ODEPROBLEMA DI CAUCHY IN 1-D

Sia f : I x RR, I R. Cerchiamo y: I R con y derivabile in I:

00)(

))(,('

yxy

xyxfy x I (1)

Se x t tale problema è detto PROBLEMA AI VALORI INIZIALI.

Supponiamo che siano verificate le condizioni di esistenza e unicità della soluzione.

Teorema di esistenza e unicità

Sia G n+1 un dominio e f : G n una funzione continua che soddisfi la condizione di Lipschitz:

vuLvxfuxf ),(),(

(x,u),(x,v) G e qualche costante L > 0.

(x0,u0) G [x0-a, x0+a] con a > 0 tale che il problema

abbia soluzione unica in tale intervallo.

00 )(

),('

uxu

uxfu

SUCCESSIONE DI APPROSSIMAZIONI DELLA y

Esistono metodi numerici ad un passo o a più passi. DEF: Un metodo numerico si dice ad un passo se n 0, yn+1 dipende solo da yn.

METODI AD UN PASSO

Sviluppo in serie di Taylor di y(x) attorno xi.Supponendo che y(x) sia sufficientemente regolare

tronchiamo al k-esimo termine :

...)(''2

)(')()(2

1 iiii xyh

xhyxyxy

)(!

...)(''2

)(');,(

);,(

)(1

1

ik

k

iiiik

iikii

xyk

hxy

hxyhyxT

con

hyxhTyy

Poiché è richiesto il calcolo delle derivate non è conveniente. E’ meglio usare metodi ad un passo che utilizzano l’informazione al passo precedente per calcolare la soluzione al passo successivo.

);,(1 hyxhyy iiii

METODO DI EULERO

Ponendo k = 1 si ottiene :

che è il metodo di Eulero in avanti o esplicito. Oppure

che è il metodo di Eulero all’indietro o implicito.

DEF: Un metodo si dice esplicito se yi+1 dipende solo dai valori ai passi precedenti.Un metodo si dice implicito se yi+1 dipende da se stessa attraverso f. Questi ultimi richiedono la risoluzione di un problema non lineare se f non è lineare in y.

),(

),(

111

1

iiii

iiii

yxhfyy

yxhfyy

METODO DEI TRAPEZI

][2 11 iiii ffh

yy

dove si è posto . La suddetta formula è stata ricavata integrando la (1) ed applicando il metodo del trapezio.

La formula appena esposta è stata ricavata applicando il metodo del trapezio ed utilizzando il metodo di Eulero in avanti per calcolare le yi+1.

),( iii yxff

METODO DI HEUN

))],(,([2 11 iiiiiii yxhfyxffh

yy

ANALISI DEI METODI AD UN PASSO

Indicando, come prima, con y(xi+1) la soluzione in xi+1 e con yi+1 la soluzione approssimata in xi+1 si ha :

dove è l’errore al passo i+1. Riscriviamolo come

La quantità τi+1(h) è detta errore di troncamento locale.Definiamo, invece, errore di troncamento globale la quantità

τ dipende dalla soluzione del problema di Cauchy.

11

1

));(,()()(

);,(

iiiii

iiii

hxyxhxyxy

hyxhyy

)(11 hh ii

)(max)( 110

hh iNi

La funzione incremento caratterizza completamente il metodo ad un passo ed è tale che

Pertanto, poiché , si ha :

che dà la consistenza del metodo numerico con il problema di Cauchy.

Un metodo di dice consistente quando .

Un metodo si dice consistente di ordine p se , h0. ES.:Dimostrare la consistenza dei metodi di Eulero ed Heun.

))(,()());(,(lim0

iiiiih

xyxfxyhxyy

)(')()(

lim 1

0i

ii

hxy

h

xyxy

0)(lim0

hih

da cui . 0)(lim0

hh

0)(lim0

hh

)()( phh

ZERO - STABILITA’Un metodo numerico del tipo

si dice zero-stabile se

dove Zi e yi sono le soluzioni di : con

Tale stabilità riguarda il comportamento del metodo numerico quando h0. Essa assicura che il metodo sia poco sensibile alle piccole perturbazioni.

);,(1 hyxhyy iiii

CyZCh ii :00 ],0[ 0hh

00

1

000

11

)(

);,(

]);,([

yxy

hyxhyy

yZ

hZxhZZ

iiii

iiiii

i

DEF.: Un metodo si dice convergente se i

Un metodo si dice convergente di ordine p se i

)()( hCyxy ii p

ii Chyxy )(

TEOREMA DI CONVERGENZA

Ip:-y(x) sia soluzione di -yi+1 sia soluzione approssimata, - sia Lipschitziana nella 2a variabile

- -sia

00 )(

))(,('

yxy

xyxfy

);,(1 hyxhyy iiii

vuLhvxhux );,();,(

n

abhvuabh

bax

,,,0

],[

iiiiii hhxyxhxyxy ));(,()()(,max 1

Ts:

Dim.

ma con . Da cui la tesi.

]1[)( )( 0 xxLjjj

jlL

yxyl

Nj ,...,1

nn

nn

n

ii

iiiiii

iiiiiii

iii

l

hL

hLhlhLl

hLhlhLhlhLl

hlhLlhlhLl

hhyxhxyxhl

hyxhyhhxyxhxy

yxyl

)1(

1)1()1(

...

)]1(1[)1()1(

)1()1(

)];,());(,([

);,());(,()(

)(

0

02

12

011

111

0,0 0 l

Poiché la condizione di consistenza è 0 per h0, si ha:

TEOREMA: Un metodo ad un passo è convergente se e solo se è consistente.

Analizziamo più in dettaglio l’errore del metodo di Eulero esplicito. Sia:

l’errore globale, cioè la differenza tra la soluzione analitica e quella approssimata, e sia:

la soluzione ottenuta con un passo del metodo di Eulero esplicito.

),(

)(

*1

11

iiii

iii

yxhfyy

yxyl

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEGLI ERRORI PER METODI AD UN

PASSO

Vediamo come è possibile controllare gli errori nei metodi ad un passo.

Sia y(x) la soluzione di:

y’ = f(x,y)

y (x0) = y0

e sia yi una approssimazione ad y(xi) in qualche xi.

y(xi)-yi rappresenta l’errore globale che è quello che vogliamo tenere limitato da una certa accuratezza e che è difficile da stimare.

Ciò che vogliamo fare è controllare l’errore globale controllando l’errore locale.

• INSERIRE DISEGNO

Vediamo cos’e l’errore locale.

ottenuto con il metodo.

u(x) è una curva integrale di y’=f(x,y) che passa per yi, quindi soddisfa

u’ = f(x, u)

u(xi) = yi

L’errore locale è quindi: u(xi+1)- yi+1

Esso quindi ci dice quanto bene può essere seguita la curva u(x) con un passo. Pertanto l’errore globale e locale sono correlati da:

y(xi+1)-yi+1=[y(xi+1)-u(xi+1)]+[u(xi+1)-yi]

),,(1 hyxhyy iiii

L’errore globale ha quindi due componenti:

i. y(xi+1)-u(xi+1) misura di quanto distano le due curve

integrali y(x) e u(x) (dipende quindi dalla ODE ed è legata alla “Stabilità” del problema);

ii. u(xi+1)-yi misura quanto bene il metodo risolve u’=f(x,u).

u(xi)=yi, è legato al metodo e può essere reso piccolo

aumentando l’accuratezza del metodo (decrescendo il passo h oppure aumentando l’ordine del metodo).

Ricaviamo u(xi+1)-yi:

u(xi+1) = u(xi)+hΦ(xi, u(xi), h)+ht

ma u(xi)=y => yi+1 = u(xi)+hΦ(xi, yi, h)+ht

=> u(xi+1)-yi+1= ht

Supponiamo di usare due metodi, uno di ordine p e uno di ordine q, e vediamo di stimare l’errore locale:

Partiamo per entrambi da (xi, yi):

yi+1 = yi+hФ1(xi, yi, h) p

y’i+1 = yi+hФ2(xi, yi, h) q p<qSi ha:

u(xi+1)=u(xi)+hФ1(xi, u(xi); h)+ht

u(xi+1)=u(xi)+hФ2(xi, u(xi); h) +ht’

yi+1-y’i+1=ht – ht’ ovvero

yi+1-y’i+1=ht+O(hq+1) =>

ht ~ yi+1-y’i+1 e quindi:

u(xi+1)-yi+1≈ y’i+1-yi+1

ASSOLUTA STABILITA’

Tale tipo di stabilità riguarda la propagazione degli errori dei passi precedenti.

Un metodo è assolutamente stabile se, per h fissato, yi è limitato per xi .

Consideriamo il Problema Test:

1)

Sol:

y(t) = et se Re(λ)<0 => lim |y(t)| =0

1)0(

)('

y

tyy

t->0

DEF: Un metodo numerico è assolutamente stabile se yi, soluzione di 1) è tale che:

yi 0 per ti 2)

Poiché yi è funzione di hλ si ha:

Regione di Assoluta Stabilità ≡ {z = hλ є C vera la 2)}

METODO DI EULERO IN AVANTI

Applichiamo il metodo alla 1):

yi+1=yi+hλyi

y0=1 =>

yi=(1+hλ)i

la 2) è vera se: |1+h λ|<1

R.A per Eulero in Avanti:

hλ є C- 0<h<(2/|λ|)

C-={z є C : Re(z)<0}

Per ogni hλ non appartiene a {zєC: |z-1|<1}

METODO DI EULERO INDIETRO

ii hy

)1(

1

METODI DI RUNGE-KUTTA

Tutti i metodi ad un passo possono essere dedotti, come già detto, dallo sviluppo in serie di Taylor:

yi+1=yi+hTk(xi, yi; h)

dove:

Tk(xi, yi, h)=y’(xi)+h/2y’’(xi)+…+h^(k-1)/k! h(k)(xi)

Il calcolo delle derivate di f può essere oneroso. D’altronde, i metodi visti precedentemente sono di basso ordine. Un buon compromesso tra la semplicità dei metodi di basso ordine e la serie di Taylor troncata ad un alto ordine è dato dai metodi di Runge-Kutta.

Rispetto ai metodi Multi-Step, che vedremo più avanti, si ha lo svantaggio che occorrono molte valutazioni della f per raggiungere la stessa accuratezza. L’idea dei metodi di R-K è di costruire formule del tipo:

yi+1= yi+hΦ(xi, yi, h)

Con Φ coincidente con Tk per un certo numero di termini senza l’utilizzo esplicito delle derivate. Per un certo metodi di ordine K:

Φ(xi, yi, h)=A1f(θ1, γ1)+…+Akf(θk, γk)

Per il metodo di Eulero, che può essere interpretato come R-K del 1° ordine, il punto (θ1, γ1) ≡ (x0, y0)

Nei R-K del 2° ordine si hanno i punti:

(xi, yi), (xi+αh, yi+αhf(xi, yi)) =>

Espandiamo f(xi+αh, yi+αhf(xi, yi)) attorno ad (xi,yi):

da cui:

ma:

))],(,(),([ 211 iiiiiiii yxhfyhxfAyxfAhyy

))](),(),(),((),([

)(),(),(),(),(

)),(,(

211

2

iiiiyiixiiiiii

iiiiyiixii

iiii

yxfyxhfyxfyxfAyxfAhyy

hOyxfyxhfyxhfyxf

yxhfyhxf

][2

),()();,( 21 fffh

yxfAAhyx yxiiii

][2

),();,( fffh

yxfhyxT yxiiiik

Quindi, perché si abbia Φ = T2 si deve avere:

A1+A2= 1

αA2 =

che danno luogo ad una famiglia di metodi R-K del 2° ordine. I più noti di tali metodi sono quelli di Eulero modificato, di Heun e di Raltson.

Eulero modificato: α = A2 = 1 A1 = 0

2

1

2

1

)) y,f(x 2

h y,

2

hhf(xyy iiiii1i

Che è equivalente a calcolare con Eulero:

Calcolare la pendenza:

ed usarla per tutto l’intervallo

Disegno

2

hi

y

),(22

1 iiii

yxfh

yy

),('2

1

2

1

2

1

iii

yxfy

),(2

1

2

111

ii

i yxhfyy

Poiché tali metodi sono ad un passo e’ semplice rendere tale passo adattativo, cioè tale da ridurre l’errore.

Per ridurre l’errore e’ necessario poterlo stimare. Ciò può essere fatto in due modi:

1. stesso metodo con due passi diversi (h, 2h)

2. due metodi di ordine diverso ma con lo stesso numero di stadi

)()()( 2111

pp

nnn hhyxyy

METODI DI RUNGE-KUTTA A PASSO VARIABILE

caso 1)

Metodo di ordine p. Partendo dal dato esatto: y(xn) = yn l’errore locale sia minore di ε. Si ha:

dove Φ(yn) è una funzione incognita.

Stesso calcolo con passo 2h a partire da xn-1

Sottraendo:

)()()( 2111

pp

nnn hhyxyy

)()2)(()( 211

^1

pp

nnn hhyxyy

12~)(

)()()1(2

1

^11

11

2^11

11p

pnn

nn

pnnn

p

yyyxy

hyyyh

Se |ξ| < ε si prosegue altrimenti si dimezza il passo. In generale, il passo raddoppia se

caso 2)

come già visto, usando 2 schemi di ordine p є p+1 la differenza tra le soluzioni approssimate dà una stima dell’errore di troncamento locale per lo schema di ordine inferiore.

Metodo di Heun, α=1, A1=A2=½

è usato per rendere esplicito il metodo dei trapezi

12 p

))],(.(),([21 iiiiiiii yxfyhxhfyxfh

yy

Metodo di Ralston, α=3/4, A1=⅓, A2=⅔

tale metodo da il minimo errore di troncamento

yi+1=yi+(h/3)(k1+2k2)

k1=f(xi, yi)

k2=f(xi+(3/4)h, yi+(3/4)hk1)

Metodi R-K espliciti generali

yi+1= yi+h

k1=f(xi, yi), kj=f(xi+ αjh, yi+h ) per j=2,…n

m

jji kc

1

1

1

j

lljl k

Il metodo più noto è quello del 4° ordine:

Metodi di ordine maggiore non sono convenienti poiché richiedono un numero troppo grande di valutazioni della f.

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

)22(6

34

23

12

1

43211

khyhxfk

kh

yh

xfk

kh

yh

xfk

yxfk

kkkkh

yy

ii

ii

ii

ii

ii

METODI MULTISTEP

Integriamo la ODE tra tn-j e tn+k

e applichiamo una quadratica di Newton-Cotes poiché supponiamo la suddivisione uniforme dell’intervallo.Utilizziamo q+1 punti: tn-q, tn-q+1, …, tn

e costruiamo il polinomio di Lagrange, integrando poi in [tn-j, tn+k]

kn

jn

t

t

jnkn dttytftyty ))(,()()(

q

il

l lnin

lni

q

i iinin

xx

xxxL

xLytfxpq

0

0

)(

)(),()(

Integrando il polinomio si ha:

k, j q determinano vari metodi multistep

k=1 j=0 ADAMS- BASHFORTH esplicitik=0 j=1 ADAMS- MOULTON implicitik=1 j=1 NYSTRÖM

k

j

q

il

l

t

t

iqi

lll

q

iinqijnkn

dxli

lxdttL

q

ytff

fhyy

kn

jn0

0

)(1

),(

Metodi Adams-Bashforth (espliciti)Sono basati sulla quadratura interpolatoria dell’integrale:k=1, j=0

Se q=0 EULERO ESPLICITO : yn+1=yn+hfn

Metodi Adams-Moulton (impliciti)Sono basati sulla quadratura interpolatoria dell’integrale:k=0, j=1

preferibile riscriverlo come

Se q=0 EULERO IMPLICITO: yn+1=yn+hfn+1

Se q=1 CRANK-NICHOLSON (TRAPEZI):

in

q

i qinn fhyy 01

101 in

q

i qinn fhyy

in

q

i qinn fhyy 01

][2 11 nnnn ffh

yy

Metodi di Nyströmk=1, j=1

Se q=0 METODO DEL PUNTO MEDIO

METODI PREDICTOR-CORRECTOR

Risolvendo un problema di Cauchy non lineare con uno schema implicito è richiesto, ad ogni passo, la risoluzione di un’equazione non lineare. Si possono usare: metodi di Punto Fisso, metodo di Newton, … Ciò richiederà un guess iniziale vicino alla soluzione sia per problemi di convergenza, sia per diminuire il numero di iterazioni. Ciò può essere ottenuto usando in coppia un metodo

in

q

i qinn fhyy 011

),(211 nnnn ythfyy

Ciò può essere ottenuto usando in coppia un metodo esplicito (predictor) che fornisce un buon dato iniziale per il metodo implicito (corrector) che è generalmente più stabile.Un esempio di tale metodo è quello di Heun

in cui il predictor è Eulero in avanti e il corrector è il metodo di Crank-Nicholson

P.

C.

L’ordine di convergenza è q se p ha ordine q-1 e c ha ordine q.Generalmente si usano i metodi di Adams in coppia (2-3, 3-4) per ottenere PC di ordine pari a quello del corrector.

)~,(),([2

),(~

)],(),([2

111

1

11

nnnnnn

nnnn

nnnnnnn

ytfytfh

yy

ythfyy

hfytfytfh

yy

Metodi BDF (Backward Differentiating Formula)

Famiglia di schemi complementari a quelli di Adams. Lì si usa una quadratura per approssimare l’integrale, nei BDF si approssima la y’.Se si hanno q+1 punti e si conosce un’approssimazione della soluzione nei punti n-q+1, …, n+1 si può determinare una pq la cui derivata interpola la y’.Calcoliamo la derivata in uno dei nodi tk

Se k=n, il metodo è esplicito; se k=n+1, implicito. In generale:

ESPLICITO

IMPLICITO11

0

10

nin

q

i

li

nin

q

i

li

hfy

hfy

)y ,f(t )(tp’ kkk

1,...,1 nqnl

dove i coefficienti sono dati dalle derivate del polinomio di Lagrange.Es.: q=1 Eulero avanti q=2 Punto Medio q=3 Instabile

LMM (LINEAR MULTISTEP METHODS)

Una generalizzazione dei metodi multistep che include i metodi di Adams e i metodi BDF, è data dalla famiglia dei metodi multistep lineari.Un metodo multistep lineare ha la forma:

q

in

q

iiini fhy

01

0

CONVERGENZA

L’analisi della convergenza è più complicata poiché:1. La sol. approssimata è influenzata pure dagli errori nei valori

di partenza:

lj = yj - y(xj) j=0,..,k-1

Tali valori si dicono CONSISTENTI se

j=0,..,k-1.

2. I metodi M-S possono essere instabili. Per mostrare ciò, vediamo un esempio:

y

yy'

0)()(lim0

jj

hxyhy

222

221

2

12

1

1

012

2

hhr

hhr

xhx

hfyy nnn

Soluzione: y(x)=ex. Tale problema è detto Problema Test. Per >0 il problema è instabile. Analizziamo il comportamento di qualche metodo multistep nel caso <0.Consideriamo il metodo del Punto Medio

che ha l’equazione, alle diff. associata:

le cui soluzioni sono:

)(12

)(112

1

33

22

12

22

22

21

22111

210

2211

hOh

er

hOh

re

rrey

y

rry

h

h

h

nnn

che ha sol. generale

Ricaviamo 1 e 2 :

per h0, 11, 20

per >0, | r1|>| r2|>0 termine dominante: 1 r1n

per <0, 0<r1<1, r2<-1 termine dominante: 2 r2n

Pertanto per <0 la soluzione diverge da quella vera.

Questo perché la ODE ha una sola soluzione mentre l’equazione alle differenze di ordine K ha k soluzioni di cui una corrisponde alla vera soluzione per aversi convergenza è quindi necessario che le altre soluzione rimangano limitate. Analizziamo quindi il comportamento delle equazioni alle differenze relativamente al problema della stabilità.

DEF: L’equazione alle differenze

con coefficienti a0,…,ak-1 costanti è detta stabile se tutte le sue soluzioni sono limitate.

1

0

0k

mmnmkn zaZ ,...1,0n

Per cercare delle condizioni facilmente verificabili per stabilire la convergenza di un metodo MS partiamo dall’errore locale di discretizzazione

Abbiamo visto che il metodo è consistente se 0 per h0.E’ detto di ordine p se:

Se y(x) è sufficientemente differenziabile si può esprimere h come

Infatti espandendo y(x+hj) e y’(x+hj) attorno x si ha

...2

)()(''')('')(')('

...2

)()('')(')()(

...)(...)(')(

)(')(

2

2

)(10

0 0

hjxyxhjyxyhjxy

hjxyxhjyxyhjxy

xyhcxhycxych

hjxyhhjxyh

ppp

k

j

k

jjj

)( 1 phOh

che dà h se poniamo

Se c0=c1=…..=cp=0, cp+10, il metodo è di ordine p.

Vediamo le proprietà di un metodo convergente.

Se il metodo multistep converge, c0 deve essere nullo.

...

)...2()!1(

1)...2(

!

1

...

)...(...2

...

12

1121

10211

100

knn

knn

n

kk

n

kn

kn

c

kc

c

Sia dato il problema

sol: y(x)=1

Fissiamo e verifichiamo n ed h:

0Supponiamo il metodo convergente (non alla soluzione y=1):

per h0

0jk k fissato

k

jjnj y

y

y

0

0

1)0(

0'

x

0)( xhknx

)()(

)(

hxyy

xyy

jsn

kn

0)(lim0

hjh

0

Dimostriamo ora che un metodo convergente alla soluzione ha ordine almeno 1. Sia dato il problema:

sol: y(x)=x

0

)()(0

0)()(

0

00

0 0

c

xyxy

hxy

k

jj

k

jj

k

j

k

jjjj

k

j

k

jjjnj hy

y

y

0 0

0)0(

1'

Una soluzione è data da : con

Se

E poiché la soluzione è y(x)=x :

Un metodo che è almeno di ordine 1 è detto consistente allora una condizione necessaria per la convergenza è la consistenza ma essa non è sufficiente. Solo se anche la condizione della radice è soddisfatta allora si ha convergenza.

ihMyi

k

jj

k

jj

jM

0

0

hMkny

hknx

kn )(

)(

k

jj

k

jj cjM

01

0

01

Infatti, se il metodo è convergente, lo è pure per il problema

sol.: y(x)=0

che è soddisfatta da:

dove ri è soluzione del polinomio caratteristico.

Poiché si abbia convergenza, si deve avere:

ma yn+k=h(ri)n+k

k

jjnj y

y

y

0

0

0)0(

0'

mim rhy )(

10)(

)(

0

ikn

kn

rxyy

xyy

h

Se ri non è uno zero semplice, ma ha molteplicità m:

Per j = n+k:

ma

La condizione della radice è:

1) se ri è uno zero semplice del polinomio caratteristico

2) se ri non è uno zero semplice del polinomio caratteristico

ji

qjj rhy )( ,...1,0j 1mq

xknh )(

10

ikn ry

n

kni

qkn rknhy

)()(

1ir1ir

Per un metodo consistente, il polinomio caratteristico ha una radice r1=1 detta radice principale. Infatti, in tal caso

I metodi

hanno p(x) = x2-1 e quindi soddisfano il criterio della radice. Sono consistenti e quindi convergenti. Eppure non sono buoni da usare in pratica. Abbiamo già visto che per i MS non basta la sola convergenza poiché le equazioni alle differenze hanno soluzioni in più rispetto alla ODE. Tali soluzioni, dette Parasitiche, devono rimanere piccole rispetto alla radice principale e ciò porta al concetto di stabilità relativa.

]4[3

2

0)1(0

212

12

00

nnnnn

nnn

k

jj

fffh

yy

hfyy

pc

Applicando il metodo al problema test:

sol: y(x)=ex

si ha

Soluzione del Problema Test:

Quindi ym è una buona approssimazione di y(xm) se: 1y0, i0 i=2,…,k 2) ri<<ex i=2,…,k

• E’ soddisfatto se i valori di partenza sono buoni• E’ relativo alla stabilità relativa

mhm

pmkk

mmhm

eyxy

hrrey

y

yy

0

1221

)(

)()(....)(

1)0(

'

Un metodo MS si dirà relativamente stabile se:

|r1|>|ri| i=2,..,k

L’intervallo di stabilità relativa è il più grande intervallo (,), tale che il metodo è R.S. h (,). Se è grande, h dovrà essere piccolo. Con tale tipo di stabilità si controlla l’errore relativo.Infatti:

Stabilità assolutaSpesso è importante fare un’analisi di stabilità tenendo il passo h fissato, e ciò permette di controllare l’errore assoluto, un metodo è assolutamente stabile se gli errori ai passi precedenti non aumentano.

].....1[)(111

2

1

211

m

kk

m

mm r

r

r

rry

Tale concetto si applica anche ai metodi onestep, come abbiamo già visto applicando il metodo M-S

al problema test

t>0

Si ha:

1

0 0

),(k

j

k

jjnjnjjnjkn yxfhyy

0)(

1)0(

)()('

0

1

0 0

jn

k

jjj

k

j

k

jjnjjnjkn

yh

yhyy

y

tyty

Per x=xn, si ha:

e sottraendo

E quindi gli errori soddisfano un’equazione alle differenze le cui soluzioni sono:

njn

k

jjj

njn

k

jjj

hlh

hxyh

)(

)()(

0

0

k

jj

mkk

mm

h

hrrl

0

11 )(....)(

Diremo che un metodo M-S soddisfa la condizione assoluta delle radici se esiste h0>0:

|rj(h)|<1 j=0,..,k hh0

Pertanto C.N.S. affinché un metodo M-S sia assolutamente stabile, ovvero che

|yn|0 per tn

è che esso soddisfi la condizione assoluta delle radici.

L’assoluta stabilità implica la zero stabilità, mentre il viceversa non è vero.