U.Gasparini, Fisica I1 legge del moto descritta dal vettore: OP(t) r(t) ( x(t), y(t), z(t) ) P x y z...

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U.Gasparini, Fis ica I 1 to descritta dal vettore: OP(t) r(t) (x(t), y(t), z P x y z r(t) y(t) x(t) z(t) “traiettoria” O P 0 s(t) : “coordinata curvilinea” x = x(t) y = y(t) z = z(t) “equazioni parametriche” della traiettoria nel parametro t (tempo) il tempo, ad es. invertendo la funzione x(t) : t= t(x) y = y [ t(x)] = f y (x) z = z [ t(x)] = f z (x) “equazioni della traiettoria” Moto di un “punto materiale” P nello spazio tridimensionale:

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U.Gasparini, Fisica I 1

legge del moto descritta dal vettore: OP(t) r(t) (x(t), y(t), z(t))

P

x

y

z

r(t)

y(t)x(t)

z(t)

“traiettoria”

O

P0

s(t) : “coordinata curvilinea”

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

“equazioni parametriche” della traiettoria nel parametro t (tempo)

Eliminando il tempo, ad es. invertendo la funzione x(t) : t= t(x)

y = y [ t(x)] = f y (x)z = z [ t(x)] = fz (x)

“equazioni della traiettoria”

Moto di un “punto materiale” P nello spazio tridimensionale:

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U.Gasparini, Fisica I 2

v tdr t

dt

r t t r t

t

r

tt t

( )( ) ( ) ( )

0 0

lim lim

r(t)

r (t+ t)

r

O

La velocità é un vettore tangente alla traiettoria :

rP(t)

P(t + t)

drr dr = ds uTt 0

s(t)

versore tangente

v t

dr

dt

ds

dtu v t uT T( ) ( )

velocità scalare

Vettore velocità :

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U.Gasparini, Fisica I 3

dt

tdz

dt

tdy

dt

tdxvvvv zyx

)(,

)(,

)(),,(

Infatti:

Se è nota la funzione (vettoriale) velocità, la legge del moto r(t) si ottiene per integrazione :

dr v t dt ( )

r r t r t dr v t dto

ot

t

( ) ( ) ( ' ) '

r t r t v t dto

ot

t

( ) ( ) ( ' ) '

x t x t v t dt

y t y t v t dt

z t z t v t dt

o

o

o

o

o

o

x

t

t

y

t

t

z

t

t

( ) ( ) ( ' ) '

( ) ( ) ( ' ) '

( ) ( ) ( ' ) '

zzyyxxzyx

zyx

utvutvutvudt

tdzu

dt

tdyu

dt

tdxdt

utzutyutxd

dt

trdv

)()()()()()(

))()()(()(

Componenti cartesiane del vettore velocità

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U.Gasparini, Fisica I 4

a tdv t

dt

d r t

dt( )

( ) ( )

2

2

L’accelerazione ha una componente tangente ed una componente normale alla traiettoria :

C“centro dicurvatura”

a

a

a

T

N

dt

tudtvu

dt

tdvdt

tutvd

dt

tvdta

TT

T

)()(

)(

)]()([)()(

v tuN

( )

(raggio di curvatura)

a = aT uT + aN uN

accelerazione tangente :

accelerazione normale :

dt

tdvtaT

)()(

)(

)(2 tv

taN

Vettore accelerazione

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U.Gasparini, Fisica I 5

uT (t)uT (t+dt)

d

d

uT (t)

uT (t+dt)

duT = d uN

d u u duT T T( ) 2 2 0 du uT T

du

dt

d

dtu

ds

dtu

v tuT

N N N

1 ( )

ds = d

ds

d

/2

Il modulo del versore u T è costante:il vettore d u T

è normale al versore uT

Il modulo del vettore d u T

è uguale a d = ds /

In definitiva:

Accelerazione normale

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U.Gasparini, Fisica I 6

a a a a

d x t

dt

d y t

dt

d z t

dtx y z

( , , )

( ),

( ),

( )2

2

2

2

2

2

adv t

dt

d v t u v t u v t u

dt

dv t

dtu

dv t

dtu

dv t

dtu

d

dt

dx t

dtu

d

dt

dy t

dtu

d

dt

dz t

dtu

d x t

dtu

d y t

dtu

x x y y z z

xx

yy

zz

x y z

x y

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2

2

2

d z t

dtu

a t u a t u a t u

z

x x y y z z

2

2

( )

( ) ( ) ( )

Infatti:

Componenti cartesiane dell’ accelerazione

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U.Gasparini, Fisica I 7

velocità con modulo costante:v

ds t

dtRd t

dtR

( ) ( )

coordinata curvilinea s(t)=R (t)

“velocità angolare”:

d t

dt

( )

s(t)=R (t)

v(t) = R u (t)

(t)

P

O

y

x

uN

)sin,cos(

uT ( sin ,cos )

R

x t R t

y t R t

( ) cos ( )

( ) sin ( )

v tdx t

dtR t

d

dtR t

v tdy t

dtR t

d

dtR t

x

y

( )( )

sin ( ) sin ( )

( )( )

cos ( ) cos ( )

v t v t v t R t tx y( ) ( ( ), ( )) ( sin ( ),cos ( ))

v t R u t vu tT T( ) ( ) ( )

( )t t 0

uT

T

traiettoria

Esempio: moto circolare uniforme

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U.Gasparini, Fisica I 8

a tdv t

dtR t

d

dtR t

a tdv t

dtR t

d

dtR t

xx

yy

( )( )

cos ( ) cos ( )

( )( )

sin ( ) sin ( )

2

2

a t a t a t R t tx y( ) ( ( ), ( )) ( cos ( ), sin ( )) 2

)(cos)(

)(sin)(

tRtv

tRtv

y

x

s(t)

v(t) = R u (t)

(t)

P

O x

uN

( cos , sin )

uT ( sin ,cos )

R

T

a t R u t

v

Ru tN N( ) ( ) ( ) 2

2uN

Moto circolare uniforme (II)

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U.Gasparini, Fisica I 9

v t v t a t dto

ot

t

( ) ( ) ( ' ) '

v t v t a t dt

v t v t a t dt

v t v t a t dt

x x x

t

t

y y y

t

t

z z z

t

t

o

o

o

o

o

o

( ) ( ) ( ' ) '

( ) ( ) ( ' ) '

( ) ( ) ( ' ) '

v v t v t dv a t dto

ot

t

( ) ( ) ( ' ) '

dv a t dt ( )

Invertendo la relazione che definisce l’accelerazione e integrando :

Integrazione della velocità

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U.Gasparini, Fisica I 10

a = g , vettore costante

v t v gdt v g t t

r t r v t dt r v g t t dt

t

t

t

t

t

t

( ) ' ( )

( ) ( ' ) ' [ ( ' )] '

0 0 0

0 0 0 0

0

0 0

r t r v t t g t t( ) ( ) ( ) 0 0 0 0

21

2

g

v 0

r0

traiettoria

Il moto avviene nel piano individuato dai vettori g e v0

Moto con accelerazione costante: moto di un “grave”

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Con opportuna scelta degli assi:

g g

v v v

r x y z

x y

( , , )

( , )

( , , )

,

0 0

00 0 0

0 0 0 0

r t r v t gt( ) 0 0

21

2

x t x v t

y t y v t gt

z t z

x

y

( )

( )

( )

0 0

0 02

0

1

2

posto t0 = 0 :

“equazioni parametriche “della traiettoria

t

x(t)

x0

t

y(t)

z0

z(t)

t

t M

yM

y0

v t v gty M y M( ) 0 0

y y t y v t gt

yv

ggv

g

M M y M M

y y

( ) 0 02

002

02

2

1

2

1

2

tv

gMy 0

y yv

gMy 0

02

2

Equazioni parametriche della traiettoria

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U.Gasparini, Fisica I 12

Equazioni parametriche equazione della traiettoriax x t

y y t

( )

( )

t t x ( )y y t x y x ( ( )) ( )

x t v t

y t y v t gt

x

y

( )

( )

0

0 021

2

Scelta opportunamente l’origine degli assi x0 0

t x v x / 0

y x y vx

vg

x

vyx x

( )

0 0

0 0

21

2

y x y tg xg

vx( )

cos 0

02 2

2

2

“traiettoria” :

v 0

y x( )

xxG“gittata”

angolo iniziale del vettore v0:

xy vvtg 00 /

Equazione della traiettoria

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U.Gasparini, Fisica I 13

y xx

vv

g

vx

xy

x( )

00

02Per y0 0

vg

vxy

xG0

020

.y xG( ) .0

x v v gv

gG x y 22

0 002

/cos sin

“gittata” :

Fissato il modulo di v0 , la gittata è funzione dell’inclinazione iniziale ;

gittata massima :dx

dG ( )

0d

d

(sin cos )

0

sin cos2 2 0

4

xG ( )

2

4

0.

v

g02

2

Gittata nel moto di un grave

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U.Gasparini, Fisica I 14

O

P

v

x

y

z v r

r

(t)

d t

dt

( )

è al piano del moto, con verso definito dalla “regola della mano destra”

r r r v

ds t

dtrd t

dtsin

( ) ( )

2

Infatti:

d t

dt

( )

/ 2

Moto circolare: vettore velocità angolare

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d t

dt

( )

Accelerazione:

a

dv t

dt

d r

dt

d

dtr

dr

dt

( ) ( )

v r

a r r ( )aT

aN

a rT

r a rN ( )

v r

aT

moto decelerato

moto accelerato

Vettore accelerazione angolare

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U.Gasparini, Fisica I 16

O

P

ur

u

r t r t u tr( ) ( ) ( )

r(t)

v

r(t+dt)

d

v tdr t

dt

dr t

dtu r t

du t

dtrr( )

( ) ( )( )

( )

x

y

u tr ( )

u t dtr ( )

du d ur

d

dtu

v t

dr t

dtu r t

d t

dtur( )

( )( )

( )

rv

v

“velocità trasversa”“velocità radiale”

v t

dr t

dtr t

d t

dt

dx t

dt

dy t

dt( )

( ), ( )

( ) ( ),

( )

componenti cartesianecomponenti polari

ur

2 1 costante

du u dur r r 2 2 0 u dur r

Componenti polari della velocità

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a

dv t

dt

d

dt

dr

dtu r

d

dtur

( )

d r

dtu

dr

dt

du

dt

dr

dt

d

dtu r

d

dtu r

d

dt

du

dtrr

2

2

2

2

d

dtu

d

dtur

2dr

dt

d

dtu

a

d r

dtrd

dtu

dr

dt

d

dtrd

dtur

2

2

2 2

22

ar

“accelerazione radiale”

a

“accelerazione trasversa”

In un moto circolare ( r = costante) :

a rd

dtr ar N

22

a rd

dtrd

dtr aT

2

2

u uN r

u uT

Componenti polari dell’ accelerazione

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U.Gasparini, Fisica I 18

1) moto circolare uniforme:

sovrapposizione di due moti armonici sfasati di e di uguale pulsazione lungo due assi ortogonali

x t R t R t

y t R t

( ) cos sin( / )

( ) sin( )

2 equazioni parametrichedella traiettoria

t

x(t)

y(t)

tTT/2

y

x

t=T/4

t=

t=R

la pulsazione del motoarmonico è la velocitàangolare del motocircolare

(t)= t

Composizione dei moti

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U.Gasparini, Fisica I 19

2) moto di una “cicloide”composizione di un moto circolare uniforme di raggio R

con velocità angolare e di un moto traslatorio con

velocità v = R nel piano del moto circolarex t R t Rt

y t R t R

( ) sin

( ) cos

equazioni parametrichedella traiettoria

P

v = RC

moto del punto periferico di una ruota in moto con velocità costante

x

y

3) moto “elicoidale”

composizione di un moto circolare e di un moto traslatoriocon velocità v perpendicolare al piano del moto circolare

x t R t

y t R t

z t v tz

( ) sin

( ) cos

( )

xy

z

Esempi di composizione dei moti