Dinamica del punto

Argomenti della lezione: •  1° legge di Newton (principio di inerzia)

•  2° legge di Newton

•  3° legge di Newton (principio di azione e reazione)

•  Quantità di moto

•  Risultante delle forze / Equilibrio / Reazioni vincolari

Dinamica: Forze e Moto

Principio d’inerzia

prima legge di Newton

Principio d’inerzia L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema Internazionale

(SI) viene impiegato il chilogrammo. Tale grandezza è una grandezza scalare. Dati due corpi, di massa diversa, che si trovano sottoposti alla

medesima forza esterna, avranno accelerazioni diverse.

Forze

Esempi di Forze

Seconda Legge di Newton La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando

su di esso agisce una forza non nulla. Se le forze in gioco sono più di una, va considerata la loro somma ossia la risultante delle

forze, o forza risultante.

Ricordando le relazioni viste in cinematica, l’espressione vista può anche così essere riscritta: 2

2

dtdm

dtdmm rvaF ===

L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale

alla sua massa.

Fris = min·a

Se una forza F viene applicata ad un corpo, esso sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso verso di F.

Seconda Legge di Newton

F F F

F F’

Dimensioni e unità di misura

Le dimensioni per la formula sono le seguenti:

[F] = [M][L]/[T][T]

e le corrispondenti unità di misura sono:

F = kg·m/s·s = N

(dove N indica Newton. La forza di 1N è quella che, agendo su una massa di 1 kg, ne causa un'accelerazione di 1 m/s2)

aF inris m=

La quantità di moto La grandezza vp m= si definisce quantità di moto

Ricordando 2

2

dtdm

dtdmm rvaF === è possibile scrivere

( )dtmd

dtd vpF ==

pF ddt = ppppFJ Δ=−=== ∫∫ 000

p

p

t

tddt

Teorema dell’impulso

(forma integrale della legge di Newton)

11

cost

cost

=⇒=

⇒=

amFa

F

!!

!

"

Applicazioni dei principi della dinamica..

Moto uniforme

F = 0 ⇒ a = 0v=cost

Moto uniform. accelerato

•  Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.

•  Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera

Forza Peso

Massa e Peso

221

rmmGF ×

=

Massa gravitazionale

Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere attratta da un'altra massa, secondo la legge di gravitazione universale.

Se indichiamo con m1 e m2 le due masse gravitazionali e con r la distanza fra i loro centri e G la costante di gravitazione universale si ha:

Massa inerziale-massa gravitazionale

Massa inerziale-massa gravitazionale

Massa inerziale-massa gravitazionale

maF = 221

rmmGF ×

=

mgP = 2RmMGP ×

=

2RmMGmg ×

=

2RMGg =

Dalla e dalla

si ha si ha

Per cui

Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha

Accelerazione di gravità

2RMGg =

L’accelerazione di gravità non dipende dalla massa dell’oggetto!

L’accelerazione di gravità dipende dalla massa terrestre

L’accelerazione di gravità dipende dal raggio terrestre

Peso e accelerazione di gravità

poli raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore

intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore

spiaggia raggio minoreaccelerazione di gravità maggiore

intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore

equatore raggio maggioreaccelerazione di gravità minore

intensità campo gravitazionale minorepeso minore

vetta raggio maggioreaccelerazione di gravità minore

intensità campo gravitazionale minorepeso minore

accelerazione di gravitàe raggio terrestre

luna massa minoreaccelerazione di gravità minore

intensità campo gravitazionale minorepeso minore

terra massa maggioreaccelerazione di gravità maggiore

intensità campo gravitazionale maggiorepeso maggiore

accelerazionedi gravitàe massa del corpo celeste

2RMGg =m

gP=

g = Newtonkg

g esprime l’intensità del campo gravitazionale, cioè i Newton associati ad un kg

Forza normale (o reazione vincolare)

Coppie di Azione e Reazione

Terza Legge di Newton principio di azione e reazione

Reazioni vincolari Esempi

N

P

0=+NPN

P

y

x

0=− yPN

N

P

Vincoli •  Un vincolo e` una qualunque limitazione dell’ambiente al

moto del corpo •  Questa limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo •  Esempi:

–  una fune

–  una superficie d’appoggio o rotaia

–  un asse fisso

–  un punto fisso

Reazioni vincolari

•  Il contatto tra corpo e vincolo produce un’interazione che si manifesta sotto forma di forza

•  Per il 3o principio la forza con cui il corpo agisce sul vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo

•  Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma si possono dedurre a posteriori esaminando il

comportamento del sistema

Reazioni vincolari •  Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico

•  Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R diversa da zero

•  Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la risultante di tutte le forze, compresa quella di vincolo, dev’esser nulla:

•  Da questa relazione possiamo calcolare, a posteriori, la forza di vincolo:

0≡+= VRRtot!!!

RV!!

−=

Carrucole

•  Le considerazioni svolte possono essere estese al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi direzione

Oggetti in equilibrio

= 0

Equilibrio Esempio

Un corpo è sottoposto all’azione di una forza F1 = 30 N diretta verso l’asse negativo delle x e a quella di una seconda forza F2 =70 N che forma un angolo di 60° con l’asse positivo delle x, determinare modulo direzione e verso della forza F3 necessaria affinché il corpo sia in equilibrio.

yx

x

uuF

uF

θθ sin70cos70

30

2

1

+=

−=

F2 F’3

x

y

60°

F1 F3

30

NNNFFF BxAxRx 2.52)37cos(30)45cos(40 =+=+=

NNsenNsenFFF ByAyRy 3.10)37(30)45(40 =−=+=

oRx

Ry

NN

FF

5.11)2.0arctan(

2.02.523.10)tan(

==

===

θ

θ

Esercizio

amF !!=∑

kgmb 500=

NFFF RyRx 5122 =+=!

2m/s1.0kg500N51

==a

Fili e funi

•  Sono oggetti che trasmettono la forza solo in trazione

•  Al contrario le barre possono trasmettere la forza sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo di taglio

Fili e funi: Tensione

Esercizio: Equilibrio

Esercizio: Equilibrio

Oggetti sottoposti a una Ftot non nulla

Esempio (senza attrito)

Esempio: Macchina di Atwood

Esempio: Macchina di Atwood

Esempio 2: Oggetti Multipli

Esempio 2: Oggetti Multipli

Esercizio

-mgsinα

αl

mg

x

Per piccole oscillazioni lo spostamento sull’arco è approssimabile con lo spostamento sulla corda

x = l sinα

L’unica forza a cui è soggetto il pendolo è la forza Peso che può essere scomposta in due componenti

L’altra componente, perpendicolare alla direzione del filo, pari a

sinα = x/ l

lx

F = -mg sinα = -mg x /l

Pendolo: piccole oscillazioni

-m g l x F = = -k x

Il moto del pendolo, per piccole oscillazioni, è un moto armonico

Si dimostra che l’equazione che descrive questo moto è

X(t) = A sin (ω t + φ)

Dove ω =

√ gl

Al sito http://www.walter-fendt.de/html5/phit/pendulum_it.htm

potete simulare il moto di un pendolo al variare dei suoi parametri

Pendolo: piccole oscillazioni

Piano Inclinato

Forza di attrito

Attrito Statico e Attrito Dinamico

Modello Macroscopico dell’ Attrito

Coefficienti di attrito

Esercizi con attrito e legge di Newton

Coefficiente di attrito statico

Un corpo è lanciato su un piano scabro inclinato di un angolo a=30° rispetto all’orizzontale, con velocità iniziale Vo=3 m/s, verso l’alto Il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e il corpo è kd=0,3. Si calcoli l’accelerazione del corpo, dopo

quanto tempo il corpo si ferma e la quota raggiunta.

Esercizio

Moto Circolare Uniforme

Moto Circolare Uniforme

Forza centripeta

Forza centripeta e centrifuga

Moto di un automobile

Curva orizzontale piatta

Pendolo Conico

Moto in un fluido

Moto in un fluido: esempio

Moto in un fluido: soluzione

Esercizio

Giro della morte

Giro della morte II

Forza elastica Oggetticheprincipalmentedannoorigineaforzeelastiche:lemolle.Caratteristiche:a)lunghezzaariposox0,(lunghezzadellamollaquandolarisultantedelleforzeapplicatesudiessaènulla)b)  k,dettacostanteelasticadellamolla.Siosservasperimentalmentechel'allungamento/compressionediunamollaèproporzionaleallaforzaapplicata:

leggediHooke, F=-kDxDx=(x-x0)=entitàdelladeformazionedellamolla.Taleleggevalesolamenteseladeformazioneavvieneentrouncertolimite:superatoessolamollaperdelapropriaelasticità.Laforzahasegnonegativopoichéèsempreoppostaallospostamento.

Legge di Hooke

•  In termini vettoriali:

( ) xkxxkF !!!!Δ−=−−= 0

Fe FT

Δx

Fe FC

Δx

Ancora sul moto armonico •  Ponendo y=x-x0 e sfruttando il fatto ovvio che

•  l’equazione del moto diviene

•  Dividendo i membri per m e ponendo •  Otteniamo

•  Cioe` l’equazione che individua il moto armonico •  Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e` causato dalla

forza elastica

kydtydm −=2

2

2

2

2

2

dtxd

dtyd=

mk

=2ω

yadtyd 22

2

ω−==

Forza elastica

dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e f è la fase. Sia A che f dipendono dalle condizioni iniziali del moto.

( )φω += tAtx sen)(

La legge oraria sarà quindi:

Andando a studiare il moto, si osserva che: →  nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto)

→  nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)