Lezione 7 Dinamica dei sistemi di punti

materiali Argomenti della lezione   Forze interne ed esterne

  Definizione di centro di massa (posizione, velocità,accelerazione)

  Momento angolare

  Momento angolare di un sistema di punti materiali

  Teorema di Konig del momento angolare

  Teorema di Konig per l’energia cinetica

  Teorema dell’energia cinetica

Forze interne ed esterne nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:

y

xO

irjr

ij ,Fji ,F

Le forze interne sono quelle scambiate dai punti.

Per il principio di Azione/Reazione

ijji ,, FF =Le forze esterne sono quelle che agiscono sul sistema per via di fattori esterni al sistema, si possono indicare come

)()( , ej

ei FF

Forze interne ed esterne nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:

y

xO

'O

irjr

ji,Fij ,F

Sommando vettorialmente le forze interne ed esterne si ottiene:

0,

, =∑ji

jiF

)()( e

i

ei RF =∑

Forze interne ed esterne nji mmmmm ,.........,,........., 21Consideriamo n punti materiali:

j

jj mF

a =

Le relative posizioni:

Le relative velocità:

Le relative accelerazioni:

nji rrrrr ,.........,,........., 21

nji vvvvv ,.........,,........., 21

nji aaaaa ,.........,,........., 21

y

xO

irjr

iv

jv

Forze interne ed esterne

In riferimento a quanto abbiamo appena visto su un sistema completo avremo:

y

xO

irjr

iv

jv

cini

ii

ii

iii

Em

m

=

==

∑

∑∑

2

21 v

pPv

Centro di massa Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:

y

xO

irjr

iv

jv∑

∑=

ii

iii

CM m

m rr

Studiamone la variazione col tempo:

∑∑

∑===

ii

ii

iii

CMCM

mm

m

dtd Pv

vrCM

iim vP

= ∑

Centro di massa Proseguendo a derivare la velocità rispetto al tempo:

y

xO

irjr

iv

jv ∑

∑

∑

∑===

ii

ii

ii

iii

CMCM

mm

m

dtd Fa

av

CMi

ii

i m aF

= ∑∑

Ma le forze agenti su un singolo punto materiale sono sia quelle interne che esterne, ossia

CMi

ie

i

ei

jiji

ii m aRFFF

=+=+= ∑∑∑∑ )()(

,, 0

Centro di massa y

xO

irjr

iv

jvIl centro di massa si sposta come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema su cui agisce la risultante delle forze esterne.

CMCMi

ie Mm aaR =

= ∑)(

dtd

dtdmm CM

iiCM

ii

e PvaR ==

= ∑∑)(

Notiamo che se: 0)( =eR 0=dtdP cost=P

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

Momento angolare Si definisce momento angolare la seguente grandezza:

vrprL m×=×=

L

r

v

ϑsinrpL =

E’ una grandezza vettoriale, per definirne il verso:

c

ba

bac ×=

Regola mano sx b direzione indice, a direzione medio, pollice vettore risultante

Momento della forza Si definisce momento della forza la seguente grandezza:

FrM ×=M

rF

ϑsinrFM =

E’ una grandezza vettoriale, per definirne il verso:

c

ba

bac ×=

Regola mano sx b direzione indice, a direzione medio, pollice vettore risultante

Teorema del momento angolare Calcoliamo la variazione nel tempo del momento angolare:

=×+×=×=dtdmm

dtdm

dtd

dtd vrvrvrLL

r

v

O

La derivata temporale del momento angolare è uguale al momento della forza se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo di un sistema fisso.

Conservazione del momento angolare

Se la forza è nulla o forza e vettore posizione sono paralleli

costante0 =⇒= LLdtd

MFrarvv =×=×+×= mm

Centro di massa Momento angolare

y

xO

irjr

iv

jvRagionamenti analoghi possono essere fatti per il momento angolare di un singolo punto e del centro di massa.

iiii m vrL ×=

LLvr ==× ∑∑i

ii

iii m

Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al variare del tempo:

∑∑ ×==i

iiii

i mdtd

dtd

dtd vrLL

Centro di massa Momento angolare

Proseguendo coi calcoli.

=×== ∑∑i

iiii

i mdtd

dtd

dtd vrLL

)()( e

i

eiidt

d MFrL=×=∑

Momento totale delle forze esterne

=×+×= ∑∑i

iii

iii

i

dtdmm

dtd vrvr

=×=×+×= ∑∑∑i

iii

iiii

iii mm Frarvv

∑∑ ×+×=ji

jiii

eii

,,

)( FrFr

Centro di massa Momento angolare

E se l’origine si muove con una certa velocità?

oiii

dtOPd

dtd vvr

−==Teorema del momento angolare per un sistema di punti

Se l’origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:

)(e

dtd ML

=

∑×−=i

iioe m

dtd vvML )(

∑×−=i

iCMoe m

dtd vvML )(

Punti e sistemi

  Se la somma delle forze esterne è NULLA, si ha

PUNTO SISTEMA Quantità di moto

2° principio dinamica

vmP = CdMVMP

=

dtPd

estF

=∑ ( )

( )CdMdt

VMdest

dtVd

dtdM

dtVMd

est

aMFM

MVFCdM

CdM

==⇒

+==

∑∑

cost

Q.d.M. Cons. kostP =

Centro di massa Momento angolare

Se l’origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:

)(e

dtd ML

= 0 se )( =eM 0=dtdL

Il momento angolare si conserva!

Sistema di riferimento del Centro di massa

Se consideriamo il centro di massa e lo prendiamo come origine di un sistema di riferimento cartesiano con assi ad orientazione fissa rispetto ad un sistema Oxy fisso, il moto del sistema di punti materiali può essere descritto come:

2) Moto di spostamento dei punti intorno al centro di massa dovuto al momento delle forze esterne

y

x

'y

'xO

CMr'r

i

1) Moto del centro di massa dovuto a forze esterne

CMCMi

ie Mm aaR =

= ∑)(

( )∑ ×==i

iiiCMCMe

CM mdtd

dtd vrLM ,

)(

Teorema di Konig del momento angolare

Calcoliamo il momento totale rispetto ad O.

y

x

'y

'xO

CMr'r

i ∑ ×=i

iii m vrL0

+=

+=

iCMi

iCMi

'

'

vvv

rrrMa

( ) ( )

=×+×+×+×=

=+×+=

∑∑∑∑

∑

iiii

iCMii

iiiCM

iCMiCM

iiCMiiCM

mmmm

m

''

'

''

'0

vrvrvrvr

vvrrL

'' ' LLvrvr +=×+×= ∑∑ CMi

iiii

CMiCM mm

Teorema di Konig per energia cinetica

+=

+=

iCMi

iCMi

'

'

vvv

rrr

( )

∑

∑∑∑

∑∑

+=

=++=

=+==

iiiCMtot

iiCMi

iii

iCMi

iiCMi

iiicin

mM

mmm

mmE

22

22

22

'21

21

''21

21

'21

21

vv

vvvv

vvv

Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per l’energia cinetica.

Teorema dell’energia cinetica

(int))((int))(i

eiiii

eiiii dWdWddddW +=+== rFrFrF

Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per l’energia cinetica.

(int)idWIl termine è formato da termini del tipo

( ) jijiijjiiijjji ddddd ,,,,, rFrrFrFrF =−=+

che sono associati a cambiamenti delle distanze relative dei punti

Teorema dell’energia cinetica

iiiii

iiii dmddtdmddW vvrvrF ===

∑∑ −=i

Aiii

Bii vmvmW 2,

2, 2

121

Considerando tutte le forze ho per l’intero sistema

cost,,,, =+=+ BpBkApAk EEEE

( ) ( )ApAkBpBknc EEEEL ,,,, +−+=

e nel caso di forze non conservative

Punti e sistemi

  Se la somma delle forze esterne è NULLA, si ha

PUNTO SISTEMA Quantità di moto

2° principio dinamica

vmP =

!P =M

!VCM

dtPd

estF

=∑!Fest! =

d M!VCM( )dt

= dM

dtVCM+

d!VCM

dtM

M cost "!Fest! =

d M!VCM( )dt

=M!aCM

!P = cost

Teorema dell’Impulso

  Relazione tra variazione della quantità di moto e forza con il fattore TEMPO

  Posso ottenere lo stesso effetto in 2 modi:   Bassa intensità per tempo lungo

  Alta intensità per breve tempo (FORZA IMPULSIVA)

∫==Δ=−f

i

t

tif dttFJPPP )(

t

F

Urti

  PERFETTAMENTE ELASTICI   Si conserva la quantità di moto

  Si conserva l’energia

  PERFETTAMENTE ANELASTICI   La massima parte dell’energia cinetica totale finisce in calore

  La quantità di moto si conserva

  REALI   La quantità di moto si conserva

  Parte dell’energia cinetica finisce in calore

Esempi di urti