Eserciziario Meccanica Applicata alle Macchine

7/24/2019 Eserciziario Meccanica Applicata alle Macchine

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Indice

2 Cinematica del punto e del corpo rigido 3

2.1 Moto del punto nel piano: es.1 . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Moto del punto nel piano: es.2 . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Tram su percorso urbano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Gru da cantiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Asta su guida circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Disco su guida circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Cinematica dei sistemi di corpi rigidi 9

3.1 Attuatore oleodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Manovellismo ordinario deviato . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Disco cuneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Manovellismo particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.6 Manovellismo piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7 Sistema Disco Asta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.8 Carrellino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.9 Sistema meccanico articolato . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Statica dei sistemi di corpi rigidi 19

4.1 Scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Disco su guida circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Manovellismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Glifo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Geometria delle masse 23

5.1 Asta non omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Piastra triangolare omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3 Semidisco omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4 Anello con massa puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5 Asta e disco omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.6 Riduzione della biella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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E 2 Capitolo 1

6 Dinamica dei sistemi di corpi rigidi 29

6.1 Asta ad L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Asta che scorre su disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Martellone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Quadrilatero Quadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5 Disco Cuneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.6 Disco che rotola su un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Azioni mutue tra elementi di macchine 35

7.1 Attrito radente tra corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.2 Veicolo a due ruote in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 Quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.4 Manovellismo deviato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.5 Attuatore oleodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.6 Sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Dinamica della macchina a un grado di liberta 41

8.1 Skilift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Ascensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.3 Muletto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.4 Impianto di sollevamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.5 Utilizzatore a regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . 46

10 Gli elementi delle macchine 49

10.1 Trasmissione mediante cinghia piana . . . . . . . . . . . . 4910.2 Dimensionamento tendicinghia . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3 Camma circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.4 Freno a disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.5 Cinematica del veicolo in curva . . . . . . . . . . . . . . . 5310.6 Innesto a frizione automobilistico . . . . . . . . . . . . . . 55

11 Vibrazioni meccaniche a un grado di liberta 57

11.1 Fermaporta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.2 Locomotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.3 Sospensione motociclistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11.4 Sistema vibrante: es.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011.5 Sistema vibrante: es.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


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Capitolo 2

Cinematica del punto e del

corpo rigido

2.1 Moto del punto nel piano: es.1

Un punto materiale si muove lungo una traiettoria la cui legge oraria e

P(t) = (9t)i + (3 + 2t2)j

Si richiede di:

1. calcolare i vettori velocita ed accelerazione in funzione del tempo;

2. calcolare lespressione dei versori tangente e normale alla traietto-ria allistante t= 3 s;

3. calcolare il raggio di curvatura della traiettoria sempre allistantet= 3 s

2.2 Moto del punto nel piano: es.2

Un punto si trova inizialmente (t = 0 s) in una posizione individuatadallorigine O di un sistema di riferimento assoluto rispetto al qualesono definite le grandezze dinteresse. E assegnato landamento dellavelocita in funzione del tempo, in termini di componenti cartesiane:v= 2 i + 4tj. Si determinino:

1. la legge di moto: x= x(t), y= y(t);

2. la traiettoria del punto materiale;

3. laccelerazione in funzione del tempo;

4. i vettori posizione, velocita e accelerazione al tempo t = 2 s.

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E 4 Capitolo 2

2.3 Tram su percorso urbano

Di un tram che si muove su percorso urbano, schematizzabile come unpunto che si muove su un piano, e assegnato il seguente percorso tra duefermate successive, identificate dai punti A e D , distanti lungo lascissacurvilinea sT= 1870 m:

A B

200m

C

D E

R1= 400m

R2= 600m

Figura 2.1: Schema percorso urbano del tram

Sono inoltre note:

la velocita massima del veicolo: vmax= 60 km/h;

la massima accelerazione in trazione: at = 1 m/s2; la massima decelerazione in frenatura: af = 0.8 m/s2.

Sapendo che il tram parte e deve arrivare fermo alle due fermate, sichiede di:

1. definire la legge di moto del veicolo che minimizzi il tempo dipercorrenza del tragitto assegnato;

2. realizzare i diagrammi di spostamento, velocita ed accelerazione

del veicolo in funzione del tempo;

3. realizzare i diagrammi di velocita ed accelerazione in funzionedellascissa curvilinea;

4. verificare che laccelerazione laterale massima sui passeggeri siaminore di un valore di comfort fissato pari a 0.8 m/s2.


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Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata E 5

2.4 Gru da cantiere

vr, ar

Figura 2.2: Gru a braccio

La figura 2.2 riporta lo schema di una gru da cantiere a braccio gi-revole con il carrello portagancio mobile lungo il braccio. Si richiededi studiare il moto del carrello, schematizzato come un punto materiale,determinandone velocita ed accelerazione quando il braccio ruota con ve-locita angolare = 0.1 rad/s ed accelerazione angolare = 0.01 rad/s2

attorno allasse verticale (entrambe in senso orario viste da una vista inpianta dallalto) mentre il carrello si sta muovendo verso lestremita delbraccio con componenti di velocita ed accelerazione allineate al bracciopari rispettivamente a vr = 0.7 m/s e ar = 0.1 m/s

2.Si conosce la distanza del carrello dallasse di rotazione nellistante di

tempo considerato pari a 3.9 m e la posizione angolare del braccio paria /6 rispetto allasse x della terna riportata in figura 2.3. Risolvere ilproblema mediante:

metodo dei numeri complessi; teorema dei moti relativi.

O

y

x

P

O

Im

Re

P

Figura 2.3: Posizione del punto P nel piano complesso


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E 6 Capitolo 2

2.5 Asta su guida circolare

O

A

RB

lvB,aB

Figura 2.4: Asta su guida circolare

LastaAB di lunghezzal = 2 m, rappresentata in Figura 2.4, si muo-ve nel piano ed e vincolata tramite due carrelli agli estremi A e B. Ilcarrello inA scorre su una guida circolare di raggio costante R =

2 m e

centro inO. Il carrello inB scorre invece su una guida rettilinea orizzon-tale. Nellatto di moto rappresentato, langolo formato dallasta ABcon la guida orizzontale e pari a /6. Note la velocita e laccelerazionedel punto B (vB = 0.5m/s e aB = 0.1m/s

2):

1. individuare la posizione del centro di istantanea rotazione;

2. calcolare la velocita e laccelerazione angolare dellasta: AB eAB;

3. calcolare la velocita e laccelerazione del punto A: vA e aA.


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2.6 Disco su guida circolare

x

y

O

C

PR

r

Figura 2.5: Disco su guida circolare

Il sistema meccanico riportato in Figura 2.5 si muove nel piano ver-ticale ed e composto da un disco rigido di raggio r = 0.25m che ro-tola senza strisciare su una guida rigida curva con raggio di curvaturaR= 1 m.

E nota la legge di moto dellangolo (t) che descrive la posizioneangolare del disco rispetto al sistema di riferimento assoluto Oxy con

origine nel centro di curvatura della guida. Nellatto di moto rappresen-tato in Figura 2.5 (= /6, = 2 rad/s e = 0.1 rad/s2) si richiede dicalcolare:

1. velocita ed accelerazione del centro del disco (punto C);

2. velocita ed accelerazione del punto P posto sulla circonferenza(nellatto di moto considerato il vettore (PC) e parallelo allassex).

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili allindi-rizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid


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E 8 Capitolo 2


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Capitolo 3

Cinematica dei sistemi di

corpi rigidi

3.1 Attuatore oleodinamico

O

O1

B

Figura 3.1: Sistema articolato

Del meccanismo riportato in Figura 3.1 e nota la geometria: lun-ghezza della manovella O1B = 2.5 m, lunghezza del telaio OO1=

2 m

e linclinazione del telaio = 4

rad. Nellistante di tempo considera-to (t = 3 s), rappresentato in figura, langolo di manovella = 0rad.La legge con cui varia la lunghezza dellattuatore oleodinamico OB infunzione del tempo e:

OB(t) =b(t) = 3.385 + 0.07t+ 0.005t2 [m]

Nellistante considerato, si chiede di determinare:

1. il valore dellangolo dellattuatore oleodinamico;

2. i valori dei vettori velocita angolare delle aste O1B e OB;

3. i valori dei vettori accelerazione angolare delle asteO1B e OB.

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E 10 Capitolo 3

O1

A

B

O2

G

P

D


3.2 Quadrilatero articolato

In figura 3.2 e riportato lo schema di un sistema meccanico compostoda un disco incernierato a terra nel suo centro O1, al quale e collegataunastaABdi lunghezza pari a 0.8 m mediante la cernieraA, posizionataad una distanza radiale O1A = 0.2 m. Allestremo B di tale asta eincernierata una seconda astaBO2 lunga 0.6 m, che risulta rigidamentecollegata al semidisco, di raggio RSD = 0.15 m, incernierato a terranel punto O2. Su tale semidisco si avvolge senza strisciare una funeinestensibile al cui estremo e collegato il centro del disco D, di raggioRD = 0.15 m che rotola senza strisciare su un piano inclinato di unangolo = 160. Sono note le distanze fra le due cerniere poste a terranei punti O1 e O2 distanti 0.3 m sullorizzontale e 0.8 m sulla verticale.Sono note inoltre le seguenti grandezze fisiche relativamente allatto dimoto considerato, riportate in Tabella 3.1.

Si richiede di calcolare allistante di tempo considerato:

1. i vettori velocita e laccelerazione del punto G, baricentro del se-midisco (si ritenga nota la distanza del baricentro dalla cerniera

O2 pari a RSD/2);

2. i vettori velocita e laccelerazione del punto D .

Tabella 3.1: Dati dellatto di moto considerato dellesercizio 3.2

= 160 = 0.1 rad/s = 0 rad/s2


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3.3 Manovellismo ordinario deviato

, ,

O

A

C

B

P

R

Figura 3.3: Manovellismo ordinario deviato

Il manovellismo rappresentato in Figura 3.3 e costituito da una ma-novellaOA, da una biella AB e da un disco di raggioR che rotola senzastrisciare su una guida rettilinea. Siano noti i dati relativi allatto di mo-to da considerare (riportati in Tabella 3.2), ovvero posizione, velocita eaccelerazione angolare della manovella e posizione della biella.

Si chiede di determinare:

1. deviazione del manovellismo;

2. i vettori velocita ed accelerazione del centro del discoB;

3. i vettori velocita angolare e accelerazione angolare del disco;

4. i vettori velocita ed accelerazione del punto P, posto sulla circon-ferenza del disco.

Tabella 3.2: Dati del manovellismo ordinatio deviato nellatto di motoconsiderato

= 3

rad = rad/s = rad/s2

= 0 rad OA= 13

m AB = 1 m

R= 0.2 m


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E 12 Capitolo 3

3.4 Disco cuneo

A

B

C

D

x,x

Figura 3.4: Sistema meccanico disco cuneo

Il sistema meccanico rappresentato in Figura 3.4 e costituito da trecorpi rigidi:

un cuneo costituito da un piano inclinato di un angolo , traslantesu di una guida orizzontale;

un disco di raggio R e centro in A che rotola senza strisciare sulpiano inclinato;

unasta AB incernierata al centro del disco, e con un pattinoallaltra estremita vincolato a scorrere lungo una guida verticale.

Nellistante consideratot sia assegnata la velocita di traslazione del pia-no inclinato x= 0.4 m/s e la sua accelerazione x= 0.2 m/s2 secondo leconvenzioni riportate in Figura 3.4. Siano inoltre noti langolo di incli-nazione del piano inclinato =

6rad, langolo di inclinazione dellasta

= 4

rad, la lunghezza dellasta AB pari a 0.2 m ed il raggio del discoR= 0.05 m. Nellistante t determinare:

1. il vettore velocita del punto B ed il vettore velocita angolare del

disco D;

2. il vettore accelerazione del punto B ed il vettore accelerazioneangolare del disco D.


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3.5 Manovellismo particolare

A

B

C

O

Figura 3.5: Manovellismo particolare

In Figura 3.5 e riportato lo schema di un sistema meccanico, che si

muove nel piano, costituito dalla manovella AO= 0.4 m incernierata aterra nel punto O e dalla biella AB = 1.4 m vincolata in A allasta AOtramite una cerniera e inCal terreno tramite un manicotto che consentela rotazione dellasta e lo scorrimento della stessa.

I dati relativi allatto di moto nellistante considerato t, sono riportatiin Tabella 3.3 in termini di posizione , velocita angolare , accelerazioneangolare della manovella, distanzaACtra la cerniera inAed il vincoloin Ce posizione angolare della biella .

Si chiede di determinare:

1. il vettore velocita angolare AB dellasta AB;

2. il vettore accelerazione angolare AB dellasta AB;

3. il vettore velocita assoluta vB del punto B ;

4. il vettore accelerazione assolutaaB del punto B .

Tabella 3.3: Dati relativi allatto di moto considerato al tempo t

= 45 = 25 rad/s = 0 rad/s2= 170 AC= 0.6 m


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E 14 Capitolo 3

3.6 Manovellismo piano inclinato

O

A

B

C

/6

Figura 3.6: Sistema manovellismo con piano inclinato

Il manovellismo rappresentato in Figura 3.6 e costituito da una ma-novella OA di lunghezza 0.4 m, da una biella AB di lunghezza 0.4 m edal corsoio B che scorre su un piano inclinato di /6 rispetto allo-rizzontale. Da ultimo il corsoio e collegato a terra tramite un attuatoreidraulico CB.

I dati relativi allatto di moto da considerare sono riportati in Ta-bella 3.4, ovvero posizione angolare , velocita e accelerazione ango-

lare della manovella, posizione angolare della biellae lunghezza delattuatore idraulico.Si chiede quindi di determinare:

1. la velocita del corsoio B;

2. la velocita di sfilo del pistone C B;

3. laccelerazione del corsoioB .

Tabella 3.4: Dati dellatto di moto considerato

= 30 = 10 rad/s = 100 rad/s2

= 330 CB = 0.5 m


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3.7 Sistema Disco Asta

Il sistema meccanico illustrato in Figura 3.7 si muove nel piano vertica-le. Due dischi concentrici aventi rispettivamente raggio R1 = 0.4 m eR2 = 0.5 m sono rigidamente collegati tra loro. Tra il disco di raggioR2 e un piano inclinato di un angolo pari a /6 agisce un vincolo dirotolamento in assenza di strisciamento. Un perno e rigidamente vinco-lato ai dischi in corrispondenza del punto E posto ad una distanza dalcentro D pari a ED = 0.25 m. Il pernoEscorre allinterno di unastaincernierata a terra in O . La distanza s fra la cerniera in O ed il pianoinclinato e assegnata e pari a 2 m che scorre su un piano inclinato. Sullasuperficie laterale del disco di raggioR1si avvolge una fune in estensibile

allestremo della quale e collegata una massa m. Il tratto di fune checollega il disco alla massa m e parallelo al piano inclinato.E assegnata la legge di moto della rotazione dellasta lungo cui scorre

il pernoE: (t) =

+ 2

+

6sin(2t), secondo le convenzioni riportate

in Figura 3.7 dove e rappresentata la configurazione del sistema in unistante generico t = 0.17s.

Si considerino note le grandezze riportate nella Tabella 3.5 per li-stante t = 0 s e t = 0.1 s.

Si richiede quindi di calcolare nellistante t= 0.1 s:

1. il vettore velocita ed accelerazione angolare dei due dischi: d e

d ;

2. il vettore velocita ed accelerazione punto E: vE e aE;

3. il vettore velocita ed accelerazione della massa collegata alla fune:

vm e am.

Tabella 3.5: Dati dellatto di moto considerato

t= 0 s OE= 2.75 m = 120

t= 0.1 s OE= 2.72 m = 187.9


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E 16 Capitolo 3

O

D

EF

m

(a) Istante t= 0 s

O

D

EF

R2R1

s

m

(b) Istante t= 0.17 s

Figura 3.7: Sistema articolato nellistante t= 0 e t = 0.17 s


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3.8 Carrellino

ED

B

Rp

L/4

L/4L/4

L/4

R

hv,a

Figura 3.8: Sistema carrello automobile

In Figura 3.8 e riportato lo schema cinematico di un sistema mecca-nico che si muove nel piano.

Tale sistema e composto da un carrello libero di muoversi lungo unpiano inclinato rispetto allorizzontale di un angolo pari a = 10.Un attuatore idraulico collega il punto Edella ruota anteriore al puntoB appartenente al carrello stesso. Sono note le grandezze geometricheriportate in Tabella 3.6. Per il sistema in esame viene inoltre assegnata,

a partire dalla condizione di quiete, la seguente legge di moto:

a(t) =

2 m/s2 0 t


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E 18 Capitolo 3

3.9 Sistema meccanico articolato

A

BG

C

D

Figura 3.9: Schematizzatione di una carriola

In figura 3.9 e riportato lo schema di un sistema meccanico, chesi muove nel piano verticale, costituito dallasta AB = 3 m collegatamediante un pattino ad una seconda asta DC. Allestremita Cdi taleasta e incernierato un disco di raggio 0.6 m che rotola senza strisciarelungo un piano orizzontale. E inoltre assegnata la legge oraria (di tipoperiodico) del punto Cespressa secondo un sistema di riferimento conorigine nel punto A; tale legge vale xC(t) = 6 + 2.5 sin(2t) [m].

Si consideri quindi il sistema nellistante t= 0 s e si calcolino:

1. la velocita e laccelerazione angolare dellasta AB;

2. la velocita e laccelerazione del baricentro G.



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Capitolo 4

Statica dei sistemi di corpi

rigidi

4.1 Scala

A

G

BF

m, l

x

y

O

Figura 4.1: Scala

Il sistema meccanico in Figura 4.1, posto nel piano verticale, e costi-tuito da unastaAB omogenea di massam e lunghezza l che e vincolataagli estremi A e B tramite dei carrelli. I carrelli scorrono su guide ret-

tilinee prive di attrito, il carrello in A scorre in direzione orizzontalementre il carrello B scorre in direzione verticale. Determinare la forzaorizzontale F applicata nel punto B che garantisce lequilibrio staticodel sistema per un angolo pari a 30.

Tabella 4.1: Dati scala

m= 20kg l= 4 m = 30

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E 20 Capitolo 4

4.2 Disco su guida circolare

R

x

y

r

O

P

H

C

Figura 4.2: Disco su guida circolare

Il sistema meccanico in Figura 4.2, posto nel piano verticale, e costi-tuito da un disco di raggior e massam che rotola senza strisciare su unaguida curvilinea circolare di raggio R. Nella posizione rappresentata inFigura, determinare:

1. la coppia C che garantisce lequilibrio statico del sistema;

2. le reazioni vincolari nel punto di contatto tra disco e guida (puntoH).

Tabella 4.2: Dati disco

m= 30kg r= 1 m R= 3 m = 30

4.3 Manovellismo

Il sistema meccanico in Figura 4.3, posto nel piano verticale, e costituito

da unasta AB omogenea di massa m e lunghezza l che e incernierata aterra in A e inB ad unasta BCpriva di massa e lungaL. LastaB C eincernierata inCal centro di un disco di massa Me raggio R omogeneoche rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Nella configurazioneindicata in figura, calcolare:

1. la coppiaCm applicata al disco che garantisce lequilibrio staticodel sistema;

2. le reazioni vincolari che lastaBC scambia in B ed in C.


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A

G

B

m, l

CM, R

L

Cm

Figura 4.3: Manovellismo

Tabella 4.3: Dati del manovellismo

m= 20kg M= 10kg = 60

l= 0.6 m L= 0.7348m R= 0.1 m

4.4 Glifo

A

B

C

m

FD

Figura 4.4: Glifo

Il sistema meccanico in Figura 4.4, posto nel piano verticale, e costi-tuito da unasta AD priva di massa al cui interno e ricavata una guidarettilinea in cui scorre un corsoio di massa m. Tra corsoio e guida ceattrito con coefficiente di attrito statico fs. Al centro del corsoio e vin-colata tramite una cerniera unasta BC priva di massa che e collegatain B a terra tramite unaltra cerniera. Allestremo D dellasta AD eapplicata una forza orizzontale F. Determinare il valore della forza Fche garantisce lequilibrio statico del sistema per un angolo pari a 30.


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E 22 Capitolo 4

Tabella 4.4: Dati glifo

m= 20 kg = 30 fs = 0.3AD= 4 m AB = 2 m BC= 2 m



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Capitolo 5

Geometria delle masse

5.1 Asta non omogenea

O x

y

L

dx

Figura 5.1: Asta non omogenea

Lasta rappresentata in Figura 5.1 e lungaL, ha altezza h e spessorescostanti e trascurabili rispetto alla lunghezza. La densita dellasta none omogenea e segue una legge del tipo

(x) =A + Bx (5.1)

Rispetto al sistema di riferimento rappresentato in Figura, calcolare:

1. la posizione del baricentro ;

2. il momento dinerzia polare rispetto allorigine degli assi.

Tabella 5.1: Dati asta non omogenea

A= 5000 kg/m3 B = 100 kg/m4 L= 4 m

5.2 Piastra triangolare omogenea

La piastra rappresentata in Figura 5.2 ha la forma di un triangolo iso-scele di altezza OC lunga h = 2m, base AB lunga b = 2m e spessore

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E 24 Capitolo 5

O

y

xA B

C

dy

2x

Figura 5.2: Piastra triangolare

costantes = 10mm. La densita e costante e pari a = 2700 kg/m3. De-terminare la posizione del baricentro rispetto al sistema di assi cartesianorappresentato in Figura 5.2.

5.3 Semidisco omogeneo

x

y

O

R

Figura 5.3: Semidisco omogeneo

Dato il semidisco omogeneo di densita = 7850 kg/m3, spessores= 20 mm e raggio R = 0.75 m, rappresentato in Figura 5.3, calcolare:

1. la massa del semidisco;

2. la posizione del baricentro nel sistema di riferimento centrato inOcome in Figura;

3. il momento dinerzia baricentricoJG.

5.4 Anello con massa puntiforme

Il sistema meccanico in Figura 5.4 e composto da un anello omogeneo dimassaM= 1 kg, raggio esternoRe = 2.1 m, raggio internoRi = 1.9 m e


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y

xO1 O2

Ri

Re R m

Figura 5.4: Anello omogeneo e massa concentrata

spessore s = 10 mm. Allanello e fissata una massa puntiforme di massam= 2 kg distante R = 2 m dal centro dellanello.

Determinare:

1. la posizione del baricentro del sistema, nel sistema di riferimentocentrato in O1 riportato in Figura;

2. il momento dinerzia complessivo rispetto al polo O1.

5.5 Asta e disco omogenei

AO

L

R

RmM

Figura 5.5: Anello omogeneo e massa concentrata

Il corpo mostrato in Figura 5.5 e costituito da unasta omogenea dimassaM= 1 kg e lunghezza L = 2 m rigidamente collegata ad un discoomogeneo di massam = 5 kg e raggio R = 0.5 m. Il puntoA si trova aduna distanza R dal centro del disco. Lasta ha un estremo coincidentecol centro del disco.

Calcolare:

1. la posizione del baricentro;

2. il momento dinerzia complessivo JA.


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E 26 Capitolo 5

5.6 Riduzione della biella

Figura 5.6: Biella

La biella rappresentata in Figura 5.6 ha le caratteristiche riportatein Tabella 5.2.

Si chiede di calcolare le masse puntiformi che approssimano le pro-prieta inerziali della biella nel caso:

1. a tre masse;

2. a due masse.

Discutere le differenze tra i due casi valutando lerrore massimo che sicommette nella stima del momento dinerzia nel caso a 2 masse.

Tabella 5.2: Proprieta inerziali biella

densita 7833 kg/m3

massa M 0.118574 kgmomento dinerzia Jx 0.000264 kg m

2

Jy 0.000256 kg m2

Jz 0.000012 kg m2


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Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili allindi-

rizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid


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E 28 Capitolo 5


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Capitolo 6

Dinamica dei sistemi di

corpi rigidi

6.1 Asta ad L

O

C

l

G

ma

i

j

k

Figura 6.1: Sistema asta ad L

Dellasta ad L, incernierata a terra ad unestremita in O, rappre-sentata in Figura 6.1 e nota la geometria a = 0.3 m e l = 0.5 m e lalegge di moto (t) =At2 +Bt+C. Sono inoltre noti A= 0.03 rad/s2,B = 0.04 rad/s, C= 0.06 rad, m = 2 kg e JG= 0.015 kg m

2.

Al tempot = 2s, si vuole determinare:

1. la coppiaCnecessaria a realizzare la legge di moto assegnata;

2. le reazioni vincolari in O .

29


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E 30 Capitolo 6

6.2 Asta che scorre su disco

O

P1

A G2

Mm

M1, J1, R

F

BM2

i

j

k

Figura 6.2: Sistema composto da unasta che scorre su un disco.

Il sistema meccanico rappresentato in Figura 6.2 si muove nel pianoverticale ed e costituito da un disco di raggio R, massa M1 e momentodinerzia baricentricoJ1 che e incernierato a terra nel suo centro: puntoO. Sul disco agisce una coppia motriceMme su di esso appoggia unastaAB omogenea con baricentro in G2 che rotola senza strisciare sul discocon punto di contatto in P1. Lasta e poi vincolata in B tramite uncarrello che scorre su una guida rettilinea scabra. Nel punto B agiscepoi una forza esterna Finclinata di un angolo rispetto allorizzontale.

Noti i dati relativi al problema, riportati in Tabella 6.1, determinarelandamento nel tempo di:

1. posizione , velocita ed accelerazione del disco, note le condi-zioni iniziali:

(0) = 0 rad

(0) = 0 rad/s(6.1)

2. le reazioni vincolari inO .

Tabella 6.1: Dati dellesercizio 6.2

R= 0.2 m M1 = 10 kg J1 = 0.4 kg m2 (disco non omogeneo)

M2= 3 kg F= 30 N = 45

AP1 = 0.3 m AB = 1 m Mm = 50 Nm


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6.3 Martellone

A

B

C

D

F

G

P

a

b

cd

e

f

M1, J1

M2

i

j

k

Figura 6.3: Sistema martellone

Il sistema meccanico riportato in Figura 6.3 si muove nel piano ver-ticale ed e composto da unasta AC incastrata a terra. Nel punto Aunaltra astaC Pdi massaM1 e momento dinerzia J1 e incernierata inCallastaAC. InPuna massaM2, con momento dinerzia trascurabile,e vincolata rigidamente allastaC P. Il sistema e movimentato da un at-tuatore idraulico incernierato in B allastaACed inD allastaC P. Nel

puntoP e applicata una forza esterna F= 100 N diretta verticalmenteverso il basso.Nellistante considerato (per cuic =

3 m) determinare:

1. la posizione angolare dei bracciB D e C P;

2. la velocita e laccelerazione angolare del braccio CP, data unaportata dolio costante entrante nel cilindro Q = 9 m3/h;

3. la pressione allinterno del cilindro e le reazioni di incastro in A.


a= b = 1 m d= 2 m e= 0.7 m f= 2 mM1 = 20 kg M2 = 30 kg J1 = 10 kgm

2 Acilindro= 0.5 dm2


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E 32 Capitolo 6

6.4 Quadrilatero Quadro

A

B

C

D

G

FP

h

/4

/6 i

j

k

Figura 6.4: Sistema quadrilatero con massa a forma di quadrato

Il sistema meccanico rappresentato in Figura 6.4 si muove nel pia-no verticale ed e costituito da un corpo di forma quadrata di latoh =CD = 0.353 m omogeneo con baricentro in G, massa M= 10kg e mo-mento dinerzia baricentrico J = 0.1 kg m2. Nel puntoP del quadratoagisce una forzaF perpendicolare al lato del quadrato con verso entran-te. Il corpo e poi vincolato nel verticeCad unastaBC(BC= 0.183m)

priva di massa che e incernierata a terra inB . Nellatto di moto rappre-sentato, lasta BC e parallela allorizzontale. Il verticeD del quadratoe invece incernierato ad unasta AD (AD = 0.5 m) che e incernierata aterra in A. La distanza tra le cerniere A e B, allineate verticalemnte,e AB = 0.5m. Lasta AD, nellatto di moto considerato, e inclinata di/6 rispetto allorizzontale. Sempre nellatto di moto i punti B, C e Gsono allineati. Note inoltre la velocita angolare = 37.32 rad/s e lacce-lerazione angolare = 110rad/s2 della manovella BC, determinare perlistante temporale considerato:

1. le velocita e le accelerazioni angolari delle aste AD e C D;

2. le velocita del puntoG(baricentro del corpo) e del puntoP(puntodi applicazione della forzaF);

3. la coppiaCm da applicare alla manovella B Cper ottenere il motostudiato conF= 50N;

4. le reazioni vincolari inA e B .


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6.5 Disco Cuneo

B

A

O

C

P

G

F

a

bM, R

x

y

i

j

k

Figura 6.5: Sistema disco-cuneo.

Il sistema rappresentato in Figura 6.5, posto nel piano verticale,e composto da due corpi rigidi: un disco ed un cuneo, a contatto incondizione di rotolamento senza strisciamento. Sul centroCdel disco,omogeneo di raggioRe massaM, che scorre lungo una guida orizzontale,e applicata una forza F orizzontale. Sul disco e appoggiato un cuneoomogeneo di massa m, cateti a e b e ipotenusa inclinata di un angolo rispetto allorizzontale. Il cuneo e vincolato mediante due carrelli ascorrere lungo una guida verticale. I dati del problema sono riportati inTabella 6.3.

Conoscendo la legge di moto del centro del disco x(t), calcolare:

1. il modulo della forza F necessario a garantire il moto assegnatonellipotesi di rotolamento senza strisciamento tra disco e cuneonel punto di contatto P.

2. le reazioni vincolari in A e in B, sapendo che il carrello inferioredel cuneo si trova a meta del lato verticale di lunghezza b e chenellistante considerato il punto P e allineato al carrello inferiore.


a=

3/2 m b= 0.5 m m= 5 kg

M= 10kg R= 0.25 m AB = b/2


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E 34 Capitolo 6

6.6 Disco che rotola su un piano

H

G

m, R

x

y

O

C

Figura 6.6: Disco che rotola su un piano

Come mostrato in Figura 6.6, il sistema in esame e composto da undisco che rotola senza strisciare su una guida rettilinea. Nota la storiatemporale della coppia C(t) = At Nm applicata al disco, le condizioniiniziali del moto (0) = 0 rad e (0) = 0 rad/s, la massa m = 5 kg, ilraggio R= 0.1 m ed il valore della costante A= 0.008 Nm/s calcolare:

1. la legge di moto del disco(t);

2. le reazioni vincolari H e Vnel punto di contatto con la guida al

tempot = 1 s.



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Capitolo 7

Azioni mutue tra elementi

di macchine

7.1 Attrito radente tra corpi

m1

m2s, d

F

s, d

Figura 7.1: Attrito radente tra corpi

Del sistema meccanico mostrato in Figura 7.1, disposto nel pianoverticale, sono note le masse dei due corpi (m1 = 3 kg e m2 = 2 kg) e icoefficienti di attrito statico e dinamico (s = d= 0.5).

Si chiede di determinare il moto del sistema al variare della forza Fapplicata al corpo 1, ovvero determinare il valore della forza F per cui:

1. i corpi 1 e 2, solidali tra loro, iniziano a strisciare sul piano;2. il corpo 1 striscia sul piano ed il corpo 2 inizia a strisciare sul corpo

1.

35


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E 36 Capitolo 7

7.2 Veicolo a due ruote in salita

m, R

m, RM, L

Cp

Ca

fs

Figura 7.2: Veicolo in salita

Il veicolo schematizzato in Figura 7.2 e composto da due dischi omo-genei di raggioR = 0.3 m e massa m = 20 kg, schematizzanti le ruote, eunasta rigida omogenea di lunghezza L= 1.75 m e massa M= 250 kgschematizzante la cassa. Il veicolo si muove su un piano inclinato di unangolo = /6 rad rispetto allorizzontale. Il coefficiente dattrito stati-co tra ruote e piano inclinato efs= 1, si consideri inoltre un coefficientedi restistenza al rotolamento fv = 0.01.

Nelle condizioni di moto a regime in salita, verificare laderenza delleruote, ovvero il vincolo di rotolamento senza strisciamento, per i seguenticasi:

1. coppia motrice applicata alla sola ruota anteriore (Ca= 0, Cp= 0);2. coppia motrice applicata alla sola ruota posteriore (Ca = 0, Cp=

0);

3. coppia motrice applicata egualmente ad entrambe le ruote (Ca =Cp= 0).

P.S. le coppie motrici sono forze interne al sistema: sul telaio si hannodelle coppie uguali e contrarie a quelle applicate alle ruote.

7.3 Quadrilatero articolato

Si consideri il sistema meccanico riportato in figura 7.3 di cui e statacalcolata la cinematica allesercizio 3.2. Il disco 1 e omogeneo di massam1, raggioR1e momento dinerzia baricentricoJ1; il semidisco ha massamSD , raggio RSD e momento dinerzia baricentrico JG mentre. Il disco3 e omogeneo ed ha massa mD, raggioRD e momento dinerzia baricen-trico JD. Tra il disco 3 e il piano inclinato il coefficiente di resistenza alrotolamento e fv = 0.2.

Per le condizioni di moto assegnate, si chiede di calcolare:


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O1A

B

O2

G

P

D

Cm

m1, R1, J1

mSD , RSD , JG

mD, RD, JD

fv



m1= 1 kg R1 = 0.2 m J1= 0.05kg m2

mSD = 0.5 kg RSD = 0.15 m JSD = 0.005kg m2

mD = 5 kg RD = 0.15 m JD = 0.06kg m2

1. la potenza assorbita per resistenza al rotolamento del disco 3;

2. la coppia Cm applicata al disco 1 che garantisce le condizioni dimoto assegnate.

7.4 Manovellismo deviato

, ,

Cr

O

A

C

fv

B

P

R

F

Figura 7.4: Manovellismo ordinario deviato


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E 38 Capitolo 7

Al sistema in Figura 7.4, la cui cinematica e stata risolta nelleser-

cizio 3.3, sono applicate una forza motrice F, applicata al centro deldisco, ed una coppia resistenteCr, costante ed applicata alla manovella.Il sistema si muove nel piano verticale. Tra disco e piano orizzontaleil coefficiente di resistenza al rotolamento e fv. Il disco e omogeneo dimassaMmentre lasta, anchessa omogenea, ha massa m. Determinare:

1. il valore della forzaFche garantisce il moto assegnato;

2. le reazioni vincolari inC.


= 3 rad = rad/s = rad/s2 = 0 radOA = 1

3m AB = 1 m R= 0.2 m Cr = 50Nm

M= 10kg m= 2 kg fv = 0.02

7.5 Attuatore oleodinamico

O

O1

BDA

Cm, JC

FM, JA

Figura 7.5: Glifo Oscillante

Del meccanismo riportato in Figura 7.5 e nota la cinematica, cal-colata allesercizio 3.1. Lasta O1B ha massa M e momento dinerziabaricentricoJA mentre il pistone ha massa m e momento dinerzia ba-

ricentrico JC. Allinterno dellattuatore agiste una pressione p e, tracilindro e pistone, una forza dattrito con coefficiente dattrito dinamicod. Nel punto D e applicata una forza Fverticale di modulo costante ediretta verso il basso, la distanza B D e nota e riportata in Tabella 7.3.Il sistema giace nel piano verticale. Determinare:

1. la pressione p allinterno del cilindro che garantisce il moto asse-gnato;

2. le reazioni vincolari tra cilindro e pistone.


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O1B = 2.5 m OO1 = 1.41 m BD = 0.5 m=

4rad = 0rad OB(t= 3 s) = 3.64 m

M= 13kg JA = 0.5 kg m2 F= 150N

m= 2 kg JC= 0.01kg m2 d= 0.3

7.6 Sistema meccanico

A

B G

C F

fdM, R

m, JG

Figura 7.6: Schematizzatione di una carriola

Il sistema meccanico in Figura 7.6, la cui cinematica e stata risoltaallesercizio 3.9, e posto nel piano verticale ed e mosso da una forza F

applicata nel punto C. Lasta CG ha massa m e momento dinerziabaricentrico JG mentre il disco e omogeneo di massa M e raggio R.Considerando un coefficiente dattrito dinamico fd tra pattino ed asta,per latto di moto rappresentato, calcolare:

1. la forzaFche garantisce il moto assegnato;

2. le reazioni vincolari nel puntoB .


AB = 3 m R= 0.6 m xC= 6 m

m= 50kg JG= 1kg m2 CG= 1.2 mM= 2 kg R= 0.2 m fd= 0.2



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E 40 Capitolo 7


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Capitolo 8

Dinamica della macchina a

un grado di liberta

8.1 Skilift

R1, J1

R2, J2

AA

BB

mm

Jm

,

Motore

Figura 8.1: Sistema meccanico dellesercizio 8.1

Il sistema riportato in Figura 8.1 schematizza un impianto di risalita(skilift), costituito da una fune inestensibile, avvolta sulle pulegge dimomento dinerzia baricentrico J1 e J2, che e azionata da un motoreelettrico la cui curva caratteristica eCm(m) = AB2m. Questultimapuleggia e collegata al motore mediante una trasmissione caratterizzatada un rapporto di trasmissione e da un rendimento diretto d e unrendimento retrogrado r.

Alla fune sono collegate, tramite due funiAB eAB (ipotizzate pri-ve di massa), due masse puntiformi di massa m che vengono trascinateda due pattini, ad esse rigidamente collegati, lungo un piano inclina-

41


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E 42 Capitolo 8

to caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico fd. I dati del

problema sono riportati in tabella 8.1.Ipotizzando di trascurare lattrito dinamico tra pattini e piano incli-

nato, calcolare:

1. laccelerazioneas allo spunto delle masse in salita;

2. la coppia motrice a regime;

3. la velocita v di avanzamento delle masse a regime;

4. il tiro nelle funi di traino AB e AB nelle condizioni indicate nelpunto 1.

Ipotizzando di considerare lattrito dinamico presente tra pattini epiano inclinato, calcolare:

5. la coppia motrice necessaria per garantire il moto a regime in salita;

6. laccelerazione delle masse a partire dalla condizione di regimedel punto precedente ipotizzando di annullare la coppia motricelasciando il motore folle.


A= 100 Nm R1= R2= 0.5 m = 20

B = 0.1 Nms2/rad2 d= r = 0.95 = 45

Jm= 6.25 kgm2 J1= 2.5 kgm

2 J2= 3.75 kgm2

m= 70 kg fd= 0.2 = 1/5

8.2 Ascensore

Sia assegnato limpianto di sollevamento riportato in Figura 8.2. Taleimpianto e costituito da un motore elettrico posizionato su un supportovincolato isostaticamente come mostrato in Figura 8.3 che movimenta,attraverso un sistema di riduzione, una puleggia di raggio Rpe momentodinerzia polare baricentrico Jp. Su tale puleggia si avvolge una funeinestensibile alle cui estremita e collegata una cabina di massa mc, ingrado di caricare una massa utile mu, ed un contrappeso di massa mq.I dati noti dellimpianto sono riportati in Tabella 8.2. E inoltre nota lacurva caratteristica del motore elettrico: Cm(m) =Cm0 km.

Si richiede di calcolare:


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p, d, r

Rp, Jp

Cm

m

Jm

v

v

mc

mq

Figura 8.2: Sistema meccanico dellesercizio 8.2

b

AC

B

a

Cm

mq

mc

Figura 8.3: Sistema di vincolo

1. laccelerazione allo spunto in salita del sistema, nel caso in cuila cabina sia a pieno carico (quindi con massa sollevata pari amc+ mu);

2. la velocita di regime a pieno carico in salita e la coppia motrice

necessaria per mantenere tale velocita;3. la decelerazione del sistema a partire dalla condizione di regime

calcolata al punto 2 applicando una coppia frenante sullalberomotore pari a Cf = 8.6 Nm e annullando la coppia motrice;

4. la coppia necessaria a garantire unaccelerazione della cabina paria a= 0.5 m/s2 nel caso questultima sia in salita e priva di alcuncarico e quindi con massa pari a mc;

5. le reazioni vincolari in A, nelle condizioni di moto del punto 1.


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E 44 Capitolo 8


mc = 300 kg mu= 325 kg mq = 500 kg= 1/55 d= 0.7 r = 0.6Jm = 0, 02 kg m

2 Jp= 1 kg m2 Rp = 0, 27 m

Cm0 = 30 Nm k= 0.01 Nm/rpm a= 1 mb= 0.8 m = 45

8.3 Muletto

h

m1

G1

cba

d

m2G2

h1mG

Figura 8.4: Carrello elevatore

Del carrello elevatore riportato in Figura 8.4 sono note le seguentigrandezze geometriche: semipasso posteriore a = 0.5 m, semipasso an-teriore b = 1 m, il raggio delle ruote R = 0.4 m, laltezza del baricentroG del solo carrello elevatore rispetto al suolo h = 0.6 m, la distanzaorizzontale tra il baricentro G del carrello e il baricentro G1 della mas-sa posta sulle forche c = 2 m e laltezza rispetto al suolo del punto diattacco della fune di traino d = 0.5 m. Risulta inoltre noto lo sche-

ma del sistema di trasmissione di potenza, rappresentato in Figura 8.5.Conoscendo la massa del solo carrellom = 2000 kg, il momento dinerziabaricentrico di ogni singola ruota Jr = 2.5 kg m

2, il momento dinerziadel motore Jm = 0.25 kg m

2, il rapporto di trasmissione = 1/50 edil rendimento della trasmissione = 0.80 oltre ai coefficienti di attritostatico fs = 1, dinamico fd = 0.30 e volvente fv = 0.02, si richiede dideterminare:

1. il carico limitem1 sollevabile a veicolo fermo senza che avvenga ilribaltamento del carrello elevatore;


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Ruote motrici anteriori

Motore longitudinale

Trasmissione

,

Jm

Motore

Figura 8.5: Sistema di trasmissione

In condizione di avanzamento a regime con motore erogante una coppiaCm pari aCm= 200 N m si determini:

2. il carico limite m2 trascinabile dal carrello nel caso di massa m1posta sulle forche;

3. il valore della risultante dei carichi normali agenti sulla coppia dipneumatici anteriori e posteriori con carrello impegnato a traspor-tare le masse m1 e m2;

Infine, per coppia motrice Cm pari a 1.5Cm e sempre nel caso di massetrasportate m1 e m2, si calcoli:

4. laccelerazione longitudinale del carrello;

5. laltezzah1massima rispetto al suolo del baricentro G1per la qualerisulta verificata laderenza delle ruote motrici.

8.4 Impianto di sollevamento

In Figura 8.6 e raffigurato lo schema di un impianto di sollevamento.Lazionamento elettrico, con momento di inerzia Jm pari a 0.5 kg m

2,ha una caratteristica di coppia descritta dalla relazione:

Cm() = Cm0 kmdove Cm0 = 10 Nm e k = 0.0318 Nms/rad. Questultimo e collegatoattraverso un organo di riduzione, caratterizzato da 1 = 1/50, 1d =0.9 e 1r = 0.75, ad una puleggia di raggio R1 = 0, 2 m e momento


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E 46 Capitolo 8

Cm

Jm

11d 1r

A

A J1, R1

m1v1

2

2 2d 2r

m2

fs, fd

R2J2, R2

Figura 8.6: Sistema

dinerzia baricentrico J1 = 2.5 kg m2. Su tale puleggia si avvolge una

fune inestensibile collegata alla massa m1= 100 kg.

Sul medesimo albero cui e calettata la puleggia, viene installato unorgano di riduzione ad assi sghembi costituito da una vite senza finee una ruota dentata; tale trasmissione e caratterizzata dai rapporti2 = 1/11, 2d = 0.85 e 2r = 0.7. Lalbero di uscita del secondo ri-duttore e collegato a un disco (di raggio R2= 1 m e momento dinerziabaricentricoJ2= 1 kg m

2) su cui si avvolge una fune inestensibile per ilsollevamento della massam2= 100 kg, che striscia su un piano inclinatodi un angolo = 30 con coefficiente di attrito dinamico fd = 0.1 e diattrito statico fs= 0.15.

Si richiede di determinare:

1. la coppia motrice necessaria p er sollevare a regime la massam1;

2. la velocita di regime cui si porta il sistema;

3. laccelerazione allo spunto in salita della massam1;

4. la coppia agente nella sezione A A dellalbero nella condizionedel punto precedente;

5. il valore dim2 per cui, in condizioni di regime, il flusso di potenzasulla prima trasmissione passa da diretto a retrogrado o viceversa;

6. utilizzando il valore dim2 calcolato al punto precedente valutare,a regime, la coppia motrice e la velocita del sistema.

8.5 Utilizzatore a regime periodico

Il sistema MTU rappresentato in Figura 8.7 e composto da un motorecon inerzia Jv e coppia motrice Mm incogniti, una trasmissione di ren-dimento= 0.8 e rapporto di trasmissione = 1/50 ed un utilizzatore


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m Mm MrJv

Mot. Trasm. Util.

Figura 8.7: Macchina ad un grado di liberta con utilizzatore a regimeperiodico

0

Mr [Nm]

r [rad] 2 3 4

Mr,B

Mr,A

Figura 8.8: Andamento del momento resistente in funzione dellangolodellalbero dellutilizzatore

con momento resistente Mr variabile periodicamente in funzione dellaposizione angolare dellutilizzatore r secondo lequazione:

Mr =

Mr,A = 800 Nm 0 r < Mr,B = 400 Nm r < 2 (8.1)

con periodo r = 2 come mostrato in Figura 8.8. Si chiede dicalcolare:

1. il momento motoreMmcostante che garantisce il moto del sistemaa regime periodico;

2. lo scostamento dellenergia cinetica Ec dal valore medio ovveroEc = (Ec,max Ec,min)/2;

3. il valore del momento dinerzia del volanoJv che fornisce un indice

di irregolarita di funzionamento della macchina imax del 3%;

4. la velocita angolare (m) massima e minima dellalbero motore.



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E 48 Capitolo 9


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Capitolo 10

Gli elementi delle macchine

10.1 Trasmissione mediante cinghia piana

dd

I

D

Mm Mr

S

Figura 10.1: Trasmissione a cinghia piana

Sia assegnato il sistema di trasmissione a cinghia riportato in Figu-ra 10.1. Siano inoltre assegnate le grandezze geometriche riportate inTabella 10.1. Si richiede di effettuare:

1. il calcolo degli angoli di avvolgimento della cinghia su entrambe lepulegge;

2. il calcolo del momento resistenteMr, con momento motore Mm ce

la velocita angolare della puleggia motricem = 50 rad/s costanti;

3. la verifica di aderenza;

4. il calcolo del massimo momento motoreMm-max trasmissibile.

10.2 Dimensionamento tendicinghia

In Figura 10.2 e rappresentato un sistema di trasmissione a cinghia contendicinghia sul ramo lasco costituito da un sistema a molla e cuscinet-

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E 50 Capitolo 10

Tabella 10.1: Dati cinghia

Mm = 20 Nm D= 500 mm d= 200 mmI= 600 mm fs = 0.6 S= 300 N

Cx

yA

B

D

E

O1

O2Cm

Figura 10.2: Trasmissione a cinghia con tendicinghia

to. Il momento motore applicato alla puleggia motrice e Cm mentre lapotenza da trasmettere eW. La puleggia motrice ha raggio Rm mentrela puleggia condotta ha raggio Rc, linterasse tra le puleggie e l. I datidel problema sono riportati in Tabella 10.2. Determinare:

1. la velocita angolare della puleggia motrice e della puleggia condot-ta;

2. la coppia resistente della puleggia condotta;

3. gli angoli di avvolgimento della cinghia sulle pulegge;

4. il precarico della molla del tendicinghia che garantisce il non slit-tamento.

Tabella 10.2: Dati per il dimensionamento del tendicinghia

Momento motore Cm 20 NmPotenza W 5 kWRaggio puleggia motrice Rm 100 mmRaggio puleggia condotta Rc 300 mmRigidezza molla k 100 kN/minterasse pulegge l 600 mmcoordinate punto C xC 500 mm

yC 0 mm


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10.3 Camma circolare

O

PC

eR

k

z(t)

mp

Figura 10.3: Meccanismo a camma circolare centrata con punteria apiattello e molla elastica di richiamo

Il meccanismo a camma rappresentato in Figura 10.3 e costituito dauna camma centrata con punteria a piattello e molla elastica di richiamodi rigidezza k (si trascuri la massa della molla). La camma e ottenutacon un profilo circolare che ruota intorno ad un punto distante dal centrodel cerchio del profilo di una quantita e. La velocita di rotazione dellacamma ( = ) e costante nel tempo. I dati noti del meccanismo sono

riportati in Tabella 10.3.Determinare:

1. la legge di alzata, la velocita e laccelerazione della punteria z(t), z(t),z(t);

2. la velocita di strisciamento tra camma e punteria;

3. la rigidezza della molla di richiamo che impedisce alla punteria distaccarsi dal profilo della camma;

4. lenergia dissipata per attrito per un giro completo della camma.

Tabella 10.3: Dati meccanismo a camma

raggio camma (CP) R 20 mmeccentricita (CO) e 3 mmvelocita angolare 4 rad/smassa punteria mp 50 gcoefficiente attrito dinamico fd 0.1 -compressione della molla per = 0 rad l0 1 mm


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E 52 Capitolo 10

10.4 Freno a disco

A

B

C

F

a

b

12

34

5

Figura 10.4: Sistema frenante a disco: 1 corpo pinza, 2 camera olio, 3pistoncino, 4 pastiglia, 5 disco

In Figura 10.4 e riportato il disegno di un tipico sistema frenanteautomobilistico. Il sistema e costituito da un disco, la cui pista frenanteha raggio esterno Re = 310 mm e raggio internoRi= 200 mm, e da una

pinza a 6 pistoncini di diametro dp = 65 mm che premono le pastigliecontro il disco. Le pastiglie hanno raggio interno ed esterno pari a quellidel disco e coprono un settore circolare = 75; il coefficiente dattritodinamico tra disco e pastiglie e d = 0.4. Nellistante considerato ilveicolo viaggia a 100 km/h (raggio ruota Rr = 300mm) ed il pilotaapplica una forza sul p edale del freno di 100 N. La pompa del freno hauna superficie di spinta di Sf = 45mm

2 ed e movimentata secondo loschema in Figura (a= 50 mm, b = 150 mm). Si chiede di calcolare:

1. la pressione dellimpianto frenante;

2. la forza che preme le pastiglie contro il disco;

3. la forza e la coppia frenante sviluppate;

4. la potenza istantanea dissipata per attrito.


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10.5 Cinematica del veicolo in curva

R

ds p c

m

vs

vd

c

CIR

Figura 10.5: Autoveicolo in condizioni di sterzatura cinematica

In Figura 10.5 e rappresentato un autoveicolo a trazione posteriore in

condizioni di sterzatura cinematica. Nota la geometria del veicolo e deldifferenziale e note la velocita di avanzamento e la velocita dimbardata1,calcolare la velocita dellalbero motore e la coppia alle ruote nel caso dipotenza erogata dal motore costante e pari a 20 kW.

Tabella 10.4: Dati veicolo

velocita veicolo v 54 km/h

velocita dimbardata 0.3 rad/sraggio ruota Rr 280 mmraggio primitivo ruota conica albero trasmissione rm 50 mm

raggio primitivo corona dentata ponte rp 150 mmraggio primitivo ruota planetaria differenziale rpl 40 mmraggio primitivo ruota satellitare differenziale rsat 35 mmcarreggiata c 1500 mm

1La velocita dimbardata e la velocita angolare con cui il veicolo ruota intornoallasse z, perpendicolare alla strada. Pertanto in una curva di raggio medio R, unveicolo che viaggia con velocitav ha una velocita dimbardata in modulo pari a = v

R


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E 54 Capitolo 10

1 1

2 3 4

6

57

Figura 10.6: Differenziale: 1 semialbero, 2 perno satelliti, 3 satellite, 4planetaria, 5 corona dentata ponte, 6 ruota conica trasmissione, 7 alberodi trasmissione


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10.6 Innesto a frizione automobilistico

a) frizione innestata b) frizione disinnestata

12

3

5

4

6

7 8

Figura 10.7: Innesto a frizione automobilistico: 1 volano, 2 materiale difrizione lato volano, 3 materiale di frizione lato disco frizione, 4 alberomotore, 5 disco frizione, 6 molla a diaframma, 7 meccanismo di disinne-sco (spintore, cuscinetto assiale, forcella di comando), 8 albero condotto(verso il cambio)

In Figura 10.7 e rappresentato lo schema di un tipico innesto a fri-zione di derivazione automobilistica. Il meccanismo ha il compito disincronizzare la velocita dellalbero motore e lalbero condotto che entranel cambio di velocita. Un disco ricoperto di apposito materiale di frizio-ne viene premuto contro il volano del motore: lattrito che si genera nelcontatto assicura la trasmissione del moto tra i due alberi. Il comandoviene azionato tramite il pedale su cui agisce il guidatore della vettura.Nota la geometria della frizione e la legge con cui viene esercitata laforza N(t) premente i dischi di frizione, determinare:

1. le equazioni di moto del sistema;

2. landamento delle velocita angolari dei due alberi fino ad innestoavvenuto;

3. lenergia dissipata per attrito nel processo di avviamento del vei-colo.



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E 56 Capitolo 10

Tabella 10.5: Dati innesto a frizione

coppia motrice costante Cm 100 N mvelocita angolare iniziale motore m0 100 rad/svelocita angolare iniziale utilizzatore u0 100 rad/sinerzia motore + volano Jm 0.5 kg m

2

inerzia lato cambio Ju 0.8 kg m2

coppia resistente costante Cr 30 Nm

raggio esterno dischi frizione Re 200 mmraggio interno dischi frizione Ri 120 mmlegge della forza premente N(t) 3000t Ncoefficiente dattrito dinamico fd 0.5coefficiente dattrito statico fs 0.5


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Capitolo 11

Vibrazioni meccaniche a un

grado di liberta

11.1 Fermaporta

x

A G m, l

k r

Figura 11.1: Schematizzazione del fermaporta

In Figura 11.1 e rappresentato un meccanismo di ritenuta che im-pedisce ad una porta di sbattere. Per minimizzare il tempo di riposi-zionamento della porta nella posizione di riposo, e stato progettato unsistema molla-smorzatore che opera in condizioni di rapporto di smorza-mento critico. Nota la massamdella porta, la lunghezza l, la rigidezzakdella molla e che lestremo della porta (puntoA) subisce uno spostamen-to massimo di xmax = 20 mm dopo limpatto, si chiede di determinare

in base ai valori riportati in Tabella 11.1:

1. il valore del coefficiente di smorzamento fisico r ;

2. la velocita iniziale del punto A: x0;

3. il tempo necessario affinche il puntoA ritorni ad una posizione dix2 = 5 mm dalla posizione iniziale.

57


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E 58 Capitolo 11

Tabella 11.1: Fermaporta: dati

massa porta m 30 kglunghezza della porta l 900 mmrigidezza molla k 10000 N/m

11.2 Locomotore

Un locomotore di massa m in moto con una velocita v e fermato allafine del binario da un respingente schematizzato come un sistema molla-smorzatore, Figura 11.2. Nota la rigidezza k della molla e la costantedi smorzamento r, si chiede di determinare lo spostamento massimo

raggiunto dallistante in cui il locomotore colpisce il respingente ed iltempo necessario per raggiungere il massimo spostamento in base aidati indicati in Tabella 11.2.

Figura 11.2: Schematizzazione del respingente ferroviario

Tabella 11.2: Locomotore: dati

massa locomotore m 80 tvelocita allimpatto v 15 km/hrigidezza molla k 10 kN/mmcostante di smorzamento r 2 kNs/mm

11.3 Sospensione motociclistica

Si vuole effettuare il dimensionamento di una sospensione per una mo-tocicletta di massa m = 200 kg che soddisfi le seguenti specifiche:

Le oscillazioni devono smorzarsi con un tasso di riduzione che neriduca le ampiezze di 4 volte ogni mezzo periodo;


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m

rk

Figura 11.3: Schematizzazione di una sospensione motociclistica

Il periodo di vibrazione del sistema sia uguale a 2 s

La sospensione puo essere schematizzata, in prima approssimazione,come in Figura 11.3. Una volta identificati i parametri di rigidezza edi smorzamento della sospensione in base ai dati forniti in Tabella 11.3,determinare quale sia la minima velocita iniziale da fornire al sistemameccanico per raggiungere un massimo spostamento di xLim= 50 mm.

Tabella 11.3: Dati per il dimensionamento della sospensione

massa moto m 200 kgperiodo di vibrazione T 2 sriduzione di ampiezza x(t + 0.5T) = 1/4x(t)

0 1 2 3 4 5 6

40

20

0

20

40

t [s]

x(t)[mm]

Figura 11.4: Oscillazioni nel tempo


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E 60 Capitolo 11

k1r1

k3

r3

k2

r2

m3

2R

R

m1

m2, J2C(t)

Figura 11.5: Sistema vibrante: es.1

11.4 Sistema vibrante: es.1

Il sistema in Figura 11.5, posto nel piano verticale, e costituito da uncarrello di massa M3 che scorre su un piano orizzontale. Il carrello evincolato a terra tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristichek3, r3. Su di esso e posta una coppia di dischi concentrici e solidali, dimassa totale M2 e momento dinerzia complessivo J2. Il disco di raggio2R rotola senza strisciare sul carrello ed e vincolato allo stesso tramite

un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k2,r2. Sul disco di raggioR si avvolge una fune collegata ad una massa M1. La massa M1 evincolata a terra tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristichek1, r1. Una coppia esternaC(t) =C0 cos(t) agisce sul disco di raggio2R. Considerando la coordinata libera , determinare:

1. la posizione di equilibrio statico0;

2. lequazione di moto del sistema nellintorno della posizione di equi-librio statico;

3. la frequenza propria del sistema smorzato;

4. la risposta a regime del sistema.

11.5 Sistema vibrante: es.2

Il sistema rappresentato in Figura 11.6 si trova nel piano verticale. Uncorpo di massaM1scorre lungo una guida verticale ed e vincolato a terraattraverso un gruppo molla-smorzatore di rigidezzak1e smorzamentor1.Una coppia di dischi concentrici, di momento di inerzia complessivo pari


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M1= 10 kg k1= 100 N/mM2= 50 kg r1= 10 Ns/m

J2= 25 kg m2 k2= 100 N/m

M3= 70 kg r2= 10 Ns/mR= 0.5 m k3= 1000 N/m = 30 rad/s r3= 30 Ns/m

C0= 100 Nm

k1

M1

r1 r2k2

k3r3F1

F2

R3

R2

Figura 11.6: Sistema vibrante: es.2

aJ2, e incernierata a terra nel suo centroO e rotola senza strisciare sulcorpo di massaM1. Una fune collega il disco interno di raggioR2a terraattraverso un gruppo molla-smorzatore di rigidezza k2 e smorzamentor2. Unaltra fune si avvolge sul disco esterno di raggio R3 ed e vincolataad un altro gruppo molla-smorzatore di rigidezza k3 e smorzamento r3che la collega al carrello. Al sistema sono applicate due forzanti esterne:F1(t) =F1cos(t), F2 = costante. Si richiede di determinare:

1. lequazione di moto del sistema nellintorno della posizione di equi-librio statico, utilizzando come variabile indipendente la rotazione indicata in figura;

2. la frequenza propria del sistema e lo smorzamento adimensionale;

3. la risposta del sistema (t) in transitorio perturbando il sistemaa partire dalla condizione di equilibrio statico (d(t = 0) = 0 rad,d(t= 0) = 1rad/s).


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E 62 Capitolo 11


M1= 10 kg k1= 3000 N/mJ2= 20 kg m

2 r1= 30 Ns/mR2= 0.2 m k2= 6000 N/mR3= 0.3 m r2= 60 Ns/mF1= 100 N k3= 12000 N/mF2= 150 N r3= 60 Ns/m = 10 rad/s


Eserciziario Meccanica Applicata alle Macchine

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