(Meccanica Applicata Alle Macchine)Meccanica Delle Vibrazioni

8/10/2019 (Meccanica Applicata Alle Macchine)Meccanica Delle Vibrazioni

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Lezione XX

Sistemi vibranti a 1gdl-Moto libero e forzato non smorzato

Corso di Meccanica Applicata alle Macchine

A.A. 2000/2001

1

EFFETTI DELLA DEFORMABILIT DINAMICA(MECCANICA DELLE VIBRAZIONI)

Per le macchine viste finora, quasi sempre possibile effettuare uno studio considerandole a un sologrado di libert, dove ogni elemento ritenuto rigido.

In realt essi sono approssimati, pertanto i nostri schemi sono approssimati.

La deformabilit degli elementi componenti pu essere voluta o indesiderata: a es. le sospensioni diun veicolo sono elementi volutamente deformabili. Purtroppo, per le difficolt che insorgono nellostudio e per gli effetti collaterali, sono ben pi importanti i casi di deformabilit dinamica nonvoluta, quando un elemento che il progettista vorrebbe rigido si deforma, dando luogo di regola amoti vibratori indesiderati e dannosi.

Per lo studio di questi moti vibratori necessario fare qualche considerazione sui modellimatematici atti a descrivere tali fenomeni.

Spesso la difficolt consiste nellassociare un modello deformabile a qualcosa che nella realt ilprogettista vorrebbe rigido. Ovviamente questi schemi devono essere i pi semplici possibili ed possibile suddividerli in due gruppi: modelli continui (a infiniti gradi di libert) derivanti dalla Scienza delle Costruzioni, dove

riferendoci, a esempio, a una trave, ogni punto di questa pu muoversi e ogni sezione puruotare. Per descriverne il comportamento necessario conoscere una funzione f(x) e delleequazioni alle derivate parziali. Tali modelli vengono usati per lo studio delle vibrazionitrasversali di travi o funi;

modelli discreti (a n finiti gradi di libert) che contrastano con losservazione del fenomenofisico secondo la quale la deformabilit e linerzia sono distribuite nel modello fisico.

Per fortuna, molte volte possibile ricondurre il modello reale a sistemi a uno o pochi gradi dilibert.

Si tenga presente che per utilizzare modelli a uno o pochi gradi di libert, necessario primaeffettuare lo studio con schemi a un numero maggiore di g.d.l. e capire sotto quali condizioni si putornare a pochi g.d.l. senza perdere informazioni importanti per la risoluzione del problema.


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

2

Un velivolo in atterraggio,

a esempio, possiede una

velocit che non maiperfettamente orizzontalee per questo i carrelli sono

dotati di opportunimolleggi che hanno ilcompito di dissiparelenergia associata allacomponente verticale ditale velocit.

Se analizziamo in primaapprossimazione limpatto

del velivolo sul campodatterraggio, trascurando, nel breveintervallo di tempo in cui avvienelimpatto, leffetto dovuto allacomponente orizzontale dellavelocit si nota che ilcomportamento dinamico delsistema, grazie alla grande rigidezzadella fusoliera rispetto agli elementielastici del treno datterraggio, puessere rappresentato dalla seguenteequazione differenziale.

0 =

Altro esempio noto dalla Meccanica Razionale quello del pendolo per il quale la scritturadellequazione di equilibrio alla rotazione attorno alla cerniera porta a

2 sin 0 =

che per piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio,definita da , pu essere linearizzata

sin

0

=

dando luogo a una equazione differenziale lineare simile a quella givista per il velivolo.


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

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Trattiamo il problema delle vibrazioni a un solo g.d.l. in modo generale, studiando per ora il caso

che sul sistema dinamico, considerato in assenza di attriti o smorzamento, non agiscano forze

esterne.

Per mettere in equazione il modello meccanico,

dobbiamo scegliere la coordinata libera,ovviamente la , e sceglierne lorigine. Vedremo inseguito il motivo, ma risulta comodo misurare lacoordinata libera (ovvero le coordinate libere insistemi a pi gradi di libert) a partire dallaposizione di equilibrio statico.

Consideriamo un moto traslatorio della massa e scriviamo lequazione di moto del sistema. Vi sonodue metodi per ricavare le equazioni di moto: gli equilibri dinamici; i principi energetici.

Utilizziamo, per ora, gli equilibri dinamici. In una generica posizione deformata x(t), agiranno sulcorpo la forza dinerzia e la forza di richiamo elastico della molla, ovvero

0 0 = + =

equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui soluzione del tipo

( ) =

dove una costante arbitraria e un parametro da determinare.

Sostituendo la soluzione nellequazione di partenza

2 0 + =

che, trascurando la soluzione banale 0 ( ) 0 (0 ) = = < < che rappresenta lequilibriostatico, porta a

2

1,2 0

= = =

La soluzione dellequazione differenziale quindi data dalla combinazione lineare delle duesoluzioni date da

e

0 0

1 2( )

= +

Lo spostamento x(t) una quantit reale, mentre per la forma dellequazione essa complessa percui affinch ( ) possiamo ricordare che possiamo sempre moltiplicare la soluzionedellomogenea per una costante arbitraria e quindi

e

possono essere reali o complesse.

, , ,


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

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Sviluppando trigonometricamente la soluzione

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 2 0 0 1 2 0 1 2 0( ) cos sin cos sin cos sin = + + = + +

Si vede che prendendo

e

complessi e coniugati (

;

) si ottiene

( ) ( )1 0 0 2 0 0 0 0( ) cos sin cos sin 2 cos 2 sin = + + =

ovvero

0 0( ) cos sin = +

Poich entrambe le funzioni armoniche hanno lo stesso argomento:

( )0 0 0( ) cos sin cos = + = +

con

2 2

= +

=

Le due costanti presenti nella soluzione (), ovvero lampiezza e la fase sono determinateattraverso le condizioni iniziali.

Supponiamo che al tempo

( )0

= = e ( ) 00 = =

sostituendo si trova

0 = e0

0

=

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

C

T0

fase


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Lezione XX



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Il moto risulta armonico con periodo 00

2

= , indipendente dalle condizioni iniziali mentre

detta pulsazione propria del sistema.Consideriamo ancora lo stesso oscillatore gi

visto, ma supponiamolo anche soggetto allagravit.

Nel precedente esempio avevamo posto loriginedella coordinata libera () dove nulla la forzaesercitata dalla molla.

Anche in questo caso porremo loriginedovela molla scarica.

Lequazione di equilibrio dinamico porta a

0 + = + =

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa.

Se prendiamo ora come origine della coordinata libera la posizione di equilibrio statico sar

= +=

con

=

che sostituite portano a

0 0

+ + = + =

Ovvero, se non interessa lo studio del moto derivante in seguito allapplicazione di una forzacostante nel tempo, conviene scegliere lorigine della coordinata libera nel punto di equilibriostatico in quanto si ottiene sempre unequazione differenziale omogenea.


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

6

Sempre in assenza di smorzamento e di attriti,

vediamo ora cosa succede se applichiamo al

sistema una forza esterna che supponiamo

per semplicit armonica, ovvero

0( ) sin =

con

enoti.

Lequazione di equilibrio per la massa diventa

( ) 00 sin + = + =

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa il cui integrale generale datodallintegrale generale dellomogenea associata pi lintegrale particolare, ovvero

( ) ( ) ( )

= +

0 0( ) cos sin ( )

= + +

con

( ) sin

=integrale particolare che sostituito nellequazione di partenza

2 00 2

sin sin sin

+ = =

quindi

00 0 2

( ) cos sin sin

= + +

Il moto risultante risulta quindi somma di due funzioni armoniche, una con pulsazione

e laltracon pulsazione e il moto risultante non armonico (per

diverso da ) e neppure, in generale,periodico a meno che una non sia multipla dellaltra

( ) ( )sin 2sin 1 cos sin 2 =

, , ,


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

7

00 0 2

( ) cos sin sin

= + +

Caso

e

02


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

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Per effetto degli inevitabili smorzamenti, lintegrale generale dellomogenea associata tende a zerocol crescere del tempo (lo vedremo nelle lezioni successive) per cui a noi interessa studiare ilcomportamento vibratorio a regime, ovvero il solo integrale particolare

0

2( ) sin

Analizziamo lampiezza del moto a regime al variare dei parametri

0

0

2 22

2

0

1 1

= = =

se la pulsazione della forzante tende a zero, lampiezza di vibrazione tende a un valore parialla deformazione indotta dalla forza

applicata staticamente; se cresce, aumenta, fenomeno dellamplificazione dinamica, fino a un asintoto verticale per

0 (risonanza); se 0 0

Attenzione se siamo in risonanza, la soluzione cade in difetto in primo luogo perch il

comportamento della molla lineare per piccoli spostamenti.

0 1 2 3 4 5

F0/k

0


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Lezione XX



A.A. 2000/2001

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Inoltre, dobbiamo ricordare che le costanti A e B devono essere calcolate per la soluzione generale:

0 0( ) cos sin ( )

= + +

per cui

( )

( ) 0

0 (0)

0 (0)

= + = +

supponendo per t=0 tanto lo spostamento, quanto la velocit siano nulle si ottiene

002

0

20

1( ) sin sin

1

=

che fornisce una forma indeterminata del tipo0

0per 0

Applicando la regola di LHopital si ottiene

( )0 0

0 002

0

20

1lim ( ) lim sin sin sin cos

2

1

= =

per cui sarebbe comunque necessario tempo infinito, anche in condizioni ideali di linearit delleforze elastiche, per raggiungere ampiezze infinite.

Ricordando, infine

0

0

2 22

2

0

1 1

= = =

si definisce coefficiente di amplificazione dinamica

2

2

0

1( )

1

= =


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Lezione XXI

Sistemi vibranti a 1gdl-Moto forzato non smorzato


A.A. 2000/2001

1

MOTI FORZATI PER SPOSTAMENTO DI VINCOLO

Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto a un osservatore assoluto con una legge

nota.

Definiamo lo spostamento assoluto della massa emisuriamo gli spostamento dalla posizione di equilibrio

statico che sar definita da

( ) ( ) ( ) 0

= = =

Scrivendo lequazione di equilibrio dinamico, otteniamo

( ( )) 0 ( ) = + =

equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa del tutto simile a quella gi vista nelmoto forzato.

Per un osservatore relativo, lequazione di equilibrio dinamico, diventa invece

( )( ) 0 ( )

+ = + =

Supponiamo ora che il moto del vincolo sia armonico di ampiezza

( ) sin =

per cui

sin + =

che ha come integrale particolare

( ) 2 sin sin

= =

ove2

=

lampiezza di vibrazione nel moto assoluto della massa .

In termini adimensionali

2

2

0

1

1

=

del tutto analogo al coefficiente di amplificazionegi definito.

Quando una molla potr essere definita rigida, quando non vi moto relativo e quindi

2 2

01

, , ,


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

2

Consideriamo ora losservatore relativo

2( ) sin

+ = =

e quindi

( )2

2sin sin

= =

e in termini adimensionali

2

2

0

2

2

0

1

=


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

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Moti forzati dovuti a squilibri rotanti

Supponiamo di avere una macchina con una parte rotante,

avente massa propriae uno squilibrio

Supponiamo che la velocit angolare sia costante.

Laccelerazione assoluta della massa eccentrica sar

2

= + = +

Avremo quindi, misurando gli spostamenti , positivi verso

lalto, a partire dalla posizione di equilibrio statico,

( )2 2( sin ) 2 0 2 + = + + =

e lintegrale particolare, in condizioni di regime, varr

( ) ( )

2

2( ) sin sin

2

= =

+

e quindi

( )

2

2 2

0

22 2

02

0

( ) ( )1

= =+ +

Si noti che la macchina al variare della velocit trasmetter al terreno una forza variabile nel tempo

pari a

2 sin

=

che forzer il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzer a

sua volta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso.

Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia

baricentrico (e anche principale dinerzia come vedremo) la forzante si annulla e il fenomeno

scompare in quanto lequazione di moto risulta essere la soluzione di

( ) 2 0 + + =


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

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MOTI FORZATI DOVUTI A FORZANTI A GRADINO

Con riferimento al solito schema, vediamo quale sia la risposta dinamica del sistema a una forza

del tipo

0


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

5

SERIE DI FOURIER E TRASFORMATA DI FOURIER

Richiamiamo alcuni concetti della serie e della trasformata di Fourier.

Consideriamo una funzione periodica tale per cui

( ) ( ) = per

Detta frequenza fondamentale

quella che soddisfa la seguente equazione

1

1

=

con poche eccezioni, tale funzione pu essere espansa in serie di Fourier, ovvero

( )01

( ) cos2 sin 22

=

= + +dove

1

= = per

e i coefficienti

e

possono essere calcolati integrando sul periodo

0

0

2( )cos2

2( )sin2

=

=

mentre

0

0

1( )

2

= =rappresenta il valor medio della funzione.

( )0

1( ) cos2 sin 22

== + +


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

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Tenendo conto che le due funzioni armoniche hanno il medesimo argomento, la serie di Fourier pu

anche essere espressa come

( )01

( ) cos 2

=

= +

dove

00

2

=

2 2

= + per

1tan

=

Si pu riscrivere lespressione in forma polare

2( )

=

=

dove

00

2

=

( ) 2

0

1 1( )

2

= = per

Questultima espressione basata sulla relazione di Eulero

cos sin =

Anche se reale, la funzione pu essere sempre espressa in forma complessa usando

componenti a frequenze positive e negative (ovvero controrotanti) il cui risultante sempre reale. In

particolare

= per

= per

dove


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

7

2 21

2 2

= + =

1tan

=

Essendo la funzionereale

= =

*

= = =

dove

il complesso coniugato di


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

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ESEMPI NOTEVOLI DI SERIE DI FOURIER


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

10

TRASFORMATA DI FOURIER

Supponiamo ora che la funzione sia non periodica. La serie di Fourier pu essere estesa

considerando che il periodo . Questo porta allintegrale di Fourier

( ) 2( )

= - doveesiste se

( )

<

chiamato la trasformata diretta (o spettro) di. Noto, la trasformata inversa di Fourier

diforniscetramite

2( ) ( )

= -

Si noti che pur essendoreale complesso

( ) ( ) ( )

= +

dove

( ) ( ) cos ( ) ( )cos2

= =

( ) ( ) sin ( ) ( )sin 2

= = ovvero

( )( ) ( ) =dove || lampiezza dello spettro e la fase dello spettro.


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

11

TRASFORMATA FINITA DI FOURIER

Da un punto di vista pratico non possibile campionare una storia temporale di lunghezza infinita,

ma invece campionerrecord temporali di pari lunghezza .

Le propriet statistichedellinsieme dei dati possono

essere facilmente calcolate a

qualsiasi specifico istante

,

mediando sullinsieme. Per

esempio il valor medio e il

valore quadratico medio

allistante

sono dati da

1 1

1

1( ) lim ( )

=

=

( ) ( )2 21 11

1lim

=

= Inoltre si pu anche calcolare

il prodotto medio dei dati agli

istanti

e

, quantitchiamata autocorrelazione al

ritardo ,

( )1 1 11

, lim ( ) ( )

== +

Nel caso speciale che tutte le propriet statistiche e lautocorrelazione siano costanti al variare di

,

il fenomeno detto stazionario.

Se in sovrappi tali valori coincidono con quelli calcolati su un generico record

0

1lim ( )

= 2 2

0

1lim ( )

=

0

1( ) lim ( ) ( )

= +il fenomeno detto ergodico ed quindi possibile estrarre tutte le informazioni di nostro interesse

da una generica storia limitata (finita) nel tempo da

Supponendo il fenomeno stazionario, potremo stimaredalla trasformata finita di Fourier


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

12

2

0

( ) ( , ) ( )

= =

Per quanto detto, si pu dimostrare che alle frequenze finite

= risulta

( , )

=

Ovvero se la storia temporale limitata tra potremo calcolare lo spettro solo a un

numero finito di frequenze ottenendo cos una serie di Fourier con periodo fondamentale T.

Inoltre se campionato per un numero discreto di punti intervallati di , la lunghezza del

record diventa e questo automaticamente introduce il fatto che potremo calcolare tutte le

frequenze discrete fino a

, frequenza detta di Nyquist, e che i conti considerano i dati

come priodici con periodo pari a ovvero si introduce una frequenza fondamentale, che pu

essere arbitraria,

e gli spettri sono calcolati frequenze discrete equispaziate di

Per cui, in pratica, il record continuo sostituito da una sequenza discreta di dati

{ } ( ){ }

= per

e la trasformata continua di Fourier rimpiazzata dalla sequenza discreta di Fourier

{ ( ){ }

= per

dove

2

1

( )

=

= = per 2

1

( )

=

= = perdove i valori

per sono calcolabili da quelli per 2 per la circolarit delle funzioni

trigonometriche.


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Lezione XXI



A.A. 2000/2001

13

Per quanto detto se il nostro solito sistema a un grado di libert forzato da una forzante generica

avremo che

( )/ 2

0 1

1

( ) cos 2

=

+

e lequazione di moto sar rappresentata dalla soluzione dellequazione differenziale lineare a

cofficienti costanti

( )/ 2

0 1

1

cos 2

=

+ = +

ovvero, lintegrale particolare

( )/ 20

121 1

( ) cos 2(2 )

=

= +


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Lezione XXII

Sistemi vibranti a 1 gdl


A.A. 2000/20011

Applicando una forza unitaria allestremo della molla inferiore, questa siallungher relativamente ai suoi estremi indeformati di 2 = 1/k2, mentre

la prima molla si allungher di 1 = 1/k1, per cui per effetto di una forzaunitaria lestremo inferiore della molla si allungher di =1 +2 = 1/k1+ 1/k2.

Ovvero

keq= 1da cui

keq= 1/=1 2

1 2

+

La forza unitaria applicata in O si divide cos:

b/(a + b) applicata allestremo della molla k1 ; a/(a + b) applicata allestremo della molla k2.Per cui gli allungamenti di k1 e k2 sono

( ) 1

+e

( ) 2

+e quello del punto O

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

1 2 1 2 1

1

+ = + + + + + +

Quindi

( )2

0 2 2

2 1

+=

+

Se nota la freccia statica stdella molla per effetto del peso della massa m, opportuno ricordare che

kst= mg

ovvero

k/m = g/st= 02


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Lezione XXII



A.A. 2000/20012

Supponiamo di avere un cilindro con una sezione di areaA, lunghezza l e di massa m zavorrato in

modo che possa traslare solo verticalmente. Immerso in un fluido di

densit , la sua faccia superiore si disporr a unaltezza h dal pelolibero in modo tale che

mg =gA(l-h)

ovvero detta * la densit del materiale di cui composto il cilindro,risulta

*Alg =gA(l-h)

che permette dal rilievo di h di misurare la densit incognit di unliquido (galleggiante idrometrico).

Se il galleggiante idrometrico iniziasse a vibrare verticalmente dallaposizione di equilibrio statico, per un abbassamentox della faccia superiore la spinta di Archimedeverso lalto sincrementerebbe di

spinta=gAx

e quindi, trascurando leffetto della viscosit, lequazione di moto sarebbe la soluzione di

- - 0 =

che potrebbe suggerire un altro metodo per calcolare la densit incognita del fluido dalla misuradiretta della frequenza propria del cilindro immerso.

E facile, poi, dimostrare che la misura dellafrequenza propria per piccole oscillazionipermette facilmente di calcolare il momentodinerzia rispetto a qualsiasi punto di moltiorgani di macchine, quali bielle e volani.

h


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Lezione XXII



A.A. 2000/20013


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Lezione XXII



A.A. 2000/20014

Spesso conveniente, specie per sistemi meccanici complessi composti da pi organi tra lorocollegati, ricorrere a metodi energetici come lequazione di Lagrange nella sua prima o secondaformulazione.

Se il sistema meccanico conservativo, ovvero non vi dissipazione di energia, la sua energiatotale in vibrazione libera in parte cinetica e in parte potenziale e questultima dovuta al lavorodi deformazione elastica o al lavoro eseguito in opposizione a un campo di forze, come per esempioa quello gravitazionale.

Assumendo che tutte le particelle di fluido abbiano in ogni istantela stessa velocit, lenergia cinetica del fluido in moto pu esserescritta come

212

=

dove l = lunghezza della colonna di fluido,A = area della sezionetrasversale di fluido,= densit del fluido.

Lenergia potenziale invece uguale e opposta al lavoro fatto persollevare dix il fluido

U =gAx2

ovvero, applicando Lagrange ( 0

+ = )

(2 / ) 0 + =

Se il cilindro omogeneo rotola senza strisciare, poichR= r

lenergia cinetica pu essere scritta come

( ) ( )22

2 22 21 31

2 2 2 4

= + =

e quella potenziale, riferita alla posizione di equilibrio statico (= 0)U = mg (R r) (1 cos)

Per cui otteniamo lequazione differenziale non lineare

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3

sin 02 2

+ = + + =


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Lezione XXII



A.A. 2000/20015

Per il comando della distribuzione ad

aste e bilancieri di un motore a C.I.,

dove non sono trascurabili n la massadellasta e della molla, n lelasticitdellasta, il sistema formato dalla

valvola e dal bilanciere, consideratientrambi come infinitamente rigidi,pu essere facilmente, come gi visto,ricondotto alla sola massa traslante mA

( )2

22 2

2

1 1 1

2 2 2

+= + =

ovvero

2

2

+=

Lenergia potenziale sar data daquella dellasta pi quella della molla

( )2

21 1( )

2 2

= +

Se la massa della molla non fosse trascurabile, sappiamo che il suo estremo superiore ha una

velocit

, mentre quello inferiore ha velocit nulla, per cui dettal la lunghezza della molla nella

posizione di equilibrio statico, lenergia cinetica di un elementino di massa mdy posto a unadistanzay dallestremo fisso della molla pari a

2( )2

=

nellipotesi di moto a pulsazione molto inferiore alla frequenza propria della molla.Per cui

2 2

2

0

12 2 3

= =

2 2

2

0

1

2 2 3

= =

ovvero un terzo della massa totale della molla (ml), nelle ipotesi fatte, incrementa lenergia cinetica

y(t)


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Lezione XXII



A.A. 2000/20016

della valvola.

Risultato non dissimile si ottiene per lasta.Da qui si comprende, ricordando i risultati ottenuti nellanalisi del moto per spostamento di vincolo,

2

2

0

1

1

=

che la frequenza propria del treno di comando (asta + bilanciere + molla + valvola) deve avere una

frequenza propria 0 la pi alta possibile affinch il rapporto

(dove Y lampiezza della

generica componente armonica derivante dalla scomposizione secondo Fourier del moto delvincolo) si mantenga costante al variare della velocit angolare dellalbero a camme.Da qui la drastica soluzione di azionare direttamente la valvola con lalbero a camme, eliminando

lasta e spesso il bilanciere, e luso delle leghe di titanio (peso specifico 4,87 g/cm3

) al posto diquelle dacciaio (peso specifico 7,86 g/cm3).


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Lezione XXII



A.A. 2000/20017

Durante la vibrazione libera, lenergia dissipata in vari modi e un moto con ampiezza costante nonpu essere mantenuto senza che venga continuamente fornita energia. difficile una formulazione esatta del fenomeno dissipativo, in quanto questo pu essere funzionedello spostamento, della velocit, dello stato di deformazione o di altro.

Un modello ideale, spesso soddisfacente, quello dello smorzamento viscoso secondo il quale laforza dissipativa espressa da

= = Dove r utilizzato nella bibliografia italiana, mentre c in quelladi lingua anglo-sassone.

Lequazione di equilibrio dinamico del nostro solito oscillatorediverr quindi

0 =

che pu essere risolta usando la solita forma

x (t) = Aet

che sostituita nellequazione differenziale di partenza porta allequazione lineare

20

+ + =

che ammette come soluzioni non banali (per 0 e valide per qualsiasi valore di t)2

1,22 2

=

e la soluzione generale per la vibrazione libera smorzata data da

1 2( )

= +

doveA eB sono costanti arbitrarie dipendenti dalle condizioni iniziali.2

1,22 2

=

Smorzamento critico

Il comportamento delloscillatore smorzato dipende dal valore numerico del radicando


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Lezione XXII



A.A. 2000/20018

2

2

Come parametro di riferimento utilizzeremo lo smorzamento critico rc, ovvero quel valore di rche

riduce il radicando a zero.

02

= =

Lo smorzamento reale del sistema r pu essere espresso in forma adimensionale, in funzione dellosmorzamento critico rc, dal rapporto

= r/rc

detto anche indice di smorzamento. Ne consegue

02 2

= =

( )21,2 01 =

La soluzione generale diventa

( )

( )( )

2 20 00

0

1 1

2

0

( )

sin 1

= + =

= +

e il moto risulta periodico con pulsazione2

01

= e ampiezza decrescentenel tempo con legge esponenziale.


31/112

Lezione XXII



A.A. 2000/20019

In questo caso le due radici sono reali ma opposte e

la soluzione generale diventa

( ) ( )2 20 01 1( )

+

= +

Il moto non pi oscillatorio, ma si smorza coltempo in modo esponenziale.

In questultimo caso le due radici sono reali e coincidenti. In questo caso lintegrale generaleassumer la forma

0( ) ( )

= +

Per cui il moto libero non pi oscillatorioma si smorza anchesso in modoesponenziale.

Confrontando per lo stesso oscillatorelandamento del moto libero al variaredellindice di smorzamento per le

medesime condizioni iniziali (x(0) = x0 e (0) 0 = ) si nota che: indipendentemente dallecondizioni iniziali il moto liberosi annulla sempre dopo un tempopi o meno lungo; a parit di condizioni iniziali,il tempo necessario per smorzarsidipende da ;

a parit di condizioni iniziali,per =1 il tempo minimo(strumenti di misura, artiglierie,ecc.)


32/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20011

Abbiamo gi dimostrato che la soluzione a regime per uneccitazione di tipo armonico ha una

validit del tutto generale in quanto:

uneccitazione periodica scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nellapratica, in una serie di eccitazioni armoniche (serie di Fourier);

i sistemi meccanici di cui ci occupiamo sono descritti da equazioni differenziali lineari e quindivale il principio di sovrapposizione degli effetti;

Quindi, la risposta del sistema meccanico fornita dalla sovrapposizione delle risposte alle singole

componenti armoniche in cui sviluppabile la generica eccitazione periodica.

Inoltre, tali risposte, in condizioni di regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gli

integrali generali delle omogenee associate, per effetto delle inevitabili dissipazioni, tendono

comunque a zero in un tempo pi o meno lungo.

Lequazione differenziale del moto pu essere scritta come

0 0sin = =

la cui soluzione data da

x (t) = xg(t) + xp (t)

Tralasciamo, per quanto pi volte detto, il contributo

dellintegrale generale dellomogenea associata e quindi a regime

( ) ( )

con

( ) ( ) ( )sin

= = = =

conXecalcolati sostituendo nellequazione differenziale lintegrale particolare.


33/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20012

Sostituendo ( )

= nellequazione differenziale di partenza

0

=

otteniamo

2

0( ) + + =

che ammette come soluzione valida per tutti i valori di t

( ) ( ) ( )

( )0 02 2 22

= = + +

con

1

2tan

=

Ricordando che:

0 = frequenza propria del sistema equivalente non smorzato

= fattore di smorzamento

02

= smorzamento critico

00

= freccia del sistema per effetto della forzante F0 a frequenza nullaotteniamo

22 20

0 0

1

1 2

= +

e

1 0

2

0

2

tan

1

=


34/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20013

22 20

0 0

1

1 2

= +

1 0

2

0

2

tan

1

=

Possiamo rappresentare graficamente landamento dellintegrale particolare in funzione del

rapporto

0

(N.B. nel disegno

e c=r)

Si notano tre zone:

per

0

< 1; per

0

= 1 e per

0

> 1


35/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20014

Effettuiamo unanalisi qualitativa del comportamento del sistema studiando il diagramma vettoriale

delle forze agenti sulla massa.

0

Langolo di fase piccolo e quindi la forza

della molla a equilibrare la forzante esterna cui

si somma la forza dinerzia

0

= 1

Langolo di fase pari a 90 per cui la

forzante esterna equilibrata dalla forza

viscosa. Lampiezza di vibrazione a regime

pari a

0 0

0 2

= =

0

> 1

Langolo di fase si avvicina a 180 e la forza

impressa equilibrata quasi integralmente

da quella dinerzia


36/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20015

Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a

un macchinario ruotante con velocit angolare posto sulla massa di fondazione.

La forza trasmessa al terreno al generico tempo t, sar

( )( )

= + = + = + =

dove

( )

( ) ( )

22

0

2 22

+=

+

ovvero

2

0

22 20

0 0

1 2

1 2

+

= +


37/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20016

Come gi visto questa forzante armonica applicata al terreno lo porter a vibrare con unampiezza b

ovvero con una legge del tipo

( ) sin =che forzer le strutture circostanti

Per questa struttura lequazione di equilibrio

( ) ( ) 0 =

( ) + + = + = +

e il relativo integrale particolare

( )

( ) ( )

22

2 22

+=

+

ovvero

2

0

22 2

0 0

1 2

1 2

+

= +

Si noti che pur essendo due fenomeni diversi, la soluzione del tutto analoga a quella della forza

trasmessa

2

0

22 20

0 0

1 2

1 2

+

= +


38/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20017

In entrambi i casi interessa che la soluzione sia 1 tanto per la forza trasmessa al terreno quanto

per la trasmissibilit

=

I parametri di progetto sono: per la macchina eccitatriceM, e me

per la struttura eccitata m, be ovviamente che uguale a quellodella macchina sbilanciata.

Diagrammiamo landamento di

= al variare di

0

. Si nota

che per

0

2

= la

trasmissibilit pari a 1 e

che al crescere del rapporto

tra le frequenze la

trasmissibilit scende fino a

tendere asintoticamente a

zero per

0

.

Questo fatto avviene

indipendentemente dal

valore dellindice di

smorzamento il cuieffetto quello, al suo

aumento, di ridurre

lampiezza di vibrazione

per

0

1

= , ma daltro lato rallenta la diminuzione diper

0

2

> .

Riassumendo, converrebbe, quindi scegliere

2

0

22

> < e nel contempo avere valori

di piccoli per non ricorrere a ktroppo piccoli.

Poich abbiamo scelto di far operare la fondazione con

0

2

> , ci significa che tutte le volte

che avvieremo o fermeremo il macchinario, entrambe le nostre fondazioni, durante il transitorio, si


39/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20018

troveranno a passare per

0

1

= e quindi non conviene avere valori dellindice di smorzamento

trascurabili in quanto ci porterebbe ad ampiezze in risonanza elevate che creerebbero problemi ai

collegamenti verso lesterno del macchinario.

In secondo luogo, operare con valori di piccolisignifica anche non poter pi trascurare lintegrale

generale dellomogenea associata, parte della

soluzione che torna a essere presente tutte le volte

che avvengono delle perturbazioni, per quanto

piccole, delle condizioni di regime.

I problemi maggiori vengono, tuttavia, creati da k.

Dal diagramma si vede, a esempio, che per ridurre

del 60% le vibrazioni nelle strutture circostanti

dobbiamo avere

0

2

ovvero

2

2 4

Tale ragionamento porterebbe a scegliere 0 0 ,ma

2 2

0 0

1 = =

ovvero dovremmo realizzare fondazioni con frecce statiche molto grandi, e tale problema

ovviamente di impossibile soluzione se abbiamo macchine lente in cui dellordine di qualchecentinaio di giri/1.


40/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/20019

La rigidezza k esprimibile come

= = = = =

quindi per ridurre k, scelto un materiale e quindi il modulo di elasticitE, dovremo avere delle aree

A piccole e degli spessori h degli elementi elastici (a esempio un tappeto di gomma) grandi.

Ma

> > >

ovvero

20

= >

da cui si nota come dovremmo avere bassi valori di E e corrispondentemente, impossibili nei

materiali, alti valori ame comunque alti valori di h, che creerebbe problemi dinstabilit.

Per tasselli di gomma dura (E = 100 kg/cm2) sollecitati a compressione vale il seguente diagramma

in funzione del fattore di formaR

Nellabaco si parte dalla conoscenza di

=


41/112

Lezione XXIII



A.A. 2000/200110

Meglio si comporta la gomma a taglio dove

2

2

2

1 2

1

= =

+

con 3 e

Ricordarsi infine che

2

21

36

= =

+

con = raggio giratore

della sezione intorno allasse neutro della flessione

Risulta

2

23 1

36

= < =

+


42/112

Lezione XXIV


1

Tra le applicazioni del nostro oscillatore vi quella di usarlo come strumento per la misura delle

vibrazioni assolute di un corpo

Con riferimento alle grandezze indicatenella figura e ai relativi versi positivi

degli spostamenti, avremo che

( )0 0 0

+ = =

che pu essere riscritta usando le

nostre consuete notazioni come

( )0 0 0 + = = dove

( ) ( )sin

=

landamento temporale delli-sima componente armonica (serie di Fourier) dello spostamentoincognitox(t)del vincolo.

Riordinando lequazione avremo

( )2

0 0 0

+ + = =

il cui integrale particolare vale

( )

2

2 2

00 02 2

2

0 0

1 2

= = = + +

+

con 0

= e

02

= =


43/112

Lezione XXIV


2

Se riferiamo le fasi della risposta a quelle delle componenti armoniche avremo che

( )

2

2

00 0 0

2

2

0 0

1 2

= = =

+

otteniamo

2

20 0

2 22

2

0 0

1 2

=

+

e

1 0

2

0

2

tan

1

=

Si nota, quindi, che se0 (almeno 4-5 volte)

la misura dellampiezza

della vibrazione relativa

permette di ricavare quella

incognita di trascinamento.

Ovviamente, affinch la

misura non sia distorta, deveessere

0

= costante ei =n

(n=0,1,2,..,N) per i =

1,2,3,,N

Questa esigenza porta che il sismografo, tale il nome dello strumento, abbia una frequenza propria

10

4 < e tale condizione verifica automaticamente che non vi sia distorsione per le componenti

armoniche di ordine superiore.


44/112

Lezione XXIV


3

I sismografi sono, quindi strumenti pesanti e ingombranti dovendo avere una frequenza propria

necessariamente bassa e normalmente si usano indici di smorzamento dellordinedi 0,6-0,7 perridurre leffetto delle condizioni iniziali.

Un artifizio spesso usato quello di riempire di olio il contenitore cilindrico,per cui, pur trascurando leffetto di frenamento viscoso, si pu facilmentedimostrare che, detta m la massa dellolio nello spazio anulare tra la massa

sismica e il recipiente, risulta

0

1

2

=

+

Nel caso duale di 0

risulta che 0

0 per cui

( ) ( ) ( ) ( )0 = e la forza dinerzia agente sulla massaM praticamente dovuta al solo moto di trascinamento, per

cui se riuscissimo a misurare la reazione della molla questa, a meno del guadagno, sarebbe pari

allaccelerazione incognita del vincolo.

Ovviamente la necessit di non distorcere la misura

porta che la condizione 0 sia verificata per la

massima frequenza presente nello sviluppo in serie delsegnale incognito, ovvero 0 deve essere dellordinedei kHz. Dobbiamo avere, quindi, masse Me rigidezze

kmolto grandi.

Spesso come elemento elastico si usa una lastra di

quarzo, materiale piezoelettrico che, se sollecitato

lungo lasse elettrico, produce sulle facce ortogonali

allasse delle cariche di segno opposto proporzionali

alla forza applicata (circa 2 pC/N)

Luso del quarzo limita la frequenza minima di misura

(dellordine dellHz).

Riscrivendo lequazione differenziale in coordinate

assolute

( )( )

+ + = + = +

con 1=

otteniamo lintegrale particolare

( )

=con


45/112

Lezione XXIV


4

2

( )

( )

+= =

+ovvero

( )( )

( )( )

2 22 2

2 22 2 2 2( ) ( )

+ += = = + +

( )( )

2

1

22 2

2tan

= + +

Utilizzando, a esempio, un fattore di smorzamento = 0,7si nota che la fase varia, per un range di

frequenza compreso tra 0,60 e0,con legge pari a1

0 0

= e quindi

( ) ( )2 2

11

1 1 0

sin sin

= =

= + = +

( ) ( )2 2

1 1

1 10

sin sin

= =

= + =


46/112

Lezione XXIV


5

Nellipotesi di avere uno smorzamento di tipo viscoso, sappiamo che la risposta del moto libero ha

una legge del tipo

( )( )0 2

0( ) sin 1

= + .

Quando ( )2 0sin 1 1 + = ,la risposta tangente allinviluppo

esponenziale 0

, tuttavia le

tangenti non sono orizzontali e i

punti di tangenza sono leggermente

spostati a destra del punto di

massima ampiezza. Generalmente

questo fatto trascurabile e

lampiezza del punto di tangenza

pu essere considerata coincidente

con lampiezza massima.

Con riferimento alla simbologia

indicata in figura, avremo che il

decremento logaritmico

( )

0

0

1

02

ln ln

+= = =

Dal momento che2

0

2

1

=

avremo, anche, che

2

22

1

=

per 0,3


47/112

Lezione XXIV


6

Daltronde ricordando che per una forzante armonica del tipo 0( ) sin = il lavoro introdottoin un periodo in un sistema meccanico pari a

0

=

e supponendo il sistema a regime con legge del moto pari a

( )( ) sin = ne deriva quindi che

( )cos

= =

e quindi

( )

2

0 0

0

sin cos sin

= =Nellipotesi di smorzamento viscoso, il lavoro dissipato a regime, in assenza di assenza di altre

forze agenti sul sistema meccanico in prova, sar

( )

2

2 22 2 2

0 0 cos

= = =

1

2

2

2

=

da cui

2 00

sinsin 0

+ = = =

Dalla misura dellenergia dissipata scopriamo che, a parit di ampiezza imposta, il lavoro dissipato

varia proporzionalmente con la frequenza, mentre a parit di frequenza si modifica con il quadrato

dellampiezza di vibrazione.

Molte esperienze di laboratorio hanno dimostrato che se il fenomeno dissipativo legato a

fenomeni disteresi lenergia dissipata per ciclo indipendente dalla frequenza di vibrazione, ma

dipende solamente dal quadrato dellampiezza di deformazione e quindi di vibrazione, e quindi

2 2

= ovvero

2 2

= = = =

per cui lequazione differenziale, la cui soluzione descrive il moto del sistema, diventa


48/112

Lezione XXIV


7

0 sin

+ + =

il cui integrale particolare ha unampiezza

( )

0

22

2

= +

che in risonanza vale

0

=

Ricordando che per un sistema smorzato in modo viscoso la risposta nel moto libero vale0( )

=

( ) [ ] 0 02 2 2

2 2 2

1 1 1( ) ( )

=

= = = =

Si definisce trasformata di Hilbert nel dominio del tempo

[ ]1

( ) ( ) ( )

= =

Nel domino delle frequenze, la trasformata di Fourier ci dice che

[ ]( ) ( ) =

[ ]( ) ( ) =


49/112

Lezione XXIV


8

Si pu dimostrare che

[ ]( ) ( ) ( ) sgn( ) ( ) ( ) sgn( ) = = dove

1( ) sgn( ) =

quindi

[ ] [ ]1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) sgn( ) ( ) ( ) sgn( ) = = =

Definiamo come segnale analiticola funzione

( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + =

e si pu dimostrare che ( ) , detto envelope function, nullaltro che

( )0 0( ) ln ( ) ln

= =

ovvero una retta con intercetta sullasse delle ordinate pari a ln , dipendente quindi dalle

condizioni iniziali, ma il cui coefficiente angolare sempre 0 .

Esempio per = 0,05 e0 = 1 rad/s

Il coefficiente angolare della retta vale 0,05.


50/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20011

Come abbiamo visto, la risposta a regime di un sistema a un solo grado a una forzante armonica

0

data da

( )0 02

2 2

0 0

1

1 2

= = +

e

1 0

2

0

2tan

1

=

dove ( ) , risposta del sistema a una forzante unitaria di pulsazione detta funzione ditrasferimento.

Nel caso in cui la dissipazione sia di tipo isteretico, o strutturale, la funzione di trasferimento

diventa

( )0 02

2 2

0

1

1

= = +

dove

= detto anche loss factordello smorzamento strutturale. La fase vale

1

2

0

tan

1

=


51/112


52/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20013

due diagrammi in funzione della frequenza della forzante, rispettivamente della parte reale e diquella immaginaria della funzione di trasferimento;

il diagramma di Nyquist in cui la partereale diagrammata in funzione di quella

immaginaria, perdendo implicitamente ogni

informazione sulla frequenza.

Diagrammando la receptance e la inertancein

scala semilogaritmica e valutando la funzione

in dB, si nota come per >0 la seconda

tenda con asintoto orizzontale a 20 log10(1/m), ovvero, nel nostro caso con m=200 [kg], a 46 dB

[kg]


53/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20014

Da quanto detto, misurando sperimentalmente la funzione di trasferimento di un sistema meccanico

possiamo ricavare quindi tutti i parametri (detti anche parametri modali) del sistema stesso.

Infatti, come visto, i termini di rigidezza e di massa possono essere calcolati dal modulo della

funzione di trasferimento.

( )

0

1

1

=

22

0

2

+

2

1

se

0

1

( ) ( )2

2

= =

2 0

22

01 2

+

2

1

se 0 1

Inoltre

( )

2

0

22 2

0 0

1

Re 0

1 2

= =

+

per

0

1

=

e

( )( )

0

0

1 1

2 2

= =

Quindi nellipotesi che ( ) sia una funzione continua misurata sperimentalmente, possiamoricavare tutti i parametri modali.


54/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20015

La catena di eccitazione e misura della funzione di trasferimento di un sistema meccanico pu

essere riassunta nello schema seguente

Il sistema meccanico da sottoporre alla prova deve essere opportunamente preparato e una delle fasi

pi importanti scegliere come deve essere vincolata la struttura, ovvero se la struttura libera o

vincolata al terreno.

Nel

primo caso, struttura sospesa, introduciamo

arbitrariamente sei frequenze proprie, dovute ai moti

rigidi delloggetto in prova. Nel secondo vi il

rischio di introdurre degli irrigidimenti alla struttura

per via dei vincoli a terra aggiunti.


55/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20016

Non minore attenzione deve essere posta nella scelta del sistema di eccitazione che pu appartenere

a una delle seguenti due categorie:

sistemi collegati alla struttura da provare (tavoli vibranti meccanici, elettromagnetici oelettroidraulici);

sistemi non collegati alla struttura (elettromagneti no-contact) o solo temporaneamente connessi(martelli dinamometrici).

Entrambe le categorie presentano vantaggi e svantaggi e nel caso dei tavoli vibranti questi possono

essere sospesi (con la conseguente impossibilit di misurare ( ) al di sotto di qualche Hz e diintrodurre poca energia alle basse frequenze) o fissati al suolo.

Soprattutto in questultimo caso

importante studiare con attenzione il modo

di collegamento con la struttura, in modo

sia di non modificare il comportamentodinamico della stessa, sia di misurare lareale entit della forza F(t)ad essa applicata

(la soluzione (b) la meno indicata).

Nelle prove di strutture aeronautiche, caratterizzate da smorzamenti

molto piccoli, per cui non vi lesigenza di fornire alla struttura

energie elevate, pu essere sufficiente usare un martello

dinamometrico per eccitare la struttura. Lo spettro della forza

applicata nellimpatto a banda larga e ha componenti armoniche

fino a circa 1 kHz, per cui un modo molto rapido per misurare

( ) in quel campo di frequenze. Non potendo, tuttavia,controllare lentit della forza applicata facile riscontrare delle non linearit nel comportamento

della struttura.

Meglio usare metodi deterministici con i tavoli vibranti, nei quali possiamo facilmente controllare

lentit della forza applicata.

Senza entrare in dettagli i tavoli vibranti possono essere pilotati in modo da generare forze

armoniche con ampiezza e pulsazione variabile a piacimento. Lo svantaggio principale di questotipo di eccitazione consiste nella lentezza, in quanto devo prima cambiare la frequenza di

eccitazione, poi aspettare che il moto imposto sia a regime e quindi infine acquisire i dati allafrequenza di eccitazione (ovvero estrarre dallo spettro della risposta il modulo e la fase


56/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20017

corrispondenti alla frequenza di eccitazione).

Molto veloce invece, il metodo di

pilotare il tavolo vibrante con unsegnale di rumore casuale (random

noise) che un segnale continuo chenon si ripete mai e le cui componenti

armoniche possono essere definite solo

in termini statistici.

Continuando a variare con continuit le ampiezze e le

fasi associate a ogni frequenza, questo tipo di segnale

permette di valutare la miglior stima lineare di

( ) , ovvero di eliminare mediamente le nonlinearit del sistema meccanico.

Tuttavia il segnale non periodico e quindi a rigore

non potremmo usare la serie di Fourier, ma benslintegrale di Fourier, e inoltre non semplice, ovvero

praticamente impossibile, riuscire a generare un tale

tipo di segnale.

Poich gli analizzatori di spettro operano su record discreti di lunghezza finita pari a un numero di

campioni potenza di 2 (normalmente 512=29

o 1024=210

) cos da utilizzare i pi semplici algoritmi

di FFT (Fast Fourier Transform), del tutto conseguente parve di dotarli di unuscita analogica sulla

quale fornire un segnale in tensione pseudo-random atto a pilotare il tavolo vibrante.

Poich lanalizzatore di spettro opera su record di lunghezza T, viene generato un segnale random

di uguale durata il cui spettro discreto fisso e costante in

ampiezza, mentre le fasi sono casuali. Tale segnale viene

fornito con continuit sulloutput dello strumento.Il vantaggio principale di questo tipo di segnale consiste nel fatto che periodico con periodo pari

al periodo di campionamento dellanalizzatore e quindi le ipotesi sulle quali si basa la serie di

Fourier sono tutte soddisfatte.

Lo svantaggio consiste nel fatto che le eventuali non linearit eccitate da alcune componenti

armoniche del segnale temporale sono presenti in modo deterministico nella risposta e non sonomediamente annullate come nel segnale random noise, nel quale le ampiezze delle medesime

componenti armoniche variano con continuit.


57/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20018

Concettualmente derivato da questultima leccitazione del tipo impulsivo periodico con periodo

T pari alla durata del record di campionamento dellanalizzatore. La differenza principale rispetto al

precedente tipo di segnale che la fasi sono fisse e non random. I vantaggi sono i medesimi del

segnale pseudo-random, cos come gli svantaggi aggravati dal fatto che il fattore di cresta (rapporto

tra il valore di picco e quello efficace o RMS del segnale) molto elevato e quindi eccita facilmente

le non linearit del sistema. Da qui lutilit di questo segnale come tipo di eccitazione di controllo

con le ( ) ottenute con altri tipi di eccitazione. Infatti se il sistema ha comportamento lineare,

la soluzione ( ) dellequazione differenziale indipendente dal tipo di eccitazione ma dipendesolo, come visto, dai parametri modali costanti.


58/112

Lezione XXV



A.A. 2000/20019

Nel tentativo di unire i vantaggi del segnale tipo random noise, impossibile a essere generato ma

concettualmente ideale per ottenere unapprossimazione lineare del sistema meccanico, e di quelli

periodici, gli unici che permettano la corretta applicazione della serie di Fourier, cercando di

mantenere uno spettro costante con la banda pi ampia possibile per determinare in un solo colpo

tutte le righe di ( ) al variare discreto di , molti moderni analizzatori presentano la possibilitdi fornire un segnale elettrico del tipo random periodicoper pilotare il tavolo vibrante.

Questo tipo di segnale formato da un segnalepseudo-random(A) ripetuto per un paio di volte per

portare a regime il sistema meccanico, pi una terza volta per effettuare una prima misura di( ) . A questo segue un nuovo segnale pseudo-random (B) di diversa ampiezza per tutte le

componenti armoniche, normalmente ripetuto anchesso per almeno tre volte, e quindi un altrosegnalepseudo-random(C) e cos via.

La funzione di trasferimento, approssimazione lineare del comportamento del sistema, sar data

dalla media statistica delle N ( )

, ottenuta alle diverse ampiezze degli N spettri dovuti ai 3*N

segnalipseudo-random, ciascuno di lunghezza T, generati


59/112

Lezione XXVI


Corso di Meccanica Applicata alle MacchineA.A. 2000/2001

1

Quando un sistema dinamico viene sollecitato da una eccitazione non periodica applicata

improvvisamente, come nel caso di un impulso, le risposte a tali eccitazioni sono dette transitori,

dal momento che generalmente non si producono oscillazioni di regime. Tali oscillazioniavvengono con le frequenze proprie del sistema e l'ampiezza varier a seconda del tipo di

eccitazione.

Per prima cosa studiamo la risposta del solito oscillatore a una eccitazione impulsiva, dal momento

che questo caso importante per la comprensione del problema pi generale dei transitori.

Incontriamo frequentemente forze molto grandi agenti per un tempo molto breve, ma con integrale

finito rispetto al tempo. Chiamiamo tali forze impulsive e il loro valore definito dall'equazione

+

=

La figura mostra una forza impulsiva di grandezza F /con durata nel tempo . Se tende a zero,

tali forze tendono all'infinito; l'impulso definito dal suo integrale rispetto al tempo . Quando uguale all'unit, tale forza nel caso limite di 0 viene chiamata impulso unitario o funzionedelta, e viene indicata con il simbolo (t- ) e gode delle seguenti propriet

( ) 0 = per

( )0

1

=

( ) ( ) ( )0

=

Dal momento che F dt = m dv, 1'impulso agente sulla massa dar luogo a una improvvisavariazione di velocit senza un apprezzabile cambiamento di posizione. Allora un oscillatore,

eccitato da un impulso , nel caso di vibrazioni libere presenter le condizioni iniziali

( ) ( ) 0

0 0; 0

= = =


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Lezione XXVI



2

Se il sistema non smorzato, la soluzione dellintegrale generale dellequazione differenziale

omogenea data da

0

0

( ) sin ( )

= =

mentre nel caso smorzato

( )0 2 020

( ) sin 1 ( )

1

= =

dove con h(t) si indica la risposta all'impulso unitario.

Nota la risposta h(t) del sistema meccanico a uneccitazione dimpulso unitario quindi possibile

calcolarne la risposta a una forza arbitraria f(t), immaginandola come costituita da una serie

dimpulsi ( )

=


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Lezione XXVI



3

Il contributo alla risposta al tempo tdi ogni singolo impulso pari a

( ) ( )

e poich il sistema lineare, valendo il principio di sovrapposizione degli effetti, la risposta del

nostro sistema alla forzante arbitrariaf(t) dato da

( )0

( ) ( )

=

detto anche integrale di Duhamel o della sovrapposizione (o della convoluzione).

Da quanto detto, si pu banalmente calcolare la risposta a una forzante a gradino del tipo f(t)=F0,

gi vista in precedenza.

Se il sistema non smorzato, abbiamo che

0

0

1( ) sin

=

e quindi

( )0 00 00 0

( ) sin (1 cos )

= =

coincidente, ovviamente, con quanto avevamo ottenuto attraverso le condizioni iniziali e lintegrale

particolare.

Inoltre, vale che la funzione di trasferimento

( ) ( ) 2

0

( )

= =

e, ovviamente che

1( ) ( ) =


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Lezione XXVI



4

La seconda formulazione dellequazione di Lagrange per sistemi conservativi a un grado di libert

la seguente

( )

+ =

dove

T lenergia cinetica del sistema; U lenergia potenziale delle forze conservative agenti; q la coordinata libera che si scelta per rappresentare il moto del sistema; Q, detta componente lagrangiana, rappresenta la somma dei lavori elementari di tutte le altre

forze agenti sul sistema per un incremento virtuale unitario*

1

=della variabile

indipendente.

In perticolare, il termine ( )

rappresenta il lavoro virtuale delle forze e coppie

dinerzia del sistema; il termine

il lavoro virtuale delle forze che ammettono potenziale,

mentre*

= il lavoro virtuale di tutte le altre forze agenti sul sistema.

Potr essere spesso comodo esprimere T, U e Q in funzione di spostamenti virtuali dxi di m

coordinate geometrichexi legate alla coordinata libera q da m relazioni del tipo

( , )

= per i = 1,2, 3, , m

Nei casi di cui ci occuperemo, gli m legami geometrici risultano indipendenti dal tempo per cui

( )

= per i = 1,2, 3, , m


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Lezione XXVI



5

( )

= per i = 1,2, 3, , mNe deriva che

2

1 1

1

2

= =

= =

Ma

( ) ( )

= =

e quindi

( )

2

2

1 1

1 ( ) ,2

= = = = =

Ma

0 0

0 0

, 0 , 0

( , ) ( ,0) ( ) ...

= = = =

= + + +

0 0 0

2 2 22 2

0 02 2

, 0 , 0 , 0

1 1( ) ( ) ...

2 2

= = = = = =

+ + + +

Ricordando Lagrange e lespressione di Tsi ha

0 0

2 2

2

, 0 , 0

( )

= = = =

+

e

0 , 0

= =

0

2

2

, 0

= =

+

( )0

2

0

, 0

= =

+


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Lezione XXVI



7

0

0 , 0

( )

== = =

=

;

0 0

2

0 0 0 02

( , ,0,0)

= =

= +

Con unopportuna scelta di t0 e di q0 sempre possibile fare in modo che F0 sia nullo, se non

interessa studiare la risposta del sistema alla sua applicazione, e quindi risolvere lequazione

differenziale linearizzata al fine di valutare la stabilit del sistema per piccole oscillazioni attornoalla posizione q0 a partire dallistante t0.

Si vede immediatamente che se q0 la posizione di equilibrio statico allistante t0, definita da

0

0 0( , ,0,0) 0

=

=

ovviamente misurando gli spostamenti a partire da questa posizione avremo

0 0; ; ; 0 = = = =


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Lezione XXVII



1

Molle ad aria

Ricordando quanto detto a proposito dellisolamento delle vibrazioni, possiamo dimostrare che

utilizzando un sistema di molle ad aria possibile avere frequenze proprie del sistema molto piccolecon freccia statica nulla.

Il comportamento della molla ad aria pu essere

studiato supponendo che il mantice sia costituito daun pistone e da un cilindro di areaA.

Indicando con p0 la pressione nella posizione di

equilibrio statico del sistema, questa varr

0 =

Supponendo che laria segua una legge ditrasformazione politropica, spostandosi la massa M,

avremo di conseguenza

0 0 =

con

= ovvero

( ) 00

= =

con V0 volume corrispondente alla posizione di equilibrio statico.

Il lavoro virtuale compiuto dalla pressione per uno spostamento virtuale, misurato dalla posizione di

equilibrio, del suo punto di applicazione vale

( )* *0( ) = e quindi

0( ( ) ) =

ovvero

0( 0

0 0( )

=

+ 0 00

) ( ( ))

=

M


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68/112

Lezione XXVII



3

quota parte del peso della vettura che su di essa si scarica, ma anche per effetto della deportanza e

della resistenza.

02

= + =

dove W il peso della vettura e ks la rigidezza equivalente della sospensione posteriore (per

semplicit supponiamo i montanti dellala rigidi).

Supponiamo ora un moto verticale della sospensione con relativa traslazione dellala rispetto a

questa posizione di equilibrio.

Lala verr quindi investita da una velocit relativa

2 2

= + con anomalia

1 tan

=

per cui scrivendo lequazione di equilibrio alla traslazione verticale della sola sospensione

posteriore, ala compresa, avremo, con ovvio significato dei simboli,

2 21 1 ( )sin ( )cos 02 2

+ + + =

che linearizzata con Taylor porta a

( ) ( )

0

2

0 0

1 1( ) 0

2 2

=

+ + =

ovvero

( )

( )0

2

0 0

1 1( ) 0

2 2

=

+ + + =

V

VR

V

L

D

VRL

D


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Lezione XXVII



4

Ora, nel caso in questione,( )

0

=

pu essere negativa assumendo valori molto maggiori di

0( )

, per cui

( )

0

0( )

=

+

che daranno luogo a un moto libero espansivo nel tempo per effetto di una perturbazione iniziale.


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Lezione XXVII



5

Ad analoghi fenomeni dinstabilita (dette anche vibrazioni autoeccitate) si giunge a esempio nello

studio approssimato della frenatura con freni a disco

Supponiamo che la rigidezza e lo smorzamento delvincolo della pinza in direzione verticale siano ks, rse mp sia la sua massa. Esercitando una forza N sulla

pinza, nascer una forza frenante sul disco pari a

2 =diretta in verso opposto alla velocit periferica

relativa del disco e a una forza uguale e opposta sar

sottoposta la pinza.

Ricordiamo che che il coefficiente di attrito

varia in funzione della velocit relativa tra i

due corpi che strisciano con un legge che ha

landamento di figura.

Scrivendo lequilibrio alla traslazione in

direzione verticale (approssimabile alladirezione della velocit periferica V del disco

nella zona di contatto tra questi e le pastiglie) otteniamo

( )2 0

+ =

dove

( )0

( ) 0

=

+

ovvero

( ) ( )

( )

0

0 0

2 0 0

2 2 0

=

= =

+ + =

+ + + = +

( )0 0

2 2 0

= =

+ + + = +


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Lezione XXVII



6

Anche in questo caso

0

0

=

< per cui esister sempre una forza Ntale per cui

0

2 0

=+

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