Centro di massaConsideriamo un sistema di due punti materiali di masse m1 e m2 che possono muoversi in una dimensione lungo un asse x

xm1 m2

x1 x2

Centro di massa:M

xmxm

mm

xmxmx 2211

21

2211c

xc

Il centro di massa è in una posizione intermedia tra x1 e x2

Il centro di massa è più vicino al corpo di massa maggiore

Caso particolare: se m1=0 è xc=x2 (se m2=0 è xc=x1 )

Centro di massa di un sistema di puntiPer un sistema di n punti materiali in una dimensione si pone:

n

1iii

n21

nn2211c xm

M

1

m...mm

xm...xmxmx

In 3 dimensioni, la posizione del centro di massa è definita da:

n

1iii

n21

nn2211c rm

M

1

m...mm

rm...rmrmr

zmM

1z ym

M

1y xm

M

1x

n

1iiic

n

1iiic

n

1iiic

Il centro di massa è un punto geometrico che si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema

Moto del centro di massa

nn2211c rm...rmrmr M

nn2211c am...amama M

n21c F...FFa M

Nella somma delle forze vanno considerate sia le forze interne (interazioni tra i punti del sistema) che quelle esterne (dovute all’azione di agenti esterni al sistema)

Per la terza legge di Newton, le forze interne sono a due a due uguali e opposte, quindi non contribuiscono alla somma a secondo membro, dove rimane la risultante delle sole forze esterne

cext a MF

Forze interne e forze esterne

m1

m2

m3

Fext,1

Fext,2

Fext,3

f21

f12

f31

f13

f32

f23

La risultante delle forze interne è sempre nulla perchè sono a due a due uguali in modulo e dirette in verso opposto

Quantità di motoPer una particella si definisce il vettore quantità di moto:

vmp

Derivando rispetto al tempo la quantità di moto si ha:

dt

pdFFam

dt

vdm

dt

pd

L’equazione precedente è una formulazione più generale della seconda legge di Newton in quanto tiene conto della possibilità che la massa della particella possa variare nel tempo

Quantità di moto di un sistemaSi definisce la quantità di moto di un sistema di punti materiali come somma delle singole quantità di moto:

n21 pppP

...

La quantità di moto del sistema è pari alla quantità di moto che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema

Equazione del moto del centro di massa:

Centro di massa: nn2211c rm...rmrmr M

nn2211c vm...vmvmv M

dt

PdF

dt

Pd

dt

vdMa MF ext

ccext

Teorema dell’impulsoConsideriamo un punto materiale su cui agisce una forza molto intensa per un breve intervallo di tempo Δt tra t1 e t2 (situazione tipica in un urto):

(t)dtFpddt

pd(t)F

JpΔ(t)dtFpp(t)dtFpd2

1

2

1

2

1

t

t

12

t

t

t

t

Impulso: ΔtF(t)dtFJ2

1

t

t

La variazione della quantità di moto è pari all’impulso

Conservazione della quantità di moto

Sistema chiuso = nessuna particella può entrare o uscire dal sistema

Sistema isolato = sistema di punti materiali in cui la risultante delle forze esterne è nulla

In un sistema chiuso e isolato la quantità di moto del sistema si conserva (ma possono variare le quantità di moto delle singole particelle!)

Se è nulla una sola componente della risultante delle forze esterne (es. Fext,x ) allora si conserva la corrispondente componente della quantità di moto (Px )

costanteP0dt

Pd0Fext

Urto tra due punti materiali Processo di urto tra due punti materiali:

l’interazione tra i due punti è di breve durata (da potersi ritenere istantanea) rispetto al tempo di osservazione del sistema

durante l’urto, l’intensità delle forze esterne è trascurabile rispetto a quella delle forze di interazione tra i due corpi

Affinchè si verifichi un processo di urto, non è necessario che ci sia il contatto tra le due particelle Negli esperimenti di fisica subnucleare, si verificano urti tra

particelle elementari senza che queste vengano a contatto In un processo di urto si conserva la quantità di moto del

sistema:

il moto del centro di massa del sistema non risente dell’urto

f2,f1,2,i1,i pppp

Urto completamente anelastico (1)In urto completamente anelastico, le due particelle, dopo l’urto, restano attaccate.

)Vm(mvmvm 212211

Conservazione della quantità di moto:

21

2211

mm

vmvmV

La velocità finale dei due corpi è pari alla velocità del centro di massa del sistema, che resta inalterata dall’urto

Urto completamente anelastico (2)

In questo esempio, la particella di massa m2 è inizialmente ferma (v2=0):

21

11

mm

vmV

Pendolo balisticoIl pendolo balistico è usato per misurare la velocità dei proiettiliIl proiettile penetra nel blocco di legno

(urto completamente anelastico):

Il sistema blocco+proiettile oscilla, conservando la sua energia meccanica:

mM

mvV

m)gh(Mm)V(M2

1 2

2ghm

mMv

Ricavando V dalla seconda equazione e sostiuendo nella prima:

Urto elasticoIn un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema

Conservazione della quantità di moto:

Conservazione dell’energia cinetica:

22112211 VmVmvmvm

222

211

222

211 Vm

2

1Vm

2

1vm

2

1vm

2

1

Velocità finali:

21

112122

21

221211

mm

v2mv mmV

mm

v2mv mmV

Se m1=m2 allora V1=v2 e V2=v1 (i corpi si scambiano le velocità)

Urto elastico con bersaglio fissoIn questo caso v2=0 e le formule per le velocità finali diventano:

121

121

21

211 v

mm

2mV v

mm

mmV

Se m1=m2 :V1 = 0 e V2 = v1 (i corpi si scambiano le velocità)

Se m2>>m1 : V1 ≈ -v1 e V2 ≈ 0 (il proiettile rimbalza sul bersaglio e torna indietro con velocità in modulo uguale a quella iniziale)

Se m2<<m1 : V1 ≈ v1 e V2 ≈ 2v1 (il proiettile prosegue il suo moto indisturbato e il bersaglio schizza via con velocità pari al doppio della velocità iniziale del proiettile)