G.M. - Edile A 2002/03

Il centro di massa di corpi simmetrici

• Centro di massa di una sbarra omogenea

xx1 x2

xCM =m1x1 +m2x2

m1 +m2

⇒sem1=m2

xCM =x1 +x2

2

Asse di simmetria

Centro di simmetria

Centro di massa di una disco omogeneo

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare la posizione del CM.

yCM =m1y1 +m2y2

m1 +m2

=1kg×0.1m+0.5kg×0.45m

1.5kg=

0.1+0.225( )kgm1.5kg

=0.3251.5

m=0.22m

• CM della sbarra (0,0.45m) ms=0.5kg

• CM del Disco (0,0.1m) md=1kg

x

y

x

y

xCM =0

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Il centro di massa di corpi continui

x

y

z

r

dm

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑

mi

i=1

n

∑

r r CM =

dmr r corpo∫

dmcorpo∫

xCM =

dmxcorpo∫

dmcorpo∫

yCM =

dmycorpo∫

dmcorpo∫

zCM =

dmzcorpo∫

dmcorpo∫

G.M. - Edile A 2002/03

La velocità del centro di massa

• Se i vari punti materiali si muovono

• Anche il centro di massa si muoverà

• Calcoliamo la sua velocità

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r v CM =

dr r CM

dtper definizione

1 2 4 4 3 4 4 =

ddt

mir r i

i=1

n

∑M

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=1M

ddt

mir r i

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

perchè 1

M è costante

1 2 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4

=

midr r i

dti=1

n

∑M

perchè la derivata si può distribuire sulla sommae perchè mi è costante

1 2 4 4 3 4 4 =

mir v i

i=1

n

∑M

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑

mi

i=1

n

∑

G.M. - Edile A 2002/03

L’accelerazione del centro di massa

• Possiamo anche calcolarci l’accelerazione del centro di massa

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r v CM =

mir v i

i=1

n

∑M

r a CM =

dr v CM

dtper definizione

1 2 4 4 3 4 4 =

ddt

mir v i

i=1

n

∑M

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=1M

ddt

mir v i

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

perchè 1

M è costante

1 2 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4

=

midr v idt

i=1

n

∑M

perchè la derivata si può distribuire sulla sommae perchè mi è costante

1 2 4 4 3 4 4 =

mir a i

i=1

n

∑M

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s?

Quale sarà la sua velocità?

xCM(3s) =mCxC +maxa

mC +ma

=2000×24+1000×18

3000m=22m

vCM(3s)=mCvC +mava

mC +ma

=2000×8+1000×12

3000ms

=9.3ms

aCM (3s) =mCaC +maaa

mC +ma

=2000×0+1000×4

3000ms2 =1.33

ms2

xO

t=0

xC =vCt ⇒t=3s

xC =24m

xa =12

at2 ⇒t=3s

xa =18m

vC =vC ⇒t=3s

vC =8m/s

va =at ⇒t=3s

va =12m/s

xO

t=3s

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s?

Quale sarà la sua velocità?

xCM(0s) =0m

vCM(0s) =mCvC +mava

mC +ma

=2000×8+1000×0

3000ms

=5.33ms

aCM (0s) =mCaC +maaa

mC +ma

=2000×0+1000×4

3000ms2 =1.3

ms2

xO

t=0

xCM =vCMt+12

aCMt2 ⇒t=3s

xCM =5.33×3+121.33×9=22.0m

vCM(t) =vCM(0s) +at ⇒t=3s

vCM (3s) =5.33+1.33x3=9.33m/s

G.M. - Edile A 2002/03

Ricapitoliamo

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r r CM =

mir r i

i=1

n

∑M

xCM =

mixi

i=1

n

∑M

yCM =

miyi

i=1

n

∑M

con M = mi

i=1

n

∑ zCM =

mizi

i=1

n

∑M

r v CM =

mir v i

i=1

n

∑M

vxCM =

mivxii=1

n

∑M

vyCM=

mivyii=1

n

∑M

vzCM =

mivzi

i=1

n

∑M

r a CM =

mir a i

i=1

n

∑M

axCM =

miaxii=1

n

∑M

ayCM=

miayii=1

n

∑M

azCM =

miazi

i=1

n

∑M

G.M. - Edile A 2002/03

dalla definizione di accelerazione del CM

Il teorema del centro di massa

• Forze interne– Le forze dovute alle altre particelle

che fanno parte del sistema di punti materiali

• Forze esterne– Le forze dovute alle altre particelle

che non fanno parte del sistema di punti materiali

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r CM

r

r 2

r

r 2

M

r a CM = mi

r a i

i=1

n

∑

mir a i =

r R i i =1,2,...,n

r R i =

r R i

(est) +r f ij

j≠i∑ i =1,2,...,n

Mr a CM = mi

r a i

i=1

n

∑ =r R i

(est) +r f ij

j≠i∑

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

i=1

n

∑ =r R i

(est) +r f ij

j≠i∑

i=1

n

∑i=1

n

∑perchè in una somma è possibile cambiare l'ordine degli addendi1 2 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4

G.M. - Edile A 2002/03

Il teorema del centro di massa

• La risultante delle forze interne è nulla

– Le forze interne sono a coppia

r R i

(est)

i=1

n

∑

r f ij

j≠i∑

i=1

n

∑

r f ij

j≠i∑

i=1

3

∑ =r f 12 +

r f 13

i=11 2 4 3 4 +

r f 21+

r f 23

i=21 2 4 3 4 +

r f 31+

r f 32

i=31 2 4 3 4 =

r f 12 +

r f 21

=01 2 4 3 4 +

r f 13+

r f 31

=01 2 4 3 4 +

r f 23 +

r f 32

=01 2 4 3 4 =0

Risultante delle forze esterne

Risultante delle forze interne

r f ij =−

r f ji

– Ogni coppia ha risultante nulla

– La risultante è la somma di tanti termini tutti nulli

– Il caso di n=3

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r CM

r

r 2

r

r 2

G.M. - Edile A 2002/03

Il teorema del centro di massa

• L’accelerazione del centro di massa è dovuta alle sole forze esterne.

• il centro di massa si muove come un punto materiale, avente una massa pari alla massa totale del sistema, sottoposto all'azione della risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema.

Mr a CM =

r R (est)

• Il moto dell’automobile è determinato dalle forze esterne: la forza peso, la normale esercitata dall’asfalto, la forza di attrito esercitata dall’asfalto, la resistenza passiva offerta dall’aria

• I singoli punti possono avere un moto complicato

• Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne

• Il moto del centro di massa rappresenta il moto di insieme del sistema

z

y

x

P2

P1

P3

r

F 12

r

F 13

r

F 21

r

F 23

r

F 31

r

F 32

r

R 2

( est )

r

R 1

( est )

r

R 3

( est )

r

r 1

r

r 3

r

r CM

r

r 2

r

r 2

G.M. - Edile A 2002/03

La quantità di moto• La quantità di moto di un sistema di punti

materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

r P = mi

r v i

i=1

n

∑• Ricordando l’espressione della velocità

del centro di massa

r v CM =

mir v i

i=1

n

∑M tot

⇒ r P =Mtot

r v CM

• La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa

– Centro di massa: • massa pari alla massa totale del sistema

• velocità uguale alla velocità del centro di massa

Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle.

G.M. - Edile A 2002/03

z

y

x

P2

P1

P3

r

r 1

r

r 3

r

r 2

r

r 2

v1

v2

v3

r

r CM

r

r 2

I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali

• La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali

• è uguale alla risultante delle sole forze esterne

• È equivalente al teorema del centro di massa

dr P

dt=

r R (e)

G.M. - Edile A 2002/03

La conservazione della quantità di moto• Se la risultante delle forze esterne è nulla

• la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso.

• Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva.

• La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton

dr P

dt=0 ⇒

r P =costante

dr P

dt=

dr p 1dt

+dr p 2dt

=0 ⇒ dr p 1dt

=−dr p 2dt

⇒ r f 12 =-

r f 21

Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica.

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un’astronave di massa totale M sta viaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità vi=2100km/h rispetto al sole.

Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x.

Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole?

Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole.

Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle.La quantità di moto si conserva.

dr P

dt=0 ⇒

r P =costante

r P i =

r P f

La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse xLa quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse xAnche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x

Pix =Pfx ⇒ Mvi =0.20M ×U +0.80M ×vf v =v'+vO' U =−u+vf

Mvi =0.20M × vf −u( ) +0.80M ×vf ⇒ Mvi =Mvf −0.20Mu

vf =vi +0.20u=2100kmh +0.20×500km

h =2200kmh

Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale

G.M. - Edile A 2002/03

La conservazione parziale della quantità di moto

• La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale

• Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla– È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli

– Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto

dr P

dt=

r R (e)

dr P

dt=

r R (e) ⇒

dPx

dt=Rx

(e)

dPy

dt=Ry

(e)

dPz

dt=Rz

(e)

⇒

Rx(e) =0 ⇒ Px =costante

Ry(e) =0 ⇒ Py =costante

Rz(e) =0 ⇒ Pz =costante

G.M. - Edile A 2002/03

Dai moti relativi

Applicazione

• Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale.

All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone?

Si assuma vo=1m/s, vrel=5m/s, m=70kg, M=1000kg.

Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale).

In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dell’uomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale).Però le forze sono tutte verticaliSi conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari.

dPx

dt=Rx

est=0 ⇒ Px =costante

Pix =Pfx ⇒ M +m( )vi =mvu +Mvf

v =v'+vO' vu =−vrel +vf

M +m( )vi =m× vf −vrel( )+M ×vf ⇒ M +m( )vi = M +m( )vf −mvrel

vf =m+Mm+M

vi +m

m+Mvrel =1m

s +70

10705m

s =11401070

ms =1.07m

s

x

vu velocità dell’uomo rispetto ai binari

G.M. - Edile A 2002/03

Urti• Si parla di urti quando due punti materiali (o due sistemi di punti

materiali) si scambiano energia e quantità di moto in un tempo estremamente breve.

r F m =

Δr p Δt

Δr p la variazione di quantità di moto è finita

Δt tende a zero

• Le forze agenti sulle particelle interagenti sono estremamente intense (forze impulsive!!)

G.M. - Edile A 2002/03

Fasi dell’urto• fase iniziale prima dell’urto: in cui esiste un moto imperturbato.

Δr r =r v Δt

Δt→ 0⇒ Δ

r r ≈0

Poiché l’urto è istantaneo, le particelle, nella fase dell’urto, non si spostano.

Il CM si trova sempre sul segmento che congiunge le due particelle. L’urto avviene nel CM

• fase dell’urto:– La durata di questa fase è piuttosto piccola rispetto alla

durata complessiva del moto.

– Si produce quindi una brusca variazione nel moto dei due sistemi interagenti

– È caratterizzata dalla presenza di forze molto intense.

• fase successiva all'urto: dopo l'interazione, lo stato di moto continua ad essere di nuovo imperturbato.

G.M. - Edile A 2002/03

Impulso della forza• Durante l’urto le forze che agiscono sulle

particelle interagenti hanno una intensità molto grande (tendente all’infinito).

– Sono difficili da descrivere.

– Quello che è importante è l’effetto prodotto

• Consideriamo una delle due particelle interagenti– La particella 1

– La sua variazione di quantità di moto, prodotta dalla forza F12, vale:

tt1

t2

F12

F12m

1 2

F12F21

Δr p 1 =

r p 1f −

r p 1i

• Si definisce Impulso della forza F12 la quantità: r I 1 =Δ

r p 1 =

r p 1f −

r p 1i

dr p 1dt

=r F 12

dr p 1 =

r F 12dt ⇒ Δ

r p 1 = d

r p 1

t1

t2

∫ =r F 12dt

t1

t2

∫

r I 1 =

r F 12dt

t1

t2

∫ Rappresentato dall’area sotto la curva

La stessa variazione di quantità di moto può essere ottenuta con una forza molto intensa che dura molto poco, o da una forza meno intensa che agisce per un tempo piu lungo.

G.M. - Edile A 2002/03

Forza media• La forza media è la forza costante che, agendo

nell’intervallo tra t1 e t2, provoca la stessa variazione di quantità di moto della forza F12:

tt1

t2

F12

F12m

1 2

F12F21

L’impulso in questo caso è rappresentato dall’area del rettangolo di base t e altezza F12m

Δ

r P 1 =

r F 12dt

t1

t2

∫ =r F 12mΔt

l’area del rettangolo di base t e altezza F12m è uguale all’area sotto la curva dell’intensità della forza in funzione del tempo

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsiDi quanto si riduce l’energia meccanica della pallottola?Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre penetrava nella parete?Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi?

Prima

Le forze agenti sono:La forza peso (fa lavoro nullo)La Normale (fa lavoro nullo)La forza di attrito(dinamico)

ΔE =Ef −Ei =K f −K i

Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto:

la parete è ferma in tale sistemail sistema di riferimento è inerziale Dopo

L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica.

Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione dell’energia potenziale della forza peso

K f =0

K i =12

mvi2 ΔE =K f −K i =−

12

mvi2 =−

12

×30×10−3 ×5002 =−3750J

ΔE =Wnc=FxΔx ⇒ Fx =ΔEΔx

=−3750

12×10−2 =−31250N P =mg=30×10−3 ×9.81=.294N

Circa 100 mila volte il peso

x

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Per calcolaci tempo ha impiegato dalla pallottola per fermarsi, valutiamo l’impulso della forza.

Prima

Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi

DopoLa quantità di moto finale è nullaQuella iniziale ha solo la componente xAnche l’impulso avrà solo la componente x

Questo semplice esempio mostra come le forze negli urti siano molto intenseI tempi dell’interazione siano piuttosto piccoli

x r I =Δ

r p =

r p f −

r p i

I x =pxf −pxi =−mvi =−30×10−3 ×500=−15kgms−1

I x =FxΔt ⇒ Δt =IxFx

=−15

−31250=0.032s

G.M. - Edile A 2002/03

Soluzione dei problemi di urtoSistema isolato

• Consideriamo dapprima un urto, in cui le particelle interagenti sono così lontane da altre particelle da poter considerare nulle le forze esterne (sistema isolato)

• Dalla I equazione cardinale dei sistemi ricaviamo che la quantità di moto totale del sistema di particelle interagenti si deve conservare.

1 2

F12F21

Sistema delle particelle interagenti

dr P

dt=

r R est=0 ⇒

r P =cost

r P =

r p 1 +

r p 2 =cost

r p 1i +

r p 2i =

r p 1f +

r p 2f ⇒ −

r p 2f +

r p 2i =

r p 1f −

r p 1i

⇓Δ

r p 1 =−Δ

r p 2

r I 1 =−

r I 2

G.M. - Edile A 2002/03

Soluzione dei problemi di urtoin presenza di forze esterne

• Consideriamo ora il caso in cui le particelle interagenti durante l’urto sono sottoposte anche ad alcune forze esterne.

• La variazione della quantità di moto subita da ciascuna particelle tra t1 e t2 sarà data da:

1 2

F12F21

Sistema delle particelle interagenti

F2estF1

est

Δ

r P 1 =

r F 12 +

r F 1

est( )dt

t1

t2

∫ =r F 12dt

t1

t2

∫ +r F 1

estdtt1

t2

∫ =Δr P 1

int+Δr P 1

est=r F 12mΔt +

r F 1

estΔt =r F 12m +

r F 1

est( )Δt

Δ

r P 2 =

r F 21+

r F 2

est( )dt

t1

t2

∫ =r F 21dt

t1

t2

∫ +r F 2

estdtt1

t2

∫ =Δr P 2

int +Δr P 2

est=r F 21mΔt+

r F 2

estΔt =r F 21m +

r F 2

est( )Δt

Δr P 1 ≈

r F 12mΔt

Δr P 2 ≈

r F 21mΔt=−

r F 12mΔt =−Δ

r P 1

tt1

t2

F12

F12m

F1est

Se durante l’urto la forza esterna è trascurabile rispetto a quella interna

ΔP ==ΔP1 + ΔP2=−ΔP1{ =ΔP1 −ΔP1 =0

Bisogna assicurarsi che le forze esterne, durante l’urto non diventino impulsive

G.M. - Edile A 2002/03

Forze esterne impulsive• Quali forze mi possono dare fastidio?

• Quali forze durante l’urto possono diventare impulsive?

• Tutte quelle forze per cui non abbiamo travato una espressione per calcolare il loro valore!

• Forze che conservano una intensità finita durante l’urto:– Forza peso

– Forza elastica

– Gravitazione universale

– Resistenza passiva

• Forze che possono diventare impulsive durante l’urto:– Componente normale della reazione vincolare N

– Forze di attrito (attraverso il loro legame con la normale N)

– Tensione nelle funi

P =mg

Felx =−kx

F =GmMr2

r F =−br v

G.M. - Edile A 2002/03

Conservazione della quantità di moto• Se le forze esterne sono nulle o trascurabili rispetto a quelle impulsive

interne

• Si conserva la quantità di moto del sistema delle particelle interagenti.

1 2F12

F21

Sistema delle particelle interagenti

Δr P =0 ⇔

r P i =

r P f

cr P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

1 2

v1v2

1 2

v’1 v’2

m1r v 1i +m2

r v 2i =m1

r v 1f +m2

r v 2f

m1v1xi +m2v2xi =m1v1xf +m2v2xf

m1v1yi +m2v2yi =m1v1yf +m2v2yf

m1v1zi +m2v2zi =m1v1zf +m2v2zf

• Conoscendo le velocità iniziali, si possono determinate le velocità delle particelle dopo l’urto?

• 3 equazioni con 6 incognite

G.M. - Edile A 2002/03

Istante iniziale e finale nello studio dei processi d’urto

• Se le forze esterne sono assenti allora– Le due particelle sono sottoposte solo all’azione delle forze interne che

esistono solo durante l’urto.

– Sia prima che dopo l’urto non sono soggette a forze: si muovono di moto rettilineo uniforme, con quantità di moto costante.

– i e f possono essere due istanti qualsiasi prima e dopo l’urto.

tt1 t2

F12

F12m

F1est

• In presenza di forze esterne invece– i e f devono essere l’istante immediatamente

prima dell’urto e quello immediatamente dopo l’urto.

– Se si allunga l’intervallo di osservazione• La variazione della quantità di moto prodotta

dalla forza esterna potrebbe non essere più trascurabile rispetto a quella prodotta dalla forza interna.

• Non c’è più conservazione della quantità di moto

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Moto del centro di massa in un processo d’urto

• Se nell’urto si conserva la quantità di moto• Il centro di massa si muove con velocità costante:

r P =M

r v CM ⇒

r P =costante

⇓r v CM =costante

• Il Sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento inerziale– Molto utile per risolvere i problemi d’urto.

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Conservazione parziale della quantità di moto

• Se tra le forze esterne agenti sulle particelle che si urtano c’è una forza che, durante l’urto potrebbe diventare impulsiva (reazione vincolare, tensione, etc)

• Non è lecito applicare la conservazione della quantità di moto.

• In alcuni casi però è possibile stabilire a priori la direzione della forza impulsiva

• Vuol dire che si conserveranno le componenti della quantità di moto nelle direzioni perpendicolari a quella della forza impulsiva

Rxest =impulsivaRy

est≈0 Rzest≈0

dr P

dt=

r R est ⇒

dPx

dt=Rx

est(impulsiva) ⇒ Px potrebbe non conservarsi

dPy

dt=Ry

est≈0 ⇒ Py si conserva

dPz

dt=Rz

est≈0 ⇒ Pz si conserva

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Urti elastici o anelastici• Dal punto di vista dell’energia gli urti si classificano

– Elastici• Se l’energia cinetica si conserva

– Anelastici• Quando non si conserva l’energia cinetica

• Nota Bene: Solo l’energia cinetica è importante. Infatti:– Se non ci sono forze esterne non c’è energia potenziale

– Comunque durante l’urto la posizione delle particelle non varia, non varia neppure l’energia potenziale.

• Nel caso di urti anelastici, l’energia cinetica può – sia diminuire (viene trasformata in altre forme di energia: energia

interna dei corpi, riscaldamento dei corpi)

– ma anche aumentare (l’energia interna dei corpi viene trasformata in energia meccanica: esplosioni)

• Urti completamente anelastici– Quando viene persa tutta l’energia cinetica che è possibile perdere

compatibilmente con la conservazione della quantità di moto.

Δr r =r v Δt

Δt→ 0⇒ Δ

r r ≈0

N.B. non c’è alcuna correlazione tra la conservazione dell’energia e quella della quantità di moto

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Urti completamente anelastici

• Sono quegli urti in cui si perde tutta l’energia cinetica che è possibile perdere compatibilmente con la conservazione della quantità di moto

Per il teorema di Konig

K =12

MvCM2 +K'

dove K' è l'energia cinetica

misurata nel sistema del CM

se vCM =cost

⇓al più K' può annullarsi

K'=12

m1v'12 +

12

m2v'22

r P =M

r v CM

r P =cost

⇓r v CM =cost

K'=12

m1v'12 +

12

m2v'22

K'=0

⇒

v'1=0

v'2 =0

• Le due particelle nello stato finale hanno velocità nulla rispetto al centro di massa

• Poiché al momento dell’urto, entrambe le particelle si trovavano nella posizione del centro di massa

• Le due particelle emergono dall’urto unite insieme e si muovono con la velocità del CM

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Soluzione dell’urto completamente anelastico

• Consideriamo un urto completamente anelastico in cui si conserva la quantità di moto (non ci sono forze esterne impulsive)

m1r v 1i +m2

r v 2i =m1

r v 1f +m2

r v 2f

• A cui possiamo aggiungere l’ulteriore condizione: r v 1f =

r v 2f =

r v f

m1r v 1i +m2

r v 2i = m1 +m2( )

r v f

r v f =

m1r v 1i +m2

r v 2i

m1 +m2

• Abbiamo tre equazioni con tre incognite– Il problema ammette soluzione

• Velocità del CM

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Il pendolo balistico

• Veniva usato per misurare la velocità dei proiettili sparati da un’arma da fuoco.

O

Mm v

l

• Consiste in un blocco di legno (o sacco di sabbia) appeso al soffitto con una corda di lunghezza l

• Il proiettile penetra nel blocco di legno e si ferma rispetto al blocco (l’urto è completamente anelastico)

• Blocco e proiettile, insieme, dopo l’urto cominceranno ad oscillare come un pendolo

• Misurando l’ampiezza delle oscillazioni, dalla conoscenza degli altri parametri in gioco, massa del blocco, massa del proiettile e lunghezza del pendolo, è possibile risalire alla velocità iniziale del proiettile

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Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Determinare l’elongazione massima del pendoloSe la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urtoVerificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

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Il pendolo balistico: analisi delle forze

• Le forze peso non sono impulsive

• La tensione potrebbe diventare impulsiva durante l’urto.

• Non possiamo imporre la conservazione della quantità di moto

• Poiché l’urto dura poco, la posizione del pendolo durante l’urto non varia

– Il filo durante l’urto resta verticale

• Tutte le forze esterne durante l’urto sono verticali

• Si conserva la componente della quantità di moto orizzontale.

• In particolare:

O

Mm v

l

r

P m

r

P M

r

T

x

P1xi +P2xi =P1xf +P2xf

mv= M +m( )Vx Vx =mv

M +m

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Energia persa nell’urtoK i =

12

mv2

K f =12

M +m( )Vx2 =

12

M +m( )mv

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

=12

m2v2

M +m

K f ==12

mv2m

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠ =K i

mM +m

⎛ ⎝

⎞ ⎠

minore di 11 2 4 3 4

K persa=K i −K f =12

mv2 −12

mv2 mM +m

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

12

mv2 1−m

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

12

mv2M

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠

se m<<M questotermine è ≈1

1 2 4 3 4

Vx =mv

M +m

Quasi tutta l’energia cinetica viene persa durante l’urto a causa delle forze di attrito che si oppongono alla penetrazione del proiettile nel blocco di legno.

ΔK =K f −K i =−Kpersa=Wfa =−FaΔx

x = penetrazione

Il lavoro della altre forze agenti o è nullo o è trascurabile

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Determinare l’elongazione massima del pendoloSe la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urtoverificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

K persa=12

mv2 MM +m

=12

30×10−3 ×50024.

4.030=

=3750×.993=3696.0J

Vx =mv

M +m=

30×10−3kg×500ms

4.030kg=3.72m

s

ΔK =K f −K i =−Kpersa=Wfa =−FaΔx

Fa =Kpersa

Δx=

3696.03×10−2 =123201N Δt =

p1f −p1i

Fax

=30×10−3 3.72−500( )

−123201N=0.12×10−3s

d=VxΔt =3.72ms ×.12×10−3s=.44×10−3m

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II fase oscillazione• L’oscillazione avviene sotto l’azione della forza peso

(conservativa) e della tensione. O

M +m

l

r

P M + m

r

T

θ

d

r

r

h

ΔE =Wnc =WT h =l (1−cosθ)

U f = M +m( )gh= M +m( )gl (1−cosθ)

Ei =Ef

K i +U i =K f +U f12

M +m( )Vx2 +0 =0+ M +m( )gl 1−cosθ( )

12

m2v2

M +m= M +m( )gl 1−cosθ( )

v =

M +mm

2gl 1−cosθ( )

Vx =mv

M +m

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Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Determinare l’elongazione massima del pendoloSe la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urtoVerificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

Ei =Ef

K i +U i =K f +U f12

M +m( )Vx2 +0 =0+ M +m( )gl 1−cosθ( )

cosθ= 1−

12

Vx2

gl

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 1−

12

3.722

9.81×2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =.6473

Vx =mv

M +m=

30×10−3kg×500ms

4.030kg=3.72m

s

θ=arcos.6473=50°

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

r T +

r P =0 ⇒

r T =−

r P Prima dell’urto:

T =Mg=4×9.81=39.24N

Subito dopo l’urto, il pendolo è rimasto nella stessa posizione, ma si sta muovendo con velocità Vx:

r T +

r P = M +m( )

r a

Proiettando su un asse verticale:

T − M +m( )g= M +m( )

Vx2

l

T = M +m( )g+ M +m( )

Vx2

l=4.0309.81+

3.722

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =46.45N

y

G.M. - Edile A 2002/03

Proiettile sparato dall’alto

• La forza FMn è impulsiva (forza interna)

• Poiché la lunghezza della corda ideale non varia

O

M

m

v

l

x

M

r

T

r

P M

r

F M m

r T +

r P M +

r F Mm =M

r a =0

T −Mg−FMm =0 ⇒ T =Mg +FMm ≈FMm

• La tensione T ha, durante l’urto, una intensità comparabile con la forza FMn

• La tensione T è impulsiva

• Se la corda non è sufficientemente robusta si può rompere (viene superato il carico di rottura)

• Non si ha conservazione della quantità di moto nella direzione verticale

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Urto in due dimensioni• Consideriamo un urto in cui una della due

particelle è ferma (senza forze esterne)– Particella 1 proiettile– Particella 2 bersaglio– b parametro d’urto

• La retta di azione della velocità v1 e il punto P2 definiscono un piano

– Le forze di interazione sono lungo la congiungente– Quindi contenute nel piano– Non c’è moto perpendicolarmente al piano

precedentemente individuato (accelerazione nulla, velocità iniziale nulla)

• L’urto è piano.v1

m1 m2

θ1

θ2

v '1

v '2

x

y

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

m1v1 =m1v'1cosθ1 +m2v'2 cosθ2

0=m1v'1senθ1 −m2v'2senθ2

12

m1v12 =

12

m1v'12 +

12

m2v'22Se l’urto è elastico

si può aggiungere:

v1

bm1 m2

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Urto in una dimensione -Urto centrale• L’urto centrale avviene quando il parametro

d’urto b è nullo.– Le forze sono dirette lungo la congiungente delle

due particelle– Che coincide con la retta di azione della velocità

iniziale

• Non essendoci forze perpendicolari alla direzione della velocità, non ci saranno accelerazioni perpendicolari alla velocità iniziale

– Siccome la velocità iniziale ha solo componenti lungo la retta congiungente i due punti materiali

– Non ci sarà moto perpendicolarmente alla congiungente le due particelle

• L’urto centrale è un urto unidimensionale.

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

m1v1x =m1v'1x +m2v'2x

12

m1v1x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale.Se l’urto è elastico si può aggiungere:

v1

bm1 m2

v1

m1 m2

x

Urto centrale

Nel caso di urto elastico abbiamo due equazioni indipendenti in due incognite:Il sistema ammette soluzione

G.M. - Edile A 2002/03

Urto centrale elastico-bersaglio fermo

• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma:

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

Urto centrale

m1v1x =m1v'1x +m2v'2x12

m1v1x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x

m1 v1x2 −v'1x

2( ) =m2v'2x

2

• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

m1 v1x −v'1x( ) =m2v'2x

v1x +v'1x( )=v'2x

m1 v1x −v'1x( ) =m2 v1x +v'1x( )v1x +v'1x( )=v'2x

v1x m1 −m2( ) =v'1x m1 +m2( )v1x +v'1x( )=v'2x

v'1x=v1xm1 −m2( )m1 +m2( )

v1x +v1xm1 −m2( )m1 +m2( )

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =v'2x

v'1x=v1x

m1 −m2( )m1 +m2( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2( )

G.M. - Edile A 2002/03

Urto centrale elastico: casi particolari

• La particella bersaglio, dopo l’urto si muoverà sempre nello stesso verso della particella incidente

• La particella proiettile invece

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

Urto centrale

• In caso di forti asimmetrie:

v'1x=v1x

m1 −m2( )m1 +m2( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2( )

procede nello stesso verso che aveva prima dell'urto se m1 >m2

procede in verso opposto a quello che aveva prima dell'urto se m1 <m2

si fermase m1 =m2

m1 >>m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2

m1 +m2

≈v1xm1

m1

=v1x v'2x=v1x2m1

m1 +m2

≈v1x2m1

m1

=2v1x

m1 <<m2 ⇒ v'1x =v1xm1 −m2

m1 +m2

≈v1x−m2

m2

=−v1x v'2x =v1x2m1

m1 +m2

≈v1x2m1

m2

≈0

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è 0.13. A riesce a fermarsi, ma B che segue, va a tamponare il primo veicolo. Come indicato in figura, dopo l’urto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la slittata.

• Determinare le velocità delle due vetture subito dopo l’impatto.• E la velocità della vettura B prima dell’urto.

ΔK =WP +WN

=01 2 4 3 4 +WFa

=WFa

P

N

Fa

WFa=−FaΔx =−μmgΔx

K f −K i =0−12

mv2 =−μmgΔx

v = 2μgΔx

vA = 2×0.13×9.81×8.2 =4.6ms

vB = 2×0.13×9.81×6.1=3.9ms

mBvo =mBvB +mAvA ⇒ vo =mBvB +mAvA

mB

=1400×3.9+1100×4.6

1400=7.5m

S

G.M. - Edile A 2002/03

Urto centrale elastico-bersaglio mobile• In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella

della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due particelle.

• Considerando le componenti delle velocità lungo l’asse x:

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

v1

m1 m2

x

v2

Urto centrale

• Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la seconda per la prima si perviene al seguente risultato:

m1v1x +m2v2x =m1v'1x+m2v'2x

12

m1v1x2 +

12

m2v2x2 =

12

m1v'1x2 +

12

m2v'2x2

m1 v1x −v'1x( ) =m2 v'2x −v2x( )

m1 v1x2 −v'1x

2( ) =m2 v'2x

2 −v2x2

( )

v'2x =v1x2m1

m1 +m2

+v2xm2 −m1

m1 +m2

v'1x=v1xm1 −m2

m1 +m2

+v2x2m2

m1 +m2

m1 =m2 ⇒v'1x=v2x

v'2x =v1x

• Se le particelle hanno la stessa massa, nell’urto si scambiano le velocità

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un piano privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attaccata sul retro di m2.

• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.

v'1=v'2=vCM =m1v1 +m2v2

m1 +m2

=2.0×10+5.0×3

7.0=

35.07.0

=5ms

• Quando la molla è alla sua massima compressione i due blocchi sono fermi uno rispetto all’altro

– Prima della massima compressione si sono avvicinati– Successivamente si allontanano– La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa– Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà uguale a

quella iniziale:

– La differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale è immagazzinata come compressione della molla

12

m1v12 +

12

m2v22 −

12

m1 +m2( )vCM2 =

12

k Δx( )2 Δx =m1v1

2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM

2

k

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un blocco di massa m1=2.0 kg scivola su di un piano privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m2=5.0kg. Una molla priva di massa , con costante elastica k=1120 N/m, è attaccata sul retro di m2.

• Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano?• Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo l’urto.

– Da cui

Δx =m1v1

2 +m2v22 − m1 +m2( )vCM

2

k

Δx =2×100+5×9−7×25

1120=

701120

=116

=14

=.25m

v'2x =v1x2m1

m1 +m2

+v2xm2 −m1

m1 +m2

=1047

+3.037

=497

=7ms

v'1x=v1xm1 −m2

m1 +m2

+v2x2m2

m1 +m2

=10−37

+3.0107

=0ms

– Utilizzando le espressioni per l’uro centrale elastico: