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Disequazioni di Primo Grado, Sistemi diDisequazioni di Primo Grado eDisequazioni FrazionarieFacolt�a di Ingegneria - Universit�a della Calabria

AbstractLo scopo di questo lavoro �e quello di fornire all'utenteuno strumento per veri�care il suo grado di preparazionerealtivamente alle disequazioni di primo grado, ai sistemi didisequazione di primo grado e alle disequazioni frazionarie.

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Contenuti1 Disequazioni di primo grado 32 Sistemi di Disequazioni di primo grado e Disequazionifrazionarie 8

Riferimenti teorici 12

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1. Disequazioni di primo gradoIn questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le disequazioni di Primo Grado.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto �e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su "Inizio test" e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla �ne dell'esercizio, cliccando su "Fine test" il programma pro-ceder�a ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.Inizio Quiz1. Indicare la soluzione della seguente disequazione

�2x > 6(a) x < �3 (b) x > 3 (c) x > �3 (d) x < 3

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2. Indicare la soluzione della seguente disequazione25 + 13(x+ 1) � 2x� 15(2x� 1)(a) x � 819 (b) x � 819 (c) x � � 819 (d) x � 198

3. Indicare la soluzione della seguente disequazione3(1� x2)� (3x� 2)(1� x) > 7� 5x

(a) x > �25 (b) la disequazione data non ha soluzione(c) x < 34 (d) la disequazione data �e sempre veri�cata4. Indicare la soluzione della seguente disequazione

3 + ax < 4 + 2(x� 2)

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(a) Per a� 2 > 0, cio�e a > 2 la soluzione �ex < 32� aPer a� 2 < 0, cio�e a < 2 la soluzione �ex < 32� aPer a� 2 = 0, cio�e a = 2 la disequazione non �e maiveri�cata.(b) Per a� 2 � 0, cio�e a � 2 la soluzione �ex > 32� aPer a� 2 � 0, cio�e a < 2 la soluzione �ex < 32� a:

(c) la disequazione data non ha soluzione qualunque sia ilvalore assegnato ad a.(d) la disequazione data �e sempre veri�cata qualunque sia ilvalore assegnato ad a.

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5. Indicare la soluzione della seguente disequazione, sapendo chea < 0 xa + 1 > 2x+ 12a(a) x > 12(b) x < 12(c) Per 1� 2a > 0, cio�e a � 12 la soluzione �e

x < 1� 2a2(1� 2a)Per 1� 2a < 0, cio�e a � 12 la soluzione �e

x < 1� 2a2(1� 2a)(d) la disequazione data �e sempre veri�cata qualunque sia ilvalore assegnato ad a.

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Fine QuizSe hai risposto erroneamente alle domande puoi veri�care latua preparazione consultando pagine teoriche relative agli argo-menti trattati in questa sezione del test.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICIRiferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria

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2. Sistemi di Disequazioni di primo gradoe Disequazioni frazionarieIn questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano i Sistemi di Disequazioni di Primo Grado e Disequazionifrazionarie.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto �e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su "Inizio test" e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla �ne dell'esercizio, cliccando su "Fine test" il programma pro-ceder�a ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.

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Inizio Quiz1. Indicare la soluzione del seguente sistema di disequazioni(x+ 1 < 2� 3x4x > 2 + 3x(a) 2 (b) il sistema dato �e impossibile(c) fx j x < 14g (d) il sistema dato �e indeterminato

2. Indicare la soluzione del seguente sistema di disequazioni(2x�16< 1� 3�x

23x+22� 2 > 4x�1

3�

5+2x2

(a) (2;+1)(b) il sistema di disequazione dato �e indeterminata(c) (� 113 ;+1)(d) il sistema di disequazione dato �e impossibile

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3. Indicare il valore della seguente disequazione(x� 1)(2x� 3) > 0(a) ( 32 ;+1)(b) fx j x < 1; x > 32g(c) la disequazione data �e impossibile(d) la disequazione data �e indeterminata

4. Indicare il valore della seguente disequazione3� 5x1� x � 0(a) �x 2 R j 35 � x < 1(b) �x 2 R j x � 35 ;x > 1(c) la disequazione data �e impossibile(d) la disequazione data �e indeterminata

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5. Indicare la soluzione della seguente disequazione3� 5x1� x � 0(a) S = �x 2 R j x � 35 e x > 1(b) S = �x 2 R j x � 35(c) S = [ 35 ; 1)(d) = (�1;+1)

Fine QuizSe hai risposto erroneamente alle domande puoi veri�care la tuapreparazione consultando pagine teoriche relative agli argomentitrattati in questa sezione del test.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICIRiferimenti teorici 2. Vai alle pagine di teoria

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Riferimenti teoriciRiferimenti teorici 1.

DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONISi dice disuguaglianza una scrittura del tipo A < B o A > B.Le disuguaglianze godono delle seguenti propriet�a:� (p1.) Aggiungendo uno stesso numero, positivo o negativo,ad entrambi i membri di una disuguaglianza si ottiene unadisuguaglianza dello stesso verso

a > b) a+ c > b+ c3 > 2) 3 + 1 > 2 + 1) 4 > 3� (p2.) Se sommiamo membro a membro due disuguaglianzedello stesso senso, otteniamo una disuguaglianza ancora dellostesso senso

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a > b e c > d) a+ c > b+ d2 > 1 e 3 > 2) 2 + 3 > 1 + 2) 5 > 3� (p3.) Moltiplicando ambo i membri per uno stesso numeropositivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso versoa > b e m > 0) ma > mb3 > 2 e 2 > 0) 6 > 4� (p4.) Dividendo ambo i membri per uno stesso numero pos-itivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso

a > b e m > 0) am > bm3 > 2 e 2 > 0) 32 > 22

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� (p5.) Moltiplicando ambo i membri per uno stesso numeronegativo, si ottiene una disuguaglianza di verso contrarioa > b e m < 0) ma < mb3 > 2 e � 1 < 0) �3 < �2

� (p6.) Dividendo ambo i membri per uno stesso numero neg-ativo, si ottiene una disuguaglianza di verso contrarioa > b e m < 0) am < bm3 > 2 e � 1 < 0) �3 < �2

� (p7.) Sottraendo ambo i membri a una stesso numero siottiene una disuguaglianza di verso contrarioa > b) m� a < m� b4 > 3) 7� 4 < 7� 3) 3 < 4

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� (p8.) Moltiplicando membro a membro due disuguaglianzedello stesso verso, fra numeri positivi, otteniamo una disug-uaglianza dello stesso versoa > b e c > d) ac > bd3 > 2 e 5 > 4) 15 > 8

� (p9.) Dati due numeri concordi e diversi da zero, la disug-uaglianza tra i loro reciproci ha senso contrario rispetto aquella tra i numeri stessia > b) 1a < 1b3 > 2) 13 < 12

� (10.) Dati due numeri positivi e diversi da zero, le loropotenze hanno lo stesso senso se n > 0 e senso opposto se

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n < 0, con n 2 Za > b e n > 0) an > bna > b e n < 0) an < bn4 > 3 e n = 2 > 0) 42 > 32 ) 16 > 9n = �1 < 0) 4�1 < 3�1 ) 14 < 13� (p11.) Dati due numeri negativi e diversi da zero, le loropotenze hanno lo stesso senso per n dispari e senso oppostoper n pari, a > b e n pari) an < bna > b e n dispari) an > bn�2 > �7 e n = 2 > 0) (�2)2 < (�7)2 ) 4 < 49n = 3 < 0) (�2)3 > (�7)3 ) �8 > �343Una disequazione �e una disuguaglianza che sussiste solo perdeterminati valori delle incognite che in essa �gurano. Tutti i val-

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ori che soddisfano una disequazione costituiscono l'insieme dellesoluzioni.Risolvere una disequazione signi�ca trovare un intervallo di valorie non valori isolati.DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UN'INCOGNITACon procedimento analogo a quello visto per le equazioni etenendo presenti i principi appena elencati, ogni disequazione pu�oessere condotta alla forma normale

ax < b oppure ax > b con a 6= 0Da ax < b segue

x < ba per a > 0x > ba per a < 0

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Da ax > b seguex > ba per a > 0x < ba per a < 0

Vediamo ora come pu�o essere rappresentato l'intervallo delle soluzioni.Un intervallo si dice aperto se non comprende i suoi estremi, chiusose invece li comprende:� [a; b] �e un intervallo chiuso;� (a; b) �e un intervallo aperto;� [a; b) �e un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra;� (a; b] �e un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.Esempio Dividendo ambo i membri per 3 si trova che la soluzionedella disequazione 3x > 4 �ex > 43

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ESERCIZIO 1Risolvere la disequazione�2x > 6

Tenendo conto della propriet�a p5 la disequazione �2x > 6 di-venta 2x < �6 da cui x < � 62 che implica x < �3.

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ESERCIZIO 2Risolvere la disequazione25 + 13(x+ 1) � 2x� 15(2x� 1):Il minimo comune multiplo �e 15, per cui

3 � 2 + 5(x+ 1) � 30x� 3(2x� 1)6 + 5x+ 5 � 30x� 6x+ 35x� 30x+ 6x � �6� 5 + 3�19x � �819x � 8x � 819La soluzione dell'esercizio pu�o essere scritta come

I = fx j x � 89 ; x 2 Rgoppure I = (�1; 89 ).

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Esercizio 3.3(1� x2)� (3x� 2)(1� x) > 7� 5x

SOLUZIONE. La prima cosa che facciamo sono i prodotti3� 3x2 � 3x+ 3x2 + 2� 2x > 7� 5x

quindi sommiamo i termini simili e otteniamo5 > 7

che �e una disequazione mai veri�cata qualunque sia il valore di x.

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ESERCIZIO 4Discutere le soluzioni della disequazione3 + ax < 4 + 2(x� 2):Dapprima la riduciamo a forma normale3 + ax < 4 + 2x� 43 + ax < 2xax� 2x < �3x(a� 2) < �3(1)A�nch�e la disequazione sia soddisfatta dobbiamo porre indi-cazioni su a, distinguiamo allora i tre casi� per a� 2 > 0 si ha a > 2 che sostituita in (1) d�a

x < � 3a� 2 ossia x < 32� a� per a� 2 < 0 si ha a < 2 da cuix > � 3a� 2 ossia x > 32� a

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� per a � 2 = 0 si ha a = 2, in questo caso la disequazionediventa 0 � x < �3 che non �e mai veri�cata.

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ESERCIZIO 5Sapendo che a < 0 risolverexa + 1 > 2x+ 12aDiscussione: il minimo comune multiplo �e 2a, che �e negativo es-sendo a < 0, perci�o2x+ 2a < 4ax+ 12x� 4ax < �2a+ 1x(2� 4a) < 1� 2a

Essendo a < 0, x �e positivo, infatti si ha 1 � 2a > 0 per 1 > 2acio�e a < 12 e perci�o a < 0. La soluzione �ex < 1� 2a2(1� 2a) = 12

Per tornare alla simulazione del test clicca suRIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 1

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Riferimenti teorici 2.SISTEMI DI DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADOUn sistema di disequazioni �e un insieme di due o pi�u disequazioniin una incognita, che sono soddisfatte contemporaneamente perdeterminati valori dell'incognita.Risolvere un sistema signi�ca trovare le soluzioni che soddisfanotutte le disequazioni del sistema: se I1 �e la soluzione della primadisequazione, I2 �e la soluzione della seconda disequazione,: : :, In�e la soluzione dell'n-esima disequazione,la soluzione del sistema �edata dall'intersezione

I = I1 \ I2 \ : : : InEsercizio 1Risolvere il sistema (x+ 1 < 2� 3x4x > 2 + 3x

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Trovo separatamente le soluzioni delle due disequazioni:(x+ 3x < 2� 14x� 3x > 2 ) (4x < 1x > 2 ) (x < 14 I1x > 2 I2e in�ne interseco gli intervalliI = I1 \ I2 = ;

Il sistema non ammette soluzioni, cio�e �e impossibile.

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Esercizio 2Risolvere il sistema( 2x�16 < 1� 3�x23x+22 � 2 > 4x�13 � 5+2x2Come prima risolvo separatamente le disequazioni e in�ne intersecogli intervalli.Per la prima, il minimo comune multiplo �e 6 e si ha:2x� 1 < 6� 3(3� x)2x� 1 < 6� 9 + 3x2x� 3x < 6� 9 + 1�x < �2 x > 2 (I1)Per la seconda, il minimo comune multiplo �e 6 e si ha3(3x+ 2)� 12 > 2(4x� 1)� 3(5 + 2x)9x+ 6� 12 > 8x� 2� 15� 6x9x� 8x+ 6x > �6 + 12� 2� 157x > �11 x > �113 (I2)La soluzione �e I = I1 \ I2 = (2;+1)

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I sistemi di disequazioni permettono di risolvere disequazioniparticolari. Consideriamo il seguente esempio:EsempioRisolvere la disequazione(x� 1)(2x� 3) > 0signi�ca trovare quei valori di x per cui o che entrambi i fattorisono positivi (cosicch�e il prodotto sia ancora positivo) o entrambinegativi (perch�e il prodotto di due quantit�a negative �e positivo).Per risolvere la disequazione allora impostiamo i due sistemi(x� 1 > 02x� 3 > 0 e (x� 1 < 02x� 3 < 0Risolvendo il primo sistema troviamo che deve essere(x > 1x > 32cio�e I1 = ( 32 ; +1).Risolvendo il secondo trovo l'intervallo I2(x < 1x < 32

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cio�e I2 = (�1; 32 )La soluzione della disequazione iniziale e data dall'unione deidue intervalli I = �x 2 R j x < 1;x > 32� :

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DISEQUAZIONI FRAZIONARIESi dicono frazionarie le disequazioni che contengono l'incognitain almeno un denominatore, e possono sempre essere ricondottealla forma N(x)D(x) > 0 oppure N(x)D(x) < 0

La prima disequazione �e veri�cata quando il numeratore e il de-nominatore hanno lo stesso segno (ambedue positivi o ambeduenegativi), la seconda invece �e veri�cata quando numeratore e de-nominatore assumono segni discordi (uno positivo e l'altro nega-tivo).Vediamo tramite gli esempi come si procede per la risoluzione.Esercizio 3Risolvere 3� 5x1� x � 0Osserviamo che

N(x) = 3� 5x e D(x) = 1� x

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Innanzitutto escludiamo i valori che annullano il denominatore,cio�e x = 1, poich�e in questo caso la frazione non �e de�nita, quindiprocediamo. Studiamo il segno del numeratore, ponendo N(x) � 03� 5x � 0) �5x � �3) 5x � 3) x � 35Allo stesso modo studiamo il segno del denominatore D(x)

1� x > 0) �x > �1) x < 1Osserviamo che:per x � 35 sia il numeratore che il denominatore sono positiviperci�o la frazione �e positiva,

per x > 1 sia il numeratore che il denominatore sono negativie, poich�e il prodotto di due numeri negativi �e positivo, la frazione�e positiva,per 35 � x < 1 il numeratore �e negativo e il denominatorepositivo perci�o, per la regola del prodotto dei segni, la frazionerisulta negativa.Poich�e stiamo cercando i valori per cui N(x)

D(x) � 0 devo consid-

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erare l'intervallo con il segno negativo, cio�eS = �x 2 R j 35 � x < 1� = [35 ; 1)

Esercizio 4La disequazione 3� 5x1� x � 0per la discussione fatta nell'esercizio precedente �e veri�cata nell'intervallocon il segno positivo, cio�e

S = �x 2 R j x � 35 ;x > 1� = (�1; 35 ] [ (1;+1)Per tornare alla simulazione del test clicca suRIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 2