Controllo della dinamica longitudinale negli...

Controllo della dinamica longitudinale negliautoveicoli

Giulio Panzani Paolo BolzernSilvia StradaAlessandra Gragnani

Fondamenti di Automatica(per Ing. Gestionale)A.A. 2018/2019

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Outline

Introduzione e motivazioni

Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

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IntroduzioneIntroduzione e motivazioni

I sistemi di controllo della dinamica veicolo sono a loro volta classificati secondo il movimento del veicolo coinvolto:

Dinamica longitudinale: ABS, Traction control...

Dinamica verticale: roll, pitch e movimento verticale (sospensioni)

Dinamica laterale: movimento laterale e yaw: ESP/VDC/ESC...

I problemi di controllo nel settore automotive possono essere suddivsi in tre macro-categorie: Controllo dinamica veicolo (chassis)

Controllo motore (powertrain)

Controllo trasmissione (driveline)

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Contatto pneumatico - stradaIntroduzione e motivazioni

Per capire la dinamica di frenata/accelerazione è necessario sapere come si trasferisce la forza verticale nel punto sull’asfalto di contatto ruota-strada

Ad eccezione delle forze aerodinamiche, lo pneumatico è la fonte di tutte le forze che agiscono sul veicolo poiché è lì che avviene lo ‘’scarico’’ della forza verticale e si generano, nel punto di contatto ruota/strada, le forze in tre direzioni dello spazio; esse sono funzioni nonlineari di alcune variabili.

𝑭𝑭𝒛𝒛

𝑭𝑭𝒙𝒙

𝑭𝑭𝒚𝒚

Per la dinamica del veicolo, di particolare interesse sono le forze longitudinali e laterali.

( , )y y zF Fµ α λ≈ ⋅zxx FF ⋅≈ ),( αλµ zF Carico verticale

Slittamento longitudinale

Angolo di deriva (sideslip)

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Slittamento longitudinale – 𝑭𝑭𝒙𝒙Immaginando lo pneumatico come una molla torsionale, lo slittamento longitudinale è la differenza normalizzata tra la velocità del veicolo e quella dello pneumatico.

velocità a terra del veicolo

velocità a terra dello pneumatico

rotazione ‘’pura’’

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Slittamento longitudinale – 𝑭𝑭𝒙𝒙Immaginando lo pneumatico come una molla torsionale, lo slittamento longitudinale è la differenza normalizzata tra la velocità a terra del veicolo e quella dello pneumatico.

Per come è definito, lo slittamento assume sempre valori in modulo minori uguali a 1.



Rotolamento libero, con veicolo fermo

Bloccaggio ruota, veicolo in movimento

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Slittamento longitudinale – 𝑭𝑭𝒙𝒙Immaginando lo pneumatico come una molla torsionale, lo slittamento longitudinale è la differenza normalizzata tra la velocità a terra del veicolo e quella dello pneumatico.

Per come è definito, lo slittamento assume sempre valori in modulo minori uguali a 1.



Rotolamento libero, con veicolo fermo

Bloccaggio ruota, veicolo in movimento

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Slittamento longitudinale – 𝑭𝑭𝒙𝒙Meccanismo di generazione forza longitudinale:

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Slittamento longitudinale – 𝑭𝑭𝒙𝒙Meccanismo di generazione forza longitudinale:

Curva o modello di PACEJKA (magic formula): fornisce i µx e µy del pneumatico mediante interpolazione matematica delle caratteristiche ricavate da prove sperimentali o da modelli fisici. Il pneumatico presenta un comportamento nonlineare. Quasi tutti gli pneumatici hanno caratteristiche simili.

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Angolo di deriva – 𝑭𝑭𝒚𝒚L’angolo compreso tra l’asse longitudinale dello pneumatico e il vettore velocità del veicolo.

Meccanismo di generazione forza laterale:

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Controllo dinamica longitudinaleIntroduzione e motivazioni

Il controllo della dinamica longitudinale ha come obiettivo la regolazione dello slittamento dello pneumatico.

1. Per grandi valori di slittamento, perdita di capacità frenante/traente (anche del 30%!)

Allungamento spazio di frenata/accelerazione

30%

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Il controllo della dinamica longitudinale ha come obiettivo il controllo dello slittamento dello pneumatico.

1. Per grandi valori di slittamento, perdita di capacità frenante/traente.

2. Per grandi valori di slittamento la forza laterale si riduce moltissimo.

Mancanza di manovrabilità veicolo (impossibile evitare ostacoli...)

Allungamento spazio di frenata/accelerazione

30%

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Il controllo della dinamica longitudinale ha come obiettivo la regolazione dello slittamento dello pneumatico.

Come sarà chiaro in seguito, il problema è aggravato dal fatto chese lo slittamento supera un certo valore (che dipende dal terreno e dall’angolo di deriva α), tende naturalmente a CRESCERE (con gli svantaggi precedentemente elencati)

cioè la dinamica del sistema che descrive nella zona rossa risulta essere instabile.

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ABS - TCSIl controllo della dinamica longitudinale abbraccia sia i problemi di controllo (ABS) che di trazione (TCS) che risultano «duali».

L’unica differenza tra i due argomenti è «tecnologica», poichè il meccanismo di generazione della coppia applicata alla ruota (cioè il meccanismo di ‘’attuazione’’) è differente.

Storicamente, vista la maggiore importanza in termini di sicurezza del controllo della frenata, sono stati sviluppati prima i sistemi ABS rispetto a quelli di controllo trazione.

1920 1950ABS

TCS

Sistemi puramente meccanici

Settore ferroviario -aeronautico

1970 1978Prima auto con sistema Bosch

1981Sviluppo primi

sistemi elettronici

Sviluppo primi sistemi elettronici

Prima moto con ABS

Prima moto con TCS

1988 2004

ABS obbligatorio

auto

ABS obbligatorio

moto

20162011

ESP (include TCS) obbligatorio auto

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Outline


Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

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Modello Single CornerModellistica

Un modello della dinamica molto diffuso per l’analisi e la sintesi dei sistemi di controllo di dinamica longitudinale è quello chiamato Single Corner :

Il veicolo è considerato come «somma» di quattro ruote indipendenti (a volte per questo si parla di modello quarter-car)

A ciascuna ruota viene associato un quarto della massa dell’intero veicolo. Vengono trascurate le interazioni tra i diversi corner, dovute ai trasferimenti di carico

(beccheggio e rollio).

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Definizioni:

ω: velocità angolare ruota [rad/s] (ω > 0 in senso orario)

v: velocità longitudinale del veicolo [m/s] Tb: coppia frenante (variabile di controllo) Fx: forza di contatto longitudinale ruota-strada Fz: forza di contatto verticale J: momento inerzia ruota (J = 1 Kg m2) m: massa single-corner (m = 300 kg) r: raggio ruota (r = 0.28 m)

I bilanci meccanici di forze longitudinali e coppie definiscono le equazioni dinamichedel sistema:

Bilancio dei momenti (attorno al centro ruota)

Bilancio forze longitudinali

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Equazioni

zx FF ⋅= )(λµcon:

La dipendenza della forza longitudinale dall’angolo di slideslip è trascurabile lavoreremo supponendo α=0

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Equazioni

Per scrivere le equazioni in forma di stato occorre richiamare le relazioni tra lo slittamento, la velocità del veicolo e la velocità angolare della ruota.

zx FF ⋅= )(λµcon:

)1( λω −=rv

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Equazioni

Per scrivere le equazioni in forma di stato occorre richiamare le relazioni tra lo slittamento, la velocità del veicolo e la velocità angolare della ruota.Il nuovo sistema di equazioni diventa:

zxx FF ⋅= )(λµcon:

( )

( )

−=

+

+

−−=

λµ

λµλλ

xz

bxz

Fvm

TvJrF

Jr

mv

2)1(1

Sistema dinamico, nonlineare, del secondo ordine.

Variabili di stato: slittamento λ e velocità veicolo v

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Una ulteriore considerazione permette di semplificare le equazioni trovate.

( )

( )

−=

+

+

−−=

λµ

λµλλ

xz

bxz

Fvm

TvJrF

Jr

mv

2)1(1

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλλ

2)1(1

La dinamica longitudinale del veicolo(legata a v) è molto più lenta delladinamica rotazionale della ruota (espressada λ oppure ω) a causa delle significativedifferenze nell’inerzia di veicolo e ruota.

Quindi, la seconda equazione legata alladinamica veicolo può essere ‘’trascurata’’

Il modello della dinamica di slittamentodella ruota si riduce ad un sistemadinamico del 1° ordine

la velocità v è considerata come un parametro (non proprio costante, ma che varia molto lentamente) nell’equazione di λ

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Outline


Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

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EquilibriAnalisi dinamica

Per trovare gli equilibri si annulla la derivata prima di λ

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλ 2)1(10 bT

Jrf += )(0 λ

Il valore di coppia fa traslare verticalmente il grafico di

L’equilibrio non dipende dalla velocità

)(λf

0=bT

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Per trovare gli equilibri si annulla la derivata prima.

Si possono individuare diverse possibili situazioni:

Un solo equilibrio

20 bb TT <≤

λ

λ

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλ 2)1(10 bT

Jrf += )(0 λ

( ) brf TJ

λ +

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2bb TT =Due equilibri 21,λλ

1λ 2λ

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλ 2)1(10 bT

Jrf += )(0 λ

( ) brf TJ

λ +

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max2 TTT bb <≤Due equilibri 21,λλ

1λ 2λ

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλ 2)1(10 bT

Jrf += )(0 λ

( ) brf TJ

λ +

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maxTTb =Un solo equilibrio

Situazione di equilibrio limite, per coppia frenante applicabile massima

Massima decelerazione

λ

λ

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλ 2)1(10 bT

Jrf += )(0 λ

( ) brf TJ

λ +

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maxTTb >Nessun equilibrio.

Visto che la derivata di λ

è sempre positiva, il sistema evolve verso il valore massimo di slittamento.

1→λ

( ) bxz TvJrF

Jr

mv+

+

−−= λµλ 2)1(10 bT

Jrf += )(0 λ

( ) 0brf TJ

λ λ= + >( ) b

rf TJ

λ +

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Analisi stabilità equilibriAnalisi dinamica

Visto che il sistema è del primo ordine, si studia la stabilità degli equilibri tramitemetodo grafico.

Considerando una generica situazione

Asintoticamentestabile Instabile

max2 TTT bb <≤

( ) brf TJ

λ λ= +

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Visto che il sistema è del primo ordine, si studia la stabilità degli equilibri tramitemetodo grafico.

Nel caso di massima decelerazione

Instabile

maxTTb =

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Conclusioni: Si possono individuare due zone distinte di equilibri, a sinistra e a destra del massimo

picco di forza.

Se il sistema (a causa di disturbi) «sconfina» nella zona instabile, evolve rapidamente verso grandi valori di slittamento.

La condizione di massima decelerazione (cioè coppia frenante massima) è una condizione instabile

*λ

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Conclusioni: Si possono individuare due zone distinte di equilibri, a sinistra e a destra del massimo

picco di forza.

Se il sistema (a causa di disturbi) «sconfina» nella zona instabile, evolve rapidamente verso grandi valori di slittamento.

La condizione di massima decelerazione è una condizione instabile, in pratica impossibile da ottenere con un controllo in anello aperto.


*λE’ necessario un sistema di controllo dello slittamento λ ruota

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Modello Single Corner linearizzatoModellistica

( ) ),()1(1 2

bbxz ThTvJrF

Jr

mvλλµλλ =+

+

−−=

( ) ( )

−

+

−−==

∂∂ ∗

mJr

mvFAh x

xz

Tb

λµλµλλ λ

2

,

)1(

λλλµ

∂∂ )(x

Coefficiente angolare della retta tangente alla curva di attrito, nel punto λ

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( ) ),()1(1 2

bbxz ThTvJrF

Jr

mvλλµλλ =+

+

−−=

( ) ( )

−

+

−−==

∂∂ ∗

mJr

mvFAh x

xz

Tb

λµλµλλ λ

2

,

)1(

Il secondo termine puo’ essere trascurato, visto che è numericamente poco rilevante rispetto al primo, per semplificare l’analisi dinamica.

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( ) ),()1(1 2

bbxz ThTvJrF

Jr

mvλλµλλ =+

+

−−=

( ) ( )

−

+

−−==

∂∂ ∗

mJr

mvFAh x

xz

Tb

λµλµλλ λ

2

,

)1(

( )

+

−−≈=

∂∂ ∗ λµλλ λ

xz

T Jr

mvFAf

b

2

,

)1(Il secondo termine puo’ essere trascurato, visto che è numericamente poco rilevante rispetto al primo, per semplificare l’analisi dinamica.

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vJrB

uh

bT

==∂∂

,λ

( ) ),()1(1 2

bbxz ThTvJrF

Jr

mvλλµλλ =+

+

−−=

( )

+

−−==


xz

T Jr

mvFAh

b

2

,

)1(

37


vJrB

uh

bT

==∂∂

,λ

( ) ),()1(1 2

bbxz ThTvJrF

Jr

mvλλµλλ =+

+

−−=

( )

+

−−==


xz

T Jr

mvFAh

b

2

,

)1(

+−+

=∗

Jmr

mvFs

vJr

sGzx

2

)1()()(

λλµλ

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Analisi modello linearizzatoModellistica

+−+

=∗

Jmr

mvFs

vJr

sGzx

2

)1()()(

λλµλ

Stabilità (posizione del polo):

L’analisi di stabilità tramite linearizzazione conferma quanto visto in precedenza:

Finchè la derivata della curva di attrito è positiva (quindi prima del picco di forza), il sistema linearizzato (e quindi l’equilibrio) è asintoticamente stabile

Oltre il picco di forza, il sistema linearizzato (e quindi l’equilibrio) è instabile.

0)(0)1()( 2

>⇒>

+− ∗

∗

λµλλµx

zx

Jmr

mvF

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Analisi modello linearizzatoModellistica

+−+

=∗

Jmr

mvFs

vJr

sGzx

2

)1()()(

λλµλ

Sensitività al parametro velocità La velocità del veicolo (che cambia

certamente durante la manovra) influenza solamente la posizione del polo del sistema.

La dinamica del sistema della dinamica dello slittamento della ruota linearizzato «rallenta» per valori di velocità crescenti.

Osservazione sulla velocità v che in realtà non è costante ma varia durante il moto, anche se meno rapidamente dello slittamento

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Outline


Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

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Outline


Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

Anello aperto

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Controllo in Open LoopControllo

Si potrebbe ipotizzare di fare una campagna di misure approfondita per ricavare la curva di Pacejka per ogni pneumatico (in effetti, si fa anche questo).

Con questa informazione, si potrebbe pensare di realizzare un sistema di controllo in anello aperto, semplicemente limitando la coppia frenante ad essere appena sotto al valore massimo (quindi limitando lo slittamento).

Il sistema di controllo è dunque un «saturatore» di coppia massima.

driverbT , bT λ

Tuttavia, un piccolo errore sulla valutazione della coppia massima puo’ portare a conseguenze indesiderate.

Analogo discorso riguarda la robustezza rispetto a differenti situazioni di asfalto o alla presenza di rumori sulla variabile di controllo.

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Conoscenza perfetta del sistema.

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Errore di 1Nm (su 1200Nm) nella conoscenza della coppia massima.

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Effetto del rumore sull’attuazione

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Osservazione: curva µx(λ) per diversi tipi di superficie stradale

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Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

Anello chiuso proporzionale

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Controllo in Closed LoopControllo

La soluzione in anello aperto, non è sufficientemente robusta per fonteggiare tutte le incertezze.

Si ricorre a una soluzione in anello chiuso.

driverbT ,

bT λλ−

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Controllo in Closed Loop - ProporzionaleControllo

La soluzione più semplice è quella di utilizzare un regolatore puramente proporzionale:

StabilitàIl diagramma di Nyquist nelle due zone di lavoro mostra che: Nella zona di lavoro asintoticamente stabile, un regolatore proporzionale NON puo’ mai

destabilizzare il sistema Nella zona di lavoro instabile, un regolatore proporzionale PUO’ stabilizzare il sistema

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StabilitàIl diagramma di Nyquist nelle due zone di lavoro mostra che: Nella zona di lavoro a.s., un regolatore proporzionale NON puo’ destabilizzare il sistema Nella zona instabile, un regolatore proporzionale PUO’ stabilizzare il sistema per qualunque

valore di λ di equilibrio …..

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StabilitàIl diagramma di Nyquist nelle due zone di lavoro mostra che: Nella zona di lavoro a.s., un regolatore proporzionale NON puo’ destabilizzare il sistema Nella zona instabile, un regolatore proporzionale PUO’ stabilizzare il sistema per qualunque

valore di λ di equilibrio pur di scegliere kp in modo che il diagramma di Nyquist ‘’giri’’ intorno al punto -1

( )0min1

=≥

> sGk

piccop

λ

+−

==∗

Jmr

mF

Jr

sGzx

2

)1()()0(

λλµλ

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Prestazioni staticheL’errore a regime con andamento desiderato costante, è dato da:

Pertanto, con un regolatore proporzionale, l’errore a regime cambia in funzione dell’azione del pilota.

driverbT ,

bT λλ−e

λµµ

µ

gpdriverb

gp

g

kT

ke

++

+=∞ 1

11 ,

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Prestazioni staticheNell’ipotesi di sistema lineare, l’errore di inseguimento, a regime, è dato da:

Pertanto, con un regolatore proporzionale, l’errore a regime cambia in funzione dell’azione del pilota.

Per ottenere un errore piccolo, per alti valori di coppia frenante, è necessario aumentare molto il valore del guadagno proporzionale.

λµµ

µ

gpdriverb

gp

g

kT

ke

++

+=∞ 1

11 ,

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Prestazioni statichePer mantenere prestazioni di frenata «accettabili» in termini di spazio di frenata, è necessario impostare un valore molto alto di guadagno proporzionale.

2000,3000 , == driverbp Tk1500,3000 , == driverbp Tk

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Prestazioni statichePer mantenere prestazioni di frenata «accettabili» in termini di spazio di frenata, è necessario impostare un valore molto alto di guadagno proporzionale.

2000,10000 , == driverbp Tk1500,10000 , == driverbp Tk

Comunque, lo spazio di frenata dipende fortemente dall’azione impressa dal pilota!

Problema del controllore proporzionale: il valore molto alto di guadagno porta ad azioni di controllo molto grandi, quindi non è possibile eccedere nel suo valore!!

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Outline


Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

Anello chiuso integrale

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Controllo in Closed Loop - IntegraleControllo

Un controllore puramente integrale, potrebbe risolvere le problematiche di robustezza rispetto a valori costanti perché assicura errore nullo a fronte di andamento desiderato costante dello slittamento

Stabilità (analisi polinomio caratteristico)

Se p > 0 - zona as.stabile - qualunque valore di ki è ammissibile (coefficienti concordi) Se p < 0 - zona insabile - nessun valore di ki è ammissibile (coefficienti discordi)

pssG g

+=

µλ )( ( ) ( ) ( ) gi

gi kpsspss

ksLs µ

µϕ ++=

++=+= 11)(

( ) gikpsssLs µϕ ++=+= 21)(

La scelta del punto di lavoro, ovvero dello slittamento desiderato è importante!!

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Prestazioni: Il vantaggio dell’azione integrale è quella di essere robusta rispetto a disturbi (coppia del

pilota) costanti. Per garantire una reiezione «veloce» del disturbo, è necessario avere un guadagno integrale grande.

)(, sT driverb)(sY

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pilota) costanti. Per garantire una reiezione efficace del disturbo (coppia del pilota), è necessario avere un guadagno integrale grande per avere ‘’modulo’’ di L(s) ‘’grande’’ nella banda passante del sistema retroazionato (che è la zona in cui il dist. d viene attenuato).

)(, sT driverb)(sY

1( )1 ( )

S sL s

=+

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2000, =driverbT1500, =driverbT


pilota) costanti. Per garantire una reiezione efficace del disturbo (coppia del pilota), è necessario avere un guadagno integrale grande per avere ‘’modulo’’ di L(s) ‘’grande’’ nella banda passante del sistema retroazionato (che è la zona in cui il dist. d viene attenuato).

L’effetto dell’azione del pilota risulta trascurabile!

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Prestazioni Oltre alla corretta scelta del riferimento di slittamento, il controllore integrale ha il problema

che al crescere del guadagno integrale le oscillazioni risultano più evidenti, perché il margine di fase diminuisce, portando il sistema in condizioni prossime all’instabilità.

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Outline


Modellistica

Analisi dinamica

Controllo

Anello chiuso proporzionale-integrale

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Controllo in Closed Loop – Proporzionale IntegraleControllo

Combinando l’azione proporzionale e quella integrale è possibile ottenere i benefici di entrambe le azioni.

Stabilità (analisi polinomio caratteristico)

Operando opportunamente con i valori dei due parametri, è possibile stabilizzare il sistema in ogni valore di slittamento.

pssG g

+=

µλ )( ( ) ( )

( ) ( ) ( ) gipgii kskpss

pssksk

sLs µµ

ϕ +++=+

++=+= 11)(

( ) ( ) gigp kskpssLs µµϕ +++=+= 21)(

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Prestazioni Grazie all’azione integrale, il sistema di controllo è robusto rispetto ai disturbi introdotti dal

pilota. L’aggiunta dell’azione proporzionale, che si riflette nella comparsa di uno zero nella

funzione d’anello, consente di ottenere un margine di fase più elevato per il sistema retroazionato, con conseguente miglioramento delle prestazioni dinamiche

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Prestazioni

2000005000

=

=

i

p

KK

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Riassunto configurazioniControllo

Stabilità Disturbi pilota Disturbi misura PrestazioniP Per ogni valore di

slittamentoPoco robusto Sensibile per alti

valori di kpBuone per alti valori di kp

I Solo nella zona di a.s.

Robusto Moderatamente sensibile

Mediocri per alti valori di ki

PI Per ogni valore di slittamento

Robusto Moderatamente sensibile

Migliori

Nella seguente tabelle sono schematicamente riassunte le caratteristiche delle varie strutture di controllo analizzate.

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Fine

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