1

CENTRO DI MASSA

Due particelle:

mA

A

mB

BC

0

xxAxB

xCIl centro di massa C divide il segmento AB in parti inversamente proporzionali alle masse:

AC

CB====

mB

m A

xC −−−− xA

xB −−−− xC

====mB

m A

m AxC −−−− m A xA ==== mBxB −−−− mB xC

( m A ++++ mB ) xC ==== m A x A ++++ mB xB

L’ascissa del centro di massa è: xC ====

m Ax A ++++ mBxB

m A ++++ mB

Per analogia: n particelle allineate:

0 m1 m2 mn

x

xc ====

m1x1 ++++ m2x2 ++++ ..... ++++ mn xn

m1 ++++ m2 ++++ ....... ++++ mn

====m ix ii∑∑∑∑

m ii∑∑∑∑====

m ixii∑∑∑∑

M

n particelle nello spazio:

x

y

z X c ====

m i x ii∑∑∑∑

M Yc ====

m iy ii∑∑∑∑

M

Z c ====

m izii∑∑∑∑

MUna distribuzione di particelle simmetrica rispetto ad un punto ha questo punto come centro di massa.

2

n particelle nello spazio - velocità e accelerazione del centro di massa

Vc,x ====

∆XC

∆t====

∆(mi xii∑∑∑∑

M)

∆t====

mi(∆xi

∆t)

i∑∑∑∑M

====mivi ,xi∑∑∑∑M

e analogamente per le componenti y e z

Componente x della velocità:

Componente x della accelerazione:

ac,x ====

∆VC

∆t====

∆(mivi,xi∑∑∑∑M

)

∆t====

mi(∆vi ,x

∆t)

i∑∑∑∑M

====miai ,xi∑∑∑∑M

e analogamente per le componenti y e z

n particelle nello spazio - forze esterne e accelerazione del centro di massa

Dalla seconda legge della dinamica:

ac,x ====

miai ,xi∑∑∑∑M

====Fi ,xi∑∑∑∑

M====

FTOT ,x

M

e analogamente per le componenti y e z, per cui:

FTOT,x ==== Mac,x

r F TOT ==== M

r a c

r F TOT ====

r F interne∑∑∑∑ ++++

r F esterne∑∑∑∑ ====

r R interne ++++

r R esterne

Ma, per il terzo principio delle dinamica: r R interne ==== 0

Quindi:

r R esterne ==== M

r a c

3

• Il moto di traslazione di un sistema di particelle si può ridurre al moto di un unico corpo puntiforme, posizionato nel centro di massa e avente massa pari alla massa totale del sistema, al quale si può considerare applicata la risultante di tutte le forze esterne al sistema.

• In particolare, se su un sistema di particelle non agiscono forze esterne oppure la risultante di queste ultime è nulla (sistema isolato), l’accelerazione del centro di massa è nulla, cioè il centro di massa si trova in stato di quiete o si muove di moto rettilineo uniforme:

r R esterne ==== 0 ⇔⇔⇔⇔

r a C ==== 0 ⇔⇔⇔⇔

r V C ==== costante

Baricentro (G): punto di un corpo esteso nel quale è applicata la forza peso

XG ====

migxii∑∑∑∑Mg

YG ====migyii∑∑∑∑

Mg

Se l’accelerazione di gravità g è la stessa in tutti i punti del corpo (come nei casi pratici in prossimità della superficie della Terra), il baricentro G coincide con il centro di massa C

Si può immaginare il corpo (di massa M) come costituito di tanti punti di massa mi, ciascuno con il suo peso mig:

ZG ====

migyii∑∑∑∑Mg

x

y

z

mig G

Mg

4

Quantità di moto di una particella e sua variazione

1 particella: r q ==== m

r v [ ] MLT 1−

kg ⋅⋅⋅⋅ ms−−−−1

Interazione con gli oggetti circostanti: ∆∆∆∆r q ==== ∆∆∆∆( m

r v )

E se si può ritenere costante la massa: ∆∆∆∆r q ==== m∆∆∆∆

r v

∆∆∆∆r q

∆∆∆∆t==== m

∆∆∆∆r v

∆∆∆∆t==== m

r a m ====

r F m ∆∆∆∆

r q ====

r F m ∆∆∆∆t N ⋅⋅⋅⋅ s

In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto di una particella isolata o soggetta a forze con risultante nulla si conserva (altra formulazione della legge di inerzia).

Conservazione della quantità di moto

Quantità di moto di un sistema di particelle

r Q ==== m i

r v ii∑∑∑∑ Ricordiamo le coordinate del centro

di massa e scriviamo:

M vcy ==== m iviyi∑∑∑∑

Se le particelle sono in moto:

M

∆∆∆∆xc

∆∆∆∆t==== m i

∆∆∆∆x i

∆∆∆∆ti∑∑∑∑

M

∆∆∆∆yc

∆∆∆∆t==== m i

∆∆∆∆y i

∆∆∆∆ti∑∑∑∑

M

∆∆∆∆zc

∆∆∆∆t==== m i

∆∆∆∆zi

∆∆∆∆ti∑∑∑∑

M vcx ==== m i vixi∑∑∑∑ M vcz ==== m i vizi∑∑∑∑

M xc ==== m i x ii∑∑∑∑ M zc ==== m i z ii∑∑∑∑ M yc ==== m i y ii∑∑∑∑

r

Q ==== Mr v cQuindi:

Mr v c ==== m i

r v ii∑∑∑∑Allora: Ma anche:

r Q ==== m i

r v ii∑∑∑∑

dove: Q = quantità di moto totale del sistema

M = massa totale del sistema

vc = velocità del centro di massa

5

Le particelle del sistema possono interagire tra di loro e/o con i corpi esterni. Perciò si può avere una variazione della quantità di moto del sistema.

∆∆∆∆r

Q ==== M ∆∆∆∆r v c ==== ∆∆∆∆

r q i ==== (

r F ii∑∑∑∑i∑∑∑∑ ) ∆∆∆∆t ====

r R ∆∆∆∆t

r R ====

r R est ++++

r R int

La somma vettoriale delle forze interne è nulla per il principio di azione e reazione:

r R int ==== 0

Quindi: ∆∆∆∆r

Q ====r R est ∆∆∆∆t

r R est ====

∆∆∆∆r

Q

∆∆∆∆t==== M

∆∆∆∆r v c

∆∆∆∆t

e per ∆∆∆∆t tendente a zero: r R est ==== M

r a C

Variazione della quantità di moto di un sistema di particelle

Conservazione della quantità di moto di un sistema di particelle

In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto di un sistema isolato di particelle, che interagiscono tra di loro, si conserva.

r R est ==== 0Se

r Q ==== cost

In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto di un sistema di particelle si conserva anche in presenza di forze esterne con risultante nulla.

∆∆∆∆r

Q

∆∆∆∆t====

M ∆∆∆∆r v c

∆∆∆∆t==== 0

Quando la quantità di moto di un sistema di particelle resta costante, la velocità del centro di massa resta costante.

r v c ==== cost

r R est ====

∆∆∆∆r

Q

∆∆∆∆t==== M

∆∆∆∆r v c

∆∆∆∆tRicordiamo che:

6

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

Es: Urto di 2 corpi

Qprima = Qdopo (m1v1 + m2v2)prima = (m1v1 + m2v2)dopo

La quantità di moto totale si conserva:

m1vprima = (m1+ m2 ) v2,dopo

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

Es: Urto di 2 corpi

Qprima = Qdopo (m1v1 + m2v2)prima = (m1v1 + m2v2)dopo

La quantità di moto totale si conserva:

m1v1,prima + m2v2,prima = (m1+ m2 ) v1+2,dopo

Qblu ==== Qfinale,x

Qrossa ==== Qfinale,y

Qfinale ==== Qblu2 ++++ Qrossa

2

tgθ ====Qfinale,y

Qfinale,x

====Qrossa

Qblu

Qrossa

Qblu

Qfinale

x

y

θ

7

• Abbiamo visto che, nei moti di traslazione, applicare una forza F ad un corpo equivale a imprimerle un’accelerazione a (a parità di massa mdel corpo, l’accelerazione impressa ad esso da un certa forza F ha sempre il medesimo valore a = F/m)

• Per i moti di rotazione la situazione è differente: ad esempio, per chiudere una porta (cioè per farla ruotare intorno all’asse passante per i cardini) noi la spingiamo in un punto vicino al bordo della porta piùlontano dai cardini, perché la nostra esperienza quotidiana ci ha insegnato che, a parità di forza applicata, la porta ruota meno facilmente se spingiamo in un punto vicino ai cardini

• Quindi, nelle rotazioni è importante non solo la forza, ma anche il punto in cui essa viene applicata

F1

x1

F2

x2

x1

> x2

F1

< F2

MOMENTO ANGOLARE

Polo O

r

L

q=mv

Pαααα

r L ====

r r ∧∧∧∧ m

r v

L ==== mr v sen αααα

Il vettore momento angolare ha direzione perpendicolare al piano individuato dal vettore posizione e dal vettore quantità di moto, verso stabilito dalla regola della mano destra.

pollice indicem

edio

dimensioni unità di misura kg ⋅⋅⋅⋅ m 2 ⋅⋅⋅⋅s−−−−1

M L

2T

−−−−1[[[[ ]]]]

8

Particella in moto circolare uniforme.

mvr

L

ωωωω

r L ====

r r ∧∧∧∧ m

r v

L ==== r mv sen

ππππ

2==== r mv

v ==== ωωωωr L ==== mr 2ωωωω

I = mr2 è il momento di inerzia della particella, quindi:

r L ==== I

r ω ω ω ω

avendo introdotto il vettore velocità angolare che ha la direzione dell’asse di rotazione e verso tale da vedere la particella ruotare in verso antiorario (direzione e verso del momento angolare).

O

Calcoliamo il momento angolare con polo in O, centro della circonferenza.

L = Iωωωω è il momento angolare della particella in moto circolare uniforme, quando il polo è nel centro della circonferenza.

r L ====

r r ∧∧∧∧ m

r v

∆∆∆∆r L

∆∆∆∆t====

∆∆∆∆(r r ∧∧∧∧

r q )

∆∆∆∆t====r r ∧∧∧∧

∆∆∆∆r q

∆∆∆∆t====r r ∧∧∧∧

r F

Variazione del momento angolare di una particella:

Si può dimostrare che:

MOMENTO DI UNA FORZA

Polo O αααα

r

M ====r r ∧∧∧∧

r F

M = rFsenαααα = rF⊥⊥⊥⊥ = Fb

MF⊥⊥⊥⊥ F

F//

b

r

Il momento della forza F// è nullo

Direzione perpendicola-re al piano individuato dai vettori r e F. Verso stabilito con la regola della mano destra.

b ==== r sen αααα

F⊥⊥⊥⊥= Fsenαααα

è il momento della forza, calcolato rispetto allo stesso polo scelto per il momento angolare.

Il prodotto vettoriale:

Modulo:

9

∆∆∆∆r L

∆∆∆∆t====

r M

r L ==== I

r ω ω ω ω

I

∆∆∆∆r ω ω ω ω

∆∆∆∆t====

r M I

r α α α α ====

r M

Se r

M ==== 0

∆∆∆∆r L

∆∆∆∆t==== 0

r L ==== cost

Il momento angolare di una particella si conserva, se è nulla la somma vettoriale dei momenti delle forze, che agiscono sulla particella.

Variazione e conservazione del momento angolare di una particella

dove αααα è l’accelerazione angolare.

Momento angolare di un sistema di particelle

r L Tot ====

r L ii∑∑∑∑ ====

r r ii∑∑∑∑ ∧∧∧∧

r q i

Variazione del momento angolare di un sistema di particelle:

∆∆∆∆r L Tot

∆∆∆∆t====

∆∆∆∆r L i

∆∆∆∆ti∑∑∑∑

r

M Tot è la somma vettoriale dei momenti di tutte le forze che agiscono sulle particelle del sistema, calcolati rispetto allo stesso polo scelto per il momento angolare.

r

M T ====r

M Tint ++++r

M Test ma r

M Tint ==== 0 ∆∆∆∆LTot ====

r M Test ∆∆∆∆t

Se il sistema è isolato, oppure se la somma vettoriale dei momenti delle forze esterne è nulla, il momento angolare si conserva:

∆∆∆∆r L Tot ==== 0

r L Tot ==== cost

====r

M ii∑∑∑∑ ====r

M Tot ====r r i ∧∧∧∧

r F ii∑∑∑∑

10

mv2

Sistema di particelle simmetrico rispetto all’asse di rotazione

z

O

mv1

Si può dimostrare che Il momento angolare rispetto ad un punto qualsiasi dell’asse di rotazione (momento rispetto all’asse), di un corpo rigido simmetrico rispetto all’asse, ha la direzione dell’asse e vale:

r L ==== I

r ω ω ω ω

Polo in O

r L ====

r L 1 ++++

r L 2 ====

r r 1 ∧∧∧∧ m

r v 1 ++++

r r 2 ∧∧∧∧ m

r v 2

r1

L

L ==== 2r mv sen

ππππ

2==== 2r mv ==== 2m r 2ωωωω

r L ==== I

r ω ω ω ω

r2

I ==== mr 2 ++++ mr 2 ==== 2mr 2

momento di inerzia del sistema di due particelle:

momento angolare:

m1 ==== m2 ==== m

r v 1 ====

r v 2 ==== v

r1 ==== r2 ==== r

Quindi per due particelle simmetriche rispetto all’asse di rotazione:

r L ==== I

r ω ω ω ω ==== ( m1r1

2 ++++ m2 r22 )

r ω ω ω ω

In generale per un corpo simmetrico rispetto all’asse di rotazione:

r L ==== ( m i ri

2 )r ω ω ω ω i∑∑∑∑ Dove I ==== m i ri

2i∑∑∑∑

è il momento di inerzia rispetto all’asse.

Si può dimostrare che per un corpo non simmetrico la componente del momento angolare lungo l’asse di rotazione è:

r L z ==== I

r ω ω ω ω

Se l’asse di rotazione è fisso la componente perpendicolare all’asse non ha effetto.

11

∆∆∆∆r L ====

r M T

z ∆∆∆∆t

r L z ==== I

v ω ω ω ω I ==== m i ri

2i∑∑∑∑

Se il corpo è isolato o se r

M Tz ==== 0

∆∆∆∆r L ==== 0

r L ==== cost

Se r

M Tz ≠≠≠≠ 0

∆∆∆∆r L

∆∆∆∆t====

∆∆∆∆( Ir ω ω ω ω )

∆∆∆∆t====

r M T

( z )

I

∆∆∆∆r ω ω ω ω

∆∆∆∆t====

r M T

( z )

Ir α α α α ====

r M T

( z )

dove è l’accelerazione angolare.

r α α α α ====

∆∆∆∆r ω ω ω ω

∆∆∆∆t

Per un disco omogeneo: I ====

1

2M R 2

Per un corpo rigido con asse di rotazione fisso quindi:

La variazione del momento angolare è:

si ha:

si ha:

L

ω

N.B.

r M T

( z ) ====r

M Test( z ) ====

r M est

( z ) ====r

M Rest( z ) ====

r M i

zi∑∑∑∑

Moto di una particella

traslatorio rotatorio

m I, momento di inerzia

∆∆∆∆r q

∆∆∆∆t====

r F

∆∆∆∆r L

∆∆∆∆t====

r M

v

a

F

q = mv

F = ma

α, α, α, α, accelerazione angolare

ωωωω, velocità angolare

M = r ∧∧∧∧ F, momento della forza

L = r ∧∧∧∧ mv, momento angolare

M = Iαααα

12

Moto di un corpo rigido

traslatorio rotatorio

(asse di rotazione fisso)

r Q ==== m i

r v ii∑∑∑∑

r L ====

r r i ∧∧∧∧

r q ii∑∑∑∑

∆∆∆∆r

Q

∆∆∆∆t====

r R est

∆∆∆∆r L z∆∆∆∆t

====r

M Test( z )

Se r R est ==== 0

si ha la conservazione della quantità di moto

si ha la conservazione del momento angolare

Se r

M Test( z ) ==== 0

valide in un sistema di riferimento inerziale

STATICARiferimento inerzialeParticella in moto rettilineo uniforme: equilibrio dinamico.

Particella ferma: equilibrio statico.

Per l’equilibrio di una particella è necessario e sufficiente che:

r R ====

r F ii∑∑∑∑ ==== 0

P

N

equilibrio indifferente

equilibrio stabile, energia potenziale minima

equilibrio instabile, energia potenziale massima

13

x

y

z

x

y

z

x

y

z

Equilibrio di un corpo rigido

Sistema di riferimento inerziale

x

y

z

equilibrio statico

equilibrio dinamico rotatorio

ωωωω = cost

αααα (accelerazione angolare)= 0

v= cost

equilibrio dinamico traslatorio

vc= cost

ωωωω = cost

equilibrio dinamico rototraslatorio

aCentro di massa = 0

vCentro di massa = 0αααα (accelerazione angolare)= 0

aCentro di massa = 0

Statica dei corpi rigidi con asse di rotazione fisso

Condizioni necessarie e sufficienti di equilibrio:

r M Test

( z ) ==== (r r i ∧∧∧∧

r F iest ) z ====i∑∑∑∑ 0

r R est ====

r F iesti∑∑∑∑ ==== 0

r a CM ==== 0

Contemporaneamente deve essere nulla anche la componente lungo l’asse di rotazione della somma vettoriale dei momenti delle forze esterne è nulla:

r α α α α ==== 0

Ricordiamo che:

∆∆∆∆r

Q

∆∆∆∆t==== M

∆∆∆∆r v C∆∆∆∆t

====r R est

∆∆∆∆r L z∆∆∆∆t

==== Ir α α α α ====

r M Test

( z )

La risultante delle forze esterne deve essere nulla:

14

EsempioF1

F2 F1 = 600 N

F2 = 200 N

l= 1.6 ml

Dov’è il centro di massa?

r R est ==== 0

r

M T ==== 0

r P ++++

r F 1 ++++

r F 2 ==== 0 P −−−− F1 −−−− F2 ==== 0 P ==== F1 ++++ F2 ==== 8 00 N

Polo nel punto di applicazione di F1; asse x orizzontale con origine nel polo O.

Px ==== F2l

xO

x ====

F2l

P====

20 0 ⋅⋅⋅⋅ 1.6

80 0==== 0 .4 m

1)r P +

r R +

r N = 0

(equilibriodelle forze)

2)r

M P +r

M R+r

M N = 0⇒ Pa= Rb

(equilibriodei momenti )

STATICA e LEVECondizioni necessarie affinchéuna leva sia in quiete

G=R

P=

a

b(Guadagno Meccanico)

G< 1 ( P> R;a< b) : leva svantaggiosa

G= 1 ( P= R;a= b) : leva indifferente

G> 1 ( P< R;a> b) : levavantaggiosa

r N (Reazione vincolare )

r P ( Potenza )

a b

r R (Resistenza )

O ( Fulcro)

15

Leva di primo tipo

PR

F

P = potenzaR = resistenza

F = fulcro

x1 x2

FV

r F iesti∑∑∑∑ ==== 0

r

M T ====r r i ∧∧∧∧

r F iesti∑∑∑∑ ==== 0

r F V ++++

r P ++++

r R ==== 0

FV ==== P ++++ R

polo nel fulcro F: Px1 ==== Rx2

Guadagno della leva: G ====

R

P====

x1

x2

Leva di primo tipo: G può assumere qualsiasi valore.

altalena, forbici, piede.

Leva di primo tipo: potenza non perpendicolare alla leva.

Py

R

F

x1 x2

FVy

P

Px

r F iesti∑∑∑∑ ==== 0

r F V ++++

r P ++++

r R ==== 0

r

M T ==== 0 polo nel fulcro F: Px1 sen αααα ==== Rx2

x

y

FVy - Py - R = 0

FVy= Py + R

- Px + FVx = 0

FVxαααα

b

Pb ==== Rx2 x1 sen αααα ==== b

P senαααα = Py = P⊥⊥⊥⊥ P⊥⊥⊥⊥ x1 = R x2

FV

Il prodotto della potenza per il braccio della potenza è uguale al prodotto della resistenza per il braccio della resistenza.

16

Leva di secondo tipo

R

F

P

x2carriolaschiaccianoci

Leva di terzo tipo

R

F

Px1

x2

canna da pescapinzetta

avambraccio

schiena

G ====

x1

x2

>>>> 1

G ====

x1

x2

<<<< 1

x1

VINCOLILa mobilità di un corpo può essere limitata dalla presenza di qualche vincolo

P

vincolo di appoggioP

NF1

F2

situazione di non equilibrio!

Che altra forza occorre?

vincolo di sostegno: fune, molla (la forza vincolare èlungo la fune)

P

FV

P

P

F1F2 Fel

r F V ++++

r P ==== 0

r P ++++

v F 1 ++++

r F 2 ==== 0

r P ++++

r F el ==== 0

F

Fulcro (direzione da determinare)

αααα

P

T

F FVx

FVy

Tx

Ty

FV

17

LEVE DEL CORPO UMANO

Per bilanciare il peso del capo, applicato nel suo baricentro,ed evitare che

la testa ciondoli in avanti, viene esercitata una 'potenza’ da parte dei

muscoli nucali, che si trovano dall'altro lato rispetto al fulcro.

L'intensità della forza realizzata dal muscolo sarà tale da produrre un

momento esattamente uguale a quello prodotto dalla 'resistenza'.

Si noti anche che l'insieme delle due forze tenderebbe a causare un

abbassamento del sistema: il fulcro realizza anche una reazione vincolare

che si oppone alla traslazione: per questo dopo un certo tempo

l'articolazione è affaticata!

Leva 1o genere

LEVE DEL CORPO UMANO

Resistenza (peso) e potenza (muscolo) si trovano dalla medesima parte

rispetto al fulcro, e la potenza ne è più lontana (maggior braccio).

Leva di 2o genere

18

LEVE DEL CORPO UMANO

la potenza (tensione muscolare del bicipite) è molto vicina al fulcro

(gomito), mentre la resistenza (peso del braccio, più eventuale peso

sostenuto dalla mano) è più distante.

Leva di 3o genere

Leva di I tipo

x1 x2

PR

M = 80 kg, x1 = 6.5 cm,

x2 = 3 cm, αααα =75°°°°

α

α

F

PR

x1

Px

Py

FVyFV

FVx

r R ++++

r P ++++

r F V ==== 0

R ====

mg

2==== 392 N

Px1 sen αααα ==== Rx2

P ====

Rx2

x1 sen αααα==== 187.4 N

P sen αααα ++++ R ==== FVy

P cosαααα ==== FVx

FVy ==== 187.4 ⋅⋅⋅⋅ sen 75°°°° ++++ 392 ==== 573 N

FVx ==== 187.4 ⋅⋅⋅⋅cos75°°°° ==== 48.5 N

FV ==== FVx

2 ++++ FVy2 ==== 573 2 ++++ 48.5 2 ==== 575 N

θ

ϑϑϑϑ ==== arctg

FVy

FVx

==== 8 5.16

Piede

F

x2

19

schiena

x1 = 0.84 m, x2 = 0.72 m, αααα =12° m = 50 kg

R

P FV

F

leva di II tipo

R

P FV

schiena

x1 = 0.84 m, x2 = 0.72 m, αααα =12° m = 50 kg R = 490 N

F

r

M T ==== 0

polo in F

x1P sen αααα −−−− Rx2 ==== 0

P ====

Rx2

x1 sen αααα====

490 ⋅⋅⋅⋅0 .72

0 .84 ⋅⋅⋅⋅ sen 12°°°°==== 20 20 N

r P ++++

r R ++++

r F V ==== 0

FVy ++++ P sen αααα −−−− R ==== 0

FVx −−−− P cosαααα ==== 0

FVy ==== 490 −−−− 20 20 ⋅⋅⋅⋅ sen 12°°°° ==== 70 N

FVx ==== 20 20 ⋅⋅⋅⋅cos12°°°° ==== 1976 N

FV ==== FVx

2 ++++ FVy2 ==== 1977 N

ββββ ==== ar ctgFVy

FVx

==== 2.0 3°°°°

αβPy

Px FVx

FVy

x1

x2

r x 1 ∧∧∧∧

r P ++++

r x 2 ∧∧∧∧

r R ==== 0

20

Avambraccio leva di III tipo

F

P

x1

x2

R1R2

x1 = 5 cm

x2 = 15 cm

x3 = 35 cm

x3m1 = 1.3 kg, m2 = 3 kg, R1 =12.7 N, R=12.7 N, R2 2 =29.4 N=29.4 N

r P ++++

r R 1 ++++

r R 2 ++++

r F V ==== 0

r

M T ==== 0 Px1 −−−− R1x2 −−−− R2x3 ==== 0

P ====

R1x2 ++++ R2 x3

x1

==== 243.9 N

FV ++++ P −−−− R1 −−−− R2 ==== 0 FV ==== R1 ++++ R2 −−−− P

FV ==== 12.7 ++++ 29.4 −−−− 243.9 ==== −−−−20 1.8 N

La reazione vincolare del fulcro è orientata in verso opposto alla potenza, quindi verso il basso.

Fv

x

y

O

Mandibola

21

Fm = 500 N br2 = 4 bmEs: usando gli incisivi: θθθθ = 60°

°==β=+=+=

−=⋅−⋅

=θ−=

=⋅

=θ⋅⋅

=⇒θ⋅⋅=⋅⇒=

=+−θ

=⋅=θ=⇒=+θ−

θ=θ==++

4.52F

FarctgN84.40976.324250FFF

N76.3242/35004

2/3500senFFF

N25.1084

2/3500

b

sinbFFsinbFbF0M

0FFsenF

N2502

1500cosFF0FcosF

senFF;cosFF0FFF

Vx

Vy222

Vy

2

VxV

m2rVy

2r

mm2rmm2r2rT

Vy2rm

mVxVxm

mmymmxV2rm

r

rrr

OMR2

Fr2

br2

bm

Fm Fmy

Fmx

θθθθx

y

FVx

FVyFV

β