Lezione 8 Dinamica del corpo rigido

Argomenti della lezione: !   Corpo rigido

!   Centro di massa del corpo rigido

!   Punto di applicazione della forza peso

!   Punto di applicazione della forza peso

!   Momento della forza peso

!   Energia potenziale

!   Rotazione nel piano

!   Momento di interzia

!   Energia cinetica di rotazione

!   Teorema di Huyghens-Steiner

Corpo rigido Definizione Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di

punti materiali in cui le distanze relative NON cambiano

Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso.

0)( =IRNON hanno risultante

Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche:

NON fanno lavoro

NON fanno momento 0)( =IM0)( =IW

Corpo rigido

Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche

Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa

Il lavoro delle forze esterne varia l’energia cinetica del sistema

I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad O (punto fisso o centro di massa del sistema)

CMe maR =)(

( )∑ ×==i

iiiOe

O mdtd

dtd vrLM )(

( ) AcinBcine EEBAW ,,)( −=→

Corpo rigido

Come è fatto un corpo rigido??

Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali.

Quindi tutte le somme diventano degli integrali!

Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia

dmmi ⇒

Centro di massa di un corpo rigido Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza:

y

xO

CMrirr ≡

∑

∑=

ii

iii

CM m

m rr

imdm ≡

∫∫=dm

dmCM

rr

Se definiamo la densità come: dVdm ρ= con dV elemento di volume occupato da dm

leVolumeTota

dV

dV

dV

dV

dVVolume

Volume

Volume

Volume

VolumeCM

∫

∫

∫

∫

∫===

rrrr

ρ

ρ

Centro di massa di un corpo rigido

Punto di applicazione della forza peso Centro di massa

Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso:

dmdm g →La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è:

ggg mdmdm == ∫∫E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.

Momento della forza peso Centro di massa

Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da:

( ) grgrM ×=×= ∫∫ dmdm

∫∫∫∫

=⇒= dmdmdm

dmCMCM rr

rr

ma:

( ) grgrgrM mmdm CMCMCM ×=×=×= ∫

Energia potenziale Centro di massa

Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell’energia potenziale:

∫∫ == zdmggzdmEp

∫∫∫∫

=⇒= dmzzdmdm

zdmz CMCM

ma:

CMCMp mgzdmgzzdmggzdmE ==== ∫∫∫Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.

Moti del corpo rigido

Moto rotatorio

Variabili rotazionali

Variabili rotazionali

Relazione tra variabili lineari e angolari

Rotazione nel piano

zu

Oϑ

dmr

CM

vConsideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso

Asse di riferimento

Le equazioni del moto del sistema sono

CMe maR =)(

dtd Oe

OLM =)(

( ) ( )∫∑ ×→×= dmmi

iiiO vrvrL

Poichè vr⊥ ∫= zO rvdmuL

Rotazione nel piano Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore uz

zu

Oϑ

rdm

CM

v

Asse di riferimento

Inoltre si ha che:

dtdrv θ

=

E quindi

∫∫∫ === dmrdtddm

dtdrrrvdmO

2θθL

La quantità prende il nome di momento di inerzia ∫= dmrIO

2

Momento di inerzia

Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia

∫= dmrIO2

∑=i

iiO mrI 2

Nel caso continuo

Nel caso discreto

Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione

Momento di inerzia

Equazioni del moto del corpo rigido

Per la traslazione

Per la rotazione

CMe maR =)(

dtd Oe

OLM =)(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

∫∫dmrI

dmrdtd

O

zO

2

2 uL θ

zOOe

O Idtd

dtd uLM 2

2)( θ

==

Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura zu

Oϑ

rdm

CM

v

Asse di riferimento

Dal teorema di Konig si ha che

∑+=i

iiCMtotcin mME 22 '21

21 vv

Con i'v velocità relative rispetto al CM

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso

zu

Oϑ

rdm

CM

v

Asse di riferimento

Dall’analisi del moto di rotazione intorno ad O di tutte le masse infinitesime

Ma

∫= dmrIO2

∫∑ == 22 '21'

21 vv dmmE

iiicin

dtdrv θ

=dmr

dtd

dtdrdmEcin ∫∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= 2

222

21

21 θθ

e in definitiva 2

21

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

dtdIE Ocinθ

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso

Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto O

O CM

CMr

r 'rCalcoliamo ora il momento d’inerzia rispetto al punto O

( )∫∫ +== dmdmrI CMO22 'rr

( )

∫∫∫∫

++=

=++=

dmdmdm

dmI

CMCM

CMCMO

'2'

'2'

22

22

rrrr

rrrr

CMCMCMO ImdmmI +=+= ∫ 222 ' rrrOssia

Teorema di Huyghens-Steiner

Slittamento !   Immaginiamo un corpo cilindrico o sferico

in moto rispetto alla superficie di appoggio

!   Se le velocità di tutti i punti sono uguali e sono parallele al piano tangente localmente alla superficie, abbiamo un moto di traslazione e il corpo slitta sulla superficie

C

24

Rotolamento !   In generale un corpo può anche rotolare sulla

superficie

!   Se il punto di contatto C tra corpo e superficie è fermo, istante per istante, si ha rotolamento puro

!   Altrimenti avremo contemporaneamente slittamento e rotolamento

25

Rotolamento puro !   Tra superficie e corpo esiste una forza di attrito

che mantiene fermo il punto di contatto C, istante per istante

!   Questa è la forza di attrito statico

!   La velocità del punto C (o di qualsiasi altro punto) a distanza r dal CM è

€

v

C= v

CM+ v

C

*= v

CM+ ω × r

26

Rotolamento puro !   La condizione di puro rotolamento è

ovvero

!   In modulo la velocità del CM è

!   E l’accelerazione

!   Cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione precisa tra velocità del CM e velocità angolare

€

v

CM= − ω × r

€

v

C= 0

€

vCM

=ωr

€

aCM

=αr

27

Rotolamento puro

Attrito volvente !   Si attribuisce questo fenomeno ad

una nuova forma di attrito, detto volvente, che è attivo tra il corpo e la superficie di appoggio

!   È attibuito alla deformazione locale del corpo e della superficie

!   Per una ruota in moto, la retta d’azione della componente normale N della reazione vincolare alla superficie d’appoggio non contiene il centro della ruota

N

h

29

Attrito volvente •  L’effetto e` schematizzato con l’azione di un

momento che si oppone al moto (h è il braccio di N ed e` detto coefficiente di attrito volvente)

•  L’effetto dell’attrito volvente è sempre molto minore di quello dell’attrito radente e statico, per cui è generalmente trascurabile

•  Da qui deriva il grande vantaggio che si ottiene, in molti casi, di dotare i veicoli di ruote piuttosto che di pattini

hNv =τ

30

Rotolamento puro sfera

Per la traslazione

F − fa =maCMN −mg = 0

αIrfI

a

a

=

⇒=×= αfrM

af C

F

ω

Per la rotazione

Considerando tutte le equazioni

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−

11

1

2

2

22

22

2

2

mIRF

mRIm

FRIa

RIf

mRIm

F

RIm

Fa

aRImF

aRIf

mafF

CMa

CM

CM

CMa

CMa

mgf sa µ≤

Per il rotolamento puro occorre che

Rotolamento puro sfera

M M

Pendolo composto Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa.

ϑh

O

gm

CM

Il momento della forza peso è

θsenhmgm −=×= grM

Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo

Pendolo composto Studiamone il moto

θsenhmgm −=×= grM

2

2

dtdII

dtd

zzz θ

α ==L

θθ

α sen2

2hmg

dtdII

dtd

zzz −===L

0sen2

2=+ θ

θ

zImgh

dtd

E per piccole oscillazioni 02

2=+ θ

θ

zImgh

dtd

ϑh

O

gm

CM

Pendolo composto

che ha soluzione

02

2=+ θ

θ

zImgh

dtd

( ) ( )zI

mghtt =ΩΦ+Ω= con sen0θθ

gl

mghIT z πππ 222 ==Ω=

mhIl z= lunghezza ridotta del pendolo

ϑh

O

gm

CM

Pendolo composto

gm

O

ϑhCM

'h'O

Se poniamo

'' mhhImhIh CC =⇒=

hhhhmhI

mhmhI

mhIl CCz >+=+=

+== '

2

Se facciamo oscillare attorno ad O’

lhhhmhmhhh

mhI

mhmhI

mhIl CC =+=+=+=

+== ''

'''

'''

'''

2

ll =' Cioè Il periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso