A. Stefanel - M - L'energia meccanica 1 Lenergia meccanica.

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A. Stefanel - M - L'energ ia meccanica 1 L’energia meccanica

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1

L’energia meccanica

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2

Lavoro di una forza

R

F F

L = F·R= F R cos

Equazione dimensionale

[lavoro] = [forza][lunghezza] = [massa][lunghezza]2[tempo]-2= [massa][lunghezza]2[tempo]-2 = = [massa][velocità]2

u.m.: joule (simbolo J)

un juole è il lavoro compiuto da una forza costante di 1 N nello spostare il suo punto di applicazione di 1 m nella direzione della forza.

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Traiettoria

x

y

R1

F1

L1 = F1· R1 = F1 R1 cos 1

1

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Traiettoria

x

y

Ri

Fi

i

L = L1 + L2 +……+ Li +….. Ln = i Li

Li= Fi· Ri = Fi Ri cos i

L = i Fi· Ri

L = i Fi Ri cos i

n

Li 0 dL

n

Li 0

L = F· dR

L = F dR cos

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F

x

x

y

z

x

Fx

Fxx

x0 x1x1 -x0

Fx

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F

x

x

y

z

xi

Fx

Fxixi L = i Fxi xi

n --

x 0

xnx1

L = Fx · dxi

x0 x1x1 -x0

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Fx

x

x

y

z

L

Interpretazione geometrica del lavoro

L = Fx · dxi

x0 x1x1 -x0

x0 x1x1 -x0

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Teorema dell’energia cinetica

L = i Fi· Ri L = i mai· Ri L = m i (vi/t) · Ri

L = m i (vi/t) · vi t L = m i vi · vi

L = m i vi · vi = m i (vix · vix + viy · viy + viz · viz)

Se n --, x 0

vx

vxvxo vxf

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Teorema dell’energia cinetica

L = i Fi· Ri L = i mai· Ri L = m i (vi/t) · Ri

L = m i (vi/t) · vi t L = m i vi · vi

L = m i vi · vi = m i (vix · vix + viy · viy + viz · viz)

L = ½ m (vxf + vx0) (vx1 – vx0) + ½ m (vyf + vy0) (vyf – vy0)+ ½ m (vzf + vz0) (vzf – vz0)=

=½ m {[(vxf)2 – (vx0) 2] + [(vyf)2 – (vy0) 2] + [(vzf)2 – (vz0) 2]}=

=½ m {[(vxf)2 +(vyf)2 +(vzf)2 ] – [(vx0)2 + (vy0)2 + (vz0) 2]}=

=½ m {(vf)2 – (v0)2}

L = ½ m (vf)2 – ½ m (v0)2

Se n --, x 0

vx

vxvxo vxf

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Teorema dell’energia cinetica

L = F· dR = m a· dR = t0tf m (dv/dt)· v dt

= t0tf m dv· v = t0

tf m (vx dvx + vy dvy + vz dvz) = ½ m [v 2(tf) - v 2(to)]

x

y

z

dR

F

L = ½ m (vf)2 – ½ m (v0)2

Ha validità generale (per qualsiasi tipo di forza) nella meccanica del punto materiale.

Energia cinetica: Ec = ½ m v2u.m.: J

L = Ecf – Ec0= Ec

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Teorema dell’energia cinetica

L = K (i Fi· Ri)

Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ

Somma su K = A, B,…..ZSomma dei contributi relativi

a ciascuna massa

Somma sugli spostamenti Ri cui è soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima).

L = K (1/2 mK vKf2

- 1/2 mK vKo2)

L = K (1/2 mK vKf2) - K (1/2 mK vKo

2)

Ec = K (1/2 mK vK2) L = Ecf – Ec0= Ec

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Energia cinetica di un sistema

Ec = K (1/2 mK vK2)

x

y

zMB

MK

MZMA

G

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Energia cinetica di un sistema

Ec = K (1/2 mK VK2)

x

y

z

MK

G

RK

rK

RG

RK = RG + rK

RK RG ri

t t tVK = ------ = ----- + -----

VK = vG + vK

Velocità del centro di massa

Velocità della massa i-esimarispetto a G

VK2 = (VK ·VK ) = (vG+ vK) · (vG+ vK) = vG

2 + vK

2 +2 (vK · vG)

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Energia cinetica di un sistema

Ec = K (1/2 mK VK2)

VK2 = vG

2 + vK

2 +2 (vK · vG)

x

y

z MB

MK

MZMA

G

Ec = K (1/2 mK [vG2

+ vK2

+2 (vK · vG)]=

= K (1/2 mK vG2) + K (1/2 mK vK

2)+K mK (vK · vG)]=

= 1/2 ( K mK) vG2

+ K (1/2 mK vK2)+ ( K mK vK) · vG] =

= 1/2 ( K mK) vG2

+ K (1/2 mK vK2)

Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK

2)

L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa

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Energia cinetica di un sistema

Ec = K (1/2 mK VK2)

VK2 = vG

2 + vK

2 +2 (vK · vG)

x

y

z MB

MK

MZMA

G

Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK

2)

L’energia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dell’energia cinetica del centro di massa + l’energia cinetica rispetto al centro di massa.

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Energia cinetica di un corpo rigido.

Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi.

Energia cinetica di rotazione rispetto a un asse che passa per il centro di massa.

L’energia cinetica è solo energia cinetica di rotazione.

Ec = ½ M vG2 + K (1/2 mK vK

2)

= K (1/2 mK vK2)

Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare v = r.

r v

R

= 1/2 (K mK rK2)

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Energia cinetica di un corpo rigido.

Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa MA, MB,……MZ, per i quali non cambia la distanza tra di essi.

Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocità angolare v = r.

r v

Ec = 1/2 (K mK rK2)2

Ec = 1/2 I 2

I = K mK rK2

Momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione

È una grandezza che caratterizza come è distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse.

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Momenti di inerzia rispetto ad assi di simmetria di alcuni corpi rigidi.

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Teorema di Huygens- Steiner

A1AG

d

Corpo rigido di massa M

Momento di inerzia IG rispetto all’asse AG passante per il baricentro del sistema.

IA1 = IG + M d2

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Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso

(es un cilindro che rotola su un piano inclinato).

Ec = ½ M vG2 + ½ I 2

vG: velocità del centro di massa

M : massa del sistema

I : momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro)

: velocità angolare di rotazione intorno all’asse (in generale non è costante)

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RV = RP

V: Cilindro vuoto P: Cilindro pieno

MV = MP

hv hP

hV = hP

D1: Quale delle due arriva prima?

D2: per quale delle due è maggiore la velocità del centro di massa?

R: Il lavoro della forza peso è in entrambi i casi pari a Mgh.

La variazione di energia cinetica è la stessa nei due casi.

Dato che IV >IC; la frazione di energia cinetica rotazionale è maggiore per V arriva prima P, dato che deve essere maggiore la frazione di energia cinetica associata al moto traslatorio del baricentro.

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RV = RP = R

V: Cilindro vuoto P: Cilindro pieno

MV = MP =M

hv hP

hV = hP = h

Mgh = ½ MVGV2 + ½ M R2 v

2

VGV = VR(Condizione di rotolamento)

Mgh = ½ MVGV2 + ½ M VGV

2= MVGV

M VGV2 =Mgh

Mgh = ½ MVGP2 + 1/4 M R2 P

2

Mgh = ½ MVGP2 + 1/4 M VGP

2= 3/4VGP

3/4M VGP2 =Mgh

I = MR2I = ½ MR2

VGP= PR

VGV2 =gh

VGV2 =4/3 ghgh = VGV

2 <

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m

m

mg

h

L = mgh

Ec = ½ I 2

Disco di raggio r e massa M

I = ½ M r2

Dal teorema dell’energia cinetica:

L = Ec

mgh = ½ I 2 = ¼ Mr2 2

2 = 4 (mgh)/(Mr2)

m = 0,1 kg

M = 2 kg

h = 1 m

r = 0,1 m

= 14,0 rad s-1

= 2,2 Hz

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m

m

mg

h

L =- Fattrito N2 r’

Ec =0 -½ I 2 = -½ I 2

r’: raggio del pignone

Dal teorema dell’energia cinetica:

L = Ec

- Fattrito N2 r’ = -½ I 2 = -¼ Mr2 2

Il disco, una volta che il filo si è staccato, ruota per N giri e poi si ferma

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Principio di conservazione dell’energia meccanica

mg

A

B

L = i mg hi = mg i hi = mg hAB

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Principio di conservazione dell’energia meccanica

mg

B

A

B

L = i mg li cos i = mg i hi = mg hAB 1

l1

li cos i = hi

Il lavoro effettuato dalla forza peso è indipendente dal percorso seguito dal corpo

Velocità finali uguali

Durata della discesa diversa

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dd cos

L = Ec Velocità massima del pendolo

mg (d-dcos) = ½ m vmax2

vmax2 = 1/ [2gd(1-cos)]

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Il lavoro della forza elastica

F = -kx

x0 x

Posizione a riposo della molla

0 x

F

Li = Fi·xi = -k xi xi

L = i Li = i -k xi xi= -k i xi xi

L = -(k/2) x2

L = dL = (-k x) dx= -k x dx = -(k/2) x2 Anche in questo caso il lavoro è indioendente dal percorso

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Energia potenziale

Forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punti iniziale e finale dello spostamento.

Forze conservative (forza peso e forza gravitazionale in generale, forza elastica…)

L = - (Uf – Ui)

Il lavoro si può esprimere come meno la differenza tra l’energia potenziale del sistema nella posizione finale e l’energia potenziale nella posizione iniziale.

Ui = mghi Uf = mghf

Ui = 1/2 k xi2 Ui = 1/2 k xf

2

Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo

En. Pot. gravitazionale

En. Pot. elastica

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Principio di conservazione dell’energia meccanica

Dal teorema dell’energia cinetica : L = Ecf – Eci

Nel caso in cui si abbiano forze conservative:

L = - (Uf – Ui)

- (Uf – Ui) = Ecf – Eci

Eci + Ui = Ecf + Uf

E = Ec + U = costante

Punto materiale: E = U + ½ M v2

Corpo rigido in rotazione intorno a un asse baricentrico che trasla:

E = U + ½ M vG2 + ½ I 2

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Applicazione della conservazione dell’energia

x0 x

Posizione a riposo della molla

0 x

F

Massa dell’oscillatore M

Posizione iniziale xo

Velocità iniziale 0 m/s

Velocità massima dell’oscillatore (per x =0)

Ei = Ui + Ec i = 1/2 k xo2

Ef = Uf + Ecf = 1/2 M vmax2

1/2 M vmax2 = 1/2 k xo

2

vmax2 = k xo

2/M vmax = k /M xo