MECCANICA

• STATICA• CINEMATICA • DINAMICA

CINEMATICADESCRIVE IL MOTO INDIPENDENTEMENTE DALLE

CAUSE CHE LO PRODUCONO O LO MODIFICANO

DINAMICASTUDIA IL MOTO IN RELAZIONE ALLE CAUSE

(FORZE) CHE LO PRODUCONO O LO MODIFICANO

PUNTO MATERIALE: corpo di dimensioni trascurabilirispetto agli spostamenti che si considerano

MOTO IN UNA DIMENSIONE

Velocità media

xfxxi

∆x

X = 0

î

∆x∆t

=( xf - xi ) î( tf - ti )

vm = [L][T]

ms

x

t

P

Q

∆t

∆x

θ

θ

x(t)

ti tf

xf

xi

x = x(t) ≡ legge oraria posizione istante per istantePiano x-t

x1 t1

x2 t2

x3 t3

… …xn tn

∆x∆t

vm = = tgθ

Velocità media

î

Velocità istantanea

t

x

PQ

Q’Q’’

ti

∆t1

∆t2

∆t3

t3 tft2

xi

x3x2xf

∆x3

tangente in P

θ

∆x∆t

l i m∆t 0

vi =

dxdt

=

Velocità istantanea = vi = tgθ î

Direzione data dalla rettadel moto rettilineo

Verso dato dal segno di tg θ

∆x2

t

x

SR

θP

P

θQθS

< 0tgθS

= 0tgθR

> 0tgθ Q

> 0tgθP

tS

xS QxP

xQ

xR

Velocità istantanea vi = tg θ î

Parte da xP, arriva in xR dove si ferma e torna indietro

tp

Accelerazione media

∆v∆t

=( vf - vi )( tf - ti )

am = [T]

[T]

m

s2

[L]

Accelerazione istantanea

∆v∆t

l i m∆t 0

ai =d2xdt2

=dvdt

=ddt

=dxdt

ACCELERAZIONE: variazione di v nell’unità di tempo

v = v(t) ≡ velocità istantaneaPiano v-t

∆v∆t

am = = tgθ î

v1 t1

v2 t2

v3 t3

… …vn tn

v

t

P

Q

∆t

∆v

θ

v(t)

ti tf

vf

vi θ

cost.0

0 ===vv

a

Moto Rettilineo uniforme

ALCUNI ESEMPI

t

i0f xtv)t(x +=x

ix

t

v 0)( vtv =

0v

t

a 0)( =ta

0

Legge oraria tvxx 0if +=

if0

x

x

t

00

00

xxtv 'dx'dtv

dxdtv dtdxv

f

i

−=⇒=

⇒=⇒=

∫∫

⇒=+=−=⇒= ∫∫ dtdxatv)t(v vvat 'dv'adt ifif

v

v

t

0

f

i

Moto uniformemente accelerato

if vat)t(v +=

t

v

iv

ata =)(

t

a

a

x

ii2

f xtvat21)t(x ++=

t

ix

.cost ⇒=⇒== dvadtdtdva

if2

i

x

x

t

0

t

0ii xxat

21tv 'dx'dt'at'dtv dxatdtdtv

f

i

−=+⇒=+⇒=+ ∫∫∫

2iif at

21tvx)t(x ++= Legge oraria

)t(x

14)t(vdtda xx ==

2735)( tttx ++= t143vx += 14ax =

2t7t35)t(x ++=

t143)t(xdtdvx +==

)t(xdtd)t(x

dtd

dtd)t(v

dtda 2

2

xx ===

)t(xdtdvx =

θ

14

10

06

0214tg =θ

140

100

60

20

Esempio

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

+=

2iif

if

at21tvxx

atvv

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+

−=−

−=

2

2ifif

iif

if

avva

21

avvvxx

avvt

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=− ifiifif v

21v

21vvv

a1xx

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=− fiifif v

21v

21vv

a1xx

( )( )a2

vvvvvva2

1xx2

i2

ffiifif

−=+−=−

Moto uniformemente accelerato:Moto uniformemente accelerato:velocitvelocitàà funzione dello spaziofunzione dello spazio

( )if2

i2

f xxa2vv −+=

( )if2

if xxa2vv −+=

se0v0x

i

i

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

ax2v

ax2v

f

2f

( )( )a2

vvvvvva2

1xx2

i2

ffiifif

−=+−=−

EsempioEsempio

Un corpo è lasciato cadere da un’altezza di 10 m. Con quale velocitàraggiunge il suolo? (Si trascuri l’attrito dell’aria.)

( )2

if2

if

m/s8.9 g a

xxa2vv

==

−+=

00

0

0

==

vx

0

x

m/s.gxv 14108922 =××==

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

++=

+===

if2

if

2iif

if

xxa2vv

at21tvxx

atvvcost.a)t(a

Moto uniformementeMoto uniformementeacceleratoaccelerato

MOTO IN DUE DIMENSIONIMOTO IN DUE DIMENSIONI

y

x

)( 1trr

)( 2trr

piano x-y

traiettoria)( 1try

)( 1trx

)()( 12 trtrr rrr−=∆

12

12 )()(tttrtr

trvm −

−=

∆∆

=rrr

r

dtrd

trlimv

0tist

r

rr

=

∆∆

=→∆

y

x

)( 1trr

)( 2trr

rr∆mvr

)t(v 1r

)t(v 2r

VelocitVelocitàà

VELOCITAVELOCITA’’ IN DUE DIMENSIONIIN DUE DIMENSIONI

)()( 12 tvtvv rrr−=∆

12

12 )()(tttvtv

tvam −

−=

∆∆

=rrr

r

dtvd

tvlima

0tist

r

rr

=

∆∆

=→∆

)( 1tvr

y

x

)( 1trr

)( 2trr )( 2tv

r

vr∆

AccelerazioneAccelerazione

x

y

at

ar

a

a

at

ar

traiettoria

tr aaa rrr+=

rartar

acc. tangenziale

acc. radialecambia

modulo velocità

direzione velocità

accelerazioneaccelerazione tangenzialetangenziale e e radialeradiale

MOTO DEL PROIETTILEMOTO DEL PROIETTILE

jaiajdtdv

idtdv

dtvda yx

yx ))))r

r+=+==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

z

y

x

r

rr

rr

⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

z

y

x

v

vv

vr⎪⎩

⎪⎨

⎧

→

z

y

x

a

aa

ar

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=+=

tavv

tavvtavv

zzizf

yyiyf

xxixf

⇒+= tavv ifrrr

i)

xr

y

x

j)

yrrr

Equazioni vettorialiEquazioni vettoriali

jvivjdtdr

idtdr

dtrdv yx

yx ))))r

r+=+==

jrirr yx

))r+=

Esempio: la velocità nel motouniformemente accelerato

MOTO DEL PROIETTILEMOTO DEL PROIETTILE

• accelerazione g costanteverso il basso

• no resistenza aria

traiettoriaparabolica

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

−=

−=

2yiif

yiyf

y

gt21tvyy

gtvv

ga

⎩⎨⎧

+==

tvxxvv

xiif

xix

x

y

MOTO DEL PROIETTILEMOTO DEL PROIETTILE

y

x

xiv

yv

xiv

yv

traiettoria parabolicamaxy

g yga ˆ−=r

yiv iv

xiv

iθ

xiv

yvθ

xiv

0=yv0=θ

i

2i 2sin

gvgittata θ=

⎩⎨⎧

θ+=θ=

iiif

iixf

costvxxcosvv

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−θ+=

−θ=

−=

2/gtsintvyy

gtsinvv

ga

2iiif

iiyf

y

0y0x

i

i

== 2/gtsintvy 2

iif −θ=

y = 0 g/sinv2t iig θ=

Gittata = i

2i

iiiigx 2singvg/sinvcosv2tv θ=θθ=

Gittata max per °=θ 45i

iii 2sinsincos2 θ=θθ

DINAMICADINAMICA

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

reazione e azione di principio :terzo amF :secondo

inerzia di principio :primoNewton di principi treI rr

Principio di inerziaPrincipio di inerzia

Ogni corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finchéforze esterne ad esso non intervengono a modificarne lo stato

Principio di inerziaPrincipio di inerzia

Ogni corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finchéforze esterne ad esso non intervengono a modificarne lo stato

Sistemi inerzialiSistemi inerziali

Sistema di riferimento inerziale: un sistema in cui è valida la prima

legge di Newton

Qualunque sistema di riferimentoin moto rettilineo uniforme

rispetto ad un riferimento inerziale è un sistema inerziale

Un sistema fisso o in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle “fisse” è un sistema di riferimento inerziale

La Terra ruota intorno al proprio asse e intorno al Sole, perciò un sistema fisso

rispetto alla Terra non è un sistema inerziale

23

riv.-c 104.4a sm−×=

22

rot.-c 1037.3a sm−×=

tuttaviaIn molte situazioni sarà lecito trascurare queste piccole accelerazioni e considerare inerziale un sistema solidale con la Terra

Seconda legge della dinamicaSeconda legge della dinamica

maF

aF

aF

aF

aF

n

n ===== ...4

4

3

3

2

2

1

1

amF rr=

a1 an a

F

F1

Fn

θ

corpodelmassa⇒≡ mtgθ

newtonNsmkgmaF

≡

⇒=

1

2

F1 F2 F3 F4 … Fn

a1 a2 a3 a4 … an

La forza di 1 N imprime un’accelerazione di 1 m/s2

ad una massa di 1 kg

EsempioEsempio

Stimare la forza necessaria per imprimere un’accelerazione di 5 m/s2 ad un’automobile di 1000 kg e ad una mela di 200 g.

amF rr=

Fauto = 1000 kg • 5 m/s2 = 5000 N

Fmela = 0.2 kg • 5 m/s2 = 1 N

Terza legge della dinamicaTerza legge della dinamicaprincipio di azione e reazioneprincipio di azione e reazione

TSST FFrr

−=

1

2

1221 FFrr

−=

F12F21

S

FTS T

FST

Agiscono su corpi diversiAgiscono su corpi diversiHannoHanno ugualugual modulo e direzione, modulo e direzione, e verso e verso oppostoppostoo

Terza legge della dinamicaTerza legge della dinamicaprincipio di azione e reazioneprincipio di azione e reazione

QuantitQuantitàà di motodi motom

vr vmp rr=

Quantità di motoo

Momento (lineare)

dtpdvm

dtd

dtvdmamF

rr

rrr

==== )(

00 =⇒=dtpdFserr

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

⇒==

cost3p

cost2pcost1p

cost

z

y

x

prConservazione della

quantità di moto

Gravitazione universaleGravitazione universale

rrMmGFg ˆ

2−=r

M mrr

gFr

gFr

−

2211 KgmN1067.6G −− ⋅⋅⋅=

Costante di gravitazione universaleCostante di gravitazione universale

EsempioEsempio

mT

mL

Forza gravitazionale e pesoForza gravitazionale e peso

Il pesoIl peso

forza con la quale un corpo forza con la quale un corpo viene attirato verso il centro viene attirato verso il centro

della Terradella Terra

PgmamFrvrr

≡==

Pr

pesom KgNsmKgmgP 18.98.91 2 ≡=×==

Qual Qual èè il peso di 1 Kgil peso di 1 Kgmm??

PESOPESO

TMTR

r

m r̂r

MmGF 2g −=r

Vicino alla superficie

TRr ≅

2T

TT

T2T

TT

RM

Gg

mgmaR

mMGF

=

===

MT = 5.97 × 1024 kg

RT = 6.371 × 106 m

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

786.9

80.9 70per

2

2

smg

smg

Kgm

al livelloal livellodel maredel mare

in cimain cimaAllAll’’EverestEverest

NP 686=

NP 685=

Sulla Luna Sulla Luna

NP 113=

Il peso cambia da punto a punto sulla TerraIl peso cambia da punto a punto sulla Terra

2L

LL

2L

LL

RM

Gg

RmMGF

=

=ML = 7.35 × 1022 kg

RL = 1.737 × 106 m