Dinamica Dei Sistemi Continui

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI LAQUILA

FACOLTA DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE

TESI DI LAUREA

CONTROLLO ATTIVO CON LAMINA PIEZOELETTRICA

DELLE OSCILLAZIONI DI UNA MENSOLA: ANALISI E

SPERIMENTAZIONE

LAUREANDO RELATORE

Tommaso Sulpizi prof. V. Gattulli

ANNO ACCADEMICO 2001-2002

Sommario e indice

SOMMARIO

La tesi discute di un modello per una mensola le cui oscillazioni sono controllate

attivamente attraverso un attuatore piezoelettrico guidato in retroazione da un

accelerometro allestremo libero. La risposta del modello analitico confrontata con

quella di una realizzazione sperimentale del sistema.

Inizialmente sono esposti i caratteri generali della dinamica dei sistemi continui

e sono evidenziate le equazioni del moto, per una trave, scritte attraverso un approccio

diretto (DAlambert) ed un approccio basato sulla potenza virtuale (Germain). Pi in

particolare trattato il caso della mensola che, successivamente, sar oggetto dello

studio per il controllo delle oscillazioni proprie.

E presentato il modello meccanico descritto dallinterazione fra la lamina di

alluminio e la lamina di piezoelettrico. Leffetto di tale interazione analizzato sotto

ladozione di alcune ipotesi semplificative, attraverso due soluzioni, una (non

regolarizzata) detta soluzione debole laltra regolarizzata detta soluzione forte.

Il modello fisico realizzato attraverso una lamina in alluminio, incastrata in

unestremit e libera nellaltra, ed una seconda lamina, di dimensioni minori, in

materiale piezoelettrico che, aderendo perfettamente ad una porzione della lamina di

base realizza il sistema di attuazione. Nellestremit libera della lamina di base infine

posizionato un accelerometro che permette la misura di differenti grandezze quali,

laccelerazione, la velocit e lo spostamento verticale nel punto in cui collocato.

Lapparato sperimentale completato da diversi strumenti dacquisizione,

amplificazione e trattamento di tali informazioni quali LABVIEW. Tali strumenti

permettono leffettuazione di misure dinamiche e la realizzazione di una serie di leggi di

retroazione.

Sommario e indice

INDICE

Sommario...I

INTRODUZIONE1

1. Dinamica dei sistemi continui..3

1.1. Equazioni del moto3

1.1.1. Trave di Eulero-Bernoulli...3

1.1.2. Contributo dello sforzo assiale...6

1.1.3. Contributo delleffetto viscoso...7

1.1.4. Effetto di vincoli mobili..8

1.1.5. Trave di Eulero-Bernoulli (approccio alla Germain)..9

1.2. Oscillazioni libere nella trave di Eulero-Bernoulli.11

1.3. Risposta dinamica dei sistemi continui13

2. Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore..15

2.1. Trave di Eulero-Bernoulli rettilinea..15

2.2. Equazioni del moto.17

2.3. Modi naturali..18

2.4. Parte singolare della soluzione...23

2.5. Funzione di trasferimento della soluzione forte25

2.6. Funzione di trasferimento della soluzione debole.28

3. Sistemi di controllo31

3.1. Condizioni dosservabilit e controllabilit...31

3.2. Controllo attivo...32

3.2.1. Controllo a ciclo aperto e controllo a ciclo chiuso...36

3.2.2. Classi di sistemi di controllo37

3.2.3. Losservatore38

Sommario e indice

3.3. Progetto della legge di controllo39

3.3.1. Controllo di modelli discreti40

3.3.2. Controllo di modelli continui...40

4. Strumentazione..42

4.1. Descrizione del sistema di acquisizione dei dati42

4.2. Scheda pci 6052E...44

4.3. Accelerometro piezoelettrico..45

4.4. Amplificatore di carica Nexus...46

4.5. Amplificatore ACX.47

4.6. Caratteristiche della trave..48

4.7. Lamina piezoelettrica.48

4.7.1. ACX.49

4.8. Programmi realizzati in labview51

4.9. Misure effettuate sollecitando la trave con un attuatore piezoelettrico...51

5. Analisi analitico-numerico di una mensola.54

5.1. Soluzione forte....54

5.1.1. Soluzione statica..55

5.1.2. Funzione di trasferimento56

5.2. Soluzione debole.57

5.2.1. Funzione di trasferimento....57

5.3. Controllo delle oscillazioni per soluzione forte....58

5.3.1. Controllo proporzionale; variabile osservata velocit.60

5.3.2. Controllo integrale; variabile osservata spostamento..61

5.4. Controllo delle oscillazioni per la soluzione debole..63



6. Analisi sperimentale..66

6.1. Dati sperimentali....66

6.1.1. Controllo proporzionale; variabile osservata spostamento..67

Sommario e indice


6.1.3. Controllo proporzionale; variabile osservata accelerazione69


6.1.5. Risultati del controllo sperimentale.71

6.2. Effetti di spillover...74

7. Confronto tra la risposta dinamica nel modello analitico e sperimentale76

7.1. Parametri del modello analitico.76

7.1.1. Soluzione forte.76

7.1.2. Soluzione debole..76

7.2. Funzioni di trasferimento...77

7.3. Spostamento, rotazione e curvatura della trave.78

7.4. Influenza del numero dei modi considerati sul controllo retroazione in

velocit.83

7.5. Confronto di poli e radici della matrice controllata..90

8. Conclusioni.92

Appendice...94

Bibliografia.95

Introduzione

1

INTRODUZIONE

La realizzazione di strutture, di grandi e piccole dimensioni, d luogo a frequenti

fenomeni di oscillazione in presenza di carichi dinamici come il vento ed il sisma.

Generalmente una struttura tanto pi in grado di resistere alle azioni dinamiche

quanto maggiore risulta la sua capacit di dissipare lenergia ed elastica.

La progettazione di dispositivi passivi capaci di dissipare lenergia meccanica

indotta nelle strutture dalle azioni esterne, rappresenta un aspetto saliente della dinamica

strutturale, cui stato dato negli ultimi anni forte impulso dalla ricerca. Recentemente

lottimizzazione delle prestazioni ha motivato la ricerca di soluzioni alternative al

controllo passivo, attraverso lapplicazione alla dinamica strutturale di tecniche basate

sul controllo attivo; tecniche in ogni caso utilizzate da qualche tempo in numerosi

settori dellingegneria industriale.

Oggi le tecniche di controllo attivo hanno una vasta applicazione soprattutto in

Giappone, usate con successo per la protezione dalle vibrazioni di grattacieli e ponti.

Lo scopo di questo lavoro di tesi lanalisi di un sistema strutturale

monodimensionale sul quale agisce un sistema di controllo attivo, atto a ridurre nel

tempo le oscillazioni generate dalle azioni esterne.

Il controllo attivo si realizza servendosi dinformazioni parziali sul sistema

esaminato, date da sensori (luscita).

E necessario redigere uno schema idealizzato del sistema, che consenta

lindividuazione delle principali componenti. Molto importante valutare lo stato

attraverso le informazioni disponibili, che consentano di ricostruirlo per la legge di

controllo. Generalmente le informazioni disponibili descrivono la risposta strutturale.

In un sistema di controllo attivo strutturale sindividuano quattro componenti

principali:

1. il sistema strutturale;

2. sensori;

3. il sistema di elaborazione elettronico (controllore);

4. il dispositivo che produce le forze di controllo.

Ad ogni componente attribuita una specifica funzione, che rende possibile

lapplicazione a sistemi strutturali nellingegneria civile. Lobiettivo di unazione di

Introduzione

2

controllo quello di guidare il comportamento dinamico secondo le esigenze della

struttura durante le oscillazioni, e di garantirne un buon funzionamento in presenza di

qualsiasi evento.

Le informazioni parziali sul sistema in esame sono fornite da sensori che ne

stimano lo stato. Il sistema di controllo o algoritmo di controllo interpreta i segnali

forniti dai sensori e genera un segnale per le forze di controllo. Le forze di controllo,

che possono essere realizzate attraverso diversi sistemi dattuazione (attuatori

piezoelettrici, attuatori servoidraulici e da generatori a getto di gas e appendici

aerodinamiche), sono variabili in intensit e con caratteristiche dinamiche valutate

opportunamente in funzione del sistema strutturale dove intervengono.

Attraverso il modello dinamico della struttura necessario determinare se il

sistema di controllo selezionato assicuri le condizioni di osservabilit,

controllabilit e stabilit.

Il progetto della strategia di controllo avviene mediante la definizione della

funzione o vettore di funzioni u che rappresenta lazione di controllo.

Capitolo 1 Dinamica dei sistemi continui

3

1. DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI

Ogni sistema continuo dinamico, cos come un sistema statico, pu essere

trattato come un problema discreto sulla base dellanalisi modale trasformando un

problema infinito-dimensionale in un problema a dimensione finita.

1.1. EQUAZIONI DEL MOTO

La caratteristica dei sistemi dinamici consiste nellavere ciascuna grandezza

descritta da una funzione spaziale, che descrive tutti i punti appartenenti allasse, e da

una funzione temporale. Inoltre le equazioni del moto di un sistema dinamico possono

ottenersi secondo una formulazione diretta (principio di DAlambert) o attraverso una

formulazione energetica (principio di Germain).

Il principio di DAlambert permette di scrivere le equazioni del moto come

equazioni dequilibrio dinamico, di un concio infinitesimo, semplicemente sommando

alle forze esterne le forze dinerzia.

1.1.1. Trave di Eulero-Bernoulli

Le deformazioni flessionali di questo sistema si basano sullipotesi di

indeformabilit a taglio cio di sezioni indeformabili nel proprio piano e che rimangono

sempre ortogonali alla linea dasse del sistema (figura 1-1).

figura 1-1: modello di Eulero

EI(x)

v(x,t)

(x) x

p(x,t)

figura 1-2: trave con carico generico


4

Utilizzando lapproccio alla DAlambert (metodo diretto) si scrivono le due

equazioni dequilibrio del concio infinitesimo (figura1-3):

dallequilibrio alla traslazione verticale risulta:

da cui:

sostituendo la (1.4) nella (1.3) si ottiene:

dallequilibrio dei momenti attorno il punto A si ottiene:

f (x,t)dx

M(x,t)

i

T(x,t)

p(x,t)

A

M(x,t)+dM(x,t)

T(x,t)+dT(x,t) figura 1-3: concio infinitesimo

= 0V (1.1) 0 ),( ),( ),(),(),( =+

+ dxtxfdxtxpdx

xtxTtxTtxT i (1.2)

),(),(),( txftxpx

txTi=

2

2

t),( )(),(

= txvxtxf i

2

2

t),( )(),(),(

= txvxtxp

xtxT

= 0AM0

2 ),(

2 ),( ),( ),(),(),(

22

=++

+ dxtxfdxtxpdxtxTdxx

txMtxMtxM i

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)


5

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al secondo:


e dal legame costitutivo:

in forma compatta:

se la sezione della trave costante per tutta la lunghezza allora linerzia e la densit di

massa sono costanti

La (1.13) lequazione di campo che descrive il problema delle oscillazioni

nella trave di Eulero-Bernoulli. Il problema descritto se sono note le sei condizioni al

contorno, quattro di tipo spaziale e due di tipo temporale.

),(),( txTx

txM = (1.8)

2

2

2

2

t),( )(),(),(

= txvxtxp

xtxM (1.9)

2

2 ),( )(),(x

txvxEItxM = (1.10)

),(),( )(),()( 22

2

2

2

2

txpt

txvxx

txvxEIx

=+

(1.11)

),(),( )(),( )( txptxvxtxvxEI IV =+ && (1.12)

),(),( ),( txptxvtxvEI IV =+ && (1.13)


6

1.1.2. Contributo dello sforzo assiale

Tenendo in conto il contributo dello sforzo assiale N, nelle vibrazioni

flessionali, lequilibrio va fatto nella configurazione variata (figura 1-4).

Nellequilibrio alla traslazione verticale lo sforzo normale non entra in gioco tale

da ottenere lequazione (1.5) vista in precedenza; mentre per lequilibrio dei momenti

attorno al punto A si ha:

da cui:


se la sezione della trave costante per tutta la lunghezza allora linerzia e la densit di

massa sono costanti ed ipotizzando costante anche lo sforzo N si ottiene:

f (x,t)dx

M(x,t)

i

T(x,t)

T(x,t)+dT(x,t)

M(x,t)+dM(x,t)

p(x,t)

A

N(x,t)

N(x,t)+dN(x,t)

figura 1-4: concio infinitesimo

= 0AM (1.14)

0 ),(),( ),( ),( ),(),( =

+++ dx

xtxMtxMdx

xtxvtxNdxtxTtxM (1.15)

xtxvtxNtxT

xtxM

+=

),( ),(),(),( (1.16)

xtxvtxN

xtxMtxT

= ),( ),(),(),( (1.17)

),(),( )(),( )(),( 22

2

2

txpt

txvxx

txvxNxx

txM =+

(1.18)


7

La (1.19) lequazione di campo con leffetto assiale. Si pu concludere che la

rigidezza flessionale modificata dalleffetto geometrico dovuto ad N.

1.1.3. Contributo delleffetto viscoso

Un primo contributo viscoso pu essere definito proporzionale alla velocit

attraverso un coefficiente di viscosit per unit di lunghezza c(x).

un secondo contributo viscoso dovuto al fatto che in realt il legame costitutivo del

momento di tipo elasto-viscoso

e lequazione di campo che si ottiene la seguente:

dove in generale il secondo termine tra parentesi quadre non viene considerato.

),( txpvvNvEI =+ && (1.19)

f (x,t)dx

M(x,t)

i

T(x,t) T(x,t)+dT(x,t)

M(x,t)+dM(x,t)

A

f (x,t)dxd

p(x,t)

figura 1-5: concio infinitesimo

xtxvxctxfd

= ),( )(),( (1.20)

[ ] &,aEIM += (1.21)

[ ] ),( , txpvcvvavEI =+++ &&&& (1.22)


8

1.1.4. Effetto di vincoli mobili

Ipotizzando le estremit variabili nel tempo (figura 1-6) le condizioni al

contorno spaziali sono del tipo:

Leffetto delle condizioni al contorno si traduce in un trascinamento (movimento

sincrono). Se voglio descrivere le oscillazioni, devo partire dalla configurazione

indeformata effetto di trascinamento = effetto quasi statico. Da questa configurazione sono descritte le oscillazioni; quindi la soluzione somma di due contributi:

La (1.27) ha anche valenza analitica perch omogeneizza le condizioni al

contorno, infatti, il problema inizialmente omogeneo nellequazione di campo ma

non omogenea nelle condizioni al contorno.

Considerando lequazione di campo del tipo seguente:

3(t)

(t)1 (t)2

4(t)

figura 1-6

)(),0( 1 ttv = (1.23)

)(),( 2 ttLv = (1.24)

)(),( 30

tx

txvx

=

=

(1.25)

)(),( 4 txtxv

Lx

=

=

(1.26)

),(),(),( txvtxvtxv dinst += (1.27)

),(),( )(),( )(),( )( 22

2

2

2

2

txpt

txvxct

txvxx

txvxEIx

=+

+

(1.28)


9

)(),0( 1 ttvs =

e sostituendo in essa la (1.27) si ha:

dove in Peff vi sono gli effetti dovuti al trascinamento

La vs(x,t) pu essere espressa attraverso le funzioni Hermitiane cubiche della

trave tale da soddisfare il problema elastico e mettere in relazione Peff con i.

Ho sostituito le in Peff. Inoltre quando sostituisco nelle condizioni al contorno accade che le condizioni geometriche si possono trasformare in condizioni meccaniche

omogenee nelle variabili vd. Poich vs, per sua natura, soddisfa le condizioni al

contorno, quando sostituisco, ho le condizioni al contorno in vd omogenee.

1.1.5. Trave di Eulero-Bernoulli (approccio alla Germain)

Lapproccio si basa sulluguaglianza delle potenze, esterne ed interne, del

sistema.

dove il primo integrale rappresenta la potenza delle forze esterne dovuta,

rispettivamente, alla distribuzione di forze e momenti; mentre il secondo integrale la

potenza interna del sistema dovuta alle tensioni di grado zero (primi due termini) ed alle

tensioni di grado uno (termine terzo e quarto).

eff

ddd

Pt

txvxct

txvxx

txvxEIx

=+

+

),( )(),( )(),( )( 2

2

2

2

2

2

(1.29)

ttxvxc

ttxvx

xtxvxEI

xP

sss

eff

= ),()(),()(),()( 2

2

2

2

2

2

(1.30)

=

=4

1)( )(),(

iii

s txtxv (1.31)

)( )( )(4

1txxP ii

ieff &&

== (1.32)

0),0( ),0(),0(),0()(1 =+== tvtvtvtvt dds

( ) ( ) +++=+L L dmwscwbdcwb0 0

00 (1.33)


10

w ed rappresentano, rispettivamente, la velocit e la velocit angolare dellasse della trave.

attraverso la (1.34) e la (1.35) la (1.33) diventa:

ed integrando per parti si ottiene:

nel caso scalare si ha la seguente relazione che risulta valida per ogni atto di moto:

dalle integrazioni per parti:

))(()( xxww += (1.34) )()( xw = (1.35)

( ) ( ) ++= L L dmsxwsdcwb0 0

0 (1.36)

( ) ( ) [ ][ ] [ ] [ ] )0( )0()( )()0( )0(

)( )( 000

wmmLwLmmwss

LwLssdcsxmdwbsLL

+++++++++=

+

+ (1.37)

(1.38)

( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) 0)( )0()( )(

)0( )0()( )(

0

=+++++++

+++++

+

+

LwMMLwLMM

wQQLwLQQ

dwcQMwpQL

)0()0()()( 0 0

wMLwLMdwMdwML L

+= (1.39) )0()0()()(

0 0

wQLwLQdwQdwQL L

+= (1.40) )0()0()()(

0 0

wcLwLcdwcdwcL L

+= (1.41)


11

si ottiene:

da cui ne derivano le equazioni di bilancio

dove il momento definito dal legame costitutivo

p linerzia e c rappresenta le forze esterne tale da riottenere lequazione gi presentata

in (1.13).

1.2. OSCILLAZIONI LIBERE NELLA TRAVE DI EULERO-BERNOULLI

I problemi che saranno trattati sistemi Hamiltoniani (conservativi) ossia sistemi

privi di smorzamento. Si riparte dalla seguente equazione di campo:

La strategia utilizzata considerare una soluzione a variabili separabili del tipo:

che sostituita nella (1.33):

divido per (x) e q(t):

la (1.36) pu essere vera solo se i rapporti non dipendono ne da x ne da t cio i rapporti

devono essere uguali ad una costante:

),( txpvvEI IV =+ && (1.45)

)( )(),( tqxtxv = (1.46)

0)( )( )( )( =+ tqxtqxEI IV && (1.47)

)()(

)()(

tqtq

EIxxIV &&

= (1.48)

( ) ( )( ) ( ) 0)0( )0()( )(

)0( )0()0()( )()(

)(0

=++++++++

++

+

+

wMMLwLMM

wcMQLwLcLMQ

dwcpML

(1.42)

0=+ cpM (1.43)

)( )( vEIM = (1.44)


12

siamo cos passati da un problema alle derivate parziali ad un problema differenziale

nello spazio (x) ed un problema differenziale nel tempo (t) ossia:

possiamo legare la frequenza temporale () con la frequenza spaziale ():

la soluzione della (1.40) la seguente:

In genere si calcola prima la frequenza 4 attraverso unequazione caratteristica, ( lautovalore del problema ce ne saranno i ovvero infiniti), data questa equazione, imponiamo le condizioni al contorno (geometriche e meccaniche), e

troviamo i noto questultimo posso calcolare 2.

dove lequazione (1.38) soddisfatta se:

ed attraverso la trasformazione di Eulero otteniamo:

Le condizioni al contorno si impongono nella funzione (x) per determinare le quattro costanti Ci e ricavando un sistema del tipo A()C = 0 dove A() una matrice 4x4 e C il vettore delle incognite. Il sistema citato omogeneo, se cos non fosse

potrei renderlo omogeneo attraverso la (1.27).

44

)()( - e

)()(

==tqtq

EIxxIV &&

(1.49)

0)( )( 4 = xxIV (1.50)

0)( )( 4 =+ tqEItq && (1.51)

0)()( 242 =+= tqtqEI && (1.52)

tBtAtq cos sin )( += (1.53)

xeCx )( = (1.54)

===

0 )(3,4

1,2 44 ieC x (1.55)

xCxCxCxCx cosh sinh cos sin )( 4321 +++= (1.56)


13

Il sistema ammette soluzione (oltre quella banale) se il determinante della

matrice A nullo ottenendo, in generale, una funzione trascendente in che ammette infinite soluzioni. Individuate le i, attraverso la (1.40), risalgo al valore delle i. i la forma, o modo, di vibrare dellautovalore i-esimo. Inoltre la soluzione sar data da un numero infinito di modi; effettuando il troncamento dei modi si ha un problema

discretizzato o a dimensione finita.

1.3. RISPOSTA DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI

Poich il problema elastico lineare ed lineare anche lequazione di campo,

valido il principio di sovrapposizione degli effetti tale da poter scrivere la soluzione

come somma infinita di modi di vibrare:

Una volta noto il problema modale devo valutare il problema temporale ovvero

vado ad individuare le qi. Facendo riferimento alla trave di Eulero-Bernoulli non

smorzata (1.13) e sostituendo in essa la (1.57) si ha:

moltiplicando per il generico modo ed integrando sulla lunghezza dellelemento:

per lortogonalit delle forme modali nullo il prodotto tra due modi i-esimo e j-esimo

(con ij) quindi rimane solo il modo n-esimo nella (1.59):

=

=n

iii tqxtxv

1)( )(),( (1.57)

),()( )()( )( )( 22

1 12 txptqdx

dxEI

dxdtqxx ii

n

i

n

iii =

+

= =

&& (1.58)

( ) ),( )(

)( )( )(

)()( )( )( )(

0

1 02

2

2

2

1 0

=

=

+

==L

n

in

n

i

Li

i

n

i

L

in

dxtxpx

tqdxxdx

xdxEI

dxdtqdxxxx

&&

(1.59)

( ) =+ L nnnLL nn dxtxpxdxxxxEIdxdtqxxtq 00 22

0

2 ),( )( )( )( )()()( )()( &&

(1.60)


14

ed in forma compatta:

Sfruttando la propriet di ortogonalit dei modi riesco ad ottenere n equazioni

disaccoppiate di oscillatori semplici dove il termine a secondo membro della (1.62) il

carico modale ossia la parte di carico che eccita il modo n-esimo.

)()( )( tPtqKtqM nnnnn =+&& (1.61)

n

nnnn M

tPtqtq )()( )( 2 =+&& (1.62)

Capitolo 2 Piccole oscillazioni nella mensola con attuatore

15

2. PICCOLE OSCILLAZIONI NELLA MENSOLA CON ATTUATORE

Il modello che si vuol risolvere dal punto di vista teorico, quello poi realizzato

in laboratorio e studiato da un punto di vista sperimentale. Sostanzialmente esso

consiste in una lamina di base in alluminio ed una lamina piezoelettrica di lunghezza

ridotta rispetto alla prima che esplica due coppie in corrispondenza dellestremit del

piezoelettrico (vedere cap.4) tale da poter far riferimento alla modellazione di mensola

con due coppie opposte (figura 2-1). A partire dalle equazioni del moto di questo

modello saranno individuati i modi naturali del sistema, la soluzione statica e la

descrizione del moto. In particolare per questultima saranno seguiti due approcci detti

rispettivamente soluzione forte o regolarizzata e soluzione debole o non regolarizzata.

2.1. TRAVE DI EULERO-BERNOULLI RETTILINEA

Ripartendo dalle equazioni viste in (1.42):

nel caso di una mensola si ha:

per atti di moto compatibili con i vincoli la (2.1) diventa:

( ) ( )( ) ( ) 0)0( )0()( )(

)0( )0()0()( )()(

)(0

=++++++++

++

+

+

wMMLwLMM

wcMQLwLcLMQ

dwcpML

(2.1)

0)0( 0)0( == vv (2.2)

figura 2-1: modello di calcolo


16

ne derivano lequazioni di bilancio:

con le condizioni al bordo:

e definendo la funzione di risposta tale che

sostituendo alla (2.3)

tale che le (2.4) e (2.5) diventano

a cui vanno aggiunte le (2.2)

( ) ( ) 0)( )()( )()( )(

0

=++++++

++

LwLMMLwLcLMQ

dwcpML

(2.3)

0=+ cpM

( ) 0)()( =+++ LcLMQ( ) 0)( =+ LMM

(2.4)

(2.5)

)( )( vEIM = (2.6)

( ) ( ) 0)( )()( )()( )(

0

=++++

++

LwLvEIMLwLcLvEIQ

dwcpvEIL

(2.7)

0=+ cpvEI (2.8)

(2.9) ( ) ++ =+= MLvEILcQLvEI )( )()(


17

2.2. EQUAZIONI DEL MOTO

Ponendo

la (2.7) e la (2.12) diventano

con le condizioni al bordo

in termini di trasformate di Fourier


),( ),( tLvAtp && =( ))()( )(),( 21 llhtNtc p =

),( )( tLvmtQ a &&=+

),( )( 2 tLvhmtM aa =+ &&

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

( )( )( )( ) 0)( ),( ),(

)( ),( ),(

)()( )(),( ),(

2

021

=+++

++LwtLvEItLvhm

LwtLvEItLvm

dwllhtNtvAtvEI

aa

a

L

p

&&&&

&&

( ) 0)()( )(),( ),( 21 =+ llhtNtvAtvEI p && (2.15)

0),0( 0),0( == tvtv (2.16)

0),( ),(

0),( ),( 2 =+

=tLvEItLvhm

tLvEItLvm

aa

a

&&&&

(2.17)

( ) 0)()( )(),(v),(v 2122

= llMk p

(2.18)

0),(v),(v

0),(v),( v

0),0(v 0),0(v

2

2

2

2

=+

=+==

LLk

LLk

a

a (2.19)


18

avendo posto

ed avendo indicato con v( ,) e Mp() le trasformate di Fourier di v(,t) e Np(t) h/EI. La trasformata di Fourier della (2.14)

2.3. MODI NATURALI

Si consideri lequazione

con le condizioni al bordo (2.19). Riguardando tale equazione, per un valore fissato di

, come unequazione differenziale in , se ne consideri la forma normale

con

Ahm

Am

AEIk aaaaa

,

,

22

=== (2.20)

( )

0)( ),(v),(v

)( ),(v),(v

)()( )(),(v),(v

2

2

2

2

0212

2

=

++

+

+

+

LwLLk

LwLLk

dwllMk

a

a

L

p

(2.21)

(2.22) 0), v(-),(v 22

= k

)y(A )(y =

=

=

000

100001000010

A

),(v),(v),(v),v(

y

2

2

k

(2.23)

(2.24)


19

la soluzione

per valutare lesponenziale occorre ridurre la matrice A nella forma di Jordan. Gli

autovalori si possono indicare con

con > 0 tale che

essendo gli autovalori distinti, la matrice A diagonalizzabile. Disponendo gli

autovettori per colonne

si ha

la prima riga di questa matrice risulta

pertanto lespressione di v(,) data dal prodotto di tale riga per y0, i cui elementi sono delle costanti arbitrarie

0A y )(y e= (2.25)

ii , ,- , (2.26)

2

24

k = (2.27)

=3333

2222

11

T

ii

ii

(2.28)

T

000000000000

T 1A

=

i

i

ee

ee

e (2.29)

2)sinh()(sin

2)cosh()(cos

2)sinh()(sin

2)cosh()cos( ++++

(2.30)


20

le condizioni al bordo (2.19) implicano

la matrice delle condizioni al bordo ha per prima colonna

e per seconda colonna

il determinante risulta

per calcolarne gli zeri, in forma approssimata, conviene dividere lespressione (2.36) per

il grafico del determinante cos scalato riportato in figura 2-2. indicando con n gli zeri del determinante, a ciascuno di questi corrisponde uno spazio nullo di dimensione uno

per la matrice delle condizioni al bordo. Dalla (2.27) discende

3423

21

2)sinh()(sin )(

2)cosh()cos( )(

2)sinh()(sin )(

2)cosh()cos( )(),v(

+++

++++=

cc

cc (2.31)

2)sinh()(sin )(

2)cosh()cos( )(

2))sinh()(sin( )(

2))cosh()cos(( )(),(v

43

2

2

1

+++

++++=

cc

cc

(2.32)

0 0)( 43 == cc (2.33)

+++

)sinh( )sin( )cosh()cos()sinh()sin()cosh( )cos(

33

LLLLLLLL

aa

aa (2.34)

++++

)sinh()sin()cosh( )cos( )sinh( )sin( )cosh()cos(

33 LLLL

LLLL

aa

aa (2.35)

( )] )sin( )( )cos( ) 1( )cosh()sinh( )cos( )( 1[ 2

24

24

LLLLL

aaaa

aaaa

++++++ (2.36)

( ) ( )2422 1 )cosh( 4 aaaaL +++ (2.37)

2 =k (2.38)


21

ponendo

si ottiene infine per v(, ) lespressione

la trasformata inversa di Fourier della (2.40)risulta

riorganizzando i coefficienti lespressione precedente diventa

Questa la descrizione del moto corrispondente alle equazioni (2.22), (2.19).

Tale descrizione stata ottenuta attraverso una selezione, indotta dalle condizioni al

bordo, delle funzioni e-iwt utilizzate nella trasformata di Fourier.

Le funzioni n() si dicono modi naturali. Queste soddisfano la (2.22) con = n, assieme alle condizioni al bordo (2.19). Si ha pertanto

knn 2 = (2.39)

( )=

++=1

()()()( )(),(vn

nnnnn cc (2.40)

( )( ) ] )sin()cos( )(

sin()cos( )([ )( 21

),v(21),(

1

titc

titc

detv

nnn

nnnnn

ti

+++=

=

=

+

(2.41)

( )=

+=1

)sin()cos( )(),(n

nnnnn tbtatv (2.42)

)( )( 4 nnn =

0)0(0)0(

==

n

n

0)()(

0)()( 4

4

=+=+

LLLL

nnan

nnan

(2.43)

(2.44)

(2.45)


22

poich la (2.22), con le prime delle (2.19), equivalente alla parte omogenea della

(2.21)

le funzioni n() soddisfano tale condizione per qualsiasi w, con = n. In particolare dunque

figura 2-2: calcolo degli zeri del determinante

( )( )( ) 0)( ),(v),(v

)( ),(v),( v

),( v),(v

4

40

4

=++++

+

LwLLLwLL

dw

a

a

L

( )( )( ) 0)( )()(

)( )()(

)( )()(

4

40

4

=++++

+

LLL

LLL

d

jiiai

jiiai

j

L

iii

(2.46)

(2.47)


23

attraverso ripetute integrazioni per parti si ha

sottraendo a questa lespressione ottenuta dalla (2.47) scambiando i con j,

si ottiene

questa la propriet dortogonalit dei modi.

2.4. PARTE SINGOLARE DELLA SOLUZIONE

Nel caso in cui

la (2.12) diventa

( )( )( ) 0)( )()(

)( )()(

)( )()(

4

40

4

=++++

+

LLL

LLL

d

ijjai

ijjai

i

L

jij

( )( )( ) 0)( )()(

)( )()(

)( )()(

4

40

4

=++++

+

LLL

LLL

d

ijjaj

ijjaj

i

L

jjj

( ) 0)( )( )( )( )( )( 0

44 =

++

L

ijaijaijij LLLLd

(2.48)

(2.49)

(2.50)

0)( =p

( ))()( )( 21 llhNc p = 0=+Q0=+M

(2.52)

(2.51)

(2.53)

(2.54)

( ) 0)()( 21 = llhNvEI p (2.55)


24


integrando la (2.55) si ottiene, per via delle (2.56) e (2.57)

avendo indicato con h la funzione di Heaviside. Dalla (2.62) definita la funzione

che soddisfa le condizioni al bordo (2.56) e (2.57). Nella figura 2-3 sono riportati: lo

spostamento, la rotazione ed il momento della soluzione statica.

0)0( ,0)0( == vv0)( ,0)( == LvLv

( ))()( )( 21 llEIhN

v p =

( ))()( )( 21 llEIhN

v p =

( ))( )()( )( 221 lllEIhN

v p = hh

( ))( )()( )( )( 2211 llllEIhN

v p = hh

= )( )(21)( )(

21 )( 2211 llllEI

hNv p hh

(2.56)

(2.57)

(2.58)

(2.59)

(2.60)

(2.61)

(2.62)

)( )(21)( )(

21)( 2

221

21 llll = hh (2.63)


25

2.5. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DELLA SOLUZIONE FORTE

In termini di trasformate di Fourier la descrizione del moto data dallequazione

(2.21) con le condizioni al bordo (2.19). definendo

si ponga

in questo modo si descrive la parte regolare di v(,)

come combinazione lineare dei modi. Sostituendo lespressione (2.65) nella (2.21) con

= j si ottiene

figura 2-3: spostamento, rotazione e curvatura della soluzione statica

)( )(),(v pM=

),(v)( )(),(v1

+= =

i

N

iiq

(2.64)

(2.65)

),(v),(v (2.66)


26

per la (2.63) e (2.57) questespressione diventa

per la (2.47) si ha

( )( )( )

( )( )( ) 0)( ),(v),(v

)( ),(v),(v

)( ),(v),(v

)( )()( )(

)( )()( )(

)( ] )()( )(

)()([)(

4

4

L

0

4

1

4

1

4

21

1 0

4

=++++

++

+++

+++

+

=

=

=

LLL

LLL

d

LLLq

LLLq

dllM

q

ja

ja

j

j

N

iiiai

j

N

iiiai

jp

i

N

i

L

ii

(2.67)

( )( )( )

0)( ),(v)( ),(v )( ),(v

)( )()( )(

)( )()( )(

)( )( )()(

0

4

1

4

1

4

1 0

4

=

++

+++

++

+

=

=

=

LLLL

LLLq

LLLq

dq

jajaj

L

j

N

iiiai

j

N

iiiai

N

i

L

jiii

(2.68)

( ))

0)( ),(v )( ),(v )( ),(v

)( )( )( )(

)( )( )(

0

4

1 0

44

=

++

+++

=

L

jajaj

jiajia

j

N

i

L

iii

LLLLd

LLLL

dq

(2.69)


27

che, per la propriet dortogonalit (2.50), diventa

si noti che per la (2.55) e la (2.64)

con le (2.56) e (2.57). integrando per parti si ha per le (2.45)

essendo poi j = j j, dalla precedente si ha

la (2.70) diventa pertanto

ponendo

( )0)( ),(v )( ),(v )( ),(v

)( )( )( )(

0

4

0

22244

=

++

+

++

LLLLd

LLdq

jaja

L

j

L

jajajjj

( ) dllMd jL L

pj )( )()()( )( ),(v0 0

21 =

( ))( ),(v )( ),(v )( ),(v )( ),(v

4

0

0

LLLLd

d

jajajj

L

L

j

++=

=

( )

dllM

LLLLd

j

L

p

jaj

L

ajj

)( )()()(

)( ),(v )( ),(v )( ),(v

021

0

4

=

++

( )( ))()( )(

)( )( )( )(

124

4

0

22244

llM

LLdq

jjpj

L

jajajjj

=

++

(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

++= L jajajj LLdk 0

2222 )( )( )(

1 (2.75)


28

la (2.73) si scrive

da cui si ottiene

sostituendo questespressione nella (2.65) si ottiene

la funzione di trasferimento risulta dunque

2.6. FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DELLA SOLUZIONE DEBOLE

Se si utilizza per v( ,), invece dellespressione (2.65), lespressione

dalla (2.21), con = j, si ottiene

( ) ( ))()( )( )( 122222 llMq jjpj

jjj = (2.76)

( ) ( ))()( )( )( 122222

llMq jjpjjj

j = (2.77)

( ) ( ) )( )()( )()( ),(v 121 2222

piii

N

i iii

Mll

+= = (2.78)

( ) ( ) )()( )()( ),( 121 2222

+= = iii

N

i iii

llH (2.79)

=

=N

iiiq

1)( )(),(v (( (2.80)

(( ) ( )( ))

( )( ) 0)( )()( )(

)( )()( )(

)( )(

)( )( )(

1

4

1

4

21

1 0

4

=++

+++

+

=

=

=

LLLq

LLLq

dllM

q

j

N

iiiai

N

ijiiai

jp

N

i

L

iii

(

(

(

(2.81)


29

per la (2.47) si ha

che, per la propriet dortogonalit (2.50), diventa

si ottiene infine

e, corrispondentemente

la funzione di trasferimento risulta, in questo caso

la differenza tra le due espressioni della funzione di trasferimento

interessante interpretarne il significato. Si noti che la (2.73) implica

( ))

( ) ( )( )

=++++

+

=

L

jp

jiajia

N

i

L

jiii

dllM

LLLL

dq

021

1 0

44

0 )( )(

)()( )( )(

)( )( )(

(

(2.82)

( )( ) ( )( )

=

+

++

L

jp

L

jajajji

dllM

LLdq

021

0

22244

0 )( )(

)( )( )( )(

((2.83)

( ) ( ))()( )( 1)( 1222 llMq jjpjji =(

(2.84)

( ) ( ) )( )( )()( 1),(v 1 1222 piN

iii

ii

Mll

= =

( (2.85)

( ) ( ) )( )()( 1),( 1 1222 iN

iii

ii

llH =

=(

(2.86)

)(

)()()(),(),(

12

12 i

N

i ii

ii llHH =

= ( (2.87)

( ))()( )( )( )( )( )( )(

12

0

4

ll

LLLLd

jj

L

jajajj

==

++

(2.88)


30

poich per lortogonalit dei modi

risulta

pertanto dalla (2.87) si ha

La differenza tra le funzioni di trasferimento consiste dunque nel resto della

serie (2.90) troncata ai primi N termini. Si noti che tale differenza non dipende da . E anche utile rilevare che, dal confronto della (2.77) con la (2.84), risulta

in figura 2-4 e figura 2-5 sono riportati i grafici di () assieme al grafico dellespressione data dalla serie (2.90) troncata rispettivamente ai primi N termini o ai

primi 3N termini.

= ++

++=

1

0

222

0 )( )( )( )(

)( )( )( )( )( )()(

iiL

aai

L

iaiai

LLd

LLLLd

(2.89)

)(

)()()(

)(

)()()(

12

12

1

0

24

12

=

=

==i

iii

ii

iiL

ii

ii ll

d

ll(2.90)

)(

)()(),(),( 2

12

=

=Ni

iii

ii llHH(

(2.91)

)( )( 22

j

jj qq

(= (2.92)

figura 2-4: approssimazione della curvatura con N modi

figura 2-5: approssimazione della curvatura con 3N modi

Capitolo 3 Sistemi di controllo

31

3. SISTEMI DI CONTROLLO

In questa sezione si esaminano le condizioni necessarie e sufficienti per stabilire se

un sistema controllabile o meno. Inoltre, introdotto il concetto di controllo attivo a

ciclo aperto ed a ciclo chiuso ed il progetto della legge di controllo.

3.1. CONDIZIONI DOSSERVABILITA E CONTROLLABILITA

Prima di sottoporre a studio un modello controllato necessario determinare se

il sistema di controllo selezionato assume le condizioni dosservabilit, controllabilit e

stabilit.

La propriet di controllabilit di un sistema risiede nella struttura del sistema

meccanico da controllare e nellallocazione delle azioni di controllo.

Preso in esame un sistema autonomo del tipo

il sistema detto completamente controllabile se per x(0)=0 e per un assegnato possibile

stato del sistema x1 esiste un istante di tempo t1, che definisce un intervallo continuo di

tempo 0 t t1, in cui lazione di controllo u(t) permette di assicurare che x(t1)=x1. Cos, in maniera pi semplice, un sistema completamente controllabile se il

suo stato pu essere guidato da uno stato iniziale ad altri stati in un numero finito di

steps.

Losservabilit la propriet duale della controllabilit. Losservabilit di un

sistema fornisce le condizioni per la scelta delle grandezze da osservare.

Preso in esame il sistema autonomo (5.1) corredata della relazione lineare

il sistema detto completamente osservabile se esiste un istante t1 tale che

nellintervallo continuo 0 t t1 la conoscenza delle grandezze osservate y(t) sia sufficiente a determinare il valore dello stato iniziale x(0).

BuAxx +=&

Cxy =

(3.1)

(3.2)


32

I due concetti introdotti dellosservabilit e controllabilit sono di fondamentale

importanza per ogni strategia di controllo. Uninterpretazione fisica di questi concetti

non n semplice n immediata.

3.2. CONTROLLO ATTIVO

La parola controllo, ha nelluso tecnico il significato della parola inglese control,

diverso da quello corrente della lingua italiana di verifica. Per controllo sintende la

strategia atta ad imporre, ad una certa grandezza fisica, un preciso valore o una

prefissata serie di valori nel tempo.

Oggetto di studi relativamente recenti, il controllo ha permesso di raggiungere

prestazioni indispensabili nelle molte applicazioni ingegneristiche, tali da poter guidare

il comportamento di un sistema secondo opportune funzioni obiettivo.

Il controllo delle vibrazioni strutturali ha come obiettivo quello di mantenere

alcune grandezze dinamiche sotto dei prestabiliti limiti.

Possiamo parlare di tecniche di controllo classiche, che permettono la sintesi di

controllori fixed gain, per i quali i parametri sono fissati in modo definitivo, e di

tecniche di controllo moderne, tra le quali ritroviamo il controllo ottimo, il controllo in

norma ed il controllo adattivo.

Le tecniche di controllo classiche si basano sulle seguenti ipotesi:

Il processo da controllare modellabile attraverso una funzione di trasferimento (es. P(z));

La P(z) una funzione nota e stazionaria (a parametri costanti); Il regolatore descritto da una funzione R(z) a parametri costanti. Si basa sulla

controreazione (figura3-1), che consente di attenuare gli effetti dei disturbi

presenti nel processo controllato.

R(z) P(z)

+

-

figura 3-1


33

Il controllo ottimo una metodologia che ha avuto grande attenzione per le

applicazioni nellingegneria civile. Con tale termine sintende la ricerca ottimale del

soddisfacimento di due esigenze: lesigenza di avere il massimo beneficio raggiungibile

dal sistema di controllo e quella di limitare il costo dellazione di controllo.

Immaginando una formulazione nello spazio di stato possiamo andare a definire

il criterio di ottimo per progettare una legge di controllo. La legge di controllo si ottiene

come minimizzazione di un funzionale scalare L (indice di prestazione), pensato

direttamente nel dominio del tempo, che definisce le prestazioni del sistema controllato.

L assume la seguente forma:

dove L0 e L1 sono funzioni scalari non negative; x il valore di stato; u il vettore delle

forze di controllo. L0 il costo relativo alla deviazione tra il valore assunto dallo stato e

quello desiderato per lo stesso nellistante finale tf. L1 rappresenta la somma dei costi

associati alla deviazione dello stato, da quello che si desidera nel transiente di moto e

del livello di controllo richiesto. Le due funzioni sono scelte in modo tale da dare

maggiore o minore importanza sullaccuratezza che sintende avere nellistante finale

dellapplicazione del controllo, sul comportamento del sistema nel transiente in cui

agisce lazione di controllo e sul valore da assegnare alla forza di controllo.

Quando scelta la forma delle due funzioni si pu procedere alla

minimizzazione del funzionale L attraverso metodi come la programmazione dinamica,

o il principio di minimo di Pontryagin. Con questultimo metodo, che si basa sul calcolo

variazionale, si minimizza la funzione Hamiltoniana (H), dove H=H(x(t),(t),u(t),t) e con (t) sintendono le condizioni agli estremi del sistema. Quando si hanno sistemi con molti gradi di libert non molto semplice ottenere

una soluzione analitica. Un metodo alternativo pu essere di assumere che x(t) e (t) soddisfino una relazione lineare del tipo:

dove P(t) una matrice incognita e T(t) un vettore incognito. Nel controllo delle

strutture civili soggette ad eccitazioni variabili, si trascura il termine T(t), che comporta

( ) ( )+= ft

ff dtttutxLttxLuxL0

10 ),(),(),(),(

)()()()( tTtxtPt +=

(3.3)

(3.4)


34

a trascurare il termine a ciclo aperto ( 3.2.1.), e si considera la forza di controllo ottimo

u(t) nella forma di una legge di retroazione lineare:

dove G(t) la matrice di guadagno che pu essere determinata a priori durante il

progetto del controllore.

Il progetto di un classico regolatore lineare quadratico (LQR) d una legge di

controllo a retroazione, lineare nel vettore di stato x(t). Nel caso di un unico controllore

la legge di retroazione pu essere scritta nella forma:

con g si indica il vettore dei guadagni. Si tratta di una legge somma di due termini, uno

proporzionale agli spostamenti e laltro proporzionale alle velocit.

Questo progetto di controllo ottimo con i guadagni costanti nel tempo

sicuramente di facile applicazione ma non permette ai sistemi di controllo di regolare

linfluenza sulla risposta strutturale, del transitorio iniziale, e si deve trascurare la diretta

influenza delleccitazione esterna.

Il progetto di controllo in norma permette di andare a considerare sistemi

strutturali sottoposti ad una definita classe deccitazioni (come ad esempio eccitazioni di

tipo sinusoidale). Si tratta di una metodologia di controllo che si presta ad assicurare la

robustezza del controllo, cio il raggiungimento dellobiettivo preposto pur in presenza

di incertezze sui parametri del sistema, o delle loro variazioni nel processo di controllo.

E un metodo di progetto nel dominio delle frequenze e quindi consente di

soddisfare i requisiti ingegneristici quale il raggiungimento dellattuazione delleffetto

di uneccitazione esterna in un prefissato dominio delle frequenze. Si tratta di un

metodo che opera direttamente nel dominio delle frequenze e si basa sullimporre un

valore massimo, alla norma della funzione di trasferimento scelta. In figura 3-2 si

riporta il diagramma a blocchi per il progetto di controllori in norma. Nel diagramma si

considera il caso in cui il vettore y la variabile di risposta misurata, il vettore d

rappresenta linsieme delle grandezze scelte come risposta del sistema e che sintende

)()()( txtGtu =

)()()()( txgtxgtxgtu TxTx

T &&+==

(3.5)

(3.6)


35

regolare u il vettore delle grandezze di controllo (entrata), e f leccitazione. Secondo

la scelta della funzione di trasferimento si hanno le varie metodologie.

E opportuno puntualizzare che esiste unampia classe di funzioni di

trasferimento che consentono di identificare il legame, nel dominio delle frequenze, tra

leccitazione esterna f e le grandezze desiderate d.

In generale nel controllo delle vibrazioni strutturali si suppone che il sistema

presenti piccoli spostamenti e un comportamento lineare. Quando si hanno modelli a

parametri non noti, incerti,variabili, necessario introdurre delle tecniche di controllo

capaci di mantenere le grandezze dinamiche al di sotto di prestabiliti limiti in presenza

di non linearit del sistema e di incertezze di modellazione. La capacit di un sistema di

controllo di assicurare il raggiungimento dellobiettivo definita come robustezza del

controllo. Le tecniche di controllo adattivo sembrano particolarmente promettenti in

questo senso. Si tratta di una tecnica che in linea di principio prevede la presenza di un

sistema di regolazione, detto controllore, che modifica nel tempo, in maniera

automatica, i parametri delle sue leggi.

Un progetto di un controllore adattivo consiste nel definire un meccanismo che

garantisca, al sistema di controllo, la stabilit e che lerrore di trascinamento converga a

zero al variare dei parametri adattivi.

Progettare un controllo adattivo significa:

scegliere la legge di controllo contenente i parametri adattivi; scegliere la legge adattiva che modifichi questi parametri; analizzare le propriet di convergenza del sistema controllato.

Eccitazione Sistema

strutturale Uscita

Controllore

figura 3-2: diagramma a blocchi per il progetto di controllori

f(t) d(t)

y(t) u(t)


36

Si tratta di una tecnica di controllo efficace sia per sistemi lineari incerti, che a

coefficienti variabili nel tempo, sia per sistemi non lineari.

I sistemi strutturali con non linearit (diffuse o concentrate) possono essere

controllati con tecniche adattive.

Le tecniche adattive sono una soluzione, per esempio, nelle diverse applicazioni

di robotica, dove si richiedono prestazioni dinamiche e annullamento o minimizzazione,

delleffetto delle variazioni di grandezze elettriche e meccaniche.

3.2.1. Controllo a ciclo aperto e controllo a ciclo chiuso

Si soliti distinguere le grandezze che interagiscono con lesterno in ingressi e

uscite nellambito di una distinzione tra causa ed effetto. Diversi sono i criteri che

permettono di classificare i sistemi di controllo, tra i quali si considera quello che si

basa sulle modalit attraverso le quali si sviluppa lazione di controllo. La distinzione

pi importante che si fa quella tra sistemi a ciclo aperto (figura 3-3) e sistemi a ciclo

chiuso (figura 3-4)

dove:

v sono le variabili controllate (ingresso); u la funzione di controllo; y sono le variabili controllate (uscita);

Controllore Sistema v y u

figura 3-3: controllo a ciclo aperto

Controllore Sistema v u y

figura 3-4: controllo a ciclo chiuso


37

Per differenziare i due tipi di controllo si esamina la grandezza di ingresso (o

comando) v, e quella di uscita (o controllata) y del sistema e si fa riferimento allazione

di controllo sviluppata, dalla prima sulla seconda.

Il controllo si dice a ciclo aperto (open loop) se la grandezza dingresso agisce in

modo diretto su un a seconda grandezza e questa su di una terza e cos via, fino a

giungere alla grandezza che agisce direttamente su quella controllata.

Il controllo detto a ciclo chiuso (closed loop) se la grandezza duscita, o

unaltra dipendente da questultima, confrontata con la grandezza dingresso e si

utilizza la differenza tra le due. Questo tipo di controllo si dice anche a controreazione

(feedback).

3.2.2. Classi di sistemi di controllo

In genere si tratta di sistemi di controllo non lineare. Per essi si pu parlare di

pi classi. Una classe di sistemi di controllo non lineare molto usata nelle applicazioni

formata da un insieme di equazioni differenziali ordinarie del tipo:

nel quale x Rn lo stato, x0 la condizione iniziale, u : R+ Rm lingresso di controllo, y Rs il vettore duscita. Se m=s=1, si tratta di sistemi ad un ingresso ed unuscita (SISO), se invece m>1

ed s>1, si parla di sistemi multivariabili (MIMO).

Si considera in una successiva fase una sottoclasse di sistemi non lineari del tipo

affine per il quale imposto il vincolo che, nel modello ingresso-stato possibile

separare una parte f che non dipende da u ma soltanto da x, e una parte g che dipende

solo da x ed moltiplicata per u. Per le funzioni f, g, h, si fa lipotesi di funzioni

continue e derivabili.

( ) 0)0( , xxuxfx ==&( )xhy =

uxgxfx )()( +=&)(xhy =

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)


38

A qualsiasi classe appartenga il sistema di studio sempre importante la

valutazione del suo grado relativo e la sua proiezione nello spazio di stato, elementi

molto importanti per definire la controllabilit e losservabilit di un qualsiasi sistema.

3.2.3. Losservatore

Quando un sistema le cui variabili sono la stima delle variabili di stato di un

altro sistema, si dice osservatore di tale sistema. Il sistema osservatore stima, da misure

dellingresso e delluscita, lo stato non misurabile come indicato in figura 3-5.

Questo termine fu introdotto da Luenberger nella teoria dei sistemi. Per ogni

sistema osservabile pu essere progettato un osservatore con assegnate caratteristiche di

convergenza dellerrore.

Nellipotesi di conoscere le matrici A e B, e che A sia stabile, allequazione (3.7)

aggiungiamo:

Il sistema dinamico che simula il comportamento del sistema reale (osservatore

asintotico) potrebbe essere descritto da:

Modello

sistema

fisico Osservatore

u

y

x

figura 3-5: sistema osservatore

( )xOy =

BuAxx +=&

( )xOy =

(3.11)

(3.12)

(3.13)


39

Il sistema dinamico (3.12)-(3.13) chiamato osservatore dello stato e la sua

principale caratteristica quella di far tendere lo stato stimato x al reale andamento

rappresentato da x.

Facendo la differenza fra le variabili di uscita sul sistema reale y e le grandezze

stimate y si ha la valutazione dellerrore fra i due sistemi dinamici. Lerrore

dellosservatore definito:

Se questo errore viene considerato proporzionalmente ad una matrice di peso C e

aggiungiamo allequazione (3.12) come termine correttivo, possiamo scrivere la

dinamica dellosservatore come:

considerando le equazioni (3.11) e (3.13) lerrore tra lo stato completo e la sua

stima :

ed utilizzando la (3.14) la dinamica dellerrore ha la seguente equazione

differenziale:

Per assicurare la convergenza a zero dellosservatore, con una velocit di

convergenza maggiore di quanto avviene la risposta del sistema, necessario valutare la

matrice C di progetto dellosservatore.

3.3. PROGETTO DELLA LEGGE DI CONTROLLO

Il progetto della legge di controllo per un sistema pu essere fatto partendo dalle

equazioni del moto nella forma integro differenziali (PDE) oppure partendo dalle

equazioni del moto nella forma dequazioni differenziali ordinarie (ODE).

xxeo =

( )xxCBuxAx ++=&

( ) ( )xxCOxxAxx += &&

( ) 0 eCOAeo +=&

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)


40

3.3.1. Controllo di modelli discreti

Eseguire un progetto del controllo su un modello discreto, ha il vantaggio di

operare su un modello matematico strutturalmente ben definito, in cui sono facilmente

riconoscibili le grandezze del sistema strutturale. Si hanno per delle limitazioni dovute

sia al numero di modi scelti per il controllo, che alla serie di assunzioni fatte nellambito

della definizione del modello stesso.

Partendo da un modello discreto abbiamo n equazioni differenziali ordinarie del

secondo ordine nella variabile tempo. Quando fissiamo il numero dei modi che

intendiamo studiare usiamo parlare di modello ridotto.

Inoltre, sempre per un modello discreto, si pu eseguire un progetto nello spazio

modale oppure nello spazio di stato.

3.3.2. Controllo di modelli continui

Un modo di procedere al progetto di un controllo su un modello continuo

quello di scrivere le equazioni del moto del sistema ed includervi le forze di controllo

come naturali condizioni presenti agli estremi. Si tratta di un metodo basato sul

teorema di stabilit di Lyapunov.

Secondo questo teorema uno stato dequilibrio xc di un sistema stazionario a

dimensione finita, regolare, stabile (asintoticamente stabile) se esiste una funzione

V(x) detta di Lyapunov, tale che:

V(xc)=0; V(x) definita positiva in un opportuno intorno di xc; (x)V& semidefinita (definita) negativa nello stesso intorno.

Modello discreto (ODE)

Modello continuo (PDE)

Progetto controllo

figura 3-6: progetto del controllo


41

Si tratta di un metodo che comporta la definizione di una funzione candidata di

Lyapunov che abbia le seguenti caratteristiche:

nulla nel punto dequilibrio differenziabile rispetto ai parametri (variabili) del sistema definita positiva in un opportuno intorno del punto dequilibrio

Lunico difetto del metodo basato sulla stabilit, che esso richiede la misurabilit

di tutte le variabili di stato, perch esse compaiono nella funzione di Lyapunov.

Capitolo 4 Strumentazione

42

4. STRUMENTAZIONE

Il seguente capitolo illustra la strumentazione, di laboratorio, utilizzata per

lacquisizione dei dati e la manipolazione di questultimi grazie allutilizzo di

programmi ad interfaccia grafica visualizzabili nel sistema operativo Windows di un pc.

4.1. DESCRIZIONE DEL SISTEMA DI ACQUISIZIONE DEI DATI

La componente fondamentale di un sistema DAQ consiste nella misura o nella

generazione di segnali nel mondo fisico. Prima che un sistema basato su un computer

possa misurare un segnale fisico necessario che un sensore, o un trasduttore, lo

converta in un segnale elettrico come una tensione o in una corrente. Quindi la scheda

DAQ solo uno dei componenti del sistema DAQ; talvolta non possibile collegare dei

segnali alle schede DAQ, , infatti, necessario disporre di un condizionatore di segnale

che trasforma il segnale prima che la scheda DAQ lo converta in segnale digitale. Il

software controlla il sistema DAQ per acquisire i dati, analizzarli e presentarne i

risultati.

Quando si misura un segnale analogico con la scheda DAQ occorre considerare

che la qualit del segnale digitalizzato dipende da diversi fattori, come il tipo dingresso

(single-ended oppure differenziale), lintervallo di misura, la risoluzione, la velocit di

campionamento, laccuratezza ed il rumore.

Gli ingressi single-ended sono tutti riferiti ad una massa comune. Si utilizzano

questi ingressi quando i segnali sono forti (superiori a 1 V), i cavi che collegano la

sorgente del segnale allhardware sono corti (meno di 3 metri) e tutti i segnali in

ingresso possiedono la stessa massa. Se i segnali non ottemperano a questi criteri,

occorre utilizzare ingressi differenziali; in questo caso ciascun input ha una massa

distinta dagli altri.

La risoluzione il numero di bit che il convertitore analogico/digitale (ADC)

utilizza per rappresentare il segnale analogico. Pi alta la risoluzione, maggiore risulta

il numero di divisioni in cui suddiviso lintervallo e, quindi, pi piccola la variazione

di tensione rilevabile.


43

Lintervallo di misura (range) riguarda i valori di tensione minimi e massimi che

lADC pu convertire. La scheda DAQ offre la possibilit di selezionare il range di

misura (in genere da 0 a 10 V o da 10 a 10 V), cos da consentire di adattare il range

del segnale a quello dellADC, in modo da misurare il segnale con la massima

risoluzione disponibile.

Il guadagno sta ad indicare una qualunque operazione damplificazione o

dattenuazione del segnale prima che esso sia digitalizzato. Applicando il guadagno ad

un segnale possibile diminuire lintervallo di valori in ingresso dellADC

consentendogli cos di utilizzare tutte le divisioni digitali possibili per rappresentare il

segnale. Per esempio, supponiamo di avere un segnale che fluttua tra 0 e 5 Volt, con un

impostazione dellintervallo di misura da 0 a 10 Volt. Se non viene applicato nessun

guadagno, il che equivale a dire che il guadagno pari ad 1, lADC usa solamente met

delle divisioni disponibili per effettuare la conversione analogico-digitale. Se invece si

amplifica il segnale con un guadagno di 2 prima di effettuare al digitalizzazione, lADC

utilizza tutte le divisioni digitali possibili e la rappresentazione del segnale

conseguentemente pi accurata.

Il range di misura, la risoluzione ed il guadagno di una scheda DAQ determinano

la variazione di tensione minima rilevabile, che rappresenta il pi piccolo bit

significativo (LSB) del valore digitale, ed spesso chiamata larghezza del codice. La

minima variazione del segnale che pu essere rilevata calcolata come:

LSB = Range di tensione guadagno2risoluzione in bit

La velocit di campionamento (scan rate) determina la frequenza con cui ha luogo la

conversione. Una velocit di campionamento elevata permette lacquisizione di pi

punti in un dato intervallo temporale e quindi consente di ottenere una migliore

rappresentazione del segnale originale rispetto a una velocit di campionamento

inferiore. Tutti i segnali in ingresso devono essere campionati ad una velocit

sufficientemente elevata, tale da rappresentare adeguatamente il segnale analogico.

Prima di essere convertito in un segnale digitale, il segnale analogico distorto

dalla presenza del rumore, la cui sorgente pu essere interna o esterna al computer. E


44

possibile ridurre il rumore generato dallesterno utilizzando un opportuno

condizionatore di segnale, oppure eseguendo un numero di campionamenti superiore al

necessario e calcolando il valore medio dei punti cos acquisiti.

4.2. SCHEDA PCI 6052E

Scheda AT-MIO-16XE-50 della National Instruments installata su PC con

processore PENTIUM III 800 Mhz 128 MB di RAM.

LAT-MIO una scheda multi funzione: Input/Output analogico, digitale,

calcolo del tempo. La scheda non ha interruttori, jumpers, potenziometri, quindi

configurata e calibrata tramite software. DMA (direct memory access), interrups, base

I/O addresses sono tutti configurabili tramite software; in questo modo si pu

facilmente cambiare la configurazione della scheda senza rimuoverla dal computer.

La scheda AT-MIO va inserita in un solo slot a 16 bit e possono essere eseguiti

due tipi di configurazioni:

1) la configurazione delle connessioni del bus che include lindirizzo I/O base, il

canale DMA e i canali dinterrupt

2) la configurazione della connessione dellacquisizione dati che include i

settaggi come polarit e range degli input analogici, sorgente di riferimento degli output

analogici.

La scheda AT-MIO ha tre differenti modalit di input:

1) NRSE non referenced single-ended input

2) RSE referenced single-ended input

3) DIFF input differenziale

La configurazione di input single-ended consente di usare fino a 16 canali mentre

quella differenziale consente di usare fino ad 8 canali.

La scheda AT-MIO ha due polarit di input: unipolare, con un range di 10 Volt

[0; +10], e bipolare, con un range di 20 Volt [-10; 10].

Nel configurare la scheda possiamo consentire lincertezza abilitando il dither

aggiungendo rumore al segnale.


45

I segnali di output analogico sono DAC0OUT DAC1OUT. DAC0OUT il

segnale di output di tensione per il canale 0 di output analogico, DAC1OUT per il

canale 1. il trigger, cio grilletto o scatto, generato quando il segnale supera il valore

massimo; ci molto importante per evitare di danneggiare la scheda.

Si pu, inoltre, fissare un guadagno per la scheda tale da utilizzare un maggior

numero di bit per la rappresentazione del segnale. Dando un guadagno alla scheda DAQ

non si amplifica il segnale ma si riduce il range configuration tale che i bit invece di

essere suddivisi da 0 a 10 sono suddivisi, con gain pari a 10, da 0 ad 1.

4.3. ACCELEROMETRO PIEZOELETTRICO

Lelemento attivo degli accelerometri sono dischi o porzioni di piezoelettrico, in

piombo zirconati titanati, compressi da una massa sismica e tenuti in posizione da un

anello che agisce come una morsa. Quando laccelerometro soggetto a vibrazioni, la

massa sismica, combinata con quei piezoelettrici, esercita una forza variabile sugli

elementi piezoelettrici. Proprio per effetto piezoelettrico, questa forza produce una

corrispondente carica elettrica. Per frequenze molto vicine alla corrente continua, fino a

circa un terzo della frequenza di risonanza dellaccelerometro, laccelerazione della

massa sismica uguale allaccelerazione di tutto il trasduttore. Conseguentemente la

carica prodotta dallelemento piezoelettrico proporzionale allaccelerazione alla quale

il trasduttore soggetto. Il segnale in uscita dagli accelerometri B6K autogenerato,

sebbene i tipi con preamplificatore incorporato richiedano di fornire una potenza

esterna, perch questo segnale possa essere misurato. Questi strumenti misurano

laccelerazione in una sola direzione, il modello secondo cui sono costruiti detto

Delta Shear.

Un accelerometro piezoelettrico pu essere trattato come una sorgente di carica

o di tensione. La sua sensitivit definita dal rapporto tra loutput e laccelerazione alla

quale soggetto, e pu essere espressa in termini di carica per unit di accelerazione o

in termini di tensione per unit di accelerazione. La sensitivit fornita nei dati tecnici

stata misurata a 160 Hz con unaccelerazione di 100 m/s2. per un livello di sicurezza del

99,9% laccuratezza della calibrazione di fabbrica 2% e include linfluenza del cavo di connessione fornito con ogni accelerometro. Gli accelerometri sono poco sensibili ad


46

accelerazioni perpendicolari al loro asse principale di sensibilit. Questultima

misurata durante il processo di calibrazione di fabbrica ed data come percentuale della

corrispondente sensitivit nella direzione principale.

La risposta di un accelerometro alle basse frequenze dipende principalmente dal

tipo di preamplificatore usato. Inoltre ogni accelerometro ha una sua curva caratteristica

di risposta in frequenza, fornita con il foglio di calibrazione. Gli accelerometri possono

essere usati a frequenze fino al 30% della loro frequenza di risonanza senza che sia

introdotta una distorsione di fase rilevante. In generale pi piccolo laccelerometro pi

alto il livello di vibrazione al quale esso pu essere usato. Il limite massimo dipende

dal tipo di vibrazione al quale esso sottoposto, ed determinata dalla precompressione

degli elementi piezoelettrici.

Gli accelerometri (figura 4-1) presentano una leggera sensibilit alle fluttuazioni

di temperatura, questeffetto significante quando sono misurate basse frequenze, basse

accelerazioni. La sensibilit acustica bassa e, per la maggior parte delle applicazioni,

nelle misure di vibrazioni trascurata. Il cavo coassiale da collegare allaccelerometro

a basso disturbo ed isolato con teflon. Inoltre esso va bloccato come in figura x-x per

ridurre il rumore generato dal cavo.

4.4. AMPLIFICATORE DI CARICA NEXUS

Se Vi la tensione rilevata dallaccelerometro, laccelerazione risulta pari al

rapporto tra Vi e la sensitivit dellaccelerometro, fornita con i certificati di collaudo

dello strumento.

SensivityVoltage

VoneAccelerazi i

=

figura 4-1: accelerometro Bruel & K


47

Il voltage sensitivity espresso in V/ms-2 ed pari al rapporto tra la sensitivit di

carica e la capacit dellaccelerometro pi cavo.

4.5. AMPLIFICATORE ACX

Lamplificatore (figura 4-2) controlla gli attuatori piezoelettrici applicando una

differenza di potenziale; il segnale di input amplificato fino ad ottenere un output di al

massimo 200 V con una intensit di corrente di 200 mA. E possibile modificare il guadagno in modo continuo da 1x a 20x. Per proteggere i dispositivi piezoelettrici

esistono due interruttori che limitano il segnale di output: uno che limita la differenza di

potenziale a 100 V oppure a 200 V, ed un altro che limita la corrente a 50 mA oppure a 200 mA.

Il connettore dellinput accetta un segnale, prodotto da un generatore di funzione

o da altra sorgente, con differenza di potenziale di 10 V, se il controllo del guadagno fissato a 20x, oppure 200 V se il guADAGNO 1x. Se sono superati questi limiti lamplificatore manda comunque un segnale in output, ma entro i limiti consentiti; ne

risulta il troncamento del segnale. Se, poi, il segnale in input moltiplicato per il

guadagno superiore a 400 V allora, al fine di proteggere lamplificatore stesso, salta il fusibile di input.

Il connettore di output, fornisce una differenza di potenziale pari al segnale di

input moltiplicato per il guadagno, sempre entro i limiti 200 V, o anche meno qualora linterruttore si trovi su 100 V. questultimo limite relativo ad alcuni tipi di attuatori piezoelettrici.

Per prevenire danni, esiste anche un fusibile per lalimentazione

dellamplificatore; esso salta se la corrente supera 1,5 A.

figura 4-2: amplificatore ACX


48

4.6. CARATTERISTICHE DELLA TRAVE

Come elemento su cui eseguire le misure, stata presa una trave incastrata

(figura 4-3) con le seguenti caratteristiche:

la barra lunga complessivamente 61 cm, la parte incastrata di 10 cm, quindi

la lunghezza libera risulta

L = 0,51 m

La barra pesa complessivamente 136,4 grammi; dividendo per la lunghezza

complessiva della barra stessa si ottiene la densit che ha le dimensioni di una massa per unit di lunghezza. Il valore di :

= 0,2236 kg/m la sezione della barra larga un pollice (2,54 cm) ed alta 3,175 mm.

Il momento dinerzia risulta:

I = 6,774610-11 m4 Il momento modulo elastico dellalluminio , approssimativamente:

E = 71099,81 N/m2

4.7. LAMINA PIEZOELETTRICA

La piezoelettricit un fenomeno nel quale alcune sostanze cristalline, quando

sono soggette a pressione o forze, generano un campo elettrico proporzionale alla

pressione oppure, quando sono soggette ad un campo elettrico, mostrano una

deformazione meccanica (si espandono o si contraggono). Questo fenomeno stato

inizialmente osservato in singoli cristalli come il quarzo; poi stato indotto in alcune

sostanze policristalline. Questo reciproco accoppiamento tra energia meccanica ed

elettrica rende i materiali piezoelettrici utili in molte applicazioni.

figura 4-3: lamina di base


49

I materiali piezoelettrici possono essere usati contemporaneamente come sensori

ed attuatori, grazie alle loro capacit di convertire energia elettrica in energia meccanica

e viceversa. Leffetto piezoelettrico presente solo in cristalli che non hanno centro di

simmetria; infatti ogni materiale policristallino composto da una moltitudine di

cristalli orientati in modo random. La maggior parte dei cristalli possono essere allineati

applicando, ad elevata temperatura, un forte campo elettrico che polarizza il materiale

mostrando leffetto piezoelettrico; pi cristalli o domini sono orientati, maggiore

leffetto del piezoelettrico. Il materiale piezoelettrico ha una propria frequenza di

risonanza alla quale vibra pi facilmente; il valore di tale frequenza determinato dalla

composizione del materiale, dalla forma e dalla dimensione. Se il materiale

piezoelettrico sollecitato con un campo elettrico a questa frequenza di risonanza esso

oscilla con maggiore efficienza convertendo energia elettrica in meccanica (acustica).

Le propriet fisiche dei materiali piezoelettrici:

1. Modulo di Young: la misura dellelasticit, bisogna considerare che da una

parte dellenergia richiesta per deformare il materiale trasformata in energia elettrica.

Perci il valore del modulo cambia se gli elettrodi sono cortocircuitati con un filo o se

non sono connessi. Il modulo di Young il rapporto tra lo sforzo e la deformazione

quando vibra alla frequenza di risonanza.

2. Temperatura di Curie: la polarizzazione spontanea nei materiali piezoelettrici

persa se la temperatura cresce fino al punto critico conosciuto come temperatura di

Curie. Esiste, quindi, una temperatura al di sotto della quale utilizzare il materiale, in cui

il materiale rimane stabile.

3. Q meccanico: un numero dimensionale che d la qualit del materiale come

oscillatore armonico; il reciproco del fattore di smorzamento meccanico mentre

nellanalogia del circuito equivalente il rapporto della reattanza sulla resistenza.

4.7.1. ACX

Il materiale piezoelettrico (figura 4-4) utilizzato nellesperimento una

sottilissima lamina tra due conduttori. Gli elettrodi di colore grigio sono di Nickel e il

loro spessore ha valori compresi tra 0,00005 0,0002 inch. Possiamo quindi considerare il disposit6ivo come un condensatore a facce piane e parallele in cui il


50

dielettrico rappresentato dalla lamina di materiale piezoelettrico. Lattuatore

piezoelettrico utilizzato nellesperimento il modello QP10N dellACX (active control

experts)

dimensioni 5,08 x 2,54 x 0,0381 (cm3)peso 2,835 gcostante dielettrica (1 kHz) 1800fattore di perdita dielettrica (1kHz) 1,80%temperatura di Curie 350 Cdensit 7700 kg/m2

campo elettrico coercitivo misurato < 1 Hz 14,9 KV/cmcoefficiente di accoppiamento nel piano 0,63coefficiente di accoppiamento diretto 0,7coefficiente di accoppiamento trasversale 0,3coefficiente di accoppiamento 0,4coefficiente piez. diretto di carica 350 10-12 m/Vcoefficiente piez. trasversale di carica -179 10-12 m/Vcoefficiente piez. diretto di potenziale 24,2 10-3 Vm/Ncoefficiente piez. trasversale di potenziale -11,0 10-3 Vm/Nmodulo elastico longitudinale 6,9 1010 N/m2

modulo elastico trasversale 5,5 1010 N/m2

lunghezza della lamina piezoelettrica 4,597 10-2 mlarghezza della lamina piezoelettrica 2,057 10-2 mspessore della lamina piezoelettrica 2,54 10-4 m

CARATTERISTICHE DEL DISPOSITIVO

figura 4-4: lamina di piezoelettrico

Tabella 4-1: caratteristiche delle lamine


51

4.8. PROGRAMMI REALIZZATI IN LABVIEW

LabVIEW (acronimo di Laboratori Virtual Instrument Engeneering Workbench)

un sistema di sviluppo potente e flessibile per applicazioni di acquisizione e analisi

dati per PC in ambiente Microsoft Windows. LabVIEW si differenzia nettamente dai

linguaggi tradizionali di programmazione mettendo a disposizione un ambiente di

programmazione grafica e tutti gli strumenti necessari per sviluppare applicazioni

rivolte allacquisizione dati e alla loro analisi e presentazione. Con questo linguaggio di

programmazione grafica, chiamato G, possibile scrivere programmi disegnando dei

diagrammi a blocchi che LabVIEW compila, generando il codice macchina. LabVIEW

integra in un unico sistema lacquisizione dei dati, la loro analisi e la presentazione la

presentazione dei risultati. Lacquisizione dei dati effettuata con LabVIEW tramite la

scheda AT-MIO. E utilizzato per gestire la scheda DAQ, per rilevare i segnali di input

ed eventualmente rielaborarli e per mandare un segnale di output. Virtual Instrument:

perch le applicazioni di LabVIEW si comportano come uno strumento virtuale,

controllato attraverso il mouse, la tastiera ed il monitor.

Sono stati realizzati alcuni programmi per gestire al meglio lesperimento, sia

per quanto riguarda lacquisizione dei dati che la loro rielaborazione.

4.9. MISURE EFFETTUATE SOLLECITANDO LA TRAVE CON UN ATTUATORE PIEZOELETTRICO

La struttura sulla quale sono state effettuate le prove una mensola di alluminio

sulla quale stato posizionato, tramite incollaggio, una lamina piezoelettrica sulla faccia

superiore della mensola. Il dispositivo dincastro fissato sul tavolo. Lattuatore posto

in prossimit dellincastro, ad una distanza di sei cm, mentre laccelerometro, che rileva

i movimenti della barra, posto sullestremit libera.

La lamina piezoelettrica, che funge da attuatore, stata sollecitata tramite

unonda sinusoidale di ampiezza e frequenza variabili. Londa, prodotta dalla scheda

DAQ, passa poi, tramite un connettore BNT, nellamplificatore di potenza ACX che ne

aumenta lampiezza di 20 volte, lasciando inalterata la frequenza.

Lampiezza dellonda stata indicata con Apz ed il suo valore, espresso in Volt,

quello che viene assegnato tramite la scheda senza tenere conto della successiva


52

amplificazione. Per Apz stato scelto il valore di 5 Volt. Per avere unonda la pi

definita possibile, cio con unampiezza di oscillazione prossima ai 5 Volt, si variato

il guadagno, utilizzando i valori di 10, 100 e 1000, proprio perch la risposta del sistema

in alcuni casi risultava eccessiva (in prossimit delle frequenze di risonanza) e in altri

scarsamente rilevabile. Sono state assegnate frequenze da 3 Hz fino a 2120 Hz, gli

intervalli tra una frequenza e la successiva sono stati infittiti in corrispondenza dei

picchi di risonanza. Valori pi bassi di 3 Hz non sono stati analizzati perch la risposta

dellaccelerometro, data in termini di differenza di potenziale, risulta fortemente

disturbata, sia perch risente troppo dei rumori ambientali sia perch a basse frequenze

diminuisce la sensibilit dellaccelerometro. Oltre 2120 Hz non possibile andare, non

per limitazioni dellaccelerometro, ma per il limite della scheda nella velocit di

campionamento che 20000 campionamenti al secondo. Questo significa che ogni

periodo della risposta campionato, a 1650 Hz, con 10 punti circa. Lupdate rate, che

rappresenta il numero di punti con i quali, nellintervallo di un secondo, discretizzata

londa di output in uscita dal DAC1_OUT, non pu superare il valore di 20000, ma, con

lintento di avere unonda pi definita, questo valore forzato a 50000 e a 100000.

Queste operazioni sono importanti quando si raggiungeranno frequenze elevate.

Se ne avverte la differenza da una caratteristico rumore dellattuatore che in alcuni casi,

pi che ricevere unonda sinusoidale, ricevere unonda con differenze tra un valore e

laltro piuttosto rilevanti.

La scheda filtro, per frequenze fino a 25 Hz, stata lasciata a 50 Hz per ridurre

gli effetti di eventuali disturbi; poi, per frequenze maggiori, stata aumentata tale da

non perdere eventuali armoniche superiori.

Il preamplificatore utilizzato quello con matricola 0: da questa informazione si

ricavano i valori effettivi di guadagno, leggermente diversi da quelli teorici. Il segnale

rilevato dallaccelerometro va comunque amplificato. Per avere la migliore risoluzione

del segnale il guadagno dovrebbe avere valore tale che la risposta sia compresa tra [-5;

+5] Volt. Ma dato che non sono disponibili valori continui del guadagno, e al fine di

avere una pi immediata visione dei risultati delle prove dur

Dinamica Dei Sistemi Continui

Documents

Transcript of Dinamica Dei Sistemi Continui