A. Stefanel - F1: Introduzione alla fisica dei fluidi 1 La fisica dei fluidi mmm.

A. Stefanel - F1: Introduzione alla fisica dei fluidi

1

La fisica dei fluidi

mmm


2

Solidi Liquidi Gas

•Massa

•Forma propria

•Superficie propria

•Volume

•Proprietà elastiche di trazione-compressione

•Proprietà elastiche di deformazione di taglio

•Massa

•

•Superficie propria

•Volume


•Massa

•

•


•Forma del contenitore

•Non reagiscono a deformazioni di taglio

•Forma del contenitore

•Superficie del contenitore

•Volume del contenitore


FLUIDI


3

I fluidi hanno proprietà comuni che giustificano lo stesso nome:

Per descriverne il comportamento si considera un fluido come composto da elementi contigui.

Ciascun elemento è caratterizzato da una massa m, un volume V.

•Occupano tutto lo spazio disponibile nel contenitore (ev. con vincolo del peso)

•Assumono la forma del contenitore

•Sono mezzi continui


4






Ciascun elemento è caratterizzato da una massa m, un volume V.

Una grandezza che caratterizza ogni specifico elemento:

m

V

DENSITÀ = -------- [unità di misura: Kg m-3]

Elemento 1

Massa m1

Volume V1

Elemento i

Massa mi

Volume Vi


5






Ciascun elemento è caratterizzato da una massa m, un volume V, una densità .

Ogni elemento interagisce con gli elementi contigui.


6






Ciascun elemento è caratterizzato da una massa m, un volume V, una densità .

1 2



7

1 2

1 2


Esistono 4 interazioni fondamentali:

- gravitazionale

- elettromagnetica

- forte

- deboleNon intervengono mai nei fenomeni macroscopici

È sempre trascurabile l’interazione gravitazionale tra oggetti della quotidianità

Le forze elettromagnetiche danno luogo a risultanti di forze a corto raggio d’azione e quindi macroscopicamente si manifestano come forze tra superfici a contatto (es. la spinta che fornisco con la mano; la spinta di un liquido sulle pareti del recipiente; l’attrito; la forza di reazione del tavolo…).


8

1 2

Per il principio di azione e reazione, se gli elementi 1 e 2 interagiscono:

12


F

-F

-l’elemento 2 agisce con una forza F sull’elemento 1

-l’elemento 1 agisce con una forza -F sull’elemento 2

Le forze hanno in generale componente F S

S

L’interazione tra parti a contatto in generale viene schematizzata con coppie di forze (azione e reazione) con componente normale e componente tangenziale.

componente F // S

Forze di compressione/trazione

sforzi di taglio


9

1 2

Per il principio di azione e reazione, se gli elementi 1 e 2 interagiscono:

12

Nei liquidi all’equilibrio:ogni elemento interagisce con gli elementi contigui solo con ferze normali

F-F

-l’elemento 2 agisce con una forza F sull’elemento 1

-l’elemento 1 agisce con una forza -F sull’elemento 2

Almeno all’equilibrio nei fluidi:

F S S

Pressione :P = -------F

S

[Unità di misura: Pascal (1Pa=1N *1 m2)]


10

Il meccanismo di trasmissione della compressione:

Forza esterna che agisce sull’elemento 1

1

F


11



1

F


12



2

F


13



3

F


14



4

F


15



5

F


16



6

F


17



7

F


18



1

F


19



1

F


20




21

Il meccanismo di propagazione della compressione spiega l’adattamento al cambiamento di forma che caratterizza i fluidi.

All’equilibrio:F S

non ci sono forze // a S tra gli elementi del fluido

non ci sono forze che si oppongono a deformazioni di taglio1

F

S

FLUIDO: Mezzo continuo in cui, all’equilibrio, gli sforzi (tra gli elementi del fluido stesso) sono sempre perpendicolari alla superficie.


22

Legge di compressibilità dei fluidi

V = - V P

Nei liquidi: praticamente indipendente da P e da T

Nei gas: ~ 1/P

Per un gas ideale:

PV = nR T

A temperatura costante:

P V + V P = 0

= - --- -----1 V

V PT=cost

1 V

V P = - --- -----

T=cost

V = - (1/P) V P

= - --- ---- = ---1 V 1

V P PT=cost

1 V

V P = - --- ----

Si può misurare ricavandolo dalla pendenza della curva P=P(V)

Per un gas reale


23

Hg

M

Piezometro

Misura nei liquidi dalla variazione dell’altezza del menisco di mercurio

Hg = 0,4 ·10-5 bar-1

H2O = 5 ·10-5 bar-1


24

Hg

M

Piezometro

Misura nei liquidi dalla variazione dell’altezza del menisco di mercurio

Hg = 0,4 ·10-5 bar-1

H2O = 5 ·10-5 bar-1

A

B

H ~V


25

•Massa

•

•Limitati da superficie propria

•Volume


•Densità (~103 kg m-3)

•Massa


•Adattamento alla forma del contenitore


•Adattamento alla forma del contenitore

•Limitati dalla superficie del contenitore

•Volume del contenitore

•Densità (~1 kg m-3)


LIQUIDI GAS

Un liquido non può sporgere da un tavolo..


26

n

x

y

z Quando il fluido è in equilibriovi è la stessa pressione P su ogni superficie in un intorno di uno stesso punto O.

-Principio di solidificazione:se un sistema è in equilibrio in certe condizioni, resta in equilibrio aggiungendo vincoli

-Se un sistema è in equilibrio si deve avere:

i Fest = 0

O

La porzione di fluido a forma di tetraedro si trova in equilibrio nel fluido (non si muove) la risultante delle forze agenti su di esso deve essere zero.


27

n

x

y

z

Sistema in equilibrio: i Fest = 0

O

La porzione di fluido a forma di tetraedro si trova in equilibrio (non si muove)

la risultante delle forze agenti su di esso deve essere zero.

Faccia z-y del tetraedro perpendicolare all’asse x

di estensione: Sx

nx

Componente x: F2 x= P cos S

x

n

Su cui agisce la forza // asse x :

F1= F1x = - Px Sx

Faccia obliqua del tetraedro individuata dal vettore normale n

e di estensione: S

Su cui agisce una forza parallela a n


28

n

x

y

z

Sistema in equilibrio: i Fest = 0

O

nx

F2x = P cos S

x

n

F1 = - Px Sx

O g Peso che agisce sul tetraedro:g V

Componente x: gx V- Px Sx + P cos S + gx V = 0

Componente x: i (Fest)x = 0


29

n

x

y

z Sistema in equilibrio: i Fest = 0

O

- Px Sx + P cos S + gx V = 0

Componente x: i (Fest)x = 0

Se gx V è trascurabile (il volume del tetraedro può essere preso opportunamente piccolo)

Si ha: Px Sx = P cos S

Dato che Sx = cos S

(cos S è la proiezione di S sul piano zy)

Px = PLa pressione che agisce sulla faccia Sx perpendicolare all’asse x è la stessa che agisce sulla faccia obliqua S

In modo analogo seguono analoghe relazioni per le altre direzioni.

Quindi: Px = Py = Pz = P


30

n

x

y

z Principio di Pascal: in un fluido in equilibrio (per cui i Fest = 0)e in cui si può trascurare il peso

la pressione è la stessa in tutte le direzioni.

O

Anche se può essere derivato come teorema assume lo statuto di Principio in quanto:

-è un aspetto che descrive in modo caratteristico i fluidi ( e non i solidi);

-V iene ricavato considerando l’interazione delle diverse porzioni di fluido ed è equivalente al fatto che nel fluido in equilibrio gli sforzi sono normali.


31

x

y

z

Il cubetto si trova in equilibrio all’interno del fluido, quindi deve essere soggetto a una risultante di forze nulla.Le equazioni di equilibrio lungo le direzioni x e y portano al fatto che la pressione è uguale in tutte le direzioni (allo stesso livello).

L’equazione lungo Z fornisce la seguente condizione:

-PA SA + PB SB – mg =0

-PA SA + PB SB – Vg =0

-PA SA + PB SB - Shg =0

A

B

Equilibrio di una massa fluida (quando il peso non è trascurabile)

V

h

- PA + PB – hg =0

SA = SB = S


32

x

y

z

A

B

Equilibrio di una massa fluida (quando il peso non è trascurabile)

V

h

Legge di Stevino

PB - PA = hg

Se la densità non può essere considerata costante:

P = g h

P = - g z

h


33

Esempio: la pressione in una atmosfera isoterma.

PV = cost P/ = k

P = - g h = - (P/k)g h

P/P = - (g/k) h

ln(P/Po) = - (g/k) h

P = Po e (-gh/k)

h

h>0 P<0

Po

P(h)

h=0


34

Superfici isobariche: P =0 (uguale pressione)

da P = - g z si ha z=0

Le superfici isobariche sono superfici equipotenziali.

Su questo fatto si basa il funzionamento della livella.

Superfici equipotrenziali (all’equilibrio):

z = cost P = cost = cost

Sono anche superfici a densità costante.

Su questo si basa la tecnica di separazione dei fluidi per densità (stratificazione di fluidi non miscibili).


35

Da P = - g z segue:

P/z = - g

Se la densità è costante vi è un gradiente di pressione P/z costante.

È quello che accade con ottima approssimazione in acqua, la cui densità aumenta del 3 % in z = 11000 m (la fossa delle Marianne)

In acqua la pressione cresce costantemente di circa 1 atm ogni 10 metri.


36

Applicazioni pratiche

Il torchio idraulico:

S1

S2

Equilibrio:

M1g/S1=M2g/S2

(uguale pressione allo stesso livello)

S1

S2

Se M1g/S1>M2g/S2….


37

Il torchio idraulico:

S1

S2

Equilibrio:

M1g/S1=M2g/S2

(uguale pressione allo stesso livello)

Se M1g/S1>M2g/S2…

…il pistone a sinistra si abbassa, quello a destra si alza…

S1

S2

…fino a che si ristabilisce l’equilibrio (uguale pressione allo stesso livello).



38

Legge dei vasi comunicanti.

Le superfici (a =cost) alla stessa altezza sono alla stessa pressione, quindi l’equilibrio si ha quando il livello del fluido è uguale in tutti i rami, indipendentemente dalla forma di questi ultimi, indipendentemente dalla quantità di liquido in essi contenuti (eccezione: capillarità)



39

Manometri:

- Tubo a U ovvero manometro ad aria libera

Liquido

(Hg)


Ampolla rigida con gas a pressione

maggiore di quella

atmosferica Pi -Po = gh

Po

Pi

h


40

Manometro a liquidi non miscibili:

-Tubo a U con due liquidi non miscibili di densità diversa

Liquido 1

(Hg)

z1

z2

Alla stessa altezza: P = P0 - 1gz1 = P0 - 2gz2

1z1 = 2z2 1 = 2z2 / z1

Liquido 2

(?)

Sensibilità ~ 1/



41

z1z2

Manometro a liquidi miscibili

Si aspira l’aria dal rubinetto e poi si chiude.

Si misurano i livelli z1 e z2 raggiunti da ciascuno dei due liquidi nei due rami.

La pressione P dell’aria racchiusa dentro al tubo chiuso dovrà essere uguale a:

P = P0 - 1gz1 = P0 - 2gz2

ossia

1z1 = 2z2

La pressione Po atmosferica deve essere uguale alla pressione che agisce alla base di ciascuno dei due rami del manometro:

Po = P + 1gz1 = P + 2gz2

ossia

1z1 = 2z2



42

Il sifone

z1

Applicazioni pratiche:

z2

Po

Po

La pressione atmosferica esterna è sostanzialmente la stessa.

Dislivello dell’acqua

(se z2=0 il flusso si arresta)

Dislivello superato dall’acqua(z1 10 m)

collina

acquedottoh C’è un salto h massimo (10 m) oltre il quale

non si riesce a mantenere riempito di acqua il sifone. Perché?


43

Applicazioni praticheIl barometro di Torricelli

Po

Vapori di Hg a bassissima pressione

h

h = 760 mm al livello del mare in “condizioni normali”

Il fluido è in equilibrio la pressione esercitata dalla colonna di liquido deve uguagliare la pressione atmosferica (che agisce sul pelo libero del mercurio)

Po = Hg g V/S = Hg g (hS)/S =

= Hg g h h = 760 mm=0,760 m

Hg = 13,6 ·103 kg m-3

g = 9,81 m s-2

Po = (13,6 ·103 kg m-3)(9,81m s-2) (0,760 m)= = 1.013 ·105 kg m-1 s-2 = 1.013 ·105 N m-2


44

Misura della quota con il barometro

P (z) = Po e(-gz/k) ossia z = -(k/g) (p/p) = - 29,4 (T+273) (p/p)

In realtà l’atmosfera non è un sistema isotermo:

(T ~6.5 °C per z = 1000 m)

Aneroidi: Barometri e altimetri solidi

vuoto

Molla che tiene separate le due superfici del barometro


45

Corpo solido immerso, di:

- densità 1

- volume V1

- massa 1 ·V1

Legge di Archimede (equilibrio dei corpi immersi)

Fluido di

densità

Volume equivalente di fluido, di:

- densità

- volume V1

- massa ·V1

Fluido di

densità

Sia il corpo solido immerso, sia il volume equivalente di fluido

ricevono la stessa spinta idrostatica

(interagiscono nello stesso modo con il resto del fluido)


46


Fluido di

densità

Fluido di

densità F

Il volume equivalente di fluido è in equilibriopo=g 1 ·V1 = g ·V1 FA = pO

spinta idrostatica= peso del corpo

pO =1V1g

FA

peso del corpo

peso del volume equivalente di fluidoSe: =

pF =V1g

FA

(la spinta idrostatica FA, dovuta all’interazione con il resto del fluido, uguaglia il peso pF=

V1g del volume V di liquidoIL CORPO STA IN EQUILIBRIO


47


Fluido di

densità

Fluido di

densità F

Il volume equivalente di fluido è in equilibrio

(la spinta idrostatica, dovuta all’interazione con il resto del fluido, uguaglia il peso del

volume V di liquido

peso del corpo

peso del volume equivalente di fluidoSe: >

po=g 1 ·V1 > g ·V1 pO > FA

peso del corpo > spinta idrostatica

pO =1V1g

FA

IL CORPO AFFONDA

pF =V1g

FA


48


Fluido di

densità

Fluido di

densità



volume V di liquido

pF =V1g

FA

pO =1V1g

FA

po=g 1 ·V1 > g ·V1 pO > FA

peso del corpo > spinta idrostatica

peso del corpo

peso del volume equivalente di fluidoSe: >

IL CORPO AFFONDA


49


Fluido di

densità

Fluido di

densità



volume V di liquido

pO =1V1g

FA

pO =1V1g

FA

po=g 1 ·V1 < g ·V1 pO < FA

peso del corpo < spinta idrostatica

peso del corpo

peso del volume equivalente di fluidoSe: <

IL CORPO EMERGE


50


Fluido di

densità

Fluido di

densità



volume V di liquido

pO =1V1g

FA

pO =1V1g

F’A

po=g 1 ·V1 < g ·V1 pO < FA

peso del corpo < spinta idrostatica IL CORPO EMERGE

fino a che la spinta idrostatica diventa uguale al peso del corpo

peso del corpo

peso del volume equivalente di fluidoSe: <


51


Il corpo sta in equilibrio se FA = pO

spinta idrostatica = peso

pO =1V1g

FA

Il corpo affonda se FA < pO

spinta idrostatica < peso

pO =1V1g

FA

Il corpo sta in equilibrio se FA = pO

spinta idrostatica > peso

pO =1V1g

FA

po=g 1 ·V1 = g ·V1

Se 1 =

g ·V1 < po=g 1 ·V1

Se < 1

g ·V1 > po=g 1 ·V1

Se 1 >

La spinta idrostatica è sempre uguale al peso del volume equivalente di fluido.

pO =1V1g

FA

pO =1V1g

FA


52

Legge di Archimede (equilibrio dei corpi solidi)

Che cosa succede se il centro di massa del corpo non coincide con il centro della spinta idrostatica?

G

C

FA pO

C: centro della spinta idrostatica (coincide con il centro di massa del volume di fluido equivalente

Su C si può pensare applicata la forza idrostatica risultante: FA = V1g

G: centro di massa del corpo di densità media 1 (il corpo deve avere una densità non uniforme).

Su G si può pensare applicata la forza peso risultante sul corpo: pO =1V1g

Il corpo ruota

G

CFA pO


53


Che cosa succede se il centro di massa del corpo non coincide con il centro della spinta idrostatica?

G: centro di massa del corpo di densità media 1 (il corpo deve avere una densità non uniforme).

Su G si può pensare applicata la forza peso risultante sul corpo:

G

C

C: centro della spinta idrostatica (coincide con il centro di massa del volume di fluido equivalente

Su C si può pensare applicata la forza idrostatica risultante:

FA pO

FA = V1g

pO =1V1g

CFA

GpO

Il corpo ruota, fino a che Gsi porta sulla verticale per

C, sotto di esso(Eq. Stabile)


54


Se un corpo ha densità media minore 1 di quella dell’acqua in cui si trova di quanto emerge?

Spinta idrostatica

FA = VIMg

Peso del corpo

pO =1V1g

ViM

VEM

Volume del corpo:

V1 = VEM + VIM

VEM : porzione emersa del volume

VIM : porzione immersa del volume

All’equilibrio

pO =FA

1V1g = VIMg

1 (VEM+VIM)g = VIMg

1 (VEM+VIM) = VIM

(VIM/VEM) = 1 /( - 1)

Liquido di densità

Il rapporto tra volume immerso e volume emerso è uguale al rapporto tra la densità del solido e la differenza tra le densità del solido e

del liquido


55

Il densimetro a immersione

H2OH2O e sale olio

S A(hIM+hEM) = 0 A hIM

hIM/h = S /o

S (VEM+VIM) = oVIM

o/S = h/hIM

’/S = h/h’IM

’ = o hIM/h’IM

’’/S = h/h’’IM

’’ = o hIM/h’’IM

Etilometro: densimetro tarato su % in alcool


56

La spinta idrostatica in aria

Anche i corpi immersi in aria ricevono una spinta verso l’alto?

La mongolfiera viene riempita di aria a T maggiore e quindi a

densità minore di quella atmosferica

Il dirigibile o il palloncino del luna park sono riempiti con gas di densità minore di quella

dell’aria alla stessa temperatura

L’aria incandescente

della fiamma ha densità minore di

quella dell’aria che la circonda


57


vuoto

Alla pompa a vuoto

Che cosa accade quando si aspira via l’aria sotto la campana?

La lampadina e il pesetto si fanno equilibrio in aria.


58


La lampadina e il pesetto si fanno equilibrio in aria.

vuoto

Alla pompa a vuoto

A) Continuano ad equilibrarsi?

vuoto

Alla pompa a vuoto

B) La bilancia si inclina verso il pesetto?

vuoto

Alla pompa a vuoto

C) La bilancia si inclina verso la lampadina?


59

La spinta idrostatica per misurare la densità dei fluidi

Si pesa uno stesso corpo in aria e in un liquido

p = mg peso del corpo in aria

p’ peso del corpo immerso nel liquido

p’ = p - LVg p-p’ = LVg

p SVg S mSg

p – p’ LVg L mLg ---------- = ------- = ---- = -------

S mS

L mL ----- = -----


60

La spinta idrostatica si manifesta sempre come forza verso l’alto?

A

B

nA

nB

FA = PA SA nA

FB = PB SB nB

FA

FB

Acqua di densità

Lamine di vetro

Pallina da ping pong attaccata alla lamina

di vetro

Immersa in acqua galleggia

Le lamine di vetro aderiscono:

Il sistema pallina-lamina scende oppure sale lungo la lamina di vetro

che forma il piano inclinato?

Le forze agenti sulle diverse parti del sommergibile sono dirette

perpendicolarmente ad esse verso l’interno


61

Il cuore della giraffa: quale pressione minima pmin deve produrre il cuore di una giraffa per far arrivare il sangue

alla testa? (hcuore-testa =3 m)

p = sangueg hcuore-testa ~103 kg m-3 ·9,81 m s-2 ·3 m ~3 104

Pa

p ~ 3 104 Pa ~ 0,3 atm

p = sangueg hcuore-testa ~103 kg m-3 ·9,81 m s-2 ·3 m ~3 104 Pa

Circa il doppio della pressione arteriosa del corpo umano


62

Diminuzione del peso dell’acqua che congela. Peso: grandezza fisica che si misura con la bilancia

Peso dell’acqua liquida:

pL = L (hA) g - aria (hA) g = PL A - aria (hA) g = mg - aria (hA) g =

= mL g

Peso della stessa acqua congelata:

pS = S (hSAS) g - aria (hSAS)g = PS AS - aria (hSAS) g= mg - aria (hSAS)g = = mS g

mL < ms


63

Situazioni di equilibrio instabile

Se scende il braccio di destra, l’acqua esce dal recipiente. Il contrappeso non equilibra più la forza esercitata sul pistone, l’acqua continua ad uscire e il braccio di destra a scendere.

Se scende, il braccio di sinistra la pressione sul pistone diminuisce e il contrappeso tenderà a far ritornare il pistone verso l’alto. Superata la posizione di equilibrio se ne allontanerà come descritto sopra.

Se scende il pistone, aumenta il livello di acqua sopra al pistone e quindi la

pressione che agisce su di esso. Il contrappeso non equilibra più la forza

esercitata sul pistone, il pistone continua a scendere.

Se scende il braccio di destra, la pressione sul pistone diminuisce, il

contrappeso supera la forza esercitata sul pistone, il braccio di destra

continua ad abbassarsi.


64

La corona del re Ierone

È d’oro puro la corona del re?

Se la corona è d’oro puro, allora deve avere la densità dell’oro puro.

Se Q è la quantità di oro puro che equilibra la corona

in aria

Q deve essere la quantità che equilibra la corona anche

in acqua

Per immersione di possono anche misurare i volumi.


65

Che cosa succede se si continua a versare acqua nel

tubicino?


66ripeti

Che cosa succede se si continua a versare acqua nel

tubicino?

Basta aumentare la massa d’acqua di pochi grammi che la botte esplode!

(paradosso idrostatico - non è un paradosso è solo controintuitivo)

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