Dinamica - users · Misura dinamica della forza E’ il problema generale della dinamicaproblema...

Sperimentalmente è una estrapolazionead un caso ideale

(bisogna astrarredagli attriti)

superficie scabra

superficie levigata

sup. ancor più levigata

L’argomento di Galileo:

Galileo fu il primo ad osservare che il moto è altrettanto “naturale” della quiete

Se un corpo non interagisce con altri corpila suavelocità non cambia

Se inizialmente fermo rimane in quiete, altrimenti si muove con moto rettilineo uniforme

DinamicaDinamica

Problema generale: determinare il motodi un corpo note le forzeapplicate

Prima Legge di Newton Prima Legge di Newton

In assenza di forze applicateun corpo persevera nel suo stato diquiete o di moto uniforme

Legge di inerziaLegge di inerzia

Es.1. Caduta dei gravi: Es. 2. Moto circolare

02

≠=R

vaN

ovvero se la forza totale ovvero se la forza totale èè nullanulla

vr

costante ( ) tvrtrrr += 0

che succede se si rompe il filo?

quindi rettilineo

in prossimità della superfice terrestre

2/81.9 smga ≅=r

vr

Nar

Tar

Se il moto non è rettilineo uniforme (cioè se )

deve esserci qualche forza in azione

0≠ar

Considerazioni sullaPrima Legge di Newton, Prima Legge di Newton,

Ma i moti sono relativi ! Ma i moti sono relativi ! In quale sistema di riferimento è valida la 1a Legge di Newton?

Sistema inerzialeSistema inerziale: : un sistema in cui vale la 1a legge di Newton si dice inerziale.

Come si stabilisce che un sistema di riferimento è inerziale? • se sappiamo per certo che su un corpo non agiscono forze, verifichiamo se a=0• In pratica, si procede per approssimazioni successive.

Enunciato alternativo della 1a Legge: Esiste almeno un sistema inerziale Esiste almeno un sistema inerziale ……

Se un sistema di riferimento è inerziale, tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso sono inerziali.

• Sistema solidale con la distribuzione di massa “media” dell’universo.In pratica si utilizza la radiazione cosmica di fondoradiazione cosmica di fondo.

•• In praticaIn praticaanche la Terrapuò andar bene, per moti limitati nel tempo e nello spazio

skmvS /2369±=

Forza e MassaForza e Massa

La presenza di accelerazione (variazione di velocità) indica la presenza di qualche forza(ovvero interazionicon altri corpi). Si può misurare la forza mediante l’accelerazione.

Definizione: l’accelerazione del corpo campione (a0, in m/s2) misura la forza totale agente su di esso (espressa in Newton)

F

corpo campione

a0

piano “senza attrito”

se a0=1m/s2 diciamo che F = 1Nse a0=3m/s2 allora F = 3N ....

con la stessadirezione e versodell’accelerazione. La forzaè una grandezza vettoriale.

Misurata F, mediante applicazione al corpo campione, la si applica al corpo X. In generale

F

aXX

0aaX ≠

si osserva cheaF / per un dato oggetto, non dipende dalla forza

0/ aaX per due oggetti dati, non dipende dalla forza

Forza e MassaForza e Massa

BABAN

N mmma

F

a

F

a

F+===== +...

2

2

1

1

[ ]

[ ] N

kg

2==

=

s

mkgF

m

FA

B

La massaè unagrandezza scalare. Additiva. Grandezza fondamentalenel S.I.

caso unico fra le unità di misura del S.I. l’unità di massa è definita come massa del campioneconservato a Sèvres

Per ora consideriamo oggetti “puntiformi” dotati di massa. Si parla di punto materialeo particella

ma

F

a

F

a

F

XN

N

XX

==== ...2

2

1

1 massadel corpo

La massa è unacostanteche dipende solo dal corpo.Per definizione, l’oggetto campione ha massa 1kg.

se F è in Newton e a in m/s2

il rapporto è la massa, in kg.

2a Legge di Newton22aa Legge di NewtonLegge di Newton

amFr=Dalle esperienze precedenti risulta:

Legge fondamentale della dinamica Legge fondamentale della dinamica

OssOss. 1: . 1: Legge vettorialeLegge vettoriale

=

=

=

ZZ

YY

XX

maF

maF

maF

F

m

a: direzione e verso di F

OssOss. 2:. 2: FF è la forza totaleforza totaleo risultante delle forzerisultante delle forze

F1

F2

F1

F2

FTOT=R

amFTOT

rr=

2a Legge di Newton22aa Legge di NewtonLegge di Newton

OssOss. 3. . 3. EE’’ ll ’’ eequazione del motoquazione del moto

dt

vdmF

r

=2

2

dt

rdmF

r

=

Nota la forza F(t) o F(r) (e le condizioni iniziali) si può ricavare v(t) o r(t)

OssOss.4.4. . Misura dinamica della forzaMisura dinamica della forza

E’ il problema generale della dinamicaproblema generale della dinamica.

CT aaarrr += con

R

vaC

2

=

R

vmmaF CC

2

==

Rv

FC

⇒

Es: in un moto circolare uniformela forza totale è diretta verso il centro, si dice che è “centripeta”

Strategia per la risoluzione dei problemi: individuare le forze agentiindividuare le forze agentie applicare la 2a legge.

CT FFFrrr

+=

è solo un problema matematico

Nota l’accelerazione adi un corpo di massa m amFTOT

rr=

in generale:

Esempi di misura dinamica della forza Esempi di misura dinamica della forza

Un aereo di massa m sta decollando con velocitàcostante. Determinare la forza totale agente

0

0cost

==

=⇒=

amF

av

TOT

rr

rr

Un’auto di massa m ha accelerazione a.Quanto vale la forza totale agente sull’auto?

portanza

pesoresistenza aria

spinta

Un aereo si muove con moto circolare uniforme su una circonferenzadi raggio R. Detta v la velocità in modulo, determinare la risultante delle forze agenti.

NT aaarrr +=

0

22

=

==

T

N

a

RR

va ω

NCTOT amFFrrr

==⇒ R

vmFTOT

2

=

Osservazione:moto uniformemente accelerato equivale aFtot costante.

∫ ∫=⇒=⇒=2

1

2

1

t

t

t

t

vmddtFvmddtFdt

vdmF

rrrrr

r

∫=2

1

t

t

dtFIrr

Impulso della forza

Esempio. Moto 1D con forza costante. ( )0vvmFt −= cioè

Formulazione integrale della 2Formulazione integrale della 2aa legge di Newton: Teorema delllegge di Newton: Teorema dell’’ impulsoimpulso

[ ]s

mkgNsI ==

vmprr

=quantità di moto

[ ] ][ INss

mkgp ===

dt

pdamF

rrr

==

atvtm

Fvv +=+= 00

Formulazione differenziale Formulazione integrale

pvmIrrr

∆=∆=

2a legge di Newton

2

2

0

1c

v

vmp

−=

rr

2

2

0

1c

v

mm

−

=In Meccanica Relativistica:

m0: massa a riposo

Con questi cambiamenti, la 2a Legge resta valida nella forma:

Limitazioni della 2Limitazioni della 2aa Legge della dinamica. Legge della dinamica.

cv <<

D<<λ Al livello fondamentale, la dinamica di atomi, molecole, particelle elementari,si descrive mediante la Meccanica quantistica.

sistema inerzialeLegge valida per “forze reali” solo se il sistema è inerziale. E’ possibile estendere la legge ad un sistema non inerziale a patto di aggiungereopportune “forze apparenti”.

La 2a legge di Newton vale solo per velocità“non relativistiche”

dt

pdF

rr

=

Problemi aperti, di attualitProblemi aperti, di attualitàà

L’anomalia del Pioneer

velocità di rotazione galattica

Problemi di attualitProblemi di attualitàà

andamento osservato

andamento atteso

fra le soluzioni proposte c’è una modifica della legge di Newton, che non sarebbe più valida per accelerazioni molto piccole:

2100 /102.1 smaa −⋅=<

Phys. Rev. Lett. 98 (2007)

pare che la 2a legge sia valida anche per accelerazioni molto piccole (non conclusiva)

velocità di rotazione vs. distanza per le stelle di una galassia.

2a L.Newton

F1

F2

F3

EEquilibrio di un punto materialequilibrio di un punto materiale

Equilibrio di 2 forze: Equilibrio di 2 forze:

F1 F2

−=

−=

−=

ZZ

YY

XX

FF

FF

FF

12

12

12

Forze opposteForze opposte

Equilibrio di 3 forze:Equilibrio di 3 forze:

Forze sullo stesso pianoForze sullo stesso piano

=++

=++

=++

0

0

0

321

321

321

ZZZ

YYY

XXX

FFF

FFF

FFF

P

T

P

N12

21 0

FF

FFrr

rr

−=

=+

0321 =++ FFFrrr

( )213 FFFrrr

+−=

3a Legge di Newton33aa Legge di NewtonLegge di Newton “di azione e reazione”

Le forze sono dovute a interazione mutua fra oggetti fisiciinterazione mutua fra oggetti fisici. Esistono sempre in coppiasempre in coppia.

A

BFA FB

NotaNota: il fatto che FA+FB=0 non significa che niente si muove, anzi!:. FA ed FB agiscono su corpi diversi

Le forze della coppia sono

•• opposte lopposte l’’ una alluna all’’ altraaltra•• dirette lungo la congiungentedirette lungo la congiungente

(*) Non sempre, v. ad es. forza magnetica fra cariche in movimento. In questo corso si supporrà che sia sempre vero.

BA FFrr

−=

A

AFr

B

BFr

AFr

BFr

FTFL

Esperimento di Newton

LocomozioneLocomozioneterrestreterrestre

Locomozione Locomozione in un fluidoin un fluido aereo o nave ad elica

Moto a reazioneMoto a reazione

3a Legge della Dinamica33aa Legge della DinamicaLegge della Dinamica

forza esercitatasul fondo stradale

forza agente sull’auto

elica

forza esercitatasull’aria

forza agentesull’aereo

in questo caso non è necessario un mezzo esterno

forza esercitatasul pavimento

forza agentesulla persona

GravitazionaliGravitazionaliinterazioneinterazionefrafra massemasse

ElettromagneticheElettromagnetiche

FortiForti

DeboliDeboli

Attrattiva, raggio d’azione infinitoDomina la dinamica celeste. Forza peso ecc.

Interazioni fra cariche elettricheInterazioni fra cariche elettriche.Attrattiva o repulsiva, raggio infinito. Domina interazioni atomiche/molecolari

Interazione fra quarkInterazione fra quark.Molto complessa. Corto raggio (<10-15 m) Domina struttura e interazioni nucleari, dinamica stellare, primi istanti dell’universo

Interazione fra ‘cariche deboli’. Decadimento beta. Importante nell’evoluzione stellare.

Tutte le forze sono riconducibili a 4 interazioni fondamentali

Interazioni fondamentaliInterazioni fondamentali

Tutte le forze nellTutte le forze nell’’ esperienza comune hanno natura gravitazionale o elettromagneticaesperienza comune hanno natura gravitazionale o elettromagnetica. .

Classificazione “pratica” delle forze trattate nel corso

Forza gravitazionale

Forza elettrostatica Forza di Lorentz

Forza elettromagneticaForze a distanzaForze a distanza

Forza elasticaAttrito viscoso/ resistenza del mezzoForza muscolare, ....

Reazione normaleTensione di una fune/filo Attrito staticoAttrito dinamico

Forze di Forze di ““ contattocontatto””Reazioni vincolariReazioni vincolari

Nota: le reazioni vincolari sono le forze più difficili da trattare: bisogana analizzare il sistema fisico caso per caso.

Forza gravitazionaleForza gravitazionaleo Forza pesoForza peso

g

280665.9 smga ==

Tutti i corpi, in un medesimo luogo, cadono con la stessa accelerazione(nel vuoto)

PgmamFrrrr

===quindi deve agire unaForza peso (o Peso)Forza peso (o Peso)

L’indipendenza di g dalla natura dei corpi è verificata con alta precisione (già da Newton) e vale per ogni forma di materia (inclusa l’antimateria.

• modulo varia leggermente con la latitudine (9.780m/s2 all’equatore, 9.832m/s2 ai poli)

• e con l’altezza (a 10km diminuisce del 0.3%, -10% a 345km)

• “praticamente” campo uniforme (devia di 0.54’ alla distanza di 1 km)

• altre deviazioni locali dovute alla non sfericità della terra

forza proporzionale alla massaproporzionale alla massa: la massa di un corpo si può misurare dal suo peso (bilancia)

può essere molto diversa su altri pianeti o corpi celesti.

attrazione gravitazionalefra la massa del corpo e la massa della Terra.

Quando la forza gravitazionale si può considerare costante si parla di forza peso.

valore medio sulla superficie terrestre

gr

Moto di un corpo soggetto alla sola forza pesoMoto di un corpo soggetto alla sola forza peso

amFrr

=

amgmrr =

garr = costante

( ) tgvtvrr += 0

( ) 200 2

tg

tvrtrr

rrr ++=

l’asse Y verticale, orientato in sul’asse X orizzontale, in modo che il vettore v0 si trovi nel piano XY

(costante)

( )

( )

=

−+=

+=

0)(2

200

00

tz

tg

tvyty

tvxtx

Y

X

Scegliendo:

il moto parabolico di un “proiettile” èdunque il moto più generale in un campo gravitazionale omogeneo

Reazione NormaleReazione Normale

P

N

mgPN

amPN

==

==+ 0rrr

Piano orizzontale. In questo caso:

Piano inclinato liscio (cioè senza attrito: per definizioneun piano “che esercita solo forze normali alla superficie”)

θ

θ

sin

cos

mgP

mgP

P

N

=

=

P

NF

N ? Sensazione di peso.

Misura di una bilancia.

=

=⇒

==−

=

θ

θ

θ

θ

cos

sin

0cos

sin

mgN

ga

mamgN

mamg x

y

x

Forza di contatto. Reazione vincolare.

P

N

Reazione normale in sistema accelerato. Distacco per

P

N

PN

PP

x

y

0=N

Sensazione di pesoSensazione di peso

ascensore acceleraverso l’alto

ascensore acceleraverso il basso

mamgNFTOT =−=

( )agmmamgN +=+=

Se a = a = --gg (caduta libera) la sensazione di peso scompare

Se a < a < --gg si ha distacco

che cosa misura una bilancia?

ascensore fermo o in moto uniforme

Nr

Nr

gmr gm

rgmr

Nr

ar a

r

Forze di Attrito radente. Attrito statico.Forze di Attrito radente. Attrito statico.

Il corpo non si muovese F<FlimF

AS mg

N

Questa reazione del piano è detta attrito statico ed è

F

AS mg

NF0

NmgF SS µµ ==lim

( ) NFmgF SS µµ =+= 0lim

F

AS mg

N

AS non dipende dalla superficie d’appoggio

Riassumendo, se lim

lim

FF

NFF S

>=≤ µ NA SS µ≤FAS

rr−=


costante adimensionale dipende dalle superfici a contatto

equilibrio

il corpo scivola

FAS

rr−=


il corpo non scivolaF

fS mg

N

è la forza diforza diattrito statico:

Forza di contatto. Reazione vincolareReazione vincolare.

FS

rr−=f

LIMFF ≤se

Sperimentalmente

coefficiente di attrito statico, adimensionale. Dipende solo dalla natura delle superfici a contatto. Non dipende dallNon dipende dall’’ area di contattoarea di contatto.

NF Sµ=lim

lim

lim

FF

NFF S

>

=≤r

rµ il corpo non scivola

il corpo scivola

Attenzione: Attenzione: Non è NSS µ=f nè tantomeno mgSS µ=f

tranne casi particolari

F

AS mg

N

Quindi NSS µ≤fr


P

N

PN

PP

fS

x

y

Nr

Fr

Sfr

gmr

Nr

gmr

Fr

Sfr

0Fr

Fr

Sfr

gmr

Nr

Se le figure rappresentano situazioni di equilibrio, quanto vale fS nei vari casi?

Piano inclinato con attrito.

==

⇒

==−==−

θθ

θθ

cos

sin

0cos

0sin

mgN

mgA

mamgN

maAmgs

y

xS


possibile purché SSS NA µθµ ≤⇒≤ tan

Il blocco inizialmente in quiete rimane in equilibrio?La strategia è la seguente:

� si suppone equilibrio� si calcola il valore di AS necessario per l’equilibrio� si verifica se è soddisfatta la condizione di equilibrio

• se sì, il problema è risolto• se no, il corpo scivola [usare attrito dinamico (v.)]

componente x

componente y

Condizione di equilibrioCondizione di equilibrio

P

N

PN

PP

AS

x

y

Forze di attrito radente. Attrito dinamico.Forze di attrito radente. Attrito dinamico.

F

AD mg

N

NA DD µ=

l’ attrito dinamico.

Note:

• l’attrito dinamico ha modulo proporzionale ad N

• in genereSD µµ ≤

direzione e verso: opposto al “moto”cioèalla velocità

Fisicamente, l’attrito radente è un fenomeno complesso: interazioni a livello microscopico (es. nanosaldature al contatto). Le formule date rappresentano una schematizzazione del problema.

Forza di contatto. Reazione vincolare

Anche quando l’oggetto slitta (ad es. se F è sufficientemente grande) esiste una forza fra il corpo e la superficie di contatto

Com’è possibile che la forza di attrito non dipenda dalla superficie di contatto? Il fatto è che la superficie di contatto veravera rimane costante.


Nature 430, 2004, p. 1005Nature 430, 2004, p. 1005

Una dimostrazione sperimentale:

Tensione di un filo o fune ideale Tensione di un filo o fune ideale

• è perfettamenteflessibile

• è inestensibile

• ha massa trascurabile


In equilibrio:

solo forze lungo il filo (in trazione)

stessa v, a degli estremi (se il filo trasla parallelo a sè stesso)

stessa tensione (in modulo) in ogni punto

AFr

BFr

ATr

BTr

AA FT =BB FT =

TTT BA ==

in mancanza di equilibrio il risultato è lo stesso, purché la fune abbia massa trascurabile.

In pratica, su ogni sezione della fune agiscono forze opposte

Tsx Tdx

( ) 0≅=+ amTT sxdx

rrr

elemento di filo

0≅mse il filo non è in equilibrio, ma la sua massa è trascurabile


⇒

ATr

BTr

BA TT =

anche cambiando direzione il modulo della tensione non cambia

se la puleggia• è senza attrito • ha massa trascurabile

TTT sxdx ==

Se la puleggia è senza attritoe/o ha massa trascurabile

T1

T2

21 TTrr

=


Fr

1Tr

2Tr

gmr

2

mgF =

Senza attrito, T ha lo stesso modulo in ogni

tratto di fune.

m2 m1

T1

m3

T2T3

( )( )

++=+=

=

ammmT

ammT

amT

3211

322

33

Tratti di filo distinti. Qui le tensioni differiscono. Nell’esempio:


P

F

TTT

se il piano èliscio

=−=−

=

amTT

amTT

amT

121

232

33

Te

nsio

ne

deformazione

Forza elasticaForza elastica

Forza proporzionale alla deformazione(compressione o allungamento)

lavoriamo qui

E’ la forza esercitata da un corpo deformato, per deformazioni piccole e reversibili. Deformazione elastica.

xkF ∆=in modulo

costante elastica della molla[k]=N/m

Forza elasticaForza elastica

Es. molla con estremo fisso.

xkFrr

∆−=

kxxkF −=∆−=

Forza di richiamoproporzionale allo spostamento dell’estremo liberorispetto alla posizione di riposo

asse X

O

∆x

P

ol

ox ll −=∆ dal momento che la molla è orientata come l’asse x

Tratteremo solo molle ideali: • per cui vale sempre F=-kx• di massa trascurabile

(legge di Hooke)

Vettorialmente:

Se si pone l’origine nell’estremo libero (a riposo) e l’asse X è nel verso della molla:

Moto di un corpo soggetto alla sola forza elastica. Moto armonicMoto di un corpo soggetto alla sola forza elastica. Moto armonicoo

−=

−=∆−=

kxdt

xdm

kxxkF

2

2 xxm

k

dt

xd 2

2

2

ω−=

−=

Equazione del moto armonico

)cos()( ϕω += tAtx

txtxv

xxωcos)(

0)0(

)0(

0

0=⇒

=

=

postom

k=ω

la soluzione generale si può scrivere

Le costanti si determinano dalle condizioni iniziali. Ad es.

tv

txvv

xω

ωsin)(

)0(

0)0(0

0

=⇒

=

=

il moto armonico è molto importante: è il moto caratteristico delle piccole oscillazioniintorno alla posizione di equilibrio.

NotaNota: il moto resta armonico anche in presenza di un’altra forza costante (es. peso)

Esempio di piccole oscillazioni intorno allEsempio di piccole oscillazioni intorno all’’ equilibrio. Pendolo semplice.equilibrio. Pendolo semplice.

θ

θωθθ

θθ

22

2

2

2

sin

sin

−≅

−=

−=

=

l

l

g

dt

d

mgdt

dm

Fma TT

l

g=ωg

Tlπ2=mgsinθ

mgcosθ posto

in questa approssimazione il periodo non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni.

se θ<<1 rad

componenti tangenti

componenti radiali

l

l

2

2

cos

cos

vmmgT

vmmamgT N

+=

==−

θ

θ

la tensione dipende dalla velocità

l

RRv

Esempi di moto circolareEsempi di moto circolare

Forza gravitazionale

RR

v

+ e

Forza elettrostatica

Pendolo conico. Tensione del filo

Curva inclinata. Attrito statico e reazione normale

P

N

fS

RR

T

lθ

P

RR

P

N

fS=RR

Attrito statico

curva sopraelevata

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