MECCANICA

• STATICA

• CINEMATICA • DINAMICA

CINEMATICASTUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA

GEOMETRICO

DINAMICA

STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA DELLE CAUSE

PUNTO MATERIALE: punto matematico senza dimensione dimensioni piccole rispetto al sistema che si sta studiando

xf

x

xi

X = 0

î

MOTO IN UNA DIMENSIONE

Velocità media

x

x

t=

xf - xi î tf - ti

Vm = [L][T]

ms

ti tf

tt = 0

t

Vm

10/3/06

x

t

1

n

t

x

x(t)

t1 tn

xn

x1

x(t) equazione oraria posizione istante per istantePiano x-t

x

tVm = = tg

x1 t1

x2 t2

x3 t3

… …

xn tn

Velocità istantanea

t

x

P

QQ’

Q’’

ti

t1

t2

t3

t3 tft2

xi

x3

x2

xfx1

tangente in P

x

tl i m

t 0Vi =

dx

dt=

modulo = tg

direzione data dalla retta del moto rettilineo

x2

t

x

SR

P

P

QS

viP = tgP > 0

ViQ = tgQ > 0

viR = tgR = 0

viS = tgS < 0

tS

xS Q

xP

xQ

xR

modulo vi = tg

Parte da xP, arriva in xRdove si ferma e torna indietro

Accelerazione media

v

t=

vf - vi î tf - ti

am = [T]

[T]

m

s2

[L]

Accelerazione istantanea

v

tl i m

t 0ai =

d2x

dt2=

dv

dt=

d

dt=

dx

dt

ACCELERAZIONE: variazione di v nel tempo

v(t) velocità istante per istantePiano v-t

v

tam = = tg

v1 t1

v2 t2

v3 t3

… …

vn tn

v

t

P

Q

t

v

v(t)

tP tQ

vQ

vP

)t(x

14)t(vdt

da xx

2735)( tttx t143vx 14ax

2t7t35)t(x

t143)t(xdt

dvx

)t(xdt

d)t(x

dt

d

dt

d)t(v

dt

da

2

2

xx

)t(xdt

dvx

14

10

06

0214tg

)()(

)()()(

)()()(

txdtvtvdtaa

tvdttvdt

ddtatv

dt

da

txtxdt

ddtvtx

dt

dv

xxxx

xxxxx

xx

)t(a x

5)t(a x

x0xx vdt)t(av

dtvdt)t(a(dt)t(v)t(x x0xx

002

0 52

15)()( xtvtdtvdttdttvtx xxx

xxx vtdttav 05)(

xx ata 0)( 2000 2

1)( tatvxtx xx tavv xxx 00

002

000

000

0

2

1)()()(

)(

)(

xtvtadtvtadttvtx

vtadtadttav

akta

xxxxx

xxxxx

x

Moto uniformementeaccelerato

t

v

xv0

t

a

xa0

t

x

0x

javahttp://www.walter-fendt.de/ph14i/

ALCUNI ESEMPI

200

0

2

1tatvxx

tavv

xx

xxx

2

200

00

0

2

1

x

xxx

x

xxx

x

xx

a

vva

a

vvvxx

a

vvt

xxxxx

x

vvvvva

xx 0000 2

1

2

11

xxxx

x

vvvva

xx2

1

2

11000

x

xxxxxx

x a

vvvvvv

axx

22

1 20

2

000

Velocità funzione dello spazioVelocità funzione dello spazio

02

02 2 xxavv xxx

02

0 2 xxavv xxx

se0

0

0

0

v

x

xav

xav

xx

xx

2

22

Velocità funzione dello spazioVelocità funzione dello spazio

02

0

200

0

0

2

2

1

xxavv

tatvxx

tavv

aa

xxx

xx

xxx

xx

Moto uniformementeMoto uniformementeacceleratoaccelerato

000

00

)(

)(

)(

xtvdtvtx

vvktkdtdttav

kta

xx

xxxx

x

Moto rettilineo uniforme

t

00)( xtvtx x

0x

t

v 0)( vtv

0v

t

a 0)( ta

0

200

0

0

2

1tatvxx

tavv

aa

xx

xxx

xx

tvxx

vv

a

x

xx

x

00

0

0

MOTO IN DUE DIMENSIONIMOTO IN DUE DIMENSIONI

y

x

)( 1tr

)( 2tr

piano x-y

traiettoria)( 1try

)( 1trx

http://www.pv.infn.it/~altieri

)()( 12 trtrr

12

12 )()(

tt

trtr

t

rvm

dt

rdt

rv

ti

0

lim

y

x

)( 1tr

)( 2tr

r

mv

)t(v 1

)t(v 2

Velocità vettorialeVelocità vettoriale

)()( 12 tvtvv

12

12 )()(

tt

tvtv

t

vam

dt

vdt

va

ti

0

lim

)( 1tvi

y

x

)( 1tr

)( 2tr )( 2tvi

v

Accelerazione vettorialeAccelerazione vettoriale

x

y

at

ar

a

a

at

ar

traiettoria

tr aaa

rata

acc. tangenziale

acc. radiale cambia

modulo velocità

direzione velocità

accelerazioneaccelerazione tangenzialetangenziale e e radialeradiale

jaiajdt

dvi

dt

dv

dt

vda yx

yx

z

y

x

r

r

r

r

z

y

x

v

v

v

v

z

y

x

a

a

a

a

tavv

tavv

tavv

zzz

yyy

xxx

0

0

0

tavv

0

i

xr

y

x

jyr

r

Equazioni Equazioni vettorialivettoriali

jvivjdt

dri

dt

dr

dt

rdv yx

yx

jrirr yx

MOTO DEL PROIETTILEMOTO DEL PROIETTILE

• accelerazione g costante verso il basso• no resistenza aria

moto con traiettoriaparabolica

2y00

y0y

y

gt2

1tvyy

gtvv

ga

tvxx

vv

x00

x0x

x

y

Lancio con velocità orizzontaleLancio con velocità orizzontale

Il pacco lanciato dall’aereoIl pacco lanciato dall’aereo

Lancio con velocità verticaleLancio con velocità verticale

Lancio con velocità verticaleLancio con velocità verticale

y

x

xv0

yv

xv0

yv

traiettoria parabolicamaxy

gittata

g yga ˆ

yv0

0v

xv0

0θ

xv0

yvθ

xv0

0yv0θ

Lancio con velocità verticaleLancio con velocità verticale

java

la scimmia e la bananala scimmia e la banana

DINAMICADINAMICAforzaforza

Forza:

operativamente: si misura col dinamometro

cambia lo stato di quiete o di moto di un oggetto

forte

debolenucleare forza

neticaelettromag forza

nalegravitazio forza

distanza a

molla una tirare

carrelloun spingere

palloneun calciare

contatto di

forze

Figura DinamometroE composizione forze

reazione e azione di principio :terza

amF :seconda

inerzia di principio :prima

dinamica della leggi tre

uniforme rettilineo moto di

quiete di:statoIn assenza di forza due possibili stati:

senza attrito

Principio di inerziaPrincipio di inerzia

Un oggetto in quiete o in moto rettilineo uniforme rimarrà nel suo stato stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché

non interverrà una forza dall’esterno.

Principio di inerziaPrincipio di inerziaUn oggetto permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non

interviene una forza che ne cambia lo stato

Sistemi inerzialiSistemi inerziali

Sistema di riferimento inerziale: un sistema in cui è valida la prima

legge di Newton

Qualunque sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme

rispetto ad un riferimento inerziale è un sistema inerziale

Un sistema fisso o in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle “fisse” è un sistema di riferimento inerziale

La Terra ruota intorno al proprio asse e intorno al Sole, perciò un sistema fisso

rispetto alla Terra non è un sistema inerziale

23

riv.-c 104.4as

m

22

rot.-c 1037.3as

m

tuttavia

Nella maggior parte delle situazioni sarà possibile trascurare queste piccole

accelerazioni e considereremo inerziale un sistema solidale con la Terra

MOTO relativoMOTO relativo

O

S

r

'r

O’

u

0t

S’

'r

S’

O’

u

1tt

1tu

uvv

udt

rd

dt

'rd

turr

'

1'

aa

dt

ud

dt

vd

dt

vd

'

'

Un oggetto in moto rettilineo uniformein un sistema inerziale

risulta in moto rettilineo uniforme in uno qualsiasi dei sistemi inerziali.

Se è soggetto ad un’ accelerazione a, esso avrà lastessa accelerazione in tutti gli altri sistemi

Passaggio dall’uno all’altroper mezzo delle

trasformazioni di Galilei

'

'

'

aa

uvv

turr

Trasformazioni di Galilei

Invarianza galileiana

a

23/03/06

Seconda legge della dinamicaSeconda legge della dinamica

ka

F

a

F

a

F

a

F

a

F

n

n ...4

4

3

3

2

2

1

1

amF

oggettodell' massa mtgk

a1 an

a

F

F1

Fn

newtonNs

mkgmaF

1

2

La forza di 1 N imprime un’accelerazione di 2

1s

m

ad una massa di Kg 1

F1 F2 F3 F4 … Fn

a1 a2 a3 a4 … an

luce della velocità

1 2

2

0

ccv

mvm

Forza gravitazionale e pesoForza gravitazionale e peso

PgmF

gaamF

allora

seuna forza particolare:una forza particolare:

il pesoil pesoforza con cui un oggetto forza con cui un oggetto

viene attirato verso il centro viene attirato verso il centro della Terradella Terra

pesom KgNs

mKgmgP 18.98.91

2

P

Cambia da punto a punto sulla TerraCambia da punto a punto sulla Terra

76.9

80.9 70per

2

2

s

mg

s

mg

Kgm

al livelloal livello del maredel mare

in cima ad in cima ad unaunamontagnamontagna

NP 686

NP 683

Sulla Luna Sulla Luna

NP 113

Peso di 1 KgPeso di 1 Kgmm

Terza legge della dinamicaTerza legge della dinamicaprincipio di azione e reazioneprincipio di azione e reazione

TSST FF

1

2 2112 FF

F12

F21

S

TFST

FTS

Agiscono su corpi diversiAgiscono su corpi diversiSono uguali e opposteSono uguali e opposte

Quantità di motoQuantità di moto

m

v vmp

Quantità di motoo

Momento (lineare)

dt

vdmamF

00 dt

pdFse

cost3p

cost2p

cost1p

cost

z

y

x

p

Conservazione dellaquantità di moto

dt

pdvm

dt

dF

)(

Quando in un sistema di particelle queste sono soggette solo a forze interne newtoniane(e la risultante delle forze esterne è nulla) la quantità di moto totale del sistema rimane costante

http://www.walter-fendt.de/ph14i/

UrtiUrti

In un sistema In un sistema isolato isolato si conserva la si conserva la quantità di motoquantità di moto

Isolato:Isolato:la somma dellela somma delleforze esterneforze esterne

è nullaè nulla

PRIMA

11 vmp

02 p

21prima ppp

DOPO

primadopo pp

h/KmKg300h/Km20Kg15pp 1prima

v)6015(pp300 dopoprima

h/Km4)6015(

300v

PRIMA DOPO

11 vmp

02 p

primadopo pp

21 pppprima

s/mKg680pprima s/m4Kg)4080(

s/mKg680vdopo

java

Gravitazione universaleGravitazione universale

rr

MmGFg ˆ

2

M mr

gF

gF

gF

2211 KgmN1067.6G

Costante di gravitazione universaleCostante di gravitazione universale

r̂r

MmGF

2g

TM

TR

r

Sulla superficie

TRr

2T

TT R

mMGF

m

2L

LL R

mMGF

Sulla Luna Sulla Luna

NP 113NP 686

2

2

r

MGg

mgmar

MmGF