Capitolo 2

Università di Roma “La Sapienza”

Laurea specialistica in Ingegneria ElettronicaLaurea specialistica in Ingegneria Elettronica

Circuiti a tempo discretoRaffaele ParisiRaffaele Parisi

Capitolo 2: Esempi di Sequenze e di Circuiti TDSequenze notevoli, periodicità delle sequenze, esempi di circuiti TD (fil i di bil ) i l i TD di i i i l i i(filtro in media mobile), simulatori TD di circuiti analogici.

1

Capitolo 2

SEGNALI A TEMPO DISCRETO: SEQUENZE

• I segnali a tempo-discreto (TD) sono matematicamente rappresentati con una sequenza di numeri:

x[n] oppure X = {x[n]}, - ∞ < n < ∞ (n intero).[ ] pp { [ ]}, ( )

• Nel caso in cui la sequenza derivi dal campionamento di un q psegnale analogico xa(t) si ha :

x[n] = x (nT) con T ≡ periodo di campionamentox[n] xa(nT) con T ≡ periodo di campionamento

2

Capitolo 2

• Rappresentazione grafica di un segnale TD (sequenza numerica x[n]):

x[n]

x[0]

[ 1][ 1] x[+1]

x[+2]

x[+3]

x[-1]

x[-2]

x[-3]

n... -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 ... x[+4]

[ 4]x[+5]

x[+6]x[+7]

x[-4]

x[-5]

3

Capitolo 2

• SEQUENZE NOTEVOLI:

1. Impulso unitario

δ[n]δ[n]

δ[n] = 1 n = 0

0 altrove1

n

• Proprietà del campionamento dell’impulso unitario:

“Una sequenza arbitraria può essere rappresentata comeUna sequenza arbitraria può essere rappresentata come una somma di impulsi ritardati e scalati”

4

Capitolo 2

[ ]E i x[n]

x[-3] = -2; x[-2] = -1; x[-1] = 1;

Esempio

2

1

x[0] = 2; x[1] = -1; x[2] = 2;

n-3 -2 -1 0 +1 +2-1

-2

[ ] 2 [ 3] [ 2] [ 1] 2 [ ] [ 1] 2 [ 2]x n n n n n n nδ δ δ δ δ δ= − + − + + + + − − + −

In generale:

[ ] 2 [ 3] [ 2] [ 1] 2 [ ] [ 1] 2 [ 2]x n n n n n n nδ δ δ δ δ δ+ + + + + +

∞

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n kδ∞

=−∞

= −∑5

k

Capitolo 2

2 Gradino unitario2. Gradino unitario

u[n]

u[n] = 1 n 0≥

u[n]

1 [ ]0 n < 0

n

• Proprietà:n

∑ (somme accumulate)u[n] = δ[k]k=−∞

∑• In alternativa, u[n] può essere espresso come somma di impulsi ritardati:

6[ ] [ ] [ ] [ ]1 2u n n n nδ δ δ= + − + − +…

Capitolo 2

• Si può verificare che valgono le due relazioni seguenti:

u[n] = δ[n − k]+∞

∑k= 0

δ[n] = u[n] − u[n −1]

e quindi è possibile definire famiglie di sequenze mediante le

[ ] [ ] [ ]

e quindi è possibile definire famiglie di sequenze mediante le operazioni di somme accumulate e di differenza finita, cosìcome avviene per i segnali a tempo continuo tramite le p g poperazioni di integrazione e di derivazione.

7

Capitolo 2

3. Rampa unitaria

r[n]

[ ] [ ]n

r n u k= ∑

[ ]

4

5

[ ] [ ]k=−∞∑

[ ] [ ] [ ]1u n r n r n= − −2

3

n-3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

8

Capitolo 2

4. Esponenziale realep

[ ] A nx n α= A, α reali

• Le sequenze esponenziali sono fondamentali nello studio dei sistemi lineari (soluzioni di equazioni differenziali lineari a

[ ]

sistemi lineari (soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti).

[ ]Andamenti possibili:

-1 < α < 0x[n]

x[n]Andamenti possibili:

0 < α < 11 α 0

A A

nn

9

Capitolo 2

x[n]x[n]

α = -1x[n]

α = 1

nn

[ ]

α >1 α < -1x[n] x[n]

nn

n

10

Capitolo 25. Esponenziale complesso

[ ] A nx n α= A, α complessijφ

je ωα α=[ ]jA A e φ=

Formula di Eulero: cos senje jγ γ γ= + ω pulsazione (rad/campione)

[ ] ( )A n j nx n e ω φα += =

2f ωπ=

φ

frequenza

fase iniziale[ ]( ) ( )

( )A

A cos A sin

j

n n

x n e

n j n

φα

α ω φ α ω φ

= =

= + + +

decrescente

( ) ( )jφ φ

1α <• x[n] ha un inviluppo identico all’andamento dell’esponenziale reale

decrescente

costante

crescente

1

0

α

α

=

>11

crescente0α >

Capitolo 2

Casi particolari:

( )• |α |= 1 (esponenziale complesso puro): ( )j nA e ω φ+

• coseno reale: ( )( ) ( )

cos2

j n j ne enω φ ω φ

ω φ+ − ++

+ =( )2

( ) ( )j n j nω φ ω φ+ − +

• seno reale: ( )( ) ( )

sen2

j n j ne enj

ω φ ω φ

ω φ+ +−

+ =

12

Capitolo 2• Proprietà 1 dell’esponenziale complesso (indistinguibilità in f )

( )0 2ω π+“Sostituendo al posto di si ottiene una sequenza 0ω

frequenza):

identica a quella di partenza”:( ) ( )0 02 2j n n j n j ne e eω π φ ω φ π+ + +=

=1

e e e=

• Questa proprietà vale per tutte le pulsazioni , con r intero.0 2 rω π+

• Ciò significa che ci si può limitare a considerare per ω (e quindi f) un intervallo di lunghezza 2π (f =1), per esempio:

0 2ω π≤ ≤ π ω π− ≤ ≤

0 1f≤ ≤ 0 5 0 5f≤ ≤

g (f ) p poppure

oppure

(valore principale)

0 1f≤ ≤ 0,5 0,5f− ≤ ≤oppure

• Si può dire che le “alte frequenze” si hanno per ω intorno a ± π,

13le “basse” per ω intorno a 0 e 2π.

Capitolo 2

ω0

ω0= 0, 2π ω0= π/3, 7π/3

ω0= π, 3πω0= π/6, 13π/6

14

ω0 π, 3πω0 π/6, 13π/6

• Grafici della sequenza cos(ω0n) per diversi valori di ω0

Capitolo 2

• PERIODICITÀ DI UNA SEQUENZA

La sequenza x[n] si dice periodica di periodo N se risulta:

x[n] = x[n + N]per qualunque valore di n.

• Importante è il caso dell’esponenziale complesso, per il quale vale la seguente proprietà.

15

Capitolo 2

• Proprietà 2 dell’esponenziale complesso (periodicità nel TD):Proprietà 2 dell esponenziale complesso (periodicità nel TD):

“Non tutti gli esponenziali complessi sono periodici”

Secondo la definizione di sequenza periodica, deve infatti risultare:

( ) [ ]0 00

22j n N j n ke e N k Nω φ ω φ πω π+ +⎡ ⎤ +⎣ ⎦ = ⇒ = ⇒ =

risultare:

cioè solo se i valori di ω0 e k sono tali che N risulta intero, allora

00ω

0la sequenza esponenziale è periodica!

Siccome la sequenza sinusoidale è un caso particolare di quellaSiccome la sequenza sinusoidale è un caso particolare di quella esponenziale complessa, ne deriva che una sequenza sinusoidale può essere non periodica!

16

p p

Capitolo 2

ESEMPI DI CIRCUITI-ALGORITMI TD

1. Filtro in “Media Mobile” (Moving Average, MA)Eff di “fi ” h ll di iEffettua una media su una “finestra” che scorre sulla sequenza di ingresso x[n] (“sliding window”):

9 -

8 -

x[n]

7 -

6 -

5 -

44 -

3 -

2 -

1

[ ] {0 1 6 3 4 5 6 6 2 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 9 5 4 3 2 1 0}

1 -

0n

17

x[n] = {0, 1, 6, 3, 4, 5, 6, 6, 2, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 5, 4, 3, 2, 1, 0}

Capitolo 2

• Algoritmo:

[ ][ ][ ] [ 1] 1[ ]

x n x n x n Ny n

N+ + + + + −

=…

n = 0, 1,…

N l h d ll fi t

N

N = lunghezza della finestra

• N.B. In questo caso il campione dell’uscita all’istante n dipende dai valori successivi dell’ingresso (circuito non causale).

18

Capitolo 2

• Circuito TD per il calcolo della media mobile:Circuito TD per il calcolo della media mobile:

x[n+N-1][ ]

D

D [ ]

x[n+N-2]

D1/N

y[n]

D

x[n+1]

[ ][ ] [ 1] 1[ ]

x n x n x n Ny n

N+ + + + + −

=…

x[n]N

19

Capitolo 2

Esempio (N = 3)Esempio (N 3)

[ ] 0 1 6 70 ;3 3

y + += = [ ] 1 6 3 101 ;

3 3y + +

= = [ ] 6 3 4 132 ;33y + +

= = [ ] 3 4 53 4;3

y + += =

[ ] 4 5 64 5;3

y + += = [ ] 5 6 6 175 ;

3 3y + +

= = .....

[ ]y n

n

Il filtro in media mobile esegue una regolarizzazione (o “smoothing”) sui dati.

20

Capitolo 2

2. Filtro in Media Mobile Pesata

La media viene pesata con dei coefficienti opportuniLa media viene pesata con dei coefficienti opportuni

• Algoritmo:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1 1 1y n h x n h x n h N x n N= ⋅ + ⋅ + + + − ⋅ + −…

Algoritmo:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1 1 1y n h x n h x n h N x n N+ + + + +…

0,1,n = …

[ ]h k : coefficienti della media pesata[ ]h k : coefficienti della media pesata

21

Capitolo 2

• Circuito TD per la media mobile pesata:• Circuito TD per la media mobile pesata:

x[n+N-1]

h[N-1]

x[n+N-2]

h[N-2] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1y n x n h x n h= + + +…

h[0]

x[n+1]

x[n]

22

Capitolo 2

• In genere i coefficienti h[k] sono tali che: [ ]1

0

1N

k

h k−

=

=∑Esempio

h[k]

3/9

h[k] =19

1,2,3,2,1{ }2/9

1/9

k0 1 2 3 4

23

Capitolo 2

SIMULAZIONE (O EMULAZIONE) DI UN CIRCUITO ( )ANALOGICO (TC) TRAMITE UN CIRCUITO A TEMPO DISCRETO (TD)

Soluzione del circuito TC:+

Circuito RL:

e(t)+

i(t)R

LL di

dt+ Ri(t) = e(t)

(0) i

In generale (soluzione nel TC = calcolo equazione differenziale):

- i(t) i(0) = i0

In generale (soluzione nel TC = calcolo equazione differenziale):

A dy+ By(t) = x(t) A LA

dt+ By(t) = x(t)

y(0) = y0

A ↔ LB↔ R

24

Capitolo 2

• L’equazione differenziale può essere risolta numericamente• L equazione differenziale può essere risolta numericamente approssimando la derivata con il rapporto incrementale (è ciò che si fa nei programmi di analisi automatica come SPICE):p g )

T è il periodo di i

dydt

= ′ y (t) ≅y(t) − y(t − T)

T

Ne segue:

campionamentodt T

A[y(t) − y(t − T)]+ BTy(t) ≅ Tx(t)

Ponendo t = nT (cioè campionando):

(A+ BT)y(nT) − Ay(nT − T) ≅ Tx(nT)

25

Capitolo 2

Si id il i it TD i (è t• Si considera ora il circuito TD con memoria (è presente un ritardo) che produce la sequenza y[n]=y(nT):

Ponendo:

(A+ BT)y[n]− Ay[n −1] = Tx[n]

Ponendo:a0 =1; a1 = A

A+ BT; b0 = T

A+ BT

l’equazione si può riscrivere nel modo seguente:

y[n] = b x[n]+ a y[n −1]

Circuito TD: x[n] y[n]

y[n] = b0x[n]+ a1y[n −1]

C cu o :

T

x[n]b0

a

y

Ritardo unitario

26

a1

Capitolo 2

• La soluzione dell’equazione differenziale, supponendo e(t) = ELa soluzione dell equazione differenziale, supponendo e(t) E (costante) e i(0)=0, è:

E R⎛ ⎞ i(t) =

ER

1−e−

RL

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

e rappresenta naturalmente il processo di carica di un induttore.

R⎝ ⎠

pp pi(t)

EER

t

27

Capitolo 2

La sol ione liti dell’ i ll diff :• La soluzione analitica dell’equazione alle differenze:

y[n] = b0x[n]+ a1y[n −1]

si può ottenere calcolando successivamente (calcolo ricorsivo)

0 1

i valori di y[n] per n=1,2,... , supponendo x[n]=E e y[0]=0:

n =1: y[1] = b0E =T

L + RTE

n = 2 : y[2] =T

L + RTE +

LL + RT

⋅T

L + RTE =

L + RT L + RT L + RT

= 1+L⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

T E28

L + RT⎝ ⎜

⎠ ⎟

L + RT

Capitolo 2

T L L⎛ ⎜

⎞ ⎟

Tn = 3: y[3] =T

L + RTE +

LL + RT

1+L

L + RT⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

TL + RT

E =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = 1+

LL + RT

1+L

L + RT⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ T

L + RTE =

= 1+L

+L⎛

⎝⎜

⎞ ⎠⎟

2⎡ ⎢

⎤ ⎥

T E

……...L + RT L + RT⎝

⎜ ⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥ L + RT

• La soluzione generale ha quindi la seguente espressione:

L L⎛ ⎜

⎞ ⎟

2 L⎛ ⎜

⎞ ⎟

n−1⎡ ⎢

⎤ ⎥

Ty[n] = 1+L

L + RT+

LL + RT

⎛⎝ ⎜

⎞⎠ ⎟ + ...+ L

L + RT⎛⎝ ⎜

⎞⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥

TL + RT

E

29Somma di n-1 termini in progressione geometrica con ragione L/(L+RT)

Capitolo 2

che si può scrivere anche come:

1- LL + RT

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

n

T E 1⎛ ⎜

⎞ ⎟

n⎡ ⎢ ⎢

⎤⎥⎥y[n] = L + RT⎝ ⎠

1- LL RT

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⋅T

L + RTE = E

R1−

1

1+RTL⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎠

⎟ ⎟ ⎟

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎦

⎥⎥⎥

S i f l’i i h RT L ( i è h T L/R il h è

L + RT⎝ ⎜

⎠ ⎟ L⎝ ⎠ ⎣ ⎢ ⎦⎥

Se si fa l’ipotesi che RT<< L (cioè che T<< L/R, il che è plausibile), si può approssimare l’esponenziale eRT/L mediante i primi due termini dello sviluppo in serie di Taylor:primi due termini dello sviluppo in serie di Taylor:

RT RTe L ≅1+RTL

30

Capitolo 2

• In tal caso si ha:

y[n] ≅E 1−e

−RL

nT⎛ ⎜

⎞ ⎟ = i(nT)y[n] ≅

R1 e

⎝ ⎜

⎠ ⎟ = i(nT)

cioè l’uscita del circuito TD (simulatore) è una approssimazionedell’uscita campionata del circuito TC.

E

dell uscita campionata del circuito TC.

ER

……...n

……...

31

Capitolo 2Osservazioni

• All’equazione differenziale nel TC (nel caso presente del primo ordine) corrisponde un’equazione alle differenze nel TD, dovuta al

l l di d ll d i• Per il calcolo discreto della derivata si possono usare diversi

t di i i d l i di (E l di tt i

calcolo discreto della derivata.

metodi numerici, del primo ordine (Eulero diretto e inverso, trapezoidale) o di ordini superiori, ad ognuno dei quali si associa un diverso equivalente circuitaleun diverso equivalente circuitale.• L’errore d’approssimazione che si introduce inevitabilmente nella simulazione dipende dal metodo adottato per il calcolo p pnumerico della derivata, dal periodo di campionamento T scelto e dalla struttura del circuito analogico da simulare.• Sussiste una relazione duale tra la soluzione ricorsiva dell’equazione alle differenze (algoritmo) ed il funzionamento del i l ( i i TD)

32simulatore (circuito TD).