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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 1 Lenergia meccanica

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 2 Lavoro di una forza R FF L = F R= F R cos Equazione dimensionale [lavoro] = [forza][lunghezza] = [massa][lunghezza] 2 [tempo] -2 = [massa][lunghezza] 2 [tempo] -2 = = [massa][velocit] 2 u.m.: joule (simbolo J) un juole il lavoro compiuto da una forza costante di 1 N nello spostare il suo punto di applicazione di 1 m nella direzione della forza.

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 3 Traiettoria x y R 1 F1F1 L 1 = F 1 R 1 = F 1 R 1 cos 1 1

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 4 Traiettoria x y R i FiFi i L = L 1 + L 2 ++ L i +.. L n = i L i L i = F i R i = F i R i cos i L = i F i R i L = i F i R i cos i n L i 0 dL n L i 0 L = F dR L = F dR cos

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 5 F x x y z x FxFx F x x x0x0 x1x1 x 1 -x 0 FxFx

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 6 F x x y z x i FxFx F xi x i L = i F xi x i n -- x 0 x n x 1 L = F x dx i x0x0 x1x1 x 1 -x 0

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 7 FxFx x x y z L Interpretazione geometrica del lavoro L = F x dx i x0x0 x1x1 x 1 -x 0 x0x0 x1x1

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 8 Teorema dellenergia cinetica L = i F i R i L = i ma i R i L = m i ( v i / t) R i L = m i ( v i / t) v i tL = m i v i v i L = m i v i v i = m i (v ix v ix + v iy v iy + v iz v iz ) Se n --, x 0 vxvx vxvx v xo v xf

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 9 Teorema dellenergia cinetica L = i F i R i L = i ma i R i L = m i ( v i / t) R i L = m i ( v i / t) v i tL = m i v i v i L = m i v i v i = m i (v ix v ix + v iy v iy + v iz v iz ) L = m (v xf + v x0 ) (v x1 v x0 ) + m (v yf + v y0 ) (v yf v y0 )+ m (v zf + v z0 ) (v zf v z0 )= = m {[(v xf ) 2 (v x0 ) 2 ] + [(v yf ) 2 (v y0 ) 2 ] + [(v zf ) 2 (v z0 ) 2 ]}= = m {[(v xf ) 2 +(v yf ) 2 +(v zf ) 2 ] [(v x0 ) 2 + (v y0 ) 2 + (v z0 ) 2 ]}= = m {(v f ) 2 (v 0 ) 2 } L = m (v f ) 2 m (v 0 ) 2 Se n --, x 0 vxvx vxvx v xo v xf

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 10 Teorema dellenergia cinetica L = F dR = m a dR = t0 tf m (dv/dt) v dt = t0 tf m dv v = t0 tf m (v x dv x + v y dv y + v z dv z ) = m [v 2 (t f ) - v 2 (t o )] x y z dRdR F L = m (v f ) 2 m (v 0 ) 2 Ha validit generale (per qualsiasi tipo di forza) nella meccanica del punto materiale. Energia cinetica: Ec = m v 2 u.m.: J L = Ec f Ec 0 = Ec

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 11 Teorema dellenergia cinetica L = K ( i F i R i ) Sistema di punti materiali di massa M A, M B,M Z Somma su K = A, B,..Z Somma dei contributi relativi a ciascuna massa Somma sugli spostamenti R i cui soggetto il punto di applicazione del vettore risultante delle forze agenti sulla massa K-esima (Lavoro della risultante delle forze agenti sulla massa K-esima). L = K (1/2 m K v Kf 2 - 1/2 m K v Ko 2 ) L = K (1/2 m K v Kf 2 ) - K (1/2 m K v Ko 2 ) Ec = K (1/2 m K v K 2 ) L = Ec f Ec 0 = Ec

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 12 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K v K 2 ) x y z MBMB MKMK MZMZ MAMA G

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 13 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) x y z MKMK G RKRK rKrK RGRG R K = R G + r K R K R G r i t t t V K = ------ = ----- + ----- V K = v G + v K Velocit del centro di massa Velocit della massa i-esima rispetto a G V K 2 = (V K V K ) = (v G + v K ) (v G + v K ) = v G 2 + v K 2 +2 (v K v G )

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 14 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) V K 2 = v G 2 + v K 2 +2 (v K v G ) x y zMBMB MKMK MZMZ MAMA G Ec = K (1/2 m K [v G 2 + v K 2 +2 (v K v G )]= = K (1/2 m K v G 2 ) + K (1/2 m K v K 2 )+ K m K (v K v G )]= = 1/2 ( K m K ) v G 2 + K (1/2 m K v K 2 )+ ( K m K v K ) v G ] = = 1/2 ( K m K ) v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Ec = M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Lenergia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dellenergia cinetica del centro di massa + lenergia cinetica rispetto al centro di massa

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 15 Energia cinetica di un sistema Ec = K (1/2 m K V K 2 ) V K 2 = v G 2 + v K 2 +2 (v K v G ) x y zMBMB MKMK MZMZ MAMA G Ec = M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) Lenergia cinetica di un sistema di punti si esprime come somma dellenergia cinetica del centro di massa + lenergia cinetica rispetto al centro di massa.

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 16 Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa M A, M B,M Z, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Energia cinetica di rotazione rispetto a un asse che passa per il centro di massa. Lenergia cinetica solo energia cinetica di rotazione. Ec = M v G 2 + K (1/2 m K v K 2 ) = K (1/2 m K v K 2 ) Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocit angolare v = r. r v R = 1/2 ( K m K r K 2 )

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 17 Energia cinetica di un corpo rigido. Corpo rigido: Sistema di punti materiali di massa M A, M B,M Z, per i quali non cambia la distanza tra di essi. Tutti i punti del cilindro si muovono con la stessa velocit angolare v = r. r v Ec = 1/2 ( K m K r K 2 ) 2 Ec = 1/2 I 2 I = K m K r K 2 Momento di inerzia rispetto allasse di rotazione una grandezza che caratterizza come distribuita la massa in un sistema rispetto a un suo asse.

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 18 Momenti di inerzia rispetto ad assi di simmetria di alcuni corpi rigidi.

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 19 Teorema di Huygens- Steiner A1A1 AGAG d Corpo rigido di massa M Momento di inerzia I G rispetto allasse A G passante per il baricentro del sistema. I A1 = I G + M d 2

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 20 Energia cinetica di un sistema rigido in rototraslazione intorno a un asse che resta parallelo a se stesso (es un cilindro che rotola su un piano inclinato). Ec = M v G 2 + I 2 v G : velocit del centro di massa M : massa del sistema I : momento di inerzia rispetto allasse baricentrico (fisso nel sistema di riferimento del baricentro) : velocit angolare di rotazione intorno allasse (in generale non costante)

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 21 R V = R P V: Cilindro vuotoP: Cilindro pieno M V = M P hvhv hPhP h V = h P D1: Quale delle due arriva prima? D2: per quale delle due maggiore la velocit del centro di massa? R: Il lavoro della forza peso in entrambi i casi pari a Mgh. La variazione di energia cinetica la stessa nei due casi. Dato che I V >I C ; la frazione di energia cinetica rotazionale maggiore per V arriva prima P, dato che deve essere maggiore la frazione di energia cinetica associata al moto traslatorio del baricentro.

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A. Stefanel - M - L'energia meccanica 22 R V = R P = R V: Cilindro vuotoP: Cilindro pieno M V = M P =M hvhv hPhP h V = h P = h Mgh = MV GV 2 + M R 2 v 2 V GV = V R (Condizione di rotolamento) Mgh = MV GV 2 + M V GV 2 = MV GV M V GV 2 =Mgh Mgh = MV GP 2 + 1/4 M R 2 P 2 Mgh = MV GP 2 + 1/4 M V GP 2 = 3/4V GP 3/4M V GP 2 =Mgh I = MR 2 I = MR 2 V GP = P R V GV 2 =gh V GV 2 =4/3 ghgh = V GV 2