Ordinario di Meccanica delle Macchine Ordinario di Meccanica delle VibrazioniPolitecnico di Torino Policecnico i Torino

Voi. IPrincipi generali di meccanica

LIBRERIA EDITRICE UNIVERSITARIA

LEVROTTOg BELLACORSO VITTORIO EMANUELE, 26CORSO LUIGI EINAUDI, 57

A mia moghe GisellaeAi miei figli F i l ippo e Costan a

G. Z.

A Zlda, 'mia madre, il mio passatoeA ILaria, mia figlia, il mio futuro

B. P.

Copyright1990 Levrotto A Bella di Gualini T. k C.di Gualini Elisabetta S.a.s., Corso Vittorio Emanuele, 26/F - Torino

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento totale o parzialecon qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copiefotostatiche), sono riservate per tutti i paesi

Finito di stampare nel mese di maggio 1991

Stampato da Stampatre, Torinoper conto della Levrotto 8r Bella Editrice S.a.s.Corso Vittorio Emanuele, 26/F - Torino

INDICE GENERALE

Parte A

MECCANICA DE I CORPI R IG I D I

1 . CINEMATICA

I.l - Spostamento, velocit e accelerazione di un punto Pag. l1.2 - Moto di una particella in diversi sistemi di coordinate >) 21.3 - Moto relativo tra due corpi puntiformi > 61.4 - Moto di un corpo puntiforme rispetto a un sistema mobile

di coordinate 71.5 - Moto di un corpo rigido 121.6 - Tipi particolari di moto di un corpo rigido 141.7 - Moto di un corpo rigido rispetto a un sistema mobile di

coordinate 20

2 . PROPRIET DI INERZIA DEI CORPI RIGID I

2.1 - Baricentro 232.2 - Definizione dei momenti di inerzia . 242.3 - Raggi di inerzia 252.4- Trasposizione dei momenti 252.5 - Assi e momenti principali di inerzia 30

3. FORZE E COPPIE

3.1 - Classificazione delle forze . 313.2 - Momenti e coppie3.3 - Equilibrio dei corpi 35

VI VI I

3.4 - Forze di massa . Pag. 36 Parte B3,5 - Forze di superficie 383.6 - Forze viscose 38 MECCANICA DE I F LU ID I L I QU ID I3.7 - Forze di attrito 423.8 - Coefflcienti di aderenza e di attrito 453.9 - Angoli di aderenza e di attrito 50 5 . PROPRIETA DEI FLU ID I3.10 - Casi elementari di aderenza e di attrito fra corpi solidi

a contatto 52 5.1 Il concetto di fluido . Pag. 1513.11 - Attrito nei perni 57 5.2 Proprieta termodinamiche e stato di un fluido 152

3.12 - Forze superficiali agenti su corpi in moto entro un fluido 60 5.3 Pressione 154

3.13 - Forze agenti su corpi in moto di rotolamento . 67 5.4 Densit 154

3.14 - Forze nei vincoli 73 5.5 Temperatura 155

3.15 - Gradi di liberta di un corpo rigido 74 5.6 Energia interna, entalpia, entropia 156

3.16 - Forze elastiche 76 5.7 Calore specifico 1565.8 Comprimibilit 1575.9 Viscosit 1595.10- Conducibilit termica . 1665,11- Tensione superficiale 167

4 . DINAM ICA 5.12- Tensione di vapore 1695,13-Dilatazione volumetrica 169

4.1 - Quantit di moto e momento della quantit di moto 794.2 - Riduzione delle forze di inerzia . 814.3 - Equazioni di equilibrio della dinamica . 82 6 . STATICA DEI FLUID I

4,4 - Lavoro 826.1 - Forze di massa e forze disuperficie 1714,5 - Lavoro ed energia potenziale . 866.2 - Pressione in un punto di un fluido 1714.6 - Energia cinetica 88

89 6.3 - Equilibrio di un fluido173

4,7 - Equazione dell'energia6.4- Equilibrio di un fluido in un campo gravitazionale di forze 1764.8 - Esempi di applicazione delle equazioni fondamentali della

90 6.5 - Equilibrio di un fluido inun campo di forze gravitazionali

dinamicae di inerzia 1784,9 - Esempi di applicazione delle equazioni fondamentali della

dinamica ad un corpo rigido piano4:10 - Equarioni di equilibrio della dinamica per un corpo rigido 7 . CINEMATICA DEI FLUID I

nello spazio 1044.11 - Fenomeni giroscopici 108 7.1 - Velocit e portata 1814.12 - Equazioni di Lagrange 126 7.2 - Accelerazione 1824.13 - Fenomeni d'urto 135 7.3- Tipi di efflusso 1834.14 - Equazioni fondamentali dell'urto per corpi liberi 136 7.4- Campo di velocit nell'intorno di un punto 1844.15- Urto centrale fra corpi liberi 139 7.5- Derivata di un integrale di volume . 1874.16 - Urto eccentrico per corpi liberi . 142 7.6- Equazione di continuit 1884.17- Urto fra corpi vincolati 1444.18 - Durata dell'urto 146

8 . DINAM ICA DE I FLU ID I

8.1 - Equazione della quantit di moto 1958.2 - Equazione della quantit di moto lungo una traiettoria per

un fluido non viscoso . 199t

i

VIII

8.3 - Equazioni di Navier-Stokes Pag. 205I8.4 - Equazione del momento della quantit di moto 207 1 . CINEMAT ICA

8.5 - Equazione dell'energia 2118.6 - Equazione dell'energia lungo una traiettoria per un fluido

non viscoso 2158.7 - Vorticit 2188.8 - Circuitazione 219

9. MOTO PERMANENTE DI UN FLU IDO INCOMPRESSIBILEIN UN CON D O T T O

9.1 - Flussi laminari e turbolenti 2219.2 - Variazione della pressione lungo un condotto e coefficienti di

perdita 2229.3 - Tubo circolare diritto, lungo . 2249.4 - Tubo circolare curvo 2319.5 - Tubo lungo non circolare 2339.6 - Condotti con graduale variazione di area di passaggio . 2389.7 - Condotti con variazioni localizzate di sezione 2419.8 - Condotti con variazione della direzione 248 1.1 - Spostamento, velocit e accelerazione di un punto9.9 - Condotti con diramarioni 2519.10 - Valvole 254 Si consideri una particella, definita come una massa puntiforme senza9.11 - Reti 258 dimensioni in moto nello spazio lungo una linea qualsiasi (Fig. 1). Siano A

Appendice . 261Bi bliografia 270

Indice analitico 273

+yr = r +ar

Fig. 1 Moto di una particella nello spazio.

e B le posizioni della particellaagli istanti t e t + A t ; queste posizioni sono 'definite nello spazio dai due vettori:

Coordinate cilindricher"= A O In coordinate cilindriche (Fig. 3), posizione, velocit e accelerazione di

dove O l ' o r igine del sistema di riferimento. Si definiscono le seguenti una particella sono cosi definite:

grandezze: rh+ zk Spostamento nell'intervallo di tempo b t : b r dr" Velocit media nell'intervallo di tempo b. t : rr = rh+ r8p+ i kb.t (1.2) dt

Ar dr Velocit all ' istante t : r r= l im = - d r'o dt dt - = (r' r8 )A+ (r8+ 2i8)p+i kb.v" dt"" Accelerazione media nell'intervallo di tempo th .t : a 6t

b.v d v d' r Accelerazione all'istante t : a = l i m = = -a,i~o b,t dt dt s

In queste relazioni b,v la variazione del vettore velocit durante IIl'intervallo di tempo b.t. h

importante osservare che le grandezze cinematiche ora definite sono Igrandezze vettoriali e che, di conseguenza, una loro variazione pu essere IIcausata sia da una variazione del modulo che da una variazione della direzione, II

I

I

1.2 - Moto di una part icella in diversi sistemi di coordinateIIII

Le grandezze cinematiche definite nel precedente paragrafo possono es- r~II r

sere espresse in diversi sistemi di coordinate. II

Coordinate cartesiane

In coordinate cartesiane +X 'A

(Fig. 2), posizione, velocit eaccelerazione dh una particella Fig. 3 Coordinate cilindriche.sono cosi definite:

r = ri+ y j+ s k I I I In queste relazioni 8 rappresenta l'angolo formato tra la direzione della

dr proiezione del vettorer" nel piano (X, P) e la direzione z di r i ferimento in

V= =Si+dt

I I I I I Iquesto piano.

+ yj+~k- I rI

direzione z d i r i f e r imento, e p l ' a ngolo formato dai vettore r e da l la tivamente:Idirezione z d i r i fer imento nel piano (r , k).

v = v r

(1.4) ,2va= v r + n

Pdr = r% + rj v+ r8s inppdt dove V il modulo della velocit e p il raggio di curvatura della traiettoria

(1.3)d r - .2 2 . 2 - - 2

2a= = (r ' r p r8 sin

accelerazione : Queste relazioni vettoriali possono quindi essere scritte come insiemedi equazioni scalari in uno dei sistemi di coordinate descritt i nel paragrafo

G V + precedente,

Nel caso di una curva piana, il raggio di curvatura p dato da,:

[I y (dy/dg)2]s/2 1 .4 - M o t o d i u n c o rpo pu n t i f o rme r i spe t to a un s i s t ema mob i l e d id2y/dz2 coordinate

o, anche, da:Prima di determinare le relazioni cinematiche caratterizzanti il moto di

( 2 p )2)3/2(1 7) P= una particella rispetto ad un sistema mobile di coordinate occorre definirezv tJX alcune propriet vettoriali.

B'

1.8 - Moto relat ivo t ra 'due corpi punt i formi

Si considerino due particelle A e B (Fig . 7); le loro posizioni sonocaratterizzate dai vettori rA ed rB , tr a i qua li sussiste la relazione:

(I 8) rB = TA+ r BA

rBA

Fig. 8 Rotazione di un vettore.

A Si consideri (Fig. 8) il vettore AB; dopo un intervallo di tempo d kquesto vettore si portato nella posizione A'B'. Il passaggio dalla primaposizione alla seconda pu essere pensato come la somma di due movimenti :una traslazione di AB nel l a posizione A 'Bn s eguita da una rotazione

Isia p l ' angolo formato~fra OA ed ~ . Ne l l ' intervallo di tempo A t i l ve t tore La (1.9) costituisce una importante relazione cinematica.ed esprime la

OA si porta nella posizione OA ' (Fig, 9), per cui la derivata nel tempo di derivata nel tempo di un vettore.

OM data da: Si consideri ora una particella P, la cui posizione data dal vettore rrispetto al sistema fisso di coordinate (z,y, s) (Fig. 10).d (OA) . OA ' OA . A A 'lim lim

dt a.~ o d t a~-o 6t

/

Il vettore AA u n ve t tore avente modulo dato da(Fig. 9): k' p

iAA'j = pg = rsin @~g

Fig. 10 Moto di una particella rispetto a un sistema mobile di coordinate.

La posizione di P puo anche essere definita come somma del vettoreche esprime la posizione di P ri s petto al sistema mobile di coordinate

(z',y', z'), e del vettore rs, che esprime la posizione dell'origine del sistemamobile di coordinate rispetto al sistema di coordinate fisso:

Fig. 9 Derivata di un vettore. (1.10) OP = r"= r"'+rc

I noltre, il vettore AA ' g i ace nel piano perpendicolare al vettore ~ ed Il vettore posizione relativa .r"' pu essere scritto, in coordinate carte- diretto secondo il versore r, perpendicolare al piano formato da ~ e da, siane, come:OA.

Ne risulta quindi: r ' = z' i ' + y'j'+ z'C'

d(OA) . . 6 8 (1.9) lim rsinp r"= ~r sin@v".= ~ h OA

(B A t~ 0La velocit del punto P si ottiene derivando la(1.10) rispetto al tempo;

10

pertanto: La derivata. del secondo termine a secondo membro della. (1.15) :

dr dr ' drp d ,-, ,-, ,-, drpv - - + - (z'i'+ y'j' y z'k') y = d , d~ , dr"

d t dh dt dh dh (u h r') = hr ' + cV A =dt dt dt

(1.12)(dz' z dy' - . , dz ' - ,N g d~ g d< dk drp dba

( dt dh ' dh ) dt dt dh dt i+ j + k + z + y + -- +- h r ' + ~ A (v"+ ~ A r ')dh

d4)Il termine: = A r + ~ h v+ ~ A (~ A r ')

(1.13) v= z' i + y'j'+ z'k' La (1.15) diventa dunque:

rappresentala velocit del punto P relativa al sistema di coordinate (z', y', z').Il secondo termine della (1.12) esprimibile, utilizzando la (1.9) nel a = a+ api + A r '+ ~ A (v A r ') + M h v,dt

modo seguente:

, di' , d j' , dk'z +y +z = JA (s i + y j + z k ) = +A r

dt dh dt

dove ~ la velocit angolare del sistema mobile di coordinate rispetto av + dv = o(r + vdt)quello fisso,

Ne consegue quindi: vdt

p/

(1.14) v = vp + 4J A T + vpi

a vendo indicato con v p = drp /dh la velocit del punto di riferimento.delsistema mobile di coordinate. La somma vp + Jhr"' costituisce la velocit di dv c v d ta = = = cv1trasci namento. dt d t

Derivando la (1.14) rispetto al tempo si ottiene l'espressione della acce- vcdt

lerazione della particella P: 2) wtv r

dv" dv, d , dvp(1.15) a = = ' + (J h r')+- cdi dt dt dt cdtp f

dvp> lIn questa relazione l'accelerazione dell'origine del sistema mobiledh o

di coordinate e verr indicata come ap . La derivata della velocit relativa v"

, in base alla (1.13): vcdta = =v c

dv . .i - . . . , - , - , - , ,dg' . i dg' .idk' dt(1.16) = (zi+y j + z k ) + k +y + z -

dt, dh dt dt Fig. 11 Origine della accelerazione di Coriolis

ll primo termine a secondo membro di questa relazione costituisce l'ac- I

celerazione relativa al sistema mobile di coordinate e verr indicata come a. La somma dei termini: ap + A r +4) h (~ h r"') viene anche chiamatadtIl secondo termine esprimibile, utilizzando la, (1.9), come: ~ h v. Pertanto: accelerazione di trascinarnento. Essa rappresenta l'accelerazione di un punto,

geometricamente coincidente con la particella P con s iderata, che solidaledv

(1.17) = a++Av & sistema mo&le di coordinate.dt

12

L'ultimo termine "della (1.18) costituisce la accelerazione di Cor io l is. vettore rotazione d8. s i ha, dalle (1.19) e (1.20):Questa quota della accelerazione di una particella in moto r ispetto a un si-stema mobile di r i ferimento , in molte applicazioni, un termine particolar- k

mente importante. dr = dZA1 + dyAj + dZAk + d8, d 8 d8,

Per comprendere il significato fisico della accelerazione di Coriolis si (1.21)consideri un punto in moto con velocit relativa uniforme v l u ngo un'asta = (dzA+ zd8> yd8,}i+ (dyA+ zd8, zd8 }j+rotante a velocit angolare costante a (Fig. 11). Per il fatto che il punto Psi sposta lungo l 'asta verso i punti a velocit di t rascinamento diversa, nasce + (dzA y yd8, zd8v} kuna accelerazione ai ~v (Fig. 11,1). Per il fatto che la velocit relativa v,varia di direzione con velocit angolare a n asce una accelerazione az v~

(Fig. 11.2). La somma di queste due accelerazioni fornisce il termine 2avche costituisce appunto la accelerazione di Coriolis,

1.5 - Moto di un corpo rigido ) 4lA

Si definisce corpo rigido un corpo in cui le distanze fra i punti che locostituiscono non variano nel tempo. La posizione P di un punto qualsiasi

Adi un corpo rigido data da:

r = rA+ r p A

dove A un altro punto qualsiasi del corpo rigido.La variazione dr" della posizione del punto P quindi:

Fig. 12 Moto di un corpo rigido.

(1.19) dr = drA + drpADerivando rispetto al ! tempo la (1.19), e tenuto conto della (1.20), si

Tuttavia, la variazione drp A puo solo essere costituita da una variazione ottiene:di direzione poich la distanza fra, i punti P ed A co s tante essendo rigidoil corpo. (1.22) v = vA +cd A rp A

Il vettore drpA pu quindi essere espresso come: Derivando ora questa relazione rispetto al tempo si ott iene:

(1.20) drpA - d8A rp,A dv d v A du drp,Aa = = - + ArpA +id A-dk dt dt dt

dove d8 i l ve t tore spostamento angolare ed pari a ~d h, essendo cV la In questa, espressione, dvA/dt l 'accelerazione aA del punto A; i no l t re,velocit angolare del corpo rigido come definito nel paragrafo (1.4). essendo rp ,A costante in modulo si ha pure, in base alla(1.9):

Indicando con zA , yA, zA le coordinate del punto A , con z , y, z l edrPA, ~coordiitate di P rela t i ve ad A , con d8 d8 , d8, l e t r e componenti del ~ h ' = cV h(d h rp A)

14 15

Pertanto, l'accelerazione del punto P div enta: Se il corpo ha un punto O f isso, questo punto costituisce in ogni istanteil centro di istantanea rotazione; la sua velocit e la sua accelerazione sono

(1.23) a = aA + h rp ,A + i h (I h r p A) costantemente nulle.

In questa relazione gli ultimi due termini a secondo membro costitui- vp = w A(P C)scono la accelerazione del punto P i n u n mo to rotatorio attorno ad A co nvelocit angolare I. In part icolare l'ult imo termine pari a -I rpA e d

quindi un vettore diretto da P ver so A , P

1 .6 - T ip i p a r t i c o lar i d i m o t o d i u n c o rpo r i g i do . 'vA =In A (A - C

A/

a) Moto traslatorioj

VA

Nel caso di un moto traslatorio la velocit angolare i nulla, per cui, A Pvp

per ciascun punto del corpo si ha,:

v = vA wA(P A)a) b)a= aA

A

arb) Moto piano P

Quando un corpo rigido si muove in modo che tutti i punti del corporimangono a distanza costante da un piano fisso, si dice che il moto del corpo + duap A (P A)rigido un moto piano (Fig. 13). In ta l caso la velocit angolare I dt

rappresentata da un vettore ik perpendicolare al piano fisso e pu variare I+ Iin modulo e verso, ma non in direzione. "A A a, = c A (c A (P A ))

Per un moto piano le velocit e le accelerazioni dei punti del corpo= c (P A)

+giacciono nel piano del moto. Una propriet del moto piano che sempre p

possibile, ad ogni istante, trovare un punto idealmente solidale al corpo r i-gido avente velocit nulla (Fig. 13 b); tale punto prende il nome di centro di c)istantanea rotazione del corpo rigido. In base allora alla (1.22) si ricava chela velocit di un qualunque punto P del c o rpo r ig ido proporzionale alla, Fig. 13 Velocit e accelerazione di im corpo rigido in condizioni di moto piano.distanza PC ed perpendicolare alla congiungente PC:

Dalle (1.22) e (1.23) si ricava allora:(1.24) vp = i h r pc

= i h r p = I r p r"

H centro di istantanea rotazione, pur avendo una velocit nulla, ha una 84Jap = A rp +i A (J A rp) = irpr + i rpAaccelerazione non nulla che dipende dal particolare tipo di moto del corporigl do. dove r ed . n son o i v e rsori tangenziale enormale come, riportato nella

t

I

16 17

Fig. 14. Mentre la veloci/ di un punto P d iretta secondo la normale alla i l centro di istantanea rotazione ha accelerazione non nulla.. Dalla (1.23) sicongiungente OP, l' a cclerazione di un punto P ha d ue componenti: una ricava, con riferimento alla Fig. 15:tangenziale diretta perpendicolarmente ad OP, .che data dalla variazionedel modulo della. velocit angolare ~ , e d una centr ipeta che data dalla da, = ap ~ i+u jvariazione della direzione della velocit causata dal moto rotatorio. 2 2

vp = w A(P O) = crpr

Vp Vp

I

I

IC 'C'rp

I1

Fig. 15 Moto di rotolamento di un disco su una retta

dcapr = A (P 0) = prpt Poich la velocit di O s empre diretta secondo il versorei s i ha ,

dIdalla (1.25):

ap =i r - i2

e quindi:p= c A ( A (P 0)) = o'rp < z da, =v j

P 2

c) Rotazione attorno a un punto

Se un corpo rigido ruota attorno a un punto fisso nello spazio, indicandoFig. 14 Moto piano rotatorio attorno a un punto. con r p il v e t to re che unisce un punto generico P co n l ' o r ig ine degli assi,

presa nel punto fisso O., la velocit. e la accelerazione di P va l gono, in base

Un altro caso particolare di moto piano, molto comune, quello di alle (1.22) e (1.23) :rotolamento senza strisciamento di un cerchio su una ret ta {Fig. 15). Iu vp = uA r pquesto caso la velocit del punto di contatto fra il cerchio e la retta nulla e {1.26) cUla verit del cerchio pari a,: ap = A r"p + v A (u A r p) = h r p ~ rp-dt - - - - dt-

d-(1 25) v = cV h (O C)= ~- i2 La, disposizione di un corpo rigido, avente un punto fisso, rispetto alla

sua disposizione all'istante iniziale, pu essere ricavata in vari modi; il mododove d i l d iametro del cerchio.

pi comune quello di considerare l'orientazione finale ottenuta come succes-Poich il punto della periferia del cerchio che centro di i s tantanea

sione di tre rotazioni attorno a tre assi. Gli angoli formati durante. ciascunarotazione continua a cambiare a causa del rotolamento del cerchio, risuLta che

rotazione sono detti angoli di Eulero.

18 19

Siano allora i , j e L; i v e rsori di una terna fissa corrispondente ad un essendo inoltre:sistema di coordinate inerziali con origine nel punto fisso del sistema rigido esiano A, P e v i versori corrispondenti ad una terna solidale ai sistema stesso (1.28) i = gL y j

2120

1 .7 - M o t o d i u n co rpo r i g ido r i spet t o a un s i s tema mob i le d i coor- La velocit angolare p1 che compare nella (1.32) somma della velocit

dinate angolare ~ re l a t iva al sistema di riferimento mobile pi la velocit angolareQ di t rascinamento:

Si consideri un corpo rigido R in moto e si supponga, di conoscere il(1.34) G =d , + A

suo moto rispetto a un sistema di coordinate (O'z'y'z'), in moto a sua volta

rispetto a un sitema di coordinate fisso (Ozyz) (Fig. 17). Sostituendo le (1.33) e (1.34) nella (1.32) si pu ottenere l'espressionedella, velocit di un punto generico P del corpo rigido in funzione dellavelocit relativa di un altro punto A de l corpo rigido e delle velocit angolarirelativa e di trascinamento:

vp = vAr + (Q A 1Ap~) + vpi + (p7r + Q) A rpA =

(1.35) = VAr+ r Ar p A + voi +Qh r po i =rpo i

t

VPr + Vpt

O' Per le accelerazioni si ha, analogamente, che, in base alla (1.18), laaccelerazione di un punto A del corpo rigido :

aA = aAr + aA1+ aAy =

(1.36) dQ= aA, +ao + hrAp + Qh(QhrAp )+2AA vA,

Le accelerazioni di due punti P ed A d i un corpo rigido sono legateFig. 17 Moto di un corpo rigido relativo a un sistema mobile di coordinate dalla (1.23) che, in questo caso, :

r:

La velocit di un punto P del corpo rigido (1.22): ap = aA + -' h 1pA+d h (p1 A rpA )dt(1.32) vy = vA+ J A r p A Si deve ora tenere presente che la velocit relativa ~ e spr imibi le

In questa relazione u la velocit angolare del corpo rigido R r ispetto ai come:

riferimento fisso, e vA la velocit del punto A sempre rispetto al riferimento >r= >rai +4by j +> r a ~' I ' l , I

fisso. Pertanto la derivata rispetto al tempo della velocit angolare assoluta ~ La velocit del punto A pu e ssere espressa, in funzione della, sua data, da:

velocit vAr r e la t iva al sistema di riferimento mobile e della sua velocit ditrascinamento vA

22

Da queste relazioni si pu ricavare, per l 'accelerazione di un punto P 2 . PROPRIET DI I N E R ZIA DEI C ORPI R I G I D Idel corpo rigido:

+ A r pp' + Q A (Q A r pp') + 20 A "prdt

In questa relazione il pr imo termine fra parentesi a secondo membrocostituisce l'accelerazione di P re la t iva al sistema mobile di coordinate, ilsecondo termine fra parentesi l'accelerazione di trascinamento del punto P el 'ultimo termine l 'accelerazione di Coriolis,

2.1 - Baricentro

Dato u n corpo costituito da N mas se puntiformi m , , m2, ...,mA, l acui posizione nello spazio data dai vettori ri , r 2 , ...,r~, il v e t t o re rG c h edefinisce la posizione del baricentro del corpo

Pmrmiri + m2r2+ " + mN "N 1(1.39) rG

mi + m,2 + ... + miv M

dove M la massa totale del corpo.Per un corpo costituito da un insieme continuo di materia avente densit

p, la posizione del baricentro data da;

j~ pr dV(1.40)

dove dV i l vo lume infinitesimo e V i l v o lume totale.Queste espressioni vettoriali per la posizione del baricentro possono es-

sere scritte come un insieme di equazioni scalari; ad esempio le (1.39) possonoessere scritte nel modo seguente:

3. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

Sono definite momenti centrifughi le seguenti grandezze:.Q,m z

N f ,zdmM M I y= f z ydm= I y

JvN(1.41) m.y, fv ydm

(1.43) Iy, = f yz dm= I , Jv

P, msM Iz~ - / zdm = I~,

JvLa posizione del baricentro per alcuni corpi pi comuni riportata nella,

tabella I. Propriet importanti sono le seguenti:

a) I momenti di inerzia I , Iyy , I s on o sempre positivi.

2.2 - Definizione dei momenti di inerziab) I momenti centrifughi I,y, I I, pos sono essere positivi o negativi.c) I~y = Iy, = 0 se l 'asse * o l 'asse y o entrambi, sono assi di simmetria

Si consideri un corpo rigido R e un sistema di coordinate di riferimento; del corpo; analogamente per gli altri momenti centrifughi.

i momenti di inerzia del corpo rispetto ai tre assi z, y, s sono espressi da:

I = f(y +y)dmJv 2.3 - Raggi di inerzia

(1.42) = f ("+ ' )dJv Si definisce raggio di inerzia di un corpo la radice quadrata del rapporto

I= f (z +y~)dmfra il momento di inerzia e la massa del corpo

JvIn queste espressioni V i l volume totale del corpo e dm la massa

infinitesima. Inoltre, le somme (y +y ), (z +z ) , (z + y ) r appresentano iquadrati delle distanze della massa infinitesima considerata dagli assi z, y, s. (1.44)

dn1 2.4 - Trasposizione dei momentiSlI

Si supponga di conoscere i momenti di inerzia I , Iyy , I e i momen t icentrifughi I , I I , e di vo ler calcolare i momenti di inerzia e centrifughirispetto a; un sistema. di-assi- -z'-, y', z' traslati rispetto a, z; y, z;- Indicandocon zp, yp, zp le coordinate di O ne l sistema di riferimento (O'z'y'z') si ha:

Iz'z' = Izz + m (zp + yp ) + 2zp z dm+ 2 yp y dmJv Jv

Fig. 18 Definizione dei nimenti di inerzia, di un coipo Ia

26 27

Se il punto O il baricentro del corpo, allora,gli integrali z dm , y dm

sono nulli (1.41), per cui, indicando con G i l baricentro:= l>t>Ixz + 1>/yIyy + I zztzIzz 2 lz tzlz ty I>y 2lz tzlz tz Iz + lz ty Iyy + lztz Iz z 2lz tzlz ty Izy 2lzt>lztz I>z +

(1.45)= I y +mzoyo 2lz t y lz t z Iyz(1.46)

Iy t, t Iyz + m y

28

TABELLA, I Propriet di inerzia di corpi r ig id i(G = posizione del barice)ntro, V = volume, ITs = massa, I = momento di inerzia)

SFERA CAVA

Solido Volume Momenso di inerzia +s/ s x m (D' d')V = (D' ds)6 = xr= l p ( D s ds)

mLy , 'Il BARRA I , . = -DIRITTA SFERA CAVAa mL' s SOTTI LEL

p V=A'L x QQ X mdLI2 ~ ly V = wdss I =1;A mLsl ' j 'I I = sin' a

y' A I ELLISSOIDE ma

mrs / ' sin a cos a)2 ( I+ I = - (as + cs)x / ' V 2arA mr' / ' sin a cos o)4

B ARR~A' ~. V - srabc3 ~ (bs + cs)y' , P IEGATA c I < s

AD ./IRCO I (as + bs). --.. . CUBO

sj; , 4~z/ R Iy TORO

masl/ ~ as l , , lD'D' x

V = 2srsRrs-( -- ' ; - -'. )

I 3p y

I ~ m I Rs + rs)4 )bX. PARAI.LELE IPEDO . y PIRAM I D F.

In RETTAN(IOLAREI (ps 4 hs) l 'x D'

V p hc ,'I hp ' ~ - ~ ' XJ- x +lrl x V~ab-3

I , , - (bs + cs) 4 I ~ (as + bs)2P

C! LINDRO y CONOmds 3

II d'h I . . = -x xx S x srds h,l, ~ pm(ds + bs)

d V= D' o o 124 3I I ~ mds

I, .I

TRONCO Dl CONOCIL! YDRO

CA'VO

Ic I = (Ds + ds)b x ID x xb

wb x s P 3 (D s d s)D T V = (D' ds) y/s

V = (ds+ D s+~d iD i )12

4I 40 m (Ds ds)

m f 4h' X b(D'+ 2Dd 3d')/

..= - (.,', )16 3 4(D s Dd+ d')

SETTORF. SFERICOy CI I JNDRO ELLITTICO p

ml = (as + hs) 26'I rss V= srr by/' 3 1 = (3 rb bs)ls = sspbh 3 n'r ns y/, = (2r h)

I,, = (3hs + h')xx ]s ySIICMRNTO SFERICO

SFERA/

slds mds V = ssbs(r - )3l ' =- 2b1 = I ,6 x ss lp y" 3r b

30

2 .5 - Assi e xnoxnenti p r i n c ipal i d i i n e r z ia3. Flt.ZE E CPP'IE

Per una data origine O del sistema di coordinate si possono scegliereinfinite terne di assi z, y, z, mu t uamente perpendicolari. T ra tu t te questeterne possibile trovarne una per la quale i momenti centrifughi I , I I ,sono nulli. I cor r ispondenti momenti,di inerzia I , I , I sono detti mo-

menti principali di inerzia e verranno scritti come I I , I gl i as s i z , y , zcorrispondenti sono detti assi princig>ali di inerzia, Se un corpo ha un asse disimmetria questo un asse principale di inerzia,

Nel caso in cui l'origine degli assi coincida con il baricentro G del corpo

gli assi principali di inerzia, sono anche detti assi centrali di inerzia.I momenti principali di inerzia per alcuni corpi rigidi principali sono

elencati nella tabella I,

8.1 - Classi6cazione delle forze

Le forze agenti sui corpi possono essere classificate in vari modi, a se-conda dell'aspetto considerato; le pi comuni classificazioni vengono fatte se-condo i criteri seguenti;

a,) natura della forza;

ls) posizione della forza. rispetto a3 sistema, meccanico considerato;c) origine della forza;d) lavoro compiuto dalla forza.

In l

32 33

Riguardo alla loro, posizione rispetto a un determinato sistema mecca- zero e pu assumere valori sia negativi sia positivi. Ad esempio, in un motorenico le forze possono essere interne o esterne. Considerato un sistema Z alternativo le forze che il gas contenuto nella camera di combustione esercitanoqualsiasi (Fig. 21) sono fon~e esterne, rispetto' sistema stesso, tutte quelle sul pistone e sul cilindro sono forze interne per il sistema Z, ' ed il lavoro daforze, di qualsiasi natura, esercitate da sorgenti poste al di fuori del sistema. esse compiuto risulta negativo nella fase di compressione del gas e positivo in

importante rilevare che le forze esterne agenti su un sistema sono quella di espansione della miscela combusta (Fig. 22).di natura qualsiasi e possono essere quindi sia forze di massa che forze disuperficie.

I

t I

I .F::; " ::"F',:

Z ~Fl

I I I I I I

F;r'

I r

Fig. 22 - Schema di motore alternativoFr

Per cio che riguarda la loro origine, le forze si possono distinguere inforze attive e forze reattive. Si indicano come forze attive le forze agentisul sistema in esame che o sono note, oppure hanno una espressione nota infunzione delle caratteristiche del moto del sistema. Ad esempio sono forze

Fig. 21 Forze interne F, e forze esterne E, agenti sul sistema Z attive la forza esercitata da una molla, che proporzionale allo spostamentorelativo delle estremit della molla stessa, oppure la resistenza aerodinamica

Sono invece considerate forse interne rispetto al sistema Z tutte quelle all'avanzamento, che funzione della velocit del sistema considerato. Si

forze, di qualsiasi natura, che una parte di Z e sercita su un'altra parte del indicano invece conie forze reattive quelle che i vincoli interni o esterni delsistema stesso. sistema esercitano su di esso e delle quali si conosce in genere la direzione., ma

Ora, se si indicano con A e 8 due elementi del sistema Z si osserva non il valore, che viene determinato mediante le equazioni di equilibrio (vediche, se A esercita una forza F su B, que s t 'u l t imo esercita una forza P ) 3.3). Sono cosi forze reattive per un autoveicolo quelle generate ai contatto

su A, e ci porta a concludere che la risultante di tutte le forze interne di un ruota-terreno.

sistema uguale a zero. Rispetto al lavoro da esse compiuto le forze possono essere distinte in

Si noti ora che se si considera un sistema Z' (Fig. 21), parte del sistema forze motrici o forze resistenti. Le forze motrici sono quelle che hanno. la stessa

Z, forzeinizialmenteinterne per Z possono diventareesterne per Z', mentre direzione e lo stesso verso del moto del sistema, e compiono quindi un lavoro

forze esterne per Z possono non esercitare pi la loro influenza su Z' ; r i sulta, positivo, mentre le forze resistenti hanno verso opposto a quello del moto del

di conseguenza assolutamente necessario, quando si parli di forze interne od sistema e compiono di conseguenza un lavoro negativo.

esterne, specificare rispetto a quale sistema si operi tale suddivisione.

E da notare inoltre che, mentre la risultante delle forze interne di un. sistema uguale a zero, il lavoro da esse compiuto generalmente diverso da

35

3.2 - Momenti e Coppie risultante non nullo e vale, rispetto a qualsiasi punto, M = Fa dov e a

Si consideri una forza F ag ente in un punto P. Si definisce momento la distanza fra le, due forze.

della forza F ri s pe t to ai punto O i l p r odotto vettoriale

(1.48) Mp= CAFdove Tp i l vet tore (P O).

Il momento Mp un vet tore libero, perpendicolare al piano indivi-duato da F e da rp , e va le in modulo.

()lXp) = rpFsin8

dove 8 (Fig. 23) l'angolo formato fra i vettori F e r p . P

hf p

Fig. 24 Definizione di coppia Fig. 25 Definizione di momento assiale

8 Si definisce momento assiale di una forza l' ri s petto a un asse I d ip versore X il prodotto scalare:

rp r/

r (1.50) Mi = A (rp h F) = A Mp

I l modulo di Mi dato (Fig. 25) dal prodotto della componente Fdella forza F giacente nel piano perpendicolare all'asse 1 per la sua distanzaa dall'asse:

/Mi/ = F a

Fig. 23 Definizione di momento di una forza Le coppie, come le forze, possono essere classificate in esterne, interne,attive, reattive, motrici, resistenti> come riportato nel paragrafo 3.1.

JV

Se un sistema di forze F i , F.. . F ha, u na r isultante R = P F e la 3 .3 - Equ i l i b r i o de i co rp i1

somma dei momenti di queste forze rispetto a un punto O Mp , i l momento-Una propriet fondamentale-della meccanica che, per -un-corpo qual-r isultante di tutte le stesse forze rispetto a un altro punto A d a to da:

siasi, la risultante di tutte le forze esterne F, e i l momento risultante rispetto

(1.49) iM~ = Mp +Rn(A O) a un qualsiasi punto O d i t u t te le forze e coppie esterne C, agenti sul corpo pari a zero:

Si considerino ora due forze F ugu a l i e opposte, ma con di fferentepunto di applicazione (Fig. 24). La loro risultante R nu l la, ma il momento

36 37

cambia mentre essa percorre la sua traiettoria. La forza di inerzia alla quale

la particella sogget ta vale:(1.51) Pf ; =0

dv(1.53) F= m- dt

(1.52) P Afe, - +[lr p;h F; ) + C;j = 0 Si noti che una forza di inerzia nasce non solo per una variazione delmodulo della velocit, ma anche per una variazione della direzione della velo-cit.

3 .4 - Forze d i massa

2Come gi anticipato nel paragrafo 3.1, le forze di massa che principal- -+ v +F =m X

rmente si incontrano nelle applicazioni meccaniche sono:

forza di gravit forza elettromagnetica forza di inerzia

La forza di gravit causata dal campo gravitazionale e vale:

ed diretta secondo la verticale locale.L'accelerazione di gravit g sul la Terra varia leggermente con la lati-

tudine e con la quota (ad esempio g = 9,80608 m/s a Torino; 9,80367 m/s aRoma; 9,80943 m/sz a Parigi; 9,81188 m/sz a Londra; 9,81274 m/sz a Berlino; Fig. 26 Particella in moto lungo una traiettoria circolare9,8218 m/s a Eagle (Alaska); 9,77941 m/s a Citt del Messico). Il valorestandard della accelerazione di gravit pari a, g = 9, 80665 m/sz, mentre il suo Ad esempio, nel caso di un moto lungo una traiettoria circolare a velocitvalore in funzione della. latitudine e della quota dato, approssimativamente, V costante di una particella avente massa m, si ha una accelerazione:dalla seguente formula, empirica.: t u t

2va = - A

y = 9,78075(l+0,00524sin P)(1 2,926 x 10 h) m/s r

dove p la la t i tudine e h l ' a l tezza in metri sul l ivello del mare. e, di conseguenza una forza di inerzia,, detta anche, in questo caso, fo rza

La forza elettromagnetica si origina quando una particella carica elet- centri fuga:

tricamente con una carica, e si trova in un campo elettrico di intensit E o vFi= m Asi muove con velocit v in u n . campo-magnetico di intensit H. In generalela forza agente sulla particella : Per un corpo rigido in moto non uniforme la forza di inerzia globale

la risultante di tutte le forze di inerzia, elementari delle singole particelle e laF = eE+eVAB sua espressione sar vista nel successivo capitolo 4.

La forza di inerzia. nasce quando una, particella di massa m si muove.in un campo d i ve locit non uniforme, per cui la velocit della,'particella

38

3.5 - Forze di superficie Si consideri ad esempio (Fig. 27) una piastra P di area A, appoggiatasu uno strato di fluido avente spessore h: si pu constatare sperimentalmente

Le forze di superficie si distinguono in due grandi categorie: che, per mantenere la piastra in moto uniforme ad una velocit V , o c cor re

forze di pressione (normali alle superfici a contatto)applicare ad essa una forza di intensit F ch e r isulta inversamente propor-zionale allo spessore h d e l lo st rato di flu ido e direttamente proporzionale

forze tangenziali (dirette secondo la tangente comune alle superfici a con- all'area A d e l la piastra ed alla sua velocit V . Sar pertanto:tatto).

VALe forze di pressione provocano uno schiacciamento locale nella zona di (1.54) p p h

contatto fra i due corpi e il massimo valore di forza che pu essere scambiatain direzione normale fra due superfici a contatto limitata unicamente dalla, e la costante di proporzionalit p c h e compare nella (1.54) prende il nomeresistenza dei materiali costituenti i due corpi a contatto. di viscosit dinamica (o pi semplicemente di viscosit). Tale grandezza

Le forze tangenziali possono essere a loro volta di due tipi completa- funzione sia della temperatura sia, se pur in misura minore, della pressione;

mente diversi, e precisamente: per molti fluidi poi, la viscosit non dipende dalla velocit, o dal rapportoV/h; in tal caso i fluidi vengono detti newtoniani, mentre nel caso contrario

forze viscose essi vengono indicati come fluidi non-newtoniani. forze di attr i to. Dalla (1.54), indicando con r il valore della tensione tangenziale che si

Data l'importanza di queste forze nelle applicazioni meccaniche esse sviluppa tra due strati contigui di fluido, si ha:

verranno trattate separatamente.

3.6 - Forze viscose e piu in generale si avra;

Le forze viscose sono forze tangenziali che nascono quando due strati Gu(1.55) T = P -adiacenti di fluido si trovano in condizioni di moto relativo. ct y

dove u rappresenta la velocit di un punto generico del fluido ed y la coordi-nata dello stesso in direzione normale alla velocit. Ci vale, naturalmente, nelcaso in cui il moto del fluido sia unidimensionale; se iiifatti il fluido possedesseanche componenti della velocit non trascurabili in altre direzioni, la tensionetangenziale assume una espressione pi complessa(si veda il paragrafo 8.3).

Dalla (1.55) si pu quindi ricavare che, in generale, se y = 0 rappresentala coordinata della superficie solida, la forza per unit di superficie lungo laparete, in direzione tangenziale, causata da un fluido in moto :

(1;56)

Dalla (1.55) si pu facilmente osservare che le dimensioni della viscositsono:

Forza x Tempo MassaFig. 27 Distribuzione della velocit in uno strato di fluido (l'.unghezza) Lunghezza, TemPo

i

4. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

40 41

L'unit di misura pi coiirente della viscosit quella corrispondente al sistema-- CGS, unit che prende il nome di Poise (P) ed deflnita come: TABELLA l I - ' F a t t or i d i conversione approssimati per ie un i t

pratiche di viscositg kg1 )p)cos 1 1 P 0 1cmxs ' mx s

centiStokes ~ Saybolt j Rediaood j EnglerCi nonostante il Poise ancora una, unit di misura grande rispetto ai valori 2 33 31 11consueti della viscosit di un fl u ido, per cui sovente se ne ut i l izza un suo 39 36 1,3sottomultiplo e precisamente il centiPoise (cP), ovviamente definito come:

4 646 41 1,5

1 cP = 0,01 P. 8 52 46 1710La viscosit di un fluido viene poi normalmente misurata, nella pratica 59 52 1,815 77 68 23

ricorrendo ad appositi viscosimetri nei quali i l l ubr i f icante viene fatto scen- 20 98 86 2,9dere, sotto il solo effetto del proprio peso, attraverso un lungo tubo capillare. 30 141 125 4,1 allora intuitivo pensare che la viscosit del fluido in esame sia in qualche 50 232 205 6,6modo legata al tempo impiegato da una certa quantit dello stesso per passare >50 (4,6 x cS) (4,1 x cS) 0,132 x cS)

attraverso il tubo capillare, ed assumere di conseguenza il valore di tale tempoquale caratteristico della viscosit stessa: a tale tipo di misura fanno riferi- Ritornando a quanto prima accennato, va ricordato che la viscosit dimento infatti le unit di viscosit quali i gradi Saybolt, Redtsood ed Engler, un fluido funzione della. sua temperatura: essa per presenta delle modalit

Oltre che alla viscosit dinamica di un fluido, si fa sovente riferimento di variazione differenti a seconda che il fluido considerato sia un liquido odanche alla sua viscosit cinematica v, definita come: un gas. Per un l iquido infatti, la viscosit diminuisce all'aumentare della

v = P Ptemperatura ed in particolare, per i lubrificanti, si pu supporre valida con

(1,57)buona approssimazione la formula di Valther

dove p rappresenta la densit del fluido stesso. Le dimensioni della viscosit (1.58) Log [Log(v+ 7)] = A B Log Tcinematica saranno pertanto date da.:

dove T la temperatura assoluta del fluido espressa in 1~', A e B son oMassa (Lunghezza) (Lunghezza)

X due costanti dipendenti dal tipo di olio, v l a sua viscosit cinematicaLunghezza x Tempo Massa Tempo espressa in centiStol'es e 7 una costante quasi indipendente dal tipo di olio

e di conseguenza essa verr misurata nel sistema internazionale in ms/s e nel e compresa comunque sempre tra 0,6 e 0,8. I valori della viscosit cinematica

sistema CGS in cm~/s. Quest'ultima unit prende il nome di Stokes (S) ed alle temperature di 40'C e 100'C per alcuni tipi principali di oli lubrificanti

dunque pari a: sono riportati nella Tabella III.

1 S = 10 ' m-'/s Le propriet della viscosit sono presentate in modo pi dettagliato nelparagrafo 5.9.

Anche per l'unit di misura. della, viscosit, cinematica di un fluido, cosi comeper quella dinamica, si ricorre pi comunemente ad un sottomultiplo i quelladefinita nel sistema CGS, e precisamente si fa uso del centiStokes (cS), ovvia;mente pari a: 1cS = 0,01 S.

Tra. i centiStokes e le unit di misura di viscosit pratiche prima citate

(e cio gradi Saybolt, Redwood ed Engler) sussistono le relazioni r iportatedalla tabella II.

43

TABELLA I I I Viscosit cinematica di alcuni oli lubr i f icanti Si supponga ora di applicare al corpo A , in di r ez ione parallela allasuperficie di contatto, una forza T, di p i c co la intensit (Fig. 28b): si pu

Lubrificante ) v (40'C) (centiSkokes) [ v (100'C) (centiStokes) osservare che il corpo A s i mant iene fermo nella sua posizione iniziale e ciOlio da Turbina 37 4,2

SA'E 10 40 6 b)SAE 20 58 8,4SAE 30 05 12SAE 40 125 15SAE 70 400 30

Nel caso di f luidi gassosi invece, contrariamente a quanto accade peri liquidi, la viscosit aumenta all'aumentare della temperatura, secondo una c)legge che per l'aria esprimibile approssimativamente mediante la:

ma(F7), F

dove p la viscosit dinamica del gas alla temperatura assoluta T e pprappresenta la viscosit dinamica dello stesso ad una temperatura assoluta diriferimento Tp. e)

Ad esempio, la viscosit dell'aria alla pressione ambiente alla tempera- N yt ura di 0'C p p = 0 ,0171 cP, mentre alla temperatura di 100'C / l i pp-0,0217 cP. Le corrispondenti viscosit cinematiche valgono: v p 13,2 cS, T

vipp 23 cS.

Fz3 .7 - Forze d i A t t r i t o

Le forze di attrito sono forze di superficie che si sviluppano in direzione Fig. 28 Forze di aderenza e di attrito fra solidi a contattotangenziale a due superfici a contatto. A l cont rario delle forze viscose chesi sviluppano solo in condizioni di moto relativo, le forze di attrito possonoesistere anche in assenza di moto relativo fra le due superfici solide a contatto. reso possibile dall'insorgere lungo la superficie di contatto tra i corpi A

In questo caso si ha aderenza fra le due superfici. e B di fo r ze agenti in d i rezione tangenziale, forze che ammetteranno una

Si consideri un corpo A (Fig. 28a) premuto contro un altro corpo B risultante Fy di int e ns it uguale e verso opposto al la T, . Ma la fo r za .

da una forza F' perpendicolare alla superficie comune di contatto tra i due Fz, pu r a ss icurando l 'equilibrio al)' t raslazione orizzontale del corpo A,

corpi; di conseguenza il corpo A risulta in equilibrio sotto l'azione della forza forma con la forza T, una copp ia che non pu essere equilibrata se non

N e delle forze esercitate da B su t u t ta la superficie di contatto. Tali forze modificando la distribuzione delle forze agenti in di rezione normale. Questa

devono possedere, onde soddisfare alle condizioni di equilibrio, una risultante nuova distribuzione ammetter ancora una risultante di intensit pari a F ~ ,

F~ avente la stessa retta d'azione, egual modulo e verso opposto a quello ma ora traslata rispetto alla forza N in m odo da creare una coppia uguale e

della forza N. contraria a quella, formata dalle forze Fz e T, (Fig. 28b).

45

La forza Fy che i l c o rpo B ese rc i ta, sul corpo A nel l e condizioni valore dell'area di contatto tra le due superfici. Queste leggi dell'attr i to, giprima indicate dovutat all'aderenza che si ha fra le superfici a contatto e enunciate da Leonardo d Uinci (1452-1519), furono riscoperte dall'ingegnererappresenta la risultate delle forze d'adesione che si hanno fra, i punti dei due frances Amontons nel 1699 e furono infine verificate sperimentalmente incorpi che vengono a contatto. modo completo da Coulomb nel 1781, per cui si indicano frequentemente con

All'aumentare della, forza T, a pp l icata al corpo A> aumenta anche il la denominazione di attr ito coulombiano i fenomeni di att r i to che presentinovalore della, forza, di aderenza Fz fi no a quando si raggiunge un valore limite, le caratteristiche prima, esposte. Esse valgono con ottima approssimazione perindicato con (F~) (Fig. 28c), che rappresenta la massima forza di aderenza i materiali duri .che si pu sviluppare fra. le superfici a contatto.

Se la forza T, aumenta. ulteriormente, anche di una quantit piccola, 3 .8 - Coef f ic ient i d i ade renza e d i a t t r i t ot, il corpo abbandona la sua posizione di quiete e si muove nella direzione diapplicazione della forza (T, + t), (Fig. 28d). L'entit delle forze di aderenza e di attr ito viene normalmente espressa

Una volta che il corpo A i n moto r i spetto a B, si c onstata, speri- mediante i coefficienti di aderenza e di a t t r i to . S i d e f inisce coefUciente dimentalmente che la forza T necessaria a mantenere A. in moto con velocit aderenza f, il rapporto tra il modulo della forza massima. tangenziale (Fr ),uniforme minore della forza T, necessaria ad iniziare il moto(Fig. 28d), che si puo sviluppare fra le superfici a contatto prima che inizi il moto relativoe che tale forza, T, ne l la, maggioranza. dei casi, varia abbastamza poco al ed il modulo della forza normale F~.variare della velocit con la quale si muove il corpo ( ). Pertanto, quando il

(Fz )ecorpo A in mo to con la velocit, V r i s petto a B, B ese rc i ta su A un a , (1.59) Fyforza Fr, par a l le la alla. direzione del moto relativo tra A e B, ed av enteverso opposto a quello della, velocit. di A relativa a B. La forza Fr prende Si definiscecoscientedi attrito f il rapporto tra, il modulo della forzail nome di forza di attr i to fra. le due superfici a contatto. tangenziale Fz che si genera al contatto fra due superfici in moto relativo ed

E chiaro che, come B esercita su A una forza Fz avente verso il modulo della forza normale Ffvopposto alla velocit di A r i spetto a B, cosi A e sercita su B una forza Fr, opposta alla precedente, ed avente quindi verso opposto alla velocit di (1.60)B r e lativa ad A .

Come risulta evidente, la caratteristica peculiare che contraddistingue La Tabella IU riporta i valori dei coefficienti di aderenza e di attritola presenza dei fenomeni di aderenza o di attrito fra due corpi rappresentata per numerose coppie di materiali a, contatto. Salvo indicazioni contrarie ildall'esistenza o meno di moto relativo fra i corpi stessi. Cosi, quando non contatto da intendersi secco, ossia in assenza, di materiale lubrificante, ed inesista moto relativo fra. due corpi a contatto ci s i t r over in condizioni di condizioni ambientali standard, mentre il coefficiente di attr ito da intendersiaderenza, mentre quando esista nioto relativo fra due corpi a contatto ci s i misurato ad una velocit relativa tra le superfici a contatto compresa tra 0,5trover in condizioni di attr i to . e 5 m/s. L'infiuenza di particolari parametri sui coefficienti di aderenza e di

Oltre alle caratteristiche finora esposte, i fenomeni di aderenza e di at- attrito verr ora esaminata.trito fra due superfici a contatto prsentano due importanti propriet. Innanzitutto sia la forza limite di aderenza, (Fz), sia la forza di attrito Fz sonoproporzionali alla forza F~ co n la quale vengono premute l'una contro l 'al-tra, in ambedue i casi, le due superfici a. contatto. In secondo luogo, la forzalimite di aderenza (F~), e la forza di attrito Fr sono indipendenti dal

(*) L ' influenza della velocit sulla forza di attrito verr esaminata pi dettagliatamente al para-

grafo successivo.

47

Mat eri ahTABELLA IV Coefficienti di aderenza f, e di a ttrito f in co nd iz ioni

ambientali standard e in assenzadi lubri6cantl Stagno su ghisa 0,32Zinco su ghisa 0,85 0 21

Materiali

Metalli e leghe metalliche su metalli e leghe metallich,e Materiali vari su legno

Acciaio duro su acciaio duro 0,78 0,42 Acciaio fucinato su legno di faggio (1) 0,54Acciaio fucinato su acciaio fucinato 0,44 Acciaio fucinato su legno di olmo (1) 0,49 : 0,60Acciaio tenero su acciaio tenero- 0,74 0,57 Acciaio fucinato su legno di pioppo (1) 0,60-: 0,65Acciaio tenero su ghisa 0,23 Acciaio fucinato su legno di rovere (1) 0,40 : 0,51Alluminio su alluminio 1,40 1,25 Acciaio fucinato su legno di salice (1) 0,60-: 0,63Argento su argento 1,40 Cuoio su legno di rovere (1) 0,50 : 0,60 0,35 : 0,50Bronzo su bronzo 0,25 : 0,30 Fune di canapa su legno rugoso (1) 0,50 : 0,80 0,50Cadmio su cadmio 0,330,80 Fune di canapa su legno liscio (1)Carburo di tungsteno su carburo di tungsteno 0,20-: 0,25 Ghisa su legno di faggio (1) 0,29-:0,37Cromo su cromo 0,41, Ghisa su legno di olmo (1) 0,36 : 0,37Ferro su ferro 1,00 Ghisa su legno di pioppo (1) 0,35-: 0,40Ghisa su ghisa 1,10 0,15 Ghisa su legno di rovere asciutto (1) 0,30 : 0,50Magnesio su magnesio 0,60 Ghisa su legno di rovere bagnato (1) 0,63 0,33Nickel su nickel 1,05 0,53 Legno di rovere su legno di rovere (1) 0,62 0,48Platino su platino 1,20 Legno di rovere su legno di rovere asciutto (2) 0,54 0,42Rame su rame 1.00 Legno di rovere su legno di rovere bagnato (2) 0,71 0,25

Mattone su legno (1) 0,30 : 0,40Zinco su zinco 0,65 Ottone su legno di rovere (1) 0,48Acciaio fucinato su ghisa 0,18Acciaio tenero su bronzo fosforoso 0,40 Mola e smeriglio su altri materiali0,34Acciaio tenero su ghisa 0,40 0,23 Mola a grana ruvida su acciaio 0,25-: 0,30Acciaio tenero su piombo 0,95 0,95 Mola a grana ruvida su ghisa 0,21 : 0,24Alluminio su acciaio tenero 0,61 0,47 Mola a grana fine su acciaio 0,94Bronzo su ghisa 0,22 Mola a grana fine su ghisa 0,72Cadmio su acciaio tenero 0,46 Smeriglio su acciaio 0,28-: 0,50Carburo di tungsteno su acciaio 0,40-: 0,60Carburo di tungsteno su ferro 0,80 Materiali vari su neve e ghiaccio (a-1P C)Carburo di tungsteno su rame 0,35Costantana su acciaio Acciaio su ghiaccio 0, 027 0, 0140,40 Alluminio su neveLega di bronzo-alluminio su acciaio 0,380,45Lega di rame-piombo su acciaio Ghiaccio su ghiaccio 0,30 0, 0350,22Magnesio su acciaio tenero Nylon su neve 0,300,42Magnesio su ghisa Ottone su ghiaccio 0, 0750,25 Politetrafluoroetilene su neveNickel su acciaio tenero 0; 080,64Ottone su acciaio tenero 0,51 0,44Ottone su ghisa Materiali vari su vetro0,30Piombo su ghisa 0,43 Grafite su vetro 0,18Rame su acciaio tenero 0,53 0,36 Nickel su vetro 0,78 0,56Rame su ..ghisa 1,05 0,29 Rame su vetro 0,68 0, 53-

Vetro su vetro 0,94 0,40

Materiali Z8etto della velocitI

Sughero su altri m.ateriali

Sughero su acciaio 0,45 Per la maggior parte dei materiali duri per i quali si ha attr ito coulom-Sughero bagnato su acciaio 0,56 biano il coefficiente di attr ito ha un brusco decadimento passando da velocitSughero su acciaio bagnato 0,69 nulla a, una ve)ocit variabile tra 3 e 8 mm /s; ci corrisponde, come espostoSughero su sughero 0,59 nel precedente paragrafo, al passaggio delle condizioni di aderenza{o attritoSughero su vetro 0,52 statico) alle condizioni di attrita {dette anche di attrito dinamico). Succes-

Materiali cristallini vari su materiali vari sivamente, dopo un piccolo incremento, i l coefficiente di at t r i to d iminuisceall'aumentare della velocit relativa, fra i due corpi a, contatto {Fig. 29). Per

Cristalli di NaNOs, I

50

EBet t o della p ressi on e A questa relazione pu essere accoppiata. una. interpretazione geometrica moltosemplice.

La pressione fra le superfici di contatto ha una scarsa infiuenza sul'coef-ficiente di attr ito per materiali duri. Per materiali non lubrificati il coefFicientedi attrito di solito diminuisce leggermente all'aumentare della, pressione, men-tre per materiali tra i quali sia interposto un sott ile strato di lubrificante ilcoefficiente di at t r i to aumenta all 'aumentare della pressione di contatto; so-vente si osserva un rapido aumento del coefFiciente di attr ito per valori dellapressione prossimi a 1 MPa, seguito da un ampio campo di pressioni nell'arn-bito del quale il coefFiciente di attr ito si mantiene pressoch costante.

EBetto de l l u b r i f i can te

La presenza di un materiale lubrificante diminuisce il valore dei coefFi-cienti di aderenza e di attrito. E stato ripetutamente constatato che l'azioneel lubrificante particolarmente accentuata quando quest'ultimo reagiscechimicamente con le superfici a contatto. Un esempio tipico quello fornitoda due superfici di acciaio duro per le quali il coefFiciente di attrito secco vale I0,42, ma si riduce a 0,1 circa in presenza di olio da turbina e a solo 0,029 Fig. 30 Cono di aderenza; Fy e F N sono le componenti tangenziale e normale

della forza che B esercita su Ain presenza di acido stearico. In alcune applicazioni pratiche inoltre vengonousati lubrificanti solidi; sempre nel caso di acciaio duro su acciaio duro il coef-ficiente di attrito vale 0,305 in presenza di mica in polvere, 0,071 in presenza Sempre con riferimento alla, fig. 30, si tracci la risultante F de l le forze

di iodato di piombo, 0,054 in presenza di solfato d'argento, 0,058 in presenza Fy e F N , tal e r isultante former un angolo p. rispetto alla direzione

di grafite, 0,033 in presenza di bisolfuro di molibdeno, 0,037 in presenza di normale alle superfici, angolo per il quale sussiste la relazione:

disolfato di tungsteno. In presenza di olio lubrificante il coefficiente di attrito Frper acciaio duro su acciaio duro , in generale, compreso fra 0,065 e 0,085. tgw. =-FN

)

ARinch si abbia aderenza occorre che sia soddisfatta la (1.61) e di conseguenza3.9 - Angoli di aderenza e di attr i to

deve essere:

Si consideri un corpo A i n qu i ete r ispetto ad un al t ro corpo B e tgge ( f a

sottoposto all 'azione di una forza normale FN (fig. 30). Si visto nel pa- Si in grado allora di definire un angolo di aderenza pp er i l q ua le sia:ragrafo precedente che il corpo A p u mantenere la sua posizione di quieteanche dopo l'applicazione di una forza, agente in direzione tangenziale purch {1.62) tg V'a = fail rapporto tra i valori. della forza tangenziale e di quella normale che-i-corpiA e B si s cambiano attraverso la superficie di contatto si mantenga minore La condizione algebrica (1.61) da soddisfare per avere aderenza si tra-del coefFiciente di aderenza tra i due materiali, ossia purch sia rispettata, la s forma quindi nella seguente condizione geometrica: afFinch il corpo A s iadisuguaglianza: in quiete rispetto a B n e cessario che l'angolo p, for m a to dalla direzione

Fz della risultante delle forze scambiate con la normale alle superfici a contatto(1.61) ( f

FN sia minore dell'angolo di aderenza ia,. Ci signific anche che la, risultante F

53

delle forze scambiate tra',le due superfici deve essere interna ad un cono dettocono di aderenza, avent angolo di apertura p,.

Quanto esposto finora nel caso dell'aderenza vale anche per il caso del-l'attr ito e, procedendo in modo del tutto analogo, si giunge a definire l'angolodi attrito p me d iante la relazione:

(1.63) tgy= f

Durante lo strisciamento, il rapporto fra le componenti tangenziale e normaledella forza scambiata tra le due superfici , si veda, la (1.60) :

Fzf - -Fw

e ci non significa altro che la. risultante F de l le forze scambiate inclinatarispetto alla normale alle superfici a contatto dell'angolo p dato dalla (1.63). Fig. 31 Solido in moto lungo un piano inclinato

3.10 - Casi elementari d i aderenza o d i a t t r i t o f r a corp i sol id i a Si supponga ora che siano contemporaneamente verificate le condi-contat to zioni P = 0 e T > P s ina (fig. 32); la condizione (1.64) pu essere allora

riscritta sotto la forma:Si esamineranno in questo paragrafo alcuni casi elementari di aderenza

od attrito fra corpi solidi a contatto. Si consideri quale primo esempio il caso T Psine < f ,P c osa

rappresentato da un corpo di peso P pos to su di un piano, inclinato di oppure, tenendo presente la (1.62), sotto la forma:un angolo n r i spetto all'orizzontale, e soggetto all'azione di una forza T T si n (n+ p,)(fig. 31). Indicando con Fz e 1"~ le componenti tangenziale e normale ( )1.65) P c os p,della forza, che il piano esercita sul solido, si in grado di scrivere le seguenti

Se il modulo della forza T parallela al piano minore di Psina, o seequazioni di equilibrio:la forza T stessa diretta in verso opposto a, quello delle figg. 31 e 32 (verso

T cos:,8 P sin a Fz = 0 assunto conie positivo nell equazioni di equilibrio ), il termine T PsinaT sin P P cos e+ F~ = 0 diventa negativo e la condizione (1.G4) va scritta in questo caso nel modo

se uente:Associando a questo sistema la condizione di aderenza g T Psine-f, 0 0,20

Quando un corpo si muove entro un fluido con velocit relativa V, acausa delle forze superficiali agenti in direzione normale (forze d)' pressione) e 0)8 0,16in direzione tangenziale (forze viscose), si sviluppa sul corpo una forza risul- CRtante F che viene normalmente espressa come somma di una componente R 0)6 0) 12in direzione della velocit relativa, detta, resistenza (f ig. 37), e di una compo-nente L in d irezione perpendicolare alla, velocit relativa,, detta, portanza. 04 0,08

Queste due componenti della forza che il fluido esercita sul corpo sonofunzione della geometria, del corpo e delle sue dimensioni, della velocit relativa, 012 0>04fra corpo e fluido, e delle caratteristiche del fluido.

consuetudine scrivere le espressioni della portanza e della resistenzanel modo seguente:

0,2 0,04pV2 -4 0 4 8 12 16 20 24L =ci. A2(1.81) Angolo di incidenza (')pV2

R= CR A Fig. 38 CoefBcienti di portanza e di resistenza per un tipico profilo alare2

:dove A un '.area caratteristica del corpo, V l a velocit relativ fra i due Per un corpo avente un asse di simxnetria,, investito da una corrente

fluida diretta. secondo l'asse di simmetria., il coefficiente di portanza nullo. In Nel caso di un cilindro di diametro d e lunghezza L, o di una piastra digenerale, i coefficieilti di portanza e di iesistenza variano al variare dell'angolo larghezza d- e lunghezza L, investiti da un fluido (in direzione perpendicolaredi incidenza, ossia dell'angolo formato fra. la direzione della velocit relativa ela direzione di portanza. nulla. Ad esempio, l'andamento tipico dei coefficientid i portanza e di resistenza per un profilo alare riportato nella fig. 38. In 100

questo caso l'area A che compare nelle(1.81) il prodotto A = bL de l la 50larghezza del profilo per la lunghezza della corda.

20Come prima detto, per un corpo simmetrico investito da una corrente Cilindro

10fluida nella direzione dell'asse di simmetria la portanza nulla e si ha solo L

resistenza.. In generale il coefficiente di resistenza funzione di un parametro PiastraV Z pianaadimensionato detto numero di Reynolds, definito come: d2

cs1pVL

(1.82) Re = 0,5P0,2

in cui p la densit del fluido, p, la sua viscosit, V la velocit del fluido0,1

relativa al corpo ed L una. lunghezza, caratteristica. Ad esempio, nel caso di005

una sfera e nel caso di un disco di diametro d, definendo con d la lunghezza 0,1 0,5 2 10 50 100 20 0 1000 10.000 100.0 0 0 1.000 .0Ccaratteristica della (1.82) e con A = xds/4 l'area che compare nelle (1.81), il Rc = p Vd/p

coefficiente di resistenza, in funzione del numero di Reynolds riportato nellafig. 39. Fig. 40 Coefflciente di resistenza in funzione del numero di Reynolds per un cilin-200 dro e per una piastra piana. perpendicolari alla corrente fluida (L/d )) 1)100

50 alla loro lunghezza) con velocit V, definendo ancora il numero di Reynolds

20 come Re = pVd//s e definendo l'area che compare nelle (1.81) come A = dL,si hanno i valori del coeffiiciente di resistenza c/t riportati nella fig. 40, validi

10 Sferanel caso di grandi rapporti L/d .

OXd Nella fig. 41 iiportato il coiefliciente di resistenza ci t pe r una piastraV ~ p D is co piana lunga L, di a rea totale A (area delle due facce), investita da una

corrente fluida con velocit V n e l la, direzione della lunghezza. Il numero

0,5 d i Reynolds in questo caso definito come Re= pVL //s. Nella fig. 41 sonoriportate due curve per il coefficiente di resistenza. c~. .una corrisponde alla

0,2 c ondizione di moto laminare e una alla condizione di moto t u rbolento. I l0,1 . passaggio. dalla condizione di moto laminare,a quella di moto turbolento si0,05 ha per un numero di Reynolds compreso fra 10' e 10s e dipende dai grado

di turbolenza della corrente fluida incidente sulla piastra. Nel caso di moto0,020,1 0,5 1 2 10 50 100 20 0 1000 10.000 100.000 1. 0 00.000 laminare, il valore di c~ dato da:

Rc = p Vd/pFig. 39 Coefficiente di resistenza, in funzione del numero di Reynolds per una sfera 1, 328

per un disco (1:-83) CR =

Nel caso di moto turbolento, supponendo che la transizione avvenga per RgRe = 5 x 10, cn h a l a Seguente espressione:

0,100,455 1700 0,08

10(Log Re)z 's Re 0,06

0,040,009 10

60,008

0,02 4

60,007

0,01 V00,006 0,008 AR

cn 0,0060,005

0,004 turbolentolaminare0,004

0 0020,003 r6oI 10 2 4 6 10 2 4 6 10 2 4 4 6 10coro

Crcsccntc Re = puR /p0,002 turbolenza Fig. 42 Coefficiente di momento per un disco sottile

cstcrna0,001

Per un disco sottile che ruota entro un10 10' 10 10' 10 10'

Rc = p Vt./p involucro fisso e in cui lo spessore dello stratofluido sia piccolo, il moto del fluido si pu con-

Fig. 41 Coefhciente di resistenza per una piastra piana investita da una correntesiderare laminare (fig. 43}.

fluida in direzione parallela alla piastraPertanto la tensione tangenziale sulla su-

perficie del disco , in base alla (1.56}:Nel caso di un disco sottile di raggio R ruotante con velocit angolare

in un fiuido avente densit p e vi scosit, p, si sviluppa sul disco unacdppsi resistente ll fR. Il valore di questa coppia. resistente dato defineiido "(y)~ r hun coefhciente di momento resistente chr per una faccia del disco:

dove h lo spessore dello strato di fluido edMR

(1.85) chr- il raggio generico. La coppia resistente agente p~'R'2 su una faccia del disco quindi data da:

Il valore di chr dipende dal numero di Reynolds che, in questo caso f pigra rrp+ D4definito come: (1.87) M = rr dA =,J d rd8 =

iu Ra Fig. 43- Discosottile rotante(1.86) Re =

p Questa espressione valida, per numeri di Rey-entro un involucro

e dal rapporto fra la velocit V del fl u ido in d i rezione perpendicolare al nolds Re = D~iu p/4p inferiori a 10000.

disco e la velocit. periferica di questo. Nella, fig. 42 sono riportati i valori di Per un ci l i n dro r o tante entro una s ede c i l indrica f issa e c oassiale(Fig. 44}, se lo spessore b dello strato di fluido fra i due cilindri piccolo, il

67

moto del fiuido laminare e si ha ancora, in base alla (1.56): 0,10,08

V ~D 0,06r = p = p

6 . 26 0,04 Rg rrr

Poich la tensione r co-0,02stante in tutt i i punti , i l momen-

to resistente dato da:0,01(1.88) 0,008

f D ttD~LM=J

r dA=r 0,006A 2 2 0,004

x ~ L D s46 0,002

laminare~ lam i nare con vortici~ turbo lentoSe lo spessore b non pic- 41,3

colo, la coppia resistente Mvie- 0,00110 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10ne espressa definendo il coeffi- Tpciente di momento resistente:

Fig, 45 Coefficiente di momento per un cilindro rotante entro una sede cilindricaFig. 44- Cilindro rotante entro una sede coassiale

(1.89) c~ 1 fissa coassiale tr p~s R4L2

3.13 - Forze agenti su corpi in moto di ro tolamentodove R = D/2 il raggio del cilindro rotante, Nel caso di moto laminare, siha: Si consideri un cilindro (o, caso del tutto analogo, una. sfera) appoggiato

su un piano orizzontale e premuto contro questo da una forza normale F~8p(1.90) cM = (fig. 46). Si supponga ora di voler far ruotare il cilindro lungo il piano nel

~Dp verso indicato nella fig, 46; si constata sperimentalmente che il corpo non si

In generale, il coefficiente di momento resistente funzione di un para- muove finch il momento M applicato al cilindro non raggiunge un valore

metro adimensionato detto numero di Taylor"e definito come: limite. M, valore.che funzione della forza F~ applicata.Poich quando il corpo si muove in condizioni di moto uniforme si deve

~R6 avere una condizione di equilibrio fra la coppia M, la forza F~, e la reazione(1.91)p R del piano sul cilindro, ne risulta che la forza normale, uguale e opposta a F>,

che il piano esercita sul cil indro non passa per la normale comune alle dueFino ad un valore del numero di Taylor pari a 41,3 si ha moto f luido

superfici a contatto, ma r isulta spostata, in avanti, nel verso del moto dellaminare e il coefficiente di momento resistente dato dalla (1.90). Per valori cilindro, di una quantit u det t a parametro di attr i to volvente. I l p rodottodel numero di -Taylor compreso fra 41;3 e 400>i ha moto fiuido la,minare con F~ . u ra pp resenta il momento resistente do~uto all 'attr i to al ro to lamentopresenza di vortici; oltre il numero di Taylor 400 si ha moto fluido turbolento. ed uguale al momento Mche deve essere applicato al cilindro per farlo

avanzare a velocit angolare costante.

68

punto C , ma i l d iagramma delle pressioni di contatto diviene asimmetrico acausa, delle imperfezioni elastiche dei due materiali. E p recisamente avvieneche, a parit di deformazione, la pressione maggiore dove le deformazionistanno aumentando ed minore dove le deformazioni stanno diminuendo;di conseguenza la forza risultante dalla somma delle pressioni di contatto ancora normale al terreno e di valore F~, ma passa per un punto D, di v e rsodal punto geometrico ideale di contatto C (fig. 47 b).

al b)

F

Fig. 46 Rullo premuto contro un piano resistenza al rotolamento

Anche qui, come nel caso dell'aderenza e dell'attrito radente, si do-vrebbe distinguere un parametro di in i z io di ro tolemento u, maggiore delparametro di attrito volvente che si riscontra quando il cilindro in moto; ilmomento necessario per iniziare il moto infatti maggiore di quello necessarioper mantenere il cilindro in moto uniforme, tuttavia la differenza tra questidue valori in genere abbastanza piccola ed i parametri u e u, possono Fig, 47 Distribuzione delle pressioni di contatto tra cilindro e piano nei casi diessere considerati uguali in molti casi. quiete (a) e di moto (b)

Le cause fisiche della resistenza al rotolamento sono essenzialmente tre:

Una seconda causa di perdita di energia durante il rotolamento , come imperfezioni elastiche dei materiali a contatto;si detto, dovuta allo strisciamento' locale che avviene fra cilindro e piano,

strisciamento fra i due corpi;Infatti, essendo i due corpi a contatto lungo una superficie per effetto dell'ela-

imperfezioni del terreno. sticit dei materiali, esister uno strisciamento, con conseguente presenza di

A causa della elasticit dei materiali costituenti i due corpi infatti, il un fenomeno dissipativo, per tutt i quei punti della superficie che non stanno

contatto tra il ci l indro ed il terreno non pi costituito, come nel caso ideale, sulla, generatrice ideale di contatto.

da, una linea, ma da una superficie avente un'estensione funzione dell'elasticit Una, terza, causa di perdita di energia durante il rotolamento costituita-stessa. Nel caso di cilindro fermo, considerando-una generica sezione normale dalle imperfezioni del terreno lungo il quale il cilindro rotola. Ogni imperfe-dei corpi a contatto (fig. 47 a), si osserva che la distribuzione delle deformazioni zione infatti causa di un urto al quale corrispondono una dissipazione die delle pressioni scambiate tra i corpi simmetrica rispetto al punto geometrico energia, ed un ulteriore aumento della dissimmetria esistente nel diagrammadi contatto C. La r isultante delle pressioni pertanto uguale ed opposta delle pressioni di contatto della fig. 47 b.alla, forza Epr esercitata dal cil indro. Se invece il cil indro rotola sul piano, Sulla base delle considerazioni ora, esposte si pu concludere che la resi-ji.diagramma delle deformazioni continua a r imanere simmetrico rispetto ai stenza al rotolamento tanto'maggiore quanto maggiori sono le imperfezioni

70 71

del terreno e la cedevolezza dei materiali a contatto. Infatti, quantomaggiore TABELLA V Valori del coefFiciente di attrito volvente f la, cedevolezza,, tanto maggiore , a parit di forza normale, l'area della su-perficie di contatto e di conseguenza tanto maggiore il parametro di att r i to Materiali

volvente u. Acciaio su acciaio (superfici lucide) 0, 0005 0, 002Per la resistenza al rotolamento sono state proposte alcune formule che

Acciaio su acciaio (superfici rugginose) 0,005 0,01tenessero conto della dipendenza del parametro di attr ito volvente dalla forzanormale agente sul rullo e dal raggio r di q uesto. In part icolare, la relazione Pneumatici su strada asfaltata, per carichi fra 1000 N

0, 008 0, 012pi approssimata la formula di Gerstener-Coriolis: e 5000 N e per una pressione di gonfiaggio di 200 kPa

Pneunatici su strada asciutta con ghiaia compatta 0, 012 0, 015, Fprr(1.92) Pneumatici su strada bagnata con ghiaia 0,05 0,06

dove: Pneumatici su sabbia non compatta 0, 18 0,45

Pneumatici su neve non compatta 0,08 0,28a = costanteb = larghezza del cilindro Pneumatici su cemento 0, 018 0, 035

In realt, si constata sperimentalmente che fino a quando la deforma- Pneumatici su sabbia compatta 0,013 0,016zione dei due corpi a contatto essenzialmente elastica, il parametro di attrito Pneumatici su terra fangosa 0,09 0,015volvente u quasi indipendente dal carico, e si ha:

Ruote di acciaio su cemento 0,013 0,023

(1.93) /F 0 > 2N

mentre per corpi con grandi deformazioni plastiche si ha: Per una ruota ferroviaria su rotaia viene riportato in alcuni testi: u =0,5 mm, valore che rientra nel campo f, = 0,0005 0,002.

(1.94) Per ci che riguarda la dipendenza della resistenza al rotolamento conla velocit angolare, essa sensibile alle alte velocit. Per i pneumatici si ha

Per valutare la resistenza al rotolamento viene spesso utilizzato, al posto la legge seguente (valida su strada asfaltata):del parametro di attrito volvente u, il coegcierite di attrito uoluerite f. Talecoefficiente, adimensioeeto, viene definito come: ('1.96)'*

(1.95) dove k = 1,5 x 10 s /rad2 e f, il valore 0,012 0,015 che comparenella tabella V.

I valori medi del coefficiente di attrito volvente sono riportati nella ta; Occorre notare che nella zona di contatto fra ru l lo e p iano si hannobella V. in generale anche forze in direzione tangenziale scambiate fra rullo e piano.

Per ci che riguarda la dipendenza dal raggio, dai dati sperimentali Affinch sia mantenuto un moto di rotolamento senza strisciamento fra rullo erisulta che il coefficiente di attrito volvente f d iminuisce, in misura maggiore piano occorre poi che nel punto geometrico di contatto fra i due corpi si abbiao minore, all'aumentare del raggio e, di conseguenza, il parametro di attrito aderenza in modo da garantire l'annullarsi, in questo punto, della velocitvolvente u aumenta leggermente all'aumentare del raggio, come appare anche relativa.dalla (1.92). L'aumento di u con i l raggio piccolo per materiali duri emaggiore per materiali pi cedevoli.

6. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

72 73

Se questo rapporto minore del coefficiente di aderenza, fra rullo e piano

si ha effettivamente un moto di rotolamento senza strisciarnento; viceversa ilrullo rotola e striscia lungo il piano inclinato e fra le componenti tangenzialeFr e normale F~ del la forza scambiata fra rul lo e piano si ha: Fr = f F~ ,dove f i l c oefFiciente di attr i to.

S.l4 - Fo rze nei v i n co l i

Ogni elemento meccanico in genere vincolato in una o pi part i a una C l'r altro elemento (eventualmente al terreno), in modo che esso pu compiere di

conseguenza solo certi particolari movimenti. Poich all'elemento meccanicovincolato sono in generale applicate forze o coppie, il vincolo deve di conse-guenza esercitare una forza (o una coppia, o entrambe ) sull'elemento stessoin modo tale da impedire il movimento di questo come stabilito dal vincolo.Tale forza(o coppia) detta reazione vincolare.

Fig. 48 Rullo in moto su un piano inclinato Esistono tre tipi principali di vincolo.

a) Appoggio semplice (o appoggio scorreuoLe).Si consideri ad esempio> un rullo di diametro d (fig. 48) che rotola senza

strisciare su un piano inclinato di un angolo a rispetto all'orizzontale e siE un vincolo (fig. 49 a) che costringe l'estremo A dell'elemento mecca-

6ico a mantenersi sempre lungo una retta (z z nella fig. 49 a). L'elementosupponga che sul rullo di peso P agisca una forza resistente R, passante peril baricentro G del rullo, in direzione parallela al piano inclinato. Si supponga

pu dunque ruotare attorno al punto A e quest'ultimo pu traslare lungo la

inoltre che sia u il parametro di attrito volvente fra rullo e piano. Si voglionoretta z z. La reazione vincolare creata da questo tipo di vincolo una forza

determinare la coppia C agente sul rullo necessaria per mantenere il rullopassante per A e perpendicolare alla direzione z z,

in condizioni di moto uniforme e le forze Fz ed Fiv in direzione tangenzialee normale scambiate fra rullo e piano.

Le equazioni di equilibrio delle forze secondo le direzioni z e y (fig. 48)

74 75

b) Cerniera

un vincolo (fig. 49 b) che costringe l'estremo A dell'elemento mecca-nico a mantenersi fisso in un determinato punto. L'unico movimento possibile Numero di gradi di liberr:

dell'elemento meccanico una. rotazione attorno ad A e la reazione vincolare h'= 3 x 3 (2+2+2+2 ) = 1

pertanto una forza passante per A a vente direzione qualsiasi,

c) Incastro

un vincolo (f ig. 49 c) che costringe l'estremo A de l l 'elemento mecca;nico a mantenersi in una posizione fissa e che impedisce all'elemento meccanico N= 3 x2 (2+2+ 1 ) = 1di ruotare attorno al punto A, La reazione vincolare di un incastro sar quindicostituita da una forza passante per A, avente direzione qualsiasi, e da unacoppia.

3.15 - Gradi di l ibert di un corpo r ig idoh~ = 3 x 2 (2 + 2) =?

Poich i vincoli impediscono ad un corpo rigido determinati movimenti,essi tolgono al corpo alcuni gradi di hbert. Un corpo rigido nello spazio ha seigradi di libert poich la sua posizione detefinita dalle tre coordinate di unpunto e dalle tre rotazioni del corpo attorno a questo punto (angoli di Eulero,paragrafo 1,6). Un corpo rigido piano ha tre gradi di libert, poich nel piano N= 3 x 1 3 = 0

la sua posizione definita dalle due coordinate di un punto e dalla rotazionedel corpo attorno a questo punto.

Sempre nel caso di un piano, un appoggio semplice toglie un grado di N= 3 x 2 (2+2+2) =0libert, una cerniera toglie due gradi di libert, un incastro toglie tre gradi dilibert.

Se si considera un sistema meccanico costituito da pi corpi rigidi traloro collegati mediante vincoli, si possono verificare tre casi distinti.

a) 11 numero di gradi di libert complessivo maggiore di zero; ci significa che N =3x l (2+ 1 ) = 0il sistema ha possibilit di movimento. 11 numero di gradi di libert indicail numero di coordinate indipendenti necessarie per definire la posizione delsistema meccanico,

b) Il numero di- gradi di libert complessivo- pari a zero; ci significa che-il- h'= 3 (3+3) = 3sistema non ha possibilit di movimento e che possibile determinare ilvalore delle reazioni nei vincoli mediante le equazioni di equilibrio del pa.-ragrafo 3.3. Il sistema si dice allora, staticamente determinato o isostatico.

c) 11 numero di gradi di libert complessivo minore di zero. Il sistema nonha possibilit di movimento e non possibile determinare le reazioni dei Fig. 50 Esempi di calcolo del numero di gradi di liberta di un sistema meccanico piano

77

vincoli mediante le semplici equazioni di equilibrio. I l sistema si dice sta- Nel caso in cui le molle siano collegate in serie (fig. 51 e), la cedevolezzaticamente indeterminato o iperstotico. totale la somma, delle cedevolezze, ossia:

Nella fig. 50 sono riportati alcuni esempi di calcolo del numero di gradi 1 1 1di libert di un sistema meccanico. (1.99) k ki kz

Oltre alle molle che generano forze di trazione/compressione proporzio-3.16 - Forze elast iche

nali a uno spostamento relativo fra gli estremi, si hanno molle di torsione che

In numerose applicazioni meccaniche occorre considerare l'elasticit dei generano una coppia C p r oporzionale allo spostamento angolare relativo t )

corpi. In part icolare, vi sono componenti meccanici (molle) che hanno piccola fra gli estremi:

massa e che esercitano una, forza proporzionale allo spostamento relativo z(1.100) C = -ke8fra gli estremi (fig. 51 a,: molla indeformata.; fig. 51 b: molla, compressa, fig. 51

c: molla tesa) : dove ke la rig idezza torsionale.Per le rigidezze torsionali valgono le stesse regole di somma (1.98) e(1.97)

(1.99) delle rigidezze lineari.

k,~ k ,~ l kg+~

r.a) c)

Fig. 51 Molle

La costante k di proporzionalit prende il nome di: rigidezza, mentreil suo inverso 1/k prende il nome-di cedeuolezza.-

Nel caso in cui pi molle siano tra loro collegate, nel caso di collegamentoin parallelo (fig. 51 d), la

4 . DINAMICA

4 .1 - Quantit di moto e momento della quantit d i moto

Per un punto P di massa m e di velocit V s i definisce quantit dimoto i l vettore

(1.101) =mV ',

Per un sistema qualsiasi costituito da N masse la quantit di moto delsistema la somma delle quantit di moto delle singole masse:

N

(1.102) Q = pmVtt=l

Indicando ora con m la massa totale del sistema, e con Vo la velocit delbaricentro del sistema si ha che la quantit di moto del sistema, definita dalla{1.102) uguale a:

(1.103) Q =mVg

Per un punto P di massa, m avente velocit V si d e f in isce momento.della tiuonttt di moto dei punto P 'spetto a, u~n.unto O i i v e t t ore:

(1.104) f I7II = (P O) A mV

per un sistema, ~u alsiasi costituit ttsla~ arms s~ i e fi ' dsultante della quantit di moto del sistema r is etto a un u n t o O i l ve t t o re:

N

(1.105) Il, = P(P O) W mVgl

80 81

Per un sistemo rigido qualsiasi il momento risultante della quantit. di moto Per un sistema rigido piano, l'asse , appunto perpendicolare al piano,rispetto a un punto O pu essere anche espresso dalla seguente relazione, in un asse principale di inerzia e la velocit angolare 5 rappresentata dacui 5 il vettore rot

'is an.aneadel sis un vettore anch' esso perpendicolare al piano ( Fig. 52). Indicando con k i l

ff

Ho = p m ( (P O) h Vo + (P O) t+(1.106) st=l

[(P O) x 5] (P O))

Se poi il punto O fi sso o coincidente col baricentro G d e l s is tema,

in unzione dei m~ M iwnerz4 . I

82

b) un momento risultante delle forze di inerzia r isp tto al punto A : Indicando con F F ,F , le t r e c ompo-nenti della forza F se condo tre assi cartesiani,

{1'.113) M' = - VA h QA e con dz , dy, dz, l e c omponenti dello sposta-mento dr" secondo gli stessi assi, si ha, pure:

dove HA il momento risultante della, quantit di moto calcolato rispettoad A, VA l a velocit di A e Q = mVa l a quantit di moto del sistema. (1.116) dL = Fzdz y F ydy+ F,dzTale espressione, come quella per F' , va l i da per qualsiasi sistema; se

Ppoi in part icolare si sceglie il punto A d i r i duzione delle forze di inerzia drSi consideri ora un corpo rigido (Fig. 54)fisso o coincidente col baricentro, si avi: sul quale agiscono N forz e Fl , Fz, ..., FN. I l

lavoro compiuto globalmente da queste forze : Fig. 53- Lavoro compiuto(1.114) lifA = da una forza

(1.117) dL = Fl d r l + . . . + FN . drN

4.3 - Equazioni di equil ibrio della dinamicaF,

Nel paragrafo 3.3 si visto che una propriet fondamentale della mec-canica consiste nell'essere nulla la risultante di tutte le forze esterne agenti su

Plun corpo:P) Pz

(1.51 rip.)Prt

z=lFl

e nullo il momento risultante, rispetto a un punto 0 q ualsiasi, di tutte leforze e coppie esterne agenti sul corpo

N O dd

(1.52 rip.) Q Jlf = Q[(r ; h F;)+ C;]= 0 Fig. 54 -'Forze agenti su un corpo rigidoi=l i=l

Se il corpo non itn condizioni di moto uniforme si hanno forze e coppiedi inerzia che, essendo forze esterne, vanno introdotte nelle (1.51) e (1.52). es resan base alla 1 .22, i t t dnnzinnua)a))out)testatesi~ di un untoFra le varie F; si avr quindi anche una F ' (1.112) e fra le varie C, s i qualsiasi del corpo rigido e della rotazione d8, pertanto la (1.117) diventa:avr anche una M' (1.113 o 1.114). In questo caso le (1.51) e (1.52) vengono N Nsolitamente indicate come equazioni di equilibrio della dinamica. dL =+ Fi d); = p F; (drA +d8h r P A ) =

i=l i= l

N4 .4 - Lavoro (1.118) ) = drA. pF;+ d8+ {F; h EPA) =

i= l

Si consideri una forza F agente su-una particella P e si supponga che= drA R+ d8 l ) EAquesta particella abbia uno spostaniento infinitesimo dr. Si d e f inisce lavoro

compiuto dalla forza F i l p r o do t to della componente della forza nella dire- dove:zione dello spostamento (in valore e segno) per l'ainpiezza dello spostamei.to,ossia, con riferimento alla Fi . 5 R = risultante delle forze agenti sul corpo rigido

MA - momento risultante delle forze agenti sul corpo rigido, calcolato ri-(1';j15) dI = F d r = F c o s8dr spetto ad A .

84

Per una coppia C, essendo R= 0 , i l l avoro risulta,: telaio dell'autoveicolo. Le tre equazioni di equilibrio sono in questo caso:

(1,119) dI,= C d 8 TA Tg R= 0-P + NA + g = 0

Il lavoro compiuto nell 'unit di tempo costituisce la potenza. P(b u) NA(a+ b) R = 0Se un corpo non r igido due forze interne uguali e opposte possono

compiere lavoro se varia la distanza fra i loro punti di applicazione.

X/2 F

u NA

Fig. 56 Coppia motrice e forza resistente in un autoveicoloFig. 55 Forze agenti su una molla

Ad esempio, una molla di rigidezza k v iene sottoposta all'azione di Per le sole ruote motrici (anteriori) la coppia Czr una coppia esterna,per cui si puo scrivere:due forze, uguali e opposte, tali da produrre uno spostamento relativo X . d

Lo spostamento relativo fra i punti di applicazione delle due forze fa si che Chr TA + ~Au2venga compiuto un lavoro anche se la molla si trova internamente al corpo

dove d il diametro delle ruote.considerato, Indicando con dz lo spostamento infinitesimo relativo, il lavorocompiuto globalmente dalle due forze interne F, uguali e opposte, : Per le sole ruote motrici posteriori si ha inoltre:

X X g2 dNgu = Trr-(1.120) dI, = F dz = k zdz = k - 2

0 0

Da tutte queste espressioni si ricava che la coppia,motrice :Un altro esempio di lavoro compiuto da forze interne, in questo caso da

coppie interne, quello di un autoveicolo in moto. Si consideri dunque il caso dCsy = Pu+ Pi-illustrato nella Fig. 56, dove un autoveicolo pesante P in moto su una strada 2

piana sottoposto alla forza resistente aerodinamica R. Csr la coppia agentesull'asse delle ruote motrici (anteriori), Ii 'A, N2r, TA, T~ le forze, in direzione

e quindi la potenza fornita dal motore, indicando con ~ la velocit angolaredelle ruote, e tenuto conto che la velocit. di avanzamento del veicolo V =normale e tangenziale, agenti sulle due ruote anteriori e sulle due posteriori.

La resistenza, al rotolamento caratterizzata. dal parametro di attr ito volvente a d/2:Csr~ - P u'+ RV

La coppia motrice Cw una coppia, interna per tutto l 'autoveicolo Ne risulta quindi che la potenza, necessaria a vincere la resistenza al roto-e non compare nelle tre equazioni di equilibrio (due di risultante e una di lamento e la resistenza aerodinamica fornita dal motore, e che allo stessomomento rispetto al punto per cui passano T rr e N ~) dell'intero veicolo; tempo la coppia fornita da questo interna e non compare nelle equazioni diesiste infatti una coppia di reazione -Csr uguale e opposta che si scarica sul equilibrio del veicolo.

8687

4.5 - Lavoro ed energia potenziale E consuetudine definire energia potenziale U l ' opposto della funzione poten-ziale

H lavoro I compiuto da una forza F agente su una particella che sispostalungo unalinea I : (1.127)

(1.121) L= fF dr per cui, per un campo di forze conservativo si ha:Ji

(1.128) (L)1 2 Ul U2dove dr lo spostamento infinitesimo.

Se l'integrale (1.121) dipende solo dal punto iniziale e finale della linea Un semplice esempio di un campo di

l, ma non dal suo percorso, si dice che il campo di forze agente sulla particella forze conservativo il campo gravitazionale.

conservativo, Sulla, terra, t rascurando le variazioni della,

Ci possibile quando: gravit con la quota, il peso di un corpo co-stante, per cui il lavoro compiuto dalla forza

la forza F f unzione solo delle coordinate del punto in cui essa agisce,ossia:

peso per un sollevamento pari ad h ;

h

(1.122) F = F(z,y,z ) (1.129) I = -P kd z = -P h = - (U2 Ul) Fig. 57 Energia potenziale per0 un corpo pesante P possibile definire una funzione scalare P tale per cui la forza F pu oessere espressa come il gradiente della funzione

88

Ponendo come riferimento Ui 0 si ha allora: rispetto alle diverse coppie di assi, p, q, r le componenti della velocit angolarecV rispetto agli assi

Us=kX /2 Se gli assi (, 71, C sono assi principali di inerzia del corpo rigido, l'energiacinetica data, da:

l 14 .6 - Energia c ine t i ca (1.135) E = mV

90 91

il lavoro compiuto da, tutte le forze agenti sul corpo (ad eccezione di quelle di Le forze agenti sul proiettile sono:inerzia) pari alla variazione di energia cinetica,, ossia:

la forza peso, data dalla gravit: P = -m g j) la forza resistente aerodinamica: R = cVzr

(1.139) Q f F; dr = E 2 E ,= L E dVJl la forza di inerzia: F' = -m = -m i i myjdt

Le forze F;, a l o ro vo l ta, possono essere di tipo conservativo (F) e am- La risultante di queste forze deve essere pari a zero, quindi:

mettere potenziale, e di tipo non conservativo (F;), per cui dalla(1.139) siricava,: -mgj CV"F mii myj = 0

2 2 Questa equazione vettoriale pu essere scritta come un sistema di due equa-Fdr;+ Q F; d r ";= bE zioni scalari:

1 1(1.140) -mi cV2 cos 8 = 0

2

F, d~; = D (E+ U) -my' mg cVs sin 8 = 02I

ossia, tenuto conto che y/i = tg8:dove U ra ppresenta l'energia potenziale complessiva delle forze conserva-tive agenti sul corpo. La (1.139) e la (1.140) rappresentano due forme della 1/2equazione dell'energia. rna = -cz 1+ -.i 2

(1.141)l /2

1Jmy' = -c iy 1+ -,

mg4.8 - Esempi di appl icazione delle equazioni fondamentali della di- 2

namicaQueste equazioni differenziali, che costituiscono le equazioni del moto

M oto d i u n p r o i e t t i l e del proiettile, sono di difficile soluzione ed conveniente risolverle numerica-mente, Nel caso considerato di traiettoria abbastanza tesa del proiettile, y/i

Un proiettile viene lanciato con una velocit Vp ed un angolo 8p sensibilmente minore di uno, per cui (y/ i )2 puo essere trascurato rispettorispetto all'orizzontale (asse z); si consideri il caso