Fondamenti di Meccanica delle...
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Fondamenti di Meccanica delle Vibrazioni
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Fondamenti di Meccanica delle Vibrazioni
Sistemi continui e discreti
Molti sistemi meccanici possono essere descritti impiegando un numero FINITO di g.d.l.
Questo è possibile quando sono presenti elementi con elevata elasticità e scarsa massa, e al tempo stesso elementi di
elevata massa ed elevata rigidezza.
N°finito di g.d.l. SISTEMI DISCRETI A PARAMETRI CONCENTRATI
Quando il sistema ha un n° infinito di punti di massa presenta membri deformabili, è necessario un N°
INFINITO di coordinate per specificare la configurazione deformata.
N°infinito di g.d.l. SISTEMI CONTINUI
!!!!A volte i sistemi continui possono essere descritti così come sono, senza essere approssimati ma
sono casi molto rari,di conseguenza i sistemi continui vengono studiati come sistemi discreti i cui risultati
risultano più accurati aumentando il n°di g.d.l.
Elementi elastici
I modelli impiegati per i membri dotati di elevata elasticità sono ipotizzati privi di massa e non si considera la dissipazione
di energia.
MOLLE LINEARI Quando la molla lavora nel campo elastico entro il limite di proporzionalità, la forza che si sviluppa quando la molla si deforma
è proporzionale alla deformazione stessa.
K = rigidezza 1/K = cedevolezza.
F= K x con x=x2-x1
Il lavoro compiuto per deformare la molla viene immagazzinato come energia potenziale V:
V=1/2 K x2
Altri elementi elastici si comportano come molle:
Es:Trave incastrata con estremo libero massa concentrata all’estremo e massa della trave trascurabile.
libero estremoall' statica freccia33
33
EI
mgl
EI
Wlst travedella elastica costante
33
l
EIWK
st
MOLLE NON LINEARI
Il comportamento degli elementi elastici è lineare entro certi limiti di deformazione e quando la tensione eccede il limite di
proporzionalità del materiale, la relazione tra forza e deformazione diventa NON LINEARE.
•In molte applicazioni pratiche, le deformazioni sono così piccole che si considerano le molle aventi comportamento lineare anche
se sono fuori dal campo di linearità.
•In altri casi anche se la molla è non lineare,si approssima ad una molla lineare con il seguente processo di linearizzazione:
•Sia F = carico statico agente su una molla non lineare e che causa una deformazione x* se viene incrementata di ΔF la
molla si deforma di Δx.
Pertanto riprendendo lo sviluppo in serie attorno alla posizione di equilibrio statico:
n
x
n
n
xx
xdx
Fd
nx
dx
Fdx
dx
dFxFxxFFF
*** !
1....
!2
1 2
2
2**
Per piccoli Δx i termini di ordine superiore al primo possono essere trascurati ed avremo
xdx
dFxFxxFFF
x
*
**
Ma poiché F=F(x*) si può esprimere ΔF=K Δx
con K= rigidezza linearizzata della molla in corrispondenza di x* *xdx
dFK
Elementi smorzanti
In molto elementi smorzanti l’energia di vibrazione è gradualmente convertita in energia termica o
cinetica per questa riduzione di energia, la risposta della vibrazione subisce un graduale decremento.
Tale meccanismo prende nome di SMORZAMENTO delle VIBRAZIONI. Anche sa la quantità di
energia convertita in calore o in suono è relativamente piccola, considerare lo smorzamento
è di notevole importanza per prevedere adeguatamente il fenomeno vibratorio.
Si assume che l’elemento smorzante sia privo di massa e di elasticità.
La forza che esercita uno smorzatore esiste solo in presenza di velocità relativa tra i due estremi
dello smorzatore.
Determinare le cause di smorzamento nei sistemi meccanici è abbastanza difficile, ma solitamente
viene modellato come una combinazione dei seguenti tipi:
•SMORZATORE VISCOSO,
•ATTRITO COULUMBIANO (attrito secco),
• SMORZAMENTO ISTERETICO(smorzamento strutturale).
Smorzamento viscoso
E’ quello più usato nello studio delle vibrazioni. Quando un sistema meccanico si muove in un fluido, la
resistenza che il fluido offre al movimento dei corpi causa dissipazione di energia. L’ammontare di questa
energia dipende da molti fattori, come la dimensione dei corpi e la forma dei corpi.
La forza è proporzionale alla velocità relativa dei corpi e la costante di proporzionalità dipende dalla
viscosità del fluido e dalla geometria dei corpi.
ATTRITO COULMBIANO (attrito secco)
Smorzamento isteretico (smorzamento strutturale)
Quando un corpo si deforma, l’energia di deformazione è assorbita e dissipata dal materiale. Tale effetto è dovuto
all’attrito nello scorrimento tra le fibre del materiale all’atto della deformazione. Quando un corpo soggetto a questo
tipo di deformazione è sottoposto alternativamente a trazione e compressione, o nello specifico, vibra, la relazione
tra tensione e deformazione è del tipo di figura e l’energia dissipata ad ogni ciclo vale D:
Moto Armonico
In figura è rappresentato un meccanismo mediante il quale alla massa m è impartito un moto
armonico semplice quando alla manovella OP si impone un moto rotatorio continuo uniforme.
Se ω è la velocità angolare della manovella ed A è la sua lunghezza, la
massa si muove con legge di moto x(t):
xtAxdt
xd
tAxdt
dx
tAtx
22
2
2
)sin(
)cos(
)sin()(
Rappresentazione vettoriale
Un moto armonico può anche essere rappresentato mediante un vettore OP,di ampiezza A , rotante con velocità ω. Le
proiezioni di questo vettore in direzione x ed y.
Rappresentazione con i numeri complessi
Ogni vettore X nel piano xy può essere rappresentato con il numero complesso:
X=a+ib dove a e b sono la parte reale e la parte immaginaria.
A= ampiezza vettore X
θ = argomento del vettore
22 baA
a
b1tan
iAeiAAX sincos
tiAeX
Dove ω è detta frequenza circolare di rotazione espressa in rad/sec.
Derivando rispetto al tempo si ha:
XAe
dt
Aeid
dt
Aed
dt
Xd
XiAeidt
Aed
dt
Xd
tititi
titi
22
2
2
2
2
L’operazione di derivazione si traduce nel moltiplicare il vettore per iω
Oppure nel moltiplicare l’ampiezza del vettore per ω e ruotarli in avanti
di 90°.
Lavoro compiuto nei moti armonici
Un importante concetto in molte applicazioni è quello del lavoro compiuto da una forza, che varia armonicamente
con una certa pulsazione, per un moto armonico avente la stessa pulsazione.
Sia data la forza
P=P0 sin(ωt+φ)
agente su un corpo dotato di legge di moto:
x=x0 sin(ωt)
Il lavoro compiuto dalla forza in un periodo 2π/ω :
.sin0
)(cossin)(sincoscos
)(sincoscossincos
)(cos)sin()(
0
/2
0
/2
0
2
00
/2
0
0
/2
0
0
/2
0
/2
0
/2
0
xP
tdtxPtdttxP
tdtttxP
tdttxPtddt
dxPdt
dt
dxPPdxW
o
oo
o
o
.sin0 xPW o
Ottava = Quando il max valore di una banda di frequenza è il doppio del
minimo, tale banda è detta BANDA D’OTTAVA.
Es: ciscuna banda seguente è una banda d’ottava 75Hz-150Hz
150Hz-300Hz
300Hz-600Hz
Decibel (dB)
oriferiment di valorelog10 0
P
P
PdB
o
Definito inizialmente per le potenze elettriche, essendo la potenza elettrica proporzionale
Al quadrato della tensione (X), si può anche esprimere:
oriferiment di valorelog20log10 0
2
X
X
X
X
XdB
oo
Nel campo delle vibrazioni e del rumore il dB viene usato per esprimere
il rapporto di altre quantità come: spostamenti,velocità,accelerazioni, pressione
Vibrazioni ad 1 GdL
Vibrazioni LIBERE DEL SISTEMA MOLLA-SMORZATORE
Equazione del moto equazione del 1° ordine 0=+•
kxxc
Caratteristica dell’equazione ckzkcz −
==+ 10
La soluzione dell’equazione del moto è t
ck
eAtx−
= 1)(
( ) oo xAxx =⇒= 10
tck
oextx−
=)(
dove la costante A 1è valutata con la condizione iniziale
Vibrazioni LIBERE DEL SISTEMA MASSA-SMORZATORE
Equazione del moto
0.=+
••
xcxm
L’equazione caratteristica è: realeèmczcmz −=⇒=+ 10
tmc
eBty−
= 1)(
( ) oo vBvy =⇒= 10
dove la costante B 1è valutata con la condizione iniziale
dove la costante B 2 è valutata con la condizione iniziale
( ) ooo vmcxBxx +=⇒= 20
L’integrale generale è pertanto:
−−=
− tmc
oo evcmxtx 1)(
Si tratta di un sistema del 1° ordine che si può scrivere
=
=+•
•
xy
cym 0
tmc
oevmcBBdttytx
−−=+= ∫ 22)()(
Vibrazioni libere del SISTEMA MASSA-MOLLA
Equazione del moto equazione del 2° ordine la cui equazione caratteristica è 0=+••
kxxm
nimkzkmz ω±=
−±==+ 2,1
2 soluzioni le per tanto0sistema del naturale pulsazione=nω
La soluzione dell’equazione del moto è tjtj nn eCeCtx ωω −+= 21)(
Introducendo le relazioni dei Eulero ( ) ( )tEtDtx nn ωω sincos)( +=
con le condizioni iniziali 0)0( xx =
0)0( vx =• ( ) ( )tv
txtx nn
n ωω
ω sincos)( 00 +=
Che si può anche scrivere:
( ) ( )ψωψω +=−= tEtxtGtx nn sin)(oppuresin)(
OSSERVAZIONE!!!:
La risposta di un sistema ad 1 g.d.l. può essere rappresentata nel piano spostamento-velocità ( detto SPAZIO DEGLI STATI o PIANO DELLE FASI). Considerando la risposta nella forma: ( ) ( )ψωωψω +−=−=
•
tAtxtAtx nnn sin)(cos)(
( )
( )
+=−
−=
ψωω
ψω
tA
tx
tAtx
nn
n
sin)(
cos)(
.Per cui quadrando e sommando 1)()(
22
=
+
•
Atx
Atx
nω
Equazione dell’ellisse con A che dipende dalle condizioni iniziali.
Vibrazioni libere del SISTEMA MASSA-MOLLA-SMORZATORE
Si tratta di un sistema del 2° ordine la cui equazione caratteristica è
0=++•••
kxxcxm
mk
mc
mcz
kczmz
−
±−=
=++2
2,1
2
22
0
le radici
la soluzione dell’equazione del moto è: tztz eCeCtx 2121)( +=
Si definisce smorzamento critico il valore dello smorzamento che annulla 02
2
=−
mk
mc
ncrit mmkmkmc ω222 ===Si definisce fattore di smorzamento
ncrit mc
cc
ωξ
2==
Le soluzioni diventano, con il fattore di smorzamento: ( )122,1 −±−= ξξωnz
( ) ( ) tt nn eCeCtx
−+−
−−−
+=1
2
1
1
22
)(ζζωζζω
E quindi l’equazione del moto:
LA NATURA DELLE DUE RADICI E DI CONSEGUENZA DEL SISTEMA DIPENDE DALL’ AMMONTARE DELLO SMORZAMENTO.
SISTEMI POCO SMORZATI (ξ<1 OPPURE c<ccrit)
Le due radici sono coniugate e complesse e si possono esprimere come:
( )22,1 1 ξξω −±−= nz
ponendo ( )21 ξωω −= ns detta pulsazione naturale del sistema smorzato, si ha:
snz ωξω ±−=2,1 l’integrale dell’equazione del moto diventa { }tjtjt ssn eCeCetx ωωξω −− += 21)(Introducendo le equazioni di Eulero
{ }tEtDetx sstn ωωξω sincos)( += −
E si può anche scrivere:
)cos()sin()( 00 ϕωϕω ξωξω −=+= −− teXteXtx st
st nn
con le condizioni iniziali oxtx =)(
ovtx =•
)(
s
noo
xvExD
ωξω 0+
== iL MOTO RISULTA OSCILLATORIO PSEUDO-PERIODICO SMORZATO
SISTEMI CON SMORZAMENTO CRITICO (ξ=1 OPPURE c=ccrit)
Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali e coincidenti
L’integrale dell’equazione del moto diventa
nzz ω−== 21
ttztztz etCCetCCteCeCtx ω−+=+=+= )()()( 212121111
Con le condizioni iniziali:
Il moto risulta:
( )[ ] tonoo etxvxtx ωω −++=)(
MOTO APERIODICO SMORZATO ovtx =•
)(
oxtx =)(
SISTEMI MOLTO SMORZATI (ξ>1 OPPURE c>ccrit)
Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali, distinte ed entrambe negative:
L’integrale dell’equazione del moto è:
Le condizioni iniziali:
=
=•
ovx
xx
)0(
)0( 0
( ) 0122,1 −±−= ξξωnz
tztz eCeCtx 2121)( +=
=+
=+
ovCzCz
xCC
2211
021
( )
( )
−
−−−−=
−
+−+=
12
112
1
2
02
02
2
02
01
ξω
ξξωξω
ξξω
n
n
n
n
vxC
vxC
( )[ ]( )
( )[ ]( )
t
n
ont
n
on nn evx
evx
tx
−+
−+−
−−
−−+−+
−
+−+=
1
2
021
2
02 22
12
1
12
1)(
ξξωξξω
ξω
ξξω
ξω
ξξω
CONFRONTO DEL MOTO DEL SISTEMA MASSA-MOLLA-SMORZATORE NEI 3 DIFFERENTI CASI
Le radici del’equazione caratteristica ed i corrispondenti valori del fattore di smorzamento possono essere rappresentati in un piano complesso.
La semicirconferenza di raggio ωn rappresenta il luogo delle radici per valori di ξ tra 0 e 1. Questo tipo di rappresentazione permette di vedere l’effetto del fattore di smorzamento sul comportamento del sistema
Vibrazioni forzate ad 1 g.d.l.
Supponiamo che il disco rotoli senza strisciare su una guida rettilinea richiamato da una molla di costante K e da uno smorzatore viscoso di costante C. Sia applicata una forza esterna f(t) nel baricentro de disco. Le varabili che descrivono il moto sono la traslazione x o la rotazione del disco θ e essendo il sistema ad un g.d.l. perché il disco rotola senza strisciare. X=R θ Assumiamo la traslazione x del baricentro del disco come variabile indipendente e scriviamo con I vari metodi le equazioni del moto:
Equazioni di d’Alambert
( metodo che presenta lo svantaggio di avere un numero di equazioni superiore a quello dei g.d.l. ma permette di determinare le reazioni)
=−=−−
=++−−−••
•••
00
0)(
NmgTRJ
Ttfkxxcxm
G θ
=−
=−−
=++−−−••
•••
0
0
0)(
Nmg
TRRxJ
Ttfkxxcxm
G
)(2 tfkxxcxRJ
m G =++
+
•••
Essendo il sistema semplice si poteva arrivare all’equazione del moto facendo l’’equilibrio dinamico del sistema rispetto al c.i.r. tra disco e guida.
VIBRAZIONI FORZATE
Principio dei lavori virtuali
Consideriamo uno spostamento infinitesimo compatibili con i vincoli δx
xtfWexxcxkxW
JxxmW
kc
Gi
δδδδδ
δθθδδ
)(=−−=
−−=•
••••
Applicando PLV
0)( =+−−−−=++•••••
xtfxxcxkxJxxmWWW Gekci δδδδθθδδδδ
E tenuto conto del legame tra x e θ xR
xx
δδθδθ 1=
∂∂
=
0)(2 =
+−−−−
•••
••
xtfxckxRxJxm G δ )(2 tfxckxx
RJ
m G =++
+
•••
Equazioni dl Lagrange
V
q
T
q
Tdtd
=∂
∂+
∂
∂−
∂
∂•
22
21
21 ••
+= θGJxmT
2
21 lkV ∆=
xlcWd δδ•
∆−=
xtfWe δδ )(=
)(2 tfxckxxRJ
m G =++
+
•••
Eccitazione armonica
Consideriamo un sistema ad 1 g.d.l. soggetta ad una forza armonica F(t)=Focosωt
La soluzione è somma dell’integrale dell’omogenea associata e di un integrale particolare:
( )ψω −+=+= tXtxtxtxtx oopo cos)()()()(
A regime, trascorso il transitorio,resta l’integrale particolare le cui costanti Xo e ψ dipendono dalle caratteristiche del sistema e dell’eccitazione.
Gli andamenti per diversi valori di fattore di smorzamento ξ di ampiezza Xo e di fase ψ
della risposta forzata a regime sono riportati in figura in funzione di (ω/ωn )2 dove l’ampiezza è stata divisa per la deformazione della molla sotto l’azione della forza statica Fo.
Si parla di risonanza di ampiezza quando l’ampiezza dell’oscillazione a regime Xo Raggiunge il valore massimo. Tale condizione si ha per
221 ξωω
−=n
Ed il valore max dell’ampiezza vale: 2212
/
ξξ −=
kFX o
RA
Si parla di risonanza di fase quando la fase raggiunge il valore di π/2 e ω/ωn =1
Ed il valore dell’ampiezza a regime vale: ξ2/ kF
X oRF =
L’l’andamento del rapporto XRF /XRA in funzione dello smorzamento ξ. Si nota come le due risonane tendono a coincidere al diminuire di ξ.
Funzione di Risposta in Frequenza (FRF) Consideriamo l’eccitazione armonica tjeFtF ω
0)( =L’equazione del moto di un sistema ad 1.g.d.l. con smorzamento viscoso risulta tjeFzckzzm ω
0=++•••
Eccitazione proporzionale al quadrato della frequenza
tAkxxcxm ωω cos2=++••• Es_caso di macchine con rotori squilibrati
( )ψω −= tXtx o cos)(La risposta a regime
222
2
21
+
−
=
nn
no
mA
X
ωωξ
ωω
ωω
ECCITAZIONE ARMONICA IN RISONANZA DI FASE
Consideriamo il caso particolare in cui la forza eccitatrice ha pulsazione coincidente con quella naturale del sistema, cioè siamo in condizioni di RISONANZA DI FASE.
tmFxxtFkxxm nnn ωωω cos cioè cos 2 =+=+
••••
Per il sistema non smorzato abbiamo:
L’integrale dell’equazione è dato dalla somma dell’integrale particolare più quello dell’omogenea associata:
ttkF
tAtAtx nno
nn ωωωω sin21coscos)( 21 ++=
Che con le condizioni iniziali
ttkF
txtxtx nno
nn
n ωωωω
ω sin21coscos)( 2
1 ++=
•
Si osserva che l’integrale dell’equazione è un’oscillazione di ampiezza che cresce linearmente nel tempo.
tmFxxxtFkxxcxm nnnn ωωξωω cos2 cioè cos 2 =++=++
••••••
Per il sistema smorzato abbiamo:
L’integrale dell’equazione è dato dalla somma dell’integrale particolare più quello dell’omogenea associata e con le condizioni iniziali nulle abbiamo:
+
−−=
−
ttekF
tx ns
to n
ωωξξ
ξω
sinsin12
)(2
Sistemi a 2 g.d.l.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tFxkxkkxcxccxm
tFxkxkkxcxccxm
2122231223222
1221212212111
=−++−++
=−++−++••••
••••
Che in forma matriciale [ ] [ ] [ ]
=
+
+
•••
)()()()( tFtxKtxCtxM
Con [ ] [ ] [ ]
+−−+
=
+−−+
=
=
232
221
232
221
2
1
00
kkkkkk
Kccc
cccC
mm
M
forzavettoretFtF
tF
ospostamentvettoretxtx
tx
=
=
=
=
)()(
)(
)()(
)(
2
1
2
1Le matrici possono risultare, a seconda delle coordinate scelte : -complete e non simmetriche -simmetriche -diagonali.
Esempio
Consideriamo il sistema di figura e si assumano le nuove coordinate z1 e z2.
( ) ( )212211 zzxzzx +=−=
( )
( ) 0
0
2122123212
2122121211
=
−−
+++
−
=
+−
−++
−
••••
••••
zzkzzkkzzm
zzkzzkkzzm ( )
( ) 02
02
223132212
221112111
=+++−
=+−+−••••
••••
zkkzkzmzm
zkkzkzmzm
[ ] [ ]
+−+−
=
−=
233
211
22
11
2)2(
kkkkkk
Kmmmm
M MATRICI COMPLETE E NON SIMMETRICHE
Se in particolare: kkkkmmm ===== 32121Le due equazioni diventano:
03
03
212212
212111
=+++
=−+−••••
••••
zkzkzmzm
zkzkzmzm [ ] [ ]
−
−=
−=
kkkk
Kmmmm
M33
Sommando e sottraendo membro a membro le equazioni del moto, si ottiene:
03
0
22
11
=+
=+••
••
zkzm
zkzm[ ] [ ]
=
=
kk
Km
mM
300
00
Le matrici massa e rigidezza sono ora diagonali e le due equazioni disaccoppiate, e z1 e z2 sono le coordinate principali e si vede subito che le due pulsazioni naturali sono:
mk
mk 3
22
12 == ωω
03
03
212212
212111
=+++
=−+−••••
••••
zkzkzmzm
zkzkzmzm
Vibrazioni libere
Consideriamo il caso in cui lo smorzamento e le forzanti siano nulle:
( )
( ) 0
0
1222322
2212111
=−++
=−++••
••
xkxkkxm
xkxkkxm
poniamo k1+k2=k11, -k2=k12=k21, k2+k3=k22. Moti sincroni o modi di vibrazione
Cerchiamo uno speciale tipo di soluzione in cui tutti i gradi di libertà siano legati alla stessa legge temporale, ma caratterizzati da ampiezze che possono essere diverse. In questo tipo di moti, nel caso di oscillazione, tutti i gradi di libertà raggiungono il massimo e passano per lo zero contemporaneamente. Questo tipo di moto è detto modo naturale di vibrazione o modo normale:
x1(t)=Φ1r (t) x2(t)=Φ2r (t) Dove: Φ1= le ampiezze (costanti), r(t) =la legge di moto.
Si noti che imponendo questo tipo di moto si impone anche che il rapporto tra gli spostamenti delle due masse mantengano un rapporto costante.
0
0
22212112
21211111
=++
=++••
••
rkrkrm
rkrkrm
φφφ
φφφλ
φφφ
φφφ
==+
−=+
−=
••
tm
kkm
kkrr cos
22
222121
11
212111
0=+••
rr λ
la soluzione di questa equazione è ben nota, λαα −±== conAer t
D’altra parte sappiamo che il sistema è conservativo poiché è composto di elementi (masse e molle) che non dissipano né forniscono energia, perciò λ non può essere negativo e possiamo porre: λ=ω2.
( )( ) 0
0
222
22112
212112
11
=−+
=+−
φωφ
φφω
mkkkmk
che possiamo scrivere in forma matriciale:
( )( ) 0
2
1
22
2212
1212
11 =
−
−φφ
ωω
mkkkmk
Il sistema ammette soluzione non banale solo se le equazioni sono linearmente dipendenti, cioè il determinante della matrice =0 che sviluppato fornisce la seguente equazione biquadratica
( ) ( ) ( ) 02122211122211
221
4 =−+−−+ kkkmkmkmm ωωavente la seguente soluzione
( ) ( )( )12
212221121
212221111222112
2,1 24
mmkkkmmmkmkmkmk −−+±+
=ω
le due radici ω1,2 sono le pulsazioni proprie del sistema,
cioè il moto sincrono è dato da una oscillazione armonica che può avere due tipi di moto individuati dalle due frequenze proprie ( dette anche naturali).
( ) tBtAtr 212,1 sinsin ωω +=
Questo sistema avente 2 g.d.l. è dunque caratterizzato da due frequenze naturali di vibrazione, tale proprietà è più generale, infatti il numero di frequenze naturali di un sistema meccanico è pari al numero di gradi di libertà. Torniamo al sistema omogeneo le radici ω1
2 , ω2
2 sono gli autovalori del problema, restano da calcolare
gli autovettori Φi
dove si è indicato con Φi ( j ) la i-esima componente del j-esimo autovettore Φi questo autovettore è comunemente detto modo naturale, modo normale o modo proprio di vibrazione. Si ricordi che ad ogni autovalore è associato un autovettore, cioè ad ogni frequenza è associato un modo (una forma). vediamo che le componenti di questi modi non sono univocamente determinate, ma in questo caso esse sono definite come rapporto: i modi sono definiti a meno di una costante; I modi godono di importanti proprietà di ortogonalità che saranno sviluppate in seguito nello studio dei sistemi ad n gradi di libertà.
12
22
222
12
211
12)2(
2
)2(1
12
22
122
12
111
12)1(
2
)1(1
kmk
mkk
kmk
mkk
ωωφ
φ
ωωφ
φ
−−=
−−=
−−=
−−=
Vibrazioni forzate
[ ] [ ] [ ]
=
+
+
•••
)()()()( tFtxKtxCtxM
[ ] [ ] [ ]
+−−+
=
+−−+
=
=
232
221
232
221
2
1
00
kkkkkk
Kccc
cccC
mm
M
forzavettoretFtF
tF
ospostamentvettoretxtx
tx
=
=
=
=
)()(
)(
)()(
)(
2
1
2
1
Se le forzanti esterne sono
2,1)( 0 == jeFtF tjjj
ω
Le soluzioni a regime sono del tipo: 2,1)( == jeXtx tjjj
ω
Dove X1 ed X2 sono in generale, quantità complesse che dipendono da ω e dai parametri del sistema. Pertanto sostituendo si ha:
( ) ( )( ) ( )
=
++−++−++−++−
20
10
2
1
22222
2221212
21
12122
1211112
11
FF
XX
kcjmkcjmkcjmkcjm
ωωωωωωωω
( )rsrsrsrs kcjmjZ ++−= ωωω 2)( [ ]{ } { }0)( FXjZ =ω
Dove
[ ] impedenzadimatricejZjZjZjZ
jZ =
=
)()()()(
)(2212
2111
ωωωω
ω
{ } [ ] { }01)( FjZX −= ωLa soluzione si riduce a:
)()()()()()(
)(
)()()()()()(
)(
21121122
201110212
21121122
201210221
ωωωωωω
ω
ωωωωωω
ω
iZiZiZiZFiZFiZ
jX
iZiZiZiZFiZFiZ
jX
−+−
=
−−
=
Esempio: Trovare la risposta a regime del sistema quando la massa m1 è eccitata dalla forzante armonica F
=
−
−+
+
•
•
••
••
0cos
22
000
00
2
1
2
1
2
1 tF
x
xkkkk
x
xcx
xm
m ω
Si ha
kmc
mca
mk
22;
0
20 ===
ωω
( )kjcmjZ 2)( 222 ++−= ωωω kjZjZ −== )()( 2112 ωω
Quindi:
222
221
)2)(2()(
)2)(2()2()(
kkmkjcmkFjX
kkmkjcmFkjcmjX
−+−++−=
−+−++−++−
=
ωωωω
ωωωωωω
Ponendo:
1122)(
1122
22)(
20
2
02
0
22
20
2
02
0
2
02
0
2
1
−
−
++−
=
−
−
++−
++−
=
ωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
aj
kF
jX
aj
kFaj
jX
Grafico al variare di a e si vede che con a>>1 il sistema si comporta Come un sistema ad 1.g.d.l. con un’unica risonanza
)(1 ωjX
2/20== ω
ωω nn mk
In altre parole è come se la massa inferiore fosse solidale al telaio.
Smorzatore dinamico Supponiamo un macchinario sottoposto ad un’eccitazione con pulsazione molto prossima a quella naturale del macchinario stesso. In tal caso, le vibrazioni eccessive del sistema possono essere ridotte impiegando uno smorzatore dinamico di vibrazioni ( o assorbitore dinamico) costituito da una massa collegata al macchinario da una molla. Lo smorzatore dinamico deve essere progettato in modo che le frequenze naturali del sistema siano il più possibile lontane dalla frequenza di eccitazione. Per studiare il problema si schematizzi la macchina come un sistema ad 1 g.d.l. sottoposto ad una forzante armonica F(t)= cosωt, in cui ω2=k/m, ossia il sistema è in risonanza. A questo punto si supponga di collegare al macchinario una seconda massa m2 mediante una molla di costante elastica k2. Le equazioni del moto sono: o anche: Assunte come soluzioni:
( )
0
cos
122222
2212111
=−+
=−++
••
••
xkxkxm
tFxkxkkxm ω
=
−
−++
••
•• 0cos
00
2
1
22
221
2
1
2
1 tF
x
x
kkkkk
x
x
mm ω
2,1
cos
=
=
jtXx jj ω
( ) 2121222
222212
111 )()()()( kZZkmZkkmZ −==+−=++−= ωωωωωω
( )( ) ( ) 2
222
2212
1
222
222
2212
1
22
21 )(
)()(
)(kkmkkm
FkXkkmkkm
FkmX−+−++
=−+−++
+−=
ωωω
ωωω
ω
Se è soddisfatta la condizione 2
2
1
1
mk
mk
==ω
Si ha per x1(t) una antirisonanza, ossia la massa m1 non vibra , pertanto posto
2
220
1
110 m
kmk
== ωω
1
22
20
2
220
2
1
2
12
1
22
20
2
220
2
1
2
12
20
2
1
11)(
11
1)(
kk
kk
kF
X
kk
kk
kF
X−
−
−+
=
−
−
−+
−
=
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
ωω
ω
Si nota che quando ωωω == 2010 risulta 2
21 )(0)(kFXX −== ωω
In poche parole la massa m1 non oscilla poiché la massa m2 trasmette alla massa m1 una forza uguale ed opposta all’eccitazione.
Moti rigidi Consideriamo il sistema a 2 g.d.l. (potrebbe essere , ad esempio,il modello di due vagoni ferroviari). Le equazioni del moto sono le seguenti:
( )
( ) 0
0
1222
2111
=−+
=−+
••
••
xxkxm
xxkxm
assunto il moto nella forma
( ) 2,1cos =+= jtXx ijj φω0
0
122
2
212
1
=−−
+−
=−
+−
kXXkm
kXXkm
ω
ω
l’equazione caratteristica diventa:
( ) ( )21
212121
221
2 00mm
mmkmmkmm +===
+− ωωωω
In questo caso essendo nulla una delle due pulsazioni, il sistema non vibra a tale pulsazione in altre parole il sistema si muove come un unico corpo rigido senza moto relativo tra le due masse; Si dice pertanto che il sistema ha un MOTO RIGIDO:
Come ovvio, alla pulsazione ω1 corrisponde il modo di vibrare:
Mentre alla pulsazione ω2 corrisponde il modo di vibrare:
11
1
21 =
==ωω
XXr
2
1
1
22
2mm
XXr −=
==ωω
Sistemi non smorzati ad n g.d.l.
Per le vibrazioni libere di un sistema non smorzato le equazioni del moto sono del tipo:
[ ] [ ] 0)()( =
+
••
txKtxM
[ ] [ ]
=
=
nnnn
n
n
nnnn
n
n
kkk
kkkkk
K
mmm
mmmmm
M
21
221
11211
21
221
11211
........................................
La matrice massa e la matrice rigidezza possono essere in generale, complete e non simmetriche. Se però ad ogni massa (generalizzata) è associata una coordinata ( generalizzata), allora la matrice massa risulta diagonale. Supporremo sempre che le matrici di massa e di rigidezza siano simmetriche. !!!! Ciò è lecito perché scegliendo opportunamente le coordinate è sempre possibile ricondursi a tale situazione.
L’equazione del moto della massa n-esima si ha:
( )nixkxm j
n
jijj
n
jij ...3,2,10
11==+∑∑
=
••
=
gli elementi della matrice massa rappresentano l’azione inerziale agente sulla massa i-esima in corrispondenza di un’accelerazione unitaria del punto in cui è concentrata la massa j-esima ( essendo nulle le accelerazioni dei restanti n-1 punti). gli elementi della matrice di rigidezza rappresentano l’azione elastica agente sulla massa i-esima in corrispondenza di uno spostamento unitario del punto in cui è concentrata la massa j-esima ( essendo nulle le accelerazioni dei restanti n-1 punti). Gli elementi mij sono detti coefficienti di influenza inerziali. Gli elementi kij sono detti coefficienti di influenza per la rigidezza.
[ ]{ } 0=− XIA µ
Si perviene al sistema di equazioni analogo a quello visto a 2 g.d.l.:
Per il quale deve essere:
[ ] [ ] [ ] [ ] dinamica) matrice( posto avendo 0det 1 ===− − KMAIA µ
Le radici μi dell’equazione caratteristica sono gli autovalori e le pulsazioni naturali del sistema definite dalla relazione ω2 =μi . Sostituendo μi nelle equazioni si ottengono gli autovettori, che forniscono i modi di vibrare corrispondenti alle pulsazioni trovate ωni.
{ } { } { } ;.....
.................
2
1
2
22
12
2
1
12
11
1
=
=
=
nn
n
n
n
nn X
XX
X
X
XX
X
X
XX
X
Gli autovettori sono definiti a meno di una costante arbitraria
[ ] [ ] 0)()(2 =
+
− tXKtXMω
njeXtx tjjj ...2,1)( == ωPer determinare i modi di vibrare del sistema poniamo:
E si ottiene : Dove il vettore ampiezze di spostamento:
{ } [ ]TnXXXX .....21=
PROPRIETA’ DI ORTOGONALITA’
PROPRIETA’ DI ORTOGONALITA’= è una proprietà di cui godono le matrici di massa e di rigidezza.
Consideriamo le equazioni del moto scritte per il modo i-esimo:
[ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } { } [ ]{ }
ha si eautovettor j.esimo del trsposto ilper icandopremoltipl
ijT
iijT
iii
XMXXKX
XMXK
µ
µ
=
=
Scambiando il modo i-esimo e j-esimo: { } [ ]{ } { } [ ]{ } ji
Tjji
T XMXXKX µ= Essendo le matrici simmetriche { } [ ]{ } { } [ ]{ }
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } ijT
jiT
ijT
jiT
XMXXMX
XKXXKX
=
=
( ){ } [ ]{ } essendo ed 0 jiiT
jji XMX µµµµ ≠−=
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0 oppure 0 :risulta == iT
jiT
j XKXXMX
Definiscono il grado di ortogonalità dei modi propri di vibrare. Tale proprietà è di fondamentale importanza per procedere al disaccoppiamento delle equazioni del moto del sistema
Se poniamo i=J ( ){ } [ ]{ } iT
jji XMXequazionel µµ −=0'
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } modale rigidezza e modale Massa
chiamiamo le e iT
jiiT
ji XKXKXMXM ==
Le relazioni soprascritte consentono di adottare
{ } [ ]{ } 1 == iT
ji XMXM
E quindi: { } [ ]{ } { } [ ]{ } 2 iiiT
jiiT
ji XKXXKXK ωµµ ====
{ } [ ]{ } iT
j XMX
come criterio di normalizzazione degli autovettori. la condizione:
Risulta soddisfatta per ogni valore del temine:
La matrice modale Raccogliamo n autovettori di una matrice, otteniamo così:
[ ]
=
nnnn
n
n
XXX
XXXXX
21
221
11211
....................φ
MATRICE MODALE
Per l’ortogonalità dei modi propri,il prodotto seguente:
[ ] [ ][ ] [ ]P
n
T M
M
MM
M =
=
00....................0000
2
1
φφE’ una matrice diagonale, gli elementi della diagonale principale sono le masse modali e la matrice prende nome di matrice massa modale.
Analogamente,il prodotto seguente:
[ ] [ ][ ] [ ]P
n
T K
K
KK
K =
=
00....................0000
2
1
φφE’ una matrice diagonale, gli elementi della diagonale principale sono le rigidezze modali e la matrice prende nome di matrice rigidezza modale.
Se si adotta la normalizzazione rispetto alla matrice massa:
[ ]
=
100....................010001
PM [ ]
=
2
22
21
00....................0000
n
PK
ω
ωω
Disaccoppiamento delle equazioni del moto Scriviamo le equazioni del moto pre-moltiplicando i termni per[φ]T e post-moltiplicando i termini per [φ][φ]-1=[I]
[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] { } { }
[ ] [ ] { } { } { } [ ] { } principali coordinate posto avendo 0
0
1
11
===+
=+
−••
−••
−
xqqKqM
xKxM
PP
TT
φ
φφφφφφ
Le equazioni del moto scritte in termini di coordinate principali, risultano disaccoppiate, quindi si passa da queste a quelle di origine con la trasformazione { } [ ]{ } qx φ=Partendo dagli autovettori precedentemente calcolati, si ottengono gli autovettori normalizzati rispetto alle masse moltiplicando gli elementi di ogni autovettore per uno scalare pi dato da:
{ } [ ]{ }( )n1,2....,i 1==
iii XMX
p
Moti di corpo rigido Consideriamo un sistema ad n g.d.l. che ammetta più moti rigidi, siano per esempio i primi due ω1 =ω2 =0
[ ]{ } [ ]{ }[ ]{ } [ ]{ } ( )n)3,4,......i
0 02
21
==
==
iii XMXK
XKXK
ω
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }{ } [ ]{ } { } [ ]{ }
tà.ortogonalil' ricava si cui da relazione la non vale xchè 0 ma 0 inoltre
tà.ortogonali di relazione la è che 0
2121
21
≠=
==
XMXXKX
XKXXKXTT
iT
iT
Quindi la presenza di moti di corpo rigido può dar luogo alla presenza nella matrice massa principale di termini al di fuori della diagonale.
VIBRAZIONI LIBERE
Il più generale moto libero è la sovrapposizione di tutti modi propri. Ogni modo vi partecipa in una certa porzione, dipendente dalle condizioni iniziali. Se le condizioni iniziali Eccitano un solo modo, alle vibrazioni libere partecipa solo quel modo.
Sistemi con smorzamento Le equazioni del moto diventano:
[ ] [ ] [ ] 0)()()( =
+
+
•••
txKtxCtxM
La matrice [C] è di regola simmetrica ed introducendo le coordinate principali { } [ ] { }xq 1 −= φ
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] { } { } 0=+
+
•••
qKqCqM PT
P
φφ
[ ] [ ][ ]φφ CTIn generale la matrice è simmetrica ma non diagonale
Se però lo smorzamento è proporzionale con β e α costanti scalari , allora si ha:
[ ] [ ] [ ]KMC βα +=
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]ppPTTT CKMKMC =+=+= βαφφβφφαφφ
[ ]pC è’ una matrice diagonale detta matrice smorzamento principale:
[ ] { } [ ]{ } e
00.........00
2
1
iiT
i
n
p XCXC
C
CC
C =
=
le equazioni del moto risultano così disaccoppiate
modali ismorzament gli sono
Si può così definire lo smorzamento modale critico
iiiicr MKMC 22 == ω e quindi il fattore di smorzamento modale :
222i
iii
i
cr
ii M
CCC βω
ωα
ωξ +===
Vibrazioni forzate Le equazioni del moto diventano:
[ ] [ ] [ ] { })()()()( tftxKtxCtxM =
+
+
•••
{ } applicateforzevettore
tf
tftf
tf
n
=
=
)(.....
)()(
)( 2
1
Introducendo le coordinate principali e pre-moltiplicando ambo i membri per [φ]T si ottiene
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] { })(tfqKqCqM TTTT φφφφφφφ =+
+
•••
Facendo l’ipotesi di smorzamento proporzionale si ottiene un sistema di equazioni disaccoppiate:
[ ] [ ] [ ] { } [ ] { })(tfqKqCqM Tppp φ=+
+
•••
[ ] { }( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+++++++++
=tfXtfXtfXtfXtfXtfXtfXtfXtfX
tf
nnnnn
nn
nnT
.......
..............
)(
2211
2222112
1221111
φ
dette forze generalizzate
Quindi le n-equazioni differenziali, vengono risolte singolarmente con i procedimenti visti per i sistemi ad 1 g.d.l. e si ottengono le componenti del vettore delle coordinate principali e Si può poi risalire a quelle del vettore delle coordinate effettive.
