Dinamica dei Sistemi Multicorpo - polito.it · 2003. 11. 20. · Basilio Bona - Dinamica dei...

Dinamica dei Sistemi Multicorpo

Basilio Bona

Dipartimento di Automatica e Informatica

Politecnico di Torino

versione corrente: 20 novembre 2003

1

Basilio Bona - Dinamica dei Sistemi Multicorpo 2

Il contenuta di questa dispensa e stato controllato al meglio per evitare la presenzadi errori di battitura, tuttavia e possibile che ve ne siano ancora; chi ne trovasse ovolesse dare suggerimenti all’autore, e pregato di inviare una email a:

[email protected]


1 Introduzione

In questa breve dispensa vengono prima ricavate le equazioni dinamiche di un corporigido, utilizzando le equazioni di Newton-Eulero e di Lagrange e successivamentesi trattano i sistemi multicorpo, ossia quelli costituiti da piu corpi rigidi tra loroopportunamente collegati.

Prima di descrivere questi due approcci, e opportuno riassumere brevemente alcuniconcetti relativi alle matrici di inerzia ed ai momenti angolari; il lettore interessatopuo consultare il Goldstein [4] per ulteriori approfondimenti.

1.1 Tensori o matrici d’inerzia

La matrice o tensore d’inerzia1 di un corpo rigido, e quella grandezza che definiscele caratteristiche inerziali del corpo rigido rispetto alla rotazione. Essa viene definitaspecificando un punto rispetto a cui viene calcolata; di solito questo punto vienefatto coincidere con il centro di massa del corpo stesso, ma cio non e strettamentenecessario.

Dato un corpo rigido B, indicato dal generico pedice b, e un sistema di riferimentoR`, il centro di massa di B ha posizione data dal vettore r`

cb, definito nel modoseguente:

r`cb

∫

B

dm = r`cb m =

∫

B

r`bdm

dove r`b =

(x y z

)T

rappresenta la posizione della generica massa elementare dm

appartenente al corpo b e m =∫

Bdm e la massa totale del corpo.

La matrice d’inerzia Γ`b/c ∈ R

3×3 intorno al centro di massa r`cb viene implicita-

mente definita dalla relazioneh`

b = Γ`b/cω

`b (1)

dove h`b e il momento angolare del corpo rigido e ω`

b la velocita angolare totale delcorpo rigido, entrambi rappresentati nel sistema di riferimento R`.

Se ora fissiamo R` al corpo rigido e poniamo la sua origine nel centro di massa C,possiamo definire la matrice d’inerzia Γ

`b/c nel modo seguente

Γ`b/c = −

∫

B

S(r`b)S(r`

b)dm =

∫

B

[ ∥∥r`

b

∥∥

2I − r`

b(r`b)

T

]

dm

=

Γxx Γxy Γxz

Γyx Γyy Γyz

Γzx Γzy Γzz

(2)

dove ricordiamo che r`b(r

`b)

T e un prodotto diadico che genera una matrice 3 × 3.

1Con il termine tensore si indica l’ente matematico (una generalizzazione del vettore), mentrecon il termine matrice si indica la sua rappresentazione in un qualche dato sistema di riferimento.Preferiamo usare il termine “matrice”, piuttosto che “tensore”.


Gli elementi sulla diagonale sono detti momenti principali di inerzia e sono datida:

Γxx =∫

B

(y2 + z2

)dm

Γyy =∫

B

(x2 + z2

)dm

Γzz =∫

B

(x2 + y2

)dm

(3)

dove x, y e z sono le coordinate in R` del generico elemento di massa dm.Gli elementi fuori dalla diagonale sono detti prodotti d’inerzia e sono dati da:

Γxy = Γyx = −∫

B

xy dm

Γyz = Γzy = −∫

B

yz dm

Γzx = Γxz = −∫

B

xz dm

(4)

Il sistema di riferimento “privilegiato” R∗ per cui la matrice d’inerzia assume la formadiagonale, ossia

Γ∗

b/c =

Γx 0 00 Γy 00 0 Γz

,

ha i tre assi allineati con i cosiddetti assi principali d’inerzia; la matrice stessa sidefinisce matrice principale d’inerzia.

Se ora consideriamo un altro sistema di riferimento Rk, rispetto a cui R` e rap-presentato dalla matrice di rotazione Rk

` , la matrice d’inerzia corrispondente e legataa quella precedente dalla relazione

Γkb/c = Rk

`Γ`b/cR

`k = Rk

`Γ`b/c(R

k` )T

o, analogamenteΓ

kb/cR

k` = Rk

`Γ`b/c. (5)

Nell’ipotesi che il sistema di riferimento sia fisso al corpo B, la matrice d’inerzia ecostante nel tempo; in caso contrario la matrice d’inerzia e tempo-variante.

1.2 Teorema degli assi paralleli

Supponiamo ora di voler calcolare la matrice d’inerzia non piu rispetto al punto C,ma rispetto ad un diverso punto O (vedi Fig. 1)

Risultaro = rco + rb

e questa relazione e valida per qualunque sistema di riferimento in cui rappresentiamoi vettori.

Ne segue che l’elemento di massa elementare dm che si trovava, rispetto al pun-to in relazione al quale si calcola la matrice d’inerzia, nella posizione di coordi-nate rb, si trova ora nella posizione di coordinate ro. Precisiamo che definiamo

rco =(xc yc zc

)T

.


C

O

dmrb

ro

rco

C

O

dmrb

ro

rco

Figura 1: Punti relativi.

La nuova matrice d’inerzia, che indicheremo con Γ`b/o, sara definita come

Γ`b/o = Γ

`b/c − mS(rb

co)S(rbco) = Γ

`b/c + m

[∥∥rb

co

∥∥

2I − rb

co(rbco)

T

]

(6)

ovvero, piu semplicemente

Γ`b/o =

Γ ′xx Γ ′

xy Γ ′xz

Γ ′yx Γ ′

yy Γ ′yz

Γ ′zx Γ ′

zy Γ ′zz

dove:Γ ′

xx = Γxx + m(y2

c + z2c

)

Γ ′yy = Γyy + m

(x2

c + z2c

)

Γ ′zz = Γzz + m

(x2

c + y2c

).

(7)

I prodotti di inerzia possono essere riscritti in modo analogo:

Γ ′xy = Γxy + m xcyc

Γ ′xz = Γxz + m xczc

Γ ′yz = Γyz + m yczc

(8)

Queste relazioni permettono quindi di calcolare la matrice d’inerzia rispetto ad unqualsiasi altro punto, avendo a disposizione i dati relativi alla matrice d’inerzia ri-spetto al centro di massa.

1.3 Momento angolare ed equazione di Eulero

L’espressione del momento della quantita di moto angolare e stato brevemente definitoin (1); vorremmo ora giustificare questa formula derivando la relazione in modo piurigoroso.


Un corpo rigido B e composto da un continuo di particelle elementari di massadm in posizione rk

p, con velocita vkp e accelerazione ak

p; Rk e un generico sistema diriferimento rispetto a cui esprimiamo i vettori.

Per semplificare la trattazione della dinamica del corpo rigido, possiamo ricondurrel’azione delle forze e delle coppie agenti su di esso ad una forza equivalente fk

bc, conlinea d’azione attraverso il centro di massa di B e modulo pari a quello della sommavettoriale delle forze agenti, e ad una coppia equivalente τ k

bc = nkb/c pari al momento

nkb/c totale delle forze agenti sul corpo, relativo al centro di massa.

L’equazione di Eulero afferma che

τ kbc =

[d

dt

]

i

hkb/c

dove abbiamo indicato che la derivata va fatta relativamente ad un sistema di riferi-mento inerziale, che indicheremo d’ora in avanti con Ri.

Il vettore hkb/c e detto momento della quantita di moto angolare ed e definito come

hkb/c =

∫

B

(rk × vkp)dm (9)

doverk = rk

p − rkc

rappresenta la posizione della massa elementare rispetto al centro di massa; la velocitavk

p puo venir espressa in relazione alla velocita del centro di massa vkc nel modo

seguentevk

p = vkc + ωk

ib × rk (10)

E stata introdotta la velocita angolare ωkib, che va intesa come la velocita angolare del

corpo b rispetto al sistema di riferimento inerziale Ri, ossia quella che solitamente sichiama velocita angolare totale del corpo b. Sostituendo la (10) nella (9), otteniamo

hkb/c =

(∫

B

rkdm

)

× vkc +

∫

B

rk × (ωkib × rk)dm =

Il termine∫

Brkdm vale zero in quanto

∫

B

rkdm =

∫

B

(rkp − rk

c )dm =

∫

B

rkpdm − mrk

c = 0

per definizione di centro di massa; quindi resta

hkb/c =

∫

B

rk × (ωkib × rk)dm = −

∫

B

rk × (rk × ωkib)dm

= −

∫

B

S(r`b)S(r`

b)ωkibdm = −

∫

B

S(r`b)S(r`

b)dm ωkib

= Γkb/cω

kib

(11)

In un diverso sistema di riferimento R` avremo

h`b/c = Γ

`b/cω

`ib.


conΓ

`b/c = R`

kΓkb/cR

k`

Per completare l’equazione di Eulero si tratta ora di definire la derivata delmomento della quantita di moto angolare.

hk

b/c =

[d

dt

]

i

(Γ kb/cω

kib) =

[d

dt

]

b

(Γ kb/cω

kib) + ωk

ib × (Γ kb/cω

kib)

Essendo Γkb/c costante in Rb, ne segue che

hk

b/c = Γkb/cαib + ωk

ib × (Γ kb/cω

kib)

dove αib e l’accelerazione angolare totale del corpo b rispetto al riferimento inerziale.Un altro modo per giungere alla stessa formula e il seguente: ipotizziamo che il

corpo b ruoti con velocita angolare totale ω0 rispetto ad un riferimento inerziale R0,con origine posta nel centro di massa del corpo.

L’equazione di Eulero (della dinamica del corpo in rotazione) stabilisce che lavariazione del momento angolare sia pari alla risultante τ 0 delle coppie applicate alcorpo, anch’essa espressa in R0, ossia:

h0 ≡d

dt(Γ 0ω0) = τ 0 (12)

Sia Γ 0 sia ω0 sono funzioni del tempo, e quindi risulta

h0 = Γ 0ω0 + Γ 0ω0 (13)

Per calcolare piu agevolmente Γ 0 e opportuno cambiare sistema di riferimento.Se R` e il riferimento locale solidale al corpo, con origine nel suo centro di massa, seR e la matrice di rotazione che rappresenta R` in R0 e Γ ` e il tensore d’inerzia delcorpo, espresso in R`, allora abbiamo visto che vale la relazione:

Γ 0 = RΓ `RT (14)

Chiamando ω` la velocita angolare del corpo espressa in R`, avremo ω0 = Rω`

ovvero ω` = RTω0 e quindi:

h0 = Γ 0ω0 = RΓ `RT Rω` = RΓ `ω` = Rh` (15)

dove abbiamo introdotto il momento angolare h` = Γ `ω` espresso nel riferimentolocale R`. Quest’ultima relazione mostra che il vettore del momento angolare sitrasforma nello stesso modo degli altri vettori, premoltiplicandolo per la matrice dirotazione R.

Derivando ora h0 nella (15), otteniamo:

h0 =d

dt(RΓ `ω`) = RΓ `ω` + RΓ `ω` + RΓ `ω` (16)

Ricordando che il tensore d’inerzia Γ ` e costante nel tempo, in quanto e espressonel riferimento R` solidale con il corpo rotante, risulta quindi Γ ` = O e la (16) sisemplifica come segue:

h0 = S(ω0)RΓ `ω` + RΓ `ω` = ω0 × (RΓ `ω`) + RΓ `ω` (17)


Questo vettore e espresso in R0 e contiene sia velocita ω` sia ω0; se lo vogliamoesprimere in R` dovremo premoltiplicare per RT.

Ricordando le proprieta delle matrice antisimmetriche, otteniamo

RTh0 = RTS(ω0)RΓ `ω` + RTRΓ `ω`

= S(RTω0)Γ `ω` + Γ `ω`

= S(ω`)Γ `ω` + Γ `ω`

= ω` × Γ `ω` + Γ `ω`

(18)

Poiche RTh0 = h` e, per l’equazione di Eulero h` = τ `, segue:

τ ` = ω` × Γ `ω` + Γ `ω` (19)

dove τ ` = RTτ 0 e la risultante delle coppie applicate, espressa in R`.Se volessimo invece esprimere la coppia in R0, dovremmo utilizzare la (17), so-

stituendo Γ 0R al posto di RΓ `, ottenuta dalla (14); in questo modo si giunge allarelazione

τ 0 = ω0 × Γ 0ω0 + Γ 0ω0 (20)

Come si puo osservare, le equazioni (19) e (20) sono identiche, purche tutti i vettoricoinvolti siano stati espressi nello stesso sistema di riferimento.

2 Equazioni di Newton-Eulero

Le equazioni di Newton-Eulero si possono ricavare come equazioni di equilibrio dina-mico delle forze e dei momenti, compresi quelli inerziali, esterni e di vincolo, agentisul corpo rigido B.

Si scrivono quindi due equazioni vettoriali, la prima (equazione di Newton) diequilibrio tra le forze lineari, la seconda (equazione di Eulero) di equilibrio tra imomenti angolari.

Per semplicita di notazione supporremo d’ora in avanti che i vettori introdotti sianotutti rappresentati nel riferimento R0, trascurando di indicare il pedice relativo.

Supponendo che il corpo rigido sia collegato ad altri corpi, vanno considerati nelleequazioni anche le forze e i momenti vincolari che vengono trasmessi dai corpi contiguial corpo in questione.

Il moto del corpo B, supposto perfettamente rigido, risulta decomposto in duemoti distinti:

1. un moto traslatorio del suo centro di massa, descritto dalle equazioni vettorialidi Newton, che impongono l’equilibrio, rispetto al centro di massa, di tutte leforze agenti sul corpo, comprese quelle dinamiche:

fm + fv + mg − mac = 0 (21)

dove ac = vc = rc e l’accelerazione del centro di massa, g e l’accelerazione digravita, fm e la risultante delle forze attive applicate al corpo dall’esterno e fv

e la risultante delle forze vincolari tra i corpi.


2. un moto rotatorio, intorno al centro di massa, descritto dalle equazioni vetto-riali di Eulero, che impongono l’equilibrio, rispetto al centro di massa, di tuttii momenti agenti sul corpo, compresi quelli generati dalle forze d’inerzia:

τm + τ v + τ fm + τ f

v + τ g + τ a − Γα − ω × Γω = 0 (22)

dove τm e la risultante dei momenti attivi applicati al corpo dall’esterno, τ v ela risultante dei momenti vincolari, τ f

m e la risultante dei momenti dovuti alleforze esterne, τ f

v e la risultante dei momenti dovuti alle forze vincolari, τ g e ilmomento dovuto al campo gravitazionale e τ a e il momento dovuto alla forzad’inerzia −mac, mentre α e l’accelerazione angolare totale.

Questa equazione viene semplificata se i momenti e la matrice d’inerzia vengonocalcolate rispetto al centro di massa: in questo caso si ha τ g = τ a = 0 el’equazione di Eulero si riduce a

τm + τ v + τ fm + τ f

v − Γα − ω × Γω = 0 (23)

Come si puo notare, le equazioni sono espresse in funzione delle accelerazionilineari del centro di massa ac, dell’accelerazione angolare α e della velocita angolareω.

Le equazioni di Newton-Eulero si possono anche scrivere in una forma matricialepiu compatta, ad esempio

(mI 0

0 Γbb/c

)(ab

c

αbib

)

+

(0

S(ωbib)Γ

bb/c

)

=

(

f bbc

τ bbc

)

Ricordando che abc = vb

c + ωbib × vb

c, avremo anche una seconda forma possibile

(mI 0

0 Γbb/c

)(

vbc

αbib

)

+

(mS(ωb

ib) 0

0 S(ωbib)Γ

bb/c

)(vb

c

ωbib

)

=

(

f bbc

τ bbc

)

Se poi volessimo esprimere le equazioni in relazione ad un generico punto O, ove roc

e il vettore da O al centro di massa C, allora avremo

(mI mS(rb

oc)T

mS(rboc) Γ

bb/cω

bib

)(ab

o

αbib

)

+

(mS(ωb

ib)S(ωbib)r

boc

S(ωbib)Γ

bb/oω

bib

)

=

(

f bbo

τ bbo

)

In conclusione vorremmo aggiungere che una delle maggiori difficolta che sorgononell’utilizzare le equazioni di Newton-Eulero per scrivere simbolicamente le equazionidinamiche del sistema multicorpo nasce dalla presenza delle forze generalizzate (forze emomenti) di vincolo; queste infatti non servono a caratterizzare direttamente il motodel corpo, ma hanno l’unica funzione di sostituire i vincoli geometrici con quntitavettoriali inseribili nelle equazioni.

Tuttavia, se quello che interessa non e scrivere simbolicamente le equazioni dina-miche, ma calcolare numericamente le grandezze cinematiche o dinamiche del corpo,le equazioni di Newton-Eulero, poste in una opportuna forma ricorsiva, sono assaiefficienti e possono servire alla soluzione numerica di problemi dinamici.


3 Coordinate generalizzate e vincoli

Un insieme di N masse puntiformi, ciascuna definita univocamente nello spazio dalvettore

ri(t) =

ξi,1(t)ξi,2(t)ξi,3(t)

, i = 1, . . . , N

e globalmente descrivibile da 3N grandezze. Possiamo ora pensare di “radunare”queste componenti in un unico vettore di lunghezza 3N

x =

r1

r2

...rN

=

ξ1,1

ξ1,2

ξ1,3

...ξN,1

ξN,2

ξN,3

=

x1

x2

x3

...x3N

Lo spazio R3N si dice spazio di configurazione del sistema e ogni movimento dell’in-

sieme viene descritto da una traiettoria in questo spazio multidimensionale.Un corpo rigido, composto da un insieme infinito di masse elementari avra vir-

tualmente uno spazio di configurazione di dimensioni infinite.Nell’ipotesi che questi N oggetti puntiformi siano tra loro rigidamente collegati,

sappiamo che il multicorpo totale avra, nello spazio cartesiano, non piu di 6 parametriliberi (3 di posizione + 3 di assetto). Possiamo dire che i 3N parametri originarisono stati ridotti per la presenza di un certo numero di vincoli, che rappresentiamoanaliticamente con delle equazioni vettoriali del tipo seguente:

‖ri − rj‖2

= dij , i, j = 1, . . . , N, i 6= j. (24)

Facciamo altri esempi:

Esempio 1. Consideriamo il moto di un corpo rigido vincolato a ruotare intorno adun asse fisso nello spazio e rigidamente collegato ad un punto su questo asse, inmodo che non siano consentiti moti di traslazione.

Esempio 2. Consideriamo un corpo rigido il cui unico moto consentito e quello ditraslazione lungo un asse particolare.

Esempio 3. Consideriamo un disco che ruota in contatto di un piano, aderente adesso, ma senza moti di strisciamento.

In generale un vincolo si rappresenta in forma implicita come

φ(x1, . . . , x3N , t) = 0

Se i vincoli sono nv, allora avremo un sistema di uguaglianze

φ1(x1, . . . , x3N , t) = 0φ2(x1, . . . , x3N , t) = 0...φnv

(x1, . . . , x3N , t) = 0


equivalente all’equazione matriciale

φ(x(t), t) = 0. (25)

In generale non tutti i vincoli sono indipendenti dagli altri; ad esempio nel caso diN masse puntiformi, l’insieme di equazioni di vincolo (24) non sono tutte tra loroindipendenti. Supponiamo per semplicita che, d’ora in avanti, quando specifichiamole equazioni dei vincoli, queste siano tra loro indipendenti e nv sia il numero di vincoliindipendenti.

La dipendenza diretta dei vincoli dal tempo si ha quando i vincoli stessi sonofunzione di qualche legge temporale esterna. Spesso essi sono indipendenti dal tempoin modo diretto, per cui la (25) si semplifica e diventa:

φ(x(t)) = 0. (26)

In questo caso il teorema della funzione implicita ci assicura che e possibile espri-mere nv variabili in funzione delle rimanenti n = 3N − nv.

Abbiamo cosı generato n = 3N − nv variabili indipendenti q1, q2, . . . , qn, cheprendono il nome di variabili o coordinate generalizzate

q(t) =

q1(t)...

qn(t)

.

Esse sono quelle variabili che rappresentano univocamente il moto del multicorpo,tenendo implicitamente conto dei vincoli cinematici presenti. Tutte le altre variabilidi configurazione sono ricavabili da queste utilizzando le equazioni di vincolo.

Considerando l’Esempio 1, l’unico moto geometricamente ammissibile e quello dirotazione intorno ad un asse, e quindi l’insieme di coordinate generalizzate e compostodal solo angolo di rotazione q = θ rispetto ad una origine specificata. Ogni altragrandezza cinematica sara esprimibile in funzione di questa.

L’insieme delle coordinate generalizzate non e unico, nel senso che possono esi-stere diversi insiemi di coordinate (o anche un numero infinito di insiemi) capaci diesprimere in modo univoco il moto del corpo, ma esso deve essere completo, nel sensoche deve poter permette di esprimere completamente il movimento del corpo vincola-to, e indipendente, nel senso che non devono esistere qi ricavabili come combinazionelineare di altre coordinate generalizzate.

Nell’Esempio 1, se fissiamo in modo diverso l’origine dell’angolo, avremo infinitecoordinate generalizzate che differiscono tra loro per una costante. A questo propositova fatto osservare che se l’insieme delle coordinate generalizzate non e unico, il loronumero n invece lo e.

In conclusione e ora possibile esprimere ogni vettore di posizione ri in funzionedelle coordinate generalizzate, secondo la

ri = ri(q(t); t) (27)

dove ri e una generica funzione non lineare, derivabile quanto basta rispetto ai suoiargomenti. La dipendenza diretta dal tempo si ha quando esistono delle specifiche


esterne di moto tempo-variante oppure vincoli anch’essi tempo-varianti. Analogamen-te, se consideriamo le variabili di configurazione x, possiamo scrivere la dipendenzadalla coordinate generalizzate cosı:

x = x(q(t), t)

Una volta definite le coordinate generalizzate, e possibile definire le velocita genera-lizzate, come le derivate di queste

q(t) =dq(t)

dt=

q1(t)...

qn(t)

.

La relazione tra x e q valex = Aq + b (28)

dove A ∈ R3×3 e b ∈ R

3×1 sono definite dai loro elementi generici

[A]ij =∂xi(t)

∂qj(t)[b]i =

∂xi(t)

∂t

La matrice A prende il generico nome di jacobiano della trasformazione; vedremo piuoltre come alcune di queste matrici sono particolarmente importanti in problemi dicinematica e dinamica dei sistemi multicorpo.

Se esistono dei vincoli e possibile esprimerli in funzione delle coordinate ed even-tualmente delle velocita generalizzate; avremo allora

h(q(t), q(t), t) = 0 (29)

oppureh(q(t), q(t)) = 0 (30)

4 Spostamenti virtuali, vincoli e gradi di liberta

Avendo definito le coordinate generalizzate qi, introduciamo il concetto di spostamentovirtuale o, come qualche autore preferisce scrivere, variazione ammissibile.

Lo spostamento virtuale e un piccolo spostamento consentito dai vincoli cinematiciagenti sul corpo rigido o sul sistema di corpi rigidi interconnessi, che puo avvenireindipendentemente dal tempo. Esso si indica con il simbolo δr, che ha somiglianzacon lo spostamento differenziale dr; ma mentre il secondo e lo spostamento consentitosia dai vincoli sia dalle forze presenti nel sistema multicorpo, il primo e indipendentedalla reale possibilita che tale spostamento si verifichi, in conseguenza della dinamicadel sistema multicorpo.

Esso e il frutto di un esperimento mentale, e come tale puo essere contemporaneoad altri spostamenti virtuali, con la sola condizione che vengano rispettati i vincolicinematici; esso, contrariamente all’incremento dr che avviene nell’intervallo infini-tesimo dt, avviene in un tempo istantaneo e per questo motivo si considera sempreδt = 0.


I concetti di completezza e indipendenza che si applicano alle coordinate genera-lizzate si applicano pure agli spostamenti virtuali.

Normalmente il numero di coordinate generalizzate (indipendenti e complete) eil numero di spostamenti virtuali (indipendenti e completi) sono uguali e coincidonocon i gradi di liberta del sistema. I vincoli per cui questo accade si dicono olonomi eil sistema multicorpo prende il nome di sistema olonomo. In caso contrario si hannovincoli anolonomi e il sistema si dice anolonomo.

Il numero di spostamenti virtuali indipendenti e completi prende il nome di gradidi liberta del sistema multicorpo.

Se nel sistema agiscono solo vincoli olonomi, i gradi di liberta del sistema ngdl

coincidono con il numero di variabili generalizzate, ossia n = ngdl. In caso di vin-coli anche anolonomi, il numero di gradi di liberta e minore del numero di variabiligeneralizzate n ≤ ngdl.

4.1 Vincoli olonomi e anolonomi

Dato un corpo rigido o un sistema multicorpo caratterizzato

• da n coordinate generalizzate q(t) =(q1 · · · qn

)T

indipendenti e costituentiun insieme completo,

• dalle relative velocita generalizzate q(t),

• da n variazioni ammissibili δq =(δq1 · · · δqn

)T

, anch’esse indipendenti ecomplete,

abbiamo visto in (29) che il sistema puo venire assoggettato a nv vincoli di uguaglianza

hi(q(t), q(t), t) = 0, i = 1, . . . ,m

Se questi sono funzione delle sole posizioni, come

hi(q(t), t) = 0 (31)

allora risultano essere sempre olonomi; se invece sono funzione sia delle posizioni siadelle velocita, possono essere olonomi oppure anolonomi.

Vediamo ora di caratterizzare meglio i vincoli anolonomi.Si dicono anolonomi due classi di vincoli:

• la prima classe comprende i vincoli di diseguaglianza, descritti da espressionianalitiche del tipo seguente

h′(q(t), q(t), t) ≤ 0

• la seconda classe comprende quei vincoli del tipo

h′′(q(t), q(t), t) = 0

che non possiedono un integrale esatto. In particolare, per semplicita, re-stringiamo la nostra attenzione su vincoli espressi come funzione delle solevelocita:

h′′(q(t), t) = 0 (32)

Quando questi non possiedono un integrale esatto, sono anolonomi.


Vediamo di caratterizzare meglio, sia dal punto di vista analitico, sia dal punto divista fisico, quest’ultima classe di vincoli anolonomi.

Il vincolo olonomo (31) puo essere derivato rispetto al tempo, dando origine adun generico vincolo sulle velocita che si esprime in modo analogo alla (28), ossia

a(q)Tq + b(q) = 0 (33)

dove

a(q) =

∂h(t)

∂q1(t)...

∂h(t)

∂qn(t)

bi(q) =∂h(t)

∂t

Questo stesso vincolo si puo esprimere in forma differenziale, come:

a(q)Tdq + b(q)dt = 0 (34)

che definisce la forma pfaffiana del vincolo. Al posto dei differenziali si possonosostituire gli spostamenti virtuali e, ricordando che δt ≡ 0, ottenere:

a(q)Tδq = 0.

Ora, se la (34) e integrabile, ovvero essa rappresenta un differenziale esatto, la sipuo ricondurre alla (31); in questo caso il vincolo corrispondente risulta olonomo.

Se invece la forma pfaffiana non e un differenziale esatto, il vincolo corrispondentee anolonomo.

Ricordiamo quali sono le condizioni per avere un differenziale esatto: la formadifferenziale

dh = a(q)Tdq

e esatta in Rn se

∫dh e indipendente dal cammino di integrazione. Cio e verificato

quandodh = (∇h)Tdq

dove (∇h)T = (grad h)T =

(∂h

∂q1

· · ·∂h

∂qn

)

. Quindi i coefficienti a(q) devono

soddisfare la relazione

ai(q) =∂h

∂qi, i = 1, . . . , n

Inoltre deve valere la seguente relazione tra le derivate parziali seconde

∂2h

∂qjqi=

∂2h

∂qiqj, ∀i,∀j = 1, . . . , n

che implica∂ai(q)

∂qj−

∂aj(q)

∂qi= 0, ∀i,∀j = 1, . . . , n (35)

Ne consegue che, se i coefficienti ai soddisfano alle relazioni (35), la forma differen-ziale e integrabile esattamente e il vincolo e olonomo. In caso contrario il vincolo eanolonomo.


Dal punto di vista fisico le cose si apprezzano meglio considerando un problemain cui appare un vincolo anolonomo. L’esempio classico e quello di una ruota che simuove rotolando su un piano, con l’asse di rotazione parallelo al piano e in assenzadi strisciamento.

Figura 2: Esempio di vincolo anolonomo: un disco che ruota a contatto di un pianosenza strisciamento.

... continuare ... aggiungere che cosa e ora il numero di gdl e la

caratterizzazione fisica (con esempi) dei vincoli anolonomi

4.2 Principio dei lavori virtuali

Una configurazione geometricamente ammissibile di N masse elementari e in equilibrio(statico o dinamico) se il lavoro virtuale

δW =N∑

i=1

f i · δri

e nullo, ossia

δW =N∑

i=1

f i · δri = 0 (36)

dove f i sono le forze applicate dall’esterno sul sistema e agenti nelle posizioni ri, eδri sono gli spostamenti virtuali delle medesime posizioni.

Se il sistema e un corpo rigido o un multicorpo, sul quale agiscono sia forze sia mo-menti, occorre caratterizzare in modo diverso i rispettivi contributi al lavoro virtuale;avremo allora:

δW =

Nf∑

i=1

f i · δri +

Nτ∑

i=1

τ i · δαi = 0 (37)

dove ora vi sono anche i momenti τ i e le rispettive variazioni angolari virtuali αi.


5 Equazioni cinematiche del corpo rigido

Le equazioni dinamiche di un sistema composto da uno o piu corpi rigidi sono formula-te a partire dalle grandezze cinematiche di posizione, velocita e accelerazione lineare,che chiameremo rispettivamente r, r, r e le grandezze cinematiche di assetto, velocitae accelerazione angolare, che chiameremo rispettivamente α, α, α.

Sapendo che l’assetto di un corpo rigido si puo rappresentare in molti modi, nes-suno dei quali e un vettore in senso stretto, ci possiamo chiedere che significato abbiaα; si tratta di una rappresentazione convenzionale dei tre parametri angolari associatialla rotazione: essi possono essere i tre angoli di Eulero o gli angoli di roll, pitch eyaw, oppure le componenti indipendenti di un quaternione unitario.

Come abbiamo visto al Paragrafo precedente, possono essere presenti vincoli ci-nematici che limitano il moto dei corpi. Questi vincoli possono essere generati dalprogettista del sistema oppure essere imposti dall’ambiente in cui il sistema opera.

In generale, avendo definito le variabile generalizzate q(t), avremo la possibilita diesprimere il moto del corpo mediante equazioni espresse in forma vettoriale:

r(t) = gr(q(t),π, t)

α(t) = gα(q(t),π, t)

dove π rappresenta un generico vettore di parametri geometrici, che sono propri delsistema.

Il vettore r puo rappresentare le coordinate di un punto particolare del nostrocorpo rigido, di cui ci interessa la posizione; ad esempio potrebbe essere il vettore delcentro di massa del corpo, oppure un punto posto alla sua estremita o altro anco-ra. Analogamente, il “vettore” α potrebbe rappresentare l’assetto di un particolaresistema di riferimento associato al corpo rigido.

Questo sistema di equazioni, di solito non lineari, prende il nome di funzionecinematica diretta di posizione; si dice che e diretta in quanto e possibile, dato q

calcolare (abbastanza agevolmente) i corrispondenti r e α; si dice che e di posizione,intendendo la posizione “generalizzata”, che include anche le variabili di assetto. Secostruiamo un vettore 6 × 1 di coordinate di posizione

p(t) =

(r(t)α(t)

)

si puo scrivere in forma compatta l’equazione di vincolo, come segue:

p(t) = g(q(t),π, t) (38)

dove g(·) =

(gr(·)gα(·)

)

.

E possibile definire ora la funzione cinematica inversa di posizione, data dallarelazione non lineare

q(t) = g−1(r(t),α(t),π, t) = g−1(p(t),π, t)

Questa e di solito assai pu complicata da calcolare in quanto richiede l’inversione difunzioni non lineari.


Analogamente e possibile esprimere le velocita r(t) del corpo rigido in funzionedelle velocita q(t), mediante la funzione cinematica diretta delle velocita:

r(t) ≡d

dtgr(q(t),π, t) = Jr(q(t),π)

dq(t)

dt+

∂gr(q(t),π, t)

∂t

dove la matrice Jr prende il nome di matrice Jacobiana o jacobiano lineare ed edefinita nel modo seguente

Jr(q(t),π) =

[∂gi(q(t),π)

∂qj(t)

]

Quando i vincoli non dipendono esplicitamente dal tempo, avremo la forma semplifi-cata

r(t) = Jr(q(t),π)dq(t)

dt= Jr(q(t),π)q(t)

Se la matrice Jacobiana e quadrata e ha rango pieno, possiamo invertire questosistema di equazioni e ottenere la funzione cinematica inversa delle velocita

q(t) = Jr(q(t),π)−1r(t)

Osserviamo che queste ultime due funzioni cinematiche sono lineari, nel senso chela relazione tra le velocita generalizzate e le velocita dei punti e ottenuta attraversoil prodotto della matrice Jacobiana o della sua inversa. Va anche osservato che lojacobiano non e, in generale, una matrice costante, in quanto varia nel tempo alvariare delle coordinate generalizzate qi(t).

In modo del tutto analogo possiamo procedere considerando le variabili di assetto.La funzione cinematica diretta delle velocita angolari sara:

α(t) ≡d

dtgα(q(t),π, t) = Jα(q(t),π)

dq(t)

dt+

∂gα(q(t),π, t)

∂t

Di solito, se α ha come componenti degli angoli (Eulero, RPY ecc.), la velocita α

la indichiamo con il simbolo ω e l’accelerazione α con il simbolo ω. Nel Paragrafosuccessivo preciseremo meglio alcune questioni che riguardano la rappresentazione diqueste velocita angolari.

Ora, considerando insieme le velocita lineari e angolari, definiamo il vettore

p(t) =

(r(t)α(t)

)

≡

(v(t)ω(t)

)

(39)

che spesso nella letteratura scientifica prende il nome di twist. Possiamo quindiscrivere in forma compatta la cinematica delle velocita generalizzate:

p(t) ≡d

dtg(q(t),π, t) = J(q(t),π)

dq(t)

dt+

∂g(q(t),π, t)

∂t(40)

dove ora lo jacobiano J e la matrice composta dalle due matrici jacobiane Jr e Jα

J(q(t),π) =

(Jr(q(t),π)Jα(q(t),π)

)

. (41)


Il numero di righe e pari al numero di variabili cinematiche, che in generale e ugualea 6, mentre il numero di colonne vale n, ossia il numero di coordinate generalizzateqi. Questa matrice si puo dunque invertire solo quando n = 6 e il rango e pieno(jacobiano non singolare). In tale caso, se le equazioni della cinematica non dipendonodirettamente anche dal tempo, avremo:

q(t) = J(q(t),π)−1p(t). (42)

Da ultimo va fatto notare che, essendo lo jacobiano funzione delle variabili generaliz-zate, potrebbero esistere dei casi in cui la matrice Jacobiana inversa diventa singolareal variare delle qi(t); si dice allora che si ha una singolarita cinematica. Esula dagliobbiettivi di questi appunti la trattazione dei casi di singolarita cinematica.

5.1 Trasformazioni tra velocita angolari

Supponiamo ora che p (t) indichi la posizione e l’assetto di un particolare riferimentosul corpo rigido, identificato dal sistema RP rispetto al riferimento fisso R0 e che

l’assetto sia dato dagli angoli di Eulero αE =(φ θ ψ

)T

:

p(t) =

(x(t)

αE(t)

)

=

x1(t)x2(t)x3(t)φ(t)θ(t)ψ(t)

(43)

Derivando rispetto al tempo, otteniamo:

p(t) =

(v(t)

ωE(t)

)

=

x1(t)x2(t)x3(t)

φ(t)

θ(t)

ψ(t)

(44)

Occorre osservare che la velocita angolare “euleriana” ωE (t), pur definendo una velo-

cita angolare tra RP e R0, ha le sue componenti descritte nella base(bφ bθ bψ

)T

,dove bφ, bθ e bψ sono i versori che individuano gli assi intorno ai quali avvengono lerotazioni di Eulero, espressi nel sistema di riferimento R0.

Se rappresentiamo bφ, bθ e bψ rispetto ad R0, poiche le velocita angolari sonovettori, potremo sommarne i contributi e trasformare la velocita angolare eulerianaωE (t) nella velocita angolare cartesiana nel modo seguente

ω(t) = bφφ + bθ θ + bψψ, (45)

rappresentandola nello stesso riferimento in cui e rappresentata la velocita linearev e quindi potremo usarla senza ambiguita in formule quali, ad esempio, p0(t) =v(t) + ω(t) × r, mentre questo non sarebbe possibile usando la velocita euleriana, acausa dei sistemi di riferimento non congruenti.


Esprimendo bφ, bθ, bψ nel riferimento R0 avremo:

bφ =

001

, bθ =

cos φ(t)sin φ(t)

0

, bψ =

sinφ(t) sin θ(t)− cos φ(t) sin θ(t)

cos θ(t)

(46)

Possiamo ora definire la trasformazione lineare da ωE(t) a ω(t),

ω(t) = ME(t)

φ

θ

ψ

= ME(t)ωE(t) (47)

rappresentata dalla matrice

ME(t) =

0 cos φ(t) sinφ(t) sin θ(t)0 sin φ(t) − cos φ(t) sin θ(t)1 0 cos θ(t)

. (48)

Va notato che ME non e una matrice ortogonale, dipende da due soli angoli φ(t) eθ(t) varianti nel tempo, che puo cadere di rango per particolari valori di questi ultimi,ad esempio, φ = 90◦, θ = 0◦.

Un discorso analogo si puo fare quando si usano gli angoli RPY per definirel’assetto in p (t):

p(t) =

(x(t)

αRPY(t)

)

=

x1(t)x2(t)x3(t)θx(t)θy(t)θz(t)

(49)

Derivando rispetto al tempo, otteniamo:

p(t) =

(v(t)

ωRPY(t)

)

=

x1(t)x2(t)x3(t)

θx(t)

θy(t)

θz(t)

(50)

La velocita angolare ωRPY (t), ha le sue componenti descritte nella base(bx by bz

)T

,dove bx, by e bz sono i versori che individuano gli assi intorno ai quali avvengono lerotazioni di RPY, espressi nel sistema di riferimento R0.

Avremo:

bx =

cos θz(t) cos θy(t)sin θz(t) cos θy(t)

− sin θy

, by =

− sin θz(t)cos θz(t)

0

, bz =

001

(51)

Possiamo ora definire la trasformazione lineare da ωRPY (t) a ω (t):

ω (t) = MRPY(t)ωRPY(t) (52)


rappresentata dalla matrice

MRPY(t) =

cos θz(t) cos θy(t) − sin θz(t) 0sin θz(t) cos θy(t) cos θz(t) 0

−sy 0 1

. (53)

Osserviamo che, per angoli piccoli, vale ci ' 1, si ' 0 e quindi MRPY ' I; in questocaso risulta ω(t) ' ωRPY(t).

6 Equazioni di Lagrange per sistemi meccanici

Il procedimento per scrivere le equazioni dinamiche, secondo l’approccio di Lagrange,si basa sulla definizione delle energie cinetica e potenziale totali del corpo rigido o delmulticorpo.

Il metodo delle equazioni di Lagrange presenta alcuni vantaggi rispetto al metododi Newton-Eulero

• permette di scrivere n equazioni differenziali scalari del second’ordine diret-tamente nelle variabili generalizzate qi e qi, da cui e piu agevole risalire allaformulazione in variabili di stato, che non usando le equazioni di Newton-Eulero;

• se sono presenti vincoli solo olonomi, nelle equazioni non appaiono le forze vin-colari; se da una parte questo e assai utile quando si voglia calcolare la dinamica,in problemi di simulazione o di controllo, puo essere utile, in altri contesti, poterrisalire al valore delle forze vincolari. Vedremo in un Paragrafo successivo checio e possibile e come ottenerlo;

• le energie cinetiche e/o potenziali sono indipendenti dal sistema di riferimentousato per rappresentare la cinematica del multicorpo;

• le energie cinetiche e/o potenziali sono additive: in un multicorpo, l’energiatotale e la somma delle energie dei singoli corpi rigidi che lo compongono.

Definiremo ora in modo formale l’energia cinetica e l’energia potenziale.

6.1 Energia cinetica

6.1.1 Particella elementare

L’energia cinetica di una particella e il lavoro necessario a incrementare il momentodella quantita di moto da 0 a h, ossia

C(h) =

∫ h

0

dW

Il lavoro infinitesimo sulla particella vale

dW = f · dr


dove f e la risultante delle forze applicate alla particella e dr l’incremento infinitesimodi posizione. Considerando l’espressione che lega forza a derivata della quantita dimoto si ricava il valore dell’energia cinetica come segue:

dW = f · dr =dh

dt· dr =

dh

dt· vdt = v · dh

e quindi

C(h) =

∫ h

0

v · dh (54)

L’energia cinetica e una funzione (scalare) di stato della particella, nel senso che essadipende solo dalle variabili di stato associate alla particella (v e h).

E possibile definire un’altra funzione di stato della particella, che chiameremocoenergia cinetica, data dalla relazione

C∗(v) =

∫ v

0

h · dv (55)

Tra le due energie esiste la relazione

C∗(v) = h · v − C(h)

che e un esempio di trasformazione di Legendre.In particolare, se la particella e newtoniana, ovvero h = mv avremo

C(h) =

∫ h

0

1

mh · dh =

1

2mh · h =

1

2m‖h‖

2

C∗(v) =

∫ v

0

mv · dv =1

2mv · v =

1

2m ‖v‖

2

(56)

da cui si deduce che per questo tipo di particelle l’energia e la coenergia cinetica sonouguali. Cio non accade per particelle di tipo relativistico.

Concludiamo questo Paragrafo facendo osservare che nella maggioranza dei libri ditesto relativi alla meccanica analitica, l’energia cinetica viene indicata con il simboloT ; osserviamo pure che in generale, essendo l’energia cinetica funzione delle coordinatee delle velocita generalizzate, si scrivera C(q, q) oppure T (q, q).

6.1.2 Corpo rigido esteso

La coenergia cinetica di un corpo rigido esteso vale

C∗(v) =1

2

∫

B

v · v dm

dove v e la velocita assoluta di ogni punto del corpo e l’integrale avviene sull’interocorpo.

Se facciamo riferimento ad assi corpo fissati in una qualche origine O, quando ilpunto O e fisso, avremo

C∗(v) =1

2ωT

Γ oω


dove Γ o e il momento d’inerzia del corpo rispetto al punto O. Quando come O

scegliamo il centro di massa del corpo, avremo

C∗(v) =1

2mvc · vc +

1

2ωT

Γ cω =1

2

[vT

c (mI)vc + ωTΓ cω

]

dove Γ c e il momento d’inerzia del corpo rispetto al centro di massa C e vc e lavelocita del centro di massa.

6.1.3 Sistemi naturali

Un sistema composto da N particelle elementari, ciascuna definita dalla posizioneri(q(t)) e dalla velocita

vi(q(t)) ≡ ri(q(t)) =

n∑

k=1

∂ri

∂qkqk +

∂ri

∂t,

possiede un’energia cinetica definita dalla seguente relazione

C =1

2

N∑

i=1

miri · ri =1

2

N∑

i=1

[n∑

r=i

n∑

s=1

∂ri

∂qr·∂ri

∂qsqr qs + 2

∂ri

∂t·

n∑

r=i

∂ri

∂qrqr +

∂ri

∂t·∂ri

∂t

]

Introducendo i coefficienti

αrs =

N∑

i=1

mi∂ri

∂qr·∂ri

∂qs

βr =

N∑

i=1

mi∂ri

∂t·∂ri

∂qr

γ = 12

N∑

i=1

mi∂ri

∂t·∂ri

∂t

possiamo scrivere l’energia cinetica nella forma

C = C2 + C1 + C0 (57)

dove

C2 =1

2

n∑

r=i

n∑

s=1

αrsqr qs

C1 =

n∑

r=i

βr qr

C0 = γ

Un sistema per il quale le coordinate ri non sono funzioni esplicite del tempo, il campodelle forze e conservativo e non vi sono vincoli, ha l’energia cinetica che puo essereespressa semplicemente come una forma quadratica, ossia

C = C2 =1

2

n∑

r=i

n∑

s=1

αrsqr qs


Tale sistema prende il nome di sistema naturale; al contrario, sistemi per i qua-li l’energia cinetica assume la forma generale (57) prende il nome di sistema nonnaturale.

In questi ultimi si osserva che il termine C0 si comporta come una specie di ener-gia potenziale, che da origine alle cosiddette forze centrifughe, proporzionali al qua-drato delle velocita angolari, mentre il termine C1 produce forze dette di Coriolis,proporzionali al prodotto tra due velocita.

6.2 Energia potenziale

Una forza f e definita conservativa o potenziale, se essa e derivabile da una funzione(di posizione e scalare) potenziale P(x, y, z), ovvero

f = −∇P = −

(∂P

∂x

∂P

∂y

∂P

∂z

)T

(58)

Se tale funzione esiste, essa viene definita energia potenziale del sistema. Va osservatoche, se tale funzione esiste, essa e unica a meno di una costante additiva. Questoimplica che la dinamica dipende solo dalle variazioni di energia potenziale e non dalvalore assoluto di questa.

Quei sistemi dinamici per cui tutte le forze che compiono lavoro sono derivabili dauna funzione potenziale si dicono sistemi conservativi.

In un campo di forze conservativo l’energia potenziale P si ricava integrando la(58), ossia

P(r) = −

∫ r

r0

f(r) · dr (59)

dove il segno negativo stabilisce che l’energia potenziale del corpo diminuisce se ilcampo di forze effettua lavoro sul corpo. Tipico esempio di campo di forze conserva-tivo e il campo gravitazionale, che induce sul corpo le forze peso. L’energia potenzialedi un corpo di massa m dovuta al campo gravitazionale vale

−mg · rc0 (60)

dove g e il vettore di accelerazione gravitazionale e rc0 e il vettore che fornisce laposizione del centro di massa rispetto ad un piano ortogonale a g a cui convenzional-mente si assegna un livello nullo di energia potenziale e rispetto al quale si misural’incremento o il decremento di energia potenziale.

Esiste un altro tipo di campo che produce energia potenziale; si tratta di quelloprodotto da elementi elastici riconducibili a molle ideali. Questi elementi realizzanouna relazione di proporzionalita tra elongazione e forza alle estremita; se si tratta dimolle traslazionali avremo

‖f‖ = km ‖∆e‖

mentre se si tratta di molle rotazionali avremo

‖τ‖ = k′

m ‖∆α‖

dove e e α sono, rispettivamente, l’elongazione traslazionale e angolare dalle posizionidi riposo; km e k′

m prendono il nome di costanti elastiche.


Possono esistere anche relazioni non lineari tra elongazione e forza, del tipo

‖f‖ = km(e) ‖∆e‖ ‖τ‖ = k′

m(α) ‖∆α‖

In questi casi si parla di molle non lineari.In questo caso l’energia potenziale vale

P(e) =

∫ e

0

f · de

oppure

P(α) =

∫ α

0

τ · dα

Si possono definire anche in questo caso le coenergie, rispettivamente come

P∗(f) =

∫ f

0

e · df

oppure

P∗(τ ) =

∫ τ

0

α · dτ

Nel caso di molle lineari con costante elastica k, le energie e le coenergie potenzialicoincidono e sono pari a

P(e) =1

2eT(kI)e =

1

2k ‖e‖

2

e

P(τ ) =1

2αT(kI)α =

1

2k ‖α‖

2

Concludiamo questo Paragrafo facendo osservare che nella maggioranza dei libridi testo relativi alla meccanica analitica, l’energia potenziale viene indicata con ilsimbolo V ; osserviamo pure che in generale, essendo l’energia potenziale funzionedelle coordinate generalizzate, si scrivera P(q) oppure V (q).

6.3 Forze generalizzate nei sistemi olonomi

Supponiamo di avere un sistema composto da N masse elementari soggetto a solivincoli olonomi. Le forze f i agenti sulla i-esima particella possono essere suddivisein tre categorie

• Forze fnci non conservative.

• Forze f ci dovute a un campo conservativo.

• Forze fvi dovute alle reazioni vincolari.

Ipotizzando vincoli olonomi, ideali e privi di attrito, gli spostamenti virtuali am-missibili sono sempre tangenti a questi, mentre le forze vincolari sono sempre per-pendicolari a questi: in tal modo risulta sempre fv

i · dri = 0: le forze vincolari noncompiono lavoro.


Le forze conservative invece sviluppano un lavoro che, considerando la (58), risultaessere

δWc =

N ′

∑

i=1

f ci · δri = −

N ′

∑

i=1

∇Pi · δri =

−

N ′

∑

i=1

∇Pi ·

n∑

j=1

∂ri

∂qjδqj

=

n∑

j=1

N ′

∑

i=1

−∇Pi ·∂ri

∂qj

︸︷︷︸

forza generalizzata

δqj (61)

Da ultime, le forze non conservative fnci sviluppano un lavoro sul sistema pari a

δWnc =N ′′

∑

i=1

fnci · δri =

N ′′

∑

i=1

fnci ·

n∑

j=1

∂ri

∂qjδqj

=n∑

j=1

N ′′

∑

i=1

fnci ·

∂ri

∂qj

︸︷︷︸

forza generalizzata

δqj (62)

I termini evidenziati nelle due precedenti equazioni prendono il nome di forze genera-lizzata Fj . In particolare

• j-esima forza generalizzate conservativa:

Fcj = −

N ′

∑

i=1

∇Pi ·∂ri

∂qj

• j-esima forza generalizzate non conservativa:

Fncj =

N ′′

∑

i=1

fnci ·

∂ri

∂qj

dove N ′ e il numero di forze di tipo conservativo e N ′′ e il numero di forze ditipo non conservativo.

La forza generalizzata, essendo il risultato di un prodotto scalare, e essa stessa unoscalare.

Nel caso di corpo rigido o sistema multicorpo, dove siano presenti anche momentitorcenti, le forze generalizzate dovute a questi saranno pari a

Fcj =

n∑

i=1

−∇Pi ·∂αi

∂qj; Fnc

j =

n∑

i=1

τnci ·

∂αi

∂qj

6.4 Equazioni di Lagrange con vincoli olonomi

In sistemi multicorpo con vincoli solo olonomi, la formulazione di Lagrange assumemolte forme, dalla piu generale a quelle che descrivono casi particolari. Le vedremobrevemente una dopo l’altra.


Avendo definito con C(q, q) l’energia cinetica del corpo, funzione delle coordinatee velocita generalizzate, si scrivono tante equazioni differenziale scalari quante sonole coordinate generalizzate:

d

dt

(∂C

∂qi

)

−∂C

∂qi= Fi i = 1, . . . , n (63)

dove il termine Fi rappresenta il modulo della i-esima forza generalizzata, con segnopositivo se applicata dall’ambiente esterno al corpo , con segno negativo se applicatadal corpo all’ambiente esterno. Ricordiamo infatti che le forze generalizzate nasconoutilizzando il principio dei lavori virtuali; il lavoro puo essere compiuto dall’ambienteesterno sul corpo o dal corpo sull’ambiente esterno. Nei due casi il segno sara opposto.E convenzione assumere con segno positivo il lavoro fatto sul corpo.

Le forze generalizzate che consideriamo nell’espressione (63) sono sia quelle nonconservative sia quelle conservative.

Possiamo ricordare l’espressione (61) e scrivere una seconda forma delle equazionidi Lagrange:

d

dt

(∂L

∂qi

)

−∂L

∂qi= Fnc

i (64)

dove e stata introdotta la funzione di Lagrange che rappresenta la differenza tral’energia cinetica C e l’energia potenziale P:

L(q, q) = C∗(q, q) − P(q) (65)

Il termine∂L

∂qiprende il nome di momento generalizzato e si indica con il simbolo

µi(q(t)); il vettore dei momenti generalizzati viene indicato con µ(q(t)).Se si volesse considerare separatamente le forze generalizzate dovute a fenomeni

di attrito fattri , considerando che l’attrito rappresenta un’energia dissipata dal corpo,

l’equazione di Lagrange diventerebbe:

d

dt

(∂L

∂qi

)

−∂L

∂qi= F ′

i − fattri (66)

Spesso l’attrito e dovuto a semplici fenomeni di dissipazione e la forza fattri risulta

essere la derivata di una funzione di dissipazione, detta funzione di Rayleigh che vale:

Di(q) =1

2qT(βiI)q =

1

2βi ‖q‖

2(67)

dove il coefficiente βi prende il nome di coefficiente di attrito viscoso.In tali casi potremmo scrivere la (66) come

d

dt

(∂L

∂qi

)

−∂L

∂qi+

∂Di

∂qi= F ′

i (68)

6.5 Equazioni di Lagrange e vincoli anolonomi

L’approccio lagrangiano presenta il vantaggio di permettere la scrittura delle equazionidinamiche del moto a partire dalle coordinate generalizzate.


E quindi necessario solo un insieme minimo di n equazioni dinamiche, e questoderiva dal fatto che le forze vincolari non producono lavoro in corrispondenza deglispostamenti virtuali compatibili con i vincoli geometrici.

Le forze di vincolo non compaiono mai nelle equazioni. I sistemi olonomi appaionoessere descritti da un insieme di coordinate generalizzate indipendenti, senza vincoli.

Di converso, i sistemi con vincoli anolonomi non possono essere ridotti a esse-re descritti da coordinate generalizzate indipendenti. Le equazioni debbono essereaumentate dalla descrizione dei vincoli; nel fare cio si ha la comparsa delle forze divincolo.

E possibile, se il problema lo richiede, fa apparire le forze di vincolo anche neisistemi con vincoli olonomi; per fare questo, basta considerare che

• i vincoli geometrici sono iper-superfici nello spazio delle configurazioni;

• i vincoli geometrici vengono fatti rispettare da opportune forze/coppie, dette,come gia piu volte sottolineato, forze vincolari ;

• in ogni istante le forze vincolari sono ortogonali alle iper-superfici descritte daivincoli.

Quindi i vincoli olonomi sono “tradotti” in forze vincolari generalizzate che vengonoaggiunte a quelle non vincolari presenti. Sfortunatamente le prime non possono esserecalcolate a priori perche dipendono dal moto e quindi bisogna aver prima risolto leequazioni differenziali.

Tuttavia si puo ricorrere ad un artificio, creando delle ulteriori coordinate, che han-no lo scopo di rappresentare la violazione dei vincoli: esse sono nulle quando i vincolisono rispettati, altrimenti sono positive o negative, secondo una certa convenzione.

Queste coordinate vengono chiamate coordinate superflue e le forze generalizzatead esse associate sono proprio le forze vincolari.

Se l’insieme delle coordinate generalizzate originarie e delle coordinate superflue econsiderato indipendente, allora le equazioni dinamiche risultanti conterranno le forzevincolari; queste appariranno soltanto nelle equazioni relative alle coordinate super-flue. Risolvendo le equazioni del moto e ponendo ad un valore costante le coordinatesuperflue, si potranno calcolare le forze vincolari.

Per quanto riguarda invece i vincoli anolonomi, si procede introducendo i cosiddettimoltiplicatori di Lagrange (o moltiplicatori lagrangiani).

Supponiamo che un sistema con n coordinate generalizzate qi sia vincolato da unvincolo anolonomo del tipo

a1dq1 + a2dq2 + · · · + andqn + a0dt = 0

Poiche risulta sempre δt = 0, l’equazione di vincolo espressa in spostamenti virtualidiventa

a1δq1 + a2δq2 + · · · + anδqn = 0 (69)

che si scrive in forma vettoriale come

aTδq = 0


Questa relazione stabilisce che gli spostamenti virtuali sono ortogonali al vettore a, chequindi e allineato con le forze vincolari. Quindi, avendo stabilito che le forze vincolarie il vettore a sono proporzionali, chiamiamo questa costante di proporzionalita λ(t).

La forza generalizzata totale relativa alla coordinata qi sara la somma delle forzegeneralizzate esterne e di quelle vincolari, ossia

Fi + λai

L’equazione di Lagrange relativa alla k-esima coordinata generalizzata diventera ora:

d

dt

(∂L

∂qi

)

−∂L

∂qi= Fi + λai (70)

L’equazione (69) insieme con la (70), da luogo a n + 1 equazioni in n + 1 incognite,tra cui vi e il moltiplicatore lagrangiano λ(t). Quando queste equazioni sono risolte,si ottiene pure la forza di reazione al vincolo λ(t)ai.

Supponiamo ora che il sistema sia sottoposto a ma vincoli anolonomi, il k-esimodei quali valga:

ak1q1 + ak2q2 + · · · + aknqn + ak0 = 0; k = 1, . . . ,ma

ossiaak1dq1 + ak2dq2 + · · · + akndqn + ak0dt = 0 con k = 1, . . . ,ma

Ogni aki puo essere a sua volta funzione delle coordinate generalizzate e del tempo;introduciamo per ciascuno di questi vincoli un moltiplicatore di Lagrange λk(t). Saranecessaria una forza vincolare per far rispettare ciascun vincolo e, come detto sopra,questa avra una forma del tipo

ma∑

k=1

λk(t)aki

per cui la forza generalizzata totale relativa alla i-esima coordinata sara

F toti = Fi +

ma∑

k=1

λk(t)aki

L’equazione di Lagrange relativa alla i-esima coordinata diventa quindi

d

dt

(∂L

∂qi

)

−∂L

∂qi= Fi +

ma∑

k=1

λk(t)aki

che in forma vettoriale diventa

d

dt

(∂L

∂q

)

−∂L

∂q= F + ATλ (71)

dove

A =

a11 . . . a1n

... aij

...ama1 . . . aman

∈ R

ma×n; λ =

λ1

...λma

∈ R

ma×1


Questa equazione insieme alle equazioni di vincolo anolonomo

Aq + a0 = 0

costituiscono un sistema di n+ma equazioni in n+ma incognite, che deve essere risoltosimultaneamente per ricavare le n coordinate generalizzate q e gli ma lagrangiani λ.Successivamente sara possibile ricavarsi le ma forze di vincolo come

Fv = ATλ.

Si puo notare che questo metodo puo essere usato anche per trovare le forze deimo vincoli olonomi, che si esprimono come

fk(q) = 0, k = 1, . . . ,mo

ponendo

A =

∂f1

∂q1

. . .∂f1

∂qn...

∂fi

∂qj

...

∂fmo

∂q1

. . .∂fmo

∂qn

; e a0 =

∂f1

∂t...

∂fmo

∂t

6.6 Equazioni differenziali risultanti

Avendo definito l’insieme delle coordinate generalizzate q(t) ∈ Rn e delle rispettive

velocita generalizzate q(t) ∈ Rn, nell’ipotesi che i vincoli siano tutti olonomi, abbiamo

visto che il metodo di Lagrange porta a scrivere n equazioni differenziali del tipo

d

dt

(∂C∗

∂qi

)

−∂C∗

∂qi= Fi i = 1, . . . , n

Sappiamo ched

dt

(∂C∗

∂qi

)

fara apparire nelle equazioni termini proporzionali al-

le derivate seconde q(t) e analogamente saranno presenti termini proporzionali allederivate prime q(t) e alle coordinate q(t).

In conclusione, raccogliendo le n equazioni in un’unica equazione vettoriale, po-tremo avere equazioni lineari o non lineari, come nel caso dei manipolatori robotici.

Nel caso di equazioni lineari o per piccole perturbazioni delle coordinate genera-lizzate intorno a posizioni di equilibrio, avremo una formulazione lineare, che nel casopiu generale assume la forma seguente

A1q(t) + A2q(t) + A3q(t) = F (72)

dove F e il vettore delle forze generalizzate.Le tre matrici Ai ∈ R

n×n avranno significati diversi in relazione ai diversi pro-blemi affrontati; alcuni problemi saranno modellabili con matrici i cui elementi sonofunzione delle coordinate o delle velocita generalizzate; in altri casi queste matrici po-trebbero essere costanti. Gli eventuali termini dovuti al campo gravitazionale possono


apparire nel lato sinistro dell’equazione, ed allora si dovra aggiungere un vettore co-lonna g(q(t)) al termine A3q(t). Possiamo anche supporre che i termini gravitazionalisiano inclusi tra le F al secondo termine dell’equazione.

Considerando che una delle proprieta basilari delle matrici quadrate consente didecomporre la generica A ∈ R

n×n nel modo seguente

A = As + Aas

dove As e una matrice simmetrica As = AT

s e Aas e una matrice antisimmetricaAas = −AT

as.Possiamo dunque riscrivere la (72) nel modo seguente

Mq(t) + (D + G)q(t) + (K + H)q(t) = F (73)

doveM = MT matrice di massa o inerzia, sempre simmetrica

D = DT matrice di smorzamento viscoso

G = −GT matrice giroscopica

K = KT matrice di rigidezza o di elasticita

H = −HT matrice circolatoria (smorzamento vincolato)

(74)

Alcune di queste matrici possono a loro volta essere funzione delle coordinate o dellevelocita generalizzate, come per le catene cinematiche dei robot, in cui M = M(q(t))

Non tutti questi termini sono sempre presenti nelle equazioni di sistemi multicorpo.I casi piu comuni sono:

1. I cosiddetti sistemi conservativi per i quali si ha l’equazione dinamica seguente

Mq(t) + Kq(t) = F

dove M e K sono, oltre che simmetriche, anche definite positive.

2. I sistemi per cui si ha

Mq(t) + Gq(t) + Kq(t) = F

Essi sono sempre conservativi, nel senso che l’energia viene conservata, ma ven-gono chiamati sistemi conservativi giroscopici oppure sistemi giroscopici nonsmorzati. Questi comportamenti nascono nei casi in cui si abbiano moti dirotazione, come nei giroscopi o nei satelliti.

3. Sistemi della formaMq(t) + Dq(t) + Kq(t) = F

dove M , D e K sono, oltre che simmetriche, anche definite positive, vengonodefiniti sistemi non giroscopici smorzati e talvolta sistemi conservativi smorzati,anche se non conservano l’energia che viene dissipata nell’attrito viscoso. Siste-mi con matrici simmetriche definite positive vengono talora chiamati sistemipassivi ; vedremo piu avanti una definizione piu precisa di tali sistemi.


4. Sistemi della formaMq(t) + (K + H)q(t) = F

sono detti sistemi circolatori.

5. I sistemi di forma piu generale

Mq(t) + Dq(t) + (K + H)q(t) = F

si ottengono spesso nel modellare alberi rotanti dove esiste una funzione didissipazione detta constraint damping, oltre che la consueta dissipazione dovutaa fenomeni esterni.

Nel caso di catene cinematiche composte da n bracci rigidi, come sono i robot indu-striali, si ha un equazione matriciale non lineare del tipo

M(q(t))q(t) + C(q(t), q(t))q(t) + g(q(t)) = F (75)

dove M(q(t)) e la matrice di massa o di inerzia della catena cinematica, funzionedella configurazione istantanea della stessa, C(q(t), q(t))q(t) rappresenta le coppie diCoriolis e g(q(t)) rappresenta le coppie gravitazionali.

7 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromagne-

tici

Le equazioni di Lagrange possono essere applicate anche ai sistemi elettromagnetici,a condizione di individuare correttamente le coordinate e le velocita generalizzate,come pure le energie cinetica e potenziale dei vari elementi che compongono questisistemi.

Va subito detto che nei sistemi elettromagnetici tutti i vincoli sono di tipo olonomoe quindi non e necessario introdurre i moltiplicatori di Lagrange descritti al Paragrafo6.5.

L’analogo di un sistema multicorpo e una struttura circuitale che connette tra lorodiverse componenti elementari di tipo elettrico o magnetico, passive o attive.

Le leggi fondamentali che permettono di descrivere la dinamica di un sistemaelettromagnetico sono essenzialmente le equazioni di Kirchhoff ai nodi o alle maglie,che possono essere viste come l’analogo delle equazioni di Newton e di Eulero per ilcorpo rigido.

7.1 Componenti elementari di un sistema elettromagnetico

Distingueremo tra elementi passivi (che non generano energia) ed elementi attivi(che, utilizzando sorgenti esterne o altre forme di energia, possono produrre energiaelettrica).

7.1.1 Elementi passivi nei circuiti elettrici

Gli elementi passivi di un circuito elettrico sono l’induttore, il condensatore e ilresistore.


Induttore L’induttore e uno speciale circuito magnetico, che sfrutta la legge diLenz dell’auto-induzione. Allo scopo di definire meglio il concetto, introduciamo ilcaso generale, schematizzato in Fig. 3.

L’intensita del campo magnetico H e la densita di flusso magnetico B soddisfanole due equazioni seguenti

rotH = ∇× H = J (76)

edivB = ∇ · B = 0 (77)

dove J e la densita di corrente negli avvolgimenti. La relazione tra i due campivettoriali e data da

B = µH

dove µ e la permeabilita magnetica, una costante che dipende dal materiale del circuitomagnetico, secondo la seguente relazione

µ = (1 + χm)µ0

in cui µ0 e la permeabilita magnetica dell’aria.Il circuito magnetico ha una lunghezza pari a ` + h e una sezione costante pari a

S. Esso presenta un piccolo traferro in aria di lunghezza h; gli avvolgimenti sono innumero di N e in essi scorre la corrente i.

Integrando la (76) otteniamo

∮

H · dσ = Ni = F (78)

dove abbiamo introdotto la forza magnetomotrice F = Ni; dσ e la lunghezza diffe-renziale tangente al cammino di integrazione, che e indicato con la linea tratteggiatanella Fig. 3. Il flusso magnetico Φ vale

Φ = BS.

avendo indicato ‖B‖ = B.Il materiale magnetico ha una permeabilita µ molto maggiore di quella dell’aria e

il flusso Φ segue il cammino chiuso indicato dalla linea tratteggiata, la cui lunghezzavale ` + h, essendo ` la lunghezza del percorso nel materiale magnetico.

L’equazione (77) significa che il flusso Φ e lo stesso per ogni sezione del circuitomagnetico e del traferro in aria.

Quindi siamo in presenza di un circuito magnetico in cui una forza magnetomotriceNi genera nel circuito un flusso magnetico Φ. Il campo H ha un’intensita diversa

nel materiale magnetico e nel traferro: nel primo caso vale Hm =B

µ, nel secondo

Ha =B

µ0

. Utilizzando la (78), avremo

Ni = Hm` + Hah =

(`

µ+

h

µ0

)

B =

(`

µ+

h

µ0

)Φ

S


Il circuito magnetico possiede una riluttanza magnetica R definita dal rapportotra forza magnetomotrice e flusso, ossia

Ni = RΦ (79)

dove possiamo calcolare la riluttanza come

1

S

(`

µ+

h

µ0

)

≈h

µ0S

essendo µ0 ¿ µ.Definiamo ora il flusso concatenato come

λ = NΦ

e, dalla (79) avremo

λ =N2i

R= λ(i)

Nei casi lineari, il circuito e schematizzabile come in Fig. 4 e il flusso concatenatoe proporzionale alla corrente

λ(t) = Li(t)

e la costante

L =µ0N

2S

h

prende il nome di (auto-)induttanza del bipolo.Ai capi del bipolo si instaura una differenza di potenziale e che vale

e(t) =dλ(i)

dte, nei casi lineari e(t) = L

di(t)

dt

Figura 3: circuito magnetico ideale.


L

i(t)

e(t)

+

–

Wm*

(8,i)

Wm

a) b)8(t)

i(t)

L

i(t)

e(t)

+

–

Wm*

(8,i)

Wm

a) b)8(t)

i(t)

Figura 4: a) induttore ideale; b) relazione tra corrente i(t) e flusso concatenato λ(t)nel capacitore.

Capacitore Il condensatore, illustrato in Fig. 5, e un bipolo passivo in cui la diffe-renza di potenziale e(t) e funzione della carica elettrica accumulata q(t), secondo larelazione

e = e(q(t));

o viceversaq = q(e(t)).

Nei casi lineari si haq(t) = Ce(t)

oppure

e(t) =1

Cq(t)

e la costante C prende il nome di capacita del bipolo.Attraverso il bipolo passa una corrente i che vale

i(t) =dq(e)

dte, nei casi lineari i(t) = C

de(t)

dt

Resistore Il resistore, illustrato in Fig. 6, e un bipolo passivo di tipo puramentedissipativo in cui la legge che lega la tensione ai capi con la corrente che lo percorree data dalla relazione

e(t) = R(i(t))

Se il resistore e lineare, tale legge diventa la legge di Ohm

e(t) = Ri(t)

e il parametro R viene detto resistenza.


C

i(t)

e(t)

+

–q(t)

We*

(q,e)

We

a) b) q(t)

e(t)

C

i(t)

e(t)

+

–q(t)

We*

(q,e)

We

a) b) q(t)

e(t)

Figura 5: a) capacitore ideale; b) relazione tra tensione e(t) e carica q(t) nel capacitore.

R

i(t)

e(t)

+

–a) b)

e(t)

i(t)

R

i(t)

e(t)

+

–a) b)

e(t)

i(t)

Figura 6: a) resistore ideale; b) relazione tra corrente i(t) e tensione e(t) nel resistore.

7.1.2 Elementi attivi nei circuiti elettrici

Gli elementi attivi sono il generatore ideale di tensione, il generatore ideale di correntee l’amplificatore operazionale. Questi elementi sono in grado di creare potenza elet-trica P (t) = e(t)i(t) ed erogarla agli elementi passivi. Convenzionalmente si assumepositiva la potenza uscente dai generatori ideali e entrante negli elementi passivi

Generatore ideale di corrente (illustrato in Fig. 7) e un elemento attivo chefornisce una corrente I(t) indipendentemente dalla tensione ai suoi capi.

La potenza erogata valeP (t) = I(t)e(t).

Generatore ideale di tensione (illustrato in Fig. 8) e un elemento attivo chefornisce una differenza di potenziale E(t) ai suoi capi indipendentemente dalla correnteerogata.


e(t)

I(t)+

–

e(t)

I(t)+

–

Figura 7: generatore ideale di corrente.

La potenza erogata valeP (t) = i(t)E(t).

E(t)

i(t)+

–

E(t)

i(t)+

–

Figura 8: generatore ideale di tensione.

Amplificatore operazionale (illustrato in Fig. 9) e un elemento attivo che forniscein uscita una tensione e0(t) proporzionale alla differenza delle tensioni in ingresso

e0(t) = A(e+ − e−)

dove A e detta costante di amplificazione.La potenza erogata vale

P (t) = i0(t)e0(t).


e–(t)

i–(t)

i+(t)

e+(t)

i0(t)

e0(t)=A(e+- e–)

e–(t)

i–(t)

i+(t)

e+(t)

i0(t)

e0(t)=A(e+- e–)

Figura 9: amplificatore ideale.

7.2 Coordinate generalizzate

Per definire le coordinate e le velocita generalizzate nei circuiti elettromagnetici sonopossibili due scelte: esse sono chiamate, rispettivamente, formulazione nelle variabilidi carica, o formulazione in serie, e formulazione nelle variabili di flusso concatenato,o formulazione in parallelo; nel primo caso avremo variabili generalizzate di carica,nel secondo variabili generalizzate di flusso concatenato.

Coordinate generalizzate di carica (vedi Fig. 10). Le coordinate generalizzatesono individuate dalle cariche q(t) sui condensatori, mentre le velocita generalizzatesono le correnti nei condensatori

i(t) =dq(t)

dt.

La tensione ai capi del condensatore (lineare) vale

e(t) =1

Cq(t)

Figura 10: coordinata generalizzata = carica sul condensatore (formulazione serie).


Coordinate generalizzate di flusso concatenato (vedi Fig. 11). Le coordinategeneralizzate sono individuate dai flussi concatenati λ(t) negli induttori, mentre levelocita generalizzate sono le tensioni ai capi degli induttori

e(t) =dλ(t)

dt.

La corrente nel induttore (lineare) vale

i(t) =1

Lλ(t)

Figura 11: coordinata generalizzata = flusso concatenato nell’induttore (formulazioneparallelo).

7.3 Energie e coenergie

A seconda della formulazione utilizzata, avremo energie cinetiche e potenziali diverse;in particolare, essendo la potenza in un bipolo il prodotto della tensione per la correnteP (t) = i(t)e(t), l’energia e il lavoro si esprimono come

W =

∫ t

0

P (t)dt =

∫ t

0

e(t)i(t)dt

7.3.1 Coordinate generalizzate di carica

Se consideriamo le coordinate generalizzate di carica, l’energia elettrostatica imma-gazzinata in un elemento capacitivo sara

Wc(q) =

∫ t

0

e idt =

∫ q

0

edq

Tuttavia se vogliamo descrivere l’energia in funzione della tensione, e opportuno intro-durre la coenergia W ∗

c (q); questa non ha un chiaro significato fisico, come invece avevanel caso meccanico, ma e utile per calcolare le energie nell’equazione di Lagrange.

La coenergia W ∗c (e) viene definita come W ∗

c (e) = qe−Wc(q) e quindi, considerandola Fig. 5b),

W ∗

c (e) =

∫ e

0

q(e)de


Il differenziale dell’energia vale

dWc(q) = e dq

mentre il differenziale della coenergia risulta essere

dW ∗

c (e) = q de

da cui∂Wc(q)

∂q= e e

∂W ∗c (e)

∂e= q

Se il condensatore e lineare q(e) = Ce e la capacita C e costante, allora

W ∗

c (e) =

∫ e

0

q(e)de =

∫ e

0

Ce de =1

2Ce2

mentre

Wc(q) =

∫ q

0

e(q)dq =

∫ q

0

q

Cdq =

1

2

q2

C

In questo caso l’energia e la coenergia elettrostatica sono uguali e la curva caratteri-stica di Fig. 5b) risulta essere una retta.

7.3.2 Coordinate generalizzate di flusso

Se consideriamo le coordinate generalizzate di flusso, l’energia magnetica immagazzi-nata in un elemento induttivo sara

Wm(λ) =

∫ t

0

i edt =

∫ λ

0

idλ

Tuttavia se vogliamo descrivere l’energia in funzione della corrente, e opportuno intro-durre la coenergia W ∗

m(q); questa non ha un chiaro significato fisico, come invece avevanel caso meccanico, ma e utile per calcolare le energie nell’equazione di Lagrange.

La coenergia W ∗m(λ) viene definita come W ∗

m(i) = iλ − Wm(λ) e quindi, conside-rando la Fig. 4b),

W ∗

m(i) =

∫ i

0

λ(i)di

Il differenziale dell’energia vale

dWm(λ) = i dλ

mentre il differenziale della coenergia risulta essere

dW ∗

m(i) = λ di

da cui∂Wm(λ)

∂λ= i e

∂W ∗m(i)

∂i= λ


Se l’induttore e lineare λ(i) = Li e l’(auto-)induttanza L e costante, allora

W ∗

m(i) =

∫ i

0

λ(i)di =

∫ i

0

Li di =1

2Li2

mentre

Wm(λ) =

∫ λ

0

i(λ)dλ =

∫ λ

0

λ

Ldλ =

1

2

λ2

L

In questo caso l’energia e la coenergia magnetica sono uguali e la curva caratteristicadi Fig. 4b) risulta essere una retta.

7.4 Equazioni di Lagrange

Ricordiamo che abbiamo definito l’i-esimo momento generalizzato come

µi =∂L

∂qi

e cheq = i e λ = e

La funzione lagrangiana Le di un sistema elettromagnetico puo assumere due for-mulazioni, a seconda che si usino le coordinate di carica ovvero le coordinate diflusso.

Coordinate generalizzate di carica In questa formulazione abbiamo

Le(q, q) = W ∗

m(q) − Wc(q) (80)

dove l’energia “cinetica” valeCe(q) = W ∗

m(q)

e l’energia “potenziale” valePe(q) = Wc(q)

Coordinate generalizzate di flusso In questa formulazione abbiamo

Le(λ, λ) = W ∗

c (λ) − Wm(λ) (81)

dove l’energia “cinetica” valeCe(λ) = W ∗

c (λ)

e l’energia “potenziale” valePe(λ) = Wm(λ)


7.4.1 Forze generalizzate elettriche

• Quando si usano le coordinate di carica, le forze generalizzate elettriche Ek sonotensioni generalizzate, ricavabili dai generatori ideali di tensione E(t) presentinel circuito. In particolare, ricordando la relazione tra lavoro virtuale e forzegeneralizzate

δW nc =∑

k

Fnck δqk

e ricordando anche che dW =∑

k Pkdt =∑

k ekikdt =∑

k ekdqk, avremo

δW nc =∑

k

Ek(t)δqk =∑

k

Ekδqk

In pratica, per calcolare ogni singola Ek occorre considerare le correnti che at-traversano i generatori ideali di tensione, fare il prodotto tensione·corrente eattribuire ad ogni δqk la somma dei relativi contributi risultanti.

Se sono presenti generatori ideali di corrente, questi non contribuiscono alletensioni generalizzate, ma impongono dei vincoli sulla somma delle correnti neinodi in cui agiscono.

• Quando si usano le coordinate di flusso, le forze generalizzate elettriche Ik sonocorrenti generalizzate, ricavabili dai generatori ideali di corrente I(t) presentinel circuito. In particolare, ricordando la relazione tra lavoro virtuale e forzegeneralizzate

δW nc =∑

k

Fnck δqk

e ricordando anche che dW =∑

k Pkdt =∑

k ikekdt =∑

k ikdλk, avremo

δW nc =∑

k

Ik(t)δλk =∑

k

Ikδλk

In pratica per calcolare ogni singola Ik occorre considerare le tensioni ai capidei generatori ideali di corrente, fare il prodotto tensione·corrente e attribuiread ogni δλk la somma dei relativi contributi risultanti.

Se sono presenti generatori ideali di tensione, questi non contribuiscono allecorrenti generalizzate, ma impongono dei vincoli sulla somma delle tensioninelle maglie in cui agiscono.

7.4.2 Elementi dissipativi

Le resistenze, come detto sopra, rappresentano gli elementi dissipativi nei circuitielettromagnetici.

La funzione di dissipazione, quando la resistenza e lineare, vale

• se si usano le coordinate di carica:

De =1

2

∑

k

Rkq2k =

1

2

∑

k

Rki2k


• se si usano le coordinate di flusso:

De =1

2

∑

k

1

Rkλ2

k =1

2

∑

k

1

Rke2k

dove Rk e la resistenza totale attraversata dalla corrente qk, o ai capi della quale c’ela tensione λk.

7.4.3 Equazioni di Lagrange per le reti elettriche

Dopo aver definito l’insieme delle n coordinate generalizzate, avendo scelto se usare lecoordinate generalizzate di carica oppure di flusso, si scrivono le seguenti n equazionidi Lagrange

d

dt

(∂Le

∂qk

)

−∂Le

∂qk+

∂De

∂qk= Fk (82)

Va fatto osservare che, in generale, se la k-esima coordinata generalizzata coinvol-ge sia induttori, sia condensatori, la corrispondente equazione differenziale sara delsecond’ordine in qk o λk:

Zq(t) + Rq(t) + Qq(t) = E(t)

oppure

Aλ(t) + Cλ(t) + Λλ(t) = I(t)

in caso contrario apparira un’equazione differenziale del prim’ordine oppure di ordinezero, ossia un’equazione puramente algebrica, come avviene quando nel circuito sonopresenti solo elementi resistivi.

Spesso, dopo aver ricavato le equazioni nella loro forma originale, risulta piu age-vole riscriverle in funzione delle velocita generalizzate qk = ik oppure λk = ek, percui si ottengono equazioni miste dove compaiono derivate e integrali; se si definisce latensione ai capi di un condensatore

vCk =

∫1

Ckqk dt

o la corrente entro un induttore

iLk =

∫1

Lkλk dt

allora le equazioni diventano

Zd

dti(t) + Ri(t) + QvC(t) = E(t)

oppure

Ad

dte(t) + Ce(t) + ΛiL(t) = I(t)


7.5 Analogie elettriche

E ora possibile riassumere in una tabella le analogie tra grandezze elettriche e gran-dezze meccaniche, che permettono di interpretare le quantita di un ambito con quelledell’altro. Cosı l’ingegnere meccanico avra piu facilita a rappresentarsi le grandezzee le forze elettriche e viceversa per l’ingegnere elettronico.

Ricordiamo che la potenza, in generale, e il prodotto di una variabile detta “sfor-zo” s e di una variabile detta “flusso” (da non confondere con il flusso del campomagnetico) φ

P = sφ

tali variabili sono state anch’esse indicate nella Tabella seguente:

q q s φ µ C P D F

traslazione x x f = mx x mx1

2mx2 1

2kl∆x2 1

2βlx

2 f

rotazione θ θ τ = Γ θ θ Γ θ1

2Γ θ2 1

2ka∆θ2 1

2βaθ2 τ

carica q i e = Lq q = i Li = λ1

2Li2

1

2Cq2 1

2Rq2 E

flusso λ e i = Cλ λ = e Ce = q1

2Ce2 1

2Lλ2 1

2Rλ2 I

Tabella 1: Tabella delle analogie elettro-meccaniche, nel caso di elementi ideali elineari.

8 Equazioni di Lagrange per sistemi elettro-meccanici

Il lagrangiano di un sistema che comprenda parti meccaniche e parti elettriche e lasomma dei lagrangiani dei sottosistemi.

Supponiamo di aver scelto come coordinate generalizzate elettriche le cariche qe

e per il sistema meccanico gli spostamenti (lineari e/o angolari) qm, avremo comecoordinate generalizzate totali e forze generalizzate totali le seguenti

q =

(qm

qe

)

F =

(Fm

Fe

)

L’energia cinetica sara

C∗(q, q) = C∗

m(qm, qm) + W ∗

m(qe, qm)

e l’energia potenziale sara

P(q) = Pm(qm) + Wc(qe, qm)


Si puo osservare come l’energia cinetica della parte elettrica sia influenzata anche dallecoordinate generalizzate meccaniche, avendo scritto W ∗

m(qe, qm), e lo stesso avvengaper l’energia potenziale elettrica, che viene indicata con Wc(qe, qm)

Il lagrangiano risulta alla fine essere

L(q, q) = C∗(q, q) − P(q)

Ne segue l’espressione della dinamica complessiva

d

dt

(∂L

∂qm

)

−∂L

∂qm

= Fm i = 1, . . . , nm

d

dt

(∂L

∂qe

)

−∂L

∂qe

= Fe i = 1, . . . , ne

Queste espressioni possono essere ulteriormente sviluppate nelle due seguenti

d

dt

(∂C∗

m(qm, qm)

∂qm

)T

−

(∂C∗

m(qm, qm)

∂qm

)T

−

(∂W ∗

m(qe, qm)

∂qm

)T

(83)

+

(∂Pm(qm)

∂qm

)T

+

(∂Wc(qe, qm)

∂qm

)T

= Fm

ed

dt

(∂W ∗

m(qe, qm)

∂qe

)T

+

(∂Wc(qe, qm)

∂qe

)T

= Fe (84)

dove∂W ∗

m(qe, qm)

∂qm

e la variazione della coenergia (cinetica) magnetica dovuta ad una variazione dellecoordinate meccaniche e

∂Wc(qe, qm)

∂qm

e la variazione dell’energia (potenziale) capacitiva dovuta ad una variazione dellecoordinate meccaniche.

8.1 Equazioni di stato

In questo e nel successivo Paragrafo prenderemo in considerazione il modello dinamicodi un robot antropomorfo composto da n = 6 bracci.

Le equazioni dinamiche risultanti sono del second’ordine e si scrivono in formavettoriale come

H(q)q(t) + C(q, q)q(t) + g(q) = τ (85)

E possibile ottenere le equazioni di stato scegliendo come vettore di stato x(t) lecoordinate (angolari) e le velocita generalizzate:

x(t) =

(x1(t)x2(t)

)

=

(q(t)q(t)

)

(86)


Il sistema dinamico risultante sara non lineare, avente come ingressi le coppie applicateτ . Le uscite potranno essere le velocita angolari dei giunti q e/o le posizioni angolariq degli stessi, ma, per ora, non e importante specificarle.

Il sistema risulta descritto dalle seguenti equazioni di stato:

x1(t) = x2(t)

x2(t) = −H−1(x1) [C(x1,x2)x2(t) + g(x1)] + H−1(x1)τ (t)(87)

che possiamo riscrivere in forma matriciale

x(t) = A(x) + B(x)u(t) (88)

dove

A(x) =

(x2(t)

−H−1(x1) [C(x1,x2)x2(t) + g(x1)]

)

B(x) =

(O

H−1(x1)

) (89)

8.2 Linearizzazione approssimata

Talvolta e necessario poter scrivere le equazioni di stato in forma lineare, ad esempioquando si vuole usare un modello lineare del manipolatore per progettarne il controllocon le tecniche classiche delle funzioni di trasferimento.

Consideriamo che nei robot industriali si usano comunemente dei motoriduttoriai giunti, con lo scopo di alzare la coppia resa e diminuire nel contempo le velocitaangolari. In questi casi la coppia dovuta alle inerzie dipendenti dalla configurazione siriduce proporzionalmente al quadrato del rapporto r ≥ 1 dei motoriduttori. Il doppioeffetto di basse velocita angolari e (quasi) trascurabile influenza sulla matrice H dellaconfigurazione del robot, portano ad ipotizzare la matrice d’inerzia H(q) diagonale eindipendente da q

H(q) = H =

H11 0 0 00 H22 0 0

0 0. . . 0

0 0 0 Hnn

(90)

Anche le hijk risultano approssimativamente nulle, per cui l’equazione (85) si riducealla seguente:

Hq(t) + g(q) = τ (91)

In questo caso particolare, l’equazione di stato diventa lineare:(

x1(t)x2(t)

)

=

(O I

O O

)(x1(t)x2(t)

)

+

(O

H−1

)

(τ − g(x1)) (92)

Il sistema modellato dalla (92) rappresenta un parallelo di n doppi integratori coman-dato dall’ingresso τ−g(x1) variabile in funzione della configurazione del manipolatore.La parte dinamica del modello e ora lineare, a parte l’influenza della gravita, che puoessere compensata con altre tecniche; percio possiamo ora progettare un controllomolto piu facilmente che non utilizzando come modello l’equazione completa (85).


9 Passivita

Il concetto di passivita e molto utile per l’analisi e la sintesi di sistemi di controllo.Se un sistema e composto da una connessione in parallelo o in retroazione di siste-mi passivi, allora il sistema complessivo sara anch’esso passivo e non dara luogo agenerazione di energia.

Un’applicazione pratica del concetto di passivita e l’analisi della stabilita di sistemiinterconnessi, siano essi lineari o non lineari, dove la passivita viene vista come un’e-stensione dell’approccio alla Lyapunov, nel senso che i risultati ottenibili dall’approc-cio alla Lyapunov possono essere dedotti dalle proprieta di passivita dei sotto-sistemiindividuali che compongono il sistema complessivo.

Dato un generico sistema non lineare che trasforma n ingressi u(t) in n uscite y(t),valgono le seguenti definizioni

Passivita: un sistema definito dalla relazione ingresso-uscita

y(t) = h(u(t), t)

e passivo se esiste una costante E0 ≥ 0 tale che:

T∫

0

yT(t)u(t) dt ≥ −E0 ∀u, ∀T ≥ 0 (93)

Alcuni commenti:

• la definizione si basa sulla descrizione ingresso-uscita: non si fa riferimento allostato interno;

• la passivita e una proprieta che dipende intrinsecamente dalla presenza di certiingressi e certe uscite, ossia essa e definita relativamente a certe scelte fatte;un sistema puo essere passivo con certi ingressi/uscite, ma non esserlo con unascelta diversa;

• la definizione vale per sistemi lineari e non lineari, tempo-invarianti o tempo-varianti;

• se il sistema e passivo con ingressi u e uscite y e passivo anche con ingressi y euscite u.

Possiamo pensare alla passivita come qualcosa di legato al bilancio energetico;in particolare alla conservazione dell’energia. Supponendo che il prodotto u(t)y(t)abbia le dimensioni di una potenza, allora

∫u(t)y(t)dt e l’energia fornita al sistema

dall’ingresso (di controllo) u(t). Possiamo fare le seguenti osservazioni:

• se∫ T

0u(t)y(t)dt ≥ 0 per tutte le u e ogni T ≥ 0, l’energia e assorbita dal sistema

ed esso non puo fornire energia all’esterno. Esso e passivo secondo la definizione(93).

• Se esiste una E0 > 0 tale per cui l’integrale∫ T

0u(t)y(t)dt ≥ −E0 per tutte le

u e ogni T ≥ 0, allora il sistema puo fornire una certa energia all’esterno. Tale


energia sara quella dovuta alle condizioni iniziali, ossia quella contenuta nell’e-lemento all’istante t = 0. Per i sistemi meccanici si tratta dell’energia elasticaimmagazzinata nelle molle o l’energia di posizione in un campo gravitaziona-le; per i sistemi elettrici si tratta dell’energia elettrostatica immagazzinata neicondensatori e dell’energia magnetica immagazzinata negli induttori. Secondola definizione (9) il sistema e ancora passivo perche non puo produrre energia,ma soltanto restituire quella immagazzinata.

• Se e e possibile trovare una funzione di ingresso/comando che faccia tendere

l’integrale∫ T

0u(t)y(t)dt a −∞ per qualche T ≥ 0, allora cio significa che il

sistema puo fornire una quantita illimitata di energia all’esterno, e cio puoaccadere solo se esiste al suo interno un inesauribile fonte di energia. In talicasi il sistema non e passivo.

Ricordiamo che, dato un sistema dinamico anche non lineare, si puo definire lafunzione di trasferimento (fdt) ingresso-uscita, che puo essere razionale fratta (persistemi dinamici lineari) o non razionale.

Esiste un legame tra passivita e proprieta della fdt: un sistema e passivo se e solose la fdt e reale positiva.

9.1 Fdt reali positive

Definizione 1 Una funzione di trasferimento razionale o irrazionale H(s), con s =σ + jω, e reale positiva se:

1. H(s) e analitica2 in tutto il semipiano reale: <(s) > 0;

2. H(s) e reale per ogni s reale e positivo (σ > 0 e ω = 0);

3. <(H(s)) ≥ 0 per ogni <(s) > 0;

Esaminiamo ora il caso di fdt razionali fratte: e opportuno analizzare le proprietadell fdt lungo l’asse immaginario, ossia di H(jω); in questo modo sara piu facileverificare se la fdt e reale positiva. Supponiamo dunque che la fdt H(s) sia razionalefratta.

Il punto 1 della Definizione 1 (l’analiticita) implica che non vi siano singola-rita=poli nel semipiano di destra. Si puo anche affermare, senza dimostrarlo, che<(H(jω)) ≥ 0 purche jω non sia un polo di H(s). Questi argomenti conducono astabilire quanto segue:

Definizione 2 La funzione razionale fratta H(s) e reale positiva se e solo se:

1. tutti i poli di H(s) hanno parte reale minore o uguale a zero;

2. <(H(jω)) ≥ 0 per tutte le ω per cui jω non e un polo di H(s);

2una funzione e analitica in una data regione se essa e definita e continua in quella regione; i puntiper cui cessa di essere analitica si chiamano singolarita della funzione. In una funzione razionale, lesingolarita si chiamano poli


3. Se jω0 e un polo di H(s), allora e un polo semplice e

Ress=jω0= lim

s→jω0

(s − jω0)H(s)

e reale positivo.

Se H(s) ha un polo ad ∞, allora e un polo semplice e

R∞ = limω→∞

H(jω)

jω

esiste ed e reale positivo

Passivita e fdt reali positive E ora possibile stabilire il seguente risultato:

un sistema lineare tempo-invariante con ingresso u e uscita y, descritto dallarelazione ingresso-uscita y(s) = H(s)u(s) e passivo se e solo se la fdt H(s) e reale

positiva.

9.2 Stabilita in anello chiuso di sistemi positivi reali

La proprieta di passivita puo venire distrutta da una legge di controllo non appro-priata. Esiste una classe di leggi di controllo (adattative e non) che garantisce diconservare la proprieta di passivita ad anello chiuso e conseguentemente assicural’asintotica stabilita del sistema.

Sistemi in retroazione formati da sottosistemi passivi possono essere analizzati dalpunto di vista della stabilita usando le proprieta di passivita viste sopra.

Ipotizziamo che il sistema sia passivo e che la relazione tra ingresso u e uscita y

valgay(s) = H(s)u(s)

Allora la fdt H(s) risultera reale positiva per la passivita del sistema. Supponiamoaltresı che l’ingresso sia generato da un controllore

u(s) = C(s)[yd(s) − y(s)]

e che C(s) sia reale positivo. La funzione d’anello sara L(s) = C(s)H(s). Le duefunzioni C(s) e H(s), essendo reali positive, non hanno poli a destra dell’asse im-maginario e analogamente la fase di C(jω) e H(jω) sara minore o uguale a 90◦. Cioimplica che la fase di L(s) sara inferiore a −180◦, ovvero essa e almeno marginalmentestabile.

9.3 Funzioni di accumulo

La passivita di un sistema puo essere descritta usando delle funzioni che sono stret-tamente collegate alle funzioni energia e alle funzioni di Lyapunov3. Tali funzionivengono chiamate funzioni di accumulo, in inglese storage functions.

3Si da per scontato che il lettore abbia qualche conoscenza delle funzioni di Lyapunov dai corsidi base di Teoria dei Sistemi, Fondamenti di Automatica o Controlli Automatici.


Consideriamo, per fissare le idee, il seguente sistema dinamico non lineare

x = f(x,u)y = g(x)

(94)

Ipotizziamo l’esistenza di una funzione di accumulo V (x) ≥ 0 e di una funzione didissipazione d(x) ≥ 0; entrambe sono delle funzioni di stato, come le funzioni energia,perche dipendono solo dallo stato attuale del sistema e non dalla sua storia precedente.

Se la derivata nel tempo di V , calcolata lungo le traiettorie (soluzioni) del sistema(94) soddisfa la relazione seguente

V =∂V

∂x· x =

∂V

∂x· f(x,u) ≤ uTy − d(x)

allora il sistema (94) e passivo. Sottolineiamo che la condizione e solo sufficiente, manon necessaria.

Il risultato e facilmente dimostrabile in quanto

∫ T

0

uTydt =

∫ T

0

[V + d(x)] dt

= V (T ) − V (0) +

∫ T

0

d(x) dt

≥ −V (0)

(95)

che ci riporta alla definizione di sistema passivo.

9.4 Algoritmi numerici per il calcolo della dinamica diretta e

inversa

A conclusione di queste brevi note possiamo concludere che le equazioni di Newton-Eulero sono piu difficili e laboriose da impostare e risolvere manualmente, mentre leequazioni di Lagrange sono piu semplici e mettono in luce alcuni aspetti energeticiutili per il progetto di controllori che conservino la passivita.

Tuttavia, da un punto di vista numerico, le cose stanno esattamente all’opposto:le equazioni di Newton-Eulero, se impostate in modo ricorsivo, generano algoritminumerici a complessita computazionale minore.

Consideriamo brevemente il problema, facendo sempre riferimento all’equazione(85).

Date le coppie di ingresso τ (t) e possibile, mediante l’integrazione delle equazionidifferenziali (85), calcolare le coordinate giunto q(t); questo problema prende il nomedi dinamica diretta.

Il problema inverso, denominato dinamica inversa consiste invece nel ricavare lecoppie ai giunti τ (t) a partire dalle coordinate giunto q(t) e dalle sue derivate primeq(t) e seconde q(t).

La dinamica diretta e utile per simulare il comportamento del manipolatore apartire dagli ingressi, mentre la dinamica inversa permette di calcolare le coppie dicomando a partire da configurazioni ai giunti desiderate.


Ricordiamo a questo proposito che il modello di un manipolatore industriale eformato da n equazioni differenziali del tipo:

τi =n∑

j=1

Hij(q)qj+n∑

j=1

n∑

k=1

hijk(q)qj qk + gi(q) (96)

dove i termini Hij , hijk e gi sono dipendenti dalla configurazione q, come indicato; perottenerli occorre eseguire un elevato numero di calcoli, che aumenta rapidamente conl’aumentare dei gradi di liberta n. Si puo dimostrare che il numero di moltiplicazionie proporzionale a n4, ovvero che la complessita e O(n4). Per un particolare robot a 6gradi di liberta e stato calcolato che l’approccio attraverso le equazioni di Lagrangerichiede ad ogni passo l’esecuzione di 66271 moltiplicazioni.

Sono stati percio introdotti alcuni algoritmi che riducono la complessita del pro-blema; tra questi si accenna qui brevemente all’algoritmo di Luh, Walker e Paul, cheil lettore puo ritrovare dettagliatamente descritto in [7].

Esso consiste in un procedimento ricorsivo in due tempi, dove, attraverso le equa-zioni della cinematica, si calcolano velocita e accelerazioni lineari e angolari del centrodi massa di ogni giunto, partendo dalla base fino a giungere al giunto piu esterno.

A questo punto, considerando anche le eventuali forze generalizzate applicateall’estremita e le forze gravitazionali, si ritorna indietro verso la base, calcolandoricorsivamente le coppie ad ogni giunto.

In particolare, se indichiamo

• con ω`k la velocita angolare, con α`

k l’accelerazione angolare e con a`k l’accele-

razione lineare del giunto k nel riferimento R` solidale al braccio `;

• con Rkk−1 la matrice di trasformazione da Rk−1 a Rk;

• con d`k−1,k la traslazione dall’origine di Rk−1 all’origine di Rk, rappresentata

in R`;

• con d`k−1,kc

la traslazione dall’origine di Rk−1 al centro di massa del braccio k,rappresentata in R`;

• con f `k−1,k le forze vincolari trasmesse dal braccio k − 1 al braccio k, rappre-

sentate in R`;

• con τ `k−1,k i momenti vincolari trasmessi dal braccio k − 1 al braccio k, rappre-

sentati in R`;

• con F `k,c la forza risultante sul braccio k, con linea d’azione attraverso il centro

di massa del braccio k, rappresentata in R`;

• con T `kc il momento risultante sul braccio k, pari al momento rispetto al centro

di massa del braccio k, rappresentato in R`;

• con Γ`k/c la matrice d’inerzia del braccio k rispetto al centro di massa di

quest’ultimo, rappresentata in R`;

• con mk la massa del braccio k;


• con k =(0 0 1

)T

;

e ricordiamo che dkk,kc

= dkk−1,kc

− dkk−1,k e che dk

k,kc, dk

k−1,kc, dk

k−1,k sono costantiin Rk, possiamo realizzare un algoritmo ricorsivo che, peer un manipolatore con soli

giunti rotoidali, e composto dai seguenti passi:

inizializzazione si pone ω00 = 0, α0

0 = 0 e a00 = −g0, dove g0 e l’accelerazione del

campo gravitazionale.

ricorsione in avanti (k = 1, . . . , 6)

ωkk = Rk

k−1(ωk−1k−1 + θkk) (97)

αkk = Rk

k−1(αk−1k−1 + S(ωk−1

k−1)θkk + θkk) (98)

akk = Rk

k−1ak−1k−1 + S(αk

k)dkk−1,k + S(ωk

k)S(ωkk)dk

k−1,k (99)

calcolo delle equazioni del moto relative al centro di massa (k = 1, . . . , 6)

F kkc = mk[ak

k + S(αkk)dk

k,kcS(ωk

k)S(ωkk)dk

k,kc] (100)

T kkc = Γ

kk/cα

kk + S(ωk

k)Γ kk/cω

kk (101)

ricorsione all’indietro (k = 5, . . . , 0)

fkk−1,k = Rk+1

k fk+1k,k+1 + F k

kc (102)

τ kk−1,k = Rk+1

k τ k+1k,k+1 + S(dk

k−1,k)Rk+1k fk+1

k,k+1 (103)

+ S(dkk−1,kc

)F kkc + T k

kc (104)

calcolo delle coppie motrici

τk = kTRk−1k τ k

k−1,k

L’algoritmo richiede 117n − 24 moltiplicazioni e 103n − 21 addizioni, che per unmanipolatore con n = 6 porta a 678 moltiplicazioni e 597 addizioni.

Riferimenti bibliografici

[1] B. Bona, Modellistica dei Roobot Industriali, CELID, Torino, 2002.

[2] O. Egeland, J.T. Gravdahl, Modeling and Simulation for Automatic Control,Marine Cybernetics, Trondheim, 2002.

[3] C. Ferraresi, T. Raparelli, Appunti di Meccanica Applicata, C.L.U.T. Editrice,1992.

[4] H. Goldstein, Classical Mechanics, seconda edizione, Addison Wesley, 1980.

[5] T.R. Kane, D.A. Levinson, Dynamics: Theory and Applications, McGraw-Hill,1985.


[6] R.M. Murray, Z. Li, S.S. Sastry, A Mathematical Introduction to RoboticManipulation, CRC Press, 1994.

[7] L. Sciavicco, B. Siciliano, Robotica Industriale: Modellistica e Controllo diManipolatori, McGraw-Hill, 1995.

[8] J.H. Williams, Jr., Fundamental of Applied Dynamics, Wiley, 1996.

Indice

1 Introduzione 3

1.1 Tensori o matrici d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Teorema degli assi paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Momento angolare ed equazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Equazioni di Newton-Eulero 8

3 Coordinate generalizzate e vincoli 10

4 Spostamenti virtuali, vincoli e gradi di liberta 12

4.1 Vincoli olonomi e anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Equazioni cinematiche del corpo rigido 16

5.1 Trasformazioni tra velocita angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Equazioni di Lagrange per sistemi meccanici 20

6.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.1.1 Particella elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.1.2 Corpo rigido esteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.1.3 Sistemi naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Forze generalizzate nei sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 Equazioni di Lagrange con vincoli olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . 256.5 Equazioni di Lagrange e vincoli anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . 266.6 Equazioni differenziali risultanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromagnetici 31

7.1 Componenti elementari di un sistema elettromagnetico . . . . . . . . . 317.1.1 Elementi passivi nei circuiti elettrici . . . . . . . . . . . . . . . 317.1.2 Elementi attivi nei circuiti elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Energie e coenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.3.1 Coordinate generalizzate di carica . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3.2 Coordinate generalizzate di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.4 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4.1 Forze generalizzate elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.4.2 Elementi dissipativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


7.4.3 Equazioni di Lagrange per le reti elettriche . . . . . . . . . . . 427.5 Analogie elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Equazioni di Lagrange per sistemi elettro-meccanici 43

8.1 Equazioni di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.2 Linearizzazione approssimata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Passivita 46

9.1 Fdt reali positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.2 Stabilita in anello chiuso di sistemi positivi reali . . . . . . . . . . . . 489.3 Funzioni di accumulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.4 Algoritmi numerici per il calcolo della dinamica diretta e inversa . . . 49

Elenco delle figure

1 Punti relativi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Esempio di vincolo anolonomo: un disco che ruota a contatto di un

piano senza strisciamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 circuito magnetico ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 a) induttore ideale; b) relazione tra corrente i(t) e flusso concatenato

λ(t) nel capacitore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 a) capacitore ideale; b) relazione tra tensione e(t) e carica q(t) nel

capacitore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 a) resistore ideale; b) relazione tra corrente i(t) e tensione e(t) nel

resistore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 generatore ideale di corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 generatore ideale di tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 amplificatore ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710 coordinata generalizzata = carica sul condensatore (formulazione se-

rie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711 coordinata generalizzata = flusso concatenato nell’induttore (formula-

zione parallelo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Indice analitico

coefficiente d’attrito viscoso, 26

dinamicadiretta, 49inversa, 49

equazionedi Eulero, 7

equazionidi Eulero, 9di Lagrange, 20di Newton, 8di Newton-Eulero, 8

funzionedi Lagrange, 26di Rayleigh, 26

matriced’inerzia, 3

momenti d’inerzia, 4

passivita, 46positivita, 47prodotti d’inerzia, 4

tensore, 3

velocita angolareeuleriana, 18RPY, 19

54

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