MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

CINEMATICA

Posizione Descrizione della posizione di un corpo ad ogni istante rispetto ad un sistema di

riferimento fissato. Come riferimento si possono prendere diversi sistemi:

Piano cartesiano: ! = #(%) = #'((%), *(%)+ = (, + *.

Piano di Gauss: ! = #(%) = ( + /* = |#|123

´ Nel piano di Gauss la posizione e la velocità sono rappresentate come vettori

Velocità Derivata della posizione in funzione del tempo

4! =55%

#(%) =55%

|#|123 = 6#6123 + /8|#|123 → 4! = |;<|12=

´ Si dimostra che la velocità è tangente alla traiettoria in ogni punto (infatti

moltiplicare per i significa ruotare un vettore di 90° in senso antiorario)

Accelerazione Derivata della velocità in funzione del tempo

>! =55%

;< = |;<|12= + /?|;<|12=

´ L’accelerazione è somma di una componente normale alla traiettoria e una

tangenziale (moltiplicata infatti per i)

´ Il primo termine varia al variare del modulo della velocità mentre il secondo risente

delle variazioni angolari

P, v, a nel piano di Gauss

Tipi di moto Moto rettilineo: Moto circolare:

8 = @AB%dunque tutte le sue derivate

sono nulle

! = |#|123

4! = 6#6123

>! = 6#6123

8 = 8(%), D = @AB%

! = D123

4! = /8D123

>! = /8D123 − 8FD123

* moto traslatorio ¹ moto rettilineo: il moto traslatorio impone che il corpo non ruoti rispetto a se stesso, ma

può essere anche lungo una circonferenza

IL CORPO RIGIDO

Gradi di libertà e vincoli

Si definisce spostamento rigido lo spostamento di un corpo che non subisce

deformazioni; conoscendo lo spostamento di un punto sono univocamente determinate

le componenti di tutti gli altri punti del corpo.

Nel piano il corpo rigido ha 3 GdL: (G, *G, 8

I vincoli imposti sul corpo rigido annullano uno o più gradi di libertà del sistema e sono

di diverso tipo: cerniera, incastro, carrello, manicotto, pattino, …

H5IJKJLM2 = H5IN2NJOPL − H5Q

Atto di moto e CIR

Si definisce atto di moto la fotografia delle velocità di ciascun punto del corpo ad un

determinato istante.

Tracciando le perpendicolari alle velocità in ciascun punto esse si

incontrano in un ponto, detto centro di istantanea rotazione (CIR),

la cui velocità è nulla in quell’istante.

4RST = 0

´ La velocità del CIR è nulla, ma la sua accelerazione può non esserlo

´ Se il moto di un corpo ad un certo istante è solo traslatorio il CIR è all’infinito (rette

perpendicolari alle velocità sono parallele)

Teorema di Rivals

4V = 4W + 4WV = 4W + X × (V − W)

Riferita al CIR la legge di Rivals diventa:

4V = X × (V − RST)

Derivando tale legge si possono ottenere anche le

accelerazioni:

>V = >W + X × (V − W) − ZF(V − W)

´ Z velocità angolare e Z accelerazione angolare

Terna di riferimento mobile

Se si prende come sistema di riferimento una terna mobile, velocità e accelerazione sono

la somma di due componenti: una componente di trascinamento (velocità della terna

rispetto al sistema assoluto) e una componente relativa (velocità del punto rispetto alla

terna mobile)

4! = [((\,] + *\.]) + X × (! − ^_)] + ((< ,_ + *<._)

Traslazione terna Rotazione terna

VRELATIVA

VTRASCINAMENTO

>! = [((\,] + *\.]) + X × X × (! − ^_) + X × (! − ^_)] +

Accelerazione terna Rotazione terna

aTRASCINAMENTO

+2X × 4T + ((< ,_ + *<._)

aCORIOLIS aRELATIVA

´ VTR è la velocità che il punto P avrebbe se fosse solidale alla terna mobile dal punto

di vista dell’osservatore assoluto

´ >bKc2KM2N = 2X × 4T con Z velocità angolare della terna e vR velocità relatica

del corpo rispetto alla terna

´ Se la terna è solo traslante, l’accelerazione di Coriolis è nulla

I MECCANISMI

Tipi di meccanismi

Un meccanismo è una serie di corpi rigidi vincolati tra loro. I meccanismi sono di due tipi:

- Catene cinematiche aperte: serie di corpi rigidi con vincoli che uniscono il

precedente al successivo (2 GdL totali)

- Catene cinematiche chiuse: serie di corpi rigidi vincolati tra loro e vincolati alle

estremità ad un telaio (1 GdL totale); sono essenzialmente di tre tipi:

Cinematica di un meccanismo

Lo studio di velocità e accelerazione di ogni punto del meccanismo si può operare in due

modi:

1. Chiusura vettoriale: ogni elemento del meccanismo si può rappresentare con un

vettore nel piano di Gauss (numeri complessi), l’insieme di tutti i vettori forma una

spezzata chiusa; derivando una o due volte l’eq. di chiusura si ottengono velocità e

accelerazioni di tutti i punti

d12= + e12f = @

2. Terne mobili: si sceglie una terna mobile traslante o rotante e si esprimono le velocità

dei punti come somma di velocità di trascinamento e velocità relativa

4< = 4gh + 4hij

´ Nella chiusura vettoriale gli angoli vanno sempre calcolati in verso antiorario!

´ Nel secondo metodo non si sceglie mai una terna roto-traslante per comodità

´ La terna traslante si usa quando gli elementi del meccanismo hanno lunghezza fissa, mentre se un elemento ha lunghezza variabile si usa una terna rotante

´ Quando possibile è più conveniente usare una terna traslante perché annulla

l’accelerazione di Coriolis

Statica di un meccanismo

Un meccanismo è stabile quando sono stabili tutti i corpi rigidi che lo compongono. Un

corpo rigido è stabile quando la risultante delle forze è nulla e la risultante dei momenti

rispetto ad ogni punto è nulla

Nel piano: k∑ Dm = 0∑Dn = 0∑ oK = 0

´ Per un corpo puntiforme è sufficiente la risultante delle forze nulla affinché il corpo

sia in equilibrio, mentre per i corpi rigidi serve anche la risultante dei momenti perché

il corpo può ruotare

´ Nella risultante delle forze vanno considerate anche le reazioni vincolari

Dinamica di un meccanismo

L’analisi dinamica di un meccanismo consiste nel considerare le forze e le coppie di inerzia

dovute alle accelerazioni del corpo, che si sommano alle forze e alle coppie esterne

⎩⎪⎨

⎪⎧t(uONJOcvO + u2vOcw2L) = ]5A;1u2vOcw2L = x>

t'yzONJOcv2 + yz

2vOcw2L + R,{+ = ]5A;1 yz2vOcw2L = xZ(|^ × ^|)

R,{ = }~X

´ Cin è la coppia di inerzia ed è ottenuta come prodotto del momento di inerzia per

l’accelerazione angolare

´ La coppia di inerzia è sempre tale da opporsi all’accelerazione angolare mentre la forza

di inerzia è tale da opporsi all’accelerazione lineare

´ Il momento totale è dato dalla somma dei momenti delle forze esterne, dei momenti

delle forze di inerzia e della coppia di inerzia di ogni corpo

Manovellismo ordinario (biella-manovella)

Manovellismo ordinario centrato

Serve a trasformare il moto rotatorio della manovella in un moto lineare alternato del

carrello o viceversa

´ Gli angoli vanno calcolati sempre in verso antiorario!

´ Dopo aver derivato, le quantità moltiplicate per l’unità immaginaria i si possono

anche vedere come gli stessi vettori ruotati in senso antiorario di p/2

´ Dopo aver scritto l’eq. di chiusura per risolvere si scompongono i vettori lungo x e y

con rispettivamente coseni e seni ´ Fare attenzione a quali angoli e quali moduli sono variabili nel tempo e quali no

quando si deriva! In questo caso ad esempio varia solo il modulo di c, mentre a e b

rimangono di lunghezza costante

´ Il CIR del meccanismo si sposta nel tempo, dunque esso roto-trasla

´ Se si vuole studiare il cinematismo con una terna mobile si può usare una terna traslante in A o in B poiché gli elementi hanno tutti lunghezza costante

´ Quando la biella e la manovella sono allineate e B si trova il più lontano possibile da

O si dice che B è nel punto morto esterno, mentre quando sono allineate e B è il più

vicino possibile ad O è nel punto morto interno. In entrambi questi punti la velocità

di B è nulla e l’accelerazione massima

Manovellismo ordinario deviato

´ Lo studio di accelerazioni e velocità è analogo al manovellismo centrato

* Studio cinematico fatto attraverso il metodo della chiusura vettoriale, ma si può fare anche con le terne mobili

Glifo oscillante

Glifo Il glifo è costituto da due cerniere esterne e un vincolo prismatico. Il moto rotatorio

completo della manovella viene trasformato in moto rotatorio alternato del glifo.

´ Il vettore d ha modulo e angolo costanti poiché è il telaio

´ Se si vuole studiare il cinematismo con una terna mobile bisogna usare una terna rotante perché gli elementi non hanno lunghezza fissa (ci sarà allora anche

l’accelerazione di Coriolis)

Quadrilatero articolato

Quadrilatero articolato

Costituito da due cerniere fisse e due mobili, che uniscono due manovelle/bilancieri e

una biella al telaio.

´ Il vettore d ha modulo e angolo costanti poiché è il telaio

´ Fare attenzione a quali angoli e quali moduli sono variabili nel tempo e quali no

quando si deriva!

´ Se si vuole studiare il cinematismo con una terna mobile si può usare una terna traslante poiché gli elementi hanno tutti lunghezza costante

´ Se Lmin+Lmax < S(altri lati) , allora il lato più corpo compie rotazioni complete rispetto agli altri (regola di Grashof)

Parallelogramma articolato

Le manovelle OA e BC hanno la stessa lunghezza, di conseguenza anche gli angoli sono

uguali a due a due.

´ L’asta AB trasla solo e non ruota!

* Geometria delle masse e momenti

Baricentro (~

� =1Ω

Ç (�dΩ

Ñ*~

� =1Ω

Ç *�dΩ

Ñ

(~� =

ΩÖ(′~Ö + ΩF(′~F

Ω *~

� =ΩÖ*′~Ö + ΩF*′~F

Ω

´ Il momento si calcola rispetto ad un sistema (x’,y’) generico, e poi pone un nuovo

sistema di riferimento baricentrico (x,y) nel punto G trovato

´ Le formule della seconda riga si calcolando dal momento statico S

´ Il momento delle forze calcolato rispetto al baricentro è sempre nullo! S MG=0

Momento di inerzia

Il momento di inerzia indica come la massa è distribuita nel corpo e il suo valore dipende

dal punto rispetto al quale la si calcola

}K = ÇáF

à5x5x = â5;

Per un corpo con spessore h

e densità r costanti:

}K = âℎ Ç áF

Ñ5Ω

Asta: Momento di inerzia rispetto al baricentro G di un’asta di lunghezza L

}~ =112

xIF

Rettangolo: Momento di inerzia rispetto al baricentro G di un rettangolo con base

maggiore di lunghezza L e base minore b

}~ =112

x(IF + eF)

Trasporto del momento

Se il polo rispetto al quale si calcola il momento non è il baricentro bisogna applicare le

formule del trasporto

}z = }~ + x(ãHåååå)F

´ Il valore del momento di inerzia varia al variare del polo considerato

´ Quando un solido è composto da diversi blocchi si può calcolare il momento di

inerzia di ciascun blocco e ottenere quello totale sommando tutti i momenti di

inerzia e aggiungendo i relativi trasporti rispetto al punto considerato

POTENZA E ENERGIA CINETICA

Equazione del bilancio di potenza e PLV

Dato un sistema con n corpi, immaginando che su ciascuno di essi agiscano delle forze

Ni, se i vincoli a terra e quelli intermedi sono non dissipativi, allora in ogni istante la

somma delle potenze delle forze attive (esterne) e reattive (inerziali) deve essere nulla.

Ciò equivale a dire che la somma dei lavori virtuali è nulla.

t çt é2è

ê2

èëÖ

í + téìê,2

êî

2ëÖ

= 0

êî

2ëÖ

→ t'ïI2 + ïIìê,2+ = 0ê

2ëÖ

5A;1é = ñ;1ïI = ñïB

´ Nc numero di corpi, Ni numero di forze, dv velocità virtuale infinitesima, ds

spostamento virtuale infinitesimo

´ Il bilancio di potenza è molto comodo nei meccanismi ad 1 GdL poiché invece di 3

eq. della statica possiamo scriverne solo 1 (oppure si può sostituire ad una delle eq.

di equilibrio dinamico quella del bilancio di potenza)

´ L’eq. di bilancio di potenza può essere scritta al posto di una eq. di equilibrio

dinamico, ma mai in aggiunta ad esse, poiché è una loro combinazione lineare,

dunque non aggiunge altre informazioni

´ In condizioni statiche si considera solo il lavoro delle forze esterne mentre in

condizioni dinamiche si considera anche quello delle forze e coppie inerziali ! ´ Sia nel bilancio di potenza sia nel PLV non si considerano mai le reazioni vincolari

poiché i vincoli impongono spostamento nullo

´ Il PLV consente di scrivere un numero di equazioni pari al numero di GdL del sistema

mentre il bilancio di potenza una sola equazione scalare

Teorema di König

Detti vG velocità del baricentro e JG momento d’inerzia del corpo rispetto al baricentro,

l’energia cinetica di un corpo rigido è data da:

óî =12

x;~F +

12

}~ZF

´ Il teorema di Konig vale solo rispetto al baricentro e non rispetto ad altri punti (se si

conoscono le quantità riferite ad altri punti bisogna applicare il teorema di Rivals per

le velocità e il trasporto del momento per l’inerzia)

Teorema dell’energia cinetica

Il teorema dell’energia cinetica afferma che la somma delle potenze di tutte le forze attive agenti sul sistema è istantaneamente uguale alla derivata dell’energia cinetica del

sistema

t çt é2è

ê2

èëÖ

í = − téìê,2

êî

2ëÖ

=55%

t óî,2

êî

2ëÖ

êî

2ëÖ

´ Teorema molto utile perché per un corpo rigido è facile scrivere e derivare l’energia

cinetica

´ Anche in questo caso i vincoli devono essere per ipotesi non dissipativi

ATTRITO

Tipi di attrito L’attrito è la forza che si oppone al movimento relativo tra due corpi ed è dovuto alle

irregolarità delle superfici che entrando in contatto creano legami molecolari che vanno

rotti. L’attrito può essere:

- Statico: tra due corpi in quiete tra loro; la forza applicata non è ancora in grado

di rompere i legami molecolari e il corpo è fermo (fs coefficiente di attrito

statico)

- Dinamico: tra due corpi in moto relativo tra loro; la forza applicata è superiore

alla forza di primo distacco e il corpo inizia a muoversi (fd coefficiente di attrito

dinamico)

- Volvente: attrito che si manifesta nel moto di un corpo che si muove su un altro

corpo senza strisciare (rotolando), cambiando quindi continuamente superficie

di contatto (fv coefficiente di attrito volvente)

In generale fs>fd poiché i legami molecolari tra le superfici

sono più forti quando il corpo è fermo.

´ In ogni caso la forza di attrito è sempre tale da opporsi al moto del corpo

Condizioni di attrito

Strisciamento: Si ha strisciamento quando nel punto di contatto la velocità

relativa tangenziale tra corpo e superficie è non nulla:

ò;ê

hij = 0;g

hij ≠ 0

Puro rotolamento: Si ha puro rotolamento quando nel punto di contatto la velocità

relativa tangenziale tra corpo e superficie è nulla:

ò;ê

hij = 0;g

hij = 0

Urto: Si ha un urto se la velocità relativa sia tangenziale sia normale è

non nulla:

ò;ê

hij ≠ 0;g

hij ≠ 0

Attrito statico Secondo il modello coulombiano dell’attrito, non vi è movimento relativo finché la forza

applicata è minore della forza di primo distacco:

|ö| ≤ úN|ù| = öM2P2JO

´ T forza che agisce parallelamente alla superficie di contatto, N forza normale

applicata dal corpo sulla superficie di contatto, fs coeff. di attrito statico

´ È una DISEQUAZIONE, dunque non fornisce un valore esatto della forza T!!!

´ Durante il puro rotolamento nel punto di contatto deve essere verificata la

condizione di attrito statico, altrimenti vi è strisciamento

Attrito dinamico Se tra i due corpi vi è una velocità relativa non nulla siamo in condizione di strisciamento,

ovvero di attrito dinamico

ûÖ = úü|ùÖ|†@A°† =4g

cOM

64gcOM6

´ fd coefficiente di attrito dinamico

´ In questo caso è un’EQUAZIONE, non una disequazione, dunque si conosce il valore

esatto della forza

´ Il versore k indica che T è diretta come la velocità relativa

Attrito volvente Attrito che si manifesta in un corpo che rotola senza strisciare. In condizioni ideali il

punto di appoggio tra corpo e superficie si considera uniforme. I condizioni reali però a

causa delle deformazioni si genera un’impronta di appoggio. Integrando la forza N che

agisce sulla superficie dell’impronta si ottiene una risultante che in generale non passa

per il baricentro del corpo ma è spostata di una quantità u

Nel caso di un disco che rotola senza strisciare:

¢ = ú£D

Il modulo di N si ricava imponendo risultante

nulla in direzione verticale u

´ fv coefficiente di attrito volvente

´ u è indipendente dalla massa del disco

´ L’attrito volvente è causato dalla deformazione del disco sulla superficie d’appoggio

(impronta) e dalla conseguente dissipazione di energia; calcolare tale energia

attraverso la deformazione è però molto complicato, dunque si ricorre ad un

modello meccanico (forza N)

´ L’attrito statico e dinamico impongono delle condizioni sulla forza tangente alla

superficie, l’attrito volvente invece è modellizzato da una forza normale alla

superficie e in generale non passante per la retta del baricentro, ma spostato di una

certa quantità u

´ Poiché u¹0, la forza N produce un momento non nullo rispetto al baricentro

o~ = ù¢

´ Invece di una forza N spostata di una quantità u si può anche rappresentare il

sistema con una forza N baricentrica e un momento (equipollenza tra forza e

momento)

´ La forza normale che dipende dall’attrito si sviluppa sempre dalla parte di avanzamento relativo tra terreno e disco

´ Nel caso del disco u dipende da R, dunque solo dalla geometria del corpo

´ Più l’impronta aumenta di dimensione e più energia viene dissipata, infatti:

éü2NN = −¢|ù|Z

Potenza delle forze di contatto

Le forze di attrito dissipano energia, che in generale si trasforma in calore (Joule)

éü2NN = −úü|ù||;cOM|

´ fd coefficiente di attrito dinamico (se c’è attrito stativo v=0 dunque non viene

dissipata energia)

´ W<0 poiché viene dissipata

´ W dissipata dalle sole forze di contatto, non da tutte le forze!

MACCHINE A 1 GdL

Macchine ad 1 GdL

I motori ad 1 GdL possono essere schematizzati con un motore che produce energia, una

trasmissione che trasferisce l’energia da M a U e un utilizzatore che utilizza l’energia

prodotta.

Bilancio di potenza

Per il teorema dell’energia cinetica:

é§ + é• + é¶ =55%

óî,JKJ

´ WM potenza motrice prodotta dal motore, WU potenza utilizzata dall’utilizzatore, Wp

potenza persa dalla trasmissione a causa degli attriti

´ EC=ECM+ECU energia cinetica di motore e utilizzatore, il contributo della trasmissione

si considera trascurabile

Motore Il motore è il componente che produce energia. Esso eroga una coppia che si traduce in

una certa velocità angolare a seconda del momento di inerzia equivalente del motore.

ób§ =12

}§∗ Z§

F

´ Ogni motore ha una certa curva caratteristica, che mette in relazione la velocità

angolare e la coppia erogata dal motore: ad una determinata coppia non può

corrispondere un valore qualsiasi di velocità

Utilizzatore L’utilizzatore è l’elemento che utilizza l’energia prodotta. Anche l’utilizzatore è

caratterizzato da un momento di inerzia equivalente, una certa velocità angolare e una

coppia

´ Anche per U si può tracciare una curva caratteristica (lineare, quadratica, …)

Trasmissione La trasmissione è l’elemento che trasferisce energia dal motore all’utilizzatore e funge

da legame cinematico tra i due. È caratterizzata da un parametro cinematico, ovvero il

rapporto di trasmissione delle velocità, e un parametro dinamico, che indica quanta

energia viene dissipata

Rapporto di trasmissione: ® = ©™

©´= b´

b™

Potenza dissipata: é§ + é• + é¶ = 0

´ Il rapporto di trasmissione si calcola considerando Wp=0: Z•¨• = Z§¨§

´ Nel calcolo della potenza si suppone che l’energia cinetica dei componenti di T sia

trascurabile

´ La potenza dissipata dipende dai segni di WM e WU, dunque se il moto è retrogrado

o diretto

´ Moto diretto o retrogrado NON sono associate al verso in cui sono dirette le velocità

di M e U, ma al segno della potenza!

´ Il moto in uno stesso meccanismo può essere in un istante diretto e nel successivo

retrogrado, dunque non è una proprietà del motore

Moto diretto: Il moto è diretto se é§ > 01°%ád°%1, é• < 0¢B@1°%1

Rendimento: Ø∞ = ±≤≥

≤¥± → é¶ = µ1 − Ö

∂∑∏ |éF|

Moto retrogrado: Il moto è retrogrado se é§ < 0¢B@1°%1, é• > 01°%ád°%1

Rendimento: Øh = ±≤¥

≤≥± → é¶ = µ1 − Ö

∂π∏ |éÖ|

´ In questo caso il motore si comporta come un freno e deve

dissipare energia

In generale: Ø = ±≤∫ªº

≤Ωæ± ≤ 1é¶ = (1 − Ø)|é2v|

Inoltre W1, W2 sono anche dette potenza lato motore e potenza lato utilizzatore

rispetto alla trasmissione

VIBRAZIONI MECCANICHE

Vibrazioni armoniche

Le vibrazioni sono moti oscillatori a cui sono soggetti i sistemi di corpi rigidi. Si possono

approssimare ad una combinazione lineare di armoniche e sono associate all’energia

potenziale elastica e cinetica dei corpi.

Smorzatore Poiché i corpi non sono completamente elastici si ha una dissipazione di energia che

genera uno smorzamento delle vibrazioni nel tempo, che può essere schematizzato da

uno smorzatore

uOMLNJ2îL = −ø¿

uNPKcwLJKcO = −á¿

Z = ¡øx

´ ¿ spostamento, ¿ velocità, r costante di smorzamento

´ w pulsazione del sistema

´ Sia la forza elastica sia lo smorzamento si oppongono in verso a spostamento e

velocità rispettivamente

´ Lo smorzatore può essere un elemento immaginario, che rappresenta la dissipazione interna della molla o reale, che si aggiunge al sistema per diminuire le vibrazioni

Equazione di moto

(Sistemi ad 1 GdL con smorzatori)

Scrivendo l’equilibrio delle forze per sistemi ad 1 GdL con smorzatori si ottiene

un’equazione differenziale di secondo ordine lineare:

Equazione di moto: x( + á( + ø( = ñ

´ m massa del sistema (forza inerziale), f costante dello smorzatore (forza smorzante),

k costante della molla (forza elastica)

´ Tale equazione è anche detta equazione di equilibrio dinamico

´ Se non agiscono forze esterne l’equazione è omogenea, se invece ci sono è non

omogenea (ad esempio se il sistema è in verticale agisce la forza peso F=mg)

´ Si risolve come una normale eq. differenziale sommando la soluzione dell’omogenea

associata e della particolare

´ 1 GdL: spostamento lungo x

Moto libero L’omogenea associata dell’ equazione di moto descrive il moto libero del sistema, ovvero

il moto del sistema senza forzanti per solo effetto delle condizioni iniziali

x( + á( + ø( = 0

Moto libero non smorzato:

x( + ø( = 0

Soluzioni del tipo: ( = (\1¬J@A°√Ö,F = ±/≈∆

P= ±/Z

Z frequenza propria del sistema

Moto libero smorzato:

x( + á( + ø( = 0

Sol. del tipo: ( = (\1¬J@A°√Ö,F = − c

FP± ≈µ c

FP∏

F− ∆

P

Esiste un valore critico in corrispondenza del quale le due soluzioni

sono coincidenti; chiamiamo tale valore smorzamento critico rc:

áî = 2xZ

Si introduce inoltre il fattore di smorzamento h, ovvero il rapporto

tra smorzamento e smorzamento critico

ℎ =ááî

Smorzamento critico

A seconda di quali valori assume lo smorzamento √Ö,F assumono valori reali o complessi

(a seconda del segno del determinante), che determinano l’andamento delle soluzioni.

´ á < áî sotto-smorzamento

´ á = áî smorzamento critico

´ á > áî sovra-smorzamento

Moto forzato Quando nell’equazione di moto compare una forzante di qualsiasi tipo il moto si dice

forzato (equazione non omogenea)

x( + á( + ø( = ñ

´ Il sistema a regime avrà lo stesso tipo di moto della forzante (se F è un’armonica ad

esempio, x a regime sarà un’armonica con la stessa pulsazione)

Vincolo mobile Consideriamo un sistema in cui non sia la massa a vibrare ma il vincolo; in questo caso

va considerato sia lo spostamento del vincolo, sia quello relativo tra vincolo e massa.

Supponiamo che il vincolo si sposti seguendo un moto armonico * = *\12ÑJ

(, (, ( coordinata relativa tra vincolo e massa

*, *, * spostamento assoluto del vincolo

x(( + *) + á(( + *) + ø(( + *) = 0

Soluzioni del tipo:

( = (\12ÑJ

(\

*\=

¨(ø − xΩF)F + /áΩ

´ W frequenza della forzante, che diviene anche la frequenza della soluzione x

´ A seconda di come si pongono le coordinate x e y cambia l’equazione differenziale

´ I termini in y vanno portati a secondo membro come termini noti, poiché derivando

l’equazione del moto del vincolo * = *\12ÑJ si possono ricavare e sostituire

´ La costante C si ricava risolvendo l’eq. differenziale

* Equazione di moto generalizzata

In un sistema generico si imposta l’equazione differenziale e si

ricavano massa, smorzamento e costante elastica generalizzati guardando il coefficiente dei vari termini

x∗( + á∗( + ø∗( = ñ

´ Tutti gli altri termini (come la frequenza propria) si ricavano

utilizzando «∗, »∗, †∗

Non ci sono oscillazioni

poiché determinante =0

(√Ö,F ∈ D)

Non ci sono oscillazioni poiché determinante >0

(√Ö,F ∈ D)

Ci sono oscillazioni poiché determinante <0

(√Ö,F ∈ ¨)

Isolamento dalle vibrazioni mediante fondazione

La fondazione è un sistema costituito da una molla e uno smorzatore che serve a limitare

le vibrazioni indesiderate di un corpo rigido. Per isolare bene il corpo dobbiamo

conoscere la forza Ft che viene trasmessa a terra dal sistema.

Quando il rapporto tra la forzante Ft e

l’ampiezza della forzante F0 è minore di 1

significa che le vibrazioni vengono attutite

bene

ñJ

ñ\ =

À1 + (2dℎ)F

À(1 − dF)F + (2dℎ)F

LÃ√FŒ⎯⎯⎯–≪ 1

´ Ciò significa che si deve avere una fondazione con frequenza propria molto più

piccola della frequenza della forzante (d = Ñ

©)

´ ±“º

“”± ≪ 1 significa che la forza trasmessa a terra è minore di quella applicata dalla

forzante, quindi la fondazione funziona

´ Per a»1 si ha risonanza del sistema (molto dannosa!) e per a<<1 la massima forza

trasmessa è circa uguale a quella applicata, come se non ci fosse la fondazione