Dinamica dei fluidiLegge di Simon StevinSpinta di ArchimidePortata di un fluidoTeorema di BernoulliTeorema di Torricelli

Antonio Pierro

Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email aantonio.pierro[at]gmail.com

FluidoSi definisce fluido una sostanza (liquida o gassosa) cheassume la forma del recipiente che la contiene.Differenze tra liquidi e gas:

la densità dei liquidi è molto maggiore di quella dei gas.

I liquidi sono incomprimibili, mentre un gas risultacomprimibile con facilità.

= , = 1.3) OH2103 kg

m3 )ariakgm3

PressioneSi definisce pressione in un punto del fluido il rapporto trala forza agente su una superficie infinitesima che circondail punto e l'area della superficie stessa:

Se S è una superficie finita nella quale la pressione ècostante:

P = ( , Pascal)dFdS

Nm2

P =FS

Legge di StevinPreso un asse z orientato verso il basso, lapressione all'interno del fluido varia con lacoordinata z seconda la legge:

La legge di Stevin può essere ottenuta moltosemplicemente calcolando il peso della colonnadi liquido alta z:

p(z) = + )ghp0

m 1 g = ) 1 V 1 g = ) 1 S 1 z 1 g

õ p = = ) 1 g 1 zFS

Principio di PascalIl principio di Pascal afferma che ogni cambiamento dellapressione esterna dà luogo a un'eguale variazione dipressione nel fluido:

Attenzione: in un piccolo volume di gas, è moltominore di e quindi, con buona approssimazione, lapressione nel gas è ovunque costante e pari al valore dellapressione esterna .

p = + upp0up

p0

p0

Vasi comunicantiConsideriamo un sistema di recipienti in comunicazionetra loro, riempiti dello stesso liquido e aperti nello stessoambiente.Il liquido nei vari recipienti assume lo stesso livello rispettoal suolo.Questo risultato esprime il principio dei vasi comunicanti.

Manometro 1/2Il manometro è uno strumento di misura della pressionedei fluidi costituito da un tubo a forma di U.Se i due rami comunicano con ambienti a diversepressioni si produce un dislivello tra le due superficielibere dato da:

in accordo con la legge di Stevin.

h = ,−p1 p2

)g

Manometro 2/2Se il tubo a U contiene due liquidi diversi non

miscibili di densità e e le superficie liberesono a contatto con lo stesso ambiente (la linea

tratteggiata è equipotenziale):

)1 )2

1 g 1 = 1 g 1 õ)1 z1 )2 z1

= = 1 −)1

)2

z2

z1

hz1

Barometro di TorricelliConsidero il manometro a U con un ramochiuso e un ramo aperto in un ambiente apressione atmosferica.Se il riempimento con mercurio èeffettuato opportunamente, senza fareentrare aria nella parte chiusa, si osservache il dislivello h tra le due superfici libere èdi circa 76 cm.Poichè nel ramo chiuso c'è il vuoto, il dislivello è dovutosolo alla pressione atmosferica che vale dunque ) 1 g 1 h, = 13.59 õ 1.013 1 Pa)Hg

g

cm3 105

Spinta di ArchimedeUn corpo immerso in un fluido riceve una spintaverso l'alto che è uguale e contraria alla forza pesodella massa di fluido spostata.Tale forza si chiama spinta di Archimede ed èapplicata nel centro di massa del volume di fluidoche era al posto del corpo.

Flusso di un campo vettorialeIn Matematica, il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata S è definito comel'integrale di superficie del prodotto scalare del campo

vettoriale con il versore normale della superficie, estesosu tutta la superficie stessa.

V ^

V ^

� = d = dS∫SV ^ S ^ ∫S

V ^ n ^

Portata di un fluidoPer un fluido in moto dentro un condotto, laportata Q è il volume di fluido che passaattraverso una sezione S del condotto nell'unitàdi tempo.Se è il campo delle velocità nella sezione S, e èil versore perpendicolare alla superficie, si dimostra che laportata è uguale al flusso del campo delle velocitàintegrato sulla superficie S:

(x, y, z)v ^ n ^

Q = (x, y, z) 1 õ∫Sv ^ n ^

(se v è costante) |Q| = S 1 v 1 cos( )

Fluido idealeSi definisce viscosità una grandezza fisica che quantifica laresistenza dei fluidi allo scorrimento.Si definisce fluido ideale un fluido incomprimibile e conviscosità nulla.Nei liquidi la viscosità decresce all'aumentare dellatemperatura, nei gas invece cresce, considerando ilvolume invariato.

Teorema di BernulliQuando un fluido ideale si muove in regime stazionario (lemolecole del fluido si muovono con la stessa velocità inqualsiasi punto della sezione) lungo un condotto, vale ilteorema di Bernulli:

In ogni sezione del condotto la somma della pressione,dell'energia cinetica per unità di volume e dell'energiapotenziale per unità di volume è costante.

p + ) + )gh = costante12

v2

Esempio: aneurisma

Un aneurisma è una dilatazione progressiva di unsegmento vascolare.

< õ >v2 v1 p2 p1

− = )( − ), =p1 p212

v22 v2

1 v2S1

S2v1

Teorema di TorricelliSe in un recipiente di sezione S, pieno di liquido, vienepraticato un foro di sezione molto minore di S a unaprofondità h rispetto alla superficie libera del liquido, lavelocità con cui il liquido esce dal foro è:

v = 2ghL LLL4

Teorema di Torricelli,dimostrazione

Sulla superficie libera e v = 0 e,assumendo il livello del foro come punto diriferimento, z = hAll'uscita del foro e z = 0. Pertanto:

p = p0

p = p0

+ ) 1 g 1 h = + ) õ v =p0 p012

v2 2ghL LLL4