A. Stefanel - Ottica 1 Ottica 1 Principali processi nellinterazione luce materia.
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi 1 Dalla dinamica del punto materiale alla...
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A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
1
Dalla dinamica del punto materiale
alla dinamica dei sistemi
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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L’oggetto sul piano inclinato
L’equilibrio del punto materiale
FP
Il piano deve agire sul sistema con una forza Fp : - uguale in modulo al peso, - diretta verticalmente, - verso l’alto
P =mg
Il sistema è fermo
La risultante delle forze deve essere nulla
Il sistema interagisce con:
-la Terra P = mg
-il piano inclinato Fp
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L’oggetto sul piano inclinato
L’equilibrio del punto materiale
x
y
O
R = Fp + P =0Rx = Fp
x + Px =0
Ry = Fpy + Py =0
Fpx = - Px
Fpy = - Py
Il corpo è fermo La risultante delle forze deve essere nulla
Px = mg sen
Py = - mg cos
Fpx = - Fp
y
Fpx = - Fp
y
Px = mg sen
Py = - mg cos
Fpx = - Px
Fpy = - Py
mg sen = mg cos
-Px = Py
= tg
Misuro al distacco misuro
FpyFpx
Px
Py
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L’oggetto sul piano inclinato
La dinamica del punto materiale
Il corpo è soggetto a un sistema di forze non equilibrate.
’
FP
P =mgIl vettore risultante delle forze, se il piano non viene sfondato, deve essere parallelo al piano inclinato.
Si aumenta l’inclinazione del piano
R = P +Fp
Il corpo, non più soggetto a un sistema di forze in equilibrio, scende lungo il piano inclinato.
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L’oggetto sul piano inclinato
La dinamica del punto materiale
FP
P =mg’
Fpx
Py
Fpy
Px
x
y
O
R = Fp + PRx = Px+ Fp
x
Ry = Py + Fpy =0
Fpy = - Py
Fpx =- d mg cos ’
Px = mg sen ’
Rx = mg sen ’ - d mg cos ’
Equilibrio lungo la direzione y (il piano non si sfonda)
Componente della forza peso lungo il piano
Forza d’attrito piano oggetto
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L’oggetto sul piano inclinato
La dinamica del punto materiale
’
Fpx
Py
Fpy
Px
x
y
O
Secondo principio della dinamica:
F = m a R = m a
Rx = Fpx + Px
Ry = Fpy + Py =0
Moto lungo x: uniformemente accelerato (ax< g sen )
Moto lungo y: sistema fermo
Rx = mg sen - d mg cos
Ry =0
ax = Rx /m = g sen -d g cos
ay = Ry /m=0
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Es.: Si applica una opportuna forza parallela al piano (con una funicella, con una molla…),
’
FP
P =mgsi abbia:
R=0
Come si può ripristinare l’equilibrio?
L’equilibrio si ripristina se: F = - (Fp + P)
FR = Fp + P + F
in modo che per il vettore risultante:
P +Fp
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Affinché il sistema sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che il vettore risultante delle forze agenti sul sistema sia nullo:
R = 0
Se il vettore risultante delle forze agenti sul sistema non è nullo, dal secondo principio della dinamica si può ricavare ad ogni istante l’accelerazione del sistema, la sua velocità, la sua posizione (la sua traiettoria) :
a = R/m
Il corpo è vincolato in modo che o trasla o traslerebbe se venissero meno i vincoli.
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O
x
y
z
ri
Pi
Fexti
Or1
Fext1
P1
P2
Fext2
Fextn
rn
Pn
Fext = Fextij
Sistema di punti materiali sistema esteso.
Risultante delle forze esterne al sistema
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O
x
y
z
ri
Pi
Fiii
Or1
Fii1
P1
P2
rn
Pn
Fint = Fintjk =0
Per il terzo principio della dinamica
R = Fext = Fextij
Risultante delle forze interne al sistema
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O
x
y
z
ri
Pi
Fexti
Or1
Fext1
P1
P2
Fext2
Fextn
rn
Pn
R = Fext = Fextij
Dalla seconda legge della dinamica
R = Fext = Fextij
= m aij = m ----- = ------------v m v
t t
Q = m v Quantità di moto del sistema
Se R = 0 (Fext =0, sistema isolato o soggetto a un sistema di forze esterne con vettore risultante nullo)
Q = m v= cost
Il sistema trasla complessivamente con quantità di moto costante.
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O
x
y
z
ri
Pi
Fexti
Or1
Fext1
P1
P2
Fext2
Fextn
rn
Pn
R = Fext = Fextij
R = Fext= ------- = -----------t t
Q m v
Prima equazione cardinale della dinamica.
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Il disco sul bordo del tavolo
Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo
E neppure trasla semplicemente
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Il disco sul bordo del tavolo
Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo…
….e neppure trasla semplicemente
Si mette in moto cominciando a ruotare intorno al bordo del tavolo e quindi compie un moto rototraslatorio
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Il disco sul bordo del tavolo
Come è possibile impedire che cada?
Es.: si trattiene il bordo del disco con uno spago, come nel disegno
Affinché il disco sia in equilibrio, è sufficiente richiedere:
R=0?
NO.
Anche se il disco fosse incardinato sul bordo, nella situazione in cui si trova qualora non ci fosse il filo, comincerebbe a ruotare, in modo che la parte sporgente si porti più in basso possibile.
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Il disco non omogeneo sul tavolo
Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero
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Il disco non omogeneo sul tavolo
comincia ad oscillare
Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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Il disco non omogeneo sul tavolo
comincia ad oscillare.
Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero
L’oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova nella posizione più in basso possibile.
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Il disco non omogeneo sul tavolo
comincia ad oscillare.
Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero
L’oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova in basso.
Criterio: Il corpo sta in equilibrio nella posizione in cui il baricentro del corpo si porta nella posizione di minima altezza, compatibilmente con i vincoli che agiscono sul sistema.
Spostato da quella posizione comincia ad oscillare intorno ad essa
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Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo
G
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Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo
G
G
Il corpo sospeso per il baricentro sta in equilibrio indifferente
(comunque lo si disponga resta fermo – si trova in equilibrio)
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La bilancia a bracci uguali
Si appende un pesetto sul braccio di destra.
Il giogo della bilancia è imperniato in un punto posto sopra al baricentro.
Se si sposta dalla posizione orizzontale comincia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio(Il baricentro sotto al punto di sospensione)
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La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale
in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto all’asse di sospensione
La bilancia a bracci uguali
Si appende un pesetto sul braccio di destra.
Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo un pesetto uguale al primo dall’altra parte rispetto all’asse di sospensione a uguale distanza
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale
in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto all’asse di sospensione
La bilancia a bracci uguali
Si appende un pesetto sul braccio di destra.
Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo sul braccio sinistro del giogo un pesetto uguale a quello appeso sul braccio destro a uguale distanza dall’asse di sospensione.
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La bilancia a bracci uguali
Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra.
Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto.
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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La bilancia a bracci uguali
Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra.
Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto.
Si deve appendere il pesetto sul braccio di sinistra a distanza doppia dall’asse di sospensione rispetto a quella dei due pesetti posti sul braccio di destra.
bDbS
bs = 2 bd
bs = (PD/PS) bd bs PS = bdPD
MS = MD
I momenti delle forze hanno lo stesso modulo
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Il momento di una forza rispetto a un punto
O
x
y
z
r
P
F
M = r Λ F
Vettore con:
- modulo M = r F sen
F
r
- direzione piano per r e F.
- verso regola della mano destra o della vite/cavatappi
M
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Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto
O
x
y
z
ri
Pi
Fi
M = ri Λ Fi
M
Or1
F1
P1
P2
F2
Fn
rn
Pn
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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Il momento di un sistema di forze rispetto a asse
O
ri
Pi
FiM ·n= (ri Λ Fi) ·n =
= bi Fi
r1
F1
P1
P2
F2
Fn
rn
Pn
n
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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M = i ri Λ Fi F = m a Fi = mi ai
M = i [ri Λ (mi ai)] = i [ri Λ (mi ------)] vi
t
----------------------- = ---------------------------------------------------------= (ri Λ (mi vi)] [ri(t+t) Λ (mi vi(t+t)] - [ri(t) Λ (mi vi(t)]
t t
= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------[ri(t+t) Λ (mi vi(t+t)]- [ri(t+t) Λ (mi vi(t)] + [ri(t+t) Λ (mi vi(t)]- [ri(t) Λ (mi vi(t)]
t
= -------------------------------------------------------------------------------- =t
ri(t+t) Λ [mi vi(t+t)- mi vi(t)] + [ri(t+t)- ri(t)] Λ (mi vi(t))
= ri(t+t) Λ --------------------------- + ------------------- Λ (mi vi(t)) =t t
[mi vi(t+t)- mi vi(t)] [ri(t+t)- ri(t)]
La dinamica dei corpi in movimento
= ri(t+t) Λ --------- + ------ Λ (mi vi(t)) ri(t) Λ -------- + vi(t) Λ (mi vi(t)) t t
mi vi ri mi vi
t
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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M = i ri Λ Fi F = m a Fi = mi ai
M = i [ri Λ (mi ai)] = i [ri Λ (mi ------)] vi
t
----------------------- = ri Λ ---------- (ri Λ (mi vi)] mi vi
t t
La dinamica dei corpi in movimento
M = i [ri Λ (mi ai)] = i [-------------------] = -------------------------t
(ri Λ (mi vi)] [ (ri Λ (mi vi)]
t
M = ---------- L
tL = (ri Λ (mi vi)
M = i ri Λ Fi = (j rj Λ Fj)ext Dalla terza legge della dinamica
A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi
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La seconda equazione cardinale della dinamica
Mext = ---- L
t
Se Mext = 0
- sistema isolato
- forze centrali
- forze costanti
Conservazione di L
Nei corpi rigidi imperniati su un asse
L = I Mext =I ----
t