127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

download 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

of 22

Transcript of 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    1/22

    MODELADO CINEMATICO Y DINAMICO DE UN ROBOT MVIL OMNI-DIRECCIONAL.V. F. Muoz Martnez, G. Gil-Gmez y A. Garca Cerezo. Instituto Andaluz de Automtica nzada y Robtica. Dpto. Ingeniera de Sistemas y Automtica. Universidad de Mlaga. Parue Tecnolgico de Andaluca. C/ Severo Ochoa 4, 29590. Mlaga e-mail: [email protected]

    ResumenEl presente trabajo describe una metodologa para la construccin de los modelos cinemtico y dinmico de los robots mviles con ruedas. Se plantea como una extrapolacin e los procedimientos, ya consolidados, que persiguen el mismo fin pero en el campo de los manipuladores. Con el objeto de ilustrar su uso, se aplica al clculo delos mencionados arquetipos de un robot mvil onmidireccional. Posteriormente, seutilizarn para el estudio del comportamiento dinmico del mencionado vehculo mediante la simulacin de unas maniobras bsicas. Palabras Clave: Robots mviles, cinemtica, inmica, modelado, simulacin.

    1

    INTRODUCCIN.

    En el marco el IV Curso de Especializacin en Automtica de CEA-IFAC, celebrado en Mlaga el pasado mes de junio, el primero de los firmantes imparti una parte del cursillo dedicado a la robtica mvil. Este trabajo recoge los aspectos ms relevantes presentados en ese mbito en lo relativo al modelado de robots mviles con ruedas. Para ilustrar los mtodos presentados, se ha elegido una configuracin de un robot mvil

    holnoma de tres grados de libertad, por presentar la complejidad adecuada desde el punto de vista instructivo. En este sentido, se enfatiza el enfoque didctico del trabajo, cuya principal aportacin radica en que recoge e integra diversas ideaspresentadas en la bibliografa en una sola metodologa de modelado. La idea que prevalece es que siga un camino paralelo a la sistemtica que se emplea habitualmenteen los robots manipuladores. Desde el punto de vista de la cinemtica, la principal diferencia entre un manipulador y un robot mvil estriba en la naturaleza y disposicin de sus

    articulaciones. El primero suele modelarse en forma de cadena cinemtica abierta,compuesta de una alternancia de slidos rgidos con elementos articulares de un sologrado de libertad (prismtico o de revolucin). Por el contrario, la estructura cinemtica de un robot mvil, se puede considerar como un conjunto de cadenas cinemticas

    cerradas, tantas como ruedas en contacto con el suelo. Asimismo, la interaccin rueda-suelo se define, desde el punto de vista cinemtico, como una articulacin planar con tres grados de libertad, donde uno de ellos, generalmente sin controlar,representa los deslizamientos laterales. Estos dos hechos dificultan la construccin del modelo, ya que se dan efectos no presentes en los manipuladores. En concreto, cobra gran importancia la perfecta sincronizacin de la velocidad de las ruedas para alcanzar una localizacin determinada, factor que no resulta determinanteen el mbito de los manipuladores. Esto se debe a que el avance a lo largo de un grado de libertad cartesiano, se consigue gracias a la combinacin de las aportaciones de las velocidades lineales de las ruedas al punto de gua del vehculo. Por esta razn de complejidad, muchos autores emplean soluciones cinemticas particularizadas para cada configuracin especfica de vehculos. Entre estas, se destacan los modelos sncronos [6], la disposicin de Ackerman [4], o el modelo de la bicicleta [2]. E

    n cuanto a la dinmica, resulta muy complicado tener en cuenta todos los efectos que se producen en el vehculo, y en particular la interaccin con el terreno. Asimismo, aunque se posea un modelo preciso, la cantidad de parmetros que entran en juego hacen poco factible la verificacin del mismo. As, se tiende a considerar que, cuando el robot mvil navega con una velocidad reducida, muchos de los comportamientos no lineales resultan despreciables. Entonces, se toma un modelo de primer orden para caracterizar el cambio de velocidad y de direccin del vehculo [2] [4].

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    2/22

    El presente trabajo muestra, en primera instancia, una metodologa para la obtencindel modelo cinemtico de un vehculo con ruedas basada en la matriz jacobiana de sus ruedas [3] (apartado 2), para despus dar paso al clculo del modelo dinmico mediante la ecuacin lagrangiana de sistemas mecnicos (apartado 3). Para ilustrar ambos procedimientos, se resuelve un robot holnomo (apartado 4), de cuyo estudio se extrae la estructura del sistema de control de los movimientos para ejecutar una serie de maniobras bsicas (apartado 5). Finalmente, se presentan las conclusiones msrelevantes sobre el trabajo detallado en esta comunicacin (apartado 6).

    eje v x indica los deslizamientos laterales, y w z la velocidad rotacional que se produce cuando el vehculo realiza un giro. En el caso de una rueda convencional, la componente vx, se supone siempre nula, sin embargo, existen ruedas diseadaspara eliminar la mencionada restriccin. Este es el caso de la presentada en el esquema de la figura 2.

    Eje de giro

    2.

    MODELADO CINEMATICO.Vista lateral

    Rodillos

    La cinemtica, se centra en el estudio del movimiento del robot en funcin de su geometra. Entre las aplicaciones inmediatas se encuentran la posibilidad de utilizarlo como modelo matemtico de partida para el diseo del controlador, la simulacin delcomportamiento cinemtico del vehculo, o para establecer las ecuaciones de los clculos odomtricos. Normalmente, se consideran las siguientes limitaciones para la construccin del modelo cinemtico: El robot se mueve sobre una superficie plana. Nxisten elementos flexibles en la estructura del robot (incluidas las ruedas). Las ruedas poseen uno o ningn eje de direccionamiento, de manera que este ltimo siembre es perpendicular al suelo. No se consideran ningn tipo de fricciones en elementos mviles del vehculo, o contra el suelo.

    Vista frontal

    Figura 2. Rueda omnidireccional. La rueda omnidireccional se define como una rueda estndar a la cual se la dotado de una corona de rodillos, cuyos ejes de giro resultan perpendiculares a la direccin normal de avance. De este modo, al aplicarle una fuerza lateral, los rodillos giran sobre si mismo y permite que la componente vx no sea nulo, y por tanto, se elimina la restriccin de no holomicidad. Estetipo de rodadura es la utilizada en el robot omnidireccional que se detallar encuarto apartado de este artculo. En definitiva, de forma independiente al tipo derueda empleado, la cinemtica directa tiene como objetivo el clculo de la velocidad lineal y angular del robot a partir de las correspondientes aportaciones de cada una de sus ruedas. Con este objetivo, se toma la estructura genrica de un robot mvil presentada en la figura 3.Cuerpo del robot

    El comportamiento cinemtico se establece en el principio de que las ruedas en contacto con el suelo se comportan como una articulacin planar de tres grados de libertad, tal y como aparece en la figura 1. wzRueda

    {Ri } v iElemento de direccin

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    3/22

    {Di }

    {Fi }

    wi

    Suelovx

    vy

    vC{C}

    bi

    Figura 1. Rueda en contacto con el suelo. Al suponerse la rueda como un elementorgido, sta entra en contacto con el suelo en un solo punto, que sirve de origen al sistema de referencias solidario dibujado en la figura 1. Se utiliza para definir los tres grados de libertad antes mencionados. La direccin vy determina el sentido normal de avance de la rueda; el

    w C

    Articulacin Rueda

    { M}

    Figura 3. Estructura cinemtica genrica.

    En ella, se aprecia un conjunto de elementos de direccin, en cuyos extremos se encuentran fijadas

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    4/22

    las ruedas, y unidos al cuerpo del robot mediante una articulacin. En aras de determinar las posiciones y orientaciones relativas de los componentes descritos, se asocia a cada uno un sistema de coordenadas solidario, tal y como se describena continuacin: {C}: Asociado al cuerpo del robot, y se utiliza como punto de guadel vehculo. Su posicin cartesiana (xC, y C) y su orientacin qc con respecto a un sistema global de trabajo {M} corresponden a la del robot. {Fi}: Fijado en el punto de anclaje de la articulacin de la rueda i-sima. El ngulo ai representa la orientacin relativa de este sistema con respecto a {C}, y su vector de posicin es li. {Di}: Solidario al elemento de direccin de la rueda i-sima. El ngulo de direccin, enre el sistema actual y el anterior, es bi. El vector de posicin resulta nulo ya que {Fi} y {Di} son coincidentes. {Ri} : Sistema ubicado en el punto de contactode la rueda i-sima con el suelo, tal y como aparece en la figura 1. El ngulo de direccin, y el vector de posicin, entre el sistema actual y el anterior, son respectivamente gi y di.

    vCx c i vCy = si wC 0

    -si ci 0

    piy - pix 1

    v -l iy ix v l ix iy = w -1 i bi

    (4)

    VC = J i qiDonde vCx y v Cy son las componentes de v C; p ix y p iy las de pi; l ix y l iylas de li; y por ltimo vix y viy las de vi. Adems, ci e s i representan, respectivamente, al coseno y al seno del ngulo qi. Sin embargo, la velocidad lineal de larueda se obtiene a partir del giro de la misma gracias a la accin de un motor. Por ello, en el caso de una rueda convencional, tractora y no direccionable, con un radio ri y una velocidad de giro wix, se define la matriz de conversin de la actuacin W i de la siguiente manera:

    0 -r qi = W i qi = i 0 0

    0 0 w ix 1 wi 0

    (5)

    Asimismo, en la figura 3, aparecen marcado en trazo grueso los vectores de velocidad lineal y angular generados por la rueda i-sima vi y wi, expresados en el sistema {Ri}; la velocidad angular b i debida al giro del elemento de direccin y referida a {Di}; y las velocidades lineal y angular vC y wC del punto de gua del rob

    ot {C}. Expuestos estos extremos, la velocidad lineal del robot debida al conjunto formado por el elemento de direccionamiento i-simo y su rueda asociada, vienedada por:

    Como se observa en (5), esta permite introducir la actuacin wix y anular la accinde direccin debida a b i . En el supuesto de que la rueda sea direccionable, se emplear la matriz Wi presentada en la ecuacin (6).

    0 -r i = W i qi = i q 0 0

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    5/22

    0 0 1 0

    0 w 0 ix w 0 i bi 1

    (6)

    vC = R(q i ) v i + w i pi + b i l i

    (1)

    donde R() representa una matriz de rotacin en el plano, pi y qi se definen como el vector de posicin y la orientacin del sistema {Ri} visto desde {C}, tal y como se indica a continuacin:

    La matriz jacobiana de la rueda i-sima J i, direccionable o no direccionable, sedefine como el modelo que permite calcular la velocidad del robot VC, en su punto de gua, en funcin de las componentes del vector qi . As, en el caso de una ruedano direccionable, se combinan las ecuaciones (4) y (5) como se indica seguidamente:

    pi = l i + R(a i + b i ) d i

    q i = ai + bi + g i

    (2)En cuanto a la velocidad angular del robot, slo participan las velocidades homnomas de la articulacin y de la rueda: (3) w = b -wC i i

    ri si W = -r c Ji = Ji i i i 0

    piy pix 1

    (7)

    Por otro lado, en el supuesto de una rueda direccional, se emplean las ecuacione

    s (4) y (6) para obtener:

    Las ecuaciones (2) y (3), se organizan en forma de matriz jacobiana, tal y comose indica a continuacin:

    ri si W = -r c Ji = Ji i i i 0

    piy pix 1

    - l iy l ix -1

    (8)

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    6/22

    Si se consideran N ruedas en contacto con el suelo, a partir de la expresin (4),se plantea un sistema de ecuaciones sobredeterminado, donde el vector de velocidades VC tiene que satisfacer simultneamente las siguientes restricciones:

    anterior dedicado al modelado cinemtico, y se distinguen los siguientes efectos: Pares inerciales y de coriolis. Pares de actuacin. Fricciones viscosas. Interaccindel contacto de las ruedas con el suelo.

    I J1 0 K I V = 0 J 2 L M C K O O I 0 K 0 A VC = B

    0 q1 0 q2 K M J N qN

    (9)

    Se destaca que no se tienen en cuanta los pares gravitacionales, porque se supone que el vehculo viaja por una superficie plana y horizontal. Se toma como paradigma la ecuacin dinmica en coordenadas generalizadas, tal y como se entiende en el mbito de los brazos manipuladores:

    En la ecuacin anterior I representa la matriz identidad de tres por tres.

    A continuacin, se emplea una aproximacin por mnimos cuadrados con el objeto de enco

    ntrar una solucin para el vector VC: M (q C ) PC + C q C ,q C PC + t d = B(q C )t - A T (q C )h (13)

    (

    )

    donde:

    VC = ( A T A) A T B q 1442443J

    -1

    (10)

    M (q C ) : es la matriz de pares inerciales de dimensin N por N. C q C ,q C : es la matriz de Coriolis y fuerzas

    VC = J qDonde la matriz J representa el jacobiano completo del vehculo. Al resultado de la ecuacin anterior, se le impone que el error de estimacin resulte nulo, lo que implica suponer que el robot se encuentra actuado de forma adecuada para que no deslice. Es decir, si se define la funcin W(A) como:

    (

    )

    centrpetas de dimensin N por N.

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    7/22

    t d : vector N componentes de pares de perturbacin que define la interaccin de lasruedas con el suelo u otros efectos no considerados.t : vector de actuacin de R elementos, coincidente con el nmero de actuadores.B(q C ) : matriz de transferencia de las entradas. Convierte del espacio actuacinal espacio de las coordenadas generalizadas. Por tanto, su dimensin es de N porR. A(q C ) : Jacobiano que modela las restricciones del movimiento del vehculo. Se obtiene a partir del estudio del modelo cinemtico del vehculo. Si existen M limitaciones, su dimensin es de M por N.

    W( A ) = A A A

    (

    T

    )

    -1

    A -I

    T

    (11)

    La condicin de no deslizamiento se expresa como sigue:

    W( A ) B q = 0

    (12)

    En resumen, dado el sistema mostrado en (9), en el supuesto de que el producto W( A) B resulte nulo, es indicativo de que slo existe una solucin, lo que implica ue existe una sola rueda en contacto con el suelo. Esta situacin no es la habitual, por lo que se busca que la solucin calculada en (10) sea consistente. Por ello, tendr que verificar la relacin (12), lo que significa que el robot se desplaza sin que ninguna de sus ruedas deslice lateralmente. Por ltimo, se habla tambin en este mbito de la matriz jacobiana inversa, utilizada para el clculo de la actuacin requerida en las ruedas para que el robot alcance un determinado estado de velocidad.

    h : Vector de restricciones de fuerzas que afectan a las limitaciones del movimiento.

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    8/22

    3.

    MODELADO DINMICO.

    La dinmica considera la evolucin de la posicin, velocidad y aceleracin del robot enrespuesta a los pares de actuacin de las ruedas. Se consideran las mismas restricciones impuestas en el apartado

    Como se aprecia, el esquema del modelo dinmico inverso presentado en (13) resultamuy similar al utilizado de forma habitual con los robots manipuladores. Las diferencias se encuentran en el miembro derecho de la ecuacin, donde se tienen en cuenta dos hechos exclusivos de los robots mviles: no todas las ruedas tienen porqu estar actuadas, y existen restricciones holnomas y no holnomas al movimiento delvehculo. El primero de ellos se soluciona con la matriz B(qC), y el segundo con la inclusin de A( q C). En cuanto a las coordenadas generalizadas PC, se utiliza la posicin y orientacin

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    9/22

    del vehculo vistas desde el sistema global de referencias {M}, es decir PC=(xC, yC, qC). Para la construccin del modelo, se considera el chasis del vehculo como unconjunto H de slidos rgidos, donde cada elemento se describe con los siguientes parmetros: mi: Masa del elemento. Ii: Matriz de momentos de inercia referida stema de gua del vehculo. Pgi: Posicin del centro de masas referido al sistema de gua. Vgi: Velocidad del centro de masas referida al sistema de gua.

    referido a las velocidades del robot PC , sino a las de sus ruedas q [1][5]. Coneste propsito, se define la matriz de transformacin S(qC): (18) La relacin entras aceleraciones se obtiene al derivar (18) con respecto al tiempo: PC = S(q C ) q + S(q C ) q(19)

    PC = S(q C ) q

    El paso al espacio de las velocidades del robot se efecta mediante la premultiplicacin de la matriz S(qC) a ambos miembros de la igualdad de la expresin (13). Estaoperacin ofrece como resultado la siguiente ecuacin:

    wgi: Velocidad angular referida al sistema de gua.

    M q + C q +t d = t

    (20)

    As, se define la energa cintica del elemento isimo del chasis como:

    ki =

    1 1 mi VgiT Vgi + mi VgiT (w gi Pgi ) + w gi I i w gi 2 2

    (14)

    El primer sumando de la expresin anterior se refiere ala energa cintica traslacional, el ltimo a la rotacional, y el del en medio la aportacin del centro de masas al

    no coincidir con el sistema de gua. De esta manera, la energa cintica total del vehculo:

    Como se observa, guarda el formato de la ecuacin dinmica, con una matriz de masa M, otra de Coriolis C , un vector de perturbaciones t d , y los pares de entradas de los actuadores t . La relacin que guardan estos nuevos elementos con los anteriores es la siguiente: M = S T (q C ) M (q C ) (q C ) S

    C = S T (q C ) C q C ,q C S(q C ) +

    (

    )

    +S T (q C ) M (q C ) S(q C )

    (21)

    K=

    kH

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    10/22

    i

    (15)

    t d = S T (q C )t dLas matrices A(qC) y B (qC) desaparecen de la ecuacin (20), ya que se verifican las siguientes igualdades, por la construccin de la matriz S(qC):

    La ecuacin lagrangiana, particularizada para el caso de la energa potencial nula (el robot se mueve en un plano horizontal), se define como:

    S T (q C ) A T (q C ) = 0 S T (q C ) B(q C )t = t

    d K K = t i - a ji l j dt PCi PCi j =1m

    (22)

    (16)

    i = 1K ndonde i denota el i-simo elemento del vector PC y n es su longitud.

    La nueva expresin del modelo dinmico inverso presentada en (20) si resulta cmoda pa

    ra simularla, ya que resulta anloga a la empleada para los robots manipuladores.

    Mediante el uso de la expresin (16), se obtienen directamente los valores de lasmatrices de pares inerciales y de Coriolis:

    4.

    ROBOT OMNIDIRECCIONAL.

    4.1. MODELO CINEMTICO. La configuracin geomtrica del robot omnidireccional objeto del estudio cinemtico y dinmico, se presenta en la figura 4.

    K M (q C ) PC = PC PC PC K P - K C q C ,q C

    (17)

    (

    )

    Sin embargo, la ecuacin (13) resulta incmoda de simular, debido fundamentalmente ala presencia de la matriz A(qC) y los multiplicadores lagrangianos h. Por ello,tambin se habla del modelo dinmico en el espacio de las coordenadas del robot. Este arquetipo se distingue porque el modelo no se encuentra

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    11/22

    x1 y1 L {R3} x3 {C} y2 {R2} X x2 Y {R1}

    Se sustituyen los parmetros de la tabla 1 en la expresin (24), y se obtienen los jacobianos de cada una de las ruedas. 0 -r J1 = R 0 0 0 3 R 2 R J2 = 2 0 3 R 2 R J3 = 2 0

    0 L 1r 2 3 r 2 0 3 L 2 L 2 1

    (25)

    y3

    Figura 4. Esquema cinemtico del robot Como se aprecia en la mencionada figura, laconfiguracin cinemtica del robot se define por una estructura triangular equiltera, en cuyos vrtices se han dispuesto tres ruedas omnidireccionales, como la presentada en la figura 2. La distancia del origen del sistema {C} (situado en el centro geomtrico) a cualquiera de las ruedas viene dada por L. Todas las ruedas se definen como no direccionables, y por tanto, se produce la igualdad entre los siguientes sistemas coordenados {Fi}={Di}={Ri}, es decir, para toda i, se cumple b i

    = 0 y gi = 0. La tabla 1 recoge los valores de los parmetros del modelo cinemtico.Rueda 1 180 0 0 (0,0,0) Rueda 2 60 0 0 (0,0,0)L L 3 , 2 2 ,0

    (26)

    r 2 3 r 2 0

    -

    3 L 2 L 2 1

    (27)

    Las matrices J1, J2 y J3, se componen segn la ecuacin (9), y se resuelve el jacobiano completo del vehculo como aparece detallado en (10). 0 R J = 3 0 r 3 0 L 3 1 3 R a R 6 0 r 6 r a 0 L a L 6 1 3 R a R 6 0 r 6 r a 6 1 3

    ai bi gi di li

    Rueda 3 -60 0 0 (0,0,0)L -L 3 , ,0 2 2

    0 0

    (28)

    a=2 3

    (- L,0,0)

    vehculo

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    12/22

    Tabla 1. Parmetros configuracin cinemtica. Con el objeto de obtener el jacobiano dela rueda, se multiplica la matriz J i , detallada en (4), por la matriz de conversin de la actuacin para ruedas onmidireccionales presentada en la expresin (23).

    Esta matriz jacobiana relaciona la velocidad del con las de giro que aparecen enlas ruedas: actuado; deslizamiento en el eje vertical, y de los rodillos. Destede el punto de vista del control interesan exclusivamente los grados actuados. Para obtenerlo se imponen la condicin de no deslizamiento de la expresin (12). W ( A) B q = 0 0 - 2R 3 0 0 R 3 0 0 R 3 1 3 R a R 6 0 R 3 R 3 0 R a R 6 0 r 6 r a 0 r 3 r 3 0 r 6 r a 0 L a L 6 1 3 L 3L 3 2 3 L a L 6 1 3 R a R 6 0 R a R 6 0 R 3 R 3 0 r 6 r a 0 r 6 r a 0 r 3 r 3 0L - a L - 6 1 3 L - a L - q = 0 6 1 3 L 3 L 3 2 -

    0 r 0 w -R 0 0 ix i = Wi q w 0 0 1 ir w iz 0

    (29)

    (23)

    0 0 r 3 0 0

    La matriz W i modela, en este ejemplo, una rueda de radio R, omnidireccional, co

    n rodillos de radio r a noventa grados, tractora y no direccionable. Por otro lado, con respecto al vector q , wix es el grado de actuacin del motor, wir la velocidad angular de giro de los rodillos y wiz el deslizamiento rotacional en el eje vertical de la rueda. De este modo, el jacobiano de la rueda i-sima queda reflejado como sigue:

    R si J i = -R c i 0

    r c i r si 0

    li -l i 1

    (24)

    El sistema anterior resulta indeterminado, ya que existen tres filas que son combinacin lineal de las otras. Por ello, se despejan las variables no actuadas de las ruedas en funcin de las que si lo son. Se obtiene como resultado:

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    13/22

    w1r = w 2r = w 3r =

    R(w 3x - w 2x ) r 3 R(w1x - w 3x ) r 3 R(w 2x - w1x ) r 3

    w1z = -

    R(w1x + w 2x + w 3x ) 3L

    w 2z = w1z w 3z = w1z

    (30)

    En la expresin anterior cc y s c representan el coseno y el seno de q C. Si ahorase considera como coordenada generalizadas el vector:

    PC = ( xC

    yC

    w1x

    w 2x

    w 2x )

    T

    (35)

    Al sustituir el resultado (30) en el jacobiano completo (28), se obtienen las velocidades globales en funcin de las actuaciones:R(w 2x - w 3x )

    Se reordena la expresin (34) para deja una ecuacin homognea en funcin de las coordeadas generalizadas. La matriz de dicha ecuacin define a A(qC), tal y como se indi

    ca abajo:

    3 R( 2w1x - w 2x - w 3x ) vCy = 3 R(w1x + w 2x + w 3x ) wC = 3L

    vCx =

    (31)

    R R 0 -c c -sc 3 3 P = 0 2R R R C sc -c c 4444 3 44444 3 3 1 4 2 3A (q C )

    (36)

    La ecuacin (31) en forma matricial constituye el jacobiano actuado del robot mvilen estudio.J 644474448 R R 0 3 3 w1x vCx R R 2R - w 2x vCy

    La energa cintica del robot, se obtiene a partir de las ecuaciones (14) y (15). Enla ecuacin (36) aparece dividida en los tres trminos que la componen.

    K = K T + K R + KG(32)

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    14/22

    (36)

    donde cada uno de los trminos se define a continuacin. El primero de ellos, la energa cintica traslacional, K es: T

    La caracterstica de holonomicidad del robot hace que el jacobiano del vehculo, (32), sea no singular. El jacobiano inverso actuado se obtiene por la inversin:J 644474448 1 L - 0 R R v w1x Cx 1 L 3 w 2x = 2R - 2-1

    KT =

    1 M ( xC + y C ) 2 M = mC + 2mW

    (37)

    Los parmetros mW y m C constituyen la masa del robot y la de las ruedas respectivamente. La componente rotacional, K R aparece en la expresin (38).

    (33)

    KR =

    4.2. MODELO DINMICO. En este subapartado se plantea el clculo de todas las

    1 2 1 2 2 2 Iq C + I W (w1x + w 2x + w 3x ) + 2 2 1 2 + I r (w r1 + w r22 + w r23 ); 2 I = I C + 3( I m + mW b 2 )

    (38)

    matrices dinmicas presentes en la ecuacin (13). En primer lugar, se aborda la definicin de la matriz de las restricciones de movimiento del robot A(qC). Para ello,se estable la siguiente relacin:

    Donde Iw e Ir se definen como las inercias de la rueda y el rodillo referidas a

    sus ejes de giro respectivos. IC e Im son las inercias del robot sin ruedas respecto al punto gua y de giro de las ruedas respecto a su eje vertical. El ltimo elemento de la energa cintica, la aportacin del centro de masas al sistema de gua del obot, se detalla en (39).

    R -1 (q C ) PC = J q cc -sc 0 sc cc 0 R(w 2x - w 3x ) 3 0 x ) 0 yC = 3 1 q C -R(w + w + w ) 1x 2x 3x 3L

    (34)

    c c KG = -sc 0

    sc cc 0

    0 xC 0 yC 1 0

    T

    0 Pgx 0 Pgy mC q C Pgz

    (39)

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    15/22

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    16/22

    Seguidamente, se calculan las matrices de inercias y de Coriolis mediante la ecuacin de Lagrange y las expresiones en la frmula (17), que se desarrollan, respectivamente en (40) y (42).

    M 0 M (q C ) = F4 F4 F4

    0 M F3 F3 F3

    F4 F3 F1 F2 F2

    F4 F3 F2 F1 F2

    F4 F3 F2 PC F2 F1

    2R R R R R c c + sc c c + sc x C - 3 s c 3 3 3 3 R R R R w1x - c c 3 3 w 2x w1x = 3 3 3 1 0 0 w 2x w 3x S (q C )

    (45)

    (40)

    La derivada de S(qc) se obtiene de forma inmediata:

    2R cc 3 - 2R sc S (q C ) = 3 0 0 0 R R sc + c c 3 3 R R c c + sc 3 + c c 3 3 R R c c + sc 3 3 0 0 0

    donde los trminos Fi se desarrollan a continuacin:

    (46)

    IR 2I R + IW + r 2 2 9L 3r IR 2 I r R 2 F2 = 2 9L 3r 2 s P Rm - c c Pgx RmC F3 =c gy C 3L c c Pgy RmC + sc Pgx RmC F4 = 3L F1 =

    2

    2

    (41)

    se requiere una matriz de Coliolis cuadrada con vistas a transformarla al espacio de las velocidades del robot. Para ello, se reordena (42) tal y como se indicaseguidamente: C (q ,q ) PC = 0 0 a(w1x + 2w 2x + 2w 3x ) a(w 2x + 2w 3x ) aw 3x 0 0 b(w2x + 2w 3x ) b(w 2x + 2w 3x ) bw 3x 0 0 0 0 0 PC (47) 0 0 0 0 0 0 0 02 b = mC (-Pgyc c - Pgx sc ) 2 9L a = mC ( Pgy sc - Pgxc c )

    La matriz de Coriolis, toma los siguientes valores:

    q 2 m (P s - P c ) gx c 2C C gy c q C mC (-Pgyc c - Pgx sc ) C q 0 0

    (

    )

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    17/22

    (42)

    Los componentes de la expresin (13) terminan de definirse en las expresiones de la frmula (43).

    0 0 1 0 0 B(q C ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 T

    T

    (43)T

    t d = [t p1 ,t p 2 ,t p 3 ,t p 4 ,t p 5 ] t = [t 1 ,t 2 ,t 3 ] h = [h1 , h2 ]

    Para obtener el modelo dinmico inverso en el espacio de las velocidades del robotse ha de calcular M y C tal como se indica en la expresin (21). La matriz de masas:M 11 M = M 12 M 13 M 11 = M 12 M 22 M 23 M 13 M 23 M 33

    Para el clculo del modelo dinmico en coordenadas del robot, se aborda la definicinde la matriz de conversin S(q ). Se parte de la relacin que existe c entre las velocidades del robot vista desde el espacio del mundo y de estas vistas desde el espacio del mismo robot. PC = R(q C ) J q R(w 2x - w 3x ) R(2w1x - w 2x - w 3x ) cc sc 3 3 xC 2x - w 3x ) R(w 2x - w 3x ) yC = sc + cc 3 3 q C R(w1x +

    (44)

    4R 2 4R 2 R2 2R 2 MmC Pgx + 2 I + I W + 2 I r 9 9L 9L 3r 2R 2 R2 R2 R2 M 12 = M+mC -Pgx + 3Pgy + 2 I - 2 I r (48) 9 9L 9L 3r 2R 2 R2 R2 R2 M 13 = MmC Pgx + 3Pgy + 2 I - 2 I r 9 9L 9L 3r 4R 2 2R 2 R2 2R 2 M 22 = M+ mC Pgx + 3Pgy + 2 I + I W

    - 2 I r 9 9L 9L 3r 2R 2 2R 2 R2 R2 M 23 = M+ mC Pgx + 2 I - 2 I r 9 9L 9L 3r 4R2 2R 2 R2 2R 2 M 33 = M+ mC Pgx - 3Pgy + 2 I + 2 I r 9 9L 9L 3r

    ( ( ( (

    )

    ) ) )

    Por otro lado, la matriz de Coriolis C :

    De (44) y teniendo en cuenta que PC = S(q C ) , q obtenemos:

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    18/22

    C C12 C13 11 C = C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 2R 3 6R 2 mC Pgy (w1x +x ) mC Pgy ; 2 27L 27L 2R 3 C12 = mC Pgy (w 2x + 2w 3x ) + 27L2 C11 = 3R 2 2 3R2 M mC -Pgx 3 + Pgy + ; 27L 9 2R 3 3R 2 C13 = mC Pgyw 3x + mC Pgx 3 + Pgy + 2 27L 27L -

    angular, qC nula. La figura 5 muestra esta maniobra.

    (

    )

    (

    )

    2 3R 2 M ; 9 R3 C 21 = mC -Pgx 3 + Pgy (w1x + 2w 2x + 2w 3x ) + 27L2 6R 2 2 3R 2M mC Pgy ; 27L 9 3 R C 22 = mC -Pgx 3 + Pgy (w 2x + 2w 3x ) + 27L2 3R 2 + mC -Pgx 3 + Pgy 27L R3 C 23 = mC -Pgx 3 + Pgy w 3x + 27L2 3R 2 2 3R 2 M + mC Pgx 3 +Pgy + 27L 9 R3 C 31 = mC Pgx 3 + Pgy (w1x + 2w 2x + 2w 3x ) + 27L2 6R 2 2 3R 2 MmC Pgy + ; 27L 9 R3 C 32 = mC Pgx 3 + Pgy (w 2x + 2w 3x ) + 27L2 3R 2 2 3R 2 M+ mC -Pgx 3 + Pgy ; 27L 9 R3 C 33 = mC Pgx 3 + Pgy w 3x + 27L2 3R 2 + mC Pgx 3 +Pgy ; 27L -

    ( ( ( ( ( (

    ) ) )

    Figura 5. Ejemplo de movimiento lineal. (49) Rotacin del vehculo: Se incluye el giro del robot sobre cualquier punto, sobre si mismo (radio nulo) y sobre una de sus ruedas. Se muestra en la figura 6. Estos desplazamientos se consiguen con lasvelocidades tanto lineales como angulares constantes.

    ( (

    )

    )

    ) ) )

    ( (

    )

    )

    5.

    SIMULACION DINMICA.

    Figura 6. Giro con un punto central cualquiera: Desplazamiento lineal con variacin de la orientacin: El robot se mueve en cualquier direccin y sentido a la vez quegira sobre si mismo (ver figura 7). Esto es posible gracias a que el robot es omnidireccional. Se consigue con una velocidad angular constante, mientras que lavelocidad lineal varia segn la siguiente expresin:wC = cte; vCx = vCx 0c c + vCy 0 scvCy = -vCx 0 sc + vCy 0c c

    El robot mvil en estudio es un sistema holnomo que permite movimiento omnidireccio

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    19/22

    nal, y por tanto, cualquier combinacin de velocidades angulares y lineales. Todoello permite que el robot realice cualquiera de los posible desplazamientos quepuede realizar un slido rgido en el plano. Se han definido las siguientes maniobras elementales: Desplazamiento en lnea recta: definido por una velocidad lineal con componentes, vCx y vCy, constantes para especificar la direccin y sentido del movimiento; y con velocidad

    (50)

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    20/22

    Donde vCx 0 y vCyo , son las componentes de la velocidad lineal con las que se mueve el robot en el espacio de coordenadas generalizadas.

    6.

    CONLUSIONES.

    Este artculo ha presentado una metodologa integrada y sistemtica para la construccide los modelos cinemticos y dinmicos de los robot mviles con ruedas. En todo momento, se ha pretendido guardar un paralelismo con las teoras, ya consolidadas, en el mbito de los robots manipuladores. As, se facilita el camino para el uso de la ingeniera de control en aras del diseo de controladores convencionales. Asimismo, se ha ilustrado el uso de los procedimientos descritos mediante su aplicacin a unaconfiguracin de robot mvil holnoma. Sobre los resultados obtenidos se han descritocuatro tipos de maniobras para analizar la movilidad del vehculo. Agradecimientos

    Figura 7. Desplazamiento lineal con variacin de la orientacin. Rotacin del robot arededor de un punto sin cambio en su orientacin: En este caso la velocidad angular del robot es nula, aunque est girando alrededor de un punto, pues no vara su orientacin (Figura 9). Esto implica que las velocidades varan a lo largo de la trayec

    toria, segn la expresin (39). En ella, P 0x y P 0y representan la posicin del centro de giro visto desde {C}.

    Los autores desean agradecer a cada uno de los componentes del comit de cursos dela CEA-IFAC la confianza depositada en el primero de los firmantes para participar como ponente en el IV Curso de Especializacin en Automtica. Asimismo, los autores agradecen a D. Jess Morales Rodrguez su atenta ayuda. Referencias [1] Hu T., Yang S. X. (2002). Real-time torque control of nonholonomic mobile robots with obstacle avoidance. Proc. Of the 2002 IEEE International Symposium on IntelligentControl, pp 81-86. Vancouver, Canada. [2] Martnez-Rodrguez J.L. (1994). Seguimiento automtico de caminos en robots mviles. Tesis doctoral. Universidad de Mlaga. MuirP. F., Neuman C. P. (1986) Kinematic of wheeled mobile robots. The Robotics Institute. Carnegie Mellon University.Internal report CMU-RI-TR-86-12. Ollero-Batur

    one A. (2001) Robtica: Manipuladores y robots mviles. Marcombo. ISBN 84-267-1313-0. Yun X., Yamamoto Y. (1993). Internal dynamic of a wheeled mobile robot. Proc.Of the 1993 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and System,pp 1288-1294, Yokohama (Japan). Zhao Y., BeMent S-L. (1992) Kinematics, dynamicsand control of wheeled mobile robots. Proc. Of the 1992 IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp 91-96, Nice (France).

    wC = 0; 6DP 8 7 T vCx = wC POy - vCy dt ; 0 DP 678 T vCyOy Ox

    (51)

    [3]

    [4]

    [5]

    Figura 9. Rotacin del robot alrededor de un punto sin cambio en su orientacin.

    [6]

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    21/22

  • 7/30/2019 127417770 Cinematica y Dinamica Del Un Seguidor de Linea

    22/22