D. METODI DI ANALISI CIRCUITALE - Dipartimento...

F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti

BIBLIOGRAFIA

• M. SALERNO - G. COSTANTINI: Cap. 4

• G. MARTINELLI - M. SALERNO: “Vol. I” - pp. 64-115

• R. PERFETTI: Cap. 3

• G. RIZZONI: pp. 55-75

• DANIELE - LIBERATORE - GRAGLIA - MANETTI: pp. 377-404

D-0

D. METODI DI ANALISI CIRCUITALE

• Generalità (problema fondamentale della Teoria dei Circuiti)

• Schema concettuale dell’analisi circuitale

• Metodo dei Nodi e sue estensioni

• Estensione del metodo dei Nodi

• Metodo delle Maglie

• Estensione del metodo delle Maglie

• Metodo basato sui Tagli (equilibrio delle correnti)

F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti D-1

GENERALITÀ

CIRCUITONoti: parametri costitutivi

dei componenti e grafo di

connessione

CAUSE/ECCITAZIONI

V0 , I0 V t , I t

EFFETTI/USCITE

( ramo, o un

opportuno

sottoinsieme)

• L’Analisi Circuitale, o calcolo di una rete elettrica, può essere considerata

come il PROBLEMA FONDAMENTALE DELLA T.d.C., in analogia con ciò

che era stato definito problema fondamentale dell’e.m.

(+ cond. iniz.)

• Per un grafo con R rami: 2R incognite (V ed I ramo)

• Relazioni costitutive note: R equazioni (una ramo = bipolo)

• Per la chiusura del problema occorrono altre R equazioni

Leggi di Kirchhoff: R equazioni K1: (N-1) + K2: (R-N+1)


GENERALITÀ (continua…)

D-2

• Le nozioni e le proprietà topologiche utilizzate, grazie all’individuazione

dei sottoinsiemi di variabili indipendenti, garantiscono la corretta chiusura

del problema (sistemi risolventi né ridondanti, né sottodimensionati).

Ia A Ic 0

Vc B Va 0

IMPORTANTE: poiché K1 e K2 sono legate tra loro da , basta

applicare una delle due leggi ed ottenere un numero di equazioni di equilibrio

sufficienti alla chiusura del problema minore di R:

B A T

Se si applica K1) N-1 equazioni

Se si applica K2) R-N+1 equazioni

SISTEMA RISOLVENTE: Si ottiene applicando K1 o K2 e sostituendo le relaz.

costitutive dei componenti

• I metodi organizzati di analisi circuitale dipendono dalla scelta delle

incognite (variabili ausiliarie), ovvero dalla legge di Kirchhoff applicata


SCHEMA CONCETTUALE DELL’ANALISI CIRCUITALE

D-3

DATI: INCOGNITE: LEGGI: LEGAME TRA K.:

• GRAFO del circuitoB A T

K1• [V] ed [I] di tutti i rami

(escluse le eccitaz.)• REL. COST. degli elementi

(incluse le eccitaz. Io e Vo)K2

Va a

Ia Vc

c

Ic

Ia A Ic Vc A T Va Relaz. costitutive co-albero: K2)

Relazioni costitutive albero: K1)

• Lo schema rende bene l’idea della dualità nel mod. circuitale, che si riflette

nella dualità dei metodi d’analisi

A

A T

a

c Costitutive

co-albero

Costitutive

albero

Ia Ic

Vc Va

K1)

MAGLIE/ANELLI

Legge: K2

Var. aux.: [Ic]

N. equaz.: R-N+1

TAGLI/NODI

Legge: K1

Var. aux.: [Va]

N. equaz.: N-1

(K2


METODO BASATO SUI TAGLI (equilibrio delle correnti)

D-4

• Deve essere possibile dedurre le correnti dalle tensioni per ciascun

componente: per l’albero ; per il co-alberoVa a

Ia Vc c

Ic

• Scelto un albero, le [Va] costituiscono un sottoinsieme di variabili

indipendenti VARIABILI AUSILIARIE

Vc A T Va • Le [Vc] si ricavano da esse grazie alla K2:

Lo scopo del metodo basato sui Tagli è quello di costruire un sistema

risolvente che abbia come incognite le [Va], applicando l’equilibrio delle

correnti K1 ed utilizzando le relazioni costitutive (N-1 equaz.).


METODO BASATO SUI TAGLI (continua…)

D-5

Esempio (circuito resistivo con generatore di corrente):

G2 G4

G5Ig

1 3

4

2

G1 G3

Ig 2 A

G1 1/ R1 2 W1

G2 G4 G5 1 W1

G3 1/ R3 3 W1

4

6

1 3

42

5

1 32

albero scelto

(rami: 2,4,5)

4

1 32

42

5grafo circuitale


METODO BASATO SUI TAGLI (continua…)

D-6

i2

i4

i5

1 0 1

1 1 1

1 1 1

i1

i3

i6

0

Ia A Ic 0

4

6

1 3

42

5

1 32 K1: equilibrio delle correnti ai

tagli fondamentali:i1 i2 i6 0a)

i1 i3 i4 i6 0b)

i1 i3 i5 i6 0c)

ba

c

Nota: si possono scegliere alberi diversi e quindi

insiemi di tagli fondamentali diversi (cioè sistemi

risolventi diversi).

Si vuole un metodo, sempre basato sull’equilibrio delle correnti (K1), in cui la

scelta dell’albero (e di conseguenza la scrittura del sistema risolvente) sia

meno arbitraria. Questo è il metodo dei Nodi.


• È una particolarizzazione del metodo basato sui tagli dove si fanno alcune

considerazioni topologiche per effettuare la scelta dell’albero

CIRCUITO AUMENTATO: si aggiungono rami fittizi a G = 0 (circuiti aperti)

in modo che tutte le coppie di nodi siano connesse (grafo “a maglie

complete”)

• Scelto un nodo di riferimento (terra o massa) è univocamente determinato

l’albero: insieme dei rami, fittizi e non, che collegano il riferimento a tutti gli

altri nodi

I tagli fondamentali sono tali che la K1 si applica alle correnti uscenti da

ciascun nodo (escluso quello di riferimento).

Le variabili ausiliarie [E] coincidono quindi con le tensioni dei nodi rispetto

al riferimento (sono a tutti gli effetti tensioni di rami di albero [Va], in numero di

N-1).

METODO DEI NODI O DEI POTENZIALI NODALI


Esempio (circuito resistivo con generatori di corrente):

METODO DEI NODI (continua…)

RIFE.

12

3

Grafo

aumentato

12 3

RIFE.

ALBERO

• Può non coincidere con

nessun albero del circuito

iniziale. Come avviene in

questo caso per la presenza

del ramo fittizio che va dal

nodo al riferimento.2

NOTA: Le nozioni topologiche sono ridotte al minimo ed il metodo può

essere applicato direttamente per ispezione visiva.

+G1

1

aIg1 2 G3

Ig2 +

+

G = 0 G2

3

+

+

b c


PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO DEI NODI

per circuiti resistivi con solo generatori di corrente

D-9

1) Scegliere un nodo di rife. è univocamente determinato l’albero (del

circuito aumentato);

2) Considerare come var. ausiliarie le N-1 tens. nodali rispetto al rife. [E];

3) Si determina il sistema risolvente: [GNODI] [E] = [INODI]

(matr. coeff. simmetrica (N-1)x(N-1) )

GNODI (k,k) = somma conduttanze rami resistivi connessi al nodo k (escl. rife.)

GNODI (k,i) = somma cambiata di segno di tutte le conduttanze dei rami resistivi

che congiungono i nodi k ed i escl. il rife. (nulla se connessi solo da ramo

fittizio); il segno “ - “ è dovuto al fatto che un ramo che congiunge due nodi,

qualunque sia l’orientazione, risulta sempre uscente da uno ed entrante

nell’altro.

INODI (K) = somma algebrica correnti dei Ig, positive se entranti nel nodo k-mo

(escluso il rife.) o negative se uscenti.

4) Si determinano le incognite [E] risolvendo il sistema.

5) Si determinano tutte le tensioni [V] come differenza delle [E], e tutte le

correnti [I] tramite le relazioni costitutive.


PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua…)

D-10

Esempio:

E

E1

E2

E3

GNODI G1 0 0

0 G3 G3

0 G3 G2 G3

INODI Ig1 Ig2

Ig1Ig2

G1 G2 G3 1 W1

Ig1 3 A Ig2

2 A

1 0 0

0 1 1

0 1 2

E1

E2

E3

5

3

2

E1 5 Volt E2 8 Volt E3 5 Volt

vg1 E2 E1 13

vg2 E3 E1 10

vg3 E2 E3 3

i1 G1 E1 5

i2 G2 E3 5

i3 G3 vG3 3

+G1

1

a Ig1 2 G3

Ig2 +

+

G2

3

++

b c1 3

RIFE.

ALBERO

2



D-11

Esempio

(segue):+

G1

1

a Ig1 2 G3

Ig2 +

+

G2

3

++

b c1 3

RIFE.

ALBERO

2

i1i2

i3

ica=0

i1 Ig1 Ig2 0

ica i3 Ig1 0

i2 i3 Ig2 0

G1E1 Ig1 Ig2

G3 E2 E3 Ig1G2E3 G3 E2 E3 Ig2

applicazione diretta

equilibrio correnti

ai tagli nodali:

NOTA: il sistema risolvente finale è ovviamente lo stesso ottenuto tramite applicazione

del procedimento per ispezione visiva effettuata in precedenza.


• VALIDITÀ DEL SISTEMA RISOLVENTE:

a) Num. equaz. = num. incognite Il numero di equazioni coincide con il

numero dei nodi (N-1) e quindi con il numero delle incognite (tensioni nodali

escluso il riferimento)

b) Le equaz. sono indipendenti Ciascuna equazione esprime l’equilibrio

delle correnti su un nodo. Per ciascun nodo è definito uno specifico

potenziale nodale, quindi in ogni equazione è presente almeno una incognita

che sicuramente non è presente nelle altre

c) Le [E] sono le uniche incognite Ciascuna corrente facente parte di una

equaz. di equilibrio o è un termine noto (se il ramo corrispondente è un gen.

ind. di corr.) o è una combinazione lineare di variabili ausiliarie [E] con

coefficienti noti (conduttanze Ga e Gc)



ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI

D-13

1) PRESENZA DI GEN. INDIP. DI TENSIONE:

• Si aggiungono come incognite le correnti che scorrono nei gen. ind. di tensione.

• Per ogni incognita aggiuntiva si aggiunge una equazione che è data dal

vincolo imposto dal gen. ind. di tens.: il problema è chiuso ma aumenta

l’ordine del sist. risolvente (una equaz. in più per ogni gen. di tens. presente).

• Si può scegliere il riferimento in modo che l’albero contenga il maggior

numero di gen. ind. di tens. presenti. In tal modo alcune tensioni nodali E

sono note fin dall’inizio: infatti se il gen. di tens. è in un ramo tra un nodo ed il

riferimento allora la rispettiva tensione nodale risulta nota (diminuisce il

numero delle incognite)


Ig7

1 23

465R5 R4

R1Vg2

R3

+

+Vg3Ix3

Ix2

RIFE.

Vg6

+Ix6

1) Presenza di gen. ind. di

tens.:

R1 R5 1 R3 1

2

R4 1

3 Ig7

3 Vg2 1

Vg3 2 Vg6 1

ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua…)

D-14

+ Eq. di vincolo:

E3 Vg2 1

E5 Vg3 2

E4 E6 Vg6

• Non è stato possibile scegliere il rife. in

modo che tutte le Vg coincidessero con

variabili ausiliarie (soltanto due)

3 incognite

aggiuntive

G1 0 0 0 0

0 G3 G3 0 0

0 G3 G3 G4 G4 0

0 0 G4 G4 G5 G5

0 0 0 G5 G5

1

3

4

5

6

1 3 4 5 6

E1

E3

E4

E5

E6

Ig7

I x2 I x6 I x3 Ig7 I x6



D-15

Valori numerici:

E1 3

2 2E4 Ix 2

2 5E4 6 Ix6

3E4 8 E6 Ix3

2 E6 I x6 3

E1 3

E4 4 3

E6 7 3

Ix 2 14 3

Ix3 5 3

Ix 6 8 3

+ vincolo: E4 E6 1

Dalle [E] e dalle rel. cost. si ricavano tutte le altre grandezze di interesse

(Il sist. risolvente finale è di 6 equaz.)

R1 R5 1 W

R3 1 2 R4 1 3 W

Ig7 3 A

Vg2 Vg6 1 Vg3 2 V


ESTENSIONI DEL METODO DEI NODI (continua…)

D-16

2) PRESENZA DI GENERATORI CONTROLLATI:

• Si amplia notevolmente la classe e l’interesse dei circuiti analizzabili

1) Ipo. provvisoria: Si applica il metodo dei nodi considerando i gen. contr.

alla stregua di gen. indip.

NOTA: mentre i gen. indip. introducono termini noti, i gen. contr.

introducono grandezze in funzione delle incognite del problema e

quindi contribuiscono alla matrice dei coefficienti e non alla

colonna dei termini noti, rendendola non simmetrica.

2) Per ogni gen. contr. presente si aggiunge la relativa eq. di vincolo.

3) Si risolve il sist. risolvente complessivo.



D-17

2) presenza di due gen. di corrente controllati in corrente:

12

4

R4

R5

+

++

3

R6i1 i2

ix3

V3

R4 1 R5 1

2i1 2vR5

R6 1

3V3 1 i2 3iR6

E1

E2

E3

i1

i2 ix3

i x3

G4 G5 G4 G5

G4 G4 0

G5 0 G5 G6

1

2

3

1 2 3

Si considerano i1 e i2come gen. ind. di corr.:

+ vincolo dovuto

al gen. di tens.:E3 E2 V3

+ vincoli dovuti alle rel.

cost. dei gen. controllati.:

i1 2 E1 E3 i2 3G6E3

E1

E2

E3

0

ix3

ix3

G4 G5 2 G4 G5 2

G4 G4 3G6

G5 0 G5 G6

La [GT] non è

più simmetrica

ecc...


METODO DELLE MAGLIE

D-18

• Si può ricavare dal metodo dei tagli/nodi per dualità (vedi “schema concettuale”)

– Variabili ausiliarie: correnti rami co-albero (R-N+1)

– Legge applicata: equilibrio tensioni

– Sistema risolvente: , con:

Ic K2

RM Ic VM • Simmetrica per circuiti di soli

resistori e gen. ind. di tens.

• No maglie di soli Vg

– Matrice dei coefficienti: RM RN1 RN1

RM k ,k RM k ,i

somma delle resistenze sui rami resistivi della maglia k-ma

somma algebrica resistenze su rami resistivi in comune

tra la maglia k-ma e la maglia i-ma; segno “+” se il verso

delle correnti di maglia è concorde, altrimenti “-”.

– Vettore termini noti: VM RN1 1

VM k somma algebrica delle tensioni dei gen. indip. di tens. presenti

sulla maglia k-ma; segno “+” se la corrente di maglia esce dal

morsetto positivo, altrimenti “-”.

NOTA: il metodo delle maglie si può applicare per ispezione visiva, introducendo la

nozione di “corrente fittizia di maglia”: le m.f. sono percorse da tali correnti e le

correnti dei rami sono determinate dalla combinazione lineare di esse


ESTENSIONE METODO DELLE MAGLIE

D-19

1) PRESENZA GEN. INDIP. DI CORRENTE:

Aggiunta delle tensioni dei gen. di corr. come incognite: si può fare in

modo che essi coincidano con i rami co-albero (in tal modo diminuisce il

numero delle incognite).

2) PRESENZA DI GENERATORI CONTROLLATI:

Si considerano i gen. contr. come gen. indip. e si utilizzano le eq. di

vincolo: perdita della simmetria della matrice RM

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