Variabili di stato

x1 x2 … xn(t) (t) (t)Problema: dato lo stato del sistema in un dato istante, t0 , quale sarà il suo stato futuro e da quali stati precedenti proviene?

Leggi locali di evoluzione

Tempo continuo tR : equazioni differenziali

nitxtxtxfdt

tdxni

i ,...,1)(),...,(),()(

21

Tempo discreto tN: equazioni alle differenze (mappe iterate, induttive)

nitxtxtxftx nii ,...1)(),...,(),()1( 21

Sistema Dinamico

)(),...,(;)( 001 txtxtGtx ni Operatore di evoluzione

Newton: The fundamental Anagram of Calculus

Data un’equazione che contiene unnumero qualunque di “quantità fluenti” [derivate] trovare le “flussioni”

[primitive], e viceversa.

“Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa”

Dalla seconda lettera di Newton a Leibniz (1667): “The foundations of these operations is evident enough, in fact; but because I cannot proceed with the explanation of it now, I have preferred to conceal it thus: 6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux.

Un piccolo esercizio di crittografia:

Linguaggio geometrico

4 variabili di stato...

n variabili di stato...

0 1 x(t)

0 1 x1(t)01

x2(t)

x1

x2

x3

Legge esponenziale

rxxmnmxnxdt

dx )(

con x(t0) = xo cond. iniziale

Soluzione

Legge di crescita di una popolazione. Siano n>0 e m>0 i tassi specifici di natalità e mortalità.

Legge di evoluzione:

)(0

0)( ttrextx

tasso di crescita netto per unità di popolazionex

xr

00 )(con xtxrx

dt

dx

rdtx

dx

t

t

tx

x

rdtx

dx

00

)(

tttxx trx

00

)()ln(

)(ln)(ln 00 ttrxtx

)()(

ln 00

ttrx

tx )(

0

0)( ttre

x

tx

rxdt

dx

Equazione differenziale primo ordine lineare

t

50 r = 0.5

1

10t

50r = 0.5

40

0 10

x(0)=1

-1

x(0)= -1

x(0)=40

x(0)= -40

- 40

x(t) = x(0)ert

r < 0

.0

r > 0

.0

dt

dx= rx

Immigrazione costante brxdt

dx

r

bxx

dt

dx *per 0

Siano r < 0 e b > 0.

Allora x*>0 e rx+b > 0 per x < x*

Quindi esiste un unico equilibrio positivo e stabile

b

-b/r

Unico equilibrio

Esercizio: studiare cosa succede cambiando segno a r e/o b

00 )(con xtxbrxdt

dx Cambio di variabile: X = x+b/r

r

bxtXrX

dt

dX 00 )(con

)(0

0)( ttrer

bxtX

Soluzione:

Per gli appassionati dei metodi analitici

Nella variabile originaria:r

be

r

bxtx ttr

)(

00)(

Crescita logistica di una popolazione

xmndt

dx)(

Nuova ipotesi: mortalità = m + sx

xsxrdt

dx)( da

Si passa a:

Secondo membro dell’equazione di evoluzione (una parabola)

(rsx)x 0 per 0 x r/s

x

dx/dt

r/s0dtxsxr

dx

)(

Se proprio si vuole integrare…

…

r/s

t

x

x(0)

x(0) 1)(

0

0

rt

rt

esxr

erxtx

Soluzione:

Troppi no…ma in branco si sta meglio e ci si difende dai predatori

x

dx/dt

k*0

)()( xxgxfdt

dx

q*

Bistabilità, bacini di attrazione

Sfruttamento della pesca

x

dx/dt

k*0

qExxxgxfdt

dx )()(

q*

qEx

k*

0qE

Irreversibilità !q*

Controllo della pesca e profitti:

Profitto = p(qEx)

Pesca sostenibile (lungo periodo)B

A

Consumatori snob

Tipico esempio di bistabilità: due equilibri stabili con uno instabile intermedio che fa da spartiacque (separatore dei bacini di attrazione)

E’ cruciale il prezzo di partenza

Dinamica del prezzo di un prodotto: dipende da domanda e offerta

)()]()([ pfpSpDkp

Algoritmo dello studio qualitativo (o topologico) di un sistema

dinamico a tempo continuo unidimensionale

1) Si cercano i punti si equilibrio cercando gli zeri di f(x), cioè

risolvendo l’equazione f(x)=0

2) In ogni punto di equilibrio x* si calcola la derivata f’(x*).

Se f’(x*)<0 allora il punto di equilibrio è stabile (tangente a pendenza negativa, vedi approx. lineare)

Se f’(x*)>0 allora il punto di equilibrio è instabile (tangente a pendenza positiva, vedi ancora approx. lineare)

Se f’(x*)=0 l’approx. lineare non ci dà informazioni

)(xfx

Esempio: la parabola della crescita logistica )()( sxrxxfx

f(x) = 0 per q*=0 e x*= r/sf’(x) = r2sxf’(0) = rf’(r/s) = r

x

dx/dt

r/s0In generale, dal polinomio di Taylor:

Approx lineare in un intorno del punto fisso

Anche per la velocità di convergenza (ma solo in un intorno)

Tr = 1/

Se in un punto di equilibrio x* di un sistema dinamico x = f(x) si ha f’(x*) = 0 nulla si può concludere sulla sua stabilità. Si tratta di una situazione di instabilità strutturale e una piccola (anche minima) variazione di un parametro può cambiare la classificazione qualitativa del diagramma di fase.

In tutti questi casi, ad esempio. Abbiamo x* = 0 e f’(0) = 0.

.

Un sistema dinamico è strutturalmente stabile se una piccola modifica nella struttura della equazione di evouzione (es, la modifica del valore di un parametro) non comporta un cambiamento qualitativo dello scenario dinamico

Proprietà generali

L’insieme aperto di tutti i punti xM tali che gt(x)A per t è detto bacino di attrazione di A