Dinamica dei sistemielettromeccanici

Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici

In un sistema che comprenda sia parti meccaniche sia circuiti elettromagnetici, lafunzione lagrangiana Lem e la somma delle funzioni lagrangiane dei diversi sottosis-temi elettromeccanici che compongono il sistema.

Nelle parti elettromagnetiche del sistema, la lagrangiana puo assumere due formu-lazioni, a seconda che si usino le coordinate di carica ovvero le coordinate di flusso.

Nel seguito utilizzeremo il pedice e per caratterizzare le grandezze elettromagnetichee il pedice m per caratterizzare le grandezze meccaniche.

Coordinate generalizzate di carica

Supponiamo di aver scelto come coordinate generalizzate le cariche elettriche q e

per i sottosistemi elettromagnetici e gli spostamenti (lineari e/o angolari) qm per isottosistemi meccanici; avremo pertanto le coordinate generalizzate e le forze gen-eralizzate complessive seguenti

q =

[qm

q e

]F =

[Fm

F e

]La coenergia cinetica totale sara la somma delle coenergie cinetiche dei sottosistemi

C∗(q , q) = C∗m(qm, qm) +W ∗

i (q e, qm)

e l’energia potenziale totale sara la somma delle energie potenziali dei sottosistemi

P(q) = Pm(qm) +Wc(q e, qm)

Si puo osservare come la coenergia cinetica della parte elettrica sia influenzataanche dalle coordinate generalizzate meccaniche; pertanto essa viene scritta comeW ∗

i (q e, qm), e lo stesso avvenga per l’energia potenziale elettrica, che viene percioindicata come Wc(q e, qm)

1

2

Il lagrangiano totale risulta quindi essere

L(q , q) = C∗(q , q)− P(q) = C∗m(qm, qm)− Pm(qm) +W ∗

i (q e, qm)−Wc(q e, qm)

Ne segue l’espressione della dinamica complessiva

d

dt

(∂L∂qm

)− ∂L

∂qm

= Fm i = 1, . . . , nm

d

dt

(∂L∂q e

)− ∂L

∂q e

= F e i = 1, . . . , ne

Queste espressioni possono essere ulteriormente sviluppate nelle due seguenti

d

dt

(∂C∗

m(qm, qm)

∂qm

)T

−(∂C∗

m(qm, qm)

∂qm

)T

−(∂W ∗

i (q e, qm)

∂qm

)T

(1)

+

(∂Pm(qm)

∂qm

)T

+

(∂Wc(q e, qm)

∂qm

)T

= Fm

ed

dt

(∂W ∗

i (q e, qm)

∂q e

)T

+

(∂Wc(q e, qm)

∂q e

)T

= F e (2)

dove∂W ∗

i (q e, qm)

∂qm

e la variazione della coenergia (cinetica) magnetica/induttiva dovuta ad una vari-azione delle coordinate meccaniche e

∂Wc(q e, qm)

∂qm

e la variazione dell’energia (potenziale) capacitiva dovuta ad una variazione dellecoordinate meccaniche.

Coordinate generalizzate di flusso

Supponiamo di aver scelto come coordinate generalizzate elettriche i flussi concate-nati λ e per il sistema meccanico gli spostamenti (lineari e/o angolari) qm, avremocome coordinate generalizzate totali e forze generalizzate totali le seguenti

q =

[qm

λ

]F =

[Fm

F e

]La coenergia cinetica totale sara la somma delle coenergie cinetiche dei sottosistemi

C∗(q , q) = C∗m(qm, qm) +W ∗

c (λ, qm)

3

e l’energia potenziale totale sara la somma delle energie potenziali dei sottosistemi

P(q) = Pm(qm) +Wi(λ, qm)

Si puo osservare come l’energia cinetica della parte elettrica sia influenzata an-che dalle coordinate generalizzate meccaniche; pertanto essa viene scritta comeW ∗

c (λ, qm), e lo stesso avvenga per l’energia potenziale elettrica, che viene quindiindicata con Wi(λ, qm)

Il lagrangiano totale risulta percio essere

L(q , q) = C∗(q , q)− P(q)

Ne segue l’espressione della dinamica complessiva

d

dt

(∂L∂qm

)− ∂L

∂qm

= Fm i = 1, . . . , nm

d

dt

(∂L∂λ

)− ∂L

∂λ= F e i = 1, . . . , ne

Queste espressioni possono essere ulteriormente sviluppate nelle due seguenti

d

dt

(∂C∗

m(qm, qm)

∂qm

)T

−(∂C∗

m(qm, qm)

∂qm

)T

−

(∂W ∗

c (λ, qm)

∂qm

)T

(3)

+

(∂Pm(qm)

∂qm

)T

+

(∂Wi(λ, qm)

∂qm

)T

= Fm

e

d

dt

(∂W ∗

c (λ, qm)

∂λ

)T

+

(∂Wi(λ, qm)

∂λ

)T

= F e (4)

dove∂W ∗

c (λ, qm)

∂qm

e la variazione della coenergia (cinetica) capacitiva dovuta ad una variazione dellecoordinate meccaniche e

∂Wi(λ, qm)

∂qm

e la variazione dell’energia (potenziale) magnetica/induttiva dovuta ad una vari-azione delle coordinate meccaniche.

Doppi bipoli elettromeccanici

E ora interessante considerare alcune categorie particolari di sistemi elettromec-canici, e in particolare i cosiddetti doppi bipoli, sia di tipo induttivo sia di tipo

4

capacitivo, per poter in seguito introdurre alcuni esempi di sistemi elettromeccanicidi interesse per la meccatronica.

Per doppio bipolo elettrico (o rete a due porte) si intende una rete che presenta unacoppia di morsetti di ingresso (porta di ingresso) ed una coppia di morsetti di uscita(porta di uscita). Se all’interno del doppio bipolo non vi sono sorgenti esso vienedetto passivo (per approfondimenti, vedere anche [?] e [?]).

Per doppio bipolo elettromeccanico si intende un sistema di conversione di energiacaratterizzato dal possedere una porta di tipo elettrico, dov’e presente una tensionee(t) e una corrente i(t), e una porta di tipo meccanico, dov’e presente una velocitav(t) e una forza f(t). I bipoli elettromeccanici sono idealmente reversibili, nel sensoche la potenza puo fluire dalla porta elettrica alla porta meccanica o viceversa.Nel primo caso si tratta di elementi che trasformano potenza elettrica in meccanica(motori o altri apparati), nel secondo di elementi che trasformano potenza meccanicain elettrica (generatori ecc.).

Doppi bipoli induttivi

Si tratta di un doppio bipolo in cui la conversione di potenza e ottenuta per mezzodi un elemento induttivo, ai cui capi e presente il flusso λ(t).

Figure 1: Doppio bipolo induttivo.

La descrizione delle caratteristiche del doppio bipolo si ottiene dalle relazioni costi-tutive seguenti

i(t) = i(λ(t), x(t))

f(t) = f(λ(t), x(t))

con

e(t) =dλ(t)

dt= λ(t)

v(t) =dx(t)

dt= x(t)

dove x(t) rappresenta lo spostamento generico.

5

La potenza assorbita dal bipolo risulta essere la differenza tra la potenza entrante ela potenza uscente

Pλ(t) = e(t)i(t)− f(t)v(t) = λ(t)i(t)− f(t)x(t)

Passando all’energia, avremo:

Pλdt = dWi(λ, x) = idλ− fdx (5)

ma, sapendo che in generale si puo scrivere:

dWi(λ, x) =∂Wi(λ, x)

∂λdλ+

∂Wi(λ, x)

∂xdx,

risulta immediatamente dalla (5) che:

i(λ, x) =∂Wi(λ, x)

∂λ; f(λ, x) = −∂Wi(λ, x)

∂x

Se invece utilizziamo la coenergia

W ∗i (i, x) = λi−Wi(λ, x)

otteniamo:dW ∗

i (i, x) = idλ+ λdi− dWi(λ, x)

ed essendo, dalla (5),idλ− dWi(λ, x) = fdx

avremo:dW ∗

i (i, x) = λdi+ fdx (6)

Ricordando ora che, in generale:

dW ∗i (i, x) =

∂W ∗i (i, x)

∂idi+

∂W ∗i (i, x)

∂xdx

risulta immediatamente:

λ(i, x) =∂W ∗

i (i, x)

∂i; f(i, x) =

∂W ∗i (i, x)

∂x

Riassumendo:

dWi(λ, x) = idλ− fdx dW ∗i (i, x) = λdi+ fdx

i(λ, x) =∂Wi(λ, x)

∂λ; λ(i, x) =

∂W ∗i (i, x)

∂i

f(λ, x) = −∂Wi(λ, x)

∂x; f(i, x) =

∂W ∗i (i, x)

∂x

6

Flusso lineare Ipotizziamo ora che il flusso concatenato sia lineare rispetto allacorrente

λ(i, x) = L(x)i(t) (7)

dove L(x) definisce l’induttanza del circuito magnetico, che puo essere funzione dellospostamento. In tale caso avremo

W ∗i (i, x) =

1

2L(x)i2(t)

e, di conseguenza:

f(λ, x) =λ2

2L(x)2d

dxL(x) oppure f(i, x) =

i2

2

d

dxL(x)

La tensione e(t) e data da

e(t) =d

dt[L(x)i ] = L(x)

di

dt+ i

∂L(x)

∂xx

ovvero

e = L(x)di

dt+ e′

dove la tensione

e′ = i∂L(x)

∂xx

e dovuta alla variazione dell’autoinduttanza del circuito sottoposto ad una defor-mazione meccanica dello stesso.

Doppi bipoli capacitivi

Si tratta di un doppio bipolo in cui la conversione di potenza e ottenuta per mezzodi un elemento capacitivo, ai cui capi e presente la carica q(t).

Figure 2: Doppio bipolo capacitivo.

La descrizione delle caratteristiche del doppio bipolo si ottiene dalle relazioni costi-tutive seguenti

e(t) = e(q(t), x(t))

f(t) = f(q(t), x(t))

7

con

i(t) =dq(t)

dt= q(t)

v(t) =dx(t)

dt= x(t)

dove x(t) rappresenta lo spostamento generico.

La potenza assorbita dal doppio bipolo risulta essere la differenza tra la potenzaentrante e la potenza uscente

Pq(t) = e(t)i(t)− f(t)v(t) = e(t)q(t)− f(t)x(t)

passando all’energia, avremo:

Pqdt = dWc(q, x) = edq − fdx (8)

ma, sapendo che in generale si puo scrivere:

dWc(q, x) =∂Wc(q, x)

∂qdq +

∂Wc(q, x)

∂xdx,

risulta immediatamente che:

e(q, x) =∂Wc(q, x)

∂q; f(q, x) = −∂Wc(q, x)

∂x

Se invece utilizziamo la coenergia

W ∗c (e, x) = eq −Wc(q, x)

otteniamo:dW ∗

c (e, x) = edq + qde− dWc(q, x)

e poiche dalla (8) si haedq − dWc(q, x) = fdx

avremo:dW ∗

c (e, x) = qde+ fdx (9)

Ricordando ora che, in generale:

dW ∗c (e, x) =

∂W ∗c (e, x)

∂ede+

∂W ∗c (e, x)

∂xdx

risulta immediatamente:

q(e, x) =∂W ∗

c (e, x)

∂e; f(e, x) =

∂W ∗c (e, x)

∂x

Riassumendo:

dWc(q, x) = edq − fdx£ dW ∗c (e, x) = qde+ fdx

e(q, x) =∂Wc(q, x)

∂qq(e, x) =

∂W ∗c (e, x)

∂e

f(q, x) = −∂Wc(q, x)

∂xf(e, x) =

∂W ∗c (e, x)

∂x

8

Carica lineare Ipotizziamo ora che la carica sia una funzione lineare della tensione

q(e, x) = C(x)e(t) (10)

dove C(x) definisce la capacita del circuito elettrostatico. In tale caso avremo

Wc(q, x) =1

2

q2(t)

C(x)

e, di conseguenza:

f(q, x) = −q2

2

d

dx

(1

C(x)

)oppure f(e, x) =

e2

2

d

dxC(x)

La corrente i(t) e data da

i(t) =d

dt[C(x)e ] = C(x)

de

dt+ e

∂C(x)

∂xx

ovvero

i = C(x)de

dt+ i′

dove

i′ = e∂C(x)

∂xx

e la corrente dovuta alla variazione della capacita del circuito sottoposto ad unadeformazione meccanica dello stesso.

Esempi di doppi bipoli elettromeccanici

Nel seguito saranno descritti alcuni esempi di doppi bipoli elettromeccanici parti-colarmente interessanti per le applicazioni in ambito meccatronico. Saranno presiin esame due doppi bipoli induttivi, la sospensione magnetica e il voice-coil, e duedoppi bipoli capacitivi, il microfono capacitivo e l’attuatore piezoelettrico.

Sospensione magnetica

Un elettromagnete composto da un cilindro di lunghezza ℓc e sezione S = πr2, conN avvolgimenti, tiene sospesa una sfera di materiale ferromagnetico di raggio r emassa m = 4

3πr3ρ. La corrente negli avvolgimenti vale i(t), mentre la posizione della

sfera rispetto ad un riferimento verticale arbitrario vale x(t).

Il circuito magnetico risultante presenta una forza magnetomotrice pari a Ni(t); ilflusso magnetico ϕ(t) attraversa, nell’ordine, il nucleo magnetico, il traferro, la sferae poi si chiude nell’aria ritornando al nucleo, come illustrato in Fig. 3.

9

Figure 3: Sospensione magnetica.

Ne segue la relazione

Ni(t) = Rtotϕ(t) (11)

dove la riluttanza totale del circuito magnetico vale

Rtot = Rnucleo +Rtraferro +Rsfera +Raria

Le riluttanze Rnucleo e Rsfera sono trascurabili rispetto alle altre, in quanto il cir-cuito e composto di materiale ferromagnetico; inoltre, se la sfera e sufficientementeprossima al nucleo, il cammino di ritorno del flusso attraverso l’aria non varia signi-ficativamente la sua lunghezza al muoversi della sfera.

Essendo

Rtraferro =x

µ0S

dove µ0 e la permeabilita magnetica dell’aria, si puo scrivere

Rtraferro +Raria =x+ ℓ0µ0S

dove ℓ0 = Rariaµ0S e la lunghezza equivalente del cammino in aria del flusso. Dalla(11) risulta

Ni(t) =x+ ℓ0µ0S

ϕ(t)

e quindi

λ = Nϕ(t) =N2µ0S

ℓ0 + xi(t) (12)

per cui l’induttanza del circuito vale

L(x) =N2µ0S

ℓ0 + x=

k

ℓ0 + x

10

Supponiamo ora che ai capi del circuito sia presente un generatore ideale di tensioneE(t) in serie a una resistenza R. L’equazioni dinamiche della sospensione magnet-ica si ricavano definendo come coordinate generalizzate la carica q(t) nel circuitoelettrico e lo spostamento x(t) della sfera.

Assumendo

C∗m = coenergia cinetica meccanica

C∗e = coenergia cinetica elettrica

Pm = energia potenziale meccanica

Pe = energia potenziale elettrica

Dm = energia dissipazione meccanica

De = energia dissipazione elettrica

Fm = forze generalizzate meccaniche

Fe = forze generalizzate elettriche

e adottando l’approccio in carica per la parte elettrica, risulta

C∗m =

1

2mx2 C∗

e ≡ W ∗i (q, x) =

1

2L(x)q2

Pm = −mgx Pe ≡ Wc(q) =1

2

q2

C= 0 (non ci sono elementi capacitivi)

Dm =1

2βx2 De =

1

2Rq2

Fm = 0 Fe = E(t)

dove con g si e indicata l’accelerazione di gravita e con β ≈ 0 la costante di attritoviscoso dovuta al moto della sfera nell’aria.

Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange

d

dt

∂(C∗m + C∗

e −Pm − Pe)

∂x− ∂(C∗

m + C∗e − Pm − Pe)

∂x+

∂(Dm +De)

∂x= Fm

d

dt

∂(C∗m + C∗

e − Pm − Pe)

∂q− ∂(C∗

m + C∗e − Pm −Pe)

∂q+

∂(Dm +De)

∂q= Fe

ovvero, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate:

Equazione 1)d

dt

∂C∗m

∂x− ∂(C∗

e − Pm)

∂x+

∂Dm

∂x= 0

da cuid

dtmx+

k

2(ℓ0 + x)2q2 −mg + βx = 0

11

e quindi, trascurando l’attrito viscoso

mx = mg − k

2(ℓ0 + x)2q2

che possiamo anche scrivere come

mx(t) = mg − k

2(ℓ0 + x(t))2i2(t)

Equazione 2)d

dt

∂C∗e

∂q+

∂De

∂q= E(t)

da cuid

dt[L(x)q ] +Rq = E(t)

da cuid

dt[L(x) ] q + L(x)

d

dt[q ] +Rq = E(t)

e quindi

− k

(ℓ0 + x)2xq + L(x)q +Rq = E(t)

che possiamo anche scrivere come

L(x)d

dti(t) +Ri(t) = E(t) +

kx(t)

(ℓ0 + x(t))2i(t)

Si puo notare che, nella Equazione 1), nasce il termine

∂Ce∂q

=k

2(ℓ0 + x)2i2

Abbiamo visto che in un doppio bipolo contenente un elemento induttivo, nell’ipotesidi relazione flusso-corrente lineare, si ha

f(i, x) =i2

2

d

dxL(x)

che nel caso in esame vale proprio

f(i, x) =k

2(ℓ0 + x)2i2

12

Voice coil

Un altoparlante trasforma segnali elettrici in suoni facendo vibrare una membranaappesa elasticamente alla base rigida dell’altoparlante (vedi Figg. 4 e 5). L’attuatoreche fa vibrare la membrana e un semplice attuatore induttivo detto voice coil; esso ecostituito da un nucleo fissato alla base dell’altoparlante, composto da un magnetepermanente intorno al quale e avvolta una spira fissata alla membrana e attraversatada una corrente variabile. L’interazione tra il magnete permanente fisso e la spiramobile percorsa da corrente genera lo spostamento della membrana, che a sua voltaproduce un’onda acustica nello spazio circostante.

Figure 4: Un altoparlante voice coil.

Figure 5: Schema di principio di un voice coil.

La parte meccanica del voice coil e caratterizzata dalla massa m del complesso

13

vibrante, da un coefficiente di attrito β, che modella gli effetti dissipativi dell’ariae da una costante elastica k, che modella l’effetto elastico della sospensione dellamembrana alla sua base. La parte elettrica dell’attuatore e caratterizzata da unainduttanza L, da una resistenza R e da una tensione in ingresso variabile E(t).

Un magnete permanente genera un campo magnetico le cui linee di flusso si ripartis-cono nella parte superiore e inferiore del circuito magnetico e si richiudono attraversoil traferro; la densita di campo vale B ed e costante nel traferro.

Il flusso magnetico Φ dal magnete permanente attraverso gli avvolgimenti vale

Φ = 2πrx ∥B∥

dove abbiamo indicato con x la posizione dell’avvolgimento rispetto alla faccia es-terna del circuito magnetico.

Il flusso concatenato puo venire scritto come somma di due termini, il primo dovutoal flusso auto-generato dalla corrente che percorre le spire, il secondo dovuto al flussogenerato dal magnete permanente e concatenato con le spire; ossia:

λ(i, x) = Li+Kex (13)

dove L e l’autoinduttanza dell’avvolgimento con N spire e Ke = 2πrN ∥B∥. Comedetto sopra supponiamo che ai capi del circuito sia presente, oltre all’induttanza, ungeneratore ideale di tensione E(t) in serie a una resistenza R.

L’equazioni dinamiche del voice coil si ricavano definendo come coordinate general-izzate la carica q(t) nel circuito elettrico e lo spostamento x(t) della membrana.

Assumendo ancora una volta

C∗m = coenergia cinetica meccanica

C∗e = coenergia cinetica elettrica

Pm = energia potenziale meccanica

Pe = energia potenziale elettrica

Dm = energia dissipazione meccanica

De = energia dissipazione elettrica

Fm = forze generalizzate meccaniche

Fe = forze generalizzate elettriche

e adottando l’approccio in carica per la parte elettrica, risulta, considerando anche la(6) e la (13) e scegliendo un semplice cammino di integrazione per risolvere l’integrale

14

doppio

C∗m =

1

2mx2 C∗

e ≡ W ∗i (q, x) =

∫∫dW ∗

i (i, x) =

∫∫(λdi+Kedx) =

=

∫ x

0

Ke(0, x′)dx′ +

∫ i

0

λ(i′, x)di′

=1

2Li2 +Kexi

Pm =1

2kx2 Pe ≡ Wc(q) =

1

2

q2

C= 0 (non ci sono elementi capacitivi)

Dm =1

2βx2 De =

1

2Rq2

Fm = 0 Fe = E(t)

dove con β la costante di attrito viscoso dovuta al moto della membrana nell’aria.

Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange

d

dt

∂(C∗m + C∗

e −Pm − Pe)

∂x− ∂(C∗

m + C∗e − Pm − Pe)

∂x+

∂(Dm +De)

∂x= Fm

d

dt

∂(C∗m + C∗

e − Pm − Pe)

∂q− ∂(C∗

m + C∗e − Pm −Pe)

∂q+

∂(Dm +De)

∂q= Fe

ovvero, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate:

Equazione 1)d

dt

∂C∗m

∂x− ∂(C∗

e − Pm)

∂x+

∂Dm

∂x= 0

da cuid

dtmx+ kx−Keq + βx = 0

e quindi

mx+ βx+ kx = Keq

che possiamo anche scrivere come

mx(t) + βx(t) + kx(t) = Kei(t)

Equazione 2)d

dt

∂C∗e

∂q+

∂De

∂q= E(t)

da cuid

dt[Lq +Kex] +Rq = E(t)

15

da cui

Lq +Kex+Rq = E(t)

che possiamo anche scrivere come

Ld

dti(t) +Ri(t) = E(t)−Kex(t)

Si puo notare che, nella Equazione 1), nasce il termine

Kei(t)

Abbiamo visto che in un doppio bipolo contenente un elemento induttivo, nell’ipotesidi una generica relazione flusso-corrente, si ha

f(i, x) =∂W ∗

m(i, x)

∂x≡ ∂C∗

e (i, x)

∂x

che nel caso in esame vale proprio

f(i, x) = Kei.

Analogamente, nella Equazione 2) nasce il termine Kex che si puo ricondurre allatensione

e(t) = λ(t) =d

dt[Li+Kex] = L

di

dt+ e′(t)

con e′(t) = Kex(t).

Microfono capacitivo

Un microfono capacitivo puo sommariamente essere descritto come una membranache, colpita dalle onde sonore, muove l’armatura di un condensatore, facendone vari-are la capacita. l’elemento capacitivo e caricato elettricamente con una tensione E0

e la variazione di capacita puo essere misurata misurando la corrente nel conden-satore mediante un amplificatore di resistenza R. La carica sul condensatore e datasemplicemente da

q(t) = C(x(t))e(t)

dove la capacita del condensatore vale

C(x(t)) = C0d0

d0 + x(t)

avendo indicato con d0 la posizione nominale a riposo dell’armatura del condensatoree con C0 la sua capacita nominale a x = 0. L’armatura possiede una massa m e

16

assume una posizione generica x(t). La forza sul condensatore e nulla quando lacarica nel condensatore e nulla; negli altri casi vale

f(q(t), x(t)) = −1

2

d

dx

d0 + x(t)

C0d0q2

Le equazioni costitutive sono quindi

e(q(t), x(t)) =q(t)

C(x(t))

f(q(t), x(t)) = − q2(t)

2C0d0

(14)

Figure 6: Schema costruttivo di un microfono capacitivo.

Figure 7: Schema funzionale di un microfono capacitivo.

17

Si definiscano, come al solito, le seguenti energie

C∗m = coenergia cinetica meccanica

C∗e = coenergia cinetica elettrica

Pm = energia potenziale meccanica

Pe = energia potenziale elettrica

Dm = energia dissipazione meccanica

De = energia dissipazione elettrica

Fm = forze generalizzate meccaniche

Fe = forze generalizzate elettriche

Questa volta, data la struttura in serie del sistema di alimentazione, si adottil’approccio in carica, dal quale risulta, considerando anche la (9) e le (14),

C∗m =

1

2mx2 C∗

e ≡ W ∗i (q, x) =

1

2Li2 = 0 essendo L = 0

Pm =1

2kx2 Pe =

1

2

q2

C(x)

Dm =1

2βx2 De =

1

2Rq2

Fm = F (t) Fe = E0

dove con m si indica la massa del cristallo piezoelettrico e dell’eventuale strutturaad esso collegata, con β la costante di dissipazione meccanica del materiale e con Rla resistenza del circuito di rilevazione. La forza delle onde sonore sul microfono erappresentata da F (t).

Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange, considerando le dipendenze delleenergie dalle coordinate generalizzate:

Equazione 1)d

dt

∂C∗m

∂x− ∂(−Pe − Pm)

∂x+

∂Dm

∂x= F (t)

da cui

mx(t) + βx(t) + kx(t) +q2(t)

2C0d0= F (t)

Equazione 2)∂Pe

∂q+

∂De

∂q= E0

da cui

Rq(t) + q(t)(d0 + x(t))

C0d0= E0

18

Si puo notare che, nella Equazione 1), nasce il termine

q2(t)

2C0d0

Abbiamo visto che in un doppio bipolo contenente un elemento capacitivo, nell’ipotesidi una generica relazione carica-tensione, si ha

f(q, x) = −∂Wc(q, x)

∂x

che nel caso in esame vale proprio quanto sopra.

Analogamente, nella Equazione 2) nasce il termine

q(t)(d0 + x(t))

C0d0

che si puo ricondurre alla tensione

e′(t) =∂Wc(q, x)

∂q

Attuatore piezoelettrico

Questi attuatori utilizzano l’effetto piezoelettrico proprio di alcuni materiali.

L’effetto piezoelettrico, scoperto dai fratelli Curie negli anni Ottanta del dician-novesimo secolo, consiste nella capacita, propria di alcuni cristalli polarizzati, ditrasformare energia meccanica in energia elettrica e viceversa (si veda la Fig. 8). Incondizioni normali, sulla superficie del materiale puo essere osservata una piccola car-ica elettrica (positiva o negativa), ma tuttavia essa viene velocemente neutralizzatadalle cariche libere di segno opposto presenti nell’atmosfera circostante. Quandosi applica una forza o un momento al cristallo lungo la direzione di polarizzazione,si produce una deformazione che rompe l’allineamento dei bipoli elettrici interni,favorendo un incremento della “migrazione” di cariche alla superficie del materiale;queste cariche vengono piu difficilmente cancellate da cariche libere nell’atmosferae si osserva allora un eccesso temporaneo di cariche superficiali, che puo veniresfruttato per generare una differenza di potenziale.

Per essere in grado di utilizzare questi materiali al fine di misurare forze e momentiapplicati e necessario saper rilevare la carica elettrica superficiale: cio viene resopossibile inserendo il materiale in “sandwich” tra due superfici conduttrici, solita-mente metalliche, trasformando la struttura in un condensatore, come illustrato inFig. 9.

In modo duale, se dall’esterno si applica una tensione al condensatore, il campo elet-trico risultante tendera a riallineare i dipoli elettrici, provocando una deformazione

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Figure 8: Un cristallo piezoelettrico elettricamente polarizzato: ogni dipolo elettricosi dispone lungo una direzione di polarizzazione.

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Figure 9: Un sensore capacitivo basato su materiale piezoelettrico.

del materiale. Un esempio di questa reversibilita e dato dai traduttori piezoelettriciche possono essere usati sia come microfoni, sia come altoparlanti.

Un attuatore piezoelettrico rappresenta quindi un esempio di doppio bipolo capaci-tivo; vediamo ora di ricavarne le equazioni dinamiche, limitandoci al caso piu sem-plice di un solo grado di liberta meccanico, ossia uno spostamento lungo una soladirezione.

Detta x(t) la deformazione totale del materiale piezoelettrico e detta e(t) la tensioneai capi del circuito elettrico, ossia del condensatore equivalente al piezo, si possonoricavare le equazioni costitutive dell’attuatore piezoelettrico:

q(e, x) = Cpx(t) + Ce(t)

fp(e, x) = −Kx(t) + Cpe(t)(15)

dove la fp(t) e la forza piezoelettrica, q(t) e la carica, Cp e la costante piezoelettrica,propria del materiale, C e la capacita del circuito e kp e la costante di rigidezzameccanica del cristallo. Va notata la “somiglianza” della (15) con la precedente(10).

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Materiale dielettrico o strutturale

Materiale piezoelettrico

elettrodo Materiale dielettrico o strutturale

Materiale piezoelettrico

elettrodo

Figure 10: Una tipica disposizione di materiale piezoelettrico su una lamina incas-trata.

Assumendo

C∗m = coenergia cinetica meccanica

C∗e = coenergia cinetica elettrica

Pm = energia potenziale meccanica

Pe = energia potenziale elettrica

Dm = energia dissipazione meccanica

De = energia dissipazione elettrica

Fm = forze generalizzate meccaniche

Fe = forze generalizzate elettriche

e adottando l’approccio in flusso, risulta, considerando anche la (9) e le (15),

C∗m =

1

2mx2 C∗

e ≡ W ∗c (e, x) =

∫∫dW ∗

c (e, x) =

∫∫(fp(e, x)dx+ q(e, x)de)

=

∫ x

0

fp(0, x′)dx′ +

∫ e

0

q(e′, x)de′

=

∫ x

0

−kpx′(t)dx′ +

∫ e

0

(Cpx(t) + Cee′(t)) de′

= −1

2kpx

2 + Cpxe+1

2Ce2

Pm = 0 Pe = 0

Dm =1

2βx2 De =

1

2Re2

Fm = 0 Fe = 0

dove con m si indica la massa del cristallo piezoelettrico e dell’eventuale struttura

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ad esso collegata, con β la costante di dissipazione meccanica del materiale e con Rl’eventuale resistenza del circuito di rilevazione.

Si sottolinea che l’energia potenziale Pm e nulla in quanto si suppone siano assentialtri elementi in grado di immagazzinare energia elastica, salvo il cristallo piezoelet-trico, la cui rigidita e gia stata considerata nelle equazioni costitutive (15). Lo stessovale per l’energia potenziale elettrica, perche non esistono altri elementi in grado diaccumulare energia potenziale, salvo l’effetto capacitivo del cristallo piezoelettricogia incluso nelle equazioni costitutive (15).

Avendo adottato l’approccio in flusso per la parte elettrica, le coordinate generaliz-zate sono lo spostamento x(t) e il flusso concatenato λ(t), che e legato alla e(t) dallarelazione λ(t) = e(t).

Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange

d

dt

∂(C∗m + C∗

e −Pm − Pe)

∂x− ∂(C∗

m + C∗e − Pm − Pe)

∂x+

∂(Dm +De)

∂x= Fm

d

dt

∂(C∗m + C∗

e − Pm − Pe)

∂λ− ∂(C∗

m + C∗e − Pm −Pe)

∂λ+

∂(Dm +De)

∂λ= Fe

ovvero, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate:

Equazione 1)d

dt

∂C∗m

∂x− ∂(C∗

e − Pm)

∂x+

∂Dm

∂x= 0

da cuid

dtmx+ kpx− Cpe+ βx = 0

e quindi

mx+ βx+ kpx = Cpλ

che possiamo anche scrivere come

mx(t) + βx(t) + kpx(t) = Cpe(t)

Equazione 2) Considerando l’identita λ = e, scriviamo:

d

dt

∂C∗e

∂e+

∂De

∂e= 0

ossiad

dt[Cpx+ Ce] +

1

Re = 0

da cui segue l’equazione in corrente:

Cpx+ Cde(t)

dt+

1

Re(t) = 0

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Configurazioni degli attuatori piezoelettrici

Una configurazione tipica degli attuatori piezoelettrici monodimensionali si ottieneprecaricando il cristallo piezoelettrico con una molla di costante elastica km, la cuiposizione di equilibrio vale xm (vedi Fig. 11); ai capi dell’attuatore si pone la tensionedi comando e(t).

Figure 11: Attuatore piezoelettrico unidimensionale precaricato da una molla.

La forza totale sviluppata dall’attuatore vale

f = fp − km(x− xm)

e l’attuatore viene descritto dall’equazione seguente, simile alla seconda delle (15):

f = −(kp + km)(x− x0) + Cpe

dove x0 vale

x0 =xmkmkp + km

In questa configurazione interpretiamo l’attuatore piezoelettrico come una attuatoredi forza che sviluppa una forza f(t) comandata dalla tensione e(t). Allora f(t) evista come un’uscita, mentre x(t) e un ingresso (vedi Fig. 12).

Figure 12: Attuatore piezoelettrico visto come attuatore di forza.

In alternativa, l’attuatore puo essere visto come un attuatore di spostamento con-trollato da una tensione e(t), secondo la relazione

x(t) = x0 +Cp e(t)− f

kp + km

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In questo secondo caso la deflessione x(t) e considerata come una uscita, mentre laforza f(t) agente sull’attuatore e un ingresso (vedi Fig. 13).

Figure 13: Attuatore piezoelettrico visto come attuatore di posizione.

La decisione di considerare l’attuatore in uno o nell’altro modo dipende da comel’attuatore stesso e connesso al sistema da controllare. Se l’attuatore e connesso aduna molla, allora l’uscita deve essere la deflessione; se l’attuatore e collegato ad unamassa, allora l’uscita deve essere la forza.

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Bibliography

[1] S.H. Crandall, D.C.Karnopp, jr. E.F Kurtz, and D.C. Pridmore-Brown. Dynam-ics of mechanical and Electromechanical Systems. McGraw-Hill, 1968.

[2] J. Meisel. Principles of Electromechanical-Energy Conversion. Robert E. KriegerPublishing Company, 1984.

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