Quench locali in sistemi quantistici unidimensionali con ... Sommario In questo lavoro si studiano...

Universita degli Studi di Pisa

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALICorso di Laurea Magistrale in Fisica

Tesi di Laurea Magistrale

Quench locali in sistemi quantisticiunidimensionali con difetto

Candidato:Bruno Bertini

Relatori:Prof. Pasquale Calabrese

Prof. Mihail Mintchev

Anno Accademico 2011–2012

A mio nonno

i

Sommario

In questo lavoro si studiano sistemi quantistici unidimensionali nella loro dinamica fuoriequilibrio, nel caso in cui tale dinamica sia raggiunta per mezzo di un quantum quench,ovvero si prepari il sistema nello stato fondamentale di una certa hamiltoniana e siconsideri l’evoluzione temporale unitaria data da un’altra hamiltoniana, che puo esserecollegata alla prima tramite la variazione di un qualche parametro. I quantum quenchvengono divisi in due gruppi, i quench globali e quelli locali, per primi l’hamiltonianafinale differisce da quella iniziale su tutto lo spazio reale, mentre per i secondi solo inun punto.

Ci concentreremo su un particolare tipo di quench locale consistente nel collegareistantaneamente due sistemi unidimensionali inizialmente scollegati, studiando ancheil caso in cui sia presente un difetto alla giunzione in modo da rendere imperfetta latrasmissione. L’interesse teorico per la dinamica fuori equilibrio dei sistemi quantistici amolti corpi e fortemente aumentato negli ultimi anni, perche, grazie al perfezionamentodi alcune tecniche, e stato possibile studiare tale situazione fisica anche dal punto divista sperimentale, utilizzando gas di atomi freddi in reticoli ottici.

Fra le varie quantita considerabili, particolare attenzione viene rivolta al comporta-mento delle entropie di entanglement fra i due sottosistemi istantaneamente congiunti.Esse forniscono una misura dell’entanglement bipartito fra i due sistemi e mostrano uncomportamento universale nei sistemi critici.

Il lavoro e cosı strutturato.Un primo capitolo in cui si forniscono i concetti introduttivi e si presentano le

problematiche generali collegate allo studio della dinamica fuori equilibrio dei sistemiquantistici.

Un secondo capitolo in cui si introducono i concetti di base della teoria di campoconforme (CFT) e si mostra l’approccio di CFT nello studio del quench locale in consi-derazione, valido nel caso particolare in cui il sistema sia critico e dopo il quench si abbiatrasmissione perfetta. Tale approccio, nel caso in cui i sottosistemi collegati istanta-neamente abbiano uguale lunghezza, permette di calcolare analiticamente l’andamentotemporale delle entropie di entanglement fra i due sistemi.

Un terzo capitolo in cui ci si concentra su un modello specifico, una teoria di camposcalare, libera, non relativistica, definita su un grafo a stella con bracci di lunghezzafinita, descrivente un gas di fermioni senza spin, di bosoni impenetrabili ed altri sistemidi rilevanza sperimentale. In questo particolare modello le uniche interazioni sonocostituite dalle condizioni al vertice del grafo. Tutte le possibili condizioni al verticee quindi tutte le possibili interazioni, vengono determinate imponendo che si possadefinire un’evoluzione temporale unitaria su tutto il grafo.

Un quarto capitolo in cui si studia il particolare quench locale a cui siamo interes-sati per i fermioni su grafo sopra descritti, in tale formalismo il quench e implementatoconsiderando un grafo a due bracci e cambiando istantaneamente le condizioni al ver-tice, con un opportuna scelta delle condizioni iniziali e finali. Cosı facendo si riescea descrivere anche il caso di trasmissione non perfetta. Lo stato fondamentale che siconsidera e uno stato a densita finita di particelle. Si studia l’evoluzione temporale di

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quantita locali come le funzioni di correlazione a due punti e di quantita globali comele entropie di entanglement fra i due bracci, confrontando gli andamenti temporali diqueste ultime con le predizioni CFT nel caso di trasmissione perfetta, si riscontra unbuon accordo che migliora aumentando la densita delle particelle. Infine si determinauna legge per l’andamento temporale delle entropie di entanglement nel caso di trasmis-sione imperfetta, utilizzando il risultato del caso a trasmissione ideale e la si verificanumericamente. Si forniscono anche alcuni risultati analitici.

Un quinto capitolo in cui si studia il comportamento dopo il quench in considera-zione di un sistema ottenuto linearizzando la dispersione del precedente, notando chein questo caso i risultati CFT vengono riprodotti con precisione maggiore e l’accordo eottimo anche per basse densita di particelle.

La parte originale della tesi e costituita dai risultati che vengono ottenuti nel quartoe nel quinto capitolo. In particolare, lo sviluppo di un metodo per lo studio del quenchin esame nel modello considerato, la determinazione dell’andamento temporale dellafunzione correlazione a due punti ed il calcolo del suo contributo a grandi tempi, ladeterminazione dell’andamento temporale delle entropie di entanglement nel caso ditrasmissione imperfetta per via di un difetto, risultato che generalizza quello ottenutoper mezzo della teoria conforme, valido solo nel caso di trasmissione perfetta.

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Indice

1 Introduzione 1

1.1 Dinamica fuori equilibrio di sistemi quantistici chiusi . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Entropia di entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Equivalenza tra il modello considerato ed altri . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Teoria di Campo Conforme 13

2.0.1 Invarianza conforme nei sistemi quantistici unidimensionali . . . 13

2.1 Introduzione alla CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Trasformazioni conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Identita di Ward nel caso d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3 Carica centrale e legge di trasformazione di θ(z) . . . . . . . . . 19

2.1.4 Algebra di Virasoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Applicazioni della CFT nello studio dei quench locali . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Legge di scaling dell’entropia di entanglement nel caso stazionario 24

2.2.2 Andamento temporale entropie di entanglement dopo un quench 29

3 Teoria di campo su grafo a stella 35

3.1 Grafo a Stella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Estensioni autoaggiunte del laplaciano sul grafo . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Matrice di scattering S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Teoria scalare libera non relativistica su grafo a stella . . . . . . . . . . 41

4 Quench su una giunzione Schrodinger 45

4.1 Caso singolo braccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Andamento asintotico della funzione correlazione a due punti . . 48

4.1.2 Altro approccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Caso due bracci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1 Altro approccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 Confronto con il caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3 Forma finale funzione correlazione e comportamento a grandi tempi 59

4.3 Entropia di entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1 Definizione e proprieta della matrice di overlap . . . . . . . . . . 60

4.3.2 Calcolo della matrice di overlap per il modello considerato . . . . 62

4.3.3 La matrice E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.4 Andamenti temporali delle entropie di Renyi dopo il quench nelcaso finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.5 Calcolo di TrE(t) nel limite termodinamico . . . . . . . . . . . . 70

4.3.6 Quench opposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Caso di n bracci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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INDICE

5 Modello con dispersione linearizzata 795.1 Teoria linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Definizione su grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Quench . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Matrice di overlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.5 Entropia di entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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Capitolo 1

Introduzione

1.1 Dinamica fuori equilibrio di sistemi quantistici chiusi

Recentemente, grazie al perfezionamento di alcune tecniche sperimentali nel campodella fisica atomica, delle nanotecnologie e dell’ottica quantistica, sono stati realizzatidegli esperimenti che hanno rivoluzionato lo studio della fisica della materia conden-sata, infatti si e riusciti per la prima volta a costruire sperimentalmente sistemi cheriproducono con ottima approssimazione la fisica dei semplici modelli utilizzati pergli studi teorici, come ad esempio il modello di Bose-Hubbard. La possibilita di unconfronto cosı diretto tra teoria ed esperimenti ha permesso di indagare in manieraapprofondita alcune problematiche che non erano mai state affrontante prima, proprioper la mancanza di dati sperimentali che indirizzassero la discussione. Fra queste, unadelle piu interessanti e senza dubbio lo studio della dinamica fuori equilibrio, dei sistemiquantistici a molti corpi.

Ci sono molteplici modi per portare un sistema fuori dall’equilibrio, ad esempio sipuo prendere un sistema all’equilibrio e modificare un campo esterno oppure iniettarvienergia o particelle. Per definire completamente il problema a cui siamo interessatirisulta dunque fondamentale concentrarci su un protocollo specifico. Il protocollo piustudiato negli ultimi anni per via della sua semplicita ed univocita risulta essere il cosıdetto quantum quench, ovvero si prepara il sistema nello stato fondamentale di unacerta hamiltoniana Hp e se ne considera per t ≥ t0 l’evoluzione temporale data dauna hamiltoniana diversa Hd, che puo essere legata alla prima tramite la variazionedi un parametro. Con questo protocollo si implementa dunque la situazione fisica checorrisponde al cambio repentino di un parametro durante l’evoluzione del sistema.

I quench vengono divisi in due gruppi, i quench globali ed i quench locali, per i primisi ha che l’hamiltoniana Hp differisce da Hd su tutto lo spazio reale, ad esempio si ha unquench di questo tipo se Hp e Hd corrispondono entrambe ad hamiltoniane di particellelibere ma hanno masse differenti. Si ha invece un quench locale se l’hamiltonianaHd differisce da Hp solo in un punto, ad esempio se Hp e Hd corrispondono a duehamiltoniane per una catena di spin con interazioni a primi vicini che differiscono soloper l’energia di interazione fra due primi vicini fissati. In questo lavoro ci concentreremosulla dinamica coerente, fuori equilibrio, dei sistemi quantistici unidimensionali chiusia molti corpi, raggiunta per mezzo di un quantum quench, in particolare nei capitolisuccessivi ci concentreremo sullo studio di uno specifico quench locale che corrispondea collegare due sistemi unidimensionali (ad esempio catene di spin o nanofili) che sonoinizialmente scollegati.

I principali interrogativi sollevati negli ultimi anni riguardo la dinamica fuori equi-librio dei sistemi quantistici chiusi a molti corpi possono essere racchiusi in due grandigruppi, che riassumiamo come segue

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1. INTRODUZIONE

(i) Ricerca di quantita che in particolari regimi mostrano un comportamento univer-sale, ovvero indipendente dai dettagli microscopici del sistema. In analogia conquanto fatto per lo studio delle trasizioni di fase nel caso statico, dove si riescea descrivere i sistemi vicino al punto critico per mezzo di hamiltoniane effettivecon un esiguo numero di parametri rilevanti.

(ii) Caratterizzazione del sistema (o meglio dei suoi sottosistemi) per tempi lunghi, inparticolare capire se puo essere descritto da uno stato stazionario e in quali condi-zioni tale stato e o meno uno stato termico, descritto da una qualche temperaturaefficace Teff .

Per quanto riguarda il punto (i), una quantita particolarmente interessante da studia-re, che mostra andamenti universali si e rivelata essere l’entropia di entanglement, chemisura le correlazioni non banali fra due parti del sistema, tale quantita verra descrittapiu dettagliatamente nella sezione 1.2. L’entropia di entanglement presenta un anda-mento temporale universale nei sistemi critici, sia dopo quench globali, come mostratoad esempio in [2, 3, 44] che dopo quench locali come mostrato in [2, 3, 1, 22], per variegeometrie, alcuni dei calcoli relativi al caso di un quench locale sono mostrati anche nelcapitolo 2. Ci sono tuttavia molte evidenze (una e proprio quella che viene fornita inquesto lavoro) del fatto che tale quantita presenti comportamenti universali anche peruno spettro molto piu ampio di sistemi, come per esempio quelli che presentano difetti.Questi risultati sono di grande interesse, perche permettono di caratterizzare l’evolu-zione temporale del sistema per mezzo di quantita universali e quindi indipendenti daidettagli microscopici, in particolare forniscono informazioni anche sull’eventuale statostazionario che il sistema raggiunge e sul tempo che impiega a raggiungerlo.

Consideriamo adesso la questione (ii). Un sistema in uno stato puro che evolve inmaniera unitaria non presenta rilassamento verso alcuno stato stazionario. Se tuttavia,nel limite termodinamico, si considerano dei sottosistemi macroscopici ma finiti, si vedeche essi mostrano correlazioni caratterizzate da stati misti. In molti casi si osserva chetali correlazioni, per lunghi tempi, sono descritte tramite stati stazionari. Si ha dunqueche il sistema agisce come suo stesso bagno termico.

L’esperimento del pendolo di Newton quantistico [27] ha mostrato che per caratte-rizzare tale rilassamento sono fondamentali le leggi di conservazione e la dimensionalitadel sistema, infatti e stato provato sperimentalmente che un gas di Bose tridimensionalerilassa velocemente ad uno stato stazionario caratterizzato da una temperatura efficacementre nel caso unidimensionale il rilassamento e molto piu lento ed e caratterizzatoda una distribuzione degli impulsi che non e mai termica. Questa differenza e stata im-putata alla presenza di ulteriori leggi di conservazione locali nel caso unidimensionale.Si e infatti ipotizzato che esse vincolino la dinamica del sistema, in analogia con quantosuccede nel caso classico. Da questa notevole scoperta si e sviluppato un intenso lavoroteorico con l’obiettivo di chiarire il rapporto fra leggi di conservazione e termalizzazionenei sistemi quantistici a molti corpi, ancora non esiste una risposta definitiva a questointerrogativo. Un’ipotesi molto accreditata e che le correlazioni fra i sottosistemi finitipossano essere caratterizzate a grandi tempi tramite un ensemble di Gibbs standardnel caso in cui si abbia a che fare con un sistema non integrabile, e tramite un ensembledi Gibbs generalizzato, introdotto in [32, 33], nel caso in cui si abbia a che fare conun sistema integrabile. Ovvero si suppone che la matrice densita di un sottosistemamacroscopico finito per lunghi tempi sia

ρ = Z−1e−∑m λmIm , Z = Tre−

∑m λmIm (1.1)

dove Im e un insieme massimale di integrali del moto commutanti e linearmenteindipendenti ed i moltiplicatori di Lagrange λm sono determinati dalle condizioni iniziali

2

1.1. DINAMICA FUORI EQUILIBRIO DI SISTEMI QUANTISTICI CHIUSI

come segueTrImρ = 〈Im〉t=0 . (1.2)

Bisogna pero specificare come scegliere gli integrali del moto Im. In analogia con lafisica statistica standard si richiede che ci sia indipendenza statistica fra sottosistemiabbastanza grandi, questa condizione si riproduce sul fatto che gli Im devono essereadditivi. La (1.1) si riduce alla matrice densita usuale per l’ensemble grancanonico segli unici integrali del moto (additivi) sono l’energia, il numero di particelle e l’impulsototale.

Sebbene l’ipotesi degli (GGE) sia stata verificata in numerosi modelli negli ultimianni, alcuni studi numerici hanno provato che la situazione potrebbe essere piu com-plessa. In aggiunta sono stati trovati degli esempi sia in teoria di campo medio chenumericamente di sistemi che mostrano oscillazioni persistenti, anche se questo potreb-be essere dovuto alla non validita dell’approssimazione di campo medio in tali regimied al fatto che il rilassamento avviene per tempi troppo lunghi per essere accessibiliattraverso un indagine numerica, un esempio di quest’ultima affermazione e riportatoin [30, 31] per una catena di Ising in campo magnetico trasverso.

1.1.1 Esperimenti

Consideriamo adesso con maggiore attenzione alcuni fra i piu importanti esperimentiche sono stati portati avanti negli ultimi anni e che, come menzionato precedentemente,hanno determinato un poderoso sviluppo della ricerca sulla dinamica fuori equilibriodei sistemi quantistici. Risulta che i sistemi ideali in cui studiare la fisica fuori equi-librio, sono i gas di atomi freddi in reticoli ottici, essi infatti presentano una serie dicaratteristiche molto interessanti che possono essere racchiuse in tre punti fondamentali.

(i) Sono sistemi caratterizzati da interazioni che danno tempi scala dinamici medidell’ordine dei millisecondi, quindi abbastanza lenti da essere osservati. Questopermette di monitorare in maniera efficiente la loro evoluzione. Inoltre riesconoa raggiungere un ottimo grado di isolamento dall’ambiente esterno per la duratadegli esperimenti, non mostrando significativi meccanismi di decoerenza (se an-che sono presenti, essi sono completamtente sotto controllo). Risultano dunqueperfetti per studiare la dinamica coerente dei sistemi a molti corpi.

(ii) Siamo in grado di modificare con estrema precisione e con eccellente rapidita iparametri che li governano, rendendo quindi possibile la simulazione di protocollicome i quantum quench, che risultano essere molto utili dal punto di vista teoricoper una realizzazione semplice ed univoca di sistemi fuori equilibrio.

(iii) Infine, tramite tali sistemi si riesce a riprodurre con ottima precisione i modellipiu semplici e studiati, in modo da permettere un confronto preciso fra teoria edesperimenti. In particolare si riesce con relativa semplicita a costruire sistemi chehanno una o due dimensioni effettive.

Iniziamo considerando l’esperimento realizzato da M. Greiner, O. Mandel, T. W.Hansch e I. Bloch [24], dove si esamina il collasso e il ripristino di un condensatodi Bose-Einstein. Tale esperimento e stato uno dei primi in grado di osservare ladinamica coerente di sistemi quantistici a molti corpi. Si considera un gas di Bosecostituito da atomi di 87Rb a bassa temperatura che viene confinato in un reticoloottico tridimensionale con potenziale abbastanza alto da non permettere tunneling, inqueste condizioni ogni insieme di atomi in una buca di potenziale del reticolo otticoevolve con l’hamiltoniana H = U

2 n(n−1), dove n e il numero di atomi nella buca e U el’energia di interazione. Si lascia evolvere il sistema per diversi tempi τ poi lo si rilascia

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1. INTRODUZIONE

Figura 1.1: Pattern di interferenza per diversi tempi di permanenza τ , in particolare a,0 µs; b, 100 µs; c, 150 µs; d, 250 µs; e, 350 µs; f, 400 µs; e g 550 µs. Immagine presada [24]

per misurare la distribuzione spaziale tramite immagini di assorbimento, potendo cosıosservare il pattern di interferenza. In figura 1.1 sono mostrati i pattern di interferenzaper 7 diversi tempi di permanenza, che vanno da 0 a 550 µs, si puo osservare che perτ = 550µs il sistema e ritornato nella sua configurazione iniziale, ovvero esso riproduceuna dinamica coerente.

Un altro esempio molto interessante e rappresentato dallo studio del cosı detto pen-dolo di Newton quantistico, da parte di T. Kinoshita, T. Wenger e D. S. Weiss [27]. Intale esperimento si riesce a costruire un sistema effettivamente unidimensionale, consi-derando un gas di Bose costituito da atomi di 87Rb in un reticolo ottico bidimensionale,con il potenziale del reticolo scelto in maniera tale che l’energia della piu bassa eccita-zione trasversa, ~ωr (ωr2π = 67Hz) sia molto maggiore dell’energia degli atomi rendendocosı trascurabile la probabilita di effetto tunnel. Lungo la direzione trasversa al retico-lo 2D viene posto un potenziale unidimensionale anarmonico con “lunghezza d’onda”nel range del rosso. Gli atomi nei tubi vengono messi in uno stato di sovrapposizionefra due autostati dell’impulso con autovalori rispettivamente ±2p0 con (p0~ e il vettored’onda della luce nel reticolo 1D), l’energia fornita e minore di ~ωr, il sistema rimanedunque ancora unidimensionale. Il sistema fuori equilibrio cosı ottenuto viene poi la-sciato evolvere per diversi tempi prima di rimuovere la trappola 1D, lasciarlo espandereper circa 27 ms e misurare la distribuzione spaziale tramite immagini di assorbimento,una serie di immagini e mostrata in figura 1.2. Tramite tali immagini si determina ladistribuzione degli impulsi e si osserva che essa non e gaussiana, quindi non e termica,anche dopo migliaia di collisioni, un esempio e mostrato nelle figure 1.3, 1.4, mentre lafigura 1.5 mostra cosa succede nel caso tridimensionale.

Descriviamo adesso un altro esperimento di grande interesse, realizzato da S. Trotz-ky, Y-A. Chen, A. Flesch, I. P. McCulloch, U. Schollwock, J. Eisert e I. Bloch [25],dove si studia il rilassamento verso l’equilibrio di un gas di Bose unidimensionale for-temente correlato. L’esperimento e cosı congegnato: si intrappola un condensato diBose-Einstein di atomi di 87Rb in un reticolo ottico tridimensionale con λx = 1, 530nm e λy,z = 844 nm, con i potenziali scelti in modo che ci sia un solo atomo per sitoe non ci sia possibilita di tunneling. A questo punto si accende un secondo reticololungo x con λx = 765 nm aggiustando le fasi con il primo in modo da riempire un sitoreticolare ogni due del nuovo reticolo (d’ora in avanti li chiameremo siti pari), fattoquesto si spegne il primo reticolo. Il potenziale del reticolo lungo x viene poi abbassatoistantaneamente in modo da permettere un evoluzione delle popolazioni dei siti pereffetto tunnel, in questo modo il sistema descrive un insieme di catene unidimensionali(infatti lungo y e z non interagiscono) che evolvono nel tempo e sono descritte da un

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Figura 1.2: Serie di immagini di assorbimento per l’esperimento del pendolo di Newtonquantistico. Immagine presa da [27]

Figura 1.3: Distribuzione degli impulsi pert = 15τ e γ = |2/a1Dn1D| = 18, do-ve τ e un periodo di oscillazione e a1D

e la lunghezza di scattering 1D. La li-nea rossa rappresenta la distribuzione pert = 15τ + tobs con tobs = 15τ , mentre lelinee verde e blu sono la distribuzione pert = 15τ ricostruita utilizzando due diver-si modelli per tenere conto delle perdite edel riscaldamento che si ha durante tobs.Immagine presa da [27]

Figura 1.4: Distribuzione degli impulsi pert = 15τ e γ = |2/a1Dn1D| = 3.2, do-ve τ e un periodo di oscillazione e a1D

e la lunghezza di scattering 1D. La li-nea rossa rappresenta la distribuzione pert = 15τ + tobs con tobs = 25τ , mentre lelinee verde e blu sono la distribuzione pert = 15τ ricostruita utilizzando due diver-si modelli per tenere conto delle perdite edel riscaldamento che si ha durante tobs.Immagine presa da [27]

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1. INTRODUZIONE

Figura 1.5: Distribuzione degli impulsi in un gas tridimensionale per t = 0, 2τ, 4τ, 9τdove τ e il periodo di oscillazione. [27]

modello di Bose-Hubbard con hamiltoniana

H =∑j

−J(a∗j+1aj + h.c) +U

2nj(nj − 1) +

K

2njj

2 , (1.3)

dove ai e a∗i sono operatori di creazione e distruzione bosonici (obbediscono alla regole dicommutazione standard), U e l’enegia di interazione su sito i-esimo, J e l’accoppiamen-to e K descrive una possibile la trappola armonica esterna (presente nell’esperimento).Dopo un certo tempo t il potenziale viene riportato al suo valore originario e inter-rompendo l’evoluzione e permettendo di “leggere” le proprieta dello stato raggiunto.Ripetendo il procedimento per vari tempi t si misurano le evoluzioni temporali dellepopolazioni dei siti dispari che all’inizio dell’evoluzione sono nulle, alcuni andamentisono riportati in figura 1.6. L’esperimento consiste anche di una seconda parte in cuisi misurano anche le correnti fra siti adiacenti e la distribuzione degli impulsi, che nonriportiamo per brevita, rimandando a [25] per informazioni piu approfondite.

Come ultimo esempio consideriamo un altro esperimento di notevole importanza,realizzato da M. Cheneau, P. Barmettler, D. Poletti, M. Endres, P. Schauß, T. Fuku-hara, C. Gross, I. Bloch, C. Kollath e S. Kuhr [26], dove si mostra l’esistenza di unavelocita limite per la propagazione delle correlazioni nei sistemi quantistici a molti cor-pi. L’esperimento considera un gas di 87Rb costretto in una geometria unidimensionaleda un reticolo ottico lungo y e z fissati, lungo l’asse x e posto un altro reticolo otticoche viene regolato per cambiare l’importanza delle interazioni. Il sistema e descritto daun’hamiltoniana (1.3), trascurando il contributo di K, tale modello e parametrizzatoda due scale di energia distinte, J e U , per U/J abbastanza grande e un filling ν intero(si considera il caso ν = 1) il sistema si trova nella fase detta di Isolante di Mott, in cuilo stato fondamentale e caratterizzato da ν = 1 particelle per ogni sito reticolare (nelcaso unidimensionale in considerazione il valore critico e U/J ≈ 3, 4), mentre per U/Jpiccolo si trova nella fase superfluida. Nella configurazione iniziale si ha U/J ≈ 40,poi viene abbassato istantaneamente a vari valori vicini al punto critico, in particolare

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Figura 1.6: Andamento temporale delle popolazioni dei siti “dispari”. Immagine presada [25]

Figura 1.7: andamento temporale di Cd(t) per d = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Figura presa da [26]

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1. INTRODUZIONE

U/J = 9, 7, 5. In questo caso lo stato fondamentale della vecchia configurazione risultauno stato eccitato ed agisce come sorgente di quasiparticelle che consistono in un eccessoo una buca nell’occupazione media. Si caratterizza la presenza di quasiparticelle corre-late tramite Cd(t) = 〈si(t)si+d(t)〉 − 〈si(t)〉〈si+d(t)〉 dove si(t) = eiπ(ni−1) vale 1 se nonsono presenti quasiparticelle nel sito i-esimo e -1 se sono presenti, lo stato iniziale ha unatomo per sito reticolare, si ha dunque C(0) = 0. Il sistema viene lasciato evolvere perun tempo t, dopo di che l’evoluzione viene fermata aumentando di nuovo il potenzialedel reticolo e si determina le occupazioni di tutti i siti reticolari, tramite queste vienericostruita Cd(t). La figura 1.7 mostra Cd(t) per d = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e U/J = 9 insieme airisultati di una simulazione numerica (linea continua) e a quelli di un calcolo analiticobasato sull’approssimazione di porre n = 0, 1, 2 (per maggiori dettagli si puo consultareil materiale supplementare di [26]). Si osserva una velocita finita per la propagazionedelle correlazioni che e v ≈ 5Ja

~ dove a ≈ 532nm e il passo del reticolo lungo z.

1.2 Entropia di entanglement

Prendiamo in esame un sistema che si trova in uno stato puro |ψ〉 (ad esempio lostato fondamentale di una certa hamiltoniana). Possiamo considerare la bipartizionedi questo sistema in due porzioni, chiamiamole una A e l’altra B. Esaminiamo adessola matrice densita ridotta al sottosistema A, definita come segue

ρA = TrBρ , (1.4)

dove TrB significa traccia sui gradi di liberta relativi al sottosistema B. Si ha che graziealla decomposizione di Schmidt lo stato |ψ〉 puo essere scritto

|ψ〉 =

d∑k=1

λk |k〉A |k〉B , (1.5)

dove d = min(dimHA, dimHB), |k〉A e |k〉B sono rispettivamente una base orto-normale di A e di B, inoltre

d∑k=1

λ2k = 1 . (1.6)

Le matrici densita ridotte sono rispettivamente

ρA =d∑

k=1

|λk|2 |k〉A 〈k|A , (1.7)

ρB =d∑

k=1

|λk|2 |k〉B 〈k|B , (1.8)

dunque le due matrici densita ridotte hanno lo stesso spettro, inoltre lo spettro di ρAdescrive l’entanglement fra i due sottosistemi A e B, dando i pesi della decomposizionedi Schimidt.

L’entropia di entanglement SA fra il sistema A ed il sistema B e definita a partireda ρA come segue

SA = −TrρA ln ρA = −d∑

k=1

|λk|2 ln|λk|2 . (1.9)

si vede dunque che SA e una funzione solo dello spettro di ρA, in particolare quindidalle (1.7) e (1.8) segue che SA = SB.

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1.2. ENTROPIA DI ENTANGLEMENT

L’entropia SA rappresenta una misura dell’entanglement fra i due sottosistemi Ae B. Essa infatti e nulla quando (1.5) e uno stato separabile, mentre e massima eduguale a ln d per λ2

m = 1d per ogni m. Possiamo dunque indicare con deff = eS

l’effettivo numero di stati accoppiati fra A e B.

Introduciamo anche ulteriori misure dell’entanglement fra A e B, le entropie dientanglement di Renyi, definite come segue

S(α)A =

1

1− αln TrραA =

1

1− α

d∑k=1

|λk|2α . (1.10)

Per α→ 1 da questa definizione si ottiene l’entropia SA.

L’entropia di entanglement (come in generale tutte le entropie di Renyi) e una quan-tita molto utile nello studio dei sistemi quantistici a molti corpi per varie ragioni. Essarispetto alle altre possibili misure dell’entanglement considerabili ha una definizionesemplice e relativamente facile da calcolare anche nell’ambito di sistemi a molti corpi.Inoltre mostra un comportamento universale per sistemi vicino al punto critico, sia nelcaso statico dove si osserva uno scaling universale con la dimensione spaziale ` di unodei due sottosistemi, ad esempio nel caso di una bipartizione di un sistema infinito si haS ∝ ln `, sia nel caso in cui il sistema sia stato soggetto ad un quantum quench, dovemostra anche un andamento temporale universale, come precedentemente menzionato.In entrambi i casi essa permette di estrarre in maniera molto semplice alcune proprietadel sistema critico (come ad esempio la carica centrale della teoria conforme associataal sistema, come descriveremo meglio nel capitolo 2). Infine e naturale supporre cheessa riesca a caratterizzare le correlazioni in maniera piu universale flessibile e cano-nica di quanto sia possibile fare tramite le funzioni correlazione, infatti per calcolarlanon serve conoscere nessuna particolare osservabile locale e le sue proprieta, ma servesoltanto un qualsiasi insieme completo di osservabili compatibili per poter considerareuna partizione in sottosistemi.

Notiamo che l’entropia di entanglement e molto importante anche al punto di vistadelle tecniche di calcolo numerico, infatti per descrivere in maniera accurata uno statoquantistico tramite un algoritmo progettato per un computer classico servono matricidi dati di dimensione deff = eS , dove S e la massima entropia di entanglement di unqualsiasi sottosistema. Si ha dunque che, nel caso unidimensionale, la complessita scalaal piu linearmente con la dimensione del sottosistema, come motrato ad esempio in [53].

Concludiamo osservando che sebbene l’entropia di entanglement sia una quantitamolto difficile da misurare, per via della sua intrinseca natura non locale essa puo esserecollegata a fluttuazioni del numero di particelle nel caso in cui si considerino fermioniliberi o sistemi mappabili in fermioni liberi. Infatti in questi casi, come mostrato in[45], si ha

S(α)A =

∞∑k=1

s(α)k V

(2k)A , (1.11)

dove s(α)k sono dei coefficienti noti, riportati ad esempio in [45], e V

(k)A sono i cumulanti

della distribuzione di particelle, definiti come segue

V(k)A = (i∂λ)k ln

⟨eiλNA

⟩ ∣∣λ=0

, (1.12)

dove NA e il numero di particelle nella regione A, dunque se n(x) e la densita diparticelle si ha

NA =

∫A

ddxn(x) , (1.13)

9

1. INTRODUZIONE

dove d sono le dimensioni spaziali.Per quanto riguarda sistemi generici, recentemente sono stati proposti due possibili

schemi di misura in [34] e in [35].

1.3 Equivalenza tra il modello considerato ed altri modellidi interesse sperimentale

In questo lavoro ci concentreremo principalmente su un modello descrivente fermioniliberi non relativistici senza spin. Oltre all’interesse che tale modello possiede di per se,descrivendo sistemi fisici in particolari regimi, vogliamo mostrare che esso e equivalentead altri modelli che hanno applicazioni fisiche dirette. Consideriamo per esempio ilgas di Bose con interazioni repulsive a corto raggio, modello di Lieb-Lininger, conhamiltoniana

H = −N∑j=1

∂2xj + 2C

∑1≤j<l≤N

δ(xj − xl) . (1.14)

Tale modello, nel limite di interazioni forti C →∞ (gas di Tonks-Giradeau), e esatta-mente mappato in fermioni liberi, come mostrato in [48]. Notiamo che le proprieta delmodello di Lieb-Lininger sono descritte completamente dal parametro adimensionaleγ = CL

N (abbiamo posto m = 1 e ~ = 1), questo fatto puo essere mostrato tramiteuna semplice analisi dimensionale e viene confermato dalla soluzione esatta del modello[50]. Si ha dunque che il limite di Tonks-Giradeau γ →∞ descrive la situazione fisicadi gas diluito N

L → 0.Un altro esempio di sistema che puo essere mappato in fermioni liberi non relativi-

stici senza spin e il modello XX descritto dalla seguente hamiltoniana

H = −1

2

L∑j=1

σxj σxj+1 + σyj σ

yj+1 − 2hσzj , (1.15)

dove σx,y,zk sono le matrici di Pauli al sito k. Per mezzo della trasformazione di Jordan-Wigner, cosı definita

ci =

(∏k<i

σzk

)σxi + iσxi

2, (1.16)

il modello viene mappato in fermioni senza spin su reticolo descritti da

H = −L∑j=1

c∗jcj+1 + c∗jcj+1 − 2h

(c∗jcj −

1

2

), (1.17)

dove ci soddisfano le regole di anticommutazione canoniche. Tale hamiltoniana e dia-gonale nello spazio degli impulsi e per |h| ≤ 1 ha come stato fondamentale un mare diFermi con filling

ν =arccos|h|

π. (1.18)

Se ripristiniamo il passo reticolare a precedentemente posto 1 e consideriamo il limitedel continuo (LC) a → 0, ν → 0 con ν

a →NL = n della (1.17) otteniamo il modello a

fermioni liberi da noi considerato.Concludiamo questa rassegna considerando la variante discreta del modello di Lieb-

Liniger, il gia citato modello di Bose-Hubbard con hamiltoniana (1.3) per K = 0, essoe particolarmente interessante perche come visto precedentemente viene ricreato conrelativa semplicita negli esperimenti. Nel limite U → ∞ si ha che gli unici numeri di

10

1.3. EQUIVALENZA TRA IL MODELLO CONSIDERATO ED ALTRI

occupazione permessi sono ni = 0, 1 ed il sistema diventa analogo ad un modello XXcon h = 0, puo quindi essere mappato esattamente nei fermioni su reticolo descritti da(1.17).

11

1. INTRODUZIONE

12

Capitolo 2

Teoria di Campo Conforme

Vicino ad un punto critico un sistema fisico puo essere modellizzato tramite una teoriadi campo invariante di scala, succede che se oltre all’invarianza di scala tale teoriapresenta invarianza anche sotto rotazioni e traslazioni, essa risulta invariante anchesotto un gruppo di simmetria ancora piu grande, il gruppo conforme. La teoria di campoinvariante sotto il gruppo conforme, detta teoria di campo conforme (CFT), risultamolto utile nello studio dei sistemi fisici vicino al punto critico, infatti assumendo solotale invarianza si riesce ad estrarre un gran numero di informazioni sul comportamentodelle osservabili, specialmente nel caso bidimensionale.

2.0.1 Invarianza conforme nei sistemi quantistici unidimensionali

Il caso dei sistemi quantistici in 1+1 dimensioni risulta particolarmente interessanteper quanto riguarda le possibili applicazioni della CFT, non soltanto perche, comegia menzionato, nel caso bidimensionale l’invarianza conforme risulta particolarmentepotente, ma anche perche in tali sistemi la suddetta invarianza si manifesta in interefasi del sistema (quelle senza gap), non soltanto al punto critico.

Per capire come questo accade risulta utile prendere in esame un gas di elettroniinteragenti a temperatura nulla. Un tipo molto interessante di eccitazioni per questosistema e costituito dalle cosı dette eccitazioni particella-buca, che consistono nel di-struggere un elettrone con impulso q sotto il livello di Fermi e crearne uno di impulsoq + k sopra il livello di Fermi. Tali eccitazioni hanno impulso definito ed uguale a k,ma in generale la loro energia Eq(k) e funzione anche di q, infatti si ha

Eq(k) ≡ ε(q + k)− ε(q) , (2.1)

dove ε(q) e la dispersione di un elettrone del gas. Se consideriamo il caso di d > 1,dove d e la dimensione, questo succede anche se ci focalizziamo su Eq(k) molto piccole,quindi su eccitazioni che distruggono un elettrone poco sotto il livello di Fermi e necreano un altro poco sopra, infatti per ogni impulso k con k ≤ 2kF (senza nerettoindichiamo i moduli) e possibile trovare un q con q ≤ kF per cui si abbia

ε(q) ∼ ε(q + k) ∼ EF , (2.2)

scegliendo opportunamente l’angolo fra i due vettori. In una dimensione invece, siccomela superficie di Fermi e ridotta solo a due punti, e possibile avere la (2.2) solo per k ∼ 0o k ∼ 2kF . Per k ∼ 0 possiamo linearizzare la dispersione ε(q), ottenendo

Eq(k) ∼ vFk ≡ E(k) , k ∼ 0 e q ∈ [kF − k, kF ] , (2.3)

dove abbiamo posto dε(q)dq |kF ≡ vF . Dunque, in una dimensione e per piccoli impulsi

k la dispersione delle eccitazioni particella-buca dipende solo da k, indipendentemente

13

2. TEORIA DI CAMPO CONFORME

Figura 2.1: Eccitazioni paricella-buca per in una dimensione. Figura presa da [49]

Figura 2.2: Eccitazioni particella-buca in due dimensioni. Figura presa da [49]

dalla particolare forma di ε(k). Inoltre si ha che la larghezza δE(k) ≡ maxq(Eq(k)) −minq(Eq(k)) e

δE(k) ∼ d2ε(q)

dq2

∣∣∣kFq2 , (2.4)

ovvero, essa tende a zero piu velocemente di E(k), questo significa che piu ci si avvicinaa k = 0 e piu le eccitazioni particella-buca hanno una dispersione ben definita e quindiuna vita media lunga. Le figure 2.1 e 2.2 mostrano un confronto fra il caso di d = 1 equello di d = 2. Notiamo inoltre che le eccitazioni particella-buca, essendo costituitedalla distruzione e la creazione di un fermione, sono di natura bosonica.

Il fatto che per energie vicine al livello di Fermi le eccitazioni particella-buca sicomportino come vere e proprie particelle, che si propagano liberamente con dispersionelineare E(k) = vFk, suggerisce che in questo regime e conveniente utilizzare questeultime e non gli elettroni di partenza per descrivere il sistema, ovvero suggerisce didescrivere il comportamento a basse energie di un gas di elettroni interagenti in unadimensione per mezzo di eccitazioni di natura bosonica. Questa e l’idea alla base dellatecnica della bosonizzazione che permette di esprimere operatori fermionici in funzionedi operatori bosonici [23]. La caratteristica piu interessante di questa tecnica e che essapermette di descrivere le proprieta a bassa energia di un gas di fermioni interagentitramite un sistema di bosoni liberi descritti dal campo φ(x) e con hamiltoniana

H =u

2π

∫dxK(πΠ(x))2 +

u

K(∂xφ(x))2 , (2.5)

dove Π(x) e l’impulso coniugato a φ(x), u e un parametro con le dimensioni di unavelocita e K e un parametro adimensionale [23]. In realta la teoria descritta dal-l’hamiltoniana (2.5) risulta essere una teoria effettiva a bassa energia che permettedi descrivere, al variare dei parametri u e K, le proprieta asintotiche di ogni sistemaunidimensionale senza gap [23] ed e detta Teoria del liquido di Luttinger.

14

2.1. INTRODUZIONE ALLA CFT

L’azione euclidea della teoria di campo descritta da (2.5) ha la seguente forma

S =1

2πK

∫dxdτ

1

u(∂τφ(τ, x))2+u(∂xφ(τ, x))2 =

1

2πK

∫dxdz (∂zφ(z, x))2+(∂xφ(z, x))2 ,

(2.6)dove abbiamo posto z = uτ .

Dalla (2.6) si vede dunque che la teoria del liquido di Luttinger nell’euclideo e inva-riante per rotazioni, traslazioni e trasformazioni di scala, quindi come vedremo risulteraessere una teoria di campo conforme. Quanto detto fino ad ora dunque puo essere rias-sunto affermando che in una dimensione le proprieta asintotiche di ogni sistema senzagap, possono essere descritte tramite una teoria di campo conforme.

Nel seguito enunceremo le basi della CFT nel caso di una teoria euclidea in 2 dimen-sioni, seguendo principalmente la trattazione fatta in [17], successivamente passeremoin rassegna i risultati che tramite essa si possono ottenere nello studio dell’evoluzio-ne temporale delle entropie di entanglement dopo un particolare quench locale in unsistema descrivibile tramite una teoria conforme.

2.1 Introduzione alla CFT

Consideriamo una teoria di campo descritta dai campi φi(x) definiti in uno spazioeuclideo bidimensionale.

Assumiamo che le funzioni di correlazione 〈φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 varino sotto trasfor-mazioni di coordinate infinitesime del tipo xi → x′i = xi + δxi(x1, x2) nel modoseguente

n∑p=1

〈φ1(x1) · · · δφp(xp) · · ·φn(xn)〉− 1

2π

∫d2y 〈∂yi(δxj(y1, y2)θij(y1, y2))φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 = 0 ,

(2.7)dove δφp(xp) e la variazione del campo φp(xp).

Questa relazione definisce il tensore densita di energia-impulso θij(y1, y2) dellateoria, ed e nota come identita di Ward.

Utilizziamo adesso la (5.49) per determinare quali proprieta di θij(y1, y2) si otten-gono imponendo determinate invarianze della teoria.

Imponiamo che la teoria presenti le seguenti invarianze

(i) Invarianza per Traslazioni

Imponiamo che per trasformazioni infinitesime del tipo xi → x′i = xi+δxi(x1, x2)dove

δxi(x1, x2) = δai ,

con δai costante infinitesima, si abbia

δ 〈φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 ≡n∑p=1

〈φ1(x1) · · · δφp(xp) · · ·φn(xn)〉 = 0 , (2.8)

usando la (5.49) ne segue che

∂iθij(y1, y2) = 0 . (2.9)

(ii) Invarianza per Rotazioni


δxi(x1, x2) = δaLijxj ,

15


con δa parametro infinitesimo e Lij = −Lji costante, si abbia

δ 〈φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 = 0 , (2.10)

dalla (5.49) segue dunque

θij(y1, y2) = θji(y1, y2) . (2.11)

(iii) Invarianza per Trasformazioni di scala


δxi(x1, x2) = δaxi ,

con δa parametro infinitesimo costante, si abbia

δ 〈φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 = 0 , (2.12)

dalla (5.49) segue in questo caso

2∑k=1

θkk(y1, y2) = 0 . (2.13)

Notiamo adesso un fatto importante che deriva dalle (2.9), (2.11) e (2.13).

Teorema 1 (di Polyakov). In una teoria di campo per cui vale la (5.49) e il tensoreenergia-impulso θij(y1, y2) ha le proprieta (2.9), (2.11) e (2.13), le funzioni correlazionesono invarianti non solo sotto traslazioni, rotazioni e trasformazioni di scala ma anchesotto qualsiasi trasformazione infinitesima xi → x′i = xi + δxi(x1, x2) con δxi(x1, x2)che soddisfa

∂iδxj(x1, x2) + ∂jδxi(x1, x2) =2

d

(2∑

k=1

∂kδxk(x1, x2)

)δij , (2.14)

dove d sono le dimensioni spaziali, noi stiamo considerando il caso d = 2.

Procediamo immediatamente con la dimostrazione di quanto asserito.

Dimostrazione. Per la 5.49 si ha

δ 〈φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 =1

2π

∫d2y 〈∂yi(δxj(y1, y2)θij(y1, y2))φ1(x1) · · ·φn(xn)〉

=1

2π

∫d2y (∂yiδxj(y1, y2) + ∂yjδxi(y1, y2)) 〈θij(y1, y2)φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 ,

dove abbiamo usato la (2.9) e (2.11) fra la prima e la seconda riga. Utilizzando adessola (2.14) si ottiene

δ 〈φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 =

=1

2π

∫d2y

(2

d

(2∑

k=1

∂kδxk(x1, x2)

)δij

)〈θij(y1, y2)φ1(x1) · · ·φn(xn)〉 = 0 ,

per la (2.13), abbiamo dunque provato l’asserto.

16


2.1.1 Trasformazioni conformi

La (2.14) e la proprieta caratterizzante di una trasformazione conforme infinitesima.Una trasformazione xi → x′i e detta conforme se

gij(x)→ g′ij(x′) = f(x′)gij(x

′) , (2.15)

ovvero se mantiene l’angolo relativo fra due vettori fissato pur cambiandone modulo,direzione e verso. In dimensione generica d 6= 2 la (2.14) oltre a traslazioni rotazioni etrasformazioni di scala ammette solo un altro tipo di soluzioni

δxi(x) = bix2 − 2xi

d∑k=1

bkxk , (2.16)

che corrispondono ad una composizione fra traslazioni ed inversioni spaziali e sonodette trasformazioni conformi speciali. Come si vede dalla (2.16) in d dimensioni letrasformazioni conformi speciali sono caratterizzate da d parametri, dato che i para-metri che caratterizzano traslazioni, rotazioni e trasformazioni di scala in d dimensionisono rispettivamente d, d(d−1)

2 e 1, le trasformazioni conformi in d dimensioni sono

caratterizzate da (d+2)(d+1)2 parametri.

Il Teorema di Polyakov garantisce quindi che se una teoria di campo per cui vale la(5.49) e invariante sotto traslazioni, rotazioni e trasformazioni di scala allora e invariantesotto trasformazioni conformi.

2.1.2 Identita di Ward nel caso d = 2

Il caso d = 2 e speciale, per rendercene conto risulta conveniente considerare il cambiodi variabili

z = x1 + ix2 , (2.17)

z = x1 − ix2 , (2.18)

si ha quindi

δxz = δx1 + iδx2 ≡ δz(z, z) , (2.19)

δxz = δx1 − iδx2 ≡ δz(z, z) , (2.20)

mentre per quanto riguarda θij(x1, x2) grazie alla (2.11) e alla (2.12) si ha

θzz = θ11 − iθ12 , (2.21)

θzz = θ11 + iθ12 , (2.22)

θzz = 0 = θzz , (2.23)

usando la (2.9) si ottiene∂zθzz = 0 , ∂zθzz = 0 , (2.24)

dunque θzz e θzz sono rispettivamente una funzione analitica e antianalitica di z,possiamo porre θzz = θ(z) e θzz = θ(z).

Con il cambio di variabili considerato, la (2.14) nel caso d = 2 diventa

∂zδz = 0 , (2.25)

∂zδz = 0 , (2.26)

ovvero la (2.14) e soddisfatta da qualsiasi coppia di funzioni “infinitesime” δxz e δxzche siano una analitica e una antianalitica. Abbiamo messo le virgolette al termine

17


infinitesime perche come e noto (Teorema di Liouville) una funzione analitica che esempre minore di una costante su tutto il piano complesso e costante, per cui dovremoprecisare meglio questa richiesta.

Notiamo che le uniche funzioni analitiche su tutto il piano complesso sono le cosıdette trasformazioni di Mobius, ovvero f(z) della forma

f(z) =az + b

cz + d, con ad− bc = 1 , (2.27)

dove a, b, c, d sono numeri complessi arbitrari. Come si vede queste trasformazioni sonodescritte da 3 parametri complessi indipendenti, ovvero da 6 parametri reali. Le trasfor-mazioni di Mobius sono le trasformazioni del gruppo conforme considerato il precedenzanel caso di d = 2 ovvero implementano le traslazioni, le rotazioni, le trasformazioni discala e le trasformazioni conformi speciali, la particolarita delle 2 dimensioni sta nel fat-to che oltre a tali trasformazioni si hanno un infinita di altre trasformazioni localmenteanalitiche e che quindi rispettano localmente le (2.25) e (2.26), questo, come vedremo,ci permettera di estrarre molte piu informazioni sul comportamento delle funzioni dicorrelazione.

Risulta interessante a questo punto considerare la seguente definizione

Definizione 1. Un campo φi(z, z) e detto campo primario se sotto un cambio dicoordinate del tipo z → z′ = g(z) e z → z′ = g(z) dove g(z) e una funzione analitica eg(z) e una funzione antianalitica la sua trasformazione e

φ′i(z, z) =

(dg

dz

)hi (dgdz

)hiφi(g(z), g(z)) , (2.28)

dove (h, h) sono detti pesi conformi ed a dispetto della notazione non sono in generalel’uno il complesso coniugato dell’altro.

Notiamo che per una trasformazione di scala z → az e z → az con a reale dalla(2.28) segue che

φ′i(z, z) = ahi+hiφi(az, az) . (2.29)

Dunque la “dimensione di scaling” ∆i del campo φ′i(z′, z′) ha la seguente espressione

in funzione dei pesi conformi

∆i = hi + hi . (2.30)

Se invece consideriamo una rotazione z → z′ = eiθz dalla (2.28) segue che

φ′i(z, z) = ei(hi−hi)φi(eiθz, e−iθz) . (2.31)

Dunque lo “spin conforme” si ha la seguente espressione in funzione dei pesi conformi

si = hi − hi . (2.32)

Un campo primario che sia scalare per rotazioni deve quindi avere hi = hi.

Notiamo che per trasformazioni infinitesime z → z′ = z + δag(z) e z → z′ =z + δag(z) (g(z) analitica e g(z) antianalitica) la (2.28) diventa

δφi(z, z) = δa[g∂z + hi(∂zg) + g∂z + hi(∂z g)

]φi(z, z) . (2.33)

Possiamo considerare adesso il comportamento di una funzione correlazione di campiprimari 〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 sotto una trasformazione infinitesima del tipo z →

18


z + δag(z) dove g(z) e analitica all’interno di un contorno C che racchiude tutti gliz1, . . . , zn e poi tende a zero all’infinito. Dalla (5.49) si ottiene dunque

δ 〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 =1

2πi

∫C

dz ∧ dz(∂zδz 〈θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉

+ ∂zδz⟨θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)

⟩)= +

1

2πi

∫C

dz δz(z) 〈θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 (2.34)

− 1

2πi

∫C

dz δz(z)⟨θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)

⟩,

dove abbiamo usato le (2.25) e (2.26) e il teorema di Stokes.Utilizzando la forma (2.33) per la variazione dei campi primari possiamo riscrivere

il membro di sinistra nel modo seguente

δ 〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 = δan∑p=1

[g(zp)∂zp + hi(∂zg(zp))

]〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉

+[g(zp)∂zp + hi(∂z g(zp))

]〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉

sostituendo quindi nella (2.34) ed utilizzando il Teorema di Cauchy si ottiene

1

2πi

∫C

dz g(z)n∑p=1

[1

(z − zp)∂zp +

hi(z − zp)2

]〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉

− 1

2πi

∫C

dz g(z)n∑p=1

[1

(z − zp)∂zp +

hi(z − zp)2

]〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 (2.35)

=1

2πi

∫C

dz g(z) 〈θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 − 1

2πi

∫C

dz g(z)⟨θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)

⟩,

data l’indipendenza di g(z) e g(z) e la loro arbitrarieta, possiamo concludere

〈θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 =

n∑p=1

[1

(z − zp)∂zp +

hi(z − zp)2

]〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 ,

(2.36)⟨θ(z)φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)

⟩=

n∑p=1

[1

(z − zp)∂zp +

hi(z − zp)2

]〈φ1(z1, z1) · · ·φn(zn, zn)〉 .

(2.37)

2.1.3 Carica centrale e legge di trasformazione di θ(z)

Dalla (5.49) segue che 〈θ(z)〉 = 0, come si puo notare considerando la variazione,necessariamente nulla, dell’operatore identita (dall’invarianza per traslazioni segue che〈θ(z)〉 sul piano e costante e nella (5.49) e implicita l’assunzione che tale costante siaposta uguale a 0).

Da questo possiamo concludere che se θ(z) fosse un campo primario si avrebbe〈θ(z1)θ(z1)〉 = 0 per la (2.36). In generale pero 〈θ(z1)θ(z2)〉 e diverso da zero. Assu-miamo che θ(z) trasformi secondo la legge (2.28) almeno sotto trasformazioni conformiglobali, campi con questa proprieta sono detti quasi-primari. Dalla (5.49) segue che i

19


pesi conformi di θ(z) e θ(z) sono rispettivamente (2, 0) e (0, 2). Utilizzando l’invarian-za per rotazioni, traslazioni e trasformazioni di scala possiamo dunque fissare la formadelle funzioni correlazione a due punti di θ(z), ottenendo

〈θ(z1)θ(z2)〉 =c/2

(z1 − z2)4,

⟨θ(z2)θ(z1)

⟩=

c/2

(z1 − z2)4, (2.38)⟨

θ(z1)θ(z2)⟩

= 0 .

La costante c e adimensionale (un ragionamento del tutto analogo vale anche per c),notiamo che non puo essere inglobata θ(z) rinormalizzando perche la sua normalizza-zione e fissata dalla (5.49), tale costante e quindi una caratteristica intrinseca dellateoria di campo che si considera ed e detta carica centrale. Il fattore 1

2 e convenzionale,serve per avere c = 1 nel caso di una teoria di campo scalare, libera e a massa nulla.

Utilizzando le (2.38) possiamo trovare la legge di trasformazione di θ(z) sotto unatrasformazione conforme infinitesima z → z + δa g(z) (il significato di infinitesima equello usato per ricavare nella (2.34)). Dalla (5.49) si ottiene

δ 〈θ(z)〉 ≡ 〈δθ(z)〉 =1

2πi

∫C

dz′ δag(z′)⟨θ(z′)θ(z)

⟩− 1

2πi

∫C

dz′ δag(z′)⟨θ(z′)θ(z)

⟩,

(2.39)usando le (2.38) ed il Teorema di Cauchy si ha dunque

δ 〈θ(z)〉 ≡ 〈δθ(z)〉 =1

2πi

∫C

dz′ δag(z′)c/2

(z′ − z)4=

c

12δag′′′(z) . (2.40)

Risulta quindi naturale postulare che sotto una trasformazione conforme infinitesimadel tipo z → z + δa g(z) la variazione di θ(z) sia

δθ(z) = δa[(g∂z + 2g′

)θ(z) +

c

12g′′′(z)

], (2.41)

e analogamente

δθ(z) = δa[(g∂z + 2g′

)θ(z) +

c

12g′′′(z)

], (2.42)

infatti consistentemente con le ipotesi fatte si vede che il campo θ(z) e un campo quasi-primario, notando che la trasformazioni globali sono generate da funzioni g(z) al piuquadratiche in z e per tali funzioni l’ultimo termine della (2.41) non contribuisce, inoltreconsiderando la funzione di correlazione di δθ(z) si ottiene proprio la (2.39).

La versione finita della (2.41) e alquanto laboriosa da trovare, qui ci limitiamo ariportare solo il risultato. Risulta che sotto una trasformazione conforme di coordinatez → f(z), θ(z) trasforma nel modo seguente

θ′(z) = θ(f(z))

(df

dz

)2

+c

12f(z), z , (2.43)

dove l’ultimo termine e detto Derivata Schwartziana ed e cosı definito

f(z), z ≡ d3f/dz3

df/dz− 3

2

(d2f/dz2

df/dz

)2

. (2.44)

Una relazione analoga (con f al posto di f) vale per θ(z).Notiamo due fatti importanti che garantiscono la consistenza di quanto fatto

i Se si considera una f(z) = z + δa g(z) si ottiene la (2.41).

ii f(z), z = 0 se f(z) e una trasformazione di Mobius, dunque anche per trasfor-mazioni finite θ(z) si comporta come un campo quasi primario.

Come vedremo sara proprio la (2.43) che ci permettera di determinare l’evoluzionetemporale dell’entropia di entanglement dopo un quench locale per varie geometrie.

20


2.1.4 Algebra di Virasoro

Vogliamo adesso rappresentare la nostra teoria in termini di operatori locali che agisconosu uno spazio di Hilbert, consideriamo il seguente cambio di variabili

u = log(z) , (2.45)

che mappa il piano complesso a cui e stato rimossa l’origine nella striscia Reu ∈[−∞,∞], Imu ∈ [0, 2π] (avendo scelto l’opportuna determinazione del logaritmo).

Possiamo interpretare adesso Reu ≡ τ come una sorta di “tempo” euclideo e Imu ≡σ come una sorta di “spazio” compattificato. Supponiamo che in questo contesto siapossibile definire un’hamiltoniana con uno spettro limitato dal basso che agisce su unospazio di Hilbert degli stati e che ha un unico stato fondamentale |0〉 il cui aggiunto e〈0|.

Con tali assunzioni possiamo interpretare le funzioni correlazione dei campi nelseguente modo

〈φ1(u1) · · ·φn(un)〉 = 〈0|Kφ1(u1) · · · φn(un) |0〉 , (2.46)

dove ordina K gli operatori da sinistra a destra per valori decrescenti di Reu ed abbiamomesso il cappuccio per distinguere le osservabili dagli operatori che agiscono sullo spaziodi Hilbert. Ad un’osservabile reale facciamo corrispondere un operatore autoaggiuntosullo spazio di Hilbert, questo significa che dato φi(u) gli facciamo corrispondere unoperatore φi(u) tale che

φ∗i (0, Imu) = φi(0, Imu) , (2.47)

φ∗i (u) = φi(−u) . (2.48)

quest’ultima condizione deriva dal fatto che l’operazione di aggiunzione nello spazioeuclideo prevede un’inversione esplicita del tempo τ .

Se si considerano campi primari possiamo scrivere una corrispondenza fra gli ope-ratori sulla striscia e quelli sul piano, infatti per la (2.28) si ha

φi(u, u)striscia = φi(z, z)pianozhi zhi , (2.49)

dunque risulta naturale porre

φi(u, u)striscia = φi(z, z)pianozhi zhi , (2.50)

dalla (2.46) segue quindi che le funzioni correlazione sul piano z possono essere inter-pretate

〈φ1(z1) · · ·φn(zn)〉 = 〈0|Rφ1(z1) · · · φn(zn) |0〉 , (2.51)

dove R ordina gli operatori da sinistra a destra secondo valori decrescenti di |z|.Per quanto riguarda gli aggiunti degli operatori sul piano, usando la (2.48) e la

(2.50) troviamo

φ∗i (z, z) = φi(z−1, z−1)z−2hi z−2hi . (2.52)

Considerando una trasformazione infinitesima z → z + δa g(z) e z → z dalla (2.34) siottiene che esiste un operatore θ(z) per cui

〈0| δφ(z) |0〉 =1

2πi

∫C

dz′ δa g(z′) 〈0| θ(z′)φ(z, z) |0〉

− 1

2πi

∫C′

dz′ δa g(z′) 〈0| φ(z, z)θ(z′) |0〉 , (2.53)

21


dove C e un contorno che racchiude z mentre C′ ha z all’esterno, il segno meno derivadal fatto che abbiamo invertito il verso di integrazione su C′ rendendolo antiorario.Sottolineiamo che le relazione (2.53) vale per un operatore φ(z, z) qualunque, non enecessario che sia un campo primario.

La (2.53) e analoga alla seguente relazione operatoriale

δφ(z) =1

2πi

∫C

dz′ δa g(z′)θ(z′)φ(z, z)− 1

2πi

∫C′

dz′ δa g(z′)φ(z, z)θ(z′) , (2.54)

se in particolare consideriamo δθ(z), dalla (2.41) e la (2.54) si ottiene

δθ(z) = δa[(g∂z + 2g′

)θ(z) +

c

12g′′′(z)

]=

1

2πi

∫C

dz′ δa g(z′)θ(z′)θ(z)

− 1

2πi

∫C′

dz′ δa g(z′)θ(z)θ(z′) , (2.55)

dunque si ha

(g∂z + 2g′

)θ(z) +

c

12g′′′(z) =

1

2πi

∫C

dz′ g(z′)θ(z′)θ(z)− 1

2πi

∫C′

dz′ g(z′)θ(z)θ(z′) .

(2.56)Consideriamo adesso lo sviluppo di Taylor-Laurent di θ(z) intorno all’origine

θ(z) ≡∞∑

n=−∞

Lnzn+2

, (2.57)

e sviluppiamo in serie anche g(z)

g(z) =

∞∑n=−∞

anzn , (2.58)

dove an sono coefficienti arbitrari, data l’arbitrarieta di g(z).

Sostituendo a questo punto le (2.58), (2.57) nella (2.56) si ottiene

∞∑m=−∞

am

( ∞∑n=−∞

(2m− n− 2)zm−n−3Ln +m(m− 1)(m− 2)zm−3

−∞∑

q=−∞

[Lm−1, Lq

]z−(q+2)

)= 0 , (2.59)

data l’arbitrarieta degli am deve valere

∞∑n=−∞

(2m− n− 2)zm−n−3Ln +m(m− 1)(m− 2)zm−3

−∞∑

q=−∞

[Lm−1, Lq

]z−(q+2) = 0 , (2.60)

uguagliando quindi ordine per ordine in z si ottiene[Ln, Lm

]= (n−m)Ln+m +

c

12δn+m,0 n(n2 − 1) , n,m ∈ Z . (2.61)

22


Analogamente considerando la variazione infinitesima di ˆθ(z) sotto la trasformazionez → z + δa g(z) si ottiene[

ˆLn,ˆLm

]= (n−m) ˆLn+m +

c

12δn+m,0 n(n2 − 1) , n,m ∈ Z , (2.62)

dove ˆLn sono i coefficienti della serie di Taylor-Laurent di ˆθ(z) intorno a 0.

Infine considerando la variazione di θ(z) sotto z → z + δa g(z) si ottiene[Ln,

ˆLn

]= 0 , n,m ∈ Z . (2.63)

Le relazioni di commutazione (2.61), (2.62) e (2.63) definiscono due algebre di Lieinfinite dette algebre di Virasoro.

Da quanto fatto segue un risultato molto interessante, il problema di classificaretutte le possibili teorie di campo invarianti sotto trasformazioni conformi, definite sullospazio euclideo in 2 dimensioni, e ridotto a quello di trovare tutte le rappresentazioniirriducibili dell’algebra di Virasoro.

Richiedendo che θ(z) |0〉 sia ben definito per z → 0 si ottiene una proprieta interes-sante

Lp |0〉 = 0 , p ≥ −1 , (2.64)

se invece imponiamo che 〈0| θ(z) sia ben definito per z →∞ (il che e analogo considerare〈0| θ(w)w4 per w → 0) otteniamo

〈0| Lp = 0 , p ≤ 1 . (2.65)

Consideriamo adesso un campo primario φi(z, z) e definiamo lo stato

|hi, hi〉 ≡ limz→0

φi(z, z) |0〉 , (2.66)

e

〈hi, hi| ≡(|hi, hi〉

)∗= lim

z→0〈0| φ∗i (z, z) = lim

z→∞〈0| φi(z, z)z2hi z2hi . (2.67)

Dalla (2.36) si ottiene

L0 |hi, hi〉 = hi |hi, hi〉 , (2.68)

Lp |hi, hi〉 = 0 p ≥ 1 .

Dalla (2.61) in particolare segue che[L0, L−n

]= nL−n , (2.69)

dunque

L0L−n |hi, hi〉 = (hi + n)L−n |hi, hi〉 . (2.70)

Si ha quindi che gli Ln con n < 0 agiscono come operatori di salita su |hi, hi〉 (aumentanol’autovalore di L0) mentre per n > 0 agiscono come operatori di discesa, inoltre |hi, hi〉e annichilito dagli Ln con n > 0. Quindi applicando tutti i possibili operatori disalita su |hi, hi〉 possiamo costruire uno spazio (infinito dimensionale) su cui agisceuna rappresentazione dell’algebra di Virasoro, tale spazio e detto modulo di Verma(in generale la rappresentazione dell’algebra di Virasoro che agisce su questo spazio eriducibile).

23


2.2 Applicazioni della CFT nello studio dei quench locali

In questa sezione passeremo in rassegna alcuni risultati che tramite la CFT si posso-no ottenere nello studio dei quench locali in sistemi vicini al punto critico, seguendoprincipalmente la trattazione fatta in [3] e in [2].

2.2.1 Legge di scaling dell’entropia di entanglement nel caso stazio-nario

Come primo punto consideriamo un sistema unidimensionale, che vicino al punto criticoe descritto in maniera efficiente tramite una teoria di campo conforme. Mostreremoche la dipendenza da ` dell’entropia di entanglement fra un sottosistema lungo ` e ilresto del sistema viene determinata analiticamente usando l’invarianza conforme.

Per calcolare l’entropia di entanglement ci serviremo del cosı detto replica trick,ovvero

(i) Calcoleremo

TrρnA , (2.71)

con n ≥ 2 e n ∈ N (questo puo essere fatto per mezzo di un path-integral su unaappropriata superficie di Riemann).

(ii) Considereremo il prolungamento analitico del risultato per n generico.

(iii) A questo punto potremo calcolare

SA = − limn→1

∂

∂nTrρnA . (2.72)

Il punto piu delicato di questo programma e il (ii) infatti non si riesce sempre aprovare che il prolungamento analitico della (2.71) esista e sia unico.

Iniziamo con il punto (i), consideriamo da principio una teoria su reticolo di passo

a, per evitare problemi di divergenza. Siaφx

un insieme completo di osservabili,

con autovalori φx e relativi autovettori |φx〉 (x in questo caso rappresenta unavariabile discreta). Una base e rappresentata dall’insieme di tutti i vettori

∏x |φx〉 ≡

|∏x φx〉.Possiamo allora considerare gli elementi della matrice densita ρ nella base |

∏x φx〉,

supponendo che il sistema sia descritto da un’hamiltoniana H e si trovi all’equilibriotermico con temperatura inversa β, si ha

ρ(φx ,φ′x′

) ≡ 〈φx| ρ |φ′x′〉 = Z[β]−1 〈φx| e−βH |

φ′x′〉 , (2.73)

dove la funzione di partizione Z[β] e un fattore di normalizzazione e serve per garantireTrρ = 1.

La (2.73) puo anche essere formulata per mezzo di un path-integral euclideo con iltempo immaginario τ ∈ (0, β), ovvero

ρ(φx ,φ′x′

) = (2.74)

= Z[β]−1

∫[dφ(y, τ)]

∏y′

δ(φ(y′, 0)− φ′y′)∏y′′

δ(φ(y′′, β)− φy′′) exp

[−∫ β

0dτLE

],

dove LE e la lagrangiana euclidea del sistema in considerazione, la parte sinistra dellafigura 2.3 mostra una rappresentazione grafica del path integral scritto.

24

2.2. APPLICAZIONI DELLA CFT NELLO STUDIO DEI QUENCH LOCALI

Figura 2.3: Sinistra: rappresentazione grafica di ρ(φx ,φ′x′

). Centro: rappresenta-zione grafica di Z. Destra: rappresentazione grafica di ρA

(φx ,

φ′x′)

. Figura presada [3]

Figura 2.4: Rappresentazione grafica di R3,1. Figura presa da [21]

In questo formalismo, Z[β] si ottiene considerando l’integrale a secondo membro,ponendo φx = φ′x ≡ φx ∀x ed integrando su φx, una rappresentazione grafica di Z[β] epresentata in figura 2.3.

Sia A un sottosistema del sistema considerato, in questa trattazione prendere-mo A = x ∈ [u, v]. Consideriamo ρA

(φx ,

φ′x′)

(in questo caso si ha x, x′ ∈A) ovvero la matrice densita ridotta al sottosistema A, essa si ottiene prendendoρ(φx ,

φ′x′

), ponendo φx = φ′x ≡ φx per x /∈ A ed integrando su φx, una rap-presentazione grafica di ρA

(φx ,

φ′x′)

e illustrata nella parte destra della figura2.3.

TrρnA si ottiene considerando n copie di ρA etichettate da un indice intero 1 ≤ i ≤ n,ponendo φix = φ

′ i+1x = φix con x ∈ A e integrando su φ1

x, . . . , φnx. Si ha dunque che

TrρnA e proporzionale alla funzione di partizione Zn [A, β] su una superfice di Riemanna n fogli con un taglio per x ∈ A che indichiamo con Rn,1, ovvero

TrρnA =Zn [A, β]

Z[β]n. (2.75)

La figura 2.4 mostra una rappresentazione di R3,1.

Consideriamo adesso il limite del continuo a→ 0, x diventa una variabile continuaed assumiamo che SE =

∫ β0 LE diventi

∫B dxdτ L[φ](x, τ) l’azione euclidea di una qual-

che teoria di campo che supporremo essere invariante oltre che sotto trasformazioni discala anche sotto rotazioni e traslazioni. Come discusso in [3] per mantenere la (2.75) fi-nita in questo limite dobbiamo moltiplicarla per una certa costante di rinormalizzazioneZ(a, n).

D’ora in avanti ci occuperemo solo del caso β →∞.

25


Caso infinito

Specializziamoci adesso al caso in cui il sistema in considerazione sia l’intera rettareale (come detto precedentemente il sottosistema A e il segmento di estremi u e v).In questo caso la superficie di Riemann Rn,1 e costituita da n piani complessi incollaticiclicamente lungo il taglio da u a v. Consideriamo la seguente trasformazione conforme

z(w) =

(w − uw − v

) 1n

, (2.76)

che mappaRn,1 nel piano complesso C, dove abbiamo scelto w = x+iτ come coordinatacomplessa su un foglio di Rn,1.

Per la (2.43) si ha che

θ(w) =

(dz

dw

)2

θ(z) +c

12z, w , (2.77)

dove θ(z) e la parte analitica del tensore energia impulso della teoria descritta dallalagrangiana L. Prendendo i valori di aspettazione e usando che 〈θ(z)〉C = 0 si ottiene

〈θ(w)〉Rn,1 =c

12z, w =

c(n2 − 1)

24n2

(v − u)2

(w − u)2(w − v)2. (2.78)

Confrontiamo la (2.78) con ⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)θ(w)

⟩C⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩C

, (2.79)

dove Φn(u, 0) e Φn(v, 0) sono due opportuni operatori primari con pesi conformi (hn, hn)e (h′n, h

′n).

Usando la (2.36) si ottiene⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)θ(w)

⟩C

= (2.80)

=

(1

(w − u)∂u +

hn(w − u)2

+1

(w − v)∂v +

h′−n(w − v)2

)⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)

⟩C.

Se vogliamo che sia⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩C6= 0 dobbiamo imporre hn = h′n, inoltre

supponendo che Φn(z) sia scalare per rotazioni si ottiene hn = hn, ne segue che⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)

⟩=

1

|u− v|4hn. (2.81)

Sostituendo la (2.81) nella (2.80) si ricava⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)θ(w)

⟩C⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩C

= hn(v − u)2

(w − u)2(w − v)2, (2.82)

dunque si vede che ponendo

hn =c

24n2

(n2 − 1

), (2.83)

26


si ha

〈θ(w)〉Rn,1 =

∫C(u,v) [dφ] θ(w) exp

[∫Rn,1 dxdτ L[φ](x, τ)

]Zn [A,∞]

=

=

⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)θ(w)

⟩C⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩C

. (2.84)

Se consideriamo una trasformazione infinitesima w → w′ = w+α(w) che agisce allo stes-so modo su tutti i fogli di Rn,1, abbiamo che negli integrali funzionali c’e un’inserzionedi

1

2πi

∫C

dw α(w)θ(w)− 1

2πi

∫C

dw α(w)θ(w) , (2.85)

per ogni foglio, dunque

δZn [A,∞]

Zn [A,∞]= n

1

2πi

∫C

dw α(w) 〈θ(w)〉Rn,1 − n1

2πi

∫C

dw α(w)⟨θ(w)

⟩Rn,1 , (2.86)

ovvero Zn [A,∞] trasforma come⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩nC

, possiamo quindi concludere che

TrρnA ∝ Zn [A,∞] ∝⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩nC. (2.87)

Utilizzando la (2.81) si ottiene dunque

TrρnA = cn

(`

a

)− c(n2−1)6n

, (2.88)

dove abbiamo posto u−v ≡ `, cn e una costante indeterminata ed abbiamo introdotto lapotenza di a per rendere il risultato adimensionale (e la costante di rinormalizzazioneZ(a, n) di cui abbiamo parlato in precedenza). Possiamo a questo punto eseguire ilprolungamento analitico della (2.88) per n generico, quindi tramite il replica trick siottiene

SA = − limn→1

∂nTrρnA =c

3log

(`

a

)+ c′1 , (2.89)

tramite la (2.88) possiamo calcolare anche le entropie di Renyi

S(n)A =

1

1− nlog TrρnA =

c

6

(1 +

1

n

)log

(`

a

)+ c′n , (2.90)

dove abbiamo introdotto le costanti indeterminate c′n = cn1−n .

Caso finito

Consideriamo adesso il caso in cui il sistema in considerazione sia un intervallo finito dilunghezza L. La superficie di Riemann Rn,1 in questo caso consiste in n strisce infinitedi larghezza L incollate ciclicamente lungo il taglio da u a v, chiameremo B una di talistrisce. Per calcolare l’entropia di entanglement dobbiamo dunque determinare

TrρnA ∝⟨

Φn(u, 0)Φn(v, 0)⟩nB. (2.91)

Consideriamo la seguente trasformazione conforme

w(z) =−iL

2πlog z , (2.92)

27


che mappa il piano complesso C in B. Utilizzando la (2.28) si ha che⟨Φn(z1)Φn(z2)

⟩C

= (2.93)

=

(dw1

dz1

)hn (dw1

dz1

)hn (dw2

dz2

)h′n (dw2

dz2

)h′n ⟨Φn(w1)Φn(w2)

⟩B,

da cui ricaviamo ⟨Φn(u, 0)Φn(v, 0)

⟩B

=

(L

πsin

π

L(v − w)

)−4hn

, (2.94)

si ha quindi

TrρnA = cn

(L

aπsin

π

L(v − w)

)−4hn

, (2.95)

dove cn e la stessa costante che compare nella (2.88). Eseguendo il prolungamentoanalitico ed il replica trick otteniamo dunque

SA = − limn→1

∂nTrρnA =c

3log

(L

aπsin

π

L`

)+ c′1 , (2.96)

per quanto riguarda le entropie di Renyi invece si ottiene

S(n)A =

1

1− nlog TrρnA =

c

6

(1 +

1

n

)log

(L

aπsin

π

L`

)+ c′n , (2.97)

dove, come prima, abbiamo posto c′n = cn1−n . Notiamo che SnA sono invarianti sotto la

trasformazione `→ L−` consistentemente con le proprieta di SnA enunciate nel capitolo1.

Caso sistema con bordo

Come vedremo in seguito risulta interessante considerare anche il caso in cui il sistema inesame presenta un bordo. Consideriamo il caso in cui il sistema sia una semiretta, senzaperdere generalita possiamo suppore sia la semiretta [0,∞), inoltre supponiamo che ilsottosistema A sia l’intervallo [0, `). In questo caso dunque la superficie di RiemannRn,1 e costituita da n copie del semipiano complesso incollate ciclicamente lungo iltaglio [0, `). Consideriamo la seguente trasformazione conforme

z(w) =

(w − i`

w + i`

) 1n

, (2.98)

che mappa la superficie di Riemann Rn,1 nel cerchio unitario |z| ≤ 1, dove abbiamoscelto w = ix+ τ come coordinata complessa su uno dei fogli di Rn,1.

Utilizzando la (2.43) e l’invarianza per rotazioni sul disco che fornisce 〈θ(w)〉disco =0, si ottiene

〈θ(w)〉Rn,1 =c(n2 − 1)

24n2

(2`)2

(w − i`)2(w + i`)2. (2.99)

Nel semipiano imponiamo condizioni al bordo θ(w) = θ(w) per w sull’asse reale,che prolungando analiticamente danno θ(w) = θ(w) dove θ(w) e il complesso coniugatodi θ(w), per maggiori dettagli si puo consultare [47].

Analogamente a quanto fatto in precedenza e possibile notare che la (2.99) hala stessa forma di 〈Φn(i`)θ(w)〉 / 〈Φn(i`)〉, per fare questo bisogna usare l’identita di

28


Ward conforme nel caso di una CFT con bordo, riportata ad esempio in [47] e in [19].Utilizzando l’invarianza per traslazioni lungo Rew e l’invarianza di scala si ottiene

〈Φn(i`)〉 =b

(2`)−hn. (2.100)

Procedendo come fatto in precedenza dunque otteniamo che

TrρnA ∝ Zn [A,∞] ∝ 〈Φn(i`)〉n , (2.101)

ovvero

TrρnA = cn

(`

a

) c12

(n− 1n

)

, (2.102)

dove, come in precedenza, abbiamo introdotto la potenza di a per regolarizzare, mentrela costante non universale cn e diversa da quella del caso precedente, anche se le duepossono essere collegate come mostrato in [3, 2]. Dalla (2.102) si ricavano anche inquesto l’entropia di entanglement di von Neumann e quelle di Renyi, ottenendo

SA =c

6log

`

a+ c′1 , (2.103)

S(n)A =

c

12

(1 +

1

n

)log

`

a+ c′n . (2.104)

Come si vede, in questo caso il fattore moltiplicativo del logaritmo nelle entropie dientanglement e la meta del caso precedente.

2.2.2 Andamento temporale entropie di entanglement dopo un quench

Adesso ci proponiamo di calcolare l’andamento temporale delle entropie di Renyi do-po un particolare tipo di quench locale cosı definito: si considerano due sottosistemiinizialmente sconnessi e nello stato fondamentale e si connettono istantaneamente. Inquesto caso possiamo scrivere gli elementi di matrice di ρ nella seguente forma

〈φ′x′| ρ |φ′′x′′〉 = Z(ε)−1 〈

φ′x′| e−iHd(t−iε) |G〉〈G| eiHd(t+iε) |

φ′′x′′〉 , (2.105)

dove abbiamo introdotto un fattore di regolarizzazione ε, Z(ε) garantisce l’unitarietadella traccia, |G〉 e lo stato fondamentale della configurazione prima del quench e Hd

rappresenta l’hamiltoniana dopo il quench.Possiamo scrivere |G〉 nel modo seguente

|G〉 = limT→∞

e−iT (1−iε)Hp |f〉〈G|f〉

, (2.106)

dove |f〉 e un generico stato per cui 〈G|f〉 6= 0 e Hp e l’hamiltoniana prima del quench.Possiamo rappresentare la (2.105) tramite dei path integral euclidei su un opportuno

foglio di universoM, dove la separazione fra i due sistemi prima del quench e ottenutatramite un taglio parallelo all’asse temporale immaginario τ .

Grazie alla scrittura (2.106) si vede che il primo termine della (2.105) puo essererappresentato come un path integral euclideo sui campi ψ(τ, x) e la condizione ψ(0, x) =φ′(x), su un foglio di universo con τ ∈ [−∞, 0], l’intervallo di x che sara precisatonel seguito e un taglio parallelo all’asse immaginario che va da −∞ a τ1 ≡ −ε − it.Analogamente si vede che il secondo fattore della (2.105) puo essere scritto come unpath integral euclideo sui campi ψ(τ, x) con la condizione ψ(0, x) = φ′′(x), su un fogliodi universo con τ ∈ [0,∞] ed un taglio che va da τ2 ≡ ε− it a +∞. Poniamo it ≡ τ , lo

29


considereremo reale durante tutto il calcolo facendo il prolungamento τ → it alla fine,notiamo che si deve avere −ε ≤ τ ≤ ε altrimenti la configurazione dei tagli non sarebbequella voluta.

Per quanto riguarda la dimensione spaziale del sistema, considereremo due casidifferenti, un primo caso in cui prenderemo i due sottosistemi A e B entrambi infiniti ecorrispondenti l’uno all’asse reale positivo e l’altro all’asse reale negativo ed un secondocaso in cui prenderemo i due sottosistemi di uguale lunghezza finita L, corrispondentirispettivamente ai segmenti [0, L] e [−L, 0] dell’asse reale. Vedremo che in entrambi icasi e possibile mappare i fogli di universo ottenuti nel semipiano tramite un’opportunatrasformazione conforme, quindi, per quello che abbiamo visto nel caso di sistemi conbordo, TrρnA sara proporzionale all’ennesima potenza della funzione a un punto di Φn

valutata in 0 che e il confine fra i due sottosistemi.Assumiamo che le condizioni al bordo per i campi ψ(τ, x) in x = 0 lungo i tagli e

quelle in x = ±L siano le stesse, in modo da non dover introdurre nessun operatore dicambio di condizioni al bordo.

Per comodita di calcolo trasliamo l’asse immaginario di τ , dunque in questa nuovaconfigurazione i tagli vanno rispettivamente da ε a +∞ e da −ε a −∞ e gli operatoriche prima erano calcolati in 0 sono adesso calcolati in z1 = iτ .

Calcolo andamento temporale della entropia di entanglement dopo un quenchnel caso infinito

Iniziamo considerando il caso di A e B infiniti e corrispondenti rispettivamente all’assereale positivo e a quello negativo, configurazione studiata in [1] e [3].

Notiamo che in questo caso il foglio di universo modificatoM corrisponde all’interopiano complesso con i due tagli descritti nella sezione precedente come mostrato infigura 2.5, utilizzando la seguente trasformazione conforme

w(z) =z

ε+

√(zε

)2+ 1 , (2.107)

possiamo mapparlo nel semipiano Rew ≥ 0.Per trovare le entropie di entanglement dobbiamo quindi calcolare

TrρnA ∝ 〈Φn(z1)〉nM . (2.108)

Nel semipiano Rew ≥ 0 e semplice calcolare 〈Φn(z1)〉, usando l’invarianza pertraslazioni lungo Imw e l’invarianza di scala, come fatto per ricavare la (2.100), siottiene

〈Φn(w)〉Rew≥0 =b

(2Rew)2hn, (2.109)

dove b e una costante arbitraria, dunque si ha che

〈Φn(z1)〉M =

(∣∣∣∣dwdz∣∣∣∣z1

b

(2Rew(z1))

)2hn

. (2.110)

Possiamo calcolare esplicitamente w(z1) e∣∣dwdz

∣∣z1

tramite la (2.107), ottenendo

w(z1) = iτ +√ε2 − τ2 ,

∣∣∣∣dwdz∣∣∣∣z1

=ε√

ε2 − τ2. (2.111)

Sostituendo i risultati (2.111) nella (2.110) si ottiene

〈Φn(τ)〉M =

(bε/2

ε2 − τ2

)2hn

, (2.112)

30


Figura 2.5: Piano tagliato M nel casoinfinito Figura 2.6: Semipiano Rew ≥ 0

facendo adesso il prolungamento analitico per tempi reali τ → ivF t (ripristinando lavelocita di Fermi vF che era stata posta 1) si ha

〈Φn(t)〉M =

(bε/2

ε2 + v2F t

2

)2hn

. (2.113)

Dunque possiamo prolungare analiticamente in n il risultato e calcolare l’andamentotemporale dell’entropia di entanglement usando il replica trick, ottenendo

SA(t) = − limn→1

∂nTrρnA(t) =c

6log

t2 + ε2

aε/2+ c′1 , (2.114)

dove anche in questo caso abbiamo introdotto la giusta potenza di a (costante reticolare)per rendere ρnA(t) adimensionale e c′1 e la stessa costante non universale che si ha nelcaso di sistema col bordo.

Notiamo che per t >> ε la (2.114) si riduce a

SA(t) =c

3log t+ c′1 . (2.115)

Possiamo fissare ε in funzione della costante non universale c1 della (2.114), imponendoche SA(0) = 0, da cui si ottiene

ε =a

2e−6c′1/c, (2.116)

da cui segue che l’ordine di grandezza di ε e quello del cutoff ultravioletto a, conside-rare dunque tempi e lunghezze molto maggiori di ε corrisponde quindi alla condizionestandard per la quale si puo applicare la teoria di campo per descrivere il sistema soloper tempi e lunghezze maggiori di a (vF = 1).

Dalla (2.113) si trova anche la dipendenza temporale delle entropie di Renyi per ngenerico

S(n)A (t) =

1

1− nlog TrρnA(t) =

c

12

(1 +

1

n

)log

(t2 + ε2

aε/2

)+ c′n , (2.117)

dunque considerando t >> ε si ottiene

SnA(t) =c

6

(1 +

1

n

)log t+ c′n . (2.118)

31


Figura 2.7: Piano tagliato M nel casofinito Figura 2.8: Semipiano Rew ≥ 0

Calcolo andamento temporale entropia di entanglement dopo un quench nelcaso finito

Consideriamo adesso il caso in cui i due sottosistemi che vengono attaccati istantanea-mente abbiano entrambi lunghezza finita L, caso studiato in [22].

In questo caso il foglio di universo modificato M su cui dobbiamo calcolare il pathintegral associato alla matrice densita e quindi una striscia con x ∈

[−L

2 ,L2

]e τ ∈

[−∞,∞] con due tagli paralleli all’asse immaginario, uno per τ da ε a ∞ e l’altro da−∞ a −ε, come mostrato in figura 2.7.

La trasformazione che mappa il semipiano Rew ≥ 0 nel foglio modificato M e

z(w) = − iL

2π

log

[w + i

w − i

]+ log

[w + ia(ε)

w − ia(ε)

]− iπ

, (2.119)

scegliendo

a(ε) = coth2( επ

2L

). (2.120)

Invertendo la (2.119) si ottiene

w(z) = −i coth( πε

2L

) 1 + ζ

1− ζcon ζ =

√sinh π

L (−iz + ε)

sinh πL (−iz − ε)

, (2.121)

da cui possiamo calcolare

|Rew(iτ)| = coth( πε

2L

) 2√

sinh πL(ε+ τ)/ sinh π

L(ε− τ)

(1 + sinh πL(ε+ τ)/ sinh π

L(ε− τ)), ε ≤ τ ≤ −ε ,

e zero altrimenti, mentre per quanto riguarda∣∣dwdz

∣∣ per ε ≤ τ ≤ −ε si ottiene∣∣∣∣dwdz∣∣∣∣ =

πL sinh π

L(2ε)

sinh2 πL(ε+ τ)

√sinh π

L(ε− τ)/ sinh πL(τ + ε)(1 + sinh π

L(ε− τ)/ sinh πL(τ + ε))

.

Usando le (??) e (??) nella (2.110) si ottiene

〈Φn(τ)〉M ∝∣∣∣∣ π

L sinh πL(2ε)

sinh πL(ε+ τ) sinh π

L(ε− τ)

∣∣∣∣2hn , (2.122)

32


eseguendo a questo punto il prolungamento analitico τ → ivF t, prolungando in n edeseguendo il replica trick si ottiene

SA(t) =c

6log

∣∣∣∣sinh πL(ε+ ivF t) sinh π

L(ε− ivF t)

a πL sinh πL(2ε)

∣∣∣∣+ c′1 , (2.123)

dove abbiamo nuovamente reintrodotto il cutoff ultravioletto a per rendere ρnA adimen-sionale e c′1 e la stessa costante non universale del caso precedente.

Nel limite vF t >> ε ( 0 ≤ vF t ≤ L) si ottiene dunque

SA(t) =c

3log

∣∣∣∣Lπ sinπvF t

L

∣∣∣∣+ c′1 . (2.124)

Analogamente si ottiene per la generica entropia di Renyi di ordine n

S(n)A (t) =

c

6

(1 +

1

n

)log

∣∣∣∣Lπ sinπvF t

L

∣∣∣∣+ c′n . (2.125)

Abbiamo dunque trovato gli andamenti temporali dell’entropia di entanglement epiu in generale delle entropie di Renyi dopo un quench locale consistente nel congiungeredue sottosistemi inizialmente disgiunti, nel seguito confronteremo le predizioni (2.124)(2.125) con i risultati che si ottengono studiando lo stesso tipo di quench su uno specificomodello, quello di una teoria di campo definita su un grafo a stella.

33


34

Capitolo 3

Teoria di campo su grafo a stella

In questo capitolo introdurremo il concetto di grafo a stella Γ e definiremo su tale grafouna teoria di campo scalare libera non relativistica, determinando tutte le possibilicondizioni al vertice che permettono di avere una hamiltoniana autoaggiunta su tuttoil grafo, seguendo quanto fatto in [13, 14, 15, 16]. Questo modello possiede delle ca-ratteristiche molto interessanti. Infatti, sebbene molto semplice da trattare e privo didivergenze perche descrive una teoria che e libera nel bulk Γ \ V , racchiude anche delleinterazioni non banali dovute alle condizioni al vertice V , che possono modellizzare lapresenza di un difetto. Le possibili interazioni locali che avvengono al difetto non sonoarbitrarie come si potrebbe pensare in un primo momento, ma la loro forma e comple-tamente fissata dalla richiesta fisica di poter definire un’evoluzione temporale unitariae quindi (per il teorema di Stone) una hamiltoniana autoaggiunta su tutto Γ.

3.1 Grafo a Stella

Iniziamo con la seguente definizione

Definizione 2. Un grafo a stella a n bracci e l’insieme Γ di n segmenti lunghi L dettibracci aventi un estremo in comune V detto vertice del grafo.

Un punto P del grafo e individuato tramite la coppia di coordinate (x, i), dovei = 1, 2, . . . , n seleziona uno fra gli n segmenti di Γ e x ∈ [0, L] determina la posizionedel punto su tale segmento, misurata a partire dal vertice.

Consideriamo dapprima il caso L→∞.Sia H lo spazio di Hilbert del grafo, esso e definito nel modo seguente

H =n⊕i=1

Hi =n⊕i=1

L2([0,∞)) , (3.1)

dove Hi sono gli spazi di Hilbert di ogni braccio del grafo.Possiamo dunque indicare un vettore ψ di H come ψ = (ψ1, . . . , ψn) dove ψi ∈

L2([0,∞)).Il prodotto scalare dello spazio H e quindi

(ψ, φ) =

n∑i=1

(ψi, φi)L2([0,∞)) . (3.2)

3.1.1 Estensioni autoaggiunte del laplaciano sul grafo

Consideriamo l’operatore ∆0 che agisce su ψ in H come segue

∆0ψ = (d2ψ1

dx2, . . . ,

d2ψndx2

) , (3.3)

35

3. TEORIA DI CAMPO SU GRAFO A STELLA

Figura 3.1: Grafo a Stella a n bracci. Figura presa da [41]

ed ha come dominio

D(∆0) = ψ ∈ H | ψi ∈W 2,2(0, L) e ψi(0) = ψ′i(0) = 0 ∀i , (3.4)

dove W 2,2(0,∞) e l’insieme delle funzioni che appartenenti a L2([0,∞)) e con prima eseconda derivata (generalizzata) appartenenti a L2([0,∞)).

L’operatore ∆0 e chiuso e simmetrico, e facile provare che ha indici di difetto n+ ≡dim Ker (∆0 + i) e n− ≡ dim Ker (∆0 − i) entrambi uguali a n ed ammette quindiestensioni autoaggiunte che possono essere parametrizzate dal gruppo unitario U(n) didimensione (reale) n2.

Mostreremo adesso un modo diverso per descrivere le estensioni autoaggiunte di∆0. Sia D ⊂ H l’insieme di tutti gli ψ tali che ∀ i ψi ∈ W 2,2(0,∞). Consideriamo laseguente forma anti-hermitiana definita in D

Ω(ψ, φ) = (∆ψ, φ)− (ψ,∆φ) = −Ω(φ, ψ) , (3.5)

dove ∆ = d2

dx2.

Si vede che Ω(ψ, φ) e identicamente nulla per ψ, φ ∈ D(∆0). Per trovare le esten-sioni autoaggiunte di ∆0 dovremo trovare i sottospazi isotropi massimali di D per Ω.Un sottospazio e detto isotropo per la forma Ω se essa si annulla identicamente su talesottospazio. Un sottospazio isotropo e detto massimale se non e il sottospazio propriodi un sottospazio isotropo piu grande.

Integrando per parti si ha

Ω(ψ, φ) =

n∑i=1

ψi(0)φ′i(0)− ψ′i(0)φi(0) . (3.6)

Introduciamo la mappa [ ] : D → C2n tale che

[ψ] = (ψ1(0), . . . , ψn(0), ψ′1(0), . . . , ψ′n(0))T = (ψ(0), ψ′(0))T , (3.7)

dove T significa trasposto.

Utilizzando la (3.7) possiamo riscrivere la (3.6) come segue

Ω(ψ, φ) = ([ψ], J [φ])C2n ≡ ω([ψ], [φ]) , (3.8)

36

3.1. GRAFO A STELLA

dove (, )C2n e il prodotto scalare di C2n e J e la matrice simplettica canonica in C2n

J =

(0 I−I 0

). (3.9)

Per trovare i sottospazi isotropi massimali di Ω possiamo quindi trovare i sottospaziisotropi massimali di ω e considerare la loro preimmagine rispetto alla mappa [ ].

I sottospazi isotropi massimali di ω hanno dimensione complessa uguale a n. Pos-siamo caratterizzarli tramite la seguente proprieta

Proprieta 1. Il sottospazio M e isotropo massimale se e solo se M⊥ = JM e M⊥ eisotropo massimale

Dove abbiamo chiamato M⊥ il sottospazio ortogonale a M rispetto al prodottoscalare (·, ·)C2n che d’ora in avanti per brevita chiameremo (·, ·).

Dimostrazione. Se M e isotropo massimale, allora

(v, Jw) = 0 ∀ v, w ∈ M , (3.10)

da questo segue che fissato v ∈M, Jv e ortogonale a tutti i w ∈M, dunque JM⊂M⊥,ma dato che dimM = n e (·, ·) e non degenere JM =M⊥.

Dunque per ogni coppia di vettori a, b ∈ M⊥ esiste una coppia di vettori v, w ∈ Mtale che

(a, Jb) = (Jv, J2w) = −(v, Jw) = 0 , (3.11)

perche M e isotropo. Si ha quindi che M⊥ e isotropo ed ha dimensione n quindi eisotropo massimale.

Se invece M⊥ = JM e M⊥ e isotropo massimale, si ha che M = −JM⊥, percheJ2 = −I, in particolare quindi M ha dimensione n. Inoltre per ogni coppia v, w divettori in M esiste una coppia a, b di vettori in M⊥ tale che

(v, Jw) = (−Ja,−J2b) = −(a, Jb) = 0 , (3.12)

perche M⊥ e isotropo. Si ha dunque che M e isotropo massimale.

Consideriamo il sottospazio M(A,B) definito come segue

M(A,B) = [ψ] ∈ C2n | Aψ(0) +Bψ′(0) = 0 , (3.13)

dove A e B sono due matrici n× n.

Il sottospazioM(A,B) ha dimensione n se la matrice n×2n (A,B) ha rango n, ov-vero rango massimo. Possiamo quindi descrivere ogni sottospazio di C2n di dimensionen come un M(A,B) con opportune A e B in modo che (A,B) abbia rango massimo.Notiamo che in questo caso l’immagine di C2n sotto la mappa (A,B) ha dimensione ndunque e isomorfa a Cn, infatti per una qualsiasi mappa lineare T da C2n a Cn si hache dim KerT + dim RanT = 2n.

Possiamo caratterizzare i sottospazi M(A,B) che sono isotropi massimali tramitela seguente proprieta

Proprieta 2. Il sottospazio M(A,B), con (A,B) di rango massimo, e isotropo mas-simale per ω se e solo se AB∗ e autoaggiunta.

37


Dimostrazione. La relazione (3.13) puo essere riscritta nel seguente modo

(Φk, [ψ])C2n = 0 , k = 1, . . . , n. (3.14)

dove Φk e la k-esima riga della matrice (A, B), tali righe sono linearmente indipendentiperche (A,B) ha rango massimo, dunque lo spazio che generano ha dimensione n e perla (3.14) concludiamo che essi generano M(A,B)⊥.

Se assumiamo che (A,B) sia isotropo massimale allora usando la proprieta 5.1 siha che anche lo spazio generato dai Φk e isotropo massimale, questo significa che

(Φp, JΦq)C2n = 0 ∀p, q , (3.15)

che puo essere riscritto come segue

(A,B)piJij(A, B)qj = (A,B)piJij(A,B)∗jp ∀p, q . (3.16)

Quindi si ha(A,B)J(A,B)∗ = 0 → AB∗ = BA∗ . (3.17)

Se invece assumiamo che valga AB∗ = BA∗ abbiamo che M(A,B)⊥ e isotropomassimale, quindi per la proprieta 5.1 M(A,B) e isotropo massimale.

Riassumendo, si ha dunque che prendendo A e B tali che (A,B) abbia rango mas-simo e AB∗ sia autoaggiunta, otteniamo cheM(A,B) e isotropo massimale. In questomodo prendendo ∆(A,B) che agisce su ψ come segue

∆(A,B)ψ =

(d2ψ1

dx2, . . . ,

d2ψndx2

), (3.18)

con dominio D(∆(A,B)) costituito dalla preimmagine di M(A,B) tramite la mappa[ ], ovvero

D(∆(A,B)) = ψ ∈ D | Aψ(0) +Bψ′(0) = 0 , (3.19)

si ha che D(∆(A,B)) e isotropo massimale per Ω e quindi ∆(A,B) e autoaggiunto.D’ora in avanti indicheremo con M(A,B) soltanto i sottospazi isotropi massi-

mali per ω, ovvero quelli definiti dalla (3.13) con (A,B) di rango massimo e AB∗

autoaggiunta.

3.1.2 Matrice di scattering S

La matrice di scattering SA,B associata all’operatore ∆(A,B) sul grafo Γ e la matricen× n, tale che l’autofunzione χi(k, x) di ∆ cosı definita

χij(k, x) = δijeikx + SA,Bij(−k)e−ikx , k ≥ 0 , (3.20)

appartenga a D(∆(A,B)), dunque soddisfi la condizione (3.19) al vertice. Si vedequindi che l’interpretazione fisica degli elementi diagonali di SA,B e quella di ampiezzedi riflessione sullo stesso braccio mentre quella degli elementi fuori diagonale di SA,B equella di ampiezze di trasmissione da un braccio ad un altro.

Sostituendo la (3.20) nella (3.19) si ottiene

(A+ ikB)SA,B(k) = − (A− ikB) , (3.21)

utilizziamo a questo punto la seguente proprieta

Proprieta 3. Per ogni k ≥ 0 le matrici (A+ ikB) e (A− ikB) sono invertibili.

38

3.1. GRAFO A STELLA

Dimostrazione. Proveremo che det (A+ ikB) 6= 0, la dimostrazione del fatto che det (A− ikB) 6=0 e del tutto analoga.

Procediamo per assurdo: se fosse det (A+ ikB) = 0, allora si avrebbe

det (A∗ − ikB∗) = det (A+ ikB∗)T = det (A+ ikB∗) = 0 ,

quindi esisterebbe un vettore χ 6= 0 tale che (A∗ − ikB∗)χ = 0. In particolare dunquesi avrebbe

0 = ((A∗ − ikB∗)χ, (A∗ − ikB∗)χ) =(χ, (AA∗ + k2BB∗)χ

)= (A∗χ,A∗χ)+k2 (B∗χ,B∗χ) ,

dove abbiamo usato il fatto che AB∗ e autoaggiunta. Questo significa che A∗χ = B∗χ =0. Si avrebbe quindi (Aφ+Bφ′, χ) per ogni φ, φ′ ∈ Cn. Ma dato che, come abbiamonotato precedentemente, la mappa (A,B) : C2n → Cn ha come immagine tutto Cnsi avrebbe, (ϕ, χ) = 0 ∀ϕ ∈ Cn. Dunque χ = 0, che e assurdo dato che abbiamosupposto il contrario.

Notiamo che con questa dimostrazione si e provata anche l’invertibilita di (AA∗ +k2BB∗). Grazie alla proprieta 3 si puo quindi scrivere

SA,B(k) = − (A+ ikB)−1 (A− ikB) = (A∗ − ikB∗) (AA∗ + kBB∗)−1 (A− ikB) .(3.22)

Mostriamo adesso che vale la seguente proprieta

Proprieta 4. La matrice di scattering S(k) definita nella relazione (3.22), con A e Bmatrici n× n tali che (A,B) abbia rango massimo e AB∗ sia autoaggiunta, soddisfa leseguenti condizioni

(i) e unitaria.

(ii) S(−k) = S∗(k).

Dimostrazione. Iniziamo provando l’unitarieta. Calcolando S(k)∗ e S(k)−1 si ha rispet-tivamente

S(k)∗ = − (A∗ + ikB∗) (A∗ − ikB∗)−1 , (3.23)

S(k)−1 = − (A− ikB)−1 (A+ ikB) , (3.24)

tali espressioni sono uguali se

(A− ikB) (A∗ + ikB∗) = (A+ ikB) (A∗ − ikB∗) → AB∗ = BA∗ , (3.25)

dunque dal fatto che AB∗ e autoaggiunta segue che tali espressioni sono uguali epertanto S(k) e unitaria.

Per quanto riguarda la condizione (ii) segue banalmente dalla seconda delle espres-sioni (3.22) di SA,B(k).

Si ha inoltre

Proprieta 5. Le coppie di matrici (A,B) e (A′, B′) definiscono le stesse condizioni alvertice se e solo se A′ = CA e B′ = CB con C matrice invertibile n× n.

Dimostrazione. Una delle due implicazioni e banale, infatti, se A′ = CA e B′ = CBcon C invertibile sostituendo nella (3.13) si vede che M(A,B) =M(A′, B′).

Proviamo l’altra implicazione, se M(A,B) = M(A′, B′) significa che la matrice2n× 2n

D =

(A BA′ B′

)39


ha un kernel n dimensionale, dato che le prime n righe e le ultime n sono indipendentifra loro perche (A,B) e (A′, B′) hanno rango massimo si deve avere (A′, B′) = C(A,B)con C invertibile.

Proprieta 6. La corrispondenza fra le condizioni al vertice definite dagli M(A,B) ele matrici di scattering SA,B(k), con k ≥ 0 fissato, e biunivoca.

Dimostrazione. Per dimostrare la surgettivita data una matrice di scattering S(k), adun certo k fissato, definiamo

AS =1

2(I− S(k)) , BS =

1

2ik(I + S(k)) . (3.26)

Notiamo che si haS(k) = − (AS + ikBS)−1 (AS − ikBS) . (3.27)

Si ha inoltreAS = I− ikBS ,

da cui segue che KerAS ∩KerBS e quindi (AS, BS) ha rango massimo. In fine, usandol’unitarieta di S(k) si ha

ASB∗S =

1

4ik(S∗(k)− S(k)) ,

dunque ASB∗S e autoaggiunta. Abbiamo quindi provato che data S(k) si trovano AS e BS

che definiscono delle condizioni al verticeM(AS, BS), dunque la relazione e surgettiva.Proviamo adesso che la relazione e anche iniettiva, ovvero che a condizioni al vertice

diverse corrispondono diverse matrici di scattering. Grazie alla proprieta 5 ci bastaprovare che date A e B che definiscono delle condizioni al vertice M(A,B) ed unamatrice di scattering SA,B(k) si ha che

A = CASA,B =C

2(I− SA,B) , e B = CBSA,B =

C

2ki(I + SA,B) , (3.28)

con C invertibile.Sostituendo nella (3.28) la definizione di SA,B si ottiene

C = (A+ ikB) , (3.29)

che per la proprieta 3 e invertibile.

Usando il fatto che per la proprieta 6 possiamo caratterizzare le condizioni al verticesolamente tramite la matrice di scattering, vogliamo riscrivere la (3.19) in forma diversa.

Sia S(λ) ≡ U la matrice di scattering ad una data scala λ, le condizioni al verticead essa associate possono essere riscritte usando le due matrici AU e BU definite nella(3.26) come segue

λ(I− U)ψ(0)− ik(I + U)ψ′(0) =n∑j=1

λ(I− U)ijψj(0)− ik(I + U)ψ′j(0) = 0 , (3.30)

ed inoltre usando ancora le matrici AU e BU nella definizione (3.22) la matrice discattering S(k) ad una generica scala k puo essere scritta in funzione di U nel modoseguente

S(k) = − [λ(I− U)− k(I + U)]

[λ(I− U) + k(I + U)], (3.31)

dove abbiamo usato il fatto che (λ(I− U)− k(I + U)) e (λ(I− U) + k(I + U))−1 com-mutano per poter scrivere S(k) come un “rapporto” tra matrici.

40

3.2. TEORIA SCALARE LIBERA NON RELATIVISTICA SU GRAFO A STELLA

Esempio 1. Notiamo che per U = −I si implementano condizioni al vertice di Dirichlete in tal caso S(k) = −I per ogni k ≥ 0, mentre per U = I si implementano condizionial vertice di Neumann e si ha S(k) = I per ogni k ≥ 0.

Nel seguito saremo interessati a grafi che hanno i bracci di lunghezza finita L,dovremo quindi imporre delle condizioni anche al bordo per avere un’hamiltonianaautoaggiunta su tutto il grafo, per ragioni fisiche pero saremo interessati a condizioniche non mischiano il valore delle ψ calcolate in punti diversi, in modo che tali condizionisiano locali.

Le piu generali condizioni che si possono imporre per x = L in modo da soddisfarela suddetta richiesta sono le condizioni di Robin, ovvero

ψ′i(L) = µiψi(L) . (3.32)

3.2 Teoria scalare libera non relativistica su grafo a stella

Consideriamo un gas di fermioni senza spin su un su un grafo a stella Γ con n braccilunghi L. Assumiamo che per x 6= 0 e x 6= L il gas sia libero e descritto dal campoψi(t, x) (per comodita di scrittura omettiamo l’accento circonflesso sugli operatori), chesoddisfa (

i∂t +1

2m∂2x

)ψi(t, x) = 0 , (3.33)

e le relazioni di anticommutazione canoniche

ψi(t, x)ψ∗i (t, y) = δijδ(x− y) , (3.34)

ψi(t, x)ψi(t, y) = 0 = ψ∗i (t, x)ψ∗i (t, y) . (3.35)

Per quanto visto nella sezione precedente le condizioni al vertice piu generali che sipossono imporre al vertice per estendere −∂2

x in modo autoaggiunto su tutto Γ sono

n∑i=1

λ(I− U)ijψj(t, 0)− i(I + U)ij∂xψj(t, 0) = 0 , (3.36)

dove U e una matrice unitaria n×n e λ e un parametro reale con le dimensioni di unamassa.

Mentre al bordo imponiamo

∂xψi(t, L) = µiψi(t, L) , (3.37)

dove µi sono ancora parametri reali con le dimensioni di una massa, per comoditaassumeremo

µ1 = · · · = µN ≡ µ . (3.38)

La matrice di scattering di questo problema e

S(k) = − [λ (I− U)− k (I + U)]

[λ (I− U) + k (I + U)]. (3.39)

S(k) soddisfa le seguenti proprieta

S(k)S∗(k) = I , (3.40)

S∗(k) = S(−k) , (3.41)

S(λ) = U . (3.42)

41


Dato che U e una matrice unitaria puo essere diagonalizzata tramite un opportunamatrice unitaria U , si ha allora

UUU∗ = Ud = diag(e−2iα1 , · · · , e−2iαN

), con − π

2≤ αi ≤

π

2. (3.43)

Si ha quindi che

US(k)U∗ = Sd(k) = diag

(k + iη1

k − iη1, · · · , k + iηN

k − iηN

), (3.44)

dove abbiamo posto

ηi ≡ λ tan(αi) . (3.45)

Dunque se introduciamo i seguenti campi

ϕi(x, t) =

n∑j=1

Uijψj(t, x) , (3.46)

otteniamo che essi “diagonalizzano” le condizioni al bordo, ovvero si ha

(∂xϕi)(t, 0) = ηiϕi(t, 0) , (3.47)

(∂xϕi)(t, L) = µϕ(t, L) , (3.48)

e obbediscono alle regole di anticommutazione (3.34), (3.35).

Ci riferiremo ad i campi ϕi(t, x) chiamandoli campi non fisici, infatti sono una so-vrapposizione di ψi(t, x) in diverse posizioni spaziali (diversi bracci del grafo) e quindisono estremamente non locali. Per questa ragione le quantita fisicamente significa-tive saranno scritte in termini dei campi ψi(t, x), utilizzeremo ϕi(t, x) solo al livellointermedio come utile strumento di calcolo.

Le autofunzioni di −∂2x che obbediscono alle condizioni al bordo (3.47), (3.48) sono

φi(k, x) = ai

(eikx +

k + iηik − ηi

e−ikx

), k ≥ 0 , (3.49)

con ai constanti di normalizzazione e k soddisfa

e2ikL =

(k + iηik − iηi

)(k − iµ

k + iµ

). (3.50)

Dato che il nostro obiettivo e quello di descrivere un sistema critico, considereremosolo quelle condizioni al contorno per cui si abbia invarianza di scala. Dalle equazioni(3.47), (3.48) vediamo che si ha invarianza di scala se

µ =

0 ,∞ ,

ηi =

0 (αi = 0) , Condizioni di Neumann∞ (αi = π

2 ) . Condizioni di Dirichlet(3.51)

Dalla (3.49) e la (3.50) otteniamo quindi che

(i) Se µ = 0

ηi = 0 ⇒ φi(n, x) =

√2

Lcos[(n− 1)π

x

L

], n = 1, 2, . . . , (3.52)

ηi =∞ ⇒ φi(n, x) =

√2

Lsin

[(n− 1

2)πx

L

], n = 1, 2, . . . . (3.53)

42

3.2. TEORIA SCALARE LIBERA NON RELATIVISTICA SU GRAFO A STELLA

(ii) Se µ =∞

ηi = 0 ⇒ φi(n, x) =

√2

Lcos

[(n− 1

2)πx

L

], n = 1, 2, . . . , (3.54)

ηi =∞ ⇒ φi(n, x) =

√2

Lsin[nπ

x

L

], n = 1, 2, . . . . (3.55)

Notiamo che gli insiemi (3.52, 3.53, 3.54, 3.55) sono tutti insiemi ortonormali completiin L2([0, L]).

Dalla (3.51) e la (3.44) segue anche che i possibili autovalori della matrice di scat-tering sono solo 1 e -1 ed quindi in particolare che S non dipende da k. Possiamorinumerare i bracci del grafo in modo che i primi p autovalori di S siano 1 e gli altrin − p siano -1 con 0 ≤ p ≤ n, i casi p = n e p = 0 corrispondono rispettivamente acondizioni di Neumann e Dirichlet al vertice per i campi fisici su tutti i bracci.

Dato che ci specializzeremo al caso n = 2, vale la pena di classificare tutte le matricidi scattering invarianti di scala in questo caso, ci sono tre possibilita

(i) p = 0, da cui segue che S = −I, che corrisponde a condizioni di Neumann per icampi fisici in entrambi i bracci.

(ii) p = 2, da cui segue che S = I, corrisponde a condizioni di Dirichlet per i campifisici in entrambi i bracci.

(iii) p = 1, in questo caso si ha che

S ≡ S(ε, θ) =1

1 + ε2

(ε2 − 1 2εeiθ

2εe−iθ 1− ε2)

con ε ∈ R , θ ∈ [0, 2, π] , (3.56)

a questa matrice corrispondono condizioni al vertice che combinano i campi fisicisui due bracci.

A questo punto possiamo definire

ϕi(t, x) =∞∑n=1

e−iωi(n)tφi(n, x)ai(n) , (3.57)

ϕ∗i (t, x) =∞∑n=1

eiωi(n)tφi(n, x)a∗i (n) , (3.58)

dove ai(n), a∗i (n), n ∈ N \ 0 soddisfano le regole di anti-commutazione canoniche(CAR)

ai(n), a∗j (m)

= δijδnm , (3.59)

ai(n), aj(m) = 0 =a∗i (n), a∗j (m)

, (3.60)

e

ωi(n) =

1

2m

((n− 1) πL

)2se 1 ≤ i ≤ p ,

12m

((n− 1

2) πL)2

se p < i ≤ n ,(3.61)

ωi(n) =

1

2m

((n− 1

2) πL)2

se 1 ≤ i ≤ p ,1

2m

(n πL)2

se p < i ≤ n ,(3.62)

rispettivamente per µ = 0 e µ =∞.

43


Dalla rappresentazione (3.57) e (3.58) segue che i campi cosı definiti soddisfanol’equazione del moto (3.33) e le condizioni al bordo (3.47) e (3.48). Dalle (3.59), (3.60)e dalla completezza degli insiemi φi(n, x) segue che i campi cosı definiti obbedisconoalle regole di commutazione (3.34), (3.35). Invertendo la (3.46) si ottiene

ψi(t, x) =n∑j=1

∞∑n=1

U∗ije−iωj(n)tφj(n, x)aj(n) , (3.63)

e

ψ∗i (t, x) =n∑j=1

∞∑n=1

Ujieiωj(n)tφj(n, x)a∗j (n) , (3.64)

i campi cosı definiti soddisfano l’equazione del moto (3.33), le condizioni al bordo (3.36)e (3.37) e le regole di anticommutazione (3.34) e (3.35).

44

Capitolo 4

Quench su una giunzioneSchrodinger

In questo capitolo studieremo un particolare tipo di quench locale consistente nel cambiodi condizioni al bordo per la teoria di campo definita su un grafo a stella precedente-mente introdotta, determinando gli andamenti temporali delle entropie di entanglemente delle funzioni di correlazione a due punti. Inizieremo studiando il semplice caso dicambiamento delle condizioni al bordo per una teoria definita su un segmento (grafoad un solo braccio), che servira per chiarire la descrizione teorica del quench in que-sto modello ed in seguito studieremo il caso di un quench su un grafo a due bracci.Ci concentreremo sul tipo di quench che descrive in questo formalismo la situazionefisica di due nanofili attaccati istantaneamente, con una trasmissione generica T fra idue bracci, in questo modo potremo confrontare i nostri risultati con quelli ottenuti inaltri modelli nello studio dello stesso tipo di quench ed anche (nel caso T = 1) con lepredizioni della CFT.

4.1 Caso singolo braccio

Iniziamo considerando la teoria di campo scalare non relativistica studiata nel capitoloprecedente, nel caso in cui essa sia definita su un grafo ad un singolo braccio, rappre-sentato dall’intervallo [0, 1] (Abbiamo posto L = 1, lo possiamo ripristinare tramiteanalisi dimensionale).

Consideriamo la configurazione in cui la condizione al bordo per x = 1 e quella diDirichlet per ogni tempo t, mentre si ha un quench al tempo t0 ≡ 0 che cambia lacondizione in x = 0 da quella di Neumann a quella di Dirichlet, o viceversa, ovvero

Neumann (N): ∂xψ(0, t) = 0 per t < 0 (4.1)

Dirichlet (D): ψ(0, t) = 0 per t > 0 , (4.2)

oppure

Dirichlet (D): ψ(0, t) = 0 per t < 0 (4.3)

Neumann (N): ∂xψ(0, t) = 0 per t > 0 . (4.4)

Come visto precedentemente, nei due casi, le basi ortonormali di autofunzioni dell’ope-ratore −∂2

x sono date da

(N) =⇒ φN (n, x) =√

2 cos

[(n− 1

2

)πx

], n = 1, 2, ... (4.5)

(D) =⇒ φD(n, x) =√

2 sin (nπx) , n = 1, 2, . . . (4.6)

45

4. QUENCH SU UNA GIUNZIONE SCHRODINGER

Siano DN e DD gli insiemi di tutte le combinazioni lineari finite rispettivanente deivettori (4.5) e (4.6), sono entrambi densi in L2[0, 1] perche i vettori (4.5) e (4.6) sonoentrambi insiemi completi ed inoltre si ha

DD ∩ DN = ∅ . (4.7)

A questo punto possiamo definire le due hamiltoniane per le due configurazioni:

HD =

− 1

2m∂2x , DD

, HN =

− 1

2m∂2x , DN

. (4.8)

HD e HN sono entrambi operatori autoaggiunti sui loro domini e si ha

HDφD(n, x) =

1

2mπ2n2φD(n, x) ≡ ωD(n)φD(n, x) , (4.9)

HNφN (n, x) =

1

2mπ2

(n− 1

2

)2

φN (n, x) ≡ ωN (n)φN (n, x) . (4.10)

Dato che HD e HN sono illimitati, non possono essere estesi a tutto L2[0, 1], in parti-colare non si puo applicare HD su DN o viceversa. Dato che pero HD e un operatoreautoaggiunto definito su un denso, per il teorema di Stone, UD(t) ≡ e−itHD e unoperatore unitario, un analogo ragionamento vale per UN (t) ≡ e−itHN .

Per fissare le idee focalizziamoci sul quench N −→ D, per quanto detto possiamoconsiderare la funzione d’onda quenched cosı definita

χND(n, t, x) ≡ UD(t)φN (n, x) , (4.11)

ottenuta facendo evolvere l’autofunzione φN (n, x) di HN tramite UD(t).Usando il fatto che (4.6) sono un insieme completo possiamo scrivere

φN (n, x) =∞∑k=1

BnkφD(k, x) , (4.12)

dove

Bnk =8k

π[4k2 − (2n− 1)2](4.13)

e una matrice ortogonale infinita,

∞∑k=1

BmkBtkn =

∞∑k=1

BtmkBkn = δmn . (4.14)

Quindi otteniamo

χND(n, t, x) ≡ UD(t)φN (n, x) = UD(t) limK→∞

K∑k=1

BnkφD(k, x) =

limK→∞

K∑k=1

BnkUD(t)φD(k, x) =√

2∞∑k=1

Bnk e−itωD(k) sin(kπx) , (4.15)

dove si e usata la continuita di UD(t) per portarlo dentro la somma. La serie nelmembro di destra della (4.15) e una serie convergente e rappresenta la funzione d’ondadopo il quench N −→ D.

Possiamo definire il campo quenched N −→ D

ψND(t, x) =

∞∑n=1

χND(n, t, x)a(n) , ψ∗ND(t, x) =

∞∑n=1

χND(n, t, x)a∗(n) , (4.16)

46

4.1. CASO SINGOLO BRACCIO

dove a(n), a∗(n) soddisfano le relazioni di anticommutazione canoniche (CAR), ov-vero

a(n), a∗(m) = δnm , (4.17)

a(n), a(m) = 0 = a∗(n), a∗(m) . (4.18)

Verifichiamo che il campo quenched cosı definito soddisfi le relazioni di anticommuta-zione standard, usando le (4.17, 4.18) si ha

ψ∗ND(t, x), ψND(t, y) = 2∞∑

n,m,k=1

BknBkm eit(ωD(n)−ωD(m)) sin(nπx) sin(mπx) =

= 2

∞∑n=1

sin(nπx) sin(nπx) = δ(x− y) , (4.19)

e

ψND(t, x), ψND(t, y) = 0 = ψ∗ND(t, x), ψ∗ND . (4.20)

Introduciamo adesso lo stato di Gibbs Φ dell’algebra CAR con temperatura ugualea zero β →∞ e numero di particelle N , si ha

〈Φ|a∗(m)a(n)|Φ〉 = δmnθ(N − n) , (4.21)

〈Φ|a(m)a∗(n)|Φ〉 = δmnθ(n−N ) , (4.22)

e tutti gli altri valori di aspettazione quadratici in a(n) e a∗(n) sono nulli, questodetermina tutti i valori di aspettazione di un qualsiasi numero di a(n) e a∗(n) su Φ.

Notiamo che il campo quenched (4.16) per t ≥ 0 non soddisfa ne le condizioni albordo Neumann ne quelle di Dirichlet in x = 0 nelle medie definite da Φ.

La funzione correlazione a due punti dopo il quench e

〈Φ|ψ∗ND(t1, x1)ψND(t2, x2)|Φ〉 =

N∑n=1

χND(n, t1, x1)χND(n, t2, x2) =

2N∑n=1

∞∑k,l=1

BnkBnl eit1ωD(k)−it2ωD(l) sin(kπx1) sin(lπx2) . (4.23)

Possiamo scrivere la somma su n in termini della funzione digamma

ψ(z) =d

dzln Γ(z) (4.24)

nel modo seguente

BNkl ≡N∑n=1

BnkBnl =2

π2(k2 − l2)

l

[ψ

(N − k +

1

2

)− ψ

(N + k +

1

2

)]

− k[ψ

(N − l +

1

2

)− ψ

(N + l +

1

2

)]. (4.25)

Per cui si ottiene

〈Φ|ψ∗ND(t1, x1)ψND(t2, x2)|Φ〉 = (4.26)

= 2∞∑

k,l=1

BNkl eit1ωD(k)−it2ωD(l) sin(kπx1) sin(lπx2) .

47


Procedendo analogamente nel caso D −→ N si ottiene

χDN (n, t, x) =√

2

∞∑k=1

Btnk e

−itωN (k) cos

[(k − 1

2

)πx

], (4.27)

i campi quenched sono

ψDN (t, x) =∞∑n=1

χDN (n, t, x)a(n) , ψ∗DN (t, x) =∞∑n=1

χDN (n, t, x)a∗(n) , (4.28)

e per quanto riguarda la funzione di correlazione a due punti si ha

〈Φ|ψ∗DN (t1, x1)ψDN (t2, x2)|Φ〉 = (4.29)

= 2∞∑

k,l=1

CNkl eit1ωN (k)−it2ωN (l) cos((k − 1

2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

).

Dove abbiamo introdotto

CNkl ≡N∑n=1

BknBln =2

π2((k − 12)2 − (l − 1

2)2)

(k − 1

2)

[ψ

(N + k +

1

2

)− ψ

(N − k +

3

2

)]

− (l − 1

2)

[ψ

(N + l +

1

2

)− ψ

(N − l +

3

2

)]. (4.30)

4.1.1 Andamento asintotico della funzione correlazione a due punti

Vogliamo mostrare che almeno nel limite termodinamico (LT) L → ∞, N → ∞ conNL = n ≡ 1 fissato, siamo in grado di calcolare analiticamente l’andamento a granditempi (t1 = t2 = t) delle funzioni a due punti e verificare quello che ci aspettavamo fisi-camente, ovvero che la funzione a due punti tende asintoticamente a quella di equilibriodella nuova configurazione definita dal quench.

Per trovare il limite termodinamico delle espressioni (4.26) e (4.29) bisogna definireil giusto limite termodinamico di L · Bnk, infatti eseguendo il limite in maniera naıvesi ottiene

L ·Bnk =2( kL)

π(( kL)2 − (nL + 12L)2)

−→ 2

π

p

p2 − x2, (4.31)

dove x ≡ limL→∞

n

Le p ≡ lim

L→∞

k

L, tale limite presenta una divergenza in x = p e dunque

non e ben definito.L’osservazione cruciale e la seguente, il limite termodinamico di L · Bnk sara la

“matrice” che collega i limiti termodinamici di√LφN (n, x) e

√LφD(n, x) nell’analogo

dell’espressione (4.12). Nel limite termodinamico si ha

√LφN (n, x)→

√2 cos(pxπ) ≡ φNLT (p, x) , con p ≥ 0 , (4.32)

√LφD(n, x)→

√2 sin(pxπ) ≡ φDLT (p, x) , con p ≥ 0 . (4.33)

Dunque

φNLT (p, x) =

∫ ∞0

dq BLT (p, q)φDLT (q, x) , (4.34)

con

BLT (p, q) =1

π

1

p+ q+ P 1

p− q

, (4.35)

dove P indica il valore principale di Cauchy.

48


Re z

Im z

π4

II

I

k − iε

Figura 4.1: Cammino su cui integrare f(z)

Re z

Im z

−π4

II

I

k + iε

Figura 4.2: Cammino su cui integrare g(z)

In effetti la (4.35) risulta un modo di rendere ben definita la (4.31).Consideriamo il comportamento a grandi tempi nel limite termodinamico di (4.29)

per t1 = t2 = t, scegliamo questa perche come vedremo in seguito questo risultato ciservira anche nel caso a due bracci.

Il limite termodinamico della (4.29) per t1 = t2 = t puo essere scritto nel seguentemodo

CΦLT (x1, x2, α) = 2

∫∫[0,∞]2

dpdq cos(pπx1) cos(qπx1)ei(p2−q2)α

∫ 1

0dk BLT (k, p)BLT (k, q) ,

(4.36)

dove abbiamo posto α ≡ π2

2 t.Usando il fatto che

P 1

x− y= lim

ε→0+

1

x− y + iε+ iπδ(x− y) = lim

ε→0+

1

x− y − iε− iπδ(x− y) , (4.37)

possiamo riscrivere la (4.36) cosı

CΦLT (x1, x2, α) = 2

∫ 1

0dk cos(kπx1) cos(kπx2) + 2GΦ

LT (x1, x2, α) , (4.38)

dove

GΦLT (x1,x2, α) =

1

π2

∫ 1

0dk lim

ε1,ε2→0+

∫∫[0,∞]2

dpdq2keip2α

k2 − p2 − iε1

2ke−iq2α

k2 − q2 + iε2cos(pπx1) cos(qπx2)

+i

π

∫ 1

0dke−ik2α cos(kπx2) lim

ε1→0+

∫ ∞0

dp2keip2α

k2 − p2 − iε1cos(pπx1)

− i

π

∫ 1

0dkeik2α cos(kπx1) lim

ε2→0+

∫ ∞0

dq2ke−iq2α

k2 − q2 + iε2cos(qπx2) . (4.39)

Integrando le funzioni analitiche

f(z) =2keiz2α

k2 − z2 − iε1cos(zπx1) ,

g(z) =2ke−iz2α

k2 − z2 + iε2cos(zπx2) ,

49


sui cammini riportati rispettivamente in figura 4.1 e in figura 4.2, si trova

∫ ∞0

dp2keip2α

k2 − p2 − iε1cos(pπx1) = eiπ

4

∫ ∞0

dp2ke−p

2α

k2 − ip2 − iε1cos(eiπ

4 pπx1) ,∫ ∞0

dq2keiq2α

k2 − q2 + iε2cos(qπx2) = e−iπ

4

∫ ∞0

dq2ke−q

2α

k2 + iq2 + iε2cos(e−iπ

4 qπx2) ,

dunque la (4.39) puo essere scritta come segue

GΦLT (x1, x2,α) =

1

π2

∫ 1

0dk

∫∫[0,∞]2

dpdq2ke−p

2α

k2 − ip2

2ke−q2α

k2 + iq2cos(eiπ

4 pπx1) cos(e−iπ4 qπx2)

+ieiπ

4

π

∫ 1

0dke−ik2α cos(kπx2)

∫ ∞0

dp2ke−p

2α

k2 − ip2cos(eiπ

4 pπx1)

− ie−iπ4

π

∫ 1

0dkeik2α cos(kπx1)

∫ ∞0

dq2ke−q

2α

k2 + iq2cos(e−iπ

4 qπx2) , (4.40)

dove abbiamo eseguito i limiti ε1, ε2 → 0+.

Svolgendo l’integrale in k nel primo termine, “ruotando” (ovvero facendo un ope-razione analoga a quanto fatto in precedenza per gli integrali in p e q) gli integrali in knel secondo e nel terzo termine ed usando l’identita

tanh−1 z − coth−1 z = iπ

2, (4.41)

si ottiene

GΦLT (x1, x2, α) = −2e−iπ

4

π

∫∫[0,π

4]×[0,∞]

dθdq e2iθ e(ie2iθ−q2)α

e2iθ + iq2cos(eiθπx1) cos(e−iπ

4 qπx2)

+4

π2

∫∫[0,1]2

dpdq e−(p2+q2)α eiπ4 p tanh−1(eiπ

4 p) + e−iπ4 q tanh−1(e−iπ

4 q)

(p2 + q2)

× cos(eiπ4 pπx1) cos(e−iπ

4 qπx2)

+4

π2

∫∫[1,∞]×[0,1]

dpdq e−(p2+q2)α eiπ4 p coth−1(eiπ

4 p) + e−iπ4 q tanh−1(e−iπ

4 q)

(p2 + q2)


4 qπx2)

+4

π2

∫∫[0,1]×[0,∞]

dpdq e−(p2+q2)α eiπ4 p tanh−1(eiπ

4 p) + e−iπ4 q coth−1(e−iπ

4 q)

(p2 + q2)


4 qπx2)

+4

π2

∫∫[1,∞]2

dpdq e−(p2+q2)α eiπ4 p coth−1(eiπ

4 p) + e−iπ4 q coth−1(e−iπ

4 q)

(p2 + q2)


4 qπx2)

− 2eiπ4

π

∫∫[0,π

4]×[0,∞]

dθdp e−2iθ e−(ie−2iθ+q2)α

e−2iθ − ip2cos(eiπ

4 qπx1) cos(e−iθπx2) . (4.42)

50


Tutti i contributi in (4.42) sono depressi a grandi tempi, come si puo vedere appli-cando ad esempio il metodo del punto sella1, dunque

limα→∞

CΦLT (x1, x2, α) = 2

∫ 1

0dk cos(kπx1) cos(kπx2) =

= 2sin ((x1 + x2)π)

(x1 + x2)π+ 2

sin ((x1 − x2)π)

(x1 − x2)π. (4.43)

che e proprio il limite termodinamico della funzione correlazione a due punti di equilibrionel caso di condizioni di Neumann in x = 0. Un calcolo del tutto analogo puo esseresvolto anche per la (4.26).

4.1.2 Altro approccio

Possiamo ottenere i risultati (4.23) e (4.29) anche seguendo un approccio diverso. Con-sideriamo il caso di un quench D −→ N, possiamo scrivere il campo nella configurazionedopo il quench nel modo seguente

ψ(t, x) =∞∑m=1

φN (m,x)eiωN (n)tb(m) , (4.44)

dove i b(m) soddisfano le (CAR).

La (4.44) puo essere riscritta cosı,

ψ(t, x) =∞∑m=1

∫ 1

0dy φN (m,x)eiωN (n)tφN (m, y)ψ(0, y) , (4.45)

utilizzando il campo nella configurazione dopo il quench calcolato all’istante 0. Poniamo

Q(x, y, t) ≡∞∑m=1

φN (m,x)eiωN (n)tφN (m, y) . (4.46)

Possiamo considerare la funzione a due punti definita come il seguente valor medio sullostato di Gibbs Φ

〈Φ|ψ∗(t, x)ψ(t, y)|Φ〉 =

∫∫[0,1]2

dx′dy′Q(x, x′, t)Q(y, y′, t)⟨Φ|ψ∗(0+, x′)ψ(0+, y′)|Φ

⟩,

(4.47)dove lo 0+ significa che la funzione correlazione e calcolata l’istante immediatamentesuccessivo al quench.

A questo punto imponiamo per definizione che durante il quench la funzione dicorrelazione rimanga continua nel tempo, ovvero⟨

Φ|ψ∗(0+, x′)ψ(0+, y′)|Φ⟩

=⟨Φ|ψ∗(0−, x′)ψ(0−, y′)|Φ

⟩, (4.48)

questa equazione definisce i valori medi dei b(n) sullo stato di Gibbs.

Possiamo riscrivere la (4.48) nel modo seguente

∞∑n,m=1

φN (n, x)φN (m, y) 〈Φ|b∗(n)b(m)|Φ〉 =

∞∑n,m=1

φD(n, x)φD(m, y) 〈Φ|a∗(n)a(m)|Φ〉 ,

(4.49)

1un’analisi piu dettagliata di termini simili verra eseguita nella sottosezione 4.3.5

51


dove gli a(n) sono gli operatori di creazione e distruzione della configurazione primadel quench, ovvero obbediscono alle (CAR) ed inoltre hanno i valori medi sullo statodi Gibbs definiti dalle (4.21), dunque deve essere

∞∑n,m=1

φN (n, x)φN (m, y) 〈Φ|b(n)b∗(m)|Φ〉 =∞∑n=1

φD(n, x)φD(n, y) . (4.50)

Vediamo che la (4.50) e soddisfatta se si pone

b(n) = Bnma(m) . (4.51)

Notiamo che data l’ortogonalita di Bnm, si ha che se gli a(m) soddisfano le (CAR) anchei b(m) lo fanno, il valore medio su Φ di b∗(n)b(m) non e pero definito dalla (4.21). Sesostituiamo la (4.51) nella (4.44) otteniamo proprio il campo quenched definito nella(4.16) dunque i due approcci sono perfettamente equivalenti nelle medie definite da Φ.

Da quanto fatto possiamo concludere che il quench introduce una dipendenza daltempo non banale delle funzioni correlazione per due ragioni,

(i) Il cambio di condizioni al bordo induce un mixing degli a(n) tramite la matriceortogonale infinita Bnm.

(ii) Il fatto che stiamo considerando un sistema con un numero finito di particelle equindi uno stato di Gibbs con N fissato tronca le somme in (4.25) e (4.30) facendosı che si abbia BNkl 6= δnm, CNkl 6= δnm.

Passiamo adesso ad applicare le stesse idee al caso n = 2.

4.2 Caso due bracci

Consideriamo adesso una teoria di campo scalare libera, non relativistica, definita suun grafo a due bracci. Supponiamo che all’istante t = t0 = 0 abbia luogo un quench checambia la matrice di scattering descrivente le condizioni al vertice nel seguente modo

S1 −→ S2(ε) ,

dove

S1 =

(−1 00 −1

), (4.52)

S2(ε, θ) =1

1 + ε2

(−1 + ε2 2εe−iθ

2εeiθ 1− ε2)

con ε ∈ R θ ∈ [0, 2π) . (4.53)

Si ha

U∗(ε, θ)S2(ε, θ)U(ε, θ) = Sd2 ≡(

1 00 −1

), (4.54)

con

U(ε, θ) = U∗(ε, θ) =1√

1 + ε2

(ε eiθ

e−iθ −ε

). (4.55)

Gli autovalori +1 e −1 in Sd implementano rispettivamente condizioni al bordo diNeumann e di Dirichlet per i campi non fisici.

Fisicamente questo tipo di quench corrisponde ad attaccare due nanofili (o in ge-nerale due sistemi quantistici 1 dimensionali) inizialmente staccati, in modo che allagiunzione sia presente un difetto che rende la trasmissione non perfetta per ε generico.

52

4.2. CASO DUE BRACCI

La situazione di trasmissione perfetta si ottiene per ε = 1, infatti le condizioni al verticedettate da S2(1, θ) sono

ψ1(t, 0) = eiθψ2(t, 0) , (4.56)

∂xψ1(t, 0) = −eiθ∂xψ(t, 0) , (4.57)

che rappresentano proprio le condizioni di continuita per il campo ψi(t, x) e la suaderivata al vertice (il segno meno deriva dal fatto che avvicinandosi al vertice la xdecresce da entrambe le parti) a meno di una fase per θ generico.

Vogliamo procedere come fatto nel caso precedente, per prima cosa quindi dobbia-mo scrivere l’operatore di evoluzione temporale nella configurazione dopo il quench (quando la matrice di scattering e S2(ε, θ)). Introduciamo un apice p per indicare i cam-pi e le funzioni d’onda nella configurazione prima del quench e un apice d per indicarequelli nella configurazione dopo il quench.

Considerando il campo non fisico nella configurazione di equilibrio dopo il quenchsi ha

ϕdi (t, x) =2∑j=1

Uij(ε, θ)ψdj (t, x) =∞∑m=1

φdi (m,x, 0)e−iωi(m)taj(m) . (4.58)

La (4.54) implica che ϕd1(0, x) e ϕd2(0, x) soddisfino rispettivamente le condizioni alvertice di Neumann e Dirichlet.

Dunque possiamo introdurre l’operatore di evoluzione temporale per le funzionid’onda Ui(t) in modo che si abbia

φdi (m,x, t) = Ui(t)φdi (m,x, 0) , (4.59)

si ha quindiUi(t) = e−itHi con H1 = HN e H2 = HD . (4.60)

Tornando ai campi fisici, possiamo scrivere

ψdi (t, x) =∞∑m=1

2∑j=1

U∗ij(ε, θ)φdj (m,x)e−iωj(m)taj(m) ≡∞∑m=1

2∑j=1

ρdij(m,x, t)aj(m) , (4.61)

dove abbiamo introdotto

ρdij(m,x, t) = U∗ij(ε, θ)φdj (m,x)e−iωj(m)t . (4.62)

Si ha dunque

ρdij(m,x, t) =

2∑p,q=1

U∗ip(ε, θ)Up(t)Upq(ε, θ)ρdqj(m,x, 0) , (4.63)

quindi abbiamo ottenuto che l’operatore di evoluzione temporale per le ρdij e

Uij(t, ε, θ) ≡2∑p=1

U∗ip(ε, θ)Up(t)Upj(ε, θ) . (4.64)

A questo punto, in analogia col caso ad un solo braccio, definiamo la funzione d’ondaquenched applicando l’operatore di evoluzione temporale della configurazione dopo ilquench alla funzione d’onda prima del quench, ovvero

χij(n, t, x) ≡2∑p=1

Uip(t, ε, θ)ρppj(n, x, 0) . (4.65)

53


Nel nostro caso si haρpij(n, x, 0) = δijφ

D(n, x) , (4.66)

infatti prima del quench la matrice di scattering e diagonale ed i campi soddisfano lecondizioni al vertice di Dirichlet.

Quindi definiamo i campi fisici quenched nel modo seguente

ψi(t, x) ≡2∑p=1

∞∑m=1

χip(m, t, x) ap(m) =

2∑p=1

∞∑m=1

Uip(ε, θ)Up(t)φD(m,x)ap(m) =

U∗i1(ε, θ)√

2∞∑

k,m=1

Bkm e−itωN (k) cos

((k − 1

2)πx)a1(m)

+ U∗i2(ε, θ)√

2

∞∑m=1

e−itωD(m) sin(mπx) a2(m) , (4.67)

e

ψ∗i (t, x) ≡2∑p=1

∞∑m=1

U∗ip(ε, θ)Up(t)φD(m,x) a∗p(m) =

U∗i1(ε, θ)√

2∞∑

k,m=1

Bkm eitωN (k) cos

((k − 1

2)πx)a∗1(m)

+ U∗i2(ε, θ)√

2

∞∑m=1

eitωD(m) sin(mπx) a∗2(m) , (4.68)

dove gli ai(n) e gli ai(n) ≡ Uipap(n) obbediscono alle regole di anti-commutazionecanoniche (CAR)

ai(n), a∗j (m)

= δijδnm , (4.69)

ai(n), aj(m) = 0 =a∗i (n), a∗j (m)

. (4.70)

Verifichiamo che il campo quenched cosı definito soddisfi le relazioni di anti-commutazionecanoniche

ψ∗i (t, x), ψj(t, y) =2∑p=1

∞∑m=1

χip(m, t, x)χjp(m, t, y) =

=2∑

p,q,r=1

∞∑m,n,k=1

U∗ir(ε)Ur(t)Urp(ε)U∗jq(ε)Uq(t)Uqp(ε)φD(m,x)φD(m, y)

=

2∑p,q,r=1

U∗ir(ε)Ur(t)Urp(ε)U∗jq(ε)Uq(t)Uqp(ε)δ(x− y)

=

2∑q=1

Uqi(ε)Uq(t)Uq(t)U∗jq(ε)δ(x− y) = δijδ(x− y) , (4.71)

mentre dalla (4.70) segue banalmente

ψ∗i (t, x), ψj(t, y) = 0 =ψ∗i (t, x), ψ∗j (t, y)

. (4.72)

Considerando lo stato di Gibbs Φ dell’algebra CAR, con temperatura uguale a zeroβ →∞ e numero di particelle N , si ha

〈Φ|a∗i (m)aj(n)|Φ〉 = δijδmnθ(N − n) , (4.73)

54


e〈Φ|ai(n)a∗j (m)|Φ〉 = δijδmnθ(n−N ) . (4.74)

Anche in questo caso notiamo che per t ≥ 0 i valori medi di combinazioni dei campiquenched definiti nelle (4.67, 4.68) sullo stato Φ non soddisfano le condizioni al bordodettate da S1 ne quelle dettate da S2(ε, θ).

Consideriamo la funzione correlazione a due punti calcolata con i campi quenchedS1 −→ S2(ε, θ) sullo stato di Gibbs

〈Φ|ψ∗i (t1, x1)ψj(t2, x2)|Φ〉S1→S2 =

2 U∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ)

∞∑k,l=1

CNkleit1ωN (k)−it2ωN (l) cos((k − 1

2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

)+

2 U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ)N∑n=1

eit12ωD(n) sin(nπx1) sin(nπx2) . (4.75)

Dato che i campi quenched soddisfano le relazioni di anticommutazione canoniche devevalere la sequente equazione

〈Φ|ψ∗i (t, x1)ψj(t, x2)|Φ〉S1→S2 + 〈Φ|ψj(t, x2)ψ∗i (t, x1)|Φ〉S1→S2 = δijδ(x1 − x2) . (4.76)

Verifichiamo la (4.76),

〈Φ|ψ∗i (t, x1)ψj(t, x2)|Φ〉S1→S2 + 〈Φ|ψj(t, x2)ψ∗i (t, x1)|Φ〉S1→S2 =

U∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ)∞∑

k,l=1

N∑n=1

BknBlneitωN (k)−itωN (l)

√2 cos

((k − 1

2)πx1

)√2 cos

((l − 1

2)πx2

)+

U∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ)∞∑

k,l=1

∞∑n=N+1

BknBlneitωN (k)−itωN (l)

√2 cos

((k − 1

2)πx1

)√2 cos

((l − 1

2)πx2

)+

U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ)N∑n=1

√2 sin(nπx1)

√2 sin(nπx2)+

U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ)∞∑

n=N+1

√2 sin(nπx1)

√2 sin(nπx2) . (4.77)

Dunque

〈Φ|ψ∗i (t, x1)ψj(t, x2)|Φ〉S1→S2 + 〈Φ|ψj(t, x2)ψ∗i (t, x1)|Φ〉S1→S2 =

U∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ)

∞∑k=1

√2 cos

((k − 1

2)πx1

)√2 cos

((k − 1

2)πx2

)+

U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ)

∞∑n=1

√2 sin(nπx1)

√2 sin(nπx2) =(

U∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ) + U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ))δ(x1 − x2) = δijδ(x1 − x2) . (4.78)

4.2.1 Altro approccio

Anche in questo caso possiamo procedere seguendo un approccio diverso, l’analogo nelcaso a piu bracci dell’approccio mostrato nella sezione 4.1.2.

Scriviamo il campo non fisico dopo il quench nel modo seguente

ϕj(t, x) =∞∑m=0

φdj (m,x)e−iωj(m)tbj(m) (4.79)

55


dove i b(n) obbediscono alle (CAR) mostrate in (4.69, 4.70).Possiamo riscriverlo in funzione del suo valore all’istante 0

ϕi(t, x) =

∞∑m=0

φdi (m,x)e−iωi(m)t

∫ L

0dyφdi (m, y)ϕi(0, y) =

=

∫ L

0dyQi(x, y, t)ϕdi (0, y) , (4.80)


Qi(x, y, t) ≡∞∑m=0

φdi (m,x)φdi (m, y)e−iωi(m)t . (4.81)

Se consideriamo il campo fisico ψi(x, t), possiamo scrivere:

ψi(x, t) =M∑j=0

Ud∗ij(ε, θ)ϕdj (x, t) =M∑j=0

Ud∗ij(ε, θ)∫ L

0dyQj(x, y, t)ϕdj (y, 0)

=

∫ L

0dy

M∑j,k=0

Ud∗ij(ε, θ)Qj(x, y, t)Udjk(ε, θ)ψdk(0, y) , (4.82)

dove abbiamo considerato il caso generale con un grafo a M bracci dato che non ci sonodifferenze significative.

Per la funzione di correlazione abbiamo dunque

CΦij(x, y, t) ≡ 〈Ψ| ψ∗i (x, t)ψj(y, t) |Ψ〉 = (4.83)∫∫

[0,L]2

dzdz′M∑

k,k′,h,h′=0

U∗dik(ε, θ)Qk(x, z, t)Udkk′(ε, θ)

× Ud∗jh(ε, θ)Qh(y, z′, t)Udhh′(ε, θ)CΦk′h′(z, z

′, 0+) .

Assumiamo come fatto in precedenza che

CΦk′h′(x, y, 0

+) = CΦk′h′(x, y, 0

−) , (4.84)

dove CΦk′h′(x, y, 0

−) e la funzione correlazione di equilibrio con la configurazione primadel quench.

Usiamo la (4.84) per trovare i valori medi di bi(n), utilizzando il fatto che la matricedi scattering prima del quench e S1 = −I si ha

M∑j′,j′′=1

∞∑n,m=1

U∗ij′(ε, θ)U∗jj′′(ε, θ)φdj′(n, x)φdj′′(m, y)⟨Φ|b∗j′(n)bj′′(m)|Φ

⟩=

=∞∑

n,m=1

φp(n, x)φp(m, y) 〈Φ|a∗i (n)aj(m)|Φ〉 , (4.85)

usando le (4.73,4.74) si ottiene dunque

M∑j′,j′′=1

∞∑n,m=1

U∗ij′(ε, θ)U∗jj′′(ε, θ)φdj′(n, x)φdj′′(m, y)⟨Φ|b∗j′(n)bj′′(m)|Φ

⟩=

δij

∞∑m=1

φp(m,x)φp(m, y) . (4.86)

56


Si vede che l’uguaglianza (4.86) e valida se si prende

bi(n) = Bi(n,m)ai(m) , (4.87)

dove Bi(n,m) sono tali che

∞∑n=1

Bi(n,m)φdi (n, x) = φp(m,x) . (4.88)

Nel caso in considerazione si ha che

(i) se le condizioni al vertice per ϕi(t, x) vengono passate da quelle di Dirichlet aquelle di Neumann Bi(n,m) = Bnm.

(ii) se le condizioni al vertice per ϕi(t, x) non cambiano durante il quench, rimanendoquelle di Dirichlet, Bi(n,m) = δnm.

Sostituendo le relazioni (4.87) nella (4.82) si ottiene

ψi(t, x) =2∑p=1

∞∑n,m=1

Uip(ε, θ)Bp(n,m)e−iωp(n)tφdp(n, x)ap(m) , (4.89)

che e equivalente alla (4.67), dunque i due approcci proposti sono equivalenti anche nelcaso a piu bracci.

4.2.2 Confronto con il caso discreto

In [6] viene studiato il caso di un quench locale in un modello su reticolo discretodescritto dalla seguente hamiltoniana

H = −1

2

N∑n=−N

tn(c†ncn+1 + c†n+1cn) , (4.90)

abbiamo preso il passo reticolare a ≡ 1, la densita n ≡ 1, il filling ν = an ≡ 1 e i cnobbediscono alle regole di anticommutazione standard

cn, c∗m = δijδnm , (4.91)

cn, cm = 0 = c∗n, c∗m . (4.92)

In questo sistema un quench e implementato supponendo

tn = 1 ∀n 6= 0 e t0 = 0 per t < 0 , (4.93)

tn = 1 ∀n per t ≥ 0 , (4.94)

ovvero si suppone da principio che il sistema sia composto da due sottoreticoli sconnessiche vengono attaccati all’istante 0.

Calcolando la funzione correlazione a due punti per t > 0 nel limite termodinamicodi L→∞ N →∞ con N

L = n = 1 fissato si ottiene

B(n,m, t)LT ≡ 〈cn(t)c†m(t)〉 =

∞∑p,q=−∞

ip−nJn−p(t)im−qJm−q(t)B(p, q, 0) , (4.95)

dove B(p, q, 0)LT = sin(π(p−q))π(p−q) − sin(π(p+q))

π(p+q) ≡ C(p, q) e la funzione correlazione all’equi-

librio per un reticolo semi-infinito e Jn(t) funzione di Bessel di ordine n.Ripristinando a (continuando a prendere ~ ≡ 1 e n ≡ 1 e m ≡ 1 (m e un unita di

misura della massa)) si ottiene

57


(i) tn → 1a2

(ii) B(p, q, 0)→ 1aB(p, q, 0)

(iii) Jn(t)→ a2π

∫ πa

−πadpeipa(n−m)−i 1

2a2cos(pa)t

A questo punto consideriamo il limite del continuo dell’espressione (4.95), ovvero illimite a→ 0 con ν

a = 1 fissato, si ottiene

B(η, η′, t)LT,LC =

∫∫[0,∞]2

dzdz′A(t, η − z)A(τ, η′ − z′)C(z, z′)

+

∫∫[0,∞]2

dzdz′A(t, η + z)A(t, η′ + z′)C(z, z′) , (4.96)

dove abbiamo posto η = na, η′ = am (η, η′ ∈ R) ed introdotto

A(t, z) ≡ 1

2π

∫ ∞−∞

dηe−itη2

2+iηz =

1√2πt

eiz2

2t e−iπ4 . (4.97)

Vogliamo confrontare la (4.96) con i risultati da noi ottenuti, per farlo dobbiamoeseguire il limite termodinamico (LT) L→∞, N →∞, con N

L = 1 fissato, della nostraespressione per la funzione correlazione a due punti nel caso ε = 1 e θ = 0 (chiameremoU(1, 0) = U).

Consideriamo CΦij(x, y, t) nella forma (4.83), grazie alla (4.84) essa puo essere scritta

CΦij(x, y, t) ≡ 〈Ψ| ψ∗i (x, t)ψj(y, t) |Ψ〉 (4.98)

=

∫∫[0,L]2

dzdz′2∑

k,k′,h,h′=0

U∗dikQk(x, z, t)Udkk′Ud∗jhQh(y, z′, t)Udhh′CΦ

k′h′(z, z′, 0) ,

dove (ripristinando L)

CΦij(x, y, 0) = δij

2

L

N∑n=1

sin (πnx) sin (πny) , (4.99)

perche prima del quench il sistema e all’equilibrio con condizioni di Dirichlet.

Consideriamo il (LT) della (4.98), si ha che

CΦij(x, y, 0)→ 2δij

∫ 1

0dp sin (πpx) sin (πpy) = C(x, y) , (4.100)

inoltre

Q1(t, x, y)→ 2

π

∫ ∞0

dηe−it η2

2 cos(ηx) cos(ηy) = A(t, x+ y) +A (t, x− y) (4.101)

e

Q2(t, x, y)→ 2

π

∫ ∞0

dηe−it η2

2 sin(ηx) sin(ηy) = A(t, x− y)−A(t, x+ y) . (4.102)

58


Sostituendo tutto nella (4.98) ed usando la forma esplicita delle U si ottiene

CΦij(x, y, t)LT = δij

∫∫[0,∞]2

dzdz′A(t, x+ z)A(t, y + z′)C(z, z′)

+δij

∫∫[0,∞]2

dzdz′A(t, x− z)A(t, y − z′)C(z, z′)

+(1− δij)∫∫

[0,∞]2

dzdz′A(t, x+ z)A(t, y − z′)C(z, z′)

+(1− δij)∫∫

[0,∞]2

dzdz′A(t, x− z)A(t, y + z′)C(z, z′) . (4.103)

Notiamo che qui stiamo etichettando i punti della retta reale con la coppia (x, i) conx ≥ 0 e i = 1, 2, mentre nella (4.96) si usa η ∈ R, possiamo quindi porre η = (−1)i+1x.Per confrontare i due risultati si deve quindi paragonare CΦ

ij(x, y, t)LT con

Bij(x, y, t)LT ≡ B((−1)i+1x, (−1)j+1y, t)LT,LC . (4.104)

Cosı facendo si vede che le due sono equivalenti.Quindi possiamo concludere che il modello da noi considerato riproduce nel li-

mite termodinamico, il limite del continuo del limite termodinamico della funzionecorrelazione a due punti del modello descritto dall’hamiltoniana (4.90) studiato in [6].

4.2.3 Forma finale funzione correlazione e comportamento a granditempi

Vogliamo riscrivere la funzione correlazione usando solo quantita dal significato fisicodiretto in modo che non ci siano ambiguita, ovvero vogliamo scrivere diversamenteU∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ) e U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ).

Usando la (4.54) e il fatto che U(ε, θ) e unitaria si ha

U∗i1(ε, θ)U∗j1(ε, θ) =1

2

(δji + (S2)ji(ε, θ)

), (4.105)

U∗i2(ε, θ)U∗j2(ε, θ) =1

2

(δji − (S2)ji(ε, θ)

). (4.106)

Usando poi che S22(ε, θ) = I si ha

(S2)2ii(ε, θ) = 1− |(S2)12(ε, θ)|2 ≡ 1− T 2 =

(1− ε2)2

(1 + ε2)2, (4.107)

dove T 2 e la probabilita di trasmissione dal braccio 1 al 2 o viceversa. Dunque dalla(4.75) si ha

CΦii (x1, x2, t) =

(1∓

√1− T 2

) N∑n=1

sin(nπx1) sin(nπx2) (4.108)

+(1±

√1− T 2

) ∞∑k,l=1

CNkleitωN (k)−itωN (l) cos((k − 1

2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

),

dove se (S2)ii ≥ 0 si devono prendere i segni sopra, altrimenti quelli sotto. Notiamo chela funzione correlazione sullo stesso braccio, che come vedremo sara quella necessariaper calcolare l’entropia di entanglement, non dipende da θ.

59


Il secondo termine del membro di destra della (4.128) analogo alla funzione cor-relazione (4.29) ottenuta nel caso di un singolo braccio, possiamo quindi utilizzare ilrisultato del calcolo della sottosezione 4.1.1 per trovare l’andamento a grandi tempi diCΦii (x1, x2, t) nel limite termodinamico. Dalla (4.43) si ottiene

limt→∞

CΦii LT (x1, x2, t) =

(1∓

√1− T 2

) ∫ 1

0dk sin(kπx1) sin(kπx2) (4.109)

+(1±

√1− T 2

) ∫ 1

0dk cos(kπx1) cos(kπx2)

=(1∓

√1− T 2

)sin ((x1 − x2)π)

(x1 − x2)π− sin ((x1 + x2)π)

(x1 + x2)π

+(1±

√1− T 2

)sin ((x1 − x2)π)

(x1 − x2)π+

sin ((x1 + x2)π)

(x1 + x2)π

,

che e proprio la funzione correlazione all’equilibrio della configurazione dopo il quenchnel limite termodinamico. Analogamente, considerando l’espressione (4.75), si vede chelo stesso vale anche per la funzione correlazione fra bracci distinti CΦ

ij LT (x1, x2, t).


Adesso vorremmo trovare l’andamento temporale delle entropie di Renyi bipartite, peravere una misura dell’andamento temporale dell’entanglement fra i due bracci del grafodopo il quench, per fare questo conviene introdurre la matrice di overlap associata allafunzione di correlazione CΨ

11(x1, x2, t).

4.3.1 Definizione e proprieta della matrice di overlap

La matrice di overlap A associata ad una funzione di correlazione C ridotta al sottosi-stema A e una matrice ordinaria con la seguente proprieta:

TrCkA = TrAk , ∀ k ∈ N , (4.110)

dove CA e la funzione correlazione ridotta al sottosistema A, ovvero CA = PACPA conPA proiettore sul sottosistema A e le tracce per “matrici” continue sono definite cosı

TrCnA =

∫dx1 ... dxnCA(x1, x2)...CA(xn, x1) =

=

∫Adx1 ... dxnC(x1, x2)...C(xn, x1) , n ∈ N. (4.111)

Se consideriamo una generica funzione di correlazione della forma

C(x, y, t) =M∑n=1

χn(x, t)χn(y, t) , (4.112)

dove le χn(x, t) : n = 1, ...,M sono un insieme ortonormale ∀ t ∈ R, si vede che sipuo ottenere una A con la proprieta richiesta ponendo

Anm =

∫P ∗Aχn(x, t)PAχm(x, t) =

∫Adx χn(x, t)χm(x, t) , n,m = 1, ...,M . (4.113)

La matrice di overlap cosı definita ha due proprieta molto importanti

(i) A e hermitiana, in particolare quindi ha autovalori reali.

60


(ii) A ha autovalori compresi fra 0 e 1.

La prima proprieta segue banalmente dalla scrittura (4.113), per dimostrare la seconda,scriviamo A in modo astratto come segue

Anm = (PAχn, PAχm) , n,m = 1, ...,M , (4.114)

dove (·, ·) e il prodotto scalare e χn con n = 1, ...,M un insieme ortonormale, sia U lamatrice unitaria che diagonalizza A, ovvero

UihAhkU∗kj = Adiiδij (4.115)

definiamo a questo punto fn ≡ Unmχm (sono evidentemete ancora un insieme ortonor-male), si ha dunque

Adii = Uiq(PAχq, PAχp)U∗pi = (PAfi, PAfi) = ‖PAfp‖2 , (4.116)

per cui0 ≤ Adii = ‖PAfp‖2 ≤ ‖fp‖2 = 1 , (4.117)

l’ultima disuguaglianza segue dal fatto che la norma dei proiettori e sempre ≤ 1, dunqueabbiamo provato quanto volevamo.

La matrice di overlap risulta molto utile per il calcolo delle entropie di Renyi, comevedremo seguendo il metodo introdotto in [11].

Per prima cosa si introduce il determinante di Fredholm

DA(λ) = det[λδA(x, y)− CA(x, y)], (4.118)

dove δA(x, y) e la delta ridotta al sottosistema A, ovvero δA(x, y) = PAδ(x, y)PA.Procediamo discretizzando il sistema, in modo da poter utilizzare i risultato ottenuti

su reticolo, alla fine prenderemo il limite del continuo. Sul discreto si ha semplicementeDA(λ)discreto = det[λI − CA], che e un polinomio in λ con gli zeri in corrispondenzadegli autovalori di CA, che in questo limite e una matrice ordinaria. Come mostrato in[7], dato che stiamo considerando fermioni liberi nel bulk del grafo, si ha che la matricedensita ridotta ρA e gaussiana, ovvero si ha

ρ = Z−1 exp(−H) , (4.119)

dove Z e una normalizzazione che serve a mantenere trρ = 1 e

H =∑i,j

Hijf∗i fj (4.120)

con f∗i e fi operatori di creazione e distruzione fermionici e Hij matrice hermitiana.Da questo segue che

Hij =∑k

UikεkU∗kj e CA ij =∑k

U∗ikηkUkj , (4.121)

dove U e un’opportuna matrice unitaria e si ha

ηi = (1 + eεi)−1 , (4.122)

come mostrato ad esempio in [38]. Dalla (4.122) segue che si possono scrivere le entropiedi Renyi usando gli autovalori di CA, come mostrato in [37], si ottiene

S(α) ≡ ln TrρAα

1− α=

∮dλ

2πieα(λ)

d ln det[λI− CA]

dλ, (4.123)

61


dove il contorno di integrazione racchiude l’intervallo [0, 1] e

eα(λ) =1

1− αln[λα + (1− λ)α] . (4.124)

Notiamo che l’espressione (4.123) e invariante sotto la trasformazione

ln det[λI− CA]→ ln det[λI− CA] +K lnλ ,

perche eα(0) = 0. Considerando il limite del continuo (con opportune regolarizzazioni)si ottiene

S(α) ≡ ln TrρAα

1− α=

∮dλ

2πieα(λ)

d lnDA(λ)

dλ. (4.125)

Notiamo che nel limite α→ 1 si ha eα(λ) = −λ lnλ− (1− λ) ln(1− λ) e dalla (4.125)si ottiene l’entropia di von Neumann.

Usando la proprieta (4.110) della matrice di overlap possiamo scrivere

lnDA(λ) ∼= ln[det[δA(x, y)− CA(x, y)

λ]]

= −∞∑n=1

Tr(CAn)

λnn=

= −∞∑n=1

Tr(An)

λnn∼= ln det[λI− A] =

M∑m=1

ln(λ− am) , (4.126)

dove il simbolo ∼= significa uguale a meno di un termine (che nel primo caso e da re-golarizzare perche divergente) proporzionale a lnλ, che non da contributo nella (4.125)(perche eα(0) = 0), l’uguaglianza della prima riga e una proprieta dei determinanti diFredholm e am sono gli autovalori di A.

Sostituendo quanto trovato nella (4.125) si ha

S(α) =

∮dλ

2πieα(λ)

M∑m=1

1

λ− am=

M∑m=1

eα(am) =1

1− αTr ln[Aα + (I− A)α] , (4.127)

per il teorema dei residui.

4.3.2 Calcolo della matrice di overlap per il modello considerato

Come visto nella sezione precedente, nel caso di ε ≥ 1, la funzione correlazione CΨ11(x1, x2, t)

assume la forma

CΨ11(x1, x2, t) =

( 2

1 + ε2) N∑n=1

sin(nπx1) sin(nπx2)

( 2ε2

1 + ε2) ∞∑k,l=1


2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

). (4.128)

dunque per ricondursi alla notazione della precedente sottosezione si ha

CΨ11(x1, x2, t) =

2N∑n=1

χ(n, x, t)χ(n, y, t) , (4.129)

con

χ(n, x, t) =

√

2ε2

1 + ε2

∞∑k=1

Bkne−itωN (k) cos

((k − 1

2)πx), 1 ≤ n ≤ N ,√

2

1 + ε2sin((n−N )πx

), N + 1 ≤ n ≤ 2N .

(4.130)

62


La matrice di overlap associata a CΨ11(x1, x2, t), ovvero alla funzione correlazione ridotta

ad un braccio del grafo e

Anm =

∫ L

0dx χ(n, x, t)χ(m,x, t) , n,m = 1, ..., 2N . (4.131)

Svolgendo i calcoli si ottiene

Amn =ε2

1 + ε2δmn , 1 ≤ n,m ≤ N , (4.132)

Amn =1

1 + ε2δmn , N + 1 ≤ n,m ≤ 2N , (4.133)

Amn =ε

1 + ε2

∞∑k=1

Bkm′Bkne−iωN (k)t , 1 ≤ n ≤ N , N + 1 ≤ m ≤ 2N , (4.134)

Amn =ε

1 + ε2

∞∑k=1

BkmBkn′e+iωN (k)t , 1 ≤ m ≤ N , N + 1 ≤ n ≤ 2N , (4.135)

dove n′ = n−N e m′ = m−N . Possiamo scrivere A in forma a blocchi N -dimensionali

A =

(ε2

1+ε2I T

2 D(t)T2 D(t) 1

1+ε2I

), (4.136)

dove

D(t)nm =

∞∑k=1

BkmBkne−iωN (k)t . (4.137)

4.3.3 La matrice E

Introduciamo anche la matrice E = A(I−A) che e la variabile naturale per la entropiedi Renyi, infatti come mostrato in [9]

S(α) =−1

1− α

∞∑n=1

4n

nTrEn

bα2c∑

p=1

cos2n(π

2p− 1

2α

), (4.138)

con α ∈ N e α ≥ 2 (bac rappresenta la parte intera di a).

La matrice E inoltre puo essere collegata ai cumulanti V(k)A (la regione A in questo

caso e un braccio del grafo) introdotti nel capitolo 1. Infatti, come mostrato in [12], siha

V(2k)A =

k∑n=1

wk,nTrEn , (4.139)

dove

wk,n = 2

n∑p=1

(−1)p+1p2k (2n− 1)!

(n− p)!(n+ p)!. (4.140)

Usando la (4.136) si ha

E = A(I− A) =T 2

4

(I− D(t)D(t) 0

0 I− D(t)D(t)

), (4.141)

da cui

TrE(t) =T 2

2

(Tr(I− D(t)D(t)

)), (4.142)

63


dove

Tr(D(t)D(t)

)=

∞∑p,q=1

N∑m,n=1

BpmBpnBqnBqme−iωN (p)te+iωN (q)t . (4.143)

Notiamo che si ha

δnm =N∑k=1

δnkδkm =N∑k=1

∞∑p,q=1

BpnBpkBqkBqm , (4.144)

quindi possiamo scrivere

TrE(t) =T 2

2

∞∑p,q=1

N∑m,n=1

BpmBpnBqnBqm

(1− ei(ωN (p)−ωN (q))t

). (4.145)

Se si considerano le TrEk(t) con k generico si ha

TrEk(t) =

(T

2

)2k N∑n1,...,nk,m1,...,mk=1

∞∑p1,...,pk,q1,...,qk=1

Bp1n1Bp1m1Bq1m1Bq1n2 · · ·

BpknkBpkmkBqkmkBqkn1

(1− ei(ωN (p1)−ωN (q1))t

)· · ·(

1− ei(ωN (pk)−ωN (qk))t)

+ c.c. .

(4.146)

Usando la (4.30) si possono svolgere le somme finite, considerando la (4.145) siottiene

TrE(t) =2T 2

π4

∞∑k,k′=1

1− e−it(ωN (k)−ωN (k′))

((k − 12)2 − (k′ − 1

2)2)2×

(k − 1

2)

[ψ

(N + k +

1

2

)− ψ

(N − k +

3

2

)]

− (k′ − 1

2)

[ψ

(N + k′ +

1

2

)− ψ

(N − k′ + 3

2

)]2

. (4.147)

Notiamo che, per le proprieta di ψ, si ha:

ψ

(N + k +

1

2

)− ψ

(N − k +

3

2

)=

N+k∑n=|N+1−k|

1

n− 12

, ∀ k ∈ N. (4.148)

4.3.4 Andamenti temporali delle entropie di Renyi dopo il quench nelcaso finito

Possiamo usare le formule (4.132) che definiscono gli elementi di matrice di A percalcolarla e diagonalizzarla numericamente a fissati valori della massa m, del numerodi particelle Ntot = 2N , della trasmissione T e della lunghezza totale del sistemaLtot = 2L.

Procedendo in questo modo calcoliamo l’andamento temporale di S(α) con α =1, 2, 4 e TrEk con k = 1, 2, 4, 6, per Ntot = 40, 100, 200, m = 1 e Ltot = 2. Ripor-tando nelle figure, gli andamenti delle quantita considerate in funzione del parametroadimensionale x ≡ vF t

L , dove vF ≡ πN e la velocita di Fermi del sistema.

64


Figura 4.3: S(1)(x) per 0 ≤ x ≤ 6, conx ≡ vF t

L


L


L


L

Caso T = 1

Iniziamo considerando il caso T = 1 per confrontare i risultati numerici con le predizionidella CFT.

Il calcolo di CFT eseguito al capitolo 2 fornisce il seguente risultato per l’andamentotemporale delle entropie di Renyi dopo il quench

S(α) =1

6

(1 +

1

α

)log

∣∣∣∣ 2π sinπx

2

∣∣∣∣+ cα , (4.149)

dove cα e una costante che non viene determinata nell’approccio di CFT.

La (4.149), come discusso nel capitolo 2, e valida per x “lontano” da 2n con n ∈ N.

Le figure 4.3-4.5 riportano il confronto fra la predizione fornita dalla (4.149) ed irisultati del calcolo numerico per S(1)(x), S(2)(x) e S(4)(x) con x ∈ [0, 6], mentre lefigure 4.6-4.8 riportano gli andamenti delle medesime quantita concentrandosi sull’in-tervallo x ∈ [0, 2]. Si osserva che nell’intervallo x ∈ [0, 2] l’accordo e buono per tuttigli Ntot considerati, notiamo che per x ∈ [1, 2] si hanno delle “oscillazioni” intorno aivalori predetti dalla (4.149) che diminuiscono aumentando Ntot, inoltre notiamo che perNtot = 200 l’accordo rimane buono per tutto l’intervallo x ∈ [0, 6], mentre per Ntot = 40nell’intervallo x ∈ [4, 6] peggiora notevolmente.

65



L


L

Figura 4.9: TrE(x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.10: TrE2(x) per 0 ≤ x ≤ 2

Per quanto riguarda le TrEk, ipotizziamo che il loro andamento temporale sia

TrEk = C(k) log

(∣∣∣∣ 2π sinπvF t

2

∣∣∣∣)+ ck , (4.150)

dove ck e una costante e

C(k) ≡ 1

π2

((k − 1)!)2

(2k − 1)!, (4.151)

ovvero supponiamo che l’evoluzione temporale delle TrEk segua la stessa legge delleentropie di Renyi e fissiamo i coefficienti moltiplicativi C(k) in analogia con quantosuccede per lo scaling con logN nel caso stazionario. Questa supposizione e motivatadal fatto che assumendo la (4.150) per l’evoluzione temporale delle TrEk si riesce adottenere la (4.149) per quella delle S(α), almeno per α ∈ N e α ≥ 2, eseguendo uncalcolo analogo a quello riportato in [9] con la sostituzione logN → log| 2π sin(πx2 )|2(ponendo T = 1).

Le figure 4.9-4.12 riportano il confronto fra i risultati numerici e le previsioni della(4.150) per gli andamenti di TrE(x), TrE2(x), TrE4(x) e TrE6(x) per x ∈ [0, 2]. Anchein questo caso l’accordo osservato e ottimo, soprattutto per Ntot = 200.

Gli andamenti osservati possono essere spiegati, almeno dal punto di vista qualita-tivo, utilizzando l’interpretazione fornita in [4] e [1].

Dopo il quench il sistema si trova in uno stato eccitato per la nuova hamiltoniana(tale stato non e un autostato della nuova hamiltoniana) ed agisce come sorgente di

66


Figura 4.11: TrE4(x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.12: TrE6(x) per 0 ≤ x ≤ 2

Figura 4.13: Andamento delle quasiparticelle, (si e posto vF = 1 e Ltot = L), figurapresa da [22]

quasi-particelle, ovvero eccitazioni con energia vicina all’energia di Fermi EF = π2N 2

2 ,che una volta emesse si propagano liberamente. Nel caso di un quench locale come quelloche stiamo considerando le quasi-particelle vengono emesse solo dal punto in cui e statoeseguito il quench. Consideriamo una coppia di quasiparticelle che si propagano unaverso destra e l’altra verso sinistra, dato che sono state emesse simultaneamente dallostesso punto possiamo ipotizzare che siano fortemente entangled fra di loro. Muovendosirispettivamente nel braccio 1 e nel braccio 2 arrivano in regioni inizialmente scorrelatedando luogo a correlazioni non banali, quando hanno raggiunto il bordo vengono riflessee le la loro correlazione viene distrutta, iniziano a questo punto a tornare indietroscorrelando le zone che prima avevano correlato, fino a quando non si incontrano nelpunto del quench ed il processo inzia da capo, come mostrato in figura 4.13, spiegandoquindi immediatamente la periodicita che si osserva nelle figure. Da quanto dettosegue che la dimensione delle zone correlate risulta proporzionale alla distanza fra ledue quasi-particelle. Supponiamo inizialmente che le quasiparticelle si muovano tuttealla velocita di Fermi vF , ovvero che la dispersione per tali quasiparticelle sia lineare.

Nel caso stazionario se si misura l’entanglement fra un sottosistema di dimensione` di un sistema di dimensione finita Ltot ed il resto del sistema, come visto nel capitolo

2, si ha (prendendo L = 1) S ∝ log∣∣ 2π sin π`

2

∣∣2. Nel nostro caso possiamo supporre chevalga una relazione simile dove pero al posto di ` sia presente la dimensione della zonacorrelata, ovvero

`eff (t) =

vF t per 0 ≤ t ≤ Ltot/2vFL− vF t per Ltot/2vF ≤ t ≤ Ltot/vF .

(4.152)

67


Si ottiene quindi S(t) ∝ log∣∣ 2π sin πvF t

2

∣∣2, che e in accordo con la predizione (4.149).Utilizzando questa interpretazione possiamo comprendere anche le deviazioni osservatedai valori predetti dalla (4.149), infatti nel caso in considerazione siamo in presenzadi una dispersione parabolica, dunque la dispersione lineare e solo un’approssimazioneper impulsi intorno all’impulso di Fermi, che e tanto piu buona quanto piu l’impulsodi Fermi e grande. Piu precisamente, si avranno quasiparticelle con velocita v ∈ [vF −δ, vF + δ] con un opportuno δ, dunque per t ∈ [0, Ltot/vF ] si avra vt ≈ vF t per vF >>δ, ovvero per Ntot abbastanza grandi. In questo caso l’approssimazione lineare saraben verificata. Tuttavia, vediamo che per quanto sia grande vF esistera un tempo incui l’effetto delle quasiparticelle con velocita diversa da vF non sara piu trascurabile.L’effetto della presenza di quasiparticelle con velocita diversa da vF e quello di rendere ladipendenza dal tempo di `eff (t) piu complicata di quella descritta in precedenza, questae l’origine deviazioni dalla predizione CFT che si osservano, esse, come ci aspettiamo,aumentano per piccoli Ntot e per tempi lunghi.

Caso con trasmissione non perfetta

Usando la (4.132) si vede che TrEk(T, t) = (T )2k TrE(0, t), notando poi che nel casoT = 1 si osserva per le TrEk(x) un comportamento (4.150), siamo motivati a supporre

TrEk(T, x) = (T )2k C(k) log


2

∣∣∣∣)+ c′k , (4.153)

dove c′k e una costante.Utilizzando la (4.153) possiamo svolgere un calcolo analogo a quello in [9], con la

sostituzione logN → log(∣∣ 2

π sin πvF t2

∣∣2), ottenendo

S(α) = C(α)(T ) log


2

∣∣∣∣2)

+ c′α , (4.154)

con c′α costante e

C(α)(T ) ≡ 1

1− α2

π2

bα/2c∑p=1

arcsin2

(T cos

(2p− 1)π

2α

), (4.155)

valido per α ∈ N e α ≥ 2.Per il caso α = 1 invece

C(1)(T ) =− 2

π2

[(1 + T ) log(1 + T ) + (1− T ) log(1− T )] log(T )

+ (1 + T )Li2(−T ) + (1− T )Li2(T ), (4.156)

in analogia con quanto fatto in [9] nel caso stazionario (per maggiori dettagli si puoconsultare anche [8]).

Le figure 4.14-4.21 riportano il confronto fra i risultati numerici e la previsionedata dalla formula (4.153) per quanto riguarda gli andamenti di TrE(T, x), TrE2(T, x),TrE4(T, x) e TrE6(T, x) per due diversi valori della trasmissione, T1 = 3

5 e T2 = 45 .

Come si puo vedere l’accordo e ottimo, il che conferma le nostre ipotesi.Le figure 4.22-4.23 e 4.24-4.25, infine, confrontano la previsione della formula (4.154)

con i risultati numerici considerando gli andamenti di S(1)(T, x) e S(2)(T, x) rispettiva-mente per T = T1 e T = T2, e mostrano ancora una volta un ottimo accordo. Questoprova numericamente la (4.154), almeno nel caso α = 1, 2 (in realta abbiamo verificatola sua validita anche per α = 4, 6 senza riportare gli andamenti in figura)

68


Figura 4.14: TrE(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.15: TrE2(3

5 , x) per 0 ≤ x ≤ 2

Figura 4.16: TrE4(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.17: TrE6(3

5 , x) per 0 ≤ x ≤ 2

Figura 4.18: TrE(45 , x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.19: TrE2(4

5 , x) per 0 ≤ x ≤ 2

69


Figura 4.20: TrE4(45 , x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.21: TrE6(4

5 , x) per 0 ≤ x ≤ 2

Figura 4.22: S(1)(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.23: S(2)(3

5 , x) per 0 ≤ x ≤ 2

Abbiamo quindi mostrato che l’andamento temporale delle entropie di entanglementS(α), nel caso di un sistema con un difetto risulta qualitativamente simile a quellodescritto dalla CFT, ma presenta una coefficiente moltiplicativo C(α)(T ) dipendentedalla trasmissione T che si ha al difetto e da α. Tali coefficienti non possono essereinterpretati come cariche centrali effettive perche 6α

α+1C(α)(T ), dipende non solo da T

ma anche da α.

Sottolineamo che l’unico punto che risulta non analiticamente provato nella de-rivazione della (4.154) e l’assunzione (4.150), che pero risulta molto naturale percheriproduce l’andamento (4.149) calcolato analiticamente tramite la teoria conforme edinoltre e verificato numericamente, almeno per piccoli k.

4.3.5 Calcolo di TrE(t) nel limite termodinamico

Consideriamo il limite termodinamico della (4.147), ovvero il limite L → ∞, N → ∞con NL = n ≡ 1 fissato, usando la proprieta (4.148) si ottiene

TrELT (t) =2T 2

π4

∫∫[0,∞]2

dpdq1− e−i

π2

2t(p2−q2)

(p2 − q2)2

p log

[∣∣∣∣1− p1 + p

∣∣∣∣]− q log

[∣∣∣∣1− q1 + q

∣∣∣∣]2

,

(4.157)notiamo che l’integranda e ben definita nel dominio di integrazione a parte due singo-larita in p = 1 e q = 1 che sono comunque integrabili.

70


Figura 4.24: S(1)(45 , x) per 0 ≤ x ≤ 2 Figura 4.25: S(2)(4

5 , x) per 0 ≤ x ≤ 2

Vogliamo adesso mostrare che nel limite termodinamico e possibile calcolare inmaniera analitica l’andamento di TrELT (t) per grandi tempi, per fare questo poniamo

per comodita α ≡ π2

2 t e calcoliamo l’andamento dominante a grandi α dell’integrale(4.157).

Per prima cosa riscriviamolo nel modo seguente

TrELT (α) =8T 2

π4

∫∫[0,1]2

dpdq1− e−iα(p2−q2)

(p2 − q2)2

p tanh−1(p)− q tanh−1(q)

2

+8T 2

π4

∫∫[0,1]×[1,∞]


(p2 − q2)2

p tanh−1(p)− q coth−1(q)

2

+8T 2

π4

∫∫[1,∞]×[0,1]


(p2 − q2)2

p coth−1(p)− q tanh−1(q)

2

+8T 2

π4

∫∫[1,∞]2


(p2 − q2)2

p coth−1(p)− q coth−1(q)

2. (4.158)

A questo punto per trovare l’andamento dominante a grandi tempi dell’integrale ri-sulta conveniente ruotare i cammini di integrazione. Consideriamo dapprima l’integralein q, integrando le funzioni analitiche

f(z) =

∫ 1

0dp

1− e−iα(p2−z2)

(p2 − z2)2

p tanh−1 p− z tanh−1 z

2

+

∫ ∞1

dp1− e−iα(p2−z2)

(p2 − z2)2

p tanh−1 p− z coth−1 z

2,

e

g(z) =

∫ 1

0dp

1− e−iα(p2−z2)

(p2 − z2)2

p coth−1 p− z tanh−1 z

2

+

∫ ∞1

dp1− e−iα(p2−z2)

(p2 − z2)2

p coth−1 p− z coth−1 z

2,

sui cammini mostrati in figura 4.26 ed usando l’identita

tanh−1(z)− coth−1(z) = iπ

2, (4.159)

71


Re q

Im q

π4

I

I

I

I

1

I

I

I

Figura 4.26: Cammini su cui integrarerispettivamente f(z) e g(z)

Re p

Im p

−π4

I

I

I

I1

II

I

Figura 4.27: Cammini per “ruotare” gliintegrali in p

si ottiene

TrELT (α) =8T 2

π4

∫∫[0,1]2

dpdq eiπ4

1− e−α(q2+ip2)

(p2 − iq2)2

eiπ

4 q tanh−1(eiπ4 q)− p tanh−1(p)

2

+8T 2

π4

∫∫[0,1]×[1,∞]

dpdq eiπ4

1− e−α(q2+ip2)

(ip2 − iq2)2

eiπ

4 q tanh−1(eiπ4 q)− p coth−1(p)

2

+8T 2

π4

∫∫[1,∞]×[0,1]

dpdq eiπ4

1− e−α(q2+ip2)

(ip2 − iq2)2

eiπ

4 q coth−1(eiπ4 q)− p tanh−1(p)

2

+8T 2

π4

∫∫[1,∞]2

dpdq eiπ4

1− e−α(p2+iq2)

(p2 − iq2)2

eiπ

4 q coth−1(eiπ4 q)− p coth−1(p)

2

+8T 2i

π4

∫∫[0,π

4]×[1,∞]

dϕdp eiϕ 1− eiα(e2iϕ−p2)

(p2 − e2iϕ)2

iπe2iϕ coth−1 eiϕ + iπeiϕp coth−1 p

+π2

4e2iϕ

+

8T 2i

π4

∫∫[0,π

4]×[0,1]

dϕdp eiϕ 1− eiα(e2iϕ−p2)

(p2 − e2iϕ)2

iπe2iϕ coth−1 eiϕ + iπeiϕp tanh−1 p

+π2

4e2iϕ

. (4.160)

Procedendo in modo analogo per gli integrali in p (anche in questo caso non ci sonoresidui), utilizzando i contorni in figura 4.27 si ottiene infine

72


TrELT (α) = −8T 2

π4

∫∫[0,1]2

dqdp1− e−α(p2+q2)

(p2 + q2)2

eiπ

4 q tanh−1(eiπ4 q)− e−iπ

4 p tanh−1(e−iπ4 p)2

−8T 2

π4

∫∫[0,1]×[1,∞]


(p2 + q2)2

eiπ


4 p coth−1(e−iπ4 p)2

−8T 2

π4

∫∫[1,∞]×[0,1]


(p2 + q2)2

eiπ

4 q coth−1(eiπ4 q)− e−iπ

4 p tanh−1(e−iπ4 p)2

−8T 2

π4

∫∫[1,∞]2


(p2 + q2)2

eiπ


4 p coth−1(e−iπ4 p)2

−8T 2

π4

∫∫[0,1]×[0,π

4]

dqdθ1− e−α(q2+ie−2iθ)

eiπ4 (iq2 − e−2iθ)2

e−3iθ

((tanh−1 e−iθ)2 − (coth−1 e−iθ)2

)+ iπe−2iθeiπ

4 q tanh−1(eiπ4 q)

−8T 2

π4

∫∫[1,∞]×[0,π

4]



e−3iθ


)+ iπe−2iθeiπ

4 q coth−1(eiπ4 q)

−8T 2

π4

∫∫[0,1]×[0,π

4]

dpdϕ eiπ4

1− e−α(q2−ie2iϕ)

(iq2 − e2iϕ)2

e3iϕ

((tanh−1 eiϕ)2 − (coth−1 eiϕ)2

)− iπe2iϕe−iπ

4 q tanh−1(e−iπ4 p)

−8T 2

π4

∫∫[1,∞]×[0,π

4]

dpdϕ eiπ4

1− e−α(p2−ie2iϕ)

(ip2 − e2iϕ)2

e3iϕ

((tanh−1 eiϕ)2 − (coth−1 eiϕ)2

)− iπe2iϕe−iπ

4 p coth−1(e−iπ4 p)

−4T 2

π2

∫∫[0,π

4]2

dθdϕ e2iϕe−2iθ 1− e−α(ie−2iθ−ie2iϕ)

(e−2iθ − e2iϕ)2. (4.161)

Mostriamo ora che a grandi α tutti i termini sono depressi rispetto all’ultimo.

Consideriamo il primo termine, esso puo essere separato in un termine costante euno dipendente da α, adoperando per quest’ultimo l’approssimazione di punto sella siha

∫∫[0,1]2

dpdq1− e−α(p2+q2)

(p2 + q2)2

eiπ

4 p tanh−1(eiπ4 p)− e−iπ

4 q tanh−1(e−iπ4 q)2≈ a+

π

α,

(4.162)dove a e un’opportuna costante ed il simbolo ≈ significa uguale a meno di ordinisuperiori in 1

α .

Il secondo e il terzo termine sono l’uno il complesso coniugato dell’altro, conside-reremo dunque solo il primo dei due. Come fatto in precedenza separiamo il terminecostante e quello dipendente da α, adoperando per quest’ultimo l’approssimazione di

73


punto sella nell’integrale in q si ottiene dunque∫∫[0,1]×[1,∞]


(p2 + q2)2

eiπ


4 p coth−1(e−iπ4 p)2≈

a1 + i

√π

α

∫ ∞1

dp e−αp2

coth−1(e−iπ

4 p)2

p2≤ a1 + a2

e−α√α, (4.163)

dove a1 e a2 sono opportune costanti.Per quanto riguarda il quarto termine possiamo utilizzare la seguente stima∫∫

[1,∞]2


(p2 + q2)2

eiπ


4 p coth−1(e−iπ4 p)2≤ a1e

−2α + a2 ,

(4.164)dove a1 e a2 sono opportune costanti.

Il quinto e il settimo termine sono uno il complesso coniugato dell’altro, consideria-mo ad esempio il primo dei due. Applicando il metodo del punto sella per l’integralein q si ottiene∫∫

[0,1]×[0,π4

]



e−3iθ


)+

+ iπe−2iθeiπ4 q tanh−1(eiπ

4 q)≈ a1 +

a2√α

∫ π4

0dθ e−α(ie−2iθ)eiπ

4 eiθ

(iπ coth−1 e−iθ − π2

4

)≤ a1 +

a2√α

∫ π4

0dθ

∣∣∣∣iπ coth−1 e−iθ − π2

4

∣∣∣∣ ≤ a1 +b√α, (4.165)

dove a1, a2 e b sono opportune costanti e nell’ultima disuguaglianza abbiamo usato ilfatto che l’integrale e finito.

Consideriamo infine il sesto e l’ottavo termine. Anche in questo caso sono uno ilcomplesso coniugato dell’altro e considereremo il primo dei due.

Si ha che∫∫[1,∞]×[0,π

4]



e−3iθ


)+

+ iπe−2iθeiπ4 q coth−1(eiπ

4 q)≤

≤ a1 − e−α∫∫

[1,∞]×[0,π4

]

dqdθ

∣∣∣∣∣e−3iθ((tanh−1 e−iθ)2 − (coth−1 e−iθ)2

)+ iπe−2iθeiπ

4 q coth−1(eiπ4 q)

(iq2 − e−2iθ)2

∣∣∣∣∣≤ a1 − a2 e

−α , (4.166)

dove a1 e a2 sono opportune costanti ed anche in questo caso nell’ultima disuguaglianzaabbiamo usato il fatto che l’integrale e finito.

Consideriamo adesso l’ultimo termine, l’integrando presenta una divergenza per ϕe θ vicini a zero, dividiamolo in 2 parti∫∫

[0,π4

]2


(e−2iθ − e2iϕ)2=

∫∫B(0,δ)


(e−2iθ − e2iϕ)2

+

∫∫[0,π

4]2\B(0,δ)


(e−2iθ − e2iϕ)2, (4.167)

74


dove B(0, δ) =

(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 , y ≥ 0 e x+ y ≤ δ2

.Consideriamo prima il secondo termine, l’integranda e ben definita nel dominio di

integrazione e possiamo dunque maggiorarlo con una costante.Per quanto riguarda il primo termine scegliendo δ abbastanza piccolo possiamo

sviluppare eiθ ed eıϕ per θ e ϕ vicino a zero, al primo ordine si ottiene∫∫B(0,δ)


(e−2iθ − e2iϕ)2=

1

4

∫∫B(0,δ)

dθdϕ1− e−2α(θ+ϕ)

(θ + ϕ)2. (4.168)

Facendo adesso il cambio di variabili ϕ = αϕ θ = αθ si ha

1

4

∫∫B(0,δ)


(θ + ϕ)2=

1

4

∫∫B(0,α δ)

dθdϕ1− e−2(θ+ϕ)

(θ + ϕ)2, (4.169)

si vede che l’integrale a secondo membro diverge per α→∞.Possiamo quindi concludere che a grandi α

TrELT (α) ≈ T 2

π2

∫∫B(0,δ)


(θ + ϕ)2+ ordini superiori

=4T 2

π2

∫ δ

0dr

1− e−2αr2

r

∫ π2

0dφ sin(φ) cos(φ) + ordini superiori

=2T 2

π2

∫ δ

0dr

1− e−2αr2

r+ ordini superiori , (4.170)

dove abbiamo fatto il cambio di variabili θ′ =√θ e ϕ′ =

√ϕ e siamo passati poi a

coordinate polari.Se consideriamo la derivata rispetto a α della (4.170) otteniamo

d

dαTrELT (α) ≈ 4T 2

π2

∫ δ

0dr re−2αr2 ≈ T 2

π2

1

α, (4.171)

dunque

TrELT (α) ≈ T 2

π2log(α) . (4.172)

Abbiamo quindi mostrato che a grandi t

TrELT (t) =T 2

π2log(t) + a+O(

1√t) , (4.173)

dove a e una costante che non abbiamo determinato. Dunque nel limite termodinamicosiamo riusciti a mostrare analiticamente la validita della (4.153) almeno nel caso k = 1.

4.3.6 Quench opposto

Consideriamo il caso in cui nel sistema in considerazione venga eseguito un tipo diquench opposto a quello studiato, ovvero S2(ε) −→ S1.

In questo caso procedendo in maniera del tutto analoga a quanto fatto in precedenzasi ottiene la seguente funzione correlazione ristretta allo stesso braccio

CΦii (x1, x2, t) =

2

1 + ε2

N∑n=1


+2ε2

1 + ε2

∞∑k,l=1

BNkleitωD(k)−itωD(l) sin(kπx1

)sin(lπx2

). (4.174)

75


Notiamo che la funzione di correlazione (4.174) presenta una dipendenza non banaledal tempo, come succedeva per la (4.128).

Se vogliamo calcolare l’andamento temporale dell’entanglement fra i due braccidopo un quench di questo tipo, dobbiamo calcolare anche in questo caso la matrice dioverlap A associata a CΦ

ii (x1, x2, t), procedendo come fatto nella sottosezione 4.3.2 siottiene

Amn =ε2

1 + ε2δmn , 1 ≤ n,m ≤ N , (4.175)

Amn =1

1 + ε2δmn , N + 1 ≤ n,m ≤ 2N , (4.176)

Amn =ε

1 + ε2Btm′ne

−iωD(m′)t , 1 ≤ n ≤ N , N + 1 ≤ m ≤ 2N , (4.177)

Amn =ε

1 + ε2Bmn′e

+iωD(n′)t , 1 ≤ m ≤ N , N + 1 ≤ n ≤ 2N , (4.178)

dove n′ = n−N e m′ = m−N .Dunque si ha

E = A(I− A) =T 2

4

(I− BN 0

0 I− BN (t)

), (4.179)

dove la matrice BN e quella definita nella (4.25) ed abbiamo introdotto BN (t) cosıdefinita

BN (t)nm = e−i(ωD(n)−ωD(m))tBNnm . (4.180)

Dalla (4.180) segue che

BN (t)knm = e−i(ωD(n)−ωD(m))tBN knm con ∀ k ∈ N , (4.181)

questo significa che le Tr BN (t)k con k ∈ N sono indipendenti dal tempo e quindi losono anche le TrEk con k ∈ N. Dato che possiamo scrivere tutte le entropie di Renyicon α ∈ N e α ≥ 2 tramite le TrEk esse in questo caso risultano indipendenti daltempo, questo puo accadere soltanto se l’entanglement fra i due bracci non dipendedal tempo e rimane fissato al valore iniziale. Questo risultato concorda con l’intuizionefisica, infatti avendo scollegato i due bracci essi non possono piu variare l’entanglementfra loro. Notiamo che questo risultato dipende dai sottosistemi che abbiamo scelto diconsiderare, se avessimo considerato l’entanglement fra una parte di un braccio e ilresto del grafo avremmo ottenuto una dipendenza dal tempo non banale.

4.4 Caso di n bracci

Possiamo adesso generalizzare quanto fatto considerando il caso di un quench su ungrafo a n bracci. Il quench che vogliamo prendere in considerazione e una direttageneralizzazione di quello considerato fino ad ora, supponiamo che per t < 0 la matricedi scattering del grafo ad n bracci sia S1 = −I, mentre per t ≥ 0 sia S2, una genericamatrice di scattering invariante di scala con spettro costituito da p valori 1 e n−p valori−1. Dunque consideriamo il quench che cambia istantaneamente da quelle di Dirichlet aquelle di Neumann le condizioni al bordo per p campi non fisici lasciando invariate quelleper gli altri n− p. Fisicamente tale quench corrisponde a congiungere istantaneamenten nanofili inizialmente scollegati. Definendo i campi quenched in maniera del tuttoanaloga a quanto fatto nel caso precedente (4.67) (4.68) con l’unica differenza che inquesto caso le U (per brevita non specifichiamo da quali parametri dipendono comeinvece facevamo nel caso di 2 bracci) sono matrici unitarie n×n, possiamo calcolare la

76

4.4. CASO DI N BRACCI

funzione correlazione a due punti, specializzandoci al caso della funzione correlazioneridotta all’i-esimo braccio si ottiene dunque

CΦii (x1, x2, t) =

n∑k=p+1

|Uik|N∑n=1


+

p∑k=1

|Uik|∞∑

k,l=1


2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

). (4.182)

Anche in questo caso dal fatto che U e unitaria e che US2U∗ = diag(

p︷︸︸︷1, . . . , 1,

n−p︷︸︸︷−1 · · · ,−1)

seguono le seguenti relazioni

p∑k=1

UikU∗kj =1

2

(δij + (S2)ij

), (4.183)

n∑k=p+1

UikU∗kj =1

2

(δij − (S2)ij

). (4.184)

Inoltre, usando che S22 = I, si ha anche

(S2)2ii = 1−

n∑j=1j 6=i

|(S2)ij |2 ≡ 1− T 2i , (4.185)

dove T 2i e la probabilita totale di trasmissione dal braccio i-esimo al resto del grafo.

Possiamo quindi riscrivere la (4.182) come segue

CΦii (x1, x2, t) =

(1−Υ2

i

) N∑n=1


+ Υ2i

∞∑k,l=1


2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

), (4.186)


Υ2i = 1±

√1− T 2

i , (4.187)

il segno dipende da quello di Sii. A questo punto quindi non ci resta che usare la(4.186) per calcolare la matrice di overlap A, in modo del tutto analogo a quanto fattoin precedenza, con l’unica differenza che in questo caso sara una Ai dipendente da i.Si ottiene

Aimn = 2Υ2i δmn , 1 ≤ n,m ≤ N , (4.188)

Aimn = 2(1−Υ2

i

)δmn , N + 1 ≤ n,m ≤ 2N , (4.189)

Aimn = 2Υi

√1−Υ2

i

∞∑k=1

Bkm′Bkne−iωN (k)t , 1 ≤ n ≤ N , N + 1 ≤ m ≤ 2N , (4.190)

Aimn = 2Υi

√1−Υ2

i

∞∑k=1

BkmBkn′e+iωN (k)t , 1 ≤ m ≤ N , N + 1 ≤ n ≤ 2N , (4.191)

dove n′ = n −N e m′ = m −N . Comparando la matrice (4.188-4.191) con la (4.132-4.137) si vede che Anm = f(T, n,m) e Ainm = f(Ti, n,m), dove f(·, ·, ·) e la stessafunzione, dunque, dato che le entropie di entanglement dipendono solo dalla matrice

77


di overlap, possiamo ottenere le entropie Sαi (Ti, t) per l’entanglement fra il braccio i-esimo ed il resto del grafo semplicemente sostituendo Ti al posto di T nella (4.154), siha quindi che

Sαi (Ti, t) = Sα(Ti, t) = C(α)(Ti) log


2

∣∣∣∣2)

+ c′α , (4.192)

dove i C(α)(x) sono quelli riportati in (4.155, 4.156) e c′α e una costante. Quest’espres-sione, come del resto la (4.154), e valida nel limite di N abbastanza grande e per tabbastanza piccolo, ovvero negli stessi regimi per cui nel modello considerato valgonoi risultati della teoria conforme.

78

Capitolo 5

Modello con dispersionelinearizzata

Studieremo il comportamento dopo il quench del sistema ottenuto linearizzando ladispersione del modello precedente intorno al livello di Fermi. Mostreremo che anchein questo caso si ottengono gli stessi andamenti temporali osservati nel caso precedenteper le entropie di entanglement, sia per trasmissione perfetta che in presenza di undifetto, ma non si osservano le deviazioni dalle predizioni (4.149) e (4.154), dovute alnumero finito di particelle, che si osservavano in precedenza.

5.1 Teoria linearizzata

Consideriamo il campo ψ(t, x), definito sulla retta reale, descrivente fermioni liberi nonrelativistici senza spin e di massa m. Nello spazio degli impulsi si ha(

i∂t +p2

2m

)ψ(t, p) = 0 , (5.1)

ed inoltre ψ(t, x) soddisfa le regole di anticommutazione standard.

Vogliamo studiare il problema per E(p) ≈ EF =p2F2m ovvero per p ≈ pF oppure per

p ≈ −pF .

Sviluppando la dispersione nei due casi, si ottiene

p ≈ pF (i∂t + EF + vF (p− pF )) ψ(t, p) = 0 , (5.2)

p ≈ −pF (i∂t + EF − vF (p− pF )) ψ(t, p) = 0 , (5.3)

dove abbiamo introdotto vF = pFm = π

mn, in cui n e la densita numerica delle particelle.

Quindi possiamo scrivere il campo ψ(t, x) come segue

ψ(t, x) =1√2

(ψL(t, x) + ψR(t, x)) + a(t, x) , (5.4)

dove abbiamo posto

ψL(t, x) =√

2eipF (x+vF t)

∫ Λ

−Λdp ψ(t, p+ pF )eip(x+vF t) , (5.5)

ψR(t, x) =√

2eipF (x−vF t)∫ Λ

−Λdp ψ(t, p− pF )eip(x−vF t) , (5.6)

79

5. MODELLO CON DISPERSIONE LINEARIZZATA

dove Λ e un opportuno cutoff. Si ha che ψL(t, x) e ψR(t, x) cosı definiti soddisfanorispettivamente

(i∂t − ivF∂x)ψL(t, p) = 0 , (i∂t + ivF∂x)ψR(t, p) = 0 , (5.7)

mentre a(t, x) sono gli altri contributi necessari a far valere l’uguaglianza.Vogliamo adesso considerare l’approssimazione consistente nel trascurare a(t, x) nel-

la (5.4), ovvero ci riduciamo a considerare energie vicine all’energia di Fermi. Utiliz-ziamo dunque come variabile dinamica

ψ(t, x) =1√2

(ψL(t, x) + ψR(t, x)) , (5.8)

come si vede dalle (5.5, 5.6) in questo caso si ha una legge di dispersione lineare.Imponendo le seguenti regole di anticommutazione per ψL(t, x) e ψR(t, x)

ψ∗L(t, x), ψL(t, y) = δ(x− y) , ψ∗R(t, x), ψR(t, y) = δ(x− y) , (5.9)

e tutti gli altri anticommutatori nulli, si ha che ψ(t, x) soddisfa le regole di anticom-mutazione standard.

Notiamo che le equazioni (5.7) possono essere scritte in forma compatta introdu-cendo il campo Ψ(t, x) = (ψL(t, x), ψR(t, x))T nel modo seguente

(γt∂t + vFγx∂x) Ψ(t, x) = 0 , (5.10)

dove

γt =

(0 11 0

), γx =

(0 1−1 0

). (5.11)

La (5.10) e l’equazione di Dirac in 1+1 dimensioni per fermioni a massa nulla,dunque linearizzando una teoria non relativistica con massa m abbiamo ottenuto unateoria relativistica a massa nulla.

Sottolineiamo che per il problema che stiamo considerando il campo Ψ non hanessun significato fisico, la variabile dinamica di interesse e ψ. Dunque in generaletutte le osservabili che calcoleremo avranno la stessa forma che nel caso di Schrodingere saranno espresse per mezzo di ψ.

Procediamo adesso nel definire la teoria linearizzata che abbiamo ottenuto su ungrafo a stella a due bracci per poi poter considerare un quench alle condizioni al vertice.

5.2 Definizione su grafo

Consideriamo un grafo a stella a 2 bracci lunghi L ( nel seguito porremo L = 1), sulquale e definito un campo Ψ(t, x, i) = (ψL(t, x, i), ψR(t, x, i))T che soddisfa le regole dianticommutazione standard e

(γt∂t + vFγx∂x) Ψ(t, x, i) = 0 . (5.12)

Con una costruzione simile a quella mostrata al capitolo 3 per le estensioni autoag-giunte di −∂2

x si puo mostrare che le condizioni al vertice definenti tutte le estensioniautoaggiunte di iγtγx∂x sono

ψL(t, 0, i) = UijψR(t, 0, j) , (5.13)

con U matrice unitaria, come fatto in [46, 40]. Per le condizioni ai bordi (x = L, i = 1, 2)possiamo scegliere

ψL(t, L, i) = eiφiψR(t, L, i) , (5.14)

80

5.2. DEFINIZIONE SU GRAFO

noi per comodita useremo

ψL(t, L, i) = −ψR(t, L, i) , (5.15)

(che per ψ(t, x) sono condizioni di Dirichlet).In questo caso la matrice di scattering S(k) che segue dalla (5.13) e semplicemente

S(k) = θ(k)U+θ(−k)U−1 come riportato ad esempio in [40] e come si vede le condizionial bordo sono invarianti di scala.

Anche in questo caso introduciamo i campi non fisici che permettono di diagonaliz-zare le condizioni al vertice

ϕα(t, x, i) =

2∑j=1

Uijψα(t, x, i) , α = L,R , (5.16)

usando la matrice unitaria U che diagonalizza S.Possiamo scrivere la soluzione di (5.10),(5.13) e (5.15) in termini dei campi non fisici

cosı (poniamo L = 1)

ϕL(t, x, i) =∞∑n=1

ei(π(n− 1

2)+αi

)(x−vF t)ai(n) + e2iαie−i

(π(n− 1

2)+αi

)(x−vF t)b∗i (n) , (5.17)

ϕR(t, x, i) =∞∑n=1

e−2iαie−i(π(n− 1

2)+αi

)(x+vF t)ai(n) + ei

(π(n− 1

2)+αi

)(x+vF t)b∗i (n) , (5.18)

dove e−2iαi e l’i-esimo autovalore di U , a(n), a∗(n), b(n), b∗(n) sono gli operatori dicreazione e distruzione rispettivamente delle particelle e delle antiparticelle e soddisfano

ai(n), a∗j (m)

= δijδnm ,bi(n), b∗j (m)

= δijδnm , (5.19)

con tutti gli altri anticommutatori nulli. In tal modo si ha che ϕL(t, x, i) e ϕR(t, x, i)soddisfano le regole di commutazione standard.

Vogliamo scrivere ψ(t, x, i) per mezzo di a e b, iniziamo considerando ϕ(t, x, i) =Uijψ(t, x, j), ponendo ωi(n) ≡ π(n− 1

2)vF + αivF , da (5.17) e (5.18) si ottiene

ϕ(t, x, i) =∞∑n=1

ξi(n, x)e−iωi(n)tai(n) + ζi(n, x)eiωi(n)tb∗i (n) , (5.20)

dove

ξi(n, x) =1√2

(ei(π(n− 1

2)+αi)x + e−2iαie−i(π(n− 1

2)+αi)x

), (5.21)

ζi(n, x) =1√2

(ei(π(n− 1

2)+αi)x + e2iαie−i(π(n− 1

2)+αi)x

), (5.22)

sono entrambi insiemi ortonormali completi in L2[0, 1] per n ≥ 1.Quindi per quanto riguarda il campo ψi(t, x) si ha

ψi(t, x) =∞∑n=1

θij(n, x, t)aj(n) + ρij(n, x, t)b∗j (n) , (5.23)

dove

θij(n, x, t) = U∗ije−iωj(n)tξj(n, x) = U∗ipe−iωp(n)tUpqθqj(n, x, 0) , (5.24)

ρij(n, x, t) = U∗ijeiωj(n)tζj(n, x) = U∗ipeiωp(n)tUpqρqj(n, x, 0) . (5.25)

81


5.3 Quench

Per implementare in questo modello il quench che corrisponde ad “attaccare”, eventual-mente in presenza di un difetto, all’istante t = t0 ≡ 0 due bracci “staccati” dobbiamopassare istantaneamente da U = U1 a U = U2(ε, θ) con

U1 =

(−1 00 −1

), (5.26)

U2(ε, θ) =1

1 + ε2

(−1 + ε2 2εeiθ

2εe−iθ 1− ε2)

con ε ∈ R , θ ∈ [0, 2π) , (5.27)

si ha

U2(ε, θ) = A(ε, θ)

(1 00 −1

)A(ε, θ) , A(ε, θ) = A∗(ε, θ) =

1√1 + ε2

(ε eiθ

e−iθ −ε

).

Si vede che U1 corrisponde a condizioni di Dirichlet per ψ(t, 0, i) mentre U2(ε, θ) imponerispettivamente condizioni di Neumann e di Dirichlet per ϕ(t, 0, 1) e ϕ(t, 0, 2). Adesempio si vede che U2(1, 0) impone ψ(t, 0, 1) = ψ(t, 0, 2), ovvero trasmissione completa.

Per quanto riguarda il campo ψ(t, x, i), in analogia con quanto fatto nel caso diSchrodinger, possiamo definire il campo quenched cosı

ψ(t, x, i) =

∞∑n=1

χij(n, x, t)aj(n) + ηij(n, x, t)b∗j (n) , (5.28)

dove le funzioni d’onda quenched sono

χij(n, x, t) = Ud∗ipe−iHptUdpqθpqj(n, x, 0) , ηij(n, x, t) = Ud∗ipe+iHptUdpqρpqj(n, x, 0) .

Quindi nel quench U1 → U2(ε, θ), in cui Up = I e Ud = A(ε, θ), si ha

χij(n, x, t) = Aip(ε, θ)e−iHptApj(ε, θ)ξpj (n, x) , ηij(n, x, t) = Aip(ε, θ)e+iHptApj(ε, θ)ζpj (n, x) .

e dato che αpi = 0 , ∀i si ha ξpi (n, x) = ζpi (n, x) =√

2 sinnπx , ∀i.Sostituendo nella (5.28) si ottiene

ψ(t,x, i) = Ai1(ε, θ)A21(ε, θ)√

2

∞∑m=1

sin(mπx)(

e−itω2(m)a1(m) + eitω2(m)b∗1(m))

+Ai1(ε, θ)A11(ε, θ)√

2∞∑

k,m=1

Bkm cos((k − 1

2)πx)(

e−itω1(k)a1(m) + eitω1(k)b∗1(m))

+Ai2(ε, θ)A12(ε, θ)√

2

∞∑k,m=1

Bkm cos((k − 1

2)πx)(e−itω1(k)a2(m) + eitω1(k)b∗2(m)

)+Ai2(ε, θ)A22(ε, θ)

√2∞∑m=1

sin(mπx)(

e−itω2(m)a2(m) + eitω2(m)b∗2(m)), (5.29)

dove ω1(n) = π(n − 1

2

)vF e ω2(n) = πnvF e Bkm sono i coefficienti dello sviluppo di√

2 sinmπx

in√

2 cos((k − 1

2)πx)

gia incontrati nel caso precedente.

Adesso vogliamo calcolare la funzione correlazione ottenuta prendendo il valore diaspettazione di : ψ∗(t, x, i)ψ(t, y, j) : , dove : ... : significa il prodotto normale, sullostato di Gibbs Ψ∞,N , N che rappresenta un sistema con N particelle e N antiparticellea temperatura 0.

82

5.4. MATRICE DI OVERLAP

Considereremo poi il limite N → 0, ovvero quello per cui non ci sono antiparticelleo “buche”, in questo modo fisicamente descriveremo la stessa situazione analizzata nelcaso di Schrodinger avendo pero linearizzato la dispersione attorno al livello di Fermi.

Si ha

〈Ψ∞,N , 0|a∗(n)a(m)|Ψ∞,N , 0〉 = θ(N − n)δnm , (5.30)

〈Ψ∞,N , 0|b∗(n)b(m)|Ψ∞,N , 0〉 = 0 , (5.31)

〈Ψ∞,N , 0|a(n)a∗(m)|Ψ∞,N , 0〉 = θ(n−N )δnm , (5.32)

〈Ψ∞,N , 0|b(n)b∗(m)|Ψ∞,N , 0〉 = δnm , (5.33)

e tutti gli altri valori di aspettazione quadratici in a e b sono nulli, questo determinatutti i valori di aspettazione di qualsiasi numero di a e b su Ψ∞,N , 0.

Svolgendo il calcolo si ottiene

CΨij (x1, x2,t)

d = 〈Ψ∞,N , 0|ψ∗i (t, x1)ψj(t, x2)|Ψ∞,N , 0〉S1→S2 =2

1 + ε2

N∑n=1


+2ε2

1 + ε2

∞∑k,l=1

CNkl eitω1(k)−itω1(l) cos((k − 1

2)πx1

)cos((l − 1

2)πx2

). (5.34)

5.4 Matrice di overlap

A questo punto possiamo calcolare la matrice di overlap associata a CΨij (x1, x2, t)

d,ovvero

Anm =

∫ L

0dx χ(n, x, t)χ(m,x, t) , n,m = 1, ..., 2N . (5.35)

dove

χ(n, x, t) =

√

2ε2

1+ε2

∞∑k=1

Bkne−itπ(k− 1

2

)vF cos

((k − 1

2)πx), 1 ≤ n ≤ N ,√

21+ε2

sin((n−N )πx

), N + 1 ≤ n ≤ 2N .

(5.36)

Svolgendo i calcoli si ottiene

Amn =ε2

1 + ε2δmn , 1 ≤ n,m ≤ N , (5.37)

Amn =1

1 + ε2δmn , N + 1 ≤ n,m ≤ 2N , (5.38)

Amn =ε

1 + ε2

∞∑k=1

Bkm′Bkne−iπ(k− 1

2

)vF t , 1 ≤ n ≤ N , N + 1 ≤ m ≤ 2N , (5.39)

Amn =ε

1 + ε2

∞∑k=1

BkmBkn′e+iπ(k− 1

2

)vF t , 1 ≤ m ≤ N , N + 1 ≤ n ≤ 2N , (5.40)

dove n′ = n−N e m′ = m−N .Anche in questo caso poniamo

Dnm(t) =∞∑k=1

BkmBkne−iπ(k− 1

2

)vF t . (5.41)

Notiamo che grazie alla formula

∞∑k=0

cos((k + 1

2

)x)(

(2k + 1)2 − a2) =

π

4asin((π − 2x)

a

2) sec(

a

2π) , 0 ≤ x ≤ π , (5.42)

83


Figura 5.1: S(1)(1, x) per 0 ≤ x ≤ 2, conx = vF t

L

Figura 5.2: S(2)(1, x) per 0 ≤ x ≤ 2, conx = vF t

L

Figura 5.3: S(1)(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 2, con

x = vF tL

Figura 5.4: S(2)(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 2, con

x = vF tL

riportata in [51] (per x fuori dall’intervallo 0 ≤ x ≤ π deve essere prolungata in modoperiodico), e possibile calcolare analiticamente la parte reale della matrice Dnm.

Si ottiene

ReDnm(t) =2

π(n2 −m2)m sin(πvF tn)− n sin(πvF tm) per n 6= m, (5.43)

ReDnn(t) =1

πnsin(πvF tn) +

1− vF t2

cos(πvF tn) . (5.44)


Come fatto in precedenza diagonalizziamo numericamente A e calcoliamo le entropiedi entanglement.

Le figure 5.1-5.4 riportano gli andamenti di S(1)(x) e S(2)(x) in x = vF tL calcolati

per Ntot = 40, 100, 200 nei casi di T = 1 e T = 35 , confrontati rispettivamente con la

(4.149) e la (4.154), come si vede l’accordo e ottimo e non si osservano le deviazionidai valori predetti dalle (4.149) e (4.154) che si vedevano nel caso precedente, inoltre sipuo notare che la convergenza e ottima anche per Ntot = 40. Questo e perfettamente inaccordo con l’interpretazione a quasiparticelle fornita nel capitolo precedente, infatti inquesto caso le quasiparticelle emesse all’istante del quench hanno tutte rigorosamentev = vF per la linearita della relazione di dispersione.

84


Figura 5.5: S(1)(1, x) per 0 ≤ x ≤ 6 per piccoli numeri di particelle

Per mostrare che in questo caso si ha un accordo ottimo anche per piccoli numeridi particelle abbiamo riportato nelle figure 5.5 e 5.6 l’andamento di S(1)(T, x) perNtot = 2, 4, 6, 8 nei casi di T = 1 e T = 3

5 , confrontati rispettivamente con le predizioni(4.149) e (4.154).

Inoltre, si ha un accordo perfetto anche per grandi tempi, come mostrato nelle figure5.7 e 5.8 dove si considera l’andamento temporale dell’entropia di entanglement di vonNeumann per Ntot = 8 rispettivamente nei casi di T = 1 e T = 3

5 per 0 ≤ x ≤ 30.Concludiamo osservando che anche in questo caso e possibile calcolare analitica-

mente l’andamento a grandi t di TrE(T, t) nel limite termodinamico L→∞, N →∞con NL = n ≡ 1, infatti si ha

TrELT (T, α) =2T 2

π4

∫∫[0,∞]2

dpdq1− e−iα(p−q)

(p2 − q2)2

p log

[∣∣∣∣1− p1 + p

∣∣∣∣]− q log

[∣∣∣∣1− q1 + q

∣∣∣∣]2

,

(5.45)dove abbiamo posto α ≡ πt (m = 1). Il calcolo procede in modo del tutto analogo aquello riportato nella sottosezione 4.3.5, si ottiene che per grandi α

TrELT (T, α) ≈ T 2

π2

∫∫B(0,δ)

dθdϕ1− e−α(θ+ϕ)

(θ + ϕ)2, (5.46)

con 0 ≤ δ << 1, da cui, come visto nella sezione 4.3.5, si ottiene

TrELT (T, α) ≈ T 2

π2log(α) . (5.47)

Dunque

TrELT (T, t) ≈ T 2

π2log(t) . (5.48)

85


Figura 5.6: S(1)(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 6 per piccoli numeri di particelle

Figura 5.7: S(1)(1, x) per 0 ≤ x ≤ 30

86


Figura 5.8: S(2)(35 , x) per 0 ≤ x ≤ 30

87


88

Conclusioni e prospettive future

In questo lavoro abbiamo studiato il comportamento di sistemi quantistici unidimensio-nali in seguito ad un quantum quench che corrisponde a collegare due parti del sistemache sono inizialmente scollegate. Per caratterizzare l’evoluzione temporale di tali siste-mi ci siamo concentrati principalmente sulle entropie di entanglement fra le due partiistantaneamente collegate.

Da principio abbiamo trattato il problema seguendo l’approccio di teoria conforme,sviluppato nei lavori [2, 4, 1, 3, 22]. Esso presenta il grande vantaggio di fornire deirisultati generali che prescindono dagli specifici dettagli dei modelli e si applicano aclassi molto ampie di sistemi. Tramite questo approccio si riesce a determinare anali-ticamente l’andamento delle entropie di entanglement dopo il quench, nel caso in cui idue sottosistemi vengano congiunti con trasmissione ideale, T = 1.

Successivamente abbiamo considerato uno specifico modello, una teoria di campofermionica definita su un grafo a stella a due bracci lunghi L, con uno stato fondamentalea numero finito di particelle Ntot ed abbiamo implementato in tale contesto il quench diinteresse. Questo approccio ci ha permesso di considerare un tipo di quench piu generalerispetto a quello studiato in precedenza attraverso la teoria di campo conforme, ovveroil caso in cui i sistemi una volta congiunti presentino un difetto alla giunzione che rendala trasmissione T imperfetta.

Nello specifico modello considerato abbiamo studiato in dettaglio l’andamento tem-porale delle funzioni di correlazione a due punti, mostrando analiticamente che nellimite termodinamico esse rilassano ai valori di equilibrio della configurazione sistemadopo il quench.

Abbiamo poi studiato l’andamento temporale delle entropie di entanglement, i risul-tati ottenuti ci hanno permesso di formulare una generalizzazione del risultato di teoriaconforme valido solo per trasmissione perfetta, abbiamo infatti osservato che, in pre-senza di una generica trasmissione T alla giunzione fra due sottosistemi, l’andamentotemporale delle entropie di entanglement risulta

S(α) = C(α)(T ) log


2

∣∣∣∣2)

+ c′α , (5.49)

almeno per Ntot abbastanza grande e 0 < t ≤ bLtotvF

con b dell’ordine dell’unita, ovve-ro nei limiti in cui valgono per tale sistema le predizioni di teoria conforme. Si puoosservare che qualitativamente l’andamento temporale delle entropie di entanglementS(α) e analogo a quello previsto dalla teoria conforme per T = 1, (4.149), con la diffe-renza che al posto della carica centrale c e presente un coefficiente C(α)(T ) dipendentedalla trasmissione T e da α. Per arrivare alla (5.49) abbiamo assunto che nel caso ditrasmissione perfetta le TrEk(t) abbiano un evoluzione temporale data dalla (4.150), ilche riproduce il risultato di teoria conforme per gli andamenti temporali delle entropiedi entanglement ed e compatibile con i calcoli numerici svolti per k = 1, 2, 4, 6.

Notiamo che un risultato analogo e stato raggiunto in maniera del tutto indipen-dente in [36], pubblicato quando il lavoro di questa tesi era in fase conclusiva, dove

89


si considera lo stesso tipo di quench utilizzando pero un modello su reticolo. Questoconferma i risultati da noi trovati.

Successivamente abbiamo considerato una generalizzazione di quanto fatto, stu-diando un quench che corrisponde a collegare istantaneamente n segmenti disgiuntiper formare un grafo a stella a n bracci, mostrando che l’evoluzione delle entropie dientanglement fra il braccio i-esimo ed il resto del grafo e data dalla (5.49) dove al postodi T si deve sostituire la trasmissione Ti fra il braccio i-esimo ed il resto del grafo.

In ultimo, abbiamo studiato il medesimo tipo di quench in un modello ottenutolinearizzando la dispersione del precedente, osservando che in questo caso l’accordofra la (5.49) e gli andamenti delle entropie di entanglement calcolati numericamente eottimo anche per piccoli numeri di particelle e grandi tempi.

Lo studio qui considerato presenta diversi possibili sviluppi, innanzitutto si potrebbecercare di ottenere la formula (5.49) utilizzando un approccio di teoria conforme, vistoche non ci sono ragioni che escludano a priori la possibilita che la CFT possa descrivereanche la situazione in presenza di un difetto invariante di scala, come quello da noiesaminato. Ad esempio, il calcolo eseguito in [52] per un modello con difetto simile(ma differente) mostra che e possibile affrontare il problema tramite CFT.

Per quanto riguarda invece le future indagini che si potrebbero compiere nel model-lo da noi considerato, risulterebbe molto interessante, ad esempio, studiare il caso incui i bracci istantaneamente congiunti abbiano diversi numeri di particelle, per mezzodei non-equilibrium steady states introdotti in [40], considerando l’effetto combinatodella corrente stazionaria che si avrebbe in questa situazione e del difetto sull’anda-mento temporale delle entropie di entanglement dopo il quench, in analogia con quantostudiato in [36].

Inoltre, si potrebbe studiare il caso in cui tramite un quench si uniscano istantanea-mente n bracci per formare un grafo piu complesso rispetto al grafo a stella che abbiamoconsiderato in questo lavoro. In questo nuovo contesto sarebbe interessante studiaresia l’andamento temporale delle entropie di entanglement fra due parti del grafo chequello delle funzioni di correlazione, in particolare si potrebbe tentare di caratterizzarelo stato che il sistema raggiunge a grandi tempi.

In ultimo, sarebbe interessante studiare la teoria definita su grafo, nel caso in cuiessa sia accoppiata ad un campo esterno tramite accoppiamento minimale e considerarel’evoluzione del sistema in seguito ad un quench che cambia istantaneamente il campoesterno.

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Ringraziamenti

Desidero innanzitutto ringraziare i miei relatori, Pasquale Calabrese e Mihail Mintchev,per la loro disponibilita e per l’aiuto che mi hanno fornito durante i mesi di lavoro perquesta tesi.

Inoltre, vorrei ringraziare i miei genitori, piu in generale i miei familiari piu stretti,e Caterina per un numero di ragioni che sarebbe impossibile elencare in queste pocherighe.

In ultimo, vorrei ringraziare la mia professoressa di matematica del liceo, ElisabettaSabatini, per la passione che ha saputo trasmettermi.

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