Trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto relativo roto-traslatorio

x1

x3

x2 x1’

x2’

x3’

Vo’(t)

O

O’

r’(t)=(x1’,x2’,x3’)

r (t) = OP = i xi u i = OO’ + O’P == i iui + xi’ ui’

u1 u2

u3 u1’

u2’u3’

traiettoria di P

OO’(t)= ( 3 )

Vo’ v’

u i’

v(t) = v’(t) + Vo’ + ( r’ )

P

(t)

r(t)=(x1, x2, x3)

i ii

iii

ii

dt

tudxu

dt

tdxu

dt

td

dt

POOOd

dt

tOPdtv

)('''

)(')()''()()(

i i iiii

ii

i uxudt

tdxu

dt

td'''

)(')(

r’

(vedi slidesuccessiva)

“velocità ditrascinamento”

U.Gasparini, Fisica I 2

Rotazione del vettore intorno ad un asse, con velocità angolare di rotazione :

AdA

d

d

dt Vale la formula di Poisson:

dA

dtA

Infatti: dA A d sin dA

dtA

d

dtA A

sin sin

Inoltre dA A, e il suo verso coincide con quello di A

Per un sistema di riferimento in rotazione con velocità angolare , ciascuno dei versori dei suoi assi coordinati compie un moto di precessione :

u1

u2

u3

du

dtui

i

Moto di “precessione” di un vettore :

U.Gasparini, Fisica I 3

Esempio: velocità di trascinamento nel moto della Terra

Sole

P

O’

O

OO’(t)

Vo’

r’(t)

vtr = Vo’ + r’

x’

y’

z’

xy

z

Vo’

r’

Velocità rispetto al Sole diun punto P fermo sulla superficie della Terra

Trasformazione delle accelerazioni:

dt

'rd + 'r

dt

d

dt

Vd

dt

'vd

'r + V+ 'vdt

d

dt

vd =

O'

O'

a

ao’

d

dt

dx '

dtu '

d x '

dtu '

dx '

dt

du '

dt

ii

ii

i i

2

2 d

dtx 'u '

dx '

dt u ' x '

du '

dtv' x '( u ')

=v' x 'u '

= v' r'

i i

ii i

i

i i

i i

=a' + dx '

dt ( u ')

a' + dx '

dtu '=

a' + v'

ii

ii

=

=

=

'''' ' rvrdt

dav' + a=a O

'''2 ' rrdt

dav' + a=a O

U.Gasparini, Fisica I 5

Riepilogo: trasformazioni di velocità ed accelerazione

tra sistemi di riferimento in moto relativo: Sistema “assoluto”: Sistema “relativo”:

v = v’ + vtr = v’ + VO’ + r’

a = a’ + atr + aCo

v, a v’, a’

vtr = VO’ + r’

a Co = 2 v’ “accelerazione complementare”o “di Coriolis”

“velocità di trascinamento”

“accelerazione ditrascinamento”

''' rdt

dra=a Otr

= costante

N

S

piano dell’eclittica

O’ aO’ (verso il Sole)

P

r’

r’ )

Accelerazione di trascinamento: a a rtr o ' ( ' )

av

R

Km s

Kmcm s go

o'

' ( / )

,, /

2 2

82 330

1 5 100 6 10

distanza Terra-Sole

vO’

All’equatore:

( ' ) sin( / )

cos

r R

R

T

T

2

2

2P

raggio della Terra

2 24 0 4%)R cm s gT / ( ,

N

S

latitudine

( ' )r

Esempio di trasformazione delle accelerazioni : il moto della Terra

U.Gasparini, Fisica I 7

Esempio: accelerazione di gravità

( = costante, aO’ trascurabile )

g0 = g + r ) + 2 v’

accelerazione assolutaaccelerazione relativa

Accelerazione osservata in un sistema solidale con la Terra:

ggo

- r )

r

z (Alto)

x (Sud) y(Est)

r

la componente verticale gz

dell’accelerazione di gravità osservata gaumenta con la latitudine ( è minima all’Equatore; al polo coincide con g0 )

g = g0 - r ) - 2 v’

U.Gasparini, Fisica I 8

Effetti dell’ accelerazione di Coriolis:

BA v’

-2( x v’)

vortice ciclonico

(bassa pressione)

(alta pressione)

Nell’ emisfero settentrionale (meridionale)i vortici ciclonici atmosferici ruotano in senso antiorario (orario)

Rotazione apparente del piano di oscillazione del “pendolo di Faucault”

piano di oscillazione

E

N

v’

Est-2 v’

v’

-2 v’rotazione apparentedel piano dioscillazione

Nell’esperienza di Faucault ( Parigi, Pantheon,1850):

Tg

s 2

2 20

Pendolo di Faucault

)100( m

Sistemi di riferimento in moto relativo puramente traslatorio ed uniforme :

Ox

y

z

z’

y’

x’O’

vO’

VO’ = costante

aO’ = 0, = 0

“Trasformazioni galileiane”:

)(')(

)(')(

)(')(')(')(

'

'

tata

Vtvtv

tVtrtOOtrtr

O

O

le accelerazioni sono invariantiper trasformazioni galileiane

Nota : le trasformazioni galileiane, che postulano un tempo “assoluto”,contraddicono il principio di invarianza della velocità della luce(sperimentalmente osservato). [ Per trattare correttamente velocità relative prossime alla velocità della luce, è necessario utilizzare le trasformazioni della meccanica relativistica (trasformazioni di Lorentz ) ]

Trasformazioni galileiane

U.Gasparini, Fisica I 11

Scegliendo uno degli assi coordinati parallelo alla velocità relativadi traslazione : x, x ’ // vO’

O x

z z’

x’

y’O’

vO’

y

tVtrtr O ')(')(

x t x t V t

y t y t

z t z t

O( ) ' ( )

( ) ' ( )

( ) ' ( )

'

v t v t V

v t v t

v t v t

x x O

y y

z z

( ) ' ( )

( ) ' ( )

( ) ' ( )

'

a t a t

a t a t

a t a t

x x

y y

z z

( ) ' ( )

( ) ' ( )

( ) ' ( )

P

r r’

)(')( tata

')(')( OVtvtv

Trasformazioni galileiane

U.Gasparini, Fisica I 12

Vo’(t)

O

O’

traiettoria di P P (t)

Forze apparenti in un sistema di riferimento non inerziale:

a

F = ma

Sistema inerziale: F ma

Sistema non inerziale: a a a atr Co' F ma m a a atr Co ( ' ) F m a a matr Co ( ) '

F ma' '

equazione formalmenteuguale alla leggedi Newton

avendo definito la “forza”:

forza reale “forza fittizia” (ad es., forza centrifuga)

)(' Cotr aamFF

Sistemi non inerziali

U.Gasparini, Fisica I 13

“forza centrifuga” su una piattaforma rotante

r

r

a rtr ( )

Equilibrio sulla piattaforma:a '0

F F ma matr' ' 0

la forza reale : F ma m rtr ( ) 0

equilibra la forza “centrifuga”: F m rcentrifuga" " ( )

F

Il sistema non è un sistema inerziale (in esso non vale la legge di Newton) :

F ma ' ( )0 F a’=0

m

Esempio di forza apparente: