Capitolo 2 - Nozioni base di acustica - Dipartimento...

Metodi numerici per l’acustica 1 Cap. 2 – Nozioni base di acustica

Capitolo 2 - Nozioni base di acustica

Indice- Definizioni- Pressione e velocità- Propagazione nei fluidi- Grandezze acustiche


• ACUSTICA:Scienza del suono

“L’acustica è il campo della scienza che tratta della generazione, della propagazione e della ricezione di onde in mezzi elastici (gassosi, liquidi, solidi)”

Definizioni (1)


• I movimenti di un corpo vengono trasmessi attraverso un mezzo elastico sotto forma di perturbazione di pressione.

• La variazione di pressione entro una certa banda di frequenza viene percepita dall’orecchio umano come sensazione sonora.

• La banda delle frequenze udibili è compresa all’incirca tra 20 Hz e 20 kHz. Al di sotto si parla di infrasuoni, al di sopra di ultrasuoni.

Definizioni (2)


Definizioni (3)

• Suono:- vibrazione acustica di un mezzo

• Mezzo acustico:- può essere fluido o solido- deve possedere elasticità e inerzia

• Onda sonora:- È il propagarsi di un moto oscillatorio che

le particelle del mezzo si comunicano sequenzialmente, oscillando attorno alla loro posizione media


Onde nei fluidi e nei solidi

• Onde sonore nei fluidi:sono possibili solo onde longitudinali

• Onde sonore nei solidi:si possono avere diverse soluzioni

onde longitudinali o di compressione

onde di taglio


Pressione sonora e velocità (1)

• Pressione sonora:differenza tra la pressione istantanea totale ptot e la pressione statica p0

• Velocità delle particelle:velocità delle particelle del mezzo acustico (ipotizzato in quiete, v0=0)

NOTA Tutte le particelle oscillano intorno alle loro posizioni medie c’è solo trasporto dell’energia!

0totp p p= −

tot=v v



• Velocità e spostamento:

in cui ξξξξ è lo spostamento della particella dalla sua posizione di equilibrio

Nel caso di un movimento sinusoidale:

dtdξv =

ξv ⋅= ω



• Le oscillazioni (o vibrazioni) delle particelle avvengono con fasi diverse nella direzione della perturbazione

• In particolare:- in alcune zone le particelle si addensano, in altre si

rarefanno- densità del gas e pressione variano di conseguenza

pressione

spostamento

lunghezza d’onda λ



• Propagazione di un’onda pianaa riposo

in vibrazione

pressione (p)

velocità delle particelle (v)

spostamento (ξξξξ)

λdirezione di propagazione



• Propagazione di un’onda piana

NB: tra lo spostamento e la pressione c’è una rotazione di fase di 90o

Quando lo spostamento è massimo o minimo, la distanza tra particelle contigue è la stessa che si ha a riposo

La pressione sonora è nulla



• Lunghezza d’onda λ

• Esempi- Aria

c = 340 m/sf = 20 Hz

- Acquac = 1450 m/sf = 20 Hz

velocità del suono [m/s] frequenza [Hz]

cf

λ = =

λ = 17 m

λ = 72,5 m


Propagazione nei fluidi (1)

• Si considerano fluidi ideali, cioè- omogenei,- isotropi- perfettamente elastici- non dissipativi

• Punto di partenza:- equazione di Eulero- equazione di continuità



• Equazione di EuleroE’ la seconda legge della dinamica di Newton applicata al volume elementare V0 contenente una massa ρV0 di fluido.

dx

dy

dz

z

x

yfx

xpx

∂∂e



• Supponendo che la pressione sonora p cresca secondo la direzione x con un gradiente , si ha che la forza nella direzione x vale:

p x∂ ∂

0 ( )xp pf dx dy dz Vx x

∂ ∂= − = − ⋅∂ ∂

La massa nel volume V0 è ρV0 , essendo ρ la densità del fluido. Applicando la II legge della dinamica (F=ma):

0 0xdup V V

x dtρ∂ ⋅ = −

∂



• Nell’ipotesi di piccole variazioni di densità (rispetto alla densità all’equilibrio ρ0) si ha:

in cui:

Solitamente il secondo termine è trascurabile, per cui:

0xdup

x dtρ∂ = −

∂

x x xx

du u uudt t x

∂ ∂= +∂ ∂

0xup

x tρ ∂∂ = −

∂ ∂



• In tre dimensioni:

Introducendo i versori degli assi ex ,ey e ez :

0grad pt

ρ ∂= −∂u

0 0 0; ; yx zuup p p ux t y t z t

ρ ρ ρ∂∂∂ ∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0x y zp p px y z t

ρ∂ ∂ ∂ ∂+ + = −∂ ∂ ∂ ∂

ue e e

e usando il gradiente:

equazione di Eulero o equazione del moto



• Equazione di continuitàEsprime il principio secondo il quale il flusso della massa che attraversa le pareti del volume elementare deve uguagliare la variazione della massa al suo interno.

dx

dy

dzz

x

y

xpx

∂∂e

( )x dy dzρξ( )( )x

x dx dy dzxξρ ξ ∂+

∂

ξξξξ è lo spostamento



La variazione della massa all’interno di V0 dovuta allo spostamento nella direzione x è

( ) ( )( ) ( )x xx xdy dz dx dy dz dx dy dz

x xξ ξρξ ρ ξ ρ∂ ∂− + = −

∂ ∂

La variazione totale della massa deve essere uguale alla variazione di densità del fluido:

0

( ) ( ) ( )

( )

yx zdx dy dz dy dx dz dz dx dyx y z

dx dy dz

ξξ ξρ ρ ρ

ρ ρ

∂∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

= − −



0 0

0

ρ ρ ρ ρδρ ρ− −= ≈

Si ottiene:

div yx z

x y zξξ ξ δ δ

∂∂ ∂+ + = − ⇒ = −∂ ∂ ∂

ξ

Si introduce la condensazione δ come variazione relativa di densità del fluido.

e derivando:

div utδ∂= −

∂equazione di continuità del flusso (legge di conservazione della materia)



• Equazione di statoTiene conto del comportamento termodinamico del fluido. Si assume che la perturbazione sonora non dia luogo a variazioni di temperatura (processo adiabatico): P è la pressione totale e γ è il rapporto tra i

calori specifici del gas a pressione e a volume costante

costantePV γ =

Considerando il gas a riposo e in presenza della perturbazione sonora rispettivamente si ha:

e quindi0 0p V PVγ γ=

00

VP pV

γ =



In funzione della densità:0

0

P pγ

ρρ

=

In termini differenziali (nell’ipotesi di piccole variazioni di densità): 1

00 0

0 0 0

ddP p pγ

ρ ρρ ργ γρ ρ ρ

− −= ≈

cioè in funzione della pressione sonora p:

0p pγ δ=

equazione di stato

e derivando:

0

1 pp t t

δγ∂ ∂=∂ ∂



• Equazioni dell’ondaL’equazione di Eulero, l’equazione di continuità e l’equazione di stato possono essere combinate tra loro per ottenere l’equazione dell’onda

e derivando:(*)

0

1

div u

pp t t

t

δγ

δ

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ = − ∂

0 div p pt

γ∂ = −∂

u

2

02 div ( )p pt t

γ∂ ∂= −∂ ∂

u



Applicando l’operatore di divergenza all’equazione di Eulero:

cioè ( , in cui è l’operatore laplaciano):2div (grad )p p= ∇

0div (grad ) div ( )pt

ρ ∂= −∂u

20 div ( )p

tρ ∂∇ = −

∂u

e combinando con la (*):

22

2 2

1 ppc t

∂∇ =∂

equazione dell’onda

∇2



è la velocità di propagazione dell’onda nel gas0

0

pc γρ

=

L’equazione dell’onda si può estendere a qualunque fluido (anche liquido) ponendo:

0

sKcρ

=

in cui Ks è il modulo di elasticità adiabatico del fluido (1/ Ksè la compressibilità adiabatica).



Velocità di propagazione nei gasSe si assume per l’aria:

3 5 o0 01, 292 kg/m , 1,402, 1 atm=1,0133 10 Pa, 0p Tρ γ= = = ⋅ =

si trova c0=331,6 m/s, valore molto prossimo a quello solitamente accettato (331,45 m/s).Per quanto riguarda la dipendenza dalla temperatura si ha:

0 0 1273,16 273,16

kT Tc c c= = +

in cui Tk è la temperatura in Kelvin. A 23º si ha c=345,4 m/s.



Velocità di propagazione nei liquidiIn questo caso si usa la relazione:

Si trova che nell’acqua distillata a 20º c=1481 m/s.La dipendenza dalla temperatura viene solitamente rappresentata con relazioni di tipo empirico.

0

sKcρ

=

Velocità di propagazione nei solidiAcciaio: 6095 m/sQuarzo: 5485 m/sLegno (abete, faggio): 3300 m/s


Onde piane (1)

Una soluzione importante sono le onde piane, in cui le grandezze acustiche dipendono da un’unica variabile spaziale. In tal caso:

e la soluzione è la somma di due termini:

in cui f e g sono due funzioni arbitrarie e rappresentano rispettivamente un’onda che si muove nella direzione positiva delle x e un’onda nella direzione opposta, alla velocità c.

2

2

22

2 1tp

cxp

∂∂

∂∂ =

p(x,t) = f t − xc

+ g t + x

c


Onde piane (2)

x

xp

p t=t1

t=t2

c(t2-t1)

Esempio di onda piana progressiva che si propaga con velocita’ c.

x

p

x

p

Esempi di onde piane progressive generate da un pistone all’interno di un condotto:

Singolo impulso di pressione

Onda armonicaω


Onde piane (3)

)cos()( cos),( ϕωϕω +−=

+−= kxtpcxtptxp

Nel caso di onde sinusoidali:

in cui k = ω/c è il numero d’onda. Per un fissato t la pressione assume gli stessi valori a intervalli λ= 2π/k,essendo λ la lunghezza d’onda:

λ = 2π cω

= cf

= cT

N.B. Nell’aria alla temperatura di 23 ºCc = 345 m/s

f = 100 Hz λ = 3,45 mf = 1 kHz λ = 0,345 mf = 10 kHz λ = 3,45 cm


Onde sferiche (1)

Un secondo tipo di soluzione è quello delle onde sferiche, caratterizzate da simmetria radiale ed emesse da una sorgente puntiforme nello spazio illimitato. In questo caso le grandezze del campo dipendono dalla distanza r dalla sorgente.

In coordinate sferiche il laplaciano si scrive:

2

2

2

22 )(12

rrp

rrp

rrpp

∂∂

∂∂

∂∂ =+=∇


Onde sferiche (2)

L’equazione dell’onda diventa:

2

2

22

2 )(1)(trp

crrp

∂∂

∂∂ =

La soluzione è analoga a quella delle onde piane scritta per la variabile rp:

e quindi:

++

−=cxtg

cxtfrp

++

−=cxtg

rcxtf

rtxp 11),(


Onde sferiche (3)

Nella relazione precedente f e g sono due onde sferiche, divergente e convergente rispettivamente.In particolare nel caso di un’onda sferica armonicadivergente:

)cos(),( ϕω +−= krtrptxp

NOTA Contrariamente a quello che avviene con le onde piane, la pressione sonora di un’onda sferica si attenua in modo inversamente proporzionale alla distanza.


Impedenza acustica (1)

Un’onda piana progressiva è rappresentata dall’equazione:

−=cxtftxp ),(

La velocità di particella può essere calcolata con l’equazione di Eulero applicata alla direzione x:

'0

1xu p xf tt x c c

ρ ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ 0

1x

xu f tc cρ

= −

cioè velocità e pressione hanno lo stesso andamento (sono in fase).



Il rapporto tra pressione sonora e velocità della particella ècostante e pari a:

cupZ 00 ρ==

⋅=⋅2mskg

msPa

Z0 è l’impedenza acustica caratteristica del mezzo.

I valori più elevati si hanno nei solidi (107 ).

In aria a 20º si ha Z0 =415 .

In acqua Z0 = 1,48 x 106 .

s/mPa ⋅

s/mPa ⋅s/mPa ⋅



L’impedenza acustica caratteristica è analoga ad altre grandezze fisiche come l’impedenza di una linea di trasmissione, l’indice di rifrazione della luce, l’impedenza elettrica in un circuito.

NB: l’impedenza acustica caratteristica vale per le onde piane ed è un caso particolare dell’impedenza acustica specifica (impedenza acustica per unità di superficie).

L’impedenza acustica specifica in generale è una quantitàcomplessa Z=R+jX, essendo R la resistenza acustica specifica e X la reattanza acustica specifica.



EsempioNelle onde sferiche pressione e velocità non sono in fase, quindi l’impedenza acustica specifica è una quantitàcomplessa. In particolare, dipende dal rapporto tra la distanza r dalla sorgente e la lunghezza d’onda λ.

Quando r >>λ (cioè l’onda è assimilabile ad un’onda piana) allora:

R → ρ0cX → 0


Riflessione, trasmissione, diffrazione

•Il passaggio di un’onda acustica da un mezzo ad un altro implica la considerazione di fenomeni di riflessione, trasmissione e diffrazione, che dipendono in modo essenziale dalle proprietà fisiche della superficie di separazione e dei due mezzi.

•I due mezzi possono essere entrambi fluidi oppure un fluido e unsolido (in questo caso le proprietà variano in modo brusco).

•Anche le caratteristiche di uno stesso mezzo possono variare (esempio: aria con gradiente di temperatura).

•In prima approssimazione i fenomeni di riflessione e trasmissione possono essere trattati con i principi dell’acustica geometrica.


Riflessione e trasmissione (1)

Si consideri un’onda piana armonica di ampiezza che si propaga nella direzione positiva delle x da un mezzo con impedenza Z1=ρ1c1 a un mezzo con impedenza Z2=ρ2c2.

p

p r

p i

p t

ρ1c1 ρ2c2x0

Si indicano con , e le ampiezze dell’onda incidente, riflessa e trasmessa rispettivamente.

p i p r p t



Si definiscono le quantità:

r = p rp i

Siccome la pressione sonora nei due mezzi sulla superficie di separazione è la stessa si ha:

p i + p r = p t

τ = p tp i

coefficiente di riflessione

coefficiente di trasmissione

Analogamente per la velocità di particella:u i + u r = u t



Ricordando che p/u = ± Z (il segno dipende dal verso di propagazione) si ha:

p i − p rZ1

= p tZ2

Usando le relazioni precedenti si ricava:

r = Z2 − Z1

Z2 + Z1

= 1− Z1 /Z2

1+ Z1 /Z2

τ = 2Z2

Z2 + Z1

= 21+ Z1 /Z2

•Z1=Z2 l’onda viene totalmente trasmessa.

•Z1<Z2 r > 0

•Z1>Z2 r < 0



Nel caso di incidenza obliqua:

x0θi

θr θt

Come in ottica geometrica, si ha:

sen θi = sen θrsen θt

sen θi

= c2

c1

legge di Snell

Si definisce angolo critico :θc

θc = arcsen(c1

c2

) Se c1 < c2 e θi > θc non si ha trasmissione



In presenza di mezzi solidi il modello è più complicato a causa della presenza di onde trasversali.Nell’ipotesi semplificativa di incidenza normale e assenza di onde trasversali, il solido puo’ essere descritto da una impedenza acustica specifica normale (complessa):

Zn = Rn + jXne si ha:

r = (Rn − Z1) + jXn

(Rn + Z1) + jXn

τ = 2(Rn + jXn )(Rn + Z1) + jXn


Diffrazione (1)

La riflessione e la trasmissione sono stati trattati nell’ipotesi che le superfici di separazione tra i mezzi fossero infinitamente estese.

Tuttavia (a differenza di quanto avviene in ottica) le lunghezze d’onda sono solitamente confrontabili con le dimensioni degli oggetti presenti nell’ambiente dove ha luogo la propagazione diffrazione

La diffrazione è un fenomeno complesso e ha un ruolo importante in numerose applicazioni (per esempio nello studio di barriere acustiche)


Diffrazione (2)

λ

d

d

λ

Esempio: onda piana che attraversa un’apertura in un divisorio di impedenza acustica infinita

d >>λ: oltre l’apertura l’onda èlimitata spazialmente

d < λ: oltre l’apertura l’onda si propaga anche nella zona d’ombra acustica


Diffrazione (3)

Esempio: onda piana che incide su un ostacolo

d >>λ: oltre l’ostacolo c’è una zona d’ombra acustica

d < λ: oltre l’ostacolo l’onda si propaga anche nella zona d’ombra

λ

d

λ

d


Interferenza di onde (1)

Se le perturbazioni sonore sono piccole, in presenza di più onde si puo’ applicare la sovrapposizione degli effetti. In tal caso, se le onde hanno la stessa frequenza, il risultato dipende dalla relazione di fase tra di esse (interferenza costruttiva o distruttiva).

Caso notevole: battimenti. Si considerino due onde armoniche (per semplicità si è considerato solo il termine temporale della fase):

p1 = p 1 cos(2πf1t)p2 = p 2 cos(2πf2t)

Si supponga:p 1 = p 2 e f2 = f1 + ∆f


Interferenza di onde (2)

L’onda risultante è:

p = p 1 ⋅ cos(2πf1t) + cos(2πf2t)[ ]

L’onda risultante ha una frequenza che è la media aritmetica delle frequenze, mentre la sua ampiezza varia sinusoidalmente con una frequenza data dalla semidifferenza delle frequenze.

p = 2p 1 cos π f2 − f1

2

t

cos π f2 + f1

2

t

cioè:


Onde stazionarie (1)

ω

Si consideri un’onda piana armonica in un condotto terminato:

Se la terminazione ha un’impedenza acustica molto elevata, l’onda riflessa ha la stessa ampiezza di quella incidente e l’onda risultante sarà:

p

p = p cos ω t − xc

+ cos ω t + x

c

Cioè:

p = 2p cosωxc

cosωt



L’espressione:

mostra che nel condotto si ha un’onda la cui ampiezza è.

In particolare si ha sempre:

p = 2p cosωxc

cosωt = 2p cos 2π

λx

cos2πft

2p cos2πx /λ

cos 2πxλ

= 0 per x = λ4

+ k λ2

, k = 0,±1,...

nodi dell’onda

cos 2πxλ

= ±1 per x = k λ2

, k = 0,±1,...

ventri dell’onda (o antinodi)



Si hanno onde stazionarie in ogni spazio chiuso di forma regolare; Si parla in tal caso di modi propri di vibrazione o modi di risonanza.In generale la distanza d tra le pareti determina le frequenze di risonanza possibili. La frequenza più bassa è data da:

mentre le altre frequenze sono multipli interi della piùbassa:

f = c2d

fn = n c2d


Grandezze fondamentali (1)

Intensità sonoraL’intensità sonora I è la quantità di energia che attraversa una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda. Si misura in W/m2.

dx

u

Nell’intervallo dt per effetto della pressione p le particelle vengono spostate della quantità dx = u dt.Il lavoro della forza che agisce sulle particelle (cioè l’energia trasferita nel mezzo) è:

dL = dE = p u dS dt



Quindi il prodotto della pressione sonora p per la velocità di particella u si puo’ interpretare come l’energia trasferita per unità di superficie e di tempo.Per un’onda piana progressiva si ha:

I = p u cos2 ω(t − xc

)

Solitamente si usa l’intensità media:

I = 1T

p u cos2 ω(t − xc

)

dt0

T

∫ = 12

p u = p 2

2ρ0c



Usando il valore efficace si ha: ˆ p = p 2

cioè l’intensità sonora è il rapporto tra la pressione sonora efficace e l’impedenza acustica caratteristica.Si dimostra che questa relazione vale anche per le onde sferiche.

I =ˆ p 2

ρ0c W/m2

Densità di energia sonoraIn molti casi si fa riferimento alla densità di energia sonora D:

D =Ic

=ˆ p 2

ρ0c2 W⋅ s/m3



Potenza sonoraLa potenza sonora W è l’integrale dell’intensità:

W = ISdSS∫ W

Nel caso che la sorgente irradi in modo uniforme nello spazio si ha:

r dS

sorgente

W = 4πr2IS = 4πr2 ˆ p 2

ρ0cessendo IS l’intensità a distanza r.



Livello di pressione sonora (SPL)E’ definito da:

è la soglia di udibilità (media) a 1000 Hz.

Lp =10 log p2

p02 = 20 log p

p0

dB

p0 = 20⋅10−6 Pain cui:



Raddoppiando la pressione si ha un aumento di 6 dBdel livello di pressione sonora.

Lp =10 log p2 + 94 dB

Approssimativamente si ha:

Esempio

1 210 N/m SPL = 74 dBp −= ⇒

1 22 10 N/m SPL = 80 dBp −= ⋅ ⇒



• Perché si usano i dB?Si usano i dB perchè la dinamica delle pressioni di interesse è molto estesa: la soglia di udibilità e quella del dolore (60 Pa) sono separate da 12 ordini di grandezza!

• NB Il livello di pressione sonora è una misura oggettiva e non è l’unica grandezza che determina la sensazione sonora (“loudness”).La sensazione sonora soggettiva di un tono sinusoidale dipende anche dalla frequenza (un tono con SPL=120 dB a 1000 Hz è molto forte, ma non è udibile a 30kHz).



Nella pratica:- si usano microfoni e idrofoni per misurare il livello di pressione sonora- si tiene conto di curve di uguale loudness- si introducono funzioni di ponderazione standard (valide per toni sinusoidali):

A: per livelli bassiB: per livelli mediC: per livelli elevatiD: speciale per rumore di aeroplani



Livello di potenza sonoraE’ definito da:

è la potenza sonora di riferimento.

dB log 100W

WLw =

W10 120

−=Win cui:

dB 120log 10 += WLw

Approssimativamente si ha:



Potenze sonore tipiche e livelli di potenza

Conversazione tra persone: 7x10-6 W Lw=68 dB

Voce umana (max): 2x10-3 W Lw=93 dB

Clacson: 5 W Lw=127 dB

Orchestra di 75 elementi: 70 W Lw=138 dB

Sirena d’allarme: 1000 W Lw=150 dB



Livello di intensità sonoraE’ definito da:

è l’intensità sonora di riferimento.

dB log 100IILI =

2120 W/m10−=I

in cui:

EsempioUna sorgente irradia uniformemente una potenza sonora di 0,1 W. Alla distanza di 10 m l’intensità sonora è:

252 W/m1095,74/ −×== rWI πmentre il livello di intensità sonora è:

dB 7910

1095,7log10 12

5

=×= −

−

IL



Relazioni tra i livelliNell’ipotesi che sia valida la relazione:

Se ρ0c = 400 Pa s/m (impedenza dell’aria a 39º), allora:

allora si ha:

2

0

2

W/mˆ

cpIρ

=

dB ˆ

log 1000

2

cIpLI ρ

=

dB ˆ

log 10 20

2

pI LppL ==

cioè i livelli di intensità e di potenza sonora sono uguali (NB: a 20º ρ0c = 415 Pa s/m).



Effetto di più sorgentiSe le sorgenti non sono correlate si può supporre che non ci siano relazioni di fase tra i suoni emessi. In tal caso le energie semplicemente si sommano.

EsempioNel caso di due onde sonore a frequenza diversa con Lp1= 90dB e Lp2 = 85dB si trova che il livello di pressione totale è:

dB 2,91log 10 20

22

21 =+=

pppLtot

Se Lp1= Lp2 si trova Ltot = Lp1+ 3dB. Analogamente con 4 sorgenti si troverebbe un aumento di 6 dB rispetto alla sorgente singola, ecc.

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