DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

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16/03/2017

MOLLA: COMPRESSIONE E ALLUNGAMENTO

Si consideri una molla di lunghezza a riposo x0, disposta

orizzontalmente (lungo l’asse x) e fissata per un’estremita

ad una parete rigida come in figura. Se un agente esterno

applica all’estremita libera A della molla una forza F∗ diretta

lungo l’asse x, l’ascissa di A passera da x0 ad x. Sia ∆x =

x− x0 la conseguente deformazione. Se vale ∆x > 0 si ha

un allungamento, se vale ∆x < 0

si ha una compressione. In regime

lineare vale la legge di Hooke nella

forma

F ∗x = k ∆x , (1)

dove k e la costante elastica della molla ([k] = N/m).2

SISTEMA MASSA + MOLLA

Adesso s’intende determinare la legge del moto di una massa

m che viene fissata all’estremo libero A della molla. Per una

deformazione ∆x della molla, la stessa subisce l’azione di

una forza F ∗x = k ∆x ad opera della massa m. Per il III

Principio la molla esercita sulla massa m una forza uguale

(in modulo) ed opposta F = −F∗, la cui componente x

vale Fx = −k ∆x. E una forza elastica di richiamo verso la

posizione x0 di equilibrio (vedere disegno).

Il II Principio della Dinamica per il

moto di m da

R = N +m g + F = m a , (2)

dove vale N +m g = 0 poiche il moto e lungo x.

3

La componente x della (2) si riduce a

md2x(t)

dt2= −k ∆x →

d2∆x

dt2= −

k

m∆x (3)

poiche, essendo x0 una costante, vale l’uguaglianza

d2∆x

dt2=

d2 [x(t)− x0]

dt2=

d2x(t)

dt2. (4)

In base alle considerazioni presentate nella Cinematica del

punto materiale, l’equazione (3) prevede per la deformazione

∆x (e, quindi, per l’estremita A della molla) un moto ar-

monico avente pulsazione ω, periodo T e frequenza f dati

da

ω =

√√√√ k

m; T = 2 π

√m

k; f =

1

2 π

√√√√ k

m. (5)

4

Il sistema massa + molla rappresenta un semplice esempio

di oscillatore armonico, il cui moto e armonico attorno alla

posizione di equilibrio x0. La legge oraria puo essere scritta

come

x(t) = x0 + α cos(ω t) + β sin(ω t) . (6)

La soluzione contiene le quantita α e β, che possono es-

sere determinate in base alle condizioni iniziali x(0) e vx(0)

(posizione e velocita di m al tempo t = 0). Si ha

α = x(0)− x0 e β =vx(0)

ω. (7)

Si dimostrera che l’ampiezza delle oscillazioni di m attorno

ad x0 e data da√α2 + β2.

5

LAVORO

Si consideri una forza F costante applicata ad un punto

materiale P. Se P si sposta dalla posizione A alla posizione

B andando incontro allo spostamento ∆r = rB − rA, si dice

che la forza F esegue su P il lavoro LA→B dato da

LA→B = F ·∆r = F ∆r cos θ , (8)

dove θ e l’angolo compreso tra F e ∆r. Se F non e costante,

si suddivide la traiettoria che P percorre andando da A a B

in tanti (N) piccoli spostamenti ∆ri lungo i quali si ap-

prossima che la forza assuma i valori Fi (costanti sui ∆ri

corrispondenti). Il lavoro globale e dato dalla somma

LA→B∼=

N∑i=1

Fi ·∆ri → LA→B =∫ BA

F · dr . (9)

6

L’unita di misura del lavoro e il Joule = Newton ·metro. Il

simbolo di Joule e J, da cui [L] = J = kg m2 s−2).

Nella semplice situazione (8) di forza costante il segno di

L dipende da cos θ. In particolare, nel caso di spostamento

parallelo alla forza si ha L = F∆r mentre nel caso di sposta-

mento antiparallelo si ha L = −F∆r. Per spostamenti per-

pendicolari a F il lavoro e nullo.

Esercizio Una valigia ha massa m = 10 kg. Calcolare il

lavoro necessario per sollevarla di 1.5 m, per abbassarla di

1.5 m, per farla cadere di 2 m e per trasportarla in orizzon-

tale di 100 m. Calcolare il lavoro che la forza peso esegue

in corrispondenza degli stessi spostamenti cui la valigia va

incontro.7

LAVORO PER ALLUNGARE UNA MOLLA

Sia data una molla di lunghezza a riposo x0 e costante ela-

stica k. Un agente esterno che voglia estendere la molla

dalla lunghezza x0 alla lunghezza xB deve applicare una forza

variabile F∗ diretta lungo la direzione positiva dell’asse x e

data da

F ∗x(x) = k ∆x = k (x− x0) . (10)

Il lavoro L0→B che l’agente esterno

deve eseguire tramite F∗ e dato

dall’integrale

L0→B =∫ xBx0

F ∗x(x) dx =1

2k (xB−x0)2

(11)al cui valore si puo risalire valutando l’area A della figura.

8

Si puo verificare che l’espressione (11) da anche il lavoro

necessario per comprimere la molla dalla lunghezza x0 ad

una lunghezza xB < x0.

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

Nella parte di Cinematica si e giunti, nel caso di moto 1D uni-

formemente accelerato con accelerazione ax0, alla relazione

ax0 (x− x0) =1

2v2x −

1

2v2x0 (12)

tra accelerazione, spazio percorso e velocita. Considerando

un percorso da xA a xB e tenendo conto che nel caso 1D

vale v2x = v2, questa relazione puo essere riscritta, previa

moltiplicazione per la massa m di P, come

1

2m v2

B −1

2m v2

A = m ax (xB − xA) . (13)

9

Nella (13) il termine m ax puo essere interpretato grazie al II

Principio come la componente x della risultante R delle forze

applicate su P e, quindi, vista la definizione (8) e considerato

il fatto che la situazione considerata e 1D, si puo interpretare

l’intero termine m ax (xB−xA) come il lavoro eseguito dalla

risultante R (costante !) su P nel suo spostamento da A

a B. Le conclusioni tratte dalla (13) sono applicabili ad un

contesto piu generale del caso 1D qua richiamato.Si puo enunciare il Teorema dell’energia cinetica, denomi-

nato anche Teorema delle forze vive, come segue: il lavoro

della risultante delle forze applicate su P uguaglia la varia-

zione (= incremento) dell’energia cinetica di P. Cioe

L(R)A→B = ∆K = KB −KA , (14)

dove la quantita K e definita da10

K =1

2m v2 (15)

e viene chiamata energia cinetica della massa m. E il lavoro

che m puo eseguire arrestandosi. Si ha [K] = J.Come semplice applicazione del teorema ap-

pena enunciato, si considera il punto mate-

riale P di massa m che, sotto l’azione del suo

peso m g, passa dalla quota zA alla quota zB.

Si ottiene

1

2m v2

B −1

2m v2

A = −m g (zB − zA) , (16)

il che implica vB < vA. Dalla (16) si ha zB = zA +v2A−v

2B

2g e,

quindi, (zB)max = zA +v2A

2 g per vB = 0.

11

FORZE CONSERVATIVE

Una forza e una forza conservativa quando il lavoro che essa

esegue nello spostamento del suo punto di applicazione dal

punto A al punto B dipende solo dalle coordinate di A e di

B, ma non dal percorso seguito.

In questi casi esiste una funzione del posto U = U(r), detta

energia potenziale, la cui diminuzione da il lavoro eseguito

dalla forza conservativa. Per la forza F conservativa vale

L(F)A→B =

∫ BA

F · dr = UA − UB = −∆U , (17)

dove U e l’energia potenziale di F ed il termine UA − UB =

U(rA) − U(rB) rappresenta la diminuzione subita da U nel

passaggio da A a B. Si ha [U ] = J.12

In linea di principio le forze conservative rappresentano un

mezzo per effettuare investimenti energetici in quanto se

eseguiamo un lavoro positivo contro una forza conservativa,

detto lavoro viene immagazzinato sotto forma di energia

potenziale e possiamo successivamente recuperarlo.

Questo punto di vista conduce ad un’intuitiva definizione di

energia potenziale. Sia F una forza conservativa e sia F∗ =

−F la forza che applichiamo per contrastare F. Si arriva

alla seguente definizione di incremento di energia potenziale,

equivalente alla (17),

UB − UA = −∫ BA

F · dr =∫ BA

F∗ · dr = L(F∗)A→B . (18)

La (18) dice che l’incremento di U e uguale all’investimento

energetico L(F∗)A→B che abbiamo eseguito.

13

Nel caso in cui si considera come forza conservativa il peso

m g della massa m, la forza che noi dobbiamo applicare ad

m per contrastare il peso e F∗ = −m g = −m (−g) k = m g k

(k = versore dell’asse z, orientato verso l’alto). In questo

caso la (18) diventa

UB − UA =∫ zBzA

m g dz = m g zB −m g zA , (19)

da cui discende la seguente espressione per l’energia poten-

ziale gravitazionale di m

U(z) = m g z asse z rivolto verso l′alto . (20)

Anche la forza di richiamo di una molla e conservativa. La

corrispondente energia potenziale, grazie alla (11), vale

U(x) =1

2k (∆x)2 =

1

2k (x− x0)2 . (21)

14

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

L’applicazione del teorema dell’energia cinetica al caso in

cui sulla massa m agisce il peso ha portato alla relazione

1

2m v2

B −1

2m v2

A = −m g (zB − zA) (22)

che puo essere riscritta come

1

2m v2

A +m g zA =1

2m v2

B +m g zB . (23)

Questa, usando le definizioni di energia cinetica e potenziale

K =1

2m v2 ; U(z) = m g z , (24)

diventa

KA + UA = KB + UB . (25)

15

Questa relazione stabilisce nel caso delle forze gravitazionali

il principio della conservazione dell’energia meccanica, prin-

cipio la cui validita e ampiamente estendibile a moltissime

situazioni.

Per un punto materiale P si definisce energia meccanica (to-

tale) la quantita

ETOT = K + U , (26)

somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di P.

Qualora su P agiscono esclusivamente forze conservative, si

e in grado di affermare che l’energia meccanica (totale) di P

si conserva durante il suo moto, purche nell’energia poten-

ziale U della (26) vengano sommate tutte le energie poten-

ziali associate a tutte le forze (conservative !) agenti su

P.16

In presenza di vincoli fermi e lisci (senza attrito), sul punto

materiale agiscono anche forze normali (esempio: reazione

normale N del piano inclinato) le quali non eseguono lavoro.

La loro presenza puo essere ignorata nel calcolo di ETOT .Pertanto, nel caso su P agiscano solo forze conservative, la

conservazione dell’energia meccanica totale di P quando P

passa da A a B si scrive

∆ETOT = ETOTB −ETOTA = 0 → ETOTA = ETOTB . (27)

Se entrano in gioco anche forze non conservative, l’ener-

gia meccanica di P non si conservera, ma si trasformera in

altre forme di energia di tipo non meccanico. Una serie di

passaggi riportati nelle slides successive porta alla relazione

L(n.c.)A→B = ∆ETOT = ETOTB − ETOTA , (28)

dove L(n.c.)A→B e il lavoro delle forze non conservative.

17

NON CONSERVAZIONE DI ETOT

Nell’enunciato del Teorema delle forze vive

L(R)A→B = ∆K = KB −KA , (29)

il lavoro L(R)A→B della risultante R delle forze agenti su P puo

essere scritto come somma di due contributi

L(R)A→B = L

(c.)A→B + L

(n.c.)A→B , (30)

uno dovuto alle forze conservative e l’altro dovuto alle forze

non conservative. Si puo scrivere quindi

L(n.c.)A→B = KB −KA − L

(c.)A→B . (31)

18

Applicando la definizione di energia potenziale alla parte con-

servativa Rc. della risultante delle forze su P si ottiene

L(c.)A→B =

∫ BA

Rc. · dr = UA − UB = −∆U , (32)

dove con U s’intende la somma delle energie potenziali re-

lative a tutte le forze conservative agenti su P (l’energia

potenziale globale dovuta a tante forze conservative e la

somma di tutte le singole energie potenziali dovute ad ogni

singola forza conservativa).

Usando la (31) e la (32) si arriva a

L(n.c.)A→B = KB −KA + UB − UA = ETOTB − ETOTA , (33)

che coincide con la (28).

19

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

NEL SISTEMA MASSA + MOLLA

Si e visto che il sistema massa+molla va incontro a moto

oscillatorio dove l’elongazione della molla (∆x)(t) = x(t)−x◦segue la legge oraria

(∆x)(t) = α cos(ω t) + β sin(ω t) . (34)

Al tempo t = 0 si ha

(∆x)(0) = α e v(0) =

d(∆x)(t)

dt

t=0

= β ω . (35)

Considerata la definizione di energia potenziale elastica

U =1

2k (∆x)2 , (36)

20

l’energia meccanica del sistema massa+molla diventa

ETOT =1

2m v2(t) +

1

2k (∆x)2(t) . (37)

Questa quantita si conserva durante le oscillazioni ed e

uguale al valore che essa assume al tempo t = 0. Consi-

derate le (35), la quantita ETOT , costante durante il moto,

puo essere scritta anche come

ETOT =1

2m v2(0)+

1

2k (∆x)2(0) =

1

2m β2 ω2+

1

2k α2 . (38)

Ricordando che vale ω =√km, la (38) diventa ETOT =

12 k (α2 + β2). Questa espressione per la costante del moto

energia meccanica totale del sistema massa+molla dimostra

che l’ampiezza delle oscillazioni del moto armonico e data

[vedi (36)] da√α2 + β2.

21

22

POTENZA

Se la forza F esegue il lavoro ∆L in un tempo ∆t, si definisce

la potenza P (media) erogata da F come

P =∆L

∆t. (39)

Restringendo opportunamente la base di tempo su cui si

fa il calcolo, si puo arrivare ad una definizione di potenza

istantanea. Se il lavoro e fatto dalla forza F applicata su

un punto materiale animato dalla velocita v, allora si puo

scrivere dL = F · dr = F · v dt (vedere appunti sul lavoro) e

quindi la potenza istantanea P erogata da F diventa

P =F · dr

dt=

F · v dt

dt= F · v . (40)

23

Nel caso in cui P indichi la potenza di R, la risultante appli-

cata al punto materiale (P = R · v), si conclude che il moto

e accelerato se P > 0 (a · v > 0, l’energia cinetica K sta

crescendo) e decelerato se P < 0 (a ·v < 0, l’energia cinetica

K sta diminuendo).La potenza e misurata in Watt = Joule/secondo ([P ] =

W ). Dalla definizione (39) di potenza discende che una

potenza costante P applicata per un tempo ∆t corrisponde

all’erogazione di un’energia P ∆t. Ne deriva la familiare

(non SI) unita di misura Wh con i relativi multipli (kWh).

Si ha 1 kWh = 3600 s 103 W = 3.6 MJ.Esercizio - Determinare la forza propulsiva applicata dalle

eliche ad un motoscafo che viaggia a 25 km/h sapendo che

il motore eroga una potenza P = 70 kW con un rendimento

ai fini della propulsione del 75%.24