A. Stefanel - M: cinematica1 Cinematica. A. Stefanel - M: cinematica2 La posizione della lucetta.

A. Stefanel - M: cinematica 1

Cinematica


La posizione della lucetta


La posizione della lucettaP



nel sistema di riferimento scelto

x

y

z

O

1

11

P (t)




espressa in coordinate cartesiane

x

yO

x1

y1

z1

z

P(t)(x1(t);y1(t);z1(t))P(t)




espressa in coordinate sferiche

x

yO

z

(r(t);(t);(t)

)

r

P(t)




individuata dal vettore posizione

espresso per mezzo delle sue componenti

x

yO

z

P

i j

k

r(t) = x1 (t) i + y1(t) j + z1 (t) k

x1

y1

z1

r(t)= tOPtr


La traiettoria del corpo (il sistema)


x

yO

z

P(t=0)


x

yO

z

P(t=0)

P(t1)

P(t2)P(t3) P(t4)

P(t5)

La traiettoria del corpo (il sistema)



x

yO

z

P (t)P (t+t)

r (t) r (t+t)

r

Il vettore spostamento

r = r(t+t) – r(t)

Il vettore velocità media

r r(t+t) – r(t)

t (t+t)-(t)v = ----- = -------------------


x

yO

z

P (t)P (t+t)

r(t)r (t+t)

r+

Come si determina il vettore velocità istantanea?

Vettore velocità media tra t-t e t

r- r(t) – r(t-t)

t (t)-(t-t)v- = ----- = -------------------r (t-t)

r-

P (t-t)

Vettore velocità media tra t e t+t

r+ r(t +t) – r(t)

t (t+t)-(t)v+ = ----- = -------------------


x

yO

z

Il vettore velocità istantanea

r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0

O

P (t)P (t+t)

r(t)r (t+t)

r+

r (t-t)

r-

P (t-t)


x

yO

z

P (t)P (t+t)

r(t) r (t+t)


r (t-t)

P (t-t)

r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0


x

yO

z

P (t) P (t+t)

r(t)

r (t+t)


r (t-t)

P (t-t)r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0


x

yO

z

La direzione del

vettore velocità istantanea

r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0

O

P (t)P (t+t)r+

r-P (t-t)


x

yO

z

P (t)P (t+t)

P (t-t)

r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0

La direzione del


r-

r+


x

yO

z

P (t)P (t+t)

P (t-t)

r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0

La direzione del



x

yO

z

P (t) r- r+

t t v(t) = lim ------ = lim -------

t 0 t 0

La direzione del


è quella della retta tangente alla traiettoria nel punto P(t)

r(t)

v(t)

In generale r(t) e v(t):non sono perpendicolari

non sono paralleli


x

yO

z

P (t)

r(t)

v(t)

v(t) = vr (t) + vt (t)

vt

vr

velocità radiale

vr // r

velocità tangenziale

vt r

Si può proiettare il vettore velocità in direzione parallela a r e in direzione perpendicolare a r.


y

xO

Il moto nel piano

P (t)

r (t) = OP (t)= x(t) i + y(t) j =

= r (cos ) i + r (sen ) j

i

j

x (t) = r(t) cos (t)

y (t) = r(t) sen (t)


y

xO

Il moto circolare

P (t)

r (t) = OP (t)= x(t) i + y(t) j =

= r (cos (t)) i + r (sen (t)) ji

j

x (t) = r cos[(t)]

y (t) = r sen[(t)]

v(t)

r(t)

vt = v(t)

v(t) rvr= 0


y

xO

Il moto circolare uniforme

v(t)

r(t)

r(t+t)

v(t+t)|v(t+t)| = | v(t)| = v= (2 r/T) =(2 /T) r= r

T periodo (s)

1/T = frequenza (s-1 =Hz)

=(2/T) velocità angolare (rad s-1)

v velocità lineare (m s-1)


y

xO


v(t)

r(t)

r(t+t)

v(t+t)v = (2 r/T) =(2 /T) r= r

v(t)


y

xO


v(t)

r(t)

r(t+t)

v(t+t)v = (2 r/T) =(2 /T) r= r

v(t)v(t+t)


y

xO


v(t)

r(t)

r(t+t)

v(t+t)

a(t) = lim -----------------t

v(t+t) - v(t)

t 0

v = (2 r/T) =(2 /T) r= r

v/v =r/r

v = (v/r) r

t t r ta(t) = lim ------- = lim ---------- = lim [--- -----]=

v (v/r) r v r

t 0 t 0 t 0

= ----- v = ----- = 2 rv

r

v2

r

v(t+t) v(t)

v

r


y

xO


v(t)

r(t)

r(t+t)

v(t+t)

a(t) = lim ----------------t

v(t+t) - v(t)

t 0

Il vettore accelerazione istantanea a(t):

- ha modulo a = v2/r = 2r

-ha la stessa direzione del vettore r(t)

-ha verso opposto a quello del vettore r(t)

a = - 2 r

v = (2 r/T) =(2 /T) r= r

a = ----- = 2 rv2

r

v(t+t) v(t)

v


y

xO

Principio di indipendenza dei moti

P (t)

r (t) = OP (t)= x(t) i + y(t) j =

i

j

x= x (t)

y = y (t)

Ogni moto in due o tre dimensioni può essere sempre scomposto rispettivamente in due o tre moti rettilinei indipendenti


Il moto rettilineo

x (m)O 1

x (m)O 1

x (m)O 1

P(t=0 s)

xo

P(t=0 s)

xo

P(t=0 s)

xo

t=0 s

P(t1)

x1

P(t1)

x1

P(t1)

x1

t1

P(t3)

x3

x3

P(t3)

=x3

=P(t3)

t3

P(t2)

x2

x2

P(t2)

x2

P(t2)

t2

P(t4)

x4

P(t4)

x4

=P(t4)

=x4

t4


Il moto rettilineo

x (m)O 1

P(t=0 s)

xo

t=0 s

P(t1)

x1

t1

P(t3)

x3

t3

P(t2)

x2

t2

P(t4)

x4

t4

Moto vario

La velocità del sistema cambia da istante a istante


Il moto rettilineo

x (m)O 1

P(t=0 s)

xo

t=0 s

P(t1)

x1

t1

x3

P(t3)t3

x2

P(t2)

t2

P(t4)

x4

(x1-xo) (x2-x1) (x3-x2) (x4-x3)

(t1-0) (t2-t1) (t3-t2) (t4-t3)v = vx = --------- = --------- = -------- = --------

Moto uniforme:

v = vo =cost

v = vO iMoto rettilineo uniforme:


Il moto rettilineo

x (m)O 1

P(t=0 s)

xo

t=0 s

P(t1)

x1

t1

x3

P(t3)

t3

x2

P(t2)t2

P(t4)

x4

t4

Moto periodico

P(t5)

x5x6

P(t6)

x (m)O

t (s)

t12

t10

t8

t6

t4

t2

0


Il moto rettilineot=0 s

t1

t3

t2

t4

Moto periodico

x (m

)O

1

P(t

=0

s)

x o

P(t

1)

x 1x 3P(t

3)

x 2P(t

2)P

(t4)

x 4

P(t

5)

x 5x 6P(t

6)x (m)

O

t (s)0 t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 t 12


Evoluzione temporale della posizione di una massa in oscillazione armonica rispetto a un sensore di moto

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