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CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

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March 7, 2018

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CINEMATICA E PUNTO MATERIALE: CONCETTI

La cinematica studia il moto dei corpi indipendentemente

dalle cause che lo generano e indipendentemente dalle pro-

prieta del mezzo in cui il moto avviene.

Si definisce punto materiale un corpo la cui massa va consi-

derata, ma le cui dimensioni risultano trascurabili rispetto

alle altre lunghezze in gioco, come ad esempio la distanza

che lo stesso corpo percorre durante il suo moto. Di un

corpo trattato nello schema di punto materiale vanno inoltre

ignorati eventuali moti rotazionali.

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POSIZIONE DI UN PUNTO MATERIALE

Si puo individuare la posizione del punto materiale P nello

spazio fissando un’origine O ed assegnando un vettore r,

detto raggio vettore, che parte da O ed arriva su P .

Con l’introduzione di una terna di assi carte-

siani di origine O, la posizione di P e indi-

viduata dalle 3 coordinate cartesiane (x, y, z)

di P , che si identificano con le componenti

del raggio vettore r in rappresentazione carte-

siana

r = (x, y, z) . (1)

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LEGGE ORARIA DEL MOTO

Se P si muove, i valori delle sue coordinate cambiano con il

tempo.

Si puo descrivere in maniera semplice il moto di P se si as-

segna la dipendenza temporale della terna (x, y, z) mediante

le 3 funzioni del tempo t

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) . (2)

L’insieme delle (2) e detto legge oraria del moto di P . In

notazione vettoriale la legge oraria si scrive r = r(t).

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TRAIETTORIA

Si definisce traiettoria l’insieme dei punti dello spazio esplo-

rati da P durante il suo moto.

Nota la legge oraria r = r(t) del moto di P , la traiettoria e

rappresentata da tutte le terne (x, y, z) di valori di coordinate

che si ottengono dalle (2) al variare del tempo t.

In linguaggio geometrico la traiettoria e una curva nello

spazio 3D, curva che viene assegnata in forma parametrica

dalle (2). In questo caso il parametro e rappresentato dal

tempo.

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SPOSTAMENTO

Si assegni una base di tempo individuata dagli istanti t1 e

t2, con t2 = t1 + ∆t e ∆t > 0. Nota la legge oraria per il

moto di P , si avra r1 = r(t1) e r2 = r(t2).

Si definisce spostamento di P sulla

base di tempo individuata da (t1, t2)

il vettore ∆r ottenuto dalla dif-

ferenza

∆r = r(t2)− r(t1) = r2 − r1 . (3)

Si avra ∆r = (∆x,∆y,∆z) dove, ad esempio, ∆x sara ri-

cavabile dalla legge oraria come ∆x = x(t2)− x(t1).

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VELOCITA VETTORIALE MEDIA

Si consideri la base di tempo (t1, t2). Su questa base di

tempo si definisce v, velocita vettoriale media di P , il vettore

ottenuto dal rapporto

v =r(t2)− r(t1)

t2 − t1=

∆r

∆t. (4)

In termini di componenti cartesiane la velocita vettoriale

media si esprime come v = (vx, vy, vz), dove, ad esempio,

vx = ∆x∆t . Il vettore v e diretto lungo la secante alla traiet-

toria che passa per le posizioni di P individuate da r1 e r2

ed e orientato da 1 verso 2.

Nel S.I. la velocita (... di qualunque tipo) si misura in m/s.

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VELOCITA ISTANTANEA

Per un’assegnata legge oraria il valore assunto dalla velocita

vettoriale media v dipende dai valori di t1 e t2 (= t1 + ∆t).

Si puo vedere che, per valori di ∆t tendenti a zero, v tende

ad un valore ben preciso che dipende solo da t1. Possiamo

considerare t1 come variabile indipendente e chiamarla t.

Si definisce velocita istantanea il vettore v(t) dato da

v(t) = lim∆t→0

∆r

∆t(5)

di componenti (vx, vy, vz) =(

dx(t)dt , dy(t)

dt ,dz(t)

dt

)dove con dx(t)

dt

si indica la derivata di x(t) rispetto al tempo t.

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La velocita istantanea v(t) puo essere pensata come una

valutazione della velocita vettoriale media v su di una base

di tempo brevissima a cavallo dell’istante t.La velocita istantanea v(t) e un vet-

tore che e orientato come la tangente

alla traiettoria nel punto occupato da P

all’istante t.

Il modulo v(t) di v(t) viene chiamato

velocita scalare ed e dato da

v(t) =

√√√√√dx(t)

dt

2

+

dy(t)

dt

2

+

dz(t)

dt

2

. (6)

L’espressione (6) per la velocita scalare e utile per il calcolo

dello spazio percorso da P lungo la traiettoria.9

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Nell’intervallo temporale infinitesimo dt il punto P compie

lungo la traiettoria il percorso infinitesimo dl dato da

dl = v(t) dt . (7)

Dalla precedente relazione si puo ricavare mediante inte-

grazione il percorso l1,2 compiuto da P lungo la traiettoria

tra gli istanti t1 e t2. Si imposta l’integrale

l1,2 =∫ 2

1dl =

∫ t2t1v(t) dt , (8)

la cui valutazione risulta spesso difficile. In seguito verra

applicato un metodo grafico. Va comunque sottolineato che

nel caso di traiettoria chiusa l’integrale (8) da un risultato

generalmente non nullo mentre il corrispondente valore di

|∆r| e nullo. In questo caso anche v e nulla.10

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ACCELERAZIONE ISTANTANEA

Dalla legge oraria r = r(t) si e arrivati ad introdurre, per

mezzo di derivazione rispetto al tempo, un’altra grandezza

vettoriale, la velocita istantanea v(t). Il procedimento puo

essere a sua volta applicato a v(t) per ottenere un’altra

grandezza vettoriale che e ricavata dalle variazioni di v e

che interviene nelle leggi della dinamica.

Si definisce accelerazione istantanea il vettore a(t) dato da

a(t) = lim∆t→0

v(t+ ∆t)− v(t)

∆t= lim

∆t→0

∆v

∆t(9)

di componenti (ax, ay, az) =(

dvx(t)dt ,

dvy(t)dt , dvz(t)

dt

)dove con

dvx(t)dt si indica la derivata di vx(t) rispetto al tempo t.

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Poiche si ha vx(t) = dx(t)dt , si ha

ax(t) =dvx(t)

dt=

d

dt

dx(t)

dt

=d2x(t)

dt2, (10)

scrittura che viene letta: “la componente x dell’accelera-

zione istantanea e la derivata seconda di x(t) rispetto al

tempo”. Relazioni analoghe valgono per le componenti y e

z dell’accelerazione.

Nel S.I. l’accelerazione si misura in m/s2 = m s−2.

L’accelerazione ha in generale componenti sia lungo la tan-

gente alla traiettoria (at), sia lungo la normale alla traiet-

toria (an). Se t e n sono rispettivamenti i versori lungo la

tangente e lungo la normale alla traiettoria si scrive

a = at t + an n . (11)

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La componente tangenziale dell’accelerazione e data dall’e-

spressione

at(t) =dv(t)

dt, (12)

in base alla quale at dipende dalla variazione temporale della

velocita scalare v(t) definita dalla (6).

Questa componente dell’accelerazione e nulla per tutti i

moti uniformi, cioe per i moti che avvengono con velocita

scalare v costante e questo indipendentemente dalla forma

della traiettoria.

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La componente normale dell’accelerazione e data dalla for-

mula

an(t) =[v(t)]2

R, (13)

dove R e il raggio di curvatura della traiettoria.Questa componente dell’accelera-

zione dipende dal quadrato della ve-

locita scalare e dalla forma della

traiettoria attraverso il raggio di cur-

vatura e punta verso il suo centro di

curvatura (esempio in figura).

Nei moti rettilinei, per i quali R e

infinito, si ha an = 0.

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TIPI DI MOTO

La legge oraria r = r(t) del moto di un punto materiale P e

in grado di descrivere la cinematica di P in tutto lo spazio.

Tuttavia esistono situazioni in cui il moto si sviluppa in due

sole dimensioni (moto 2D che ha luogo in un piano) oppure

addirittura in una sola dimensione (moto 1D che ha luogo

lungo una retta). In questi casi si parla rispettivamente di

moti piani o di moti rettilinei.

Un’opportuna orientazione degli assi cartesiani permette di

descrivere i moti piani con l’andamento temporale di due

sole coordinate (ad esempio x = x(t) e y = y(t)) mentre nel

caso dei moti rettilinei consente di assegnare la dipendenza

da t di una sola coordinata (x = x(t), ad esempio).15

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MOTO RETTILINEO UNIFORME

Si consideri il moto 1D dato da

x(t) = x0 + vx0 t (14)

la cui velocita vx(t) e data da

vx(t) =dx(t)

dt= vx0 = costante . (15)

Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse

x) a velocita costante vx0 e che viene quindi denominato

moto rettilineo uniforme. La sua accelerazione e nulla poiche

ax(t) =dvx(t)

dt=

dvx0

dt= 0 . (16)

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Il grafico di sinistra riporta l’andamento lineare di x(t) asse-

gnato dalla (14) quando vx0 > 0. La pendenza del grafico e

costante e questo implica una derivata costante, quindi una

velocita costante. Questo e evidente dal grafico di destra

che riporta l’andamento (costante) della velocita vx con t.

L’area A = vx0 t sottesa tra il grafico della velocita vx e

l’asse t tra t = 0 e t = t da lo spazio ∆x = x(t) − x(0)

percorso durante lo stesso intervallo di tempo [vedere (14)].17

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MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE

ACCELERATO

Si consideri il moto 1D dato da

x(t) = x0 + vx0 t+1

2ax0 t2 (17)

la cui velocita vx(t) e data da

vx(t) =dx(t)

dt= vx0 + ax0 t (18)

e la cui accelerazione ax(t) e data da

ax(t) =dvx(t)

dt= ax0 = costante . (19)

Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse x)

con accelerazione costante ax0 e che viene quindi denomi-

nato moto rettilineo uniformemente accelerato.18

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Le quantita x0 e vx0 sono i valori assunti all’istante t = 0

rispettivamente dall’ascissa x e dalla velocita vx. Nel lin-

guaggio matematico in cui le leggi orarie sono le soluzioni

di equazioni differenziali le quantita x0 e vx0 sono dette

condizioni iniziali. Nel caso della legge (14) basta solo x0

perche la velocita e costante.

A sinistra e riportato il grafico

(t, vx(t)) per vx0 > 0 e ax0 > 0.

L’area A, calcolabile come area di

un trapezio di altezza t e basi vx0 e

vx0 + ax0 t, vale vx0 t+ 12 ax0 t2.

Questa espressione coincide con ∆x = x(t) − x(0) che e la

variazione di ascissa nell’intervallo (0, t) secondo la (17).

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Viene trattata la situazione cinematica del moto verticale di

un corpo lanciato verso l’alto (vz0 > 0 con l’asse z orientato

verso l’alto; az0 = −g e z0 = 0). Le (17) e (18) diventano

z(t) = vz0 t−1

2g t2 ; vz(t) =

dz(t)

dt= vz0 − g t . (20)

A sinistra e riportato il grafico

(t, vz(t)) corrispondente alle (20). Il

tempo t∗ da l’istante in cui la ve-

locita vz si annulla. La soluzione

dell’equazione vz(t) = 0 da

t∗ =vz0

g. (21)

L’area A da la massima altezza raggiunta zmax =v2z0

2 g.

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Il grafico della legge oraria z = z(t)

e riportato qui accanto. Il tempo

totale di “volo” di P (tempo di

salita + tempo di ricaduta) vale

2 t∗ = 2 vz0g .

I risultati ottenuti valgono anche per la caduta (con velocita

iniziale nulla) di un corpo da un’altezza h (→ zmax). Dalla

relazione zmax =v2z0

2 g, ponendo zmax = h, si ottiene

v∗z =√

2 g h velocita′ di impatto al suolo (22)

e, usando la (21), il tempo di caduta (= tempo di salita)

t∗ =

√√√√2 h

g. (23)

In tutti i moti rettilinei si ha an = 0 poiche R =∞.21

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ESERCIZIO

Dall’alto di un ponte che attraversa una profonda e selvaggia

gola di montagna un escursionista lascia cadere un sasso

(istante t = 0) e cronometra il tempo di caduta. Egli misura

t∗ = 6.5 s. Si trascuri l’attrito dell’aria.

Determinare la velocita di impatto del sasso sul fondo della

gola.

Determinare l’altezza del ponte rispetto al fondo della gola.

Sapendo che il suono viaggia alla velocita vs = 333 m/s,

determinare dopo quanto tempo (rispetto all’istante t =

0) l’escursionista ode il fragore dello schianto del sasso sul

fondo della gola.22

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MOTO DEI GRAVI

Le leggi della dinamica prevedono che un punto materiale

in moto nello spazio 3D sotto l’azione della gravita descriva

una traiettoria piana, il cui piano e individuato dalla velocita

iniziale e dalla direzione di g, l’accelerazione di gravita. Si

tratta di un moto in 2D ad accelerazione costante. Per

descriverlo bastano 2 soli assi cartesiani.

La legge oraria di questo moto, espressa mediante l’asse

orizzontale x e l’asse verticale (ascendente) z si puo scrivere

come segue

x(t) = vx0 t , z(t) = vz0 t−1

2g t2 , (24)

dove, per semplicita, si e posto x(0) = z(0) = 0.23

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La legge oraria descritta dalle (24) e la composizione di un

moto orizzontale a velocita costante vx0 e di un moto ver-

ticale uniformemente accelerato. L’accelerazione g = −g k

e diretta lungo l’asse z e verso il basso.

Se θ0 e l’angolo che la velocita iniziale v0 forma con l’asse

x (orizzontale) si avra vx0 = v0 cos(θ0) e vz0 = v0 sin(θ0).

Pertanto si potranno riscrivere le (24) in funzione del modulo

v0 e dell’angolo θ0 come segue

x(t) = v0 cos(θ0) t , z(t) = v0 sin(θ0) t−1

2g t2 . (25)

L’equazione della traiettoria puo essere ottenuta ricavando

il tempo t dalla prima equazione come t = xv0 cos(θ0) e sosti-

tuendo questa espressione nella seconda equazione.

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Si ottiene l’equazione di una parabola

z = x tan(θ0)−x2 g

2 v20 cos2(θ0)

, (26)

le cui intersezioni con l’asse x

si ottengono ponendo z = 0

nella (26).

Si hanno due soluzioni, x1 = 0 e x2 =v2

0 sin(2 θ0)g . La mas-

sima altezza zmax si ha per x = 12 x2. In accordo con il

risultato del caso 1D si ottiene

zmax =v2

0 sin2(θ0)

2 g=v2z0

2 g. (27)

25

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ESERCIZIO

Un arciere ha un arco che lancia frecce con velocita iniziale

v0 = 60 m/s. Si trascurino gli effetti dell’attrito dell’aria sul

moto delle frecce.

Determinare l’inclinazione θ0 che egli deve dare alla frec-

cia affinche questa raggiunga la quota piu alta possibile e

determinare questo valore massimo.

Determinare nelle condizioni precedenti il tempo totale di

volo della freccia.

La gittata viene definita come x2 − x1. Determinare l’alzo

che l’arciere deve dare alla freccia per ottenere la massima

gittata. Determinare questo valore massimo ed il tempo di

volo della freccia in queste condizioni.26

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MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Il moto circolare uniforme e quello di punto materiale P

che percorre con velocita v costante in modulo una cir-

conferenza di raggio r. Le coordinate cartesiane di P sono

xP = r cos(α), yP = r sin(α) e in questo moto l’angolo

α varia linearmente con il tempo secondo la legge α = ω t,

dove ω e la velocita angolare (costante; [ω] = rad s−1).

La legge oraria del moto in coordinate cartesiane e

x(t) = r cos(ωt) , y(t) = r sin(ωt) .

(28)

In figura n e t sono rispettivamente

il versore normale e quello tangente.27

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In rappresentazione cartesiana si ha

n = (cos(ωt) , sin(ωt)) ; t = (− sin(ωt) , cos(ωt)) . (29)

E facile verificare che n = t = 1 e t · n = 0.

Dalle leggi (28) si ricava per derivazione la velocita

v = (−ω r sin(ωt) , ω r cos(ωt)) , (30)

che, grazie alle (29), puo essere scritta come v = ω r t.

Se ne deduce che la velocita e ovviamente diretta lungo la

tangente t e che la velocita scalare vale

v = |ω| r . (31)

28

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Mediante derivazione della velocita data dalle (30) si ottiene

l’accelerazione

a =(−ω2 r cos(ωt) , − ω2 r sin(ωt)

), (32)

che, grazie alle (29), puo essere scritta come a = −ω2 r n.

Se ne deduce che l’accelerazione e diretta lungo la normale

n, ma con verso opposto. Per questo tipo di moto, avente

velocita scalare costante, esiste solo la componente normale

dell’accelerazione, chiamata accelerazione centripeta. Essa

punta verso il centro ed il suo modulo, grazie anche alla

(31), puo essere scritto come

acentr = ω2 r =v2

r. (33)

29

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PERIODO E FREQUENZA

Si definisce periodo T del moto circolare uniforme il tempo

impiegato da P a percorrere l’intera circonferenza. Usando

anche la (31) si ha

T =2 π r

v=

2 π

ω. (34)

Il periodo si misura in secondi ([T ] = s). La frequenza f

viene definita come l’inverso del periodo. Si ha

f =1

T=

ω

2 π. (35)

La frequenza indica il numero di giri eseguiti da P nell’unita

di tempo. La frequenza si misura in secondi−1 = Hertz ([f ] =

s−1 = Hz) e va distinta dalla velocita angolare ω ([ω] =

rad s−1).30

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MOTO ARMONICO

La proiezione su di un diametro (ad esempio sull’asse x)

di un moto circolare uniforme descrive un moto armonico.

Pertanto il moto rettilineo (1D) assegnato dalla legge

x(t) = r cos(ωt) (36)

e un moto armonico. Per un moto armonico il periodo T e la

frequenza f sono le stesse del corrispondente moto circolare

uniforme, mentre la quantita ω viene chiamata pulsazione

anziche velocita angolare.

I valori di x previsti dalla (36) variano tra −r e +r: alla

quantita r si da il nome di ampiezza del moto armonico.

Nel contesto cinematico si ha [r] = m.31

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La posizione x = 0 viene deno-

minata centro di oscillazione. La

velocita del punto P che descrive

il moto armonico e data da

vx(t) = −ω r sin(ωt) (37)

ed e in quadratura di fase rispetto ad x(t). L’accelerazione

di P e data da

ax(t) =d2x(t)

dt2= −ω2 r cos(ωt) = −ω2 x(t) (38)

e risulta in opposizione di fase rispetto ad x(t). IL fatto

che l’accelerazione sia proporzionale ed abbia segno opposto

rispetto allo spostamento di P dal centro di oscillazione rap-

presenta una proprieta caratteristica del moto armonico.32