Variabili di stato nella vita di tutti i giorni

Ing. Andrea G. ChiarielloDip. Ingegneria Elettrica

Univ.Federico II Napoli

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x

La corrente nell'induttore è variabile di stato     x = IL 

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x

{u=R x L d xd t R2 xy =R2 x

{ẋ =[−RL−R2L ]x 1L uy =R2 xu y{ẋ =A x B uy =C x D u

LKV

Legge di Ohm

Equazioni di stato

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

La corrente nell'induttore è variabile di stato       x1 = I

L

 La tensione sul condensatore è variabile di stato x

2=V

c

legate alle energie immagazzinate 

x1

x2

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x1

{u=Ld x1d t

x 2R2 x 1

x 1=Cd x2d t

y =R2 x

{ẋ 1=−R2L

x 1−1L

x 21L

u

ẋ 2=1C

x 1

y =R2 x 1

y{ẋ =A x B uy =C x Du

LKV

Legge di Ohm

Equazioni di stato

Eq. costitutiva C

x2

u

x = x 1x 2

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x1

ẋ=[−R2L −1L1C

0 ]x[10]u

y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato

x2

u

x= x1x2Polinomio caratteristico

det I−A =0

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x1

ẋ=[−R2L −1L1C

0 ]x[10]u

y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato

x2

u

x= x1x2Polinomio caratteristico

det [ 00 ]−[−R2L − 1L1C 0 ]=0

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x1

ẋ=[−R2L −1L1C

0 ]x[10]u

y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato

x2

u

x= x1x2Polinomio caratteristico

det [ R2L 1L− 1C ]=0

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x1

ẋ=[−R2L −1L1C

0 ]x[10]u

y{ ẋ=A xB uy=C xD uEquazioni di stato

x2

u

x= x1x2Polinomio caratteristico

2R2L 1

LC=0

Variabili di statocircuiti elettrici

u y

x1

ẋ =[−R2L −1L1C

0 ] x [10 ]u

y{ẋ =A x B uy =C x DuEquazioni di stato

x2

u

x = x 1x 2 Polinomio caratteristico

={−R2L R 2L 2

−4 1LC

−R2L

−R 2L 2−4 1LC

Variabili di statoAutomobile

m

u = Forza motrice y = velocità

Fa = forza di attrito

Variabili di statoAutomobile

u = Fmotrice y = velocità 

Fattrito

 = Ka v

Fm −Fa=m a=md vd t

Fm −k a v =md vd t

La velocità è variabile di stato

{Fm −k a x =m ẋy =x {ẋ =−k am x umy =x

prof

Variabili di statoAutomobile

La velocità è variabile di stato  perché è legata all'energia cinetica

Variabili di stato motore elettrico

F=q v x B F=q d Ld t

x B=I d L x B

La forza è proporzionale alla corrente F=K F Is i n angolo compreso tra d l e B

Variabili di stato motore elettrico

=B S tagliata=B S spiras i n t

e =−d d t

=B S spirac o s t

e =K v c o s t

Variabili di stato motore elettrico

e≈K v

La tensione di “reazione” èlineare con la velocità angolare

e=K v [cos t ...cos tN ]

F=K F I [sin t1...sin tN ]

La coppia motrice totale è lineare  con la corrente

Cm≈K m I

Con più spire si ha:

Variabili di stato motore elettrico

e≈K v=K v x2

Cm≈K m I=Km x1

CmCR

J Momento di inerziav

G e

x1

I è variabile di stato perchè è legata all'energia magnetica 

  è variabile di stato perchè è legata all'energia meccanica del sistema

Variabili di stato motore elettrico

e≈K v=K v x2

Cm≈K m I=Km x1

CmCR

J Momento di inerziav

G e

x1

LKV

Equilibrio meccanico

Cmotr i ce−Cattri to−C res i s t en t e= Jd d t

v G=R x 1Ld x1d t

e=R x 1Ld x1d t

K v x 2

Come F=m a

Variabili di stato motore elettrico

e≈K v=K v x2

Cm≈K m I=Km x1

CmCR

J Momento di inerziae

x1

LKV

Equilibrio meccanico

J ẋ2=K m x1−K A x2−Cr

L ẋ1=−R x1−K v x2vG ẋ1=−R

Lx1−

K vL

x21L

vG

ẋ2=K mJ

x1−K AJ

x2−1J

C r

vG

Variabili di stato motore elettrico

CmCR

u e

x1

ẋ 1=−R

Lx 1−

K vL

x 21L

v G

ẋ 2=K m

Jx 1−

K AJ

x 2−1J

C r

ẋ =[−RL −K vLK mJ

−K aJ] x [ 1L−1J]u x=[I L ] u=[vGC r]Con 

Variabili di stato 

{ẋ =A x B uy =C x D u

Sistemi di tipo estremamente diverso possono essere messi nella forma

I modi di evoluzione naturale del sistema possono essere trovati calcolando

Polinomio caratteristico

d e t I−A =0

Variabili di stato 

Il polinomio caratteristico avrà sempre la seguente forma

22nn2=0

2R2L 1

LC=0

es. circuito RLCn Pulsazione di risonanza naturale Coefficiente di smorzamento

{ẋ =A x B uy =C x D u

Sistemi di tipo estremamente diverso possono essere messi nella forma

Variabili di stato 

I modi di evoluzione naturale quindi sono 

1,2=−n±n2−n2

Possono essere reali o complessi coniugati

{ẋ =A x B uy =C x D u

Sistemi di tipo estremamente diverso possono essere messi nella forma

Variabili di stato 

ẋ =A x

Soluzione Omogenea (senza forzamento)

Soluzioni reali 

x 1 o m=K 1 e1 tK 2 e

2 t

x 2 o m=K 3 e1 tK 4 e

2 t

I modi sono non oscillanti si smorzano esponenzialmente

Variabili di stato 

ẋ =A x

Soluzione Omogenea (senza forzamento)

Soluzioni immaginarie 

x1om=K1 e t cosd t K2 e

t sin d t

I modi sono oscillanti si smorzano esponenzialmente

Se     è piccolo  le oscillazioni durano molto tempo si smorzano lentamente e hanno un frequenza prossima a quella di risonanza del sistema.  

1 , 2=± jd

x2om=K 3 e t cos d t K 4 e

t sin d t

Variabili di stato Forzamento sinusoidale 

Alla risonanza ho un massimo nella risposta in frequenza 

Il massimo è

∣M∣= 12

Per contenere questo valore devo aumentare lo smorzamento del sistema

Il pendolo

l ̈=−g sin

Piccole    oscillazioni

l ̈=−g

Pulsazione caratteristica = glPeriodo di oscillazione T=2 lg

DiapasonIl suono di riferimento per l'intonazione di base degli strumenti musicali è la nota la3,  la cui altezza deve corrispondere alla frequenza di 440 hertz (hz) , misurata alla temperatura ambiente di 20 gradi centigradi. (Legge 3 maggio 1989, n. 170)

Xilofono

File da visualizzare:

La Carmen di Bizet(http://www.youtube.com/watch?v=GPbYVA88uw)

 

Pianoforte 

File da visualizzare: 

Meccanica del pianoforte( http://www.rennerusa.com/flash/AniActionModel.swf)

Carosone(http://www.youtube.com/watch?v=lGLqx3zVcJ8)

 

Chitarra

File da visualizzare: Yngwie Malmsteen Beethoven`s 5th symphony

( http://www.youtube.com/watch?v=rrhdx5W8GFI)

 

Glassarmonica 

File da visualizzare: 

Hungarian dance n°5Brahms(http://www.youtube.com/watch?v=rBNYRx0i0Js)

 

Grattacielo 

Effetti disastrosi della risonanza 

Effetti disastrosi della risonanzaponte di Tacoma (Washington)

Lunghezza 1524 metri

Larghezza 12 metri  

Aperto al traffico il 1 luglio 1940

Crollo   7 novembre 1940 

File da visualizzare: ponte Tacoma  (http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs)

Effetti disastrosi della risonanza:Millenium Bridge 

Riva sud del Tamigi.

Aperto: giugno del 2000

L'oscillazione laterale del ponte induceva i passanti a modificare la propria andatura fino a camminare tutti all'unisono.

L'oscillazione spostava il piano del ponte da destra a sinistra per 7 cm

Effetti disastrosi della risonanza:Bicchiere di cristallo 

Per rompere il vetro comune 160170 dB

Cantante lirico può produrre suoni di livello massimo intorno ai  110 dB

Si può ottenere con l'altoparlante di uno stereo domestico, o uno strumento musicale come il clarinetto

Conclusione

● Le dinamiche del 2° ordine governano il comportamento di molti fenomeni fisici

● Gli effetti della risonanza possono essere disastrosi e vanno combattuti smorzando le dinamiche del 2° ordine che possono essere eccitabili nel sistema considerato

● Gli effetti della risonanza possono essere usati saggiamente a nostro vantaggio