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Disequazioni lineari Disequazioni lineari Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo.
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Disequazioni lineari Disequazioni lineari Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo
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Disequazioni lineariDisequazioni lineariDisequazioni lineariDisequazioni lineari
Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo
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è una disuguaglianza
Un’espressione nella quale figurino i simboli
minore di es. 2² < 2³ (2² minore di 2³) maggiore di
es. 24 > 23 (24 maggiore di 23)
minore o
uguale a
es. a b (a minore o uguale a b)
maggiore o
uguale a
es. 2b c (2b maggiore o uguale a c)
3
DisuguaglianzaDisuguaglianzaIl simbolo tra due espressioni corrisponde alla seguente coimplicazione logica:
a b a<b a=bAnalogamente il simbolo tra due espressioni corrisponde alla seguente coimplicazione logica:
a b a>b a=b
4
Principi delle Principi delle disuguaglianzedisuguaglianzePrincipi delle Principi delle
disuguaglianzedisuguaglianzeSommando o sottraendo ai due membri di una disuguaglianza lo stesso numero, il senso della disuguaglianza non cambia:
Sommando o sottraendo ai due membri di una disuguaglianza lo stesso numero, il senso della disuguaglianza non cambia:
a>b a+c>b+c
a>b a-c>b-c
12 > 5 12+3 > 5+312 > 5 12-3 > 5-3-5 > -7 -5-2 > -7-25 < 7 5+2 < 7+25 < 7 5-2 < 7-2-5 < -3 -5-2 < -3-2
a,b,cR
5
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per lo stesso numero positivo, il senso della disuguaglianza non cambia:
a>b c>0 ac>bc
a>b c>0 a/c>b/c
12 > 5 123 > 5312 > 4 12/2 > 4/2-5 > -7 -52 >-725 < 7 52 < 726 < 9 6/3 < 9/3-8 < -4 -8/2 < -4/2
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,b,cRc>0
6
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per lo stesso numero negativo, cambia il senso della disuguaglianza:
a>b c<0 ac<bc
a>b c<0 a/c<b/c
12 > 5 12(-3) < 5(-3)12 > 4 12/(-2) < 4/(-2)-5 > -7 -5(-2) <-7(-2)5 < 7 5(-2) > 7(-2)6 < 9 6/(-3) > 9/(-3)-8 < -4 -8/(-2) > -4/(-2)
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,b,cRC<0
7
Sommando membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso.
Sommando membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso.
a>b c>d a+c>b+d
a<b c<d a+c<b+d
12>57>3 12+7 > 5+312>44>-2 12+4>4+(-2)7>4 5>2 7-5=4-25<7 3<6 5+3 < 7+6-6<-5-2<-1-6+(-2)<-5+(-1)6<85<9 6-5>8-9
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,b,c,dR
Sottrarre membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, produce invece risultati imprevedibili !!!
Sottrarre membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, produce invece risultati imprevedibili !!!
8
Sottraendo due numeri disuguali da uno stesso numero, le differenze sono disuguali in senso contrario alla disuguaglianza dei sottraendi:
Sottraendo due numeri disuguali da uno stesso numero, le differenze sono disuguali in senso contrario alla disuguaglianza dei sottraendi:
a>b c-a < c-b
a<b c-a>c-b
8 > 5 9-8< 9-56 > -4 8-6 < 8-(-4)-5 > -7 -2-(-5)<-2-(-7)5 < 7 3-5 > 3-76 < 9 2-6 > 2-9-8 < -4 -5-(-8)>-5-(-4)
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,b,cR
9
Il prodotto membro a membro di due disuguaglianze dello stesso senso tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso.
Il prodotto membro a membro di due disuguaglianze dello stesso senso tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso.
a>b c>d ac>bd
a<b c<d ac<bc
6>57>3 6x7 > 5x35<7 3<6 5x3 < 7x6
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,b,c,dR+
10
Se due numeri positivi sono disuguali la disuguaglianza dei loro reciproci (o inversi) ha senso contrario.
Se due numeri positivi sono disuguali la disuguaglianza dei loro reciproci (o inversi) ha senso contrario.
a>b 1 < 1 a b
a<b 1 > 1 a b
4 > 2 1 < 1 4 2
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,bR+
4 < 8 1 > 1 4 8
11
La potenza con lo stesso esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso.
La potenza con lo stesso esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso.
a > b an > bn
a < b an < bn
4 > 2 42 > 22
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,bR+
nNo
3 < 4 33 < 43
12
La potenza con esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri negativi, cambia il senso della disuguaglianza se l’esponente è pari, lo conferma se l’esponente è dispari.
La potenza con esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri negativi, cambia il senso della disuguaglianza se l’esponente è pari, lo conferma se l’esponente è dispari.
a>ba2n<b2n
a>ba2n+1>b2n+1
-4 > -5 (-4)2 < (-5)2
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,bR-
nNo
-3>-4 (-3)3 > (-4)3
a<ba2n>b2n
a<ba2n+1<b2n+1
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La potenza con esponente positivo dispari dei due membri di una disuguaglianza tra numeri di segno opposto, conserva il senso della disuguaglianza; con l’esponente pari, non è certo in generale il senso.
La potenza con esponente positivo dispari dei due membri di una disuguaglianza tra numeri di segno opposto, conserva il senso della disuguaglianza; con l’esponente pari, non è certo in generale il senso.
a>ba2n ?>=<? b2n
a>ba2n+1>b2n+1
4 > -5 (4)2 < (-5)2
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,bRa>0b<0
nNo
4 > -4 (4)2 = (-4)2
4 > -3 (4)2 > (-3)2
3>-4 (3)3 > (-4)3 3>-3 (3)3 > (-3)3 3>-2 (3)3 > (-2)3
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La radice n-esima con indice positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, conserva il senso della disuguaglianza.
La radice n-esima con indice positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, conserva il senso della disuguaglianza.
81 > 16 481 > 416
Principi delle disuguaglianzePrincipi delle disuguaglianze
a,bRa>0b>0
nNo
25 < 36 25 < 36
a>b na>nb
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Si definisce disequazione una disuguaglianza in cui figurino una o più lettere come incognite.
Si definisce disequazione una disuguaglianza in cui figurino una o più lettere come incognite.
disequazionidisequazioni
2x – 8 > 0
primo membro secondo membroSe l’incognita compare solo al numeratore la disequazione si dice intera, altrimenti fratta
Se figurano altre lettere oltre l’incognita la disequazione si dice letterale, altrimenti numerica
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disequazionidisequazioni
frazionaria
intera
Intera parametrica
frazionaria parametrica
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disequazionidisequazioni
soluzionesoluzione
Un numero è una soluzione di una disequazione se,
sostituito all’incognita, la trasforma in una
disuguaglianza vera
10 è una soluzione di questa disequazione 2x – 8 > 0
infatti 2x10–8=12 > 0
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disequazionidisequazioni
DominioDominio
Il dominio di una disequazione in una
variabile è l’insieme dei valori (generalmente infiniti)
che, sostituiti alla variabile, trasformano la
disequazione in una disuguaglianza vera o
falsaLa disequazione a destra ha per dominio tutti i numeri reali (è definita
per qualunque valore di x) quindi DR2x – 8 > 0
La disequazione a sinistra non è definita per x=3 (si annulla il denominatore)
quindi D=R-3
2x-8x-3 > 0
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disequazionidisequazioni
DominioDominio
2x–8 > 0
2x-8x-3 > 0
Y=
2x–
8
2x-8x-3
y=
x=
3
La retta è definita da - a + ; esiste quindi un valore di y per qualunque valore reale di x D=R
L’iperbole è definita da - a + , tranne per x=3 perchè il denominatore si annulla, quindi D=R-3
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disequazionidisequazioni
Insieme delle
soluzioni
Insieme delle
soluzioni
L’insieme delle soluzioni è l’insieme di tutti i
valori (generalmente infiniti) che, sostituiti all’incognita,
trasformano la disequazione in una disuguaglianza veraTutti i numeri reali > di 4
costituiscono l’insieme delle soluzioni di questa disequazione
2x – 8 > 0ovvero S=xRx>4
2x-8x-3 >0
Per questa disequazione invece S=xRx>4x<3
il grafico consente di comprendere meglio
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disequazionidisequazioni
2x–8 > 0
2x-8x-3 > 0
Y=
2x–
8
2x-8x-3
y=
x=
3
L’insieme delle soluzioni è costituito da tutti i valori di x per cui le disequazioni diventano disuguaglianze vere.
Graficamente ciò corrisponde ai valori di x per cui y>0 (linea sul semipiano
delle ordinate positive) quindi:
Insieme delle
soluzioni
Insieme delle
soluzioni
S=xRx>4
S=xRx>4x<3
Per la retta
Per l’iperbole
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Un’equazione determinata ammette un numero massimo di soluzioni pari al suo grado.
x²-5x+60 S=xR x2 x3
disequazionidisequazioni
la disequazione Ammette questo insieme di soluzioni
Una disequazione determinata ammette, in generale, infinite soluzioni che fanno parte di uno o più intervalli, limitati o illimitati.
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disequazionidisequazioni
Anche in questo caso, il significato della soluzione emerge con chiarezza dalla rappresentazione grafica.La soluzione della disequazione coincide con la soluzione del seguente sistema:
y = x²-5x+6
y 0
x²-5x+60
Si tratta quindi di trovare i punti della parabola, rappresentata dalla prima equazione, comuni al semipiano delle ordinate maggiori o uguali a zero
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disequazionidisequazioni
y=x²-5x+6
S=xR x2 x3
y = x²-5x+6
y 0
x²-5x+60
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disequazionidisequazioni
S=xR x2 x3
y = x²-5x+6
y 0
x²-5x+60
L’insieme delle soluzioni si può rappresentare
anche con le parentesi
(- ;2] [3;+ )8 8
Le parentesi quadre [ ] indicano che l’estremo è compreso, le tonde ( ) indicano che l’estremo è escluso
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Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione lo stesso numero o la stessa espressione algebrica definita nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data.
Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione lo stesso numero o la stessa espressione algebrica definita nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data.
Principi di equivalenza delle Principi di equivalenza delle disequazionidisequazioni
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero positivo o per la stessa espressione algebrica sempre positiva nello stesso dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data.
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero positivo o per la stessa espressione algebrica sempre positiva nello stesso dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data.
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero negativo o per la stessa espressione algebrica sempre negativa nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data solo se si cambia il verso del simbolo di disuguaglianza.
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero negativo o per la stessa espressione algebrica sempre negativa nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data solo se si cambia il verso del simbolo di disuguaglianza.
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FFFFFiFiFiFiFinFinFinFinFineFineFineFine
Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo
