Meccanica

•  Cinematica del punto materiale

•  Dinamica

•  Energia e leggi di conservazione

•  Statica dei corpi rigidi

Velocità, accelerazione, moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato, moto circolare uniforme

Forza, principi della dinamica, descrizione di diversi tipi di forza, attrito, quantità di moto, momento di una forza

Lavoro di una forza, energia cinetica e potenziale, conservazione dell’energia, rendimento

Condizioni di equilibrio di un corpo rigido, leve

Meccanica La meccanica si occupa dello studio del

•  moto dei corpi (cinematica e dinamica) •  equilibrio dei corpi (statica)

Moto di un corpo rigido esteso definito dal moto del suo baricentro

x z

y mi

xi

yi

tot

iiB M

mxx ∑=

xB

yB

Cinematica del punto materiale

x y

z

s

sx

sy

sz

Posizione: definita da un vettore s

Traiettoria: definita dall’insieme dei vettori posizione s1, s2, s3, ... agli istanti t1, t2, t3,...

Vettore spostamento:

x

y

s1

s2

Δs

Legge oraria: s = s (t)

Δs = s2 – s1

Velocità Velocità media:

ΔtsΔ

ttssv

!!!" =

−−

=12

12

x

y

s1

s2

v

Velocità istantanea:

0→

=Δt

i Δt

sΔ v!

!

x

y

vi s

In ogni punto la velocità è tangente alla traiettoria

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡sm Unità di misura:

Accelerazione Accelerazione media:

tv

ttvvam Δ

Δ=

−−

=!!!

!

12

12 sm ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

Accelerazione istantanea:

at

ac a

x

y

at = accelerazione tangenziale (variazione modulo di v )

ac = accelerazione centripeta (variazione direzione di v )

a = at + ac

0→ΔΔΔ

=t

i tva!

!

Unità di misura:

Moto rettilineo uniforme

v = costante

In una dimensione:

a = 0 v = cost s = so + v·t

so = posizione iniziale a t=0

a

t v

t s

t

so

Moto rettilineo uniforme

Esempio: m s sm v o 35 ==

Spazio percorso dopo Δt=10 s ?

a = 0 v = cost s = s0 + v·t

mssmm 53 10 5 3 s =⋅+=

Moto rettilineo uniformemente accelerato

a = costante

2

21attvss

tavva

oo

o

++=

⋅+=

= cost

In una dimensione:

so = posizione iniziale a t=0

vo = velocità iniziale a t=0

v

t

a

t

s

t

vo

so

Moto rettilineo uniformemente accelerato

caduta di un grave in assenza di attrito

h

20 2

1 tghss

tgvga

⋅==−

⋅=

=

28,9smga ==

ght 2

=

Esempio: h = 10 m

m/s 9,8m t 2

102 ⋅=

ssm2 tgv 43,18,9 ⋅=⋅=

sm14=

s 1,43=2 s04,2=

Accelerazione di gravità

Vo = 0

Moto circolare uniforme

cost=v! no accelerazione tangenziale at=0

costω ==ΔtΔθ

rv

=ω ac

v

v

f1T = [s]

T2π 2π ω == f

θ

v

r

r v ω=

n.giri/s =f

Velocità angolare

Velocità lineare

Frequenza

Periodo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡srad

[s-1 = Hz]

v cambia in direzione acc. centripeta : r

rr

rac2

2

22 vv

===ω

Moto circolare uniforme

s02.0s501

Hz5011T 1 ====

−f

srad16,314

s02,02

T2π 2π ω =

π=== f

smmv 83,622,0

srad 314,16 R =⋅==ω

Hz50sgiri50

s60giri3000

mingiri3000

sn.giri =====f

Esempio: Centrifuga di raggio R = 20 cm, che ruota a 3000 giri/minuto

a) frequenza:

b) periodo: Tempo per compiere 1 giro completo

c) velocità angolare:

d) velocità lineare o periferica:

Velocità di un punto sul bordo della centrifuga

Forza È quella grandezza fisica che,

applicata ad un corpo,

a)  ne causa la variazione della condizione di moto, oppure

b)  ne provoca la deformazione. È una grandezza vettoriale !

Esempio: composizione di due forze.

R è chiamata risultante delle forze applicate al corpo.

21 FFR!!!

+=R

F

F1

F2

Principi della dinamica 1. Principio di inerzia: un corpo non soggetto a forze permane

nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

2. Legge di Newton: am !!= F Unità di misura (S.I.):

2smkg ⋅

= 1 newton N1

3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria

Forza peso

gmP !!= Accelerazione di gravità:

g = 9,8 m/s2

P

Forza gravitazionale:

221

dmmG F=

m1

m2

d F

F

2

211-

kgNm 106,67 G ⋅=

mg R

mMG F 2T

T ==

g = 9,8 m/s2

Terra F

Forza centripeta

Forza di reazione vincolare

ac

v

r

m

F

rvmamF c

2

=⋅=

P = mg

N = -P Forza di reazione del vincolo sempre perpendicolare alla superficie.

P

N

Forza d’attrito N = -P

P

F FA FA = µ N

R = F - FA

R

θ

P P

P

N = P FA

θ P = P·cosθ

P = P·sinθ

FA= µ N

µ coefficiente d’attrito FA opposta allo spostamento

Forza elastica

S

l Δl F

F = - k x x = spostamento rispetto alla posizione di equilibrio F = forza di richiamo

llΔ

= Y SF legge di

Hooke

SF

llΔ

rigido

elastico

Y piccolo

Y grande

più elastico

più rigido

(caucciù Y~107 N/m2)

(ossa Y~1010 N/m2)

In generale:

Per una barra:

Forza elastica N 2000

sm 9,8 kg 210F 2 ≈⋅=

Per ogni gamba F ~ 1000 N

Esempio:

S=10 cm2 l = 40 cm

Y= 0,9·1010 N/m2 compressione

Y= 1,6·1010 N/m2 trazione

llΔ

=Y SF

mN100,9

cm 40cm 10

N 1000 YS

F 2

102

⋅⋅=⋅=Δ

llcm 100,9

m 104 11

24

⋅⋅

=

m 100,9

104 9

4

⋅

⋅= m

0,94 9410 −⋅= m 10 4,44 -5⋅=

=

m 10100,9m 104 2-11

24

⋅⋅

⋅=

1 cm = 10-2 m

F F

Lavoro di una forza

m

F F s sF L !!

⋅=(grandezza scalare)

θcos//

//

FFsFsFL

=

Δ⋅=Δ⋅=!!Δs

F

F//

θ F Δs F Δs

L=F·Δs L=0

mN 1 (joule)J 1 ⋅=Unità di misura (S.I.)

Energia •  Rappresenta la capacità che un corpo ha di compiere lavoro.

•  Concetto comune a molti campi della fisica, può presentarsi in molteplici forme:

•  energia associata a un corpo in movimento (energia cinetica)

•  energia associata alla posizione di un corpo (energia potenziale)

•  energia di legame molecolare (energia chimica)

•  energia associata alla massa (energia nucleare, E=mc2)

•  energia termica e calore

•  .........

•  Ogni processo naturale coinvolge trasformazioni di energia.

•  In un sistema isolato l’energia totale si conserva sempre (principio di conservazione dell’energia).

Energia meccanica

Energia cinetica

Energia potenziale gravitazionale

v

m 2

21 vmEc =

h

mghEp =

Principio di conservazione dell’energia meccanica

In assenza di forze di attrito, l’energia

meccanica totale ET di un sistema si conserva Ec+Ep= ET = cost

ho

h´

oc

p

mghmvE

E

==

=

2

21

0

L = F·s L = P·h = mg·h

hss

gttvss

gtvv

=−

++=

+=

0

200

0

21 2

21 gth

gtv

=

=

2

21mvmgh =

ghv 2=

0== cop E mghE

( )221 vmE hmgE cp ʹ′=ʹ′=

Conservazione dell’energia meccanica

In assenza di forze d’attrito:

h

m Ep = mgh ; Ec = 0

Ep = 0 ; Ec = 1/2mv2 = mgh

v=cost

In presenza di forze d’attrito:

h

m Ep = mgh ; Ec = 0 Ep = 0 ; Ec = 1/2m(v')2 < mgh

v diminuisce

v' < v

Ep+Ec+Q = cost energia dissipata (per attrito)

Potenza meccanica

La potenza rappresenta il lavoro compiuto da una forza nell’unità di tempo

tL PΔ

=sJ 1 (watt) W1 =Unità di misura (S.I.):

Esempio:

ENEL: Potenza installata: 3 kW=3·103 W Si pagano: kWh

1 kWh = 103 W·3600 s = = 103 W·3,6·103 s =

= 3,6·106 W·s = 3,6·106 J

Rendimento η di una macchina Macchina: sistema che trasforma energia di vario

genere in lavoro meccanico.

Nel corpo umano: i muscoli energia chimica lavoro meccanico

Totale

utile

EL

=η η < 1

Esempio: Lutile=25 J η = 20% = 0,20 = 20/100

Econsumata totale = Lutile/η = 25/0,2 = 125 J

Rendimento: rapporto tra il lavoro meccanico utile prodotto dalla macchina e l’energia ET impiegata dalla macchina:

Statica

tot

iiB M

mxx ∑=

Il baricentro è il punto di applicazione della forza peso P

x z

y mi

xi

yi

xB

yB

La statica studia le condizioni di equilibrio dei corpi estesi

21 FF!!

−=F2

F1 ???

Corpo esteso

F1

F2

Punto materiale

Condizioni di equilibrio di un corpo rigido

r r ∑ = 0F!

F

F equilibrio traslazionale

∑ = 0M!

equilibrio rotazionale

Momento meccanico di una forza F

b (braccio)

fulcro

r θ F r M!!!

∧=

θ senFrM ⋅⋅=!!!

bF ⋅=!

θ senrb ⋅=!

[N·m] (S.I.)

90o

Applicazioni

Stabile (M=0)

Instabile (M≠0)

Equilibrio di un corpo su un piano: la verticale del baricentro deve cadere nella base di appoggio

Leve

∑ = 0M!

Le leve

Fr

br bm

Fm

Fr : forza resistente

Fm: forza motrice R= - (Fr +Fm)

∑ = 0M!

mmrr bFbF ⋅=⋅

mr MM =

∑ = 0F!

0=++ mr FFR!!!

Leve di I tipo

br bm

br > bm Fr·br = Fm·bm

m

rrm bbFF ⋅=

> 1

Fm > Fr (leva svantaggiosa)

In una leva di I tipo si può anche avere Fm < Fr (leva vantaggiosa) [dipende dalla posizione del fulcro]

Nel caso specifico:

Leve di II tipo bm

br

Fr

Fm

Fr·br = Fm·bm

br < bm

m

rrm bbFF ⋅=

< 1

Fm < Fr (leva vantaggiosa)

Leve di III tipo

bm

Fr br

Fm

Fr·br = Fm·bm

br > bm

Fm > Fr (leva svantaggiosa)

Esempio

bm

Fr = m·g = 3·9,8 N ~ 30 N br

Fm m=3 kg

br = 30 cm = 0,3 m

bm = 3 cm = 0,03 m

∑ = 0M!

Fr·br = Fm·bm

m

rrm bbFF ⋅=

m 0,03m 0,3 N 30 ⋅=

gomito

m 103m 103N 30 2-

-1

⋅

⋅⋅=

N 30 2110 +−⋅= N 300 N1030 1 =⋅=

R

Reazione vincolare

∑ = 0F!

Fr + Fm + R = 0

R = Fm – Fr = 300 N – 30 N = 270 N