafico sara costituito da 3 linee essendo 3 i fattori della diseguazione (figura 1.12)e il segno del prodotto scaturira dalla regola dei segni usata con tre fattori.

Dal momento che la disequazione iniziale e col maggiore uguale le soluzioni risultano quelle eviden-ziate dal segno +. Inoltre nella soluzione devono essere compresi gli estremi (ricordiamoci che lecondizioni di esistenza sono soddisfatte da qualunque valore di x). Pertanto la soluzione e:

S = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ 3

4≤ x ≤ 6}

�

Quanto visto nell’ultimo esempio puo essere esteso anche alle disequazioni fratte, come emerge dalseguente:

Esempio

. Risolvere la seguente disequazione 53x+8 < 2

x−2

Iniziamo dalle condizioni di esistenza tenendo conto che sono due i denominatori:

3x + 8 = 0→ 6363x = −8

3→ x = −8

3

x− 2 = 0→ x = 2


C.E. = {x ∈ R|x 6= 2 ∧ x 6= −8

3}

Si osserva che la disequazione non e in forma normale. Portiamola in tale forma ricordandoci leoperazioni con le frazioni algebriche:

5

3x + 8<

2

x− 2→ 5

3x + 8− 2

x− 2< 0

il minimo comune multiplo fra i 2 demominatori e (3x + 8)(x− 2) e la disequazione diventa:

5 · (x− 2)− 2(3x + 8)

(3x + 8)(x− 2)< 0→ 5x− 10− 6x− 16

(3x + 8)(x− 2)< 0→ −x− 26

(3x + 8)(x− 2)< 0


-26 -8/3+ -+ 2-

N

1D

2D

Figura 1.13:

A questo punto la disequazione e in forma normale. Studiamo il numeratore:

−x− 26 > 0→ −x > 26→ x < −26

il primo fattore che compone il denominatore:

3x + 8 > 0→ 6363x > −8

3→ x > −8

3

e il secondo fattore che compone il denominatore:

x− 2 > 0→ x > 2



S = {x ∈ R| − 26 < x < −8

3∨ x > 2}

1.5 Le disequazioni di secondo grado

Nel paragrafo 2.6 delle dispense “Equazioni di secondo grado” degli Appunti di Matematica, ab-biamo verificato come scomporre un trinomio di secondo grado tramite le soluzioni dell’equazionedi secondo grado associata:

1. se l’equazione ax2+bx+c = 0 ha 2 soluzioni x1 e x2, allora vale la scomposizione: ax2+bx+c =a(x− x1)(x− x2)

2. se l’equazione ax2 + bx + c = 0 ha una soluzione x1 (o meglio 2 coincidenti), allora vale lascomposizione: ax2 + bx + c = a(x− x1)

2

3. se l’equazione ax2 + bx + c = 0 non ha soluzioni non e scomponibile.

Quanto appena detto e estremamente utile per risolvere disequazioni di secondo grado.

• Primo caso (2 soluzioni quindi 4 > 0): studiare la disequazione ax2 +bx+c > 0 (oppureax2 + bx + c < 0, oppure ax2 + bx + c ≥ 0, oppure ax2 + bx + c ≤ 0) equivale a studiare ladisequazione a(x− x1)(x− x2) > 0 (oppure a(x− x1)(x− x2) < 0 etc. . . )


x1+ +-

1F

2F

x2

Figura 1.14: Stiamo affrontando il caso generale, quindi al posto dei numeri compaiono x1 e x2

x1 +

1F

2F

+

Figura 1.15: Abbiamo un’unica soluzione e quindi sulla retta orientata c’e solo x1

Supponiamo che il coefficiente a sia maggiore di zero e quindi ininfluente nella determinazionedel segno. Nel paragrafo precedente abbiamo studiato esempi in cui la disequazione eracomposta dal prodotto di fattori di primo grado e l’abbiamo risolta studiando singolarmenteil segno dei singoli fattori. In questo caso abbiamo per il primo fattore:

x− x1 > 0→ x > x1

e per il secondo:x− x2 > 0→ x > x2

riportiamo i dati nel grafico di figura 1.14.

A seconda del senso della disequazione (>, oppure <, oppure . . . ) sceglieremo l’intervallo ogli intervalli che compongono la soluzione.

• Secondo caso (due soluzioni coincidente quindi 4 = 0): studiare la disequazioneax2 + bx+ c > 0 (oppure ax2 + bx+ c < 0, oppure ax2 + bx+ c ≥ 0, oppure ax2 + bx+ c ≤ 0)equivale a studiare la disequazione a(x− x1)

2 > 0 (oppure a(x− x1)2 < 0 etc. . . )

Supponiamo sempre a > 0 e quindi ininfluente nella determinazione del segno. Rimane quindi(x− x1)

2 che possiamo scrivere (x− x1)(x− x1) ottenendo il grafico di figura 1.15.

Si osserva che nella retta non compare il segno −. Quindi se la disequazione ha il senso diminore non ha soluzioni, mentre sa ha il maggiore comprende entrambi gli intervalli. Se poiil senso della disequazione comprende anche l’uguale anche x1 viene compreso nelle soluzioni.

• Terzo caso (nessuna soluzione quindi 4 < 0): il trinomio ax2+bx+c non e scomponibile.Supponiamo a > 0 e aiutiamoci con lo studio della parabola:


+

Figura 1.16: Sulla retta orientata non c’e nessun valore e quindi un unico +

se il trinomio ha il delta negativo significa che la parabola y = ax2+bx+c non ha intersezionicon l’asse delle x e, dal momento che abbiamo supposto a > 0, la concavita e rivolta versol’alto e di conseguenza la parabola sta sempre sopra l’asse delle ascisse qualunque sia il valoredi x. Questo significa che ax2+bx+c e sempre positivo e quindi sulla retta del grafico avremoun unico “+” (figura 1.16).

Essendoci solo un + se la disequazione ha il senso minore (o minore uguale) non ha soluzioni(e si scrive S = ∅) mentre se ha il maggiore (o maggiore uguale) e verificata qualunque valoredi x e si scrive S = {x ∈ R}

Possiamo adesso enunciare il seguente:

Metodo di risoluzione di disequazioni di secondo grado.

• Si porta in forma normale, se a < 0 si cambiano tutti i segni e il senso della disequazione peravere a > 0.

• Si risolve l’equazione di secondo grado associata

• In base al numero di soluzioni si disegna il grafico corrispondente.

• Si determina la soluzione in base al senso della disequazione.

Applichiamo quanto visto nei seguenti:

Esempi

. Risolvere la disequazione x2 − 7x + 10 ≥ 0

La disequazione e gia in forma normale e a > 0. Passiamo quindi a risolvere l’equazione di secondogrado associata calcolandoci il discriminante (il delta):

4 = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 1 · 10 = 49− 40 = 9

Il discriminante e positivo (siamo quindi nel primo caso) e l’equazione ha 2 soluzioni che sideterminano tramite la formula risolutiva:

x =−b±

√4

2a=

7±√

9

2 · 1=

7± 3

2→ x =

7− 3

2= 2, x =

7 + 3

2= 5

peranto x1 = 2 e x2 = 5, dobbiamo quindi riportare sul grafico x > 2 e x > 5 (figura 1.17)

Dal momento che la disequazione ha il senso ≥ nella soluzione troviamo gli intervalli denotati colsegno + compresi gli estremi:

S = {x ∈ R|x ≤ 2 ∨ x ≥ 5}


2+ +- 5

Figura 1.17: Questo grafico deriva dal grafico di figura 1.14 sostituendo 2 ad x1 e 5 a x2

3 ++

Figura 1.18: Questo grafico deriva da quello di figura 1.15 sostituendo 3 ad x1

. Risolvere la disequazione x2 + 7x− 9 ≥ 2x2 + x

La disequazione non e in forma normale: portiamola quindi in tale forma

x2 + 7x− 9 ≥ 2x2 + x→ x2 − 2x2 + 7x− x− 9 ≥ 0→ −x2 + 6x− 9 ≥ 0

il coefficiente a e minore di zero cambiamo quindi tutti i segni e il senso della disequazione per farlodiventare positivo:

−x2 + 6x− 9 ≥ 0→ x2 − 6x + 9 ≤ 0

che diventa la disequazione da risolvere.

Risolviamo l’equazione di secondo grado associata calcolandoci il discriminante (il delta):

4 = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36− 36 = 0

Il discriminante e zero (siamo quindi nel secondo caso) e l’equazione ha una soluzione (2 coincidenti):

x =−b±

√4

2a=

6±√

0

2 · 1=

6

2→ x = 3

peranto x1 = 3 e otteniamo il grafico (figura 1.18)

Dal momento che la disequazione ha il senso ≤ dobbiamo cercare gli intervalli denotati col segno− che non ci sono. Pero, dato che il senso della disequazione comprende anche l’uguale, gli estremifanno parte della soluzione (in questo caso l’unico estremo presente e 3). Quindi:

S = {x ∈ R|x = 3}


-3/2 ++

Figura 1.19:

Osserviamo che se la disequazione fosse stata col senso minore (anziche minore uguale) 3 nonavrebbe fatto parte della soluzione che sarebbe pertanto risultata l’insieme vuoto.

. Risolvere la disequazione −2x2 + 3x− 5 < 0

La disequazione e in forma normale ma il coefficiente a e minore di zero cambiamo quindi tutti isegni e il senso della disequazione per farlo diventare positivo:

−2x2 + 3x− 5 < 0→ 2x2 − 3x + 5 > 0

che diventa la disequazione da risolvere.


4 = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 2 · 5 = 9− 40 = −31

Il discriminante e negativo (siamo quindi nel terzo caso) e l’equazione non ha soluzioni.

Il grafico risulta quindi quello visto in figura 1.16

Dal momento che la disequazione ha il senso maggiore dobbiamo cercare gli intervalli denotati colsegno +, ma in questo caso tutta la retta costituisce un unico intervallo denotato col segno +.Quindi:

S = {x ∈ R}

Osserviamo che se la disequazione fosse stata col senso minore la soluzione sarebbe stata l’insiemevuoto.

. Risolvere la disequazione 4x2 + 12x + 9 > 0

La disequazione e in forma normale e il coefficiente a e maggiore di zero.


4 = b2 − 4ac = (12)2 − 4 · 4 · 9 = 144− 144 = 0

Il discriminante e zero (siamo quindi nel secondo caso) e l’equazione ha una soluzione (2 coincidenti):

x =−b±

√4

2a=−12±

√0

2 · 4= − 612 3

68 2→ x = −3

2

peranto x1 = −32 e otteniamo il grafico (figura 1.19)

Dal momento che la disequazione ha il senso maggiore dobbiamo cercare gli intervalli denotati colsegno +. Quindi:

S = {x ∈ R|x < −3

2∨ x > −3

2}


Osserviamo che nella soluzione ci sono sia i valori minori di −32 che quelli maggiori. In altre parole

ci sono tutti i valori eccetto −32 . In questo caso si preferisce scrivere la soluzione:

S = {x ∈ R|x 6= −3

2}

�

Quanto abbiamo visto per le disequazioni di secondo grado puo essere utilizzato anche per ledisequazioni fratte in cui il numeratore o il denominatore o entrambi sono di secondo grado, comeaccade nei seguenti

Esempi

. Risolvere la seguente disequazione: 2x−9x2−8x+15

≤ 0

E una disequazione fratta quindi dobbiamo studiare le condizioni di esistenza ponendo il denomi-natore uguale a zero:

x2 − 8x + 15 = 0

e un’equazione di secondo grado che risolviamo calcolandoci il discriminante (delta):

4 = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64− 60 = 4

Il discriminante e positivo e l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formularisolutiva:

x =−b±

√4

2a=

8±√

4

2 · 1=

8± 2

2→ x =

8− 2

2= 3, x =

8 + 2

2= 5

pertanto le condizioni di esistenza risultano:

C.E. = {x ∈ R|x 6= 3 ∧ x 6= 5}

Studiamo ora il segno del numeratore:

2x− 9 > 0→ 6262x >

9

2→ x >

9

2

E il segno del denominatore:x2 − 8x + 15 > 0

Per risolverla bisogna determinare le soluzioni dell’equazione associata. Ma le soluzioni gia leconosciamo per aver studiato le condizioni di esistenza e sono x1 = 3 e x2 = 5. Quindi nel graficobisogna riportare, per il denominatore, x > 3 e x > 5 come evidenziato nel grafico di figura 1.20.

Dal momento che la disequazione ha il senso minore uguale prendiamo gli intervalli denotati colsegno − e comprendiamo gli estremi tranne quelli esclusi dalle condizioni di esistenza. Quindi:

S = {x ∈ R|x < −3 ∨ 9

2≤ x < 5}

. Risolvere la seguente disequazione: 25x2+10x+1x2−x−6 > 0

E una disequazione fratta quindi dobbiamo studiare le condizioni di esistenza ponendo il denomi-natore uguale a zero:

x2 − x− 6 = 0

e un’equazione di secondo grado che risolviamo calcolandoci il discriminante (delta):

4 = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25


3 9/2- +- 5+

N

Figura 1.20: Una linea per il numeratore e due per il denominatore

Il discriminante e positivo e l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formularisolutiva:

x =−b±

√4

2a=

1±√

25

2 · 1=

1± 5

2→ x =

1− 5

2= −2, x =

1 + 5

2= 3

pertanto le condizioni di esistenza risultano:

C.E. = {x ∈ R|x 6= −2 ∧ x 6= 3}

Studiamo ora il segno del numeratore:

25x2 − 10x + 1 > 0

e una disequazione di secondo grado, determiniamo allora le soluzioni dell’equazione di secondogrado associata, partendo dal determinare il discriminante (delta):

4 = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 · 1 · 25 = 100− 100 = 0

Il discriminante e zero e quindi l’equazione ha una soluzione (2 soluzioni coincidenti):

x =−b±

√4

2a=−10±

√0

2 · 25=− 610 1

650 5→ x = −1

5

Nel grafico finale riporteremo due volte x > −15 .

Passiamo al segno del denominatore:x2 − x− 6 > 0

Per risolverla bisogna determinare le soluzioni dell’equazione associata. Ma le soluzioni gia leconosciamo per aver studiato le condizioni di esistenza e sono x1 = −2 e x2 = 3. Quindi nel graficobisogna riportare, per il denominatore, x > −2 e x > 3 come evidenziato nel grafico di figura 1.21.

Dal momento che la disequazione ha il senso maggiore prendiamo gli intervalli denotati col segno+. Quindi:

S = {x ∈ R|x < −2 ∨ x > 3}

�


-2 -1/5+ +- 3-

N

N

D

D

Figura 1.21: Due linee per il numeratore e due per il denominatore

1.6 I sistemi di disequazioni

Abbiamo gia affrontato i sistemi di primo e secondo grado di equazioni. Se i sistemi erano compostida due equazioni (come tutti quelli che abbiamo visto), erano presenti due incognite, generalmenteindicate con x e y, e la soluzione del sistema era costituita da una o piu coppie di valori chesoddisfacevano entrambe le equazioni.

Nel sistema di disequazioni compare un’unica incognita, ed abbiamo la seguente:

Definizione di soluzione di un sistema di disequazioni. La soluzione di un sistema didisequazioni e costituita dalle parti comuni delle soluzioni di tutte le disequazioni che compongonoun sistema.

�

Chiariamo tramite un

Esempio

. Un allenatore di calcio seleziona all’interno di una scuola i ragazzi di altezza compresa fra unmetro e cinquanta e un metro e settanta. Un allenatore di basket, all’interno della stessa scuolaseleziona ragazzi piu alti di uno e sessanta. Chi viene selezionato da entrambi gli allenatori?

La soluzione dell’allenatore di calcio e:

1, 50 < altezza < 1, 70

mentre quella dell’allenatore di basket e

altezza > 1, 60

i ragazzi selezionati da entrambi gli allenatori rappresentano la parte comune delle due soluzioni ecioe:

1, 60 < altezza < 1, 70

quindi vengono selezionati per il calcio e per il basket i ragazzi di altezza compresa fra 1 e 60 e 1 e70.

�

Il metodo per risolvere un sistema di disequazioni e quindi quello di risolvere singolarmente ciascunadisequazione e poi cercare le parti comuni delle soluzioni.


4 7

Figura 1.22: La soluzione e evidenziata da un tratteggio inclinato

Spieghiamolo con alcuni esempi:

Esempi

. Risolvere il seguente sistema di disequazioni:{3x + 2 > 14x− 7 < 0

Si risolvono singolarmente le due disequazioni. Cominciamo dalla prima:

3x + 2 > 14→ 3x > 14− 2→ 6363x >

612 4

63→ x > 4

quindi la soluzione della prima disequazione (chiamiamola S1 per distinguerla dall’altra) e:

S1 = {x ∈ R|x > 4}

Risolviamo la seconda:x− 7 < 0→ x < 7

da cui:S2 = {x ∈ R|x < 7}

Adesso dobbiamo cercare le parti comuni delle due soluzioni. Scriviamo:{S1

S2

e costruiamo il grafico: per rappresentare S1 si disegna una linea che parte da 4 e va a destra(x > 4), mentre per rappresentare S2 si disegna un’altra linea che parte da 7 e va a sinistra(x < 7) (figura 1.22). La parte comune (che evidenziamo con un leggero tratteggio inclinato)risulta quell’intervallo (o quegli intervalli) dove abbiamo riportato entambe le linee. Quindi non euna parte comune x < 4 perche e presente solo la linea sopra e nemmeno x > 7 perche e presentesolo la linea sotto. L’intervallo comune e quello compreso fra 4 e 7 che costituisce la soluzione delsistema.

�

Osservazione sul grafico finale di risoluzione di un sistema.

• Non stiamo studiando il segno e quindi la linea continua non ha niente a che fare col po-sitivo ma indica la soluzione. La linea tratteggiata, non essendoci niente di negativo darappresentare, non viene mai utilizzata.


2- +

N

D

-7/2 -

Figura 1.23:

• Ogni disequazione ha una sua soluzione e quindi e rappresentata da una linea sul grafico.Non puo mai accadere che ci siano piu linee rispetto alle disequazioni o viceversa.

• Le disequazioni di primo grado si studiano con il senso di disuguaglianza che hanno. In altreparole se abbiamo una disequazione fratta o di secondo grado studiamo i vari fattori ponendolisempre maggiori di zero anche se la disequazione ha il minore, mentre se una disequazione diprimo grado ha il minore si studia col minore.

. Risolvere il seguente sistema di disequazioni:2x+72−x ≤ 0

6x− 7 < −1

Si risolvono singolarmente le due disequazioni. Cominciamo dalla prima osservando che e unadisequazione fratta e quindi bisogna determinare le condizioni di esistenza:

2− x = 0→ −x = −2→ x = 2


C.E. = {x ∈ R|x 6= 2}


2x + 7 > 0→ 6262x = −7

2→ x > −7

2

e il denominatore:2− x > 0→ −x > −2→ x < 2


Dal momento che la disequazione iniziale e col minore uguale le soluzioni risultano quelle evidenziatedal segno − compresi gli estremi non esclusi dalle condizioni di esistenza. Pertanto la soluzionedella prima disequazione e:

S1 = {x ∈ R|x ≤ −7

2∨ x > 2}

Risolviamo la seconda:

6x− 7 < −1→ 6666x <6666→ x < 1


1 2-7/2

Figura 1.24: Il pallino su −72 evidenzia che l’estremo appartiene a S1

da cui:S2 = {x ∈ R|x < 1}


S2

e costruiamo il grafico che, come emerge dall’osservazione, deve contenere due linee una per ciascunasoluzione: per rappresentare S1 si disegna una linea che parte da −7

2 e va a sinistra e, allo stessolivello, una linea che parte da 2 e va a destra. Per rappresentare S2 tracciamo un’altra linea cheparte da 1 e va a sinistra (figura 1.24). La parte comune risulta x ≤ −7

2 pertanto:

S = {x ∈ R|x ≤ −7

2}


6x+21x−1 < 0

Si risolvono singolarmente le due disequazioni. La prima e identica a quella dell’esempio precedentee possiamo quindi scrivere direttamente la soluzione S1:

S1 = {x ∈ R|x ≤ −7

2∨ x > 2}

Passiamo alla seconda cominciando a determinare le condizioni di esistenza:

x− 1 = 0→ x = 1


C.E. = {x ∈ R|x 6= 1}


6x + 21 > 0→ 6666x = − 621 7

66 2→ x > −7

2

e il denominatore:x− 1 > 0→ x > 1


1+ -

N

D

-7/2 +

Figura 1.25:

1 2-7/2

Figura 1.26: Non esistono parti comuni fra le due soluzioni


Dal momento che la disequazione iniziale e col minore le soluzioni risultano quelle evidenziate dalsegno −. Pertanto la soluzione della seconda disequazione e:

S2 = {x ∈ R| − 7

2< x < 1}


S2

e costruiamo il grafico composto da due linee una per ciascuna soluzione: per rappresentare S1 sidisegna una linea che parte da −7

2 e va a sinistra e, allo stesso livello, una linea che parte da 2 e vaa destra. Per rappresentare S2 tracciamo un’altra linea che parte da −7

2 va a destra e si ferma a 1(figura 1.26). Osserviamo che non esiste parte comune:

Pertanto la soluzione e:S = ∅


6x+21x−1 ≤ 0

Osserviamo che e identico all’esempio precedente a parte il fatto che nella seconda disequazionec’e un minore uguale anziche un minore. L’estremo non escluso dalla condizione di esistenza entra


1 2-7/2

Figura 1.27: −72 appartiene a entrambe le soluzioni e quindi anche alla soluzione del sistema

nella soluzione pertanto S2 risulta:

S2 = {x ∈ R| − 7

2≤ x < 1}

mentre ricordiamo che:

S1 = {x ∈ R|x ≤ −7

2∨ x > 2}


S2

Il grafico e identico al precedente eccezion fatta che mettiamo un pallino in corrispondenza a −72

anche nella seconda soluzione (nella prima era gia presente) ottenendo il grafico di figura 1.27.Osserviamo che esiste un solo punto in comune alle due soluzioni ed e x = −7

2 .

Pertanto la soluzione e:

S = {x ∈ R|x = −7

2}

Osservazione. Dal momento che la soluzione di un sistema e la parte comune delle soluzioni delledisequazioni che lo compongono, se una di queste disequazioni non ha soluzioni, non ha soluzioninemmeno il sistema.

�

1.7 Esercizi

Paragrafo 1.2

Nelle seguenti frasi inserisci nel quadrato il simbolo corretto (∨ oppure ∧)

1. Per vivere e necessario bere � mangiare.

2. Per andare a lavorare Mario ha bisogno che funzioni la sua bici � il suo motorino.

3. Per fare una buona gara la mattina, la sera prima e necessario andare a letto presto � nonubriacarsi.

4. Per una buona pastasciutta bisogna mettere la giusta quantita di sale � scolarla al momentogiusto.

5. Per fare una telefonata ho bisogno del cellulare � di un telefono fisso


Paragrafo 1.3

Risolvi le seguenti disequazioni fratte dopo aver determinato le C.E.

6. x+44x−10 > 0 S = {x ∈ R|x < −4 ∨ x > 5

2};3−x2x+2 ≥ 0 S = {x ∈ R| − 1 < x ≤ 3}

7. 2x−310−x < 0 S = {x ∈ R|x < 3

2 ∨ x > 10}; 6−6x4−2x ≤ 0 S = {x ∈ R|1 ≤ x < 2}

8. x+24x−9 > 2 S = {x ∈ R|94 < x < 20

7 };5

2x+1 ≥ 0 S = {x ∈ R|x > −12}

9.x− 3

2x−1 > 0 S = {x ∈ R|x < 1 ∨ x > 3

2};3−x2x+3 ≥

2x−12x+3 S = {x ∈ R| − 3

2 < x ≤ 43}

10. −54x−10 > 0 S = {x ∈ R|x < 5

2};2(3x+1)−5(x−1)

x+2 ≤ 0 S = {x ∈ R| − 7 ≤ x < −2}

11. 0 < x+44x−10 S = {x ∈ R|x < −4 ∨ x > 5

2};3−x2x+2 ≥ 10 S = {x ∈ R| − 1 < x ≤ −17

21}

12. x+4+3+xx−10 > 0 S = {x ∈ R|x < −7

2 ∨ x > 10}; 3−6x−x−2 ≤ 0 S = {x ∈ R| − 2 < x ≤ 1

2}

13. 3x+11−1−2x > 0 S = {x ∈ R|− 11

3 < x < −12};

32+ 3−x

2x+2 ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −3∨x > −1}

14. 1 + 2x+54x−3 > 0 S = {x ∈ R|x < −1

3 ∨ x > 34};

12x+10 ≥ 0 S = {x ∈ R|x > −5}

15. −xx+2 > 0 S = {x ∈ R| − 2 < x < 0}; x+3x+x+2

2x+5 ≥ 0 S = {x ∈ R|x < −52 ∨ x ≥ −2

5}

16. x+44x > 0 S = {x ∈ R|x < −4 ∨ x > 0}; 2+x

x−5 ≥3

x−5 S = {x ∈ R|x ≤ 1 ∨ x > 5}

17. 6x+122+x > 0 S = {x ∈ R|}; x(x+1)−x2−1

x−2 ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ 1 ∨ x > 2}

18. 100x+99x−1 + 1

x−1 > 0 S = {x ∈ R|x < −1∨ x > 1}; x+33−x ≥ 0 S = {x ∈ R| − 3 < x ≤ 3}

19. −113−4x > 0 S = {x ∈ R|x > 3

4};2

2x+2 + 10 < 0 S = {x ∈ R| − 1110 < x < −1}

20. 4(x+4)−10x+1 ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −3

2 ∨ x > −1}; 6−x−x ≥ 0 S = {x ∈ R|x < 0 ∨ x > 6}

Paragrafo 1.4

Risolvi le seguenti disequazioni determinando, quando necessario, le C.E.

21. (x− 2)(3− 3x) ≥ 0 S = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 2}

22. 3(x + 1)(2x + 7) > 0 S = {x ∈ R|x < −72 ∨ x > −1}

23. (3x + 2)(3− 7x) ≤ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −23 ∨ x ≥ 3

7}

24. −(x− 21)(3x + 18) > 0 S = {x ∈ R| − 6 < x < 21}

25. (x− 2)(x + 1)(4x− 1) > 0 S = {x ∈ R| − 1 < x < 14 ∨ x > 2}

26. (x + 1)2(2x + 7) < 0 S = {x ∈ R|x < −72}

27. x(x− 2) ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ 0 ∨ x ≥ 2}

28. x2 − 9 ≤ 0 S = {x ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 3}

29. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ −3 ≤ x ≤ −2 ∨ x ≥ −1}

30. 3(3x + 3) > 0 S = {x ∈ R|x > −1}

31. (3− 3x)(x− 2)(x + 4) ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −4 ∨ 1 ≤ x ≤ 2}

32. (x + 1)3 ≥ 0 S = {x ∈ R|x > −1}


33. x(x + 1)(x + 2) ≤ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −2 ∨ −1 ≤ x ≤ 0}

34. (x + 2)3(x− 3) > 0 S = {x ∈ R|x > 3}

35. 2x+1 < 3

2x−3 S = {x ∈ R|x < −1 ∨ 32 < x < 9}

36. −3x+1 + 3

x−5 > 0 S = {x ∈ R|x < −1 ∨ x > 5}

37. 43x+2 ≤

−12−x S = {x ∈ R|x < −2

3 ∨ 2 < x ≤ 10}

38. 2(x−1)−2x3x+2 + 2

x+1 ≥ 0 S = {x ∈ R| − 1 < x < −23 ∨ x ≥ −1

2}

39. 10−x+3 < 1

x−2 S = {x ∈ R|2 < x < 2311 ∨ x > 3}

Paragrafo 1.5

Risolvi le seguenti disequazioni determinando, quando necessario, le C.E.

40. 3x2 + 2x + 2 > 0 S = {x ∈ R}; x2 − 2x− 15 ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −3 ∨ x ≥ 5}

41. 4x2 − 3x − 1 ≤ 0 S = {x ∈ R| − 14 ≤ x ≤ 1}; 10x2 − 60x + 80 > 0 S = {x ∈ R|x <

2 ∨ x > 4}

42. 16x2 + 8x + 1 ≤ 0 S = {x ∈ R‖x = −14}; x2 − 2x + 5 < 0 S = ∅

43. 3x2 + x− 2 > 0 S = {x ∈ R‖ − 1 < x− 23}; 4x2 − 12x + 9 < 0 S = ∅

44. x2 − 5x + 4 > 0 S = {x ∈ R|x < 1 ∨ x > 4}; x2 − 10x + 9 ≤ 0 S = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 9}

45. x2 + 2x + 1 > 0 S = {x ∈ R‖x 6= −1}; x2 + 4x− 12 ≥ 0 S = {x ∈ R|x < −6 ∨ x > 2}

46. −x2 + 8x − 15 < 0 S = {x ∈ R|x < 3 ∨ x > 5}; 2x2 + 4x − 6 > 0 S = {x ∈ R|x <−3 ∨ x > 1}

47. x2 + x + 1 ≥ 0 S = {x ∈ R}; x2 + 7x + 6 ≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −6 ∨ x ≥ −1}

48. 2x2 + 2x + 3 ≤ 0 S = ∅; x2 − 10x + 25 ≥ 0 S = {x ∈ R}

49. 2x2 + 8x + 3 ≤ 3x(x + 1) + 9 S = {x ∈ R|x ≤ 2 ∨ x ≥ 3}

50. x(x + 2) + 1 ≥ 0 S = {x ∈ R}

51. x2 − 3x + 1 < 0 S = {x ∈ R|3−√5

2 < x < 3+√5

2 }

52. 2x(x + 1)− 3(x− 10) < 0 S = ∅

53. −2x2 − 7x− 11 > x2 + 1 S = {x ∈ R| − 3 < x < −4}

54. x2−5x+4x−2 > 0 S = {x ∈ R|1 < x < 2 ∨ x > 4}

55. x2−x−12x2+3x+2

≥ 0 S = {x ∈ R|x ≤ −3 ∨ −2 < x < −1 ∨ x ≥ 4}

56. x2−5x+4x−4 > 0 S = {x ∈ R|x > 1}

57. 8−xx2−6x+9

≥ 0 S = {x ∈ R|x < 8}

58. x2−8x+15x−3 + 1 > 0 S = {x ∈ R|x > 4}

59. −2xx2−5x+6

+ 1 ≤ 0 S = {x ∈ R|1 ≤ x < 2 ∨ 3 < x ≤ 6}

60. x2−9x+14x2+3x

< 0 S = {x ∈ R| − 3 < x < 0 ∨ 2 < x < 7}


61. −x−5x2+x−72 ≥ 0 S = {x ∈ R|x < −9 ∨ −5 ≤ x < 8}

62. x2−6x+8x−3 > 0 S = {x ∈ R|2 < x < 3 ∨ x > 4}

Paragrafo 1.6

Risolvere i seguenti sistemi determinando, se necessario, le C.E.

63. {3x + 2 ≤ 54(x + 1) > 4

S = {x ∈ R|0 < x ≤ 1}

x−5x−1 > 0

x−2x−3 < 0

S = ∅

64. {x2 − 3x + 2 < 02x < 3

S = {x ∈ R|1 < x <3

2}

3x+52−x ≤ 0

6x− 7 > −1

S = {x ∈ R|x > 2}

65. x2−5x+4

x−2 > 0

3x− 4 > 0

S = {x ∈ R|43< x < 2∨x > 4}

x(x− 2)(x− 4) ≤ 0

x−2x−1 ≤ 0

S = {x ∈ R|x = 2}

66. 2x+6x+1 > 0

xx+2 < 0

S = {x ∈ R|−2 < x < −1}

x2 − 5x + 6 ≤ 0

x2 − 5x + 6 ≥ 0S = {x ∈ R|x = 2∨x = 3}

67. (x + 1)(x− 1) < 0

(x + 2)(x− 2) > 0S = ∅

x2 + 2x + 4 > 0

2x− 10 < 0S = {x ∈ R|x < 5}

68. x−4x+2 ≥ 0

x2 − 3x− 4 ≤ 0

S = {x ∈ R|x = 4}

2x+12−x ≤ 0

x(x + 1) ≤ 0

S = {x ∈ R|−1

2≤ x ≤ 0}

69. x + 36 < 32

x+7x+5

S = {x ∈ R|x < −7 ∨ −5 < x < −4}

70. x2 + 10x + 22 > 1

(x + 6)(x + 8) > 0S = {x ∈ R|x < −8 ∨ x > −3}

71. 2x+4x+2 ≤ 0

6x− 7 < −1

S = ∅

x + 3 ≤ 0

x2 + 9x + 20 > 0S = {x ∈ R|x < −5∨−4 < x ≤ −3}


72. 2x+103−x > 0

x−22x−7 < 0

S = {x ∈ R|2 < x < 3}

x2 + 4x + 4 ≥ 0

x2 + x + 4 < 0S = ∅

73. x−1x−2 > 0

3x−44x−5 < 0

S = ∅

7x+7x−5 < 0

x2 − 10x + 24 < 0

S = {x ∈ R|4 < x < 5}

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