Meccanica
• Cinematica del punto materiale
• Dinamica
• Energia e leggi di conservazione
• Statica dei corpi rigidi
Velocità, accelerazione, moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato, moto circolare uniforme
Forza, principi della dinamica, descrizione di diversi tipi di forza, attrito, quantità di moto, momento di una forza
Lavoro di una forza, energia cinetica e potenziale, conservazione dell’energia, rendimento
Condizioni di equilibrio di un corpo rigido, leve
Meccanica La meccanica si occupa dello studio del
• moto dei corpi (cinematica e dinamica) • equilibrio dei corpi (statica)
Moto di un corpo rigido esteso definito dal moto del suo baricentro
x z
y mi
xi
yi
tot
iiB M
mxx ∑=
xB
yB
Cinematica del punto materiale
x y
z
s
sx
sy
sz
Posizione: definita da un vettore s
Traiettoria: definita dall’insieme dei vettori posizione s1, s2, s3, ... agli istanti t1, t2, t3,...
Vettore spostamento:
x
y
s1
s2
Δs
Legge oraria: s = s (t)
Δs = s2 – s1
Velocità Velocità media:
ΔtsΔ
ttssv
!!!" =
−−
=12
12
x
y
s1
s2
v
Velocità istantanea:
0→
=Δt
i Δt
sΔ v!
!
x
y
vi s
In ogni punto la velocità è tangente alla traiettoria
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡sm Unità di misura:
Accelerazione Accelerazione media:
tv
ttvvam Δ
Δ=
−−
=!!!
!
12
12 sm ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2
Accelerazione istantanea:
at
ac a
x
y
at = accelerazione tangenziale (variazione modulo di v )
ac = accelerazione centripeta (variazione direzione di v )
a = at + ac
0→ΔΔΔ
=t
i tva!
!
Unità di misura:
Moto rettilineo uniforme
v = costante
In una dimensione:
a = 0 v = cost s = so + v·t
so = posizione iniziale a t=0
a
t v
t s
t
so
Moto rettilineo uniforme
Esempio: m s sm v o 35 ==
Spazio percorso dopo Δt=10 s ?
a = 0 v = cost s = s0 + v·t
mssmm 53 10 5 3 s =⋅+=
Moto rettilineo uniformemente accelerato
a = costante
2
21attvss
tavva
oo
o
++=
⋅+=
= cost
In una dimensione:
so = posizione iniziale a t=0
vo = velocità iniziale a t=0
v
t
a
t
s
t
vo
so
Moto rettilineo uniformemente accelerato
caduta di un grave in assenza di attrito
h
20 2
1 tghss
tgvga
⋅==−
⋅=
=
28,9smga ==
ght 2
=
Esempio: h = 10 m
m/s 9,8m t 2
102 ⋅=
ssm2 tgv 43,18,9 ⋅=⋅=
sm14=
s 1,43=2 s04,2=
Accelerazione di gravità
Vo = 0
Moto circolare uniforme
cost=v! no accelerazione tangenziale at=0
costω ==ΔtΔθ
rv
=ω ac
v
v
f1T = [s]
T2π 2π ω == f
θ
v
r
r v ω=
n.giri/s =f
Velocità angolare
Velocità lineare
Frequenza
Periodo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡srad
[s-1 = Hz]
v cambia in direzione acc. centripeta : r
rr
rac2
2
22 vv
===ω
Moto circolare uniforme
s02.0s501
Hz5011T 1 ====
−f
srad16,314
s02,02
T2π 2π ω =
π=== f
smmv 83,622,0
srad 314,16 R =⋅==ω
Hz50sgiri50
s60giri3000
mingiri3000
sn.giri =====f
Esempio: Centrifuga di raggio R = 20 cm, che ruota a 3000 giri/minuto
a) frequenza:
b) periodo: Tempo per compiere 1 giro completo
c) velocità angolare:
d) velocità lineare o periferica:
Velocità di un punto sul bordo della centrifuga
Forza È quella grandezza fisica che,
applicata ad un corpo,
a) ne causa la variazione della condizione di moto, oppure
b) ne provoca la deformazione. È una grandezza vettoriale !
Esempio: composizione di due forze.
R è chiamata risultante delle forze applicate al corpo.
21 FFR!!!
+=R
F
F1
F2
Principi della dinamica 1. Principio di inerzia: un corpo non soggetto a forze permane
nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme
2. Legge di Newton: am !!= F Unità di misura (S.I.):
2smkg ⋅
= 1 newton N1
3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria
Forza peso
gmP !!= Accelerazione di gravità:
g = 9,8 m/s2
P
Forza gravitazionale:
221
dmmG F=
m1
m2
d F
F
2
211-
kgNm 106,67 G ⋅=
mg R
mMG F 2T
T ==
g = 9,8 m/s2
Terra F
Forza centripeta
Forza di reazione vincolare
ac
v
r
m
F
rvmamF c
2
=⋅=
P = mg
N = -P Forza di reazione del vincolo sempre perpendicolare alla superficie.
P
N
Forza d’attrito N = -P
P
F FA FA = µ N
R = F - FA
R
θ
P P
P
N = P FA
θ P = P·cosθ
P = P·sinθ
FA= µ N
µ coefficiente d’attrito FA opposta allo spostamento
Forza elastica
S
l Δl F
F = - k x x = spostamento rispetto alla posizione di equilibrio F = forza di richiamo
llΔ
= Y SF legge di
Hooke
SF
llΔ
rigido
elastico
Y piccolo
Y grande
più elastico
più rigido
(caucciù Y~107 N/m2)
(ossa Y~1010 N/m2)
In generale:
Per una barra:
Forza elastica N 2000
sm 9,8 kg 210F 2 ≈⋅=
Per ogni gamba F ~ 1000 N
Esempio:
S=10 cm2 l = 40 cm
Y= 0,9·1010 N/m2 compressione
Y= 1,6·1010 N/m2 trazione
llΔ
=Y SF
mN100,9
cm 40cm 10
N 1000 YS
F 2
102
⋅⋅=⋅=Δ
llcm 100,9
m 104 11
24
⋅⋅
=
m 100,9
104 9
4
⋅
⋅= m
0,94 9410 −⋅= m 10 4,44 -5⋅=
=
m 10100,9m 104 2-11
24
⋅⋅
⋅=
1 cm = 10-2 m
F F
Lavoro di una forza
m
F F s sF L !!
⋅=(grandezza scalare)
θcos//
//
FFsFsFL
=
Δ⋅=Δ⋅=!!Δs
F
F//
θ F Δs F Δs
L=F·Δs L=0
mN 1 (joule)J 1 ⋅=Unità di misura (S.I.)
Energia • Rappresenta la capacità che un corpo ha di compiere lavoro.
• Concetto comune a molti campi della fisica, può presentarsi in molteplici forme:
• energia associata a un corpo in movimento (energia cinetica)
• energia associata alla posizione di un corpo (energia potenziale)
• energia di legame molecolare (energia chimica)
• energia associata alla massa (energia nucleare, E=mc2)
• energia termica e calore
• .........
• Ogni processo naturale coinvolge trasformazioni di energia.
• In un sistema isolato l’energia totale si conserva sempre (principio di conservazione dell’energia).
Energia meccanica
Energia cinetica
Energia potenziale gravitazionale
v
m 2
21 vmEc =
h
mghEp =
Principio di conservazione dell’energia meccanica
In assenza di forze di attrito, l’energia
meccanica totale ET di un sistema si conserva Ec+Ep= ET = cost
ho
h´
oc
p
mghmvE
E
==
=
2
21
0
L = F·s L = P·h = mg·h
hss
gttvss
gtvv
=−
++=
+=
0
200
0
21 2
21 gth
gtv
=
=
2
21mvmgh =
ghv 2=
0== cop E mghE
( )221 vmE hmgE cp ʹ′=ʹ′=
Conservazione dell’energia meccanica
In assenza di forze d’attrito:
h
m Ep = mgh ; Ec = 0
Ep = 0 ; Ec = 1/2mv2 = mgh
v=cost
In presenza di forze d’attrito:
h
m Ep = mgh ; Ec = 0 Ep = 0 ; Ec = 1/2m(v')2 < mgh
v diminuisce
v' < v
Ep+Ec+Q = cost energia dissipata (per attrito)
Potenza meccanica
La potenza rappresenta il lavoro compiuto da una forza nell’unità di tempo
tL PΔ
=sJ 1 (watt) W1 =Unità di misura (S.I.):
Esempio:
ENEL: Potenza installata: 3 kW=3·103 W Si pagano: kWh
1 kWh = 103 W·3600 s = = 103 W·3,6·103 s =
= 3,6·106 W·s = 3,6·106 J
Rendimento η di una macchina Macchina: sistema che trasforma energia di vario
genere in lavoro meccanico.
Nel corpo umano: i muscoli energia chimica lavoro meccanico
Totale
utile
EL
=η η < 1
Esempio: Lutile=25 J η = 20% = 0,20 = 20/100
Econsumata totale = Lutile/η = 25/0,2 = 125 J
Rendimento: rapporto tra il lavoro meccanico utile prodotto dalla macchina e l’energia ET impiegata dalla macchina:
Statica
tot
iiB M
mxx ∑=
Il baricentro è il punto di applicazione della forza peso P
x z
y mi
xi
yi
xB
yB
La statica studia le condizioni di equilibrio dei corpi estesi
21 FF!!
−=F2
F1 ???
Corpo esteso
F1
F2
Punto materiale
Condizioni di equilibrio di un corpo rigido
r r ∑ = 0F!
F
F equilibrio traslazionale
∑ = 0M!
equilibrio rotazionale
Momento meccanico di una forza F
b (braccio)
fulcro
r θ F r M!!!
∧=
θ senFrM ⋅⋅=!!!
bF ⋅=!
θ senrb ⋅=!
[N·m] (S.I.)
90o
Applicazioni
Stabile (M=0)
Instabile (M≠0)
Equilibrio di un corpo su un piano: la verticale del baricentro deve cadere nella base di appoggio
Leve
∑ = 0M!
Le leve
Fr
br bm
Fm
Fr : forza resistente
Fm: forza motrice R= - (Fr +Fm)
∑ = 0M!
mmrr bFbF ⋅=⋅
mr MM =
∑ = 0F!
0=++ mr FFR!!!
Leve di I tipo
br bm
br > bm Fr·br = Fm·bm
m
rrm bbFF ⋅=
> 1
Fm > Fr (leva svantaggiosa)
In una leva di I tipo si può anche avere Fm < Fr (leva vantaggiosa) [dipende dalla posizione del fulcro]
Nel caso specifico:
Leve di II tipo bm
br
Fr
Fm
Fr·br = Fm·bm
br < bm
m
rrm bbFF ⋅=
< 1
Fm < Fr (leva vantaggiosa)
Leve di III tipo
bm
Fr br
Fm
Fr·br = Fm·bm
br > bm
Fm > Fr (leva svantaggiosa)
Esempio
bm
Fr = m·g = 3·9,8 N ~ 30 N br
Fm m=3 kg
br = 30 cm = 0,3 m
bm = 3 cm = 0,03 m
∑ = 0M!
Fr·br = Fm·bm
m
rrm bbFF ⋅=
m 0,03m 0,3 N 30 ⋅=
gomito
m 103m 103N 30 2-
-1
⋅
⋅⋅=
N 30 2110 +−⋅= N 300 N1030 1 =⋅=
R
Reazione vincolare
∑ = 0F!
Fr + Fm + R = 0
R = Fm – Fr = 300 N – 30 N = 270 N
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