1 Dinamica del punto materiale. 2 Dinamica Sistemi di riferimento inerziali Nel sistema in moto...

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Dinamica del punto materiale

F

2

DinamicaDinamica Sistemi di riferimento inerziali

Nel sistema in moto relativo uniforme la legge del moto è la stessa che nel sistema fisso

Il tipo di moto è lo stesso!

(cambiano le condizioni iniziali)

Sistemi inerziali Sono tutti equivalenti per la descrizione del moto

In tutti i sistemi inerziali le proprietà dello spazio e del tempo sono identiche, come pure le leggi della meccanica.

Principio di relatività di Galileo

Vt

Politecnico di Bari, Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli

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3

DinamicaDinamica Principio di minima azione ( Principio di Hamilton)

Politecnico di Bari, Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale Prof. G. Iaselli

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Particella con coordinata x e velocità v isolata

Il suo moto è completamente determinato!!

In un sistema inerziale : tvxL ,,

111 ,, tvx 222 ,, tvx

2

1),,(

t

tdttvxLS

Dovrà essere il più piccolo possibile

L = funzione di Lagrange

S = azionePrincipio di minima azione

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DinamicaDinamica Principio di minima azione


Pagina

Si può dimostrare che il principio di minima azione implica:

0

dx

dL

dV

dL

dt

d

L è una funzione caratteristica del motoNon può dipendere in maniera esplicita da:

x (omogeneità dello spazio)

t (omogeneità del tempo)

Moto uniform. accel. Moto uniform. accel.

x, t x x’ x’, t’

t t’

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DinamicaDinamica Principio di minima azione


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2VLL Non può dipendere nemmeno dal vettore V, ma solo dal suo valore assoluto

VV

Moto uniform. accel.Moto uniform. accel.

Allora:

0

dx

dL

dV

dL

dt

d

= 00

dVdL

dtd

dVdL

cost V cost

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DinamicaDinamica Funzione di Lagrange per un punto materiale libero


Pagina

m massa del corpo

2

2VmL

Kgm

dVdL

cost Vm costPoiché:

Vm quantità di moto

sm

KgVm

Questa proprietà discende dal fatto che:

0dxdL

cioè omogeneità dello spazio

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DinamicaDinamica Ricapitolando


Sistema inerziale

Particella isolata

2

2V

mL cost

V cost

Vm cost

Vm quantità di moto

2

2V

menergia cinetica

p è un vettore!

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Principio di inerzia - I legge della dinamica

Una particella libera resta nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

Aff.Una particella libera si muove con velocità costante

Principio di conservazione della quantità di moto

p = m V = costantem = massa inerziale

è un attributo del corpo

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1

2

3

4

piano completamente “liscio”

Principio di inerzia alla Galileo

In assenza di forze il corpo prosegue indefinitamente

con velocità V

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La particella m2 si mette in moto con velocità V2

p2 = m V2

Estensione del principio di conservazione di p

p = cost

m1

particella isolata

p1

p1’

m1

particella non isolata

Può accadere solo che p1

p1’

m1m2 p2

La quantità di moto di m1 non si è conservata!

p1 p1’ Δ p1

ma si è “creata” una nuova quantità di moto p2

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Concetto di Forza - II legge della dinamica

F

Δpp’

p1 tp

F 0t

dtdp

F

Chiamiamo forza la rapidità di variazione con il tempo della quantità di moto

amdt

Vdm

dt

Vdm

dt

pdF

amF

NewtonF

La accelerazione di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze che agiscono su di esso, ed inversamente proporzionale alla sua massa

a

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L’impulso

dt

pdF

pddtF

p

p

tpddtF

00

dtFpt

0

impulso di una forza: I

t

pdtFI0

L’impulso di una forza produce una variazione della quantità di moto

s

mkgI

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Quantità di moto di un sistema

21 pppt

21 pppt cost

prima

dopo

Sistema isolato

Sono possibili solo interazione fra m1 ed m2

'' 2121 pppp La quantità di moto totale si conserva se i punti materiali sono soggetti solo alla loro mutua interazione ossia il sistema è isolato.

m1 m2

ptot

p2’

p1’

p2

ptot

p1

cost'' 21 pppt

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III legge della dinamica

'' 2211 pppp

21 pp

t

p

t

p

21

2112 FF

C’è uno scambio di quantità di moto fra le

particelle

Principio di azione e reazione: ogni qualvolta un corpo esercita una forza su di un secondo corpo, il secondo eserciterà una forza sul primo uguale e contraria.

'' 2121 pppp

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m

Fa

aF

..........,

La Forza

p

at

a

an

moto vario

amF

nt amamF

xy uR

Vmu

dt

dVmF ˆˆ

2

Ft determina la variazione

del modulo della velocità

Fn determina la variazione

della direzione della velocità

Fn si chiama forza centripeta

p

p

Moto uniforme

0.,.0 aF

Moto uniform. accelerato

cost cost

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NNNFFF BxAxRx 2.52)37cos(30)45cos(40

NNsenNsenFFF ByAyRy 3.10)37(30)45(40

o

Rx

Ry

N

N

F

F

5.11)2.0arctan(

2.02.52

3.10)tan(

Applicazione

amF

kgmb 500

NFFF RyRx 5122

2m/s1.0kg500

N51a

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La reazione Vincolare

F1

F2

F1

F2

21 FF 0FSe

Il corpo è in equilibrio

0yF 0xFIn generale la condizione di equilibrio è:

Poiché il punto è in equilibrio deve esserci F2 ! N

Reazione vincolare N

N

mg

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Forza peso

Osservazione di Galileo: Tutti i corpi, se lasciati liberi, sono attratti verso il suolo con la stessa accelerazione “g”

Forza di attrazione terrestre:

gmamP

Attenzione a non confondere “peso” con “massa”

Il nostro “peso” è la forza con cui veniamo spinti verso il basso P

La nostra “massa” è g

Pm

La bilancia misura N gmN Bilancia

gm

N

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Forza di attrito radente (attrito statico)

Proviamo a mettere in moto il corpo m

Si muove solo se NF sA

s

N

0a

0a

coeff. d’attrito statico Dipende dalla superficie

Dipende dalla massa del corpo e dalle condizioni di vincolo

NF sA

NF sA

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Se il corpo è già in moto

NF datt

maFF attA

maNF dA

d

sd

1...... sd e

coefficiente di attrito dinamico

sempre

Forza di attrito radente (attrito dinamico)

x

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xuKx F

K = costante elastica

xm

K

m

F

dx

xda

2

2

Km

T

22

0xm

k

dt

xd2

Eq. moto armonico

m

KCon pulsazione

)cos(x(t) tA

xu

xu

Forza elastiche

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Tensione dei fili

-TT

Fb Fa

T T

Fb Fa

| Fa | = | Fb |

Principio di azione e reazione

Filo inestendibile di massa trascurabile in quiete.

Se il filo è teso, ogni suo elemento subisce due forze uguali e contrarie

TT

F1F2

T

F

T

FF1≠ F2

Situazione statica

La puleggia ruota

| Fb | = | T | | Fa | = | T |

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gm

1gm

2

T

T N

Diagramma di corpo libero

m1=10kg e m2=20kg.1a

2a

x1

y1

y2

ammgsenmm

amgmT

)( 2112

22

222222 amTgmamTgm

Ngm

amgsenmTamNgmT

cos1

111111

gsenmm

mmT

mm

gsenmma

)1()(

)(

21

21

21

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Applicazione

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