Capitolo 3 Cinematica e

Dinamica dei fluidi

Cinematica: velocità e accelerazione

Descrizione Lagrangiana

Descrizione Euleriana

Campo di velocità: V = V(x,y,z,t)

u = u(x,y,z,t)

v = v(x,y,z,t)

w = w(x,y,z,t)

Leonhard Euler

(Basilea, 15 aprile 1707 – San

Pietroburgo, 18 settembre 1783)

Joseph-Louis Lagrange

(Torino, 25 gennaio 1736 –

Parigi, 10 aprile 1813)

Cinematica: velocità e accelerazione

V = V(x,y,z,t)

(*)

Regola di derivazione euleriana e accelerazione totale

Se: dx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w

la (*) rappresenta l’accelerazione propria di una particella

elementare di fluido (derivata sostanziale):

Acc. convettiva Acc. locale

t

Vw

z

Vv

y

Vu

x

V

Dt

VDA

t

V

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

dt

Vd

Equazione indefinita della Dinamica

Deriva da:

F = m A

F = Fmassa + Fsuperficie

A = accelerazione totale

m = massa della particella elementare

x

z

y

dx

dz

Fn

n

tnsn

N.b.: sforzo interno relativo alla faccia di normale x

zyx

zyx

F

F

F Afm

Equazione indefinita di Continuità

Esprime la

conservazione della

massa di un volumetto

elementare di fluidox

z

y

dx

dz

0

z

w

y

v

x

u

t

dxdydzt

dxx

uu

u

Equazione di continuità per volumi finiti

Per fluidi incomprimibili ( = cost.):

Equazioni di Eulero

Nell’equazione indefinita del

moto, viene introdotta

l’ipotesi di fluido perfetto

(stato tensionale idrostatico)

grad(p)

f Ayx z

mx y z

FF F

f Am

p p p ˆˆ ˆi j kx y z

Teorema di Bernoulli

• Terna intrinseca

• Equazioni di Eulero + Moto permanente

• Il trinomio di Bernoulli

x

z

y

b

s

n

E(s) = z +p/g + v2/2g = cost.

Daniel Bernoulli

(Groninga, 29 gennaio 1700

Basilea, 27 luglio 1782)

02

2

g

vpz

s g

Interpretazione geometrica ed energetica

del TdB

z energia posizionale (peso = 1) → lavoro dell’unità di peso

ALTEZZA GEODETICA

v2/2g energia cinetica (peso = 1) → lavoro dell’unità di peso [(1/2 m v2)/mg]

ALTEZZA CINETICA (altezza di caduta libera per raggiungere v)

p/g energia di pressione (peso = 1) → lavoro dell’unità di peso

ALTEZZA DI PRESSIONE (altezza di colonna di fluido per produrre la pressione p)

La foronomia: una classica applicazione

del TdB

• Il TdB può essere sfruttato per

calcolare la portata uscente da un

serbatoio con una luce di fondo.

• Alcune ipotesi fondamentali:

moto permanente, fluido perfetto,

luce in parete sottile (sagomata a

spigolo vivo) e di piccole

dimensioni.

• Andamento qualitativo della

traiettoria delle particelle idriche

A

Bc c

La foronomia: una classica applicazione

del TdB

• Il punto B si trova sulla sezione

contratta.

• Sezione contratta (cc): la prima

sezione in cui i filetti fluidi si

presentano sensibilmente rettilinei

e paralleli

A

Bc c

EA = zA + pA/g + vA2/2g =

EB = zB + pB/g + vB2/2g

zA

pA/g

h

≈ 0= h

h = 0

z = 0

La foronomia: una classica applicazione

del TdB• Si ottiene dunque (velocità

torricelliana):

• Si può tenere conto delle

approssimazioni fatte e dire che la

velocità del fluido in

corrispondenza della sezione

contratta vale:

• K è il coeff. di velocità ( ≈ 1)

A

Bc c

zA

pA/g

h

z = 0

vB ≈ e(2gh)

vcc = Ke(2gh)

h = carico (o battente)

sulla luce

La foronomia

• Infine, si può calcolare la portata

(velocità per area della sezione):

• s è l’area della luce

c il coefficiente di contrazione

• Il prodotto m = Kc è il coefficiente

di efflusso, può essere

determinato sperimentalmente ed

assume valori prossimi a 0.6.Bc c

h

Q = K scce(2gh)=

= Kc se(2gh)=

= mse(2gh)

h = carico (o battente)

sulla luce

s

La foronomia

• Il coefficiente di efflusso m dipende da:– Forma della luce (circolare, quadrata, etc…)

– Dimensione caratteristica della luce (diametro,

lato, etc…)

– Battente o carico sulla luce

• Conoscendo tali grandezze è possibile

consultare le tabelle riportate nei manuali

specialistici

Bc c

h

h = carico (o battente)

sulla luce

s

Il concetto di corrente (lineare)

• Moto prevalentemente in una direzione (nota a priori) →

definizione di sezione trasversale

• Esempi: condotte in pressione, canali a pelo libero

• Curvatura modesta delle linee di flusso (moto

gradualmente variato) → quota piezometrica costante

nella sezione

• Il tubo di flusso

Estensione del TdB ad una corrente

• Tubo di flusso elementare

• Potenza della corrente

• Conservazione della potenza della

corrente + ipotesi di moto graduale

Em(s) = z +p/g + aV2/2g = cost.Corrente

E(s) = z +p/g + v2/2g = cost.Linea di flusso

Nota: in pratica a ≈ 1V = Q/s Velocità media di portata

Tubo di flusso elementare

02

2

g

Vpz

sa

g

02

2

g

vpz

s g

Applicazione: il venturimetro

• Moto permanente,

gradualmente variato

tranne che nel convergente

• Ipotesi di fluido perfetto

• Misura della portata

mediante misura della

differenza di quota

piezometrica

A

B

zA

zB

VA2/2g

PA/g

VB2/2g

PB/g

d

z = 0

Esercizio

Il venturimetro illustrato in figura è inserito in una tubazione di diametro D

= 450 mm nella quale scorre acqua. Nell’ipotesi di fluido perfetto e sapendo

che il diametro d è pari a 250 mm, e che la lettura al manometro

differenziale, che ha mercurio come liquido manometrico, è = 0.40 m,

calcolare la portata defluente nella condotta. Si traccino inoltre la linea

piezometrica e quella dei carichi idraulici totali rispetto ad un riferimento

arbitrario.

Si ricordi che gacqua=9806 N/m3 e che gmercurio=132871 N/m3.

D d

Oltre il teorema di Bernoulli: i fluidi reali

Perdite di carico

continue dovute alla

presenza di sforzi

tangenziali

Attrito -> Calore

(dissipazione)• Effetto della

scabrezza

• Effetto della

velocità

• Effetto della

viscosità

J = cadente piezometrica o

della linea dell’energia

(forza resistente per unità

di peso defluito)

Jg

Vpz

s

2

2

ag

Oltre il teorema di Bernoulli: i fluidi reali

Perdite di carico concentrate dovute alla

formazione di vortici (mescolamento intenso)

Altri esempi: valvole, curve, divergenti, contrazioni brusche,

imbocco e sbocco…

Generalmente risulta :

H = l V2/2g (formula di Borda)

Il TdB per una corrente di fluido reale

• Nelle condotte “lunghe” (L/D > 500÷1000) le perdite di

carico continue prevalgono largamente su quelle

concentrate.

• In generale, il TdB si generalizza come:

Em(s) = Em(0) –f0

sJ ds – n

iliVi

2/2g

Perdite di carico

continue

Perdite di carico

concentrate

Problema: determinare J e li …

EsercizioSi calcoli la portata defluente nella condotta riportata in figura supponendo che il

dislivello tra il pelo libero del serbatoio di alimentazione ed il baricentro della sezione

di efflusso sia pari a Y=5 m.

Si tracci la linea dei carichi totali e la linea piezometrica.

Nello svolgere i calcoli, si assumano trascurabili le perdite di carico dovute agli sforzi

tangenziali sul contorno della condotta, e si adoperino le seguenti espressioni per la

valutazione delle perdite di carico concentrate:

III

IV

II

IDATI

LI=1.2 m DI=100 mm

LII=1.4 m DII=250 mm

LIII=1 m DIII=250 mm

LIV=1.4 m DIV=50 mm

Perdita di imbocco g

VH

25.0

2

Perdita per allargamento di sezione

g

VVH

2

2

21

Perdita per cambio di direzione (90°) g

VH

295.0

2

Obiettivi formativi essenziali

• Definizione delle grandezze cinematiche

che caratterizzano un campo di moto

• Interpretazione energetica e grafica del

carico idraulico totale (trinomio di

Bernoulli)

• Teorema di Bernoulli (traiettoria, corrente,

fluido ideale e reale): ipotesi ed

applicazione.