1. Fenomeni ElettromagneticiSi dimostra che nella regione t, ove il campo E è conservativo, esiste...

ElettrotecnicaT Capitolo1

DipartimentodiIngegneriadell’EnergiaElettricaedell’Informazione 1

1. FenomeniElettromagnetici

CaricheelettricheeloromotoLecausedeifenomenielettromagneticiderivanodaunaproprietàdellamateria,lacaricaelet-trica.Ogniparticellaècaratterizzatadaduecaratteristiche:massaecaricaelettrica.Ifenomenielettromagneticisonocausatidallecaricheedalloromoto.• FC– forzadiCoulombo forzaelettricaodanche forzaelettrostatica (Coulombforce,

electricforce,orelectrostaticforce):quandoduecaricheelettrichesonol’unainpresenzadell’altra,sioriginaunaforzacheleattraeochelerespinge:forzaelettricaodancheforzaelettrostaticaoforzadiCoulomb.

• FL – forzadiLorentz(Lorentz force):quadodueparticelle sono inmoto l’unarispettoall’altrasioriginasudiesseunaforzadeviante:forzamagneticaoforzadiLorentz.

CaricaelettricaLaforzadiCoulombcheattraeorespingeduecaricheelet-tricheq1eq2posteadunadistanzad,èespressadallaleggediCoulomb(Coulomb’slaw)ilcuimoduloè:

Quando FC è repulsiva, q1 e q2 sono dello stesso tipo (adesempio due elettroni o due protoni o nuclei di atomi) ehannolostessosegno.QuandoFCèattrattiva,q1eq2sonoditipodifferentetipoedhannosegnoopposto.L’unitàdimisuradellacaricaelettricanelSistemaInterna-zionale(InternationalSystemsofUnits-SI)èilcoulomb[Simbolo:C].Lacaricaelementareè

e=1.6021x10-19CUncoulombècostituitoda1/e=6.241x1018caricheelementari.

Unprotonehacaricaeedunelettroneacarica–e.Innaturanonesistonocarichefrazionediemasolocarichedivaloremultiplodieodi–e.

FC ∝ q1q2

d2



Lacaricaelettricanonpuòesserecreataodistrutta(leggediconservazionedellacarica).Perciòinunsistemaisolatolacaricaelettricatotalenonpuòvariare.

DensitàdicaricaelettricaPerunadistribuzionedicaricaelettricauniformeinunvolumeΔt,all’internodiΔtladensitàdi carica elettricaodistribuzione di carica elettrica (electric charge density orelectricchargedistribution)rC,dettaΔqlacaricatotalecontenutainΔt,èdatada:

QualoraladistribuzionedicaricanonsiauniformenelvolumeΔτladensitàdicaricaelettricaodistribuzionedicaricaelettricarC(x,y,z)èunacaratteristicadelpuntoPdicoordinatex,y,z.QualoraΔτsiaunintornodelpuntoP,rCèdefinitada

L’unitàdimisuradelladensitàdicaricaelettricanell’SIèilcoulombpermetrocubo[Simbolo:C/m3].

CampoelettricoUnacaricaelettricaounadistribuzionedicaricaproduceuncampoelettricoE(electricfield).QuandounacaricaqèpostainunpuntoPdoveèpresenteuncampoelettricoE,siinducesullacaricaqunaforzaFC:

FC=qEQuindiilcampoelettricoE=FC/qèinmodulounaforzaperunitàdicarica.EedFChannolastessadirezione.

IlcampoelettricoE(x,y,z)attivoinunadataregionedellospazio,èuncampodiforzavettoriale.Nellospazioessovienerappresentatopermezzodilineediforza.L’unitàdimisuradelcampoelettricodell’SIèilvoltsumetro[Simbolo:V/m].NelsistemaSIèanche:V/m=N/C=mkgs-2C-1.

TensioneelettricaLatensioneelettricae12(electrictension,voltage)fraduepunti1e2èillavorocompitodalcampoelettricoE perportarelacaricaunitariadalpunto1alpunto2lungounpercorsodefinitol:

PerunacaricadivaloreqillavorocompiutodaEpertrasportarelacaricada1a2èdatodaLq1®2=qe12.

ρC = ΔqΔτ

ρC (x,y,z) = limΔτ→0 ΔqΔτ

= dqdτ

e12 = dLq=11,l

2

∫ = Lq=11→2 = E ⋅dl

1,l

2

∫



Latensionee12dipendedaElungolalineal.Quindipercalcolarelatensionee12ènecessarioconoscereEinognipuntodil.L’unitàdimisuradellatensioneelettricanell’SIèilvolt[Simbolo:V].NelsistemaSIèanche:V=J/C=m2kgs-2C-1.

PotenzialeelettricoQuandoilcampoelettricoèconservativo(conservativeelectricfield)inunaregionetsem-plicementeconnessa,intaleregionesidefinisceunafunzionev(x,y,z)percui

Lafunzionev(x,y,z)èlafunzionepotenzialeelettricoev12èladifferenzadipotenzialeopo-tenzialeelettrico.(potentialdifference,electricpotentialorvoltage).

Sidimostrachenellaregionet,oveilcampoEèconservativo,esisteunfunzionev(x,y,z)defi-nitainognipuntoditpercuiE=- Ñv(x,y,z).IntalcasoEderivadapotenziale.

PeruncampoconservativoEinunaregionet,perunqualsiasipercorsochiusol(lineachiusa)compresointrisulta:

CorrenteelettricaQualorasicolleghiunconduttoreadunabatteria(sorgentedi tensione) si induce all’interno del conduttore un campoelettricoilqualeacceleralecarichelibere.Siistauraquindinelconduttoreunmotodicaricaedunconseguenteflussodicarica attraverso il conduttore. Le carichepositive simuo-vononellastessadirezioneeversodelcampoelettricoe lecarichenegativesimuovononellastessadirezionemaversocontrario.Ilflussodicaricanelconduttoreèdettocorrenteelettricaocorrenteelettricadiconduzione(electriccur-rent,conductionelectriccurrent).

Lacorrenteelettricaièilflussodicaricacheattraversalase-zionetrasversaleSdiunconduttore.Essaèquindilacaricatotalecheattraversa lasezioneSnell’unitàdi tempo.DettaΔqlacaricacheattraversaSnell’intervallotemporaleΔt,siha:

Lacorrenteelettricaistantanea(instantaneouselectriccurrent)all’istantet,qualoraΔtsiaunintervalloditemponell’intornodit,èdefinitada:

e12 = dLq=11,l

2

∫ = Lq=11→2 = E ⋅dl

1,l

2

∫ = − dv(x,u,z)1,l

2

∫ = v1- v2 ≡ v12

e = E ⋅dl l∫ = - ∇v ⋅dl = dv

l∫

l∫ = v1 - v1 = 0

tq iDD

=



L’unitàdimisuradellacorrenteelettricanell’SIèl’ampere[Simbolo:A].NelsistemaSIèanche:A=C/s.

DensitàdicorrenteelettricaQualorausialavelocitàdellecarichepositive,ladensitàdicorrenteelettricaJ(odensitàdicorrenteelettricadicon-duzione–conductionelectriccurrentdensity)èdefinitadalvettoreilcuimoduloèdatodallacaricatotalecheattra-versal’unitàdisuperficieperunitàditempoelasuadire-zioneeversosonoladirezioneedilversodellavelocitàdellecariche.Questadefinizionesupponelacaricaelasuavelo-cità uniformi sulla superficie unitaria e per l’intervallo ditempounitariopercuiJècalcolato.DettaΔqlacaricacheattraversa lasuperficieΔsperpendicolareadu,nell’inter-vallotemporaleΔt,perunadistribuzionedicaricauniformeinΔsecostanteinΔt,siha:

LadensitàdicorrenteelettricaJèunacaratteristicadelpuntoP(x,y,z)edell’istanteditempot.Essaèquindiunagrandezzamicroscopica.QualoraΔssiaunintornodiPeΔtsianell’intornodit,sidefinisceJ(x,y,z;t)come:

L’unitàdimisuradelmodulodelladensitàdicorrenteelettricanell’SIèl’amperepermetroquadro[Simbolo:A/m2].NelsistemaSIèanche:A/m2=C/(m2s).PoichélacorrenteelettricaièdatadallacaricatotalecheattraversalasezioneSdelconduttorenell’unitàditempo,assuntoSperpendicolareaJedassuntoJuniformesuS,siha:

doveΔlèlalunghezzapercorsadallecarichenell’intervalloditempoΔt.PerciòΔτèilvolumeoccupatodallacaricaΔqchehaattraversatolasuperficieSneltempoΔt.

dtdq

tq i(t)

0t=

DD

=®Dlim

J = ΔqΔtΔs

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟uu

J(x,y,z;t) = limΔt ,Δs→0

ΔqΔtΔs

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟uu= lim

Δt ,Δs→0 ΔqΔtΔsu

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟u =

= limΔt ,Δs ,Δl→0

ΔqΔtΔtΔsΔl

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟u = lim

Δτ→0 ΔqΔτ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟u =

= ρ Cu

SSulSCC J==

DD

=DDDD

=DD

= rrtt

ttq

tq i



PerunadensitàdicorrenteJnonperpendicolareadSedunadistribuzionedicaricanonuni-formenellospazioeneltempo,detto𝐧"ilversore(vettoreunitario)normaleinognipuntoadS,siha:

ConservazionedellacaricaelettricaPerlaleggediconservazionedellacaricaelettricaladiminuzionedi carica in un volume finito è dovuta ad un flusso di caricauscentedallasuperficiechiusachecontieneilvolumeconside-rato.Inparticolaresiha:

dove iout è il flusso totale di carica perciò la corrente totaleuscentedallasuperficiechiusaScontenenteilvolumeconside-rato.

Campo induzione elettrica (campo spostamentoelettrico)Il campo induzione elettrica o campo spostamento elettrico(displacement electric field) è definito dalla legge di Gauss(Gausslaw):

IlflussodiDattraversounasuperficiechiusaèugualeallacaricatotalecontenutadallasuperficiestessa.IlcampoinduzioneelettricaDèlagrandezzachedescriveilfenomenoelettricoattraversolacausachelodetermina(lacaricaelettrica)mentreilcampoelettricoEdescriveil fenomenoelettricoattraversoilsuoeffetto(laforzaindottadallacaricaunitaria).PerimezzilineariDedEsonofraloroproporzionali:D=εE,oveεèlacostantedielettrica(dielectricconstant)caratteristicadelmezzo.IngeneraleD=f(E).Perunacaricapuntiformepostaalcentrodiunasuperficiesfe-rica,comeconseguenzadellasimmetriasfericailmodulodiDècostantesullasuperficie.Daciòsegueche:

L’unitàdimisuradell’induzioneelettricaèilcoulombsumetroquadro[Simbolo:C/m2].

i = J ⋅ n dSS∫∫ = ρCu ⋅ n dS

S∫∫ = dq

dt

J ⋅ n dSS∫∫ = - dq

dt = iout

D ⋅ n dSS∫∫ = q

q = 4π r2 D → D = q4π r2



DensitàdicorrenteelettricatotaleDallaleggediGaussedallaleggediconservazionedellacaricaelettricasiharispettivamentequantosegue:

edallasommadelledueespressionisiottiene:

Sidefiniscedensitàtotaledicorrenteelettricailvettore:

doveJèladensitàdicorrentediconduzionee èladensitàdicorrentedispostamento.(displacementcurrentdensity).SostituendoilvettoreJtallasuaespressionenell’equazioneintegraleprecedentederivata,perqualsiasisuperficiechiusaSrisulta:

Questaespressioneèconseguenzadelleleggidi Gauss e della conservazione della carica.Essadefiniscecheladensitàdicorrentetotaleèunvettoreovunquesolenoidale.

Ciòcomportaquantosegue:- non vi sono all’in-

ternodi qualsiasi superficie chiusa S sorgenti del vettoredensitàdicorrentetotaleJt;

- ilnumerodi lineedi flussoentranti inSèugualealnumerodi lineeuscenti;

- ognilineadiflussosirichiudeovaall’infinito;- il flusso di Jt attraverso una sezione qualunquedello stesso tubodi

flussodiJt(adesempiouncavoconduttorechecoincideconuntubodiflussodiJt)ècostante.

PerunasuperficieSchiusa,ilflussodiJtattraversoSèlacorrentetotaleit,outuscentedaSchiusa.TalecorrentedeveesserenullaperlasolenoidalitàdiJt:

D ⋅ n dSS∫∫ = q → ∂D

∂t⋅ n dS

S∫∫ = dq

dt

J ⋅ n dSS∫∫ = - dq

dt

J + ∂D∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ n dS

S∫∫ = 0

J t = J + ∂D∂t

∂D ∂t

J t ⋅ n dSS∫∫ = 0



Inparticolare,poichéJtèovunquesolenoidalesihache:il flusso di Jtattraverso differenti sezioni dello stessotubodiflussononvaria.

SiconsideriuntroncoditubodiflussodiJt(dallafiguraS=S1+S2+SLconS1edS2sezionideltubodiflussoedSLsuperficielateraledeltroncoditubo).DettaiS1lacorrentecheattraversaS1,flussodiJtattraversoS1,iS2lacorrenteattraversoS2 , flussodi Jt attraversoS2, e iSL la corrente,flussoattraverso la superficie lateraledel tubodi flusso,tuttetreconilversodi𝐧"uscentedalvolumedeltroncodeltubodiflussodiJt,dallarelazioneintegraleprecedentesiottiene:

it,out=iS1+iS2+iSL=0iSL ènullapoiché ilvettore Jt è tangenteallesue lineediflussoquindiJt�𝐧"èugualeazerosullasuperficielateraleditubidiflusso.Inoltre,presoiS1entranteneltroncoditubodiflussodallaequazioneprecedenteediS2 uscentedaltroncoditubo,siottiene:

-iS1+iS2=0èiS1=iS2DaciòderivacheinqualsiasisezionediuntubodiflussodiJtlacorrenteelettricaècostante.Perciòlungouncavoconduttore,tubodiflussodelladensitàdicorrente,lacorrentenonvaria.

CorrenteelettricatotaleLacorrenteelettricatotaleattraversounasuperficieSèdo-vutaalcontributodelladensitàdicorrentediconduzioneedalladensitàdicorrentedispostamento:

oveièlacorrenteelettricadiconduzione:

edispèlacorrenteelettricadispostamento(displacementcurrent):

Campoinduzionemagnetica

J t ⋅ n dSS∫∫ = it ,out = 0

i = J + ∂D∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ n dS

S∫∫ = i+ isp

i = J ⋅ n dSS∫∫ = ρCu ⋅ n dS

S∫∫

isp = ∂D∂t

⋅ n dSS∫∫

it



Unaopiùcarcheinmoto,unadensitàdicorrente,unacorrenteelettricageneranonellospaziocircostanteuncampodiforza,ilcampoinduzionemagneticaodensitàdiflussomagneticoB(magneticinductionfieldormagneticfluxdensity).IlcampoBinducesuunacaricaqinmotounaforzadevianteFL,perpendicolareallavelocitàudellacaricaedalcampoB.LaforzaFL,forzadiLorentz,halaseguenteespressione:

IlmodulodiBperciòesprimeunaforzaperunitàdicaricaedivelocità[B=FL/(qu)].PoichéFLedusonoperpendicolarifraloro,Binducesuqunaforzacentripetaconlavoronullo.

L’unitàdimisuradelcampoinduzionemagneticaBnell’SIèiltesla[Simbolo:T].NelsistemaSIèanche:T=Ns/(Cm)=kgs-2A-1.

FlussomagneticoPerunasuperficieSperpendicolareaBesucuiBèuni-forme (B costante inS), il flussomagnetico (magneticflux)èdatoda:

Φ=SB(BmodulodelvettoreB)PeruncampoBedunasuperficieSgenerici,ilflussoma-gneticoèdefinitoda:

L’unitàdimisuradel flussomagneticonell’SIè ilweber[Simbolo:Wb].NelsistemaSIèanche:Wb=m2T=m2kgs-2A-1.IlcampoBèunvettoreovunquesolenoidale: Ciòcomportaquantosegue:- nonvisonoall’internodiqualsiasisuperficie

chiusaSsorgentidelvettoreB;- ilnumerodilineediflussodiBentrantiinSè

ugualealnumerodilineeuscenti;- ognilineadiflussosirichiudeovaall’infinito.

q = BuFL ´

B ⋅ n dSS∫∫ = 0

Φ = B ⋅ n dSS∫∫



- ilflussodiBattraversounasezionequalunquesezionedellostessotubodiflussodiBècostante.

InoltrepoichéBèovunquesolenoidalesihacheIlflussodiBattraversodifferentisuperficiaventicomecontornolastessalineachiusaflussononvaria:ilflussoèquindicon-catenatoalla linea chiusa contornodella superficie cheattraversaa.PoichéBèovunquesolenoidalesidefinisceilflussomagne-ticoconcatenatoFCnct.conunalineachiusal.AnalogamentelacorrentechefluiscelungolèconcatenatacolflussodiB.Perqualsiasisuperficiechehapercontorno l,il flussononvaria:ilflussomagneticoèdefinitodallalineachiusalenondallaparticolaresuperficechehatalelineacomecontorno.AssumendolasuperficiechiusaS=S’+S”,echeidueversori𝐧"ed𝐧"1,normaliinognipuntoadS’edS”,abbianoversiunouscenteel’altroentrantenellasuperficiechiusaS,siottiene:

QuindiilflussocalcolatoattraversoS’odattraversoS”,super-fici con la stessa linea chiusa di contorno l, non varia ed èugualeaΦCnct.Leggedell’Induzione(SecondaleggediMaxwelloleggediFaraday)Dettaellatensioneindottasuunalineachiusal,laleggedell’induzioneo2aleggediMaxwelloancheleggediFaraday(inductionlaw,2ndMaxwell’slaworFaraday’slaw)stabilisceche:

el=− !Ф!!#

doveΦCèilflussomagneticoconcatenatoconlalineachiusa l. el èdetta anche forzaelettromotricee.m.f.(electromotiveforce).

SiconsideriuncavoconduttorechesiavvolgeNvolte(N spire) attorno ad una regione attraversata da unflussomagnetico.DettoΦilflussoattraversolasuper-ficieindividuatadaunaspira,ilflussoconcatenatoΦC=NΦ.Dallaleggedell’induzionesiottiene:

el=−N!Ф!#

B ⋅ n dSS∫∫ = 0

⇒ B ⋅ n dSS'∫∫ + B ⋅ n dS

S"∫∫ = 0,

⇒ B ⋅ n dS

S'∫∫ − B ⋅ n1 dS

S"∫∫ = 0

⇒ B ⋅ n dSS'∫∫ = B ⋅ n1 dS

S"∫∫ =ΦCnct .

B ⋅ n dSS∫∫ = 0

⇒ B ⋅ n dSS'∫∫ + B ⋅ n dS

S"∫∫ = 0,

⇒ B ⋅ n dS

S'∫∫ − B ⋅ n1 dS

S"∫∫ = 0

⇒ B ⋅ n dSS'∫∫ = B ⋅ n1 dS

S"∫∫ =ΦCnct .

C



LeggediAmpere(primaLeggediMaxwelloleggedellacircuitazione)IlcampomagneticoH,campodiforzaprodottodalmotodicaricaelettrica,èdefinitodallaleggediAmpere,o1aleggediMaxwell o anche legge della circuitazione (Ampere’slawor1stMaxwell’slaw).Siconsideriunalineachiusal.Lacorrentetotale(correntediconduzionepiùcorrentedispo-stamento)concatenataconlalineachiusaléic,flussototaledelvettoredensitàdicorrentetotale,ovunquesolenoidale.LaleggediAmperestabilisceche:

QuindiHdescriveilfenomenomagneticoattraversolasuacausa,lacorrenteelettricadovutaalmotodicarica,mentreBdescriveilfenomenomagneticoattraversoilsuoeffetto,laforzadeviantegenerataprodottadalmotodicarica.CiòèanalogoaquantoavvieneperDedE.IlcampoDèdefinitodallacarica,causadelfenomenoelettrico.IlcampoEèdefinitodallaforzageneratasullacaricadalfenomenoelettrico.PerimezzilineariHeBsonofraloroproporzionali:B=μH,oveμèlapermeabilitàmagnetica(magneticpermeability)caratteristicadelmezzo.IngeneraleB=f(H).AnchequestoèanalogoaiduecampiDedEchedescrivonoilfenomenoelettrico:ingeneraleD=f(E),permezzilineariD=εE.Siconsideriunacorrenteichefluisceinunconduttorefiliforme,lineareedilunghezzainfinita.Siconsideriinoltreunalineachiusaldatadaunacir-conferenzasuunpianonormalealcavoeconcentricaadesso.Lacorrenteconcatenataconlèlacorrentei.Intalcasol=2prconrraggiodellacircon-ferenza.PerlasimmetriadelproblemasigenerauncampoHespressodaunvettoretangenteadlilcuimodulo,ottenutodallaleggediAmpere,è:

IlcampomagneticoH,generatodallacorrentei,quindièespressodaunacorrenteelettricaperunitàdilunghezza.

Siconsideriunanellosucuièavvoltouncavoconduttorepercorsodallacorrentei.Ilcondut-toresiavvolgeNvolteattornoall’anello,cioèèunabobinadiNspire.rèilraggiodell’anello.L’anellosisupponecostituitodaunmaterialeadelevataper-meabilitàmagnetica(elevatoμ-adesempioferro).SisupponeinoltrecheilcampoHsiauniformementedistribuitonellase-zionedell’anelloperpendicolareadesso.DallaleggediAmperesiottiene:

L’unitàdimisuradelcampomagneticonell’SIèl’amperesume-tro[Simbolo:A/m].

2π rH = Ni → H = Ni2π r

2π rH = i

⇒ H = i2π r

; B = µ i2π r



IlcampomagneticoHègeneratodallacorrenteconcatenataconl’anellodatadaNi.Nièperciòdettaforzamagneto-motricem.m.f.(magneto-motiveforce).Laforzamagneto-motriceèlatensionemagneticasullalineachiusal.

Leggifondamentalidell’Elettromagnetismoinformaintegrale

Leggifondamentalidell’Elettromagnetismoinformalocale



LeggidilegamematerialeLe leggi dell’Elettromagnetismo, espressedalle due leggi diMaxwell, dalla legge diconservazionedellacaricaedalleleggide-rivate da queste, prescindono dalle pro-prietàspecifichedeimezzimaterialioveifenomeni dell’Elettromagnetismo si svi-luppano. Ingenerale leequazioni chede-scrivonotaliproprietàsonotalipercui:

Queste relazioni sono sperimentali. Permoltimateriali,imaterialilineari,essedi-vengono:

Spesso

siusanoanche ivalorirelatividellacostantedielettricaεredellapermeabilitàmagneticaμrrispettoailorovalorinelvuotoε0eμ0:

CaratteristichedeimaterialiImaterialiadelevatiedabassivaloridellacostantedielettricaεsidifferenzianoper3ordinidigrandezza.Imaterialiadelevatapermeabilitàmagneticaμhannovaloridi5ordinidigran-dezzasuperioridiquelliabassivalori.

Taledifferenzaèmoltomaggioreperlaconducibilitàelettricaσcondifferenzeframaterialiisolanti(σ≈6×10-16S/m)ematerialiconduttoriaσelevati(σ≈6×107S/m).Pertalemotivoneicircuitielettrici,concaviconduttoriimmersiinunmaterialeisolante,siindividuanoitubidiflussodelladensitàdicorrentecoincidenticonicavistessi.InfattiallorointernobassicampielettricideterminanoaltivaloridiJ(J=σE).Inveceneimaterialiisolantianchecampimoltoelevatinonpermettonoilmotodellecarichee,corrispondentemente,produconobassissimeJ.

Sidefinisceanchelagrandezzaresistivitàelettricacomeinversodellaconducibilitàr=1/s.

L’unitàdimisuradellaresistivitàelettricanell’SIèl’ohmpermetro[Simbolo:Ω×m].

D = f1(E) B = f2 (H) J = f3(E)

ε =ε rε0 dove ε0 = 8,856 ×10-12 F/m µ =µrµ0 dove µ0 = 1,256 ×10-6 H/m

D = εE - ε costante dielettrica [Unità: farad su metro - simbolo: F / m] B = µH - µ permeabilità magnetica [Unità: henry su metro - Simbolo: H / m]J = σE - σ conducibilità elettrica [Unità: siemens su metro - Simbolo: S / m]



∇

∇ ∇

∇

AppendiceA-Operatorivettoriali

OperatorivettorialiSidefiniscononellospaziocampiscalaridescrittidafunzioniscalarif(x,y,z)definitiinspecifi-cheregionidellospazioτecampivettorialidescrittidafunzionivettorialiA(x,y,z),anch’essidefinitiinregioniτ.Visonoproprietàcheleganofraicampi:

-campivettorialiconservativi:A(x,y,z)=f(x,y,z)inτ.Pericampivettorialiconservativi,perunalineachiusalcontenutainτ,siha:

Lafunzionef(x,y,z)èdettaanchefunzionepotenzialeosemplicementepotenziale.-campivettorialisolenoidali:

PresaunasuperficiechiusaScontenutainτsiha:

Questedueproprietàsonoespresseinformaintegraleperregionididimensionifinitedalleequazioniprecedenti.Laformaintegraleèdettaancheformamacroscopica.Permezzodeglioperatorivettorialièpossibileesprimerelaproprietàsuddetteinformalocale(formamicro-scopica)cioèinregioniinfinitesimenell’intornodiognipuntodelvolumeτincuileproprietàvengonodefinite:

-campivettorialiconservativi:A(x,y,z)=f(x,y,z)inτ.

dove f(x,y,z)definitoinτèl’operatoregradienteapplicatoallafunzionef(x,y,z)e ×Aèl’operatorerotazionaleapplicatoalcampovettorialeA(x,y,z)

-campivettorialisolenoidali:

OperatoregradienteL’operatoregradientesiapplicaadunafunzionescalareedhacomeprodottounvettore:

A ⋅dll∫ = ∇f ⋅dl = df

l∫

l∫ = f1-f1 = 0

A ⋅ n dSS∫∫ = 0

A ⋅dll∫ = 0 ⇔ ∇×A = 0, A = ∇f

A ⋅ n dSS∫∫ = 0 ⇔ ∇⋅A = 0

∇ f(x,y,z) = grad f(x,y,z) = ∂ f∂x

i + ∂ f∂y

j + ∂ f∂z

k



∇

∇

∇

∇∇

∇∇

L’espressionegradf(x,y,z)èalternativaaf(x,y,z).

PerunqualsiasipuntoPdiτovelafunzionef(x,y,z)èdefinitaeperunospostamentoinfinitesimods=dxi+dyj+dzksiha:

dfds è ildifferenziale direzionale di f(x,y,z) nella direzione eversodids.Comerisultatodell’espressioneprecedenteèpossi-bileottenereladerivatadifinqualsiasidirezionedellospazionotof(x,y,z).Ilcamposcalareèdefinitodallafunzionepotenzialef(x,y,z).Ilcampovettorialef(x,y,z)èuncampodiforzaconservativoas-sociatoalpotenzialef.Comeconseguenzadell’espressionedelladerivatadifnelladi-reziones,indirezioniperpendicolariaf(x,y,z)laderivatadifèugualeazero.Lasuperficief(x,y,z)=cost.perpendicolarealvet-torefèunasuperficieequipotenziale.Consideratoilvettoref(x,y,z)edefinitaunalinealchecollegaipuntiP1eP2,risulta:

Ilvaloredell’integraledilineadelvettoreÑflungolnondipendedall’espressionecheassumeÑfljngolmadaivalorichef(x,y,z)assumeneipunti1e2.

L’integraledelvettoreÑflungounalineachiusaènullo:

Perciòfèunvettoreconservativo.QuindiseilvettoreAèconservativoinunadataregione,esisteunafunzionef(x,y,z)definitaintaleregionepercuiA=f.

LafunzionepotenzialefnelpuntoPassociataaduncampovettorialeconservativoAè:

∇ f ⋅ ds = ∂ f∂x

dx + ∂ f∂y

dy + ∂ f∂z

dz =

= ∇ f ds cosθ = d fds

⇒ d fds

= ∇ f cosθ

∇f ⋅dsP1

P2

∫ = dfdsP1

P2

∫ = f(P2 ) - f(P1)

∇f ⋅dsl∫ = f(P1) - f(P1) = 0

A conservativo ⇔ ∃ f(x,y,z) per cui A = ∇f

f(P) = f0 + A ⋅ds0

P

∫



dove0èunpuntodiriferimentoedf0èilvalorechefassumenelpunto0.Solitamentef0èunacostantearbitraria(costantearbitrariadiintegrazione).

Ø Ilpotenzialediuncampovettorialeconservativoèdefinitoamenodiunacostantearbitraria.

OperatoredivergenzaL’operatoredivergenzasiapplicaadunvettoreedhacomeprodottounoscalare:

Inunvolumedτ=dxdydzsiha:

ove dΦ è il flusso totale del vettore A uscente dal volume

dτ.Inconse-guenzadiquestorisultatoilteoremadelladivergenzastabilisceche:

Perunvettoresolenoidalenellaregionedellospazioτilflussototaleuscentedaunasuperficiechiusacompresainτènullo:

Il flusso di un vettore solenoidale attraversounaqualsiasi sezionedello stesso tubodiflussoècosante.InfiguralasuperficiechiusaesternaSdiuntroncodiuntubodiflussoècostituitadaS1+S2+SL.S1edS2sonolesuperficididuesezioniedSLèlasuperficielateraledeltroncoditubodiflusso.PerlasolenoidalitàdelvettoreilflussototaleuscentedaSchiusaènullo:

∇⋅A = div A = ∂Ax

∂x +

∂Ay

∂y + ∂Az

∂z

∇⋅A( ) dτ = ∂Ax

∂x dx dy dz +

+∂Ay

∂y dx dy dz + ∂Az

∂z dx dy dz = dΦ

dΦ = ∇⋅A( ) dτ ⇒

Φ = A ⋅ n dSS∫∫ = dΦ

τ∫∫∫ = ∇⋅A( ) dτ

τ∫∫∫

Φ = A ⋅ n dSS∫∫ = ∇⋅A( ) dτ

τ∫∫∫ = 0

⇒ ∇⋅A = 0



Φ=Φ1+Φ2+ΦL=0

Poichéilvettoreètangenteallelineediflussoequindiancheallasuperficielateraledeisuoitubidiflusso(superficiinviluppoditali linee), il flusso del vettore attraverso di essa ΦL è nullo.Quindirisulta:

Φ1+Φ2=0

QualorasiassumailversodelversorenormaleadS,entranteinSsuS1eduscentedaSsuS2,l’equazioneprecedentediviene: Φ1=Φ2=cost.

Ilflussodiunvettoresolenoidaleèconcatenatoconlalineachiusacontornodellasuperficiecheattraversa.Taleflussoperqualsiasisuperficiechehatalelineacomecontornononvaria.InfiguraS’edS”hannolostessocontorno.S=S’+S”èunasu-perficiechiusacolversorensuS’uscentedaSednsuS”entranteinS.PerAsolenoidalerisulta:

OperatorerotazionaleL’operatorerotazionalesiapplicaadunvettoreedhacomeprodottounvettore:

dovei,jeksonoiversorinelladirezioneeversopositivodegliassix,yez.

A ⋅n dSS '∫∫ - A ⋅n dS

S"∫∫ = 0

⇒ A ⋅n dSS '∫∫ = A ⋅n dS

S"∫∫ = ΦConcat.

∇×A =

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

=

= ∂Az

∂y−∂Ay

∂ z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i - ∂Az

∂x−∂Ax

∂ z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟j +

∂Ay

∂x−∂Ax

∂ y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k



∇

∇

Ilprodottoscalaredelvettore×Aedilvettoreinfinitesimodxdykè:

l’espressioneaprimomembrorappresentailflussoinfinitesimodelvettoreattraversolasuperficieinfinitesimadS=dxdyekèilversorenormaleadessa.L’espressioneasecondomembroèl’integraledilineasulcontornodidSinsensoantiorario.InconseguenzadiquestorisultatoilteoremadiStokesstabilisceche

QualoraAderividapotenziale,cioèA= ,siottiene:

Quindiilrotazionalediunvettoreconservativoèovunquenullo.Unvettoreconservativosidiceancheirrotazionale.

Ilvettore∇×Aèovunquesolenoidale.Infatti:

Seinunaregionedata×A=0,allorailvettoreAèconservativo.InfattiperilteoremadiStokessiha:

IntalcasoAèanchedettovettoreirrotazionalenelladataregione.QuindiunvettoreAirro-tazionaleinunadataregione,inessaèconservativoeperciòderivantedafunzionepoten-ziale:

PotenzialeVettoreSeunvettoreBèovunquesolenoidale,essopuòessereespressocomerotazionalediunvettoreA:

∇×A ⋅k dx dy = ∂Ay

∂xdx dy − ∂Ax

∂ydx dy

dΦ = dC

∇×A ⋅n dSS∫∫ = A ⋅dl

l∫

∇f dΦ = dC

∇×A ⋅n dSS∫∫ = A ⋅dl

l∫ e = E ⋅dl l∫ = - ∇v ⋅dl = dv

l∫

l∫ = v1 - v1 = 0

∇⋅ ∇ ×A( ) = ∂∂x

∂Az

∂y−∂Ay

∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂∂y

∂Ax

∂z− ∂Az

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

∂∂z

∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= ∂2Az

∂x ∂y−∂2Ay

∂x ∂z+ ∂2Ax

∂y ∂z− ∂2Az

∂y ∂x+∂2Ay

∂z ∂x− ∂2Az

∂z ∂x= 0

A ⋅dll∫ = ∇×A ⋅n dS

S∫∫ = 0

∇×A = 0 ∃ f for which A = ∇f

B = ∇×A∇⋅B = 0

f f f f



doveèl’integralegeneraledell’equazione.IlcampovettoreAèilpotenzialevettore.IlvettoreAèdefinitoamenodiunvettoreirrotazionale (vettoreconservativocon).QuindiAèdefinitoamenodiunafunzionepotenzialescalare:

PotenzialeMagneticoVettoreAssuntoBvettorecampodiinduzionemagnetica,poichéBèovunquesolenoidale,sidefinisceilpotenzialevettoremagneticoA.

PerladefinizionediAsiutilizzaunadelleduecondizioni:

- condizionediCoulomb:

- condizionediLorentz:

Dalleduerelazioni:

siottiene:

Ilvettoreèunvettoreirrotazionaleequindi:

IlcampoelettricoEèespressodaipotenzialiscalareevettorepermezzodell’espressione:

∇f

A = A* +∇f

∇×E = − ∂∂t

∇×A( ) = −∇ × ∂A∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇ × E + ∂A∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0

E+ ∂A∂t

= ∇f

∇×A ∇⋅B = 0

∇×∇f = 0

∇⋅A = 0

∇⋅A + 1c2

∂ f∂t

= 0

B = ∇×A

∇×E = − ∂B∂t

E + ∂A ∂t

E = ∇f − ∂A∂t



AppendiceB–SistemaInternazionaledimisuraSI

UnitàdiBaseLeunitàdimisuradibasedelSistemadiMisuraInternazionaleSIsonosette:ilmetro,unitadimisuradellalunghezza,ilchilogrammo,unitadimisuradellamassa,ilsecondo,unitadimi-suradeltempo,l’ampere,unitadimisuradellacorrenteelettrica,ilgradokelvin,unitadimi-suradellatemperaturatermodinamica,lamole,unitadimisuradellasostanzaelacandela,unitadimisuradell’intensitàluminosa.

Leunitàdimisuradibasesonodefiniteconvenzionalmentecomeriportatonellapaginase-guente.L’attualedefinizione,indicatanelseguito,èinvigoredalnovembre2018.Esaèbasatadalladeterminazionidicostantiuniversalidellafisica.Inparticolareilsecondoèdeterminatodalladeterminazionedelvaloreassuntodallafre-quenzadellaluceemessadallatransizioneiperfinedelCs133nellostatofondamentale,ilmetrodalladeterminazionedelvaloredellavelocitàdellalucenelvuoto,ilkilogrammodallaco-stantediPlanck,l’amperedallacaricaelementare(valoreassolutodellacaricaelettricadelprotoneedell’elettrone),ilgradokelvindallacostantediBoltzmann,lamoledallacostantediAvogadroelacandeladall’efficacialuminosaKed.

Quantity Unit Symbol

Length meter m

mass kilogram kg

time second s

electriccurrent ampere A

thermodynamictemperature kelvin K

amountofsubstance mole mol

luminousintensity candela cd



ActualdefinitionDefinitionafterNov.2018

The kilogram, symbol kg, is the SI unit of mass. It is defined by taking the fixed numerical value of the Planck constant h to be 6.626 070 15 ×10−34 when ex-pressed in the unit Js, which is equal to kg m2 s−1, where the metre and the second are defined in terms of c and ∆n

Cs.

The ampere, symbol A, is the SI unit of electric current. It is defined by taking the fixed numerical value of the elementary charge e to be 1.602 176 634×10−19 when expressed in the unit C, which is equal to A s, where the sec-ond is defined in terms of ∆n

Cs.

The kelvin, symbol K, is the SI unit of thermodynamic temperature. It is defined by taking the fixed numerical value of the Boltzmann constant kto be 1.380 649×10−23 when expre ssed in the unit J K−1, which is equal to kg m2s−2K−1, where the kilogram, metre and second are defined in terms of h, c and ∆n

Cs.

The mole, symbol mol, is the SI unit of amount of substance. One mole con-tains exactly 6.022 140 76 × 1023 elementary entities. This number is the fixed numerical value of the Avogadro constant, N

A, when expressed in the unit mol-

1 and is called the Avogadro number. The amount of substance, symbol n, of a system is a measure of the number of specified elementary entities. An ele-mentary entity may be an atom, a molecule, an ion, an electron, any other par-ticle or specified group of particles.



UnitàderivateLeunitàdimisuraderivatesonoottenutedalleunitàdibasepermezzodelleleggifisichechelelegano.Quantity Symbol(name) Interms

ofotherSIunits

IntermsofSIbaseunits

charge C(coulomb)

s×A

electrictension(voltage),po-tentialdifference,electromotiveforce

V(volt) W/A m2×kg×s-3×A-1

force N(newton)

m×kg×s-2

energy,work J(joule) N×m m2×kg×s-2

power W(watt) J/s m2×kg×s-3

pressure Pa(pascal) N/m2 m-1×kg×s-2

magneticflux Wb(weber) V×s m2×kg×s-2×A-1

magneticfluxdensity T(tesla) Wb/m2 kg×s-2×A-1

electricresistance Ω(ohm) V/A m2×kg×s-3×A-2

electricconductance S(siemens) A/V m-2×kg-1×s3×A2

capacitance F(farad) C/V m-2×kg-1×s4×A2

Inductance H(henry) Wb/A m2×kg×s-2×A-2

frequency Hz(herth)

s-1

Celsiustemperature °C(degreeCelsius)

K



PrefissiSIIlSistemadiMisuraInternazionale,l’SI,èunsistemadecimaleconmultipliesottomultiplidelleunitàesimbolirelativiantepostiaisimbolidell’unità.Edesempioilmillimetro,paria10-3metri,èrappresentatodalsimbolomm.SistemaInternazionaleestandardizzazioneUnadelleprimeoperazionidistandardizzazionefurealizzatainCinaall’attodellasuaunificazionenel221a.C.IlprimoimperatoredellaCina(中国-ZhōngGuó-PesediMezzo),ImperatoreQinShiHuang秦始皇-YingZhèng嬴政,standardizzòleunitàdimisuradipesoelun-ghezza,lamonetaelalarghezzadegliassideicarri.

1. Fenomeni ElettromagneticiSi dimostra che nella regione t, ove il campo E è conservativo, esiste...

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