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Dinamica

Basilio Bona

DAUIN-Politecnico di Torino

2008

Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Dinamica 2008 1 / 30

Dinamica - Introduzione

Se il compito della cinematica e “descrivere” il moto dei corpi, lo scopodella dinamica e quello di “spiegare” il moto dei corpi.

Il passaggio dalla descrizione alla spiegazione richiede l’introduzione delconcetto di forza o, in alternativa, quello di inerzia.

La legge fondamentale della meccanica, formulata da Newton, si esprimeanaliticamente come una relazione vettoriale

f = ma ovvero

fxfyfz

= m

ax

ay

az

dove a = v e l’accelerazione e f la forza applicata.

Questa legge vale in primo luogo per una particella di massa m (massapuntiforme), dove la forza applicata f e l’accelerazione a sulla particellapossono giocare alternativamente il ruolo di causa o di effetto.



Analogamente alla relazione f = ma che vale per moti lineari, esiste unarelazione valida per i moti di rotazione.

Essa, dovuta essenzialmente a Eulero, stabilisce una relazione tra ilmomento angolare applicato a un corpo rigido, l’accelerazione angolare e ilmomento d’inerzia del corpo:

τ = Γω + ω×Γω

dove τ e il momento applicato al corpo, ω e ω sono la velocita el’accelerazione angolare del corpo e Γ e il momento d’inerzia del corporispetto al suo baricentro.



Un sistema formato da N masse elementari puntiformi, oppure un corporigido, e in equilibrio dinamico quando:

la somma di tutte le forze lineari applicate al baricentro del corpo,comprese le forze inerziali, e nulla.

la somma di tutti i momenti angolari rispetto al baricentro del corpo,compresi i momenti inerziali, e nulla.

La prima condizione permette di scrivere le equazioni di equilibrio lineare,dette equazioni di Newton, la seconda permette di scrivere le equazioni diequilibrio angolare dette equazioni di Eulero.

Le equazioni sono vettoriali e per manipolatori composti da n bracci sonopari a 2n.


Equazioni di Newton-Eulero

Consideriamo un generico braccio bi di un robot, con il suo baricentro (ocentro di massa) ci e applichiamo ad esso le convenzioni DH.

Figura: Braccio i con le forze e le coppie applicate.


Equazioni di Newton

Se:

f i−1,i risultante delle forze applicate dal braccio i −1 al braccio i

f i+1,i risultante delle forze applicate dal braccio i + 1 al braccio i

gi vettore dell’accelerazione locale del campo gravitazionale

aci accelerazione totale del baricentro

Allora si ha la i-esima equazione di Newton

f i−1,i + f i+1,i + migi −miaci = 0


Equazioni di Eulero

Se:

Ni−1,i risultante dei momenti applicati dal braccio i −1 al braccio i

Ni+1,i risultante dei momenti applicati dal braccio i + 1 al braccio i

Γi matrice d’inerzia del braccio i rispetto al baricentro

rci ,i−1 posizione dell’origine sdf i −1 rispetto al baricentro

rci ,i posizione dell’origine sdf i rispetto al baricentro

Allora si ha la i-esima equazione di Eulero

Ni−1,i + Ni+1,i + rci ,i−1× f i−1,i + rci ,i × f i+1,i︸︷︷︸momenti delle forze f

−Γi ω i −ω i ×Γiω i = 0


Equazioni di Newton-Eulero

Le 2n equazioni vettoriali di Newton-Eulero (N-E) sono difficili da gestirein una forma letterale, perche compaiono esplicitamente i vincoli interni alsistema multi-braccio, corrispondenti alle forze f trasmesse da un braccioall’altro.

Questi vincoli non sono di alcun interesse ai fini della determinazione delleleggi dinamiche del moto e la loro determinazione costituisce un carico dilavoro inutile.

Da questo punto di vista, le equazioni di Lagrange sono molto piu gestibilie immediate, come vedremo in seguito.

Tuttavia, da un punto di vista numerico, le equazioni N-E sono piu agevolida trattare, perche esistono numerosi algoritmi ricorsivi per la soluzionenumerica dei sistemi robotici.


Equazioni di Lagrange

Le equazioni di lagrange, al contrario delle N-E sono equazioni scalari, chederivano dalla definizione di una funzione, detta Lagrangiana, data dalladifferenza tra l’energia cinetica totale e l’energia potenziale totale delbraccio del manipolatore.

Energia Cinetica

L’energia cinetica totale C e funzione delle coordinate giunto q(t) e dellevelocita giunto q(t); inoltre essa e additiva

C (q, q) =n

∑i=1

Ci (q, q)

dove Ci e l’energia cinetica del braccio i .



Energia Potenziale

L’energia potenziale totale P nei sistemi meccanici e funzione delle solecoordinate giunto q(t); inoltre essa e additiva

P(q) =n

∑i=1

Pi (q)

dove Pi e l’energia potenziale del braccio i .



Pertanto la funzione Lagrangiana risulta essere

Funzione Lagrangiana

L (q, q) = C −P =n

∑i=1

Ci (q, q)−n

∑i=1

Pi (q)

Una volta ottenuta la lagrangiana, la dinamica del sistema e descritta da nequazioni differenziali, aventi la seguente forma:

ddt

(∂L

∂ qi

)− ∂L

∂ qi= Fi i = 1, . . . ,n

dove Fi e la i-esima forza generalizzata.



Dimensionalmente le equazioni di Lagrange sono equazioni differenziali traforze o momenti e questo lo si puo intuire considerando che il termine didestra di ogni equazione e una forza generalizzata.

Vedremo meglio come si determinano queste forze, ma si puo dire ingenerale che sono la somma di tutti gli effetti che si associano al lavorovirtuale della i-esima coordinata qi (t).

Se tra queste forze vi sono delle forze dissipative lineari, associate allafunzione di dissipazione D , dove

D(q) =n

∑i=1

Di (q) =1

2

n

∑i=1

βi q2i

si preferisce scrivere l’equazione di Lagrange nel modo seguente

ddt

(∂L

∂ qi

)− ∂L

∂ qi+

∂D

∂ qi= Fi i = 1, . . . ,n


Energia Cinetica

Vediamo come si determina l’energia cinetica di un braccio robotico.

Poiche l’energia e additiva, e sufficiente fornire la formula dell’energiacinetica del generico braccio i :

Ci (q, q) =1

2vTci

(q, q)mi vci (q, q) +1

2ω

Ti (q, q)Γi ω i (q, q)

Pertanto l’energia cinetica di un braccio in rototraslazione e la sommadell’energia cinetica di traslazione, che dipende dal quadrato della velocitalineare del centro di massa, e dell’energia cinetica di rotazione, chedipende dal quadrato della velocita angolare del braccio.


Energia Cinetica

Per esprimere l’energia direttamente in funzione delle q e q e necessarioconoscere le matrici jacobiane relative alle vci e ω i .

Se definiamo

J(i)L =

[J

(i)L1 J

(i)L2 · · · J

(i)Li 0 · · · 0

]J

(i)A =

[J

(i)A1 J

(i)A2 · · · J

(i)Ai 0 · · · 0

]avremo

vci = J(i)L1 q1 + J

(i)L2 q2 + · · ·+ J

(i)Li qi = J

(i)L q

ω i = J(i)A1q1 + J

(i)A2q2 + · · ·+ J

(i)Ai qi = J

(i)A q

}⇔ pci

= Jci q


Energia Cinetica

L’energia cinetica si scrive quindi come

1

2 ∑i

qT[J

(i)L (q))T mi J

(i)L (q)

]q + qT

[J

(i)A (q))T Γi J

(i)A (q)

]q

ossia

1

2qT

∑i

(J

(i)L (q))T mi J

(i)L (q)

)+(

J(i)A (q))T Γi J

(i)A (q)

)︸︷︷︸

Hi (q)

q

e infine

C =1

2qT

∑i

(Hi (q)) q =1

2qTH(q)q


Energia Cinetica

Se chiamiamo Hij(q) il generico elemento ij della matrice H(q),osserviamo che

Hij(q) =n

∑k=1

{Hij(q)}k

dove {Hij(q)}k e l’elemento di posto ij della matrice d’inerzia del bracciok-esimo.

Avremo quindi una formulazione alternativa dell’energia cinetica:

C =1

2

n

∑i=1

n

∑j=1

Hij(q)qi qj


Energia Potenziale

L’energia potenziale e viene associata agli elementi elastici; se ilmanipolatore e rigido, non esistono elementi che immagazzinano energiapotenziale.

Tuttavia resta da considerare l’energia di posizione, dovuta alla presenza diun campo di forze gravitazionali che e parallelo al vettore di accelerazionedi gravita locale G.

Figura: L’energia potenziale ha superfici equipotenziali ortogonali a G.


Energia Potenziale

Per includere l’energia di posizione nelle equazioni di Lagrange sonopossibili due approcci alternativi:

1 le forze/coppie, dovute al campo gravitazionale agente sui bracci,sono considerate tra le forze generalizzate Fi ;

2 il termine dovuto all’energia di posizione, che in questo caso e dovutoal campo gravitazionale, viene considerato come termine di energiapotenziale e viene incluso nell’energia potenziale totale.

Nel seguito verra sviluppato il secondo approccio, che comunque porta arisultati del tutto identici a quelli ricavabili dal primo.


Energia Potenziale

Nel campo gravitazionale, l’ener-gia potenziale viene espressa comesegue:

Pi (q) =−mi GT r0,ci (q)

dove r0,ci (q) e il vettore che rap-presenta la posizione del centro dimassa del braccio bi nel riferimentoR0.Per convenzione l’energia potenzialee nulla se il centro di massa e “al-lo stesso livello” dell’origine di R0, epositiva se il centro di massa e “so-pra” l’origine di R0, e negativa se ilcentro di massa e “sotto” l’origine diR0.

Figura: L’energia potenziale epositiva se GTr0,ci

< 0.


Forze generalizzate

Per calcolare le forze generalizzate, trascuriamo l’effetto delle forze peso,che e gia stato incluso nell’energia potenziale.

A parte le eventuali forze di attrito, che esprimiamo attraverso l’energia didissipazione Di , le altre forze generalizzate che agiscono sul braccio bi

sono solitamente dovute all’azione degli attuatori che muovono i giunti eai momenti ai giunti equivalenti alle forze di interazione con l’ambiente.

In generale le forze generalizzate sono la somma di tutti gli effetti che siassociano al lavoro virtuale della i-esima coordinata qi (t).

Nei giunti prismatici il lavoro virtuale totale e la somma dei lavori virtualidi tutte le forze lineari, mentre nei giunti rotoidali il lavoro virtuale totale ela somma dei lavori virtuali di tutti i momenti angolari.

δW =Nf

∑k=1

fk ·δ rk︸︷︷︸lineari

+Nτ

∑k=1

τk ·δαk︸︷︷︸angolari

= 0


Forze generalizzate e lavori virtuali

L’equazione precedente si puo esprimere anche come:

δW =Nf

∑k=1

fk ·δ rk +Nτ

∑k=1

τk ·δαk

=Nf

∑k=1

fk ·

[n

∑i=1

∂ rk

∂ qiδ qi

]+

Nτ

∑k=1

τk ·

[n

∑i=1

∂τk

∂ qiδαi

]

=n

∑i=1

[Nf

∑k=1

fk ·∂ rk

∂ qi

]︸︷︷︸

f. g. lineare F`i

δ qi +n

∑i=1

[Nτ

∑k=1

τk ·∂αk

∂ qi

]︸︷︷︸

f. g. angolare Fα i

δαi

=n

∑i=1

F`iδ qi +n

∑i=1

Fα iδαi

da cui si ricavano le espressioni esatte delle forze generalizzate per ognicomponente i .


Forze generalizzate

Piu semplicemente, supponiamo che gli attuatori ai giunti esercitino coppieattive di comando

τc =[τc1 · · · τcn

]Te che, all’estremita dell’attrezzo, sia presente una forza generalizzataesterna Fe dovuta all’interazione con l’ambiente.

Allora la i-esima componente delle forze generalizzate totali risulta essere

Fi = τci + τei

dove abbiamo indicato con τei la i-esima componente di JTFe .

D’ora in avanti utilizzeremo il simbolo τi invece che Fi


Equazioni risultanti

Se per semplicita non consideriamo le forze di attrito e ci limitiamoall’equazione

ddt

(∂L

∂ qi

)− ∂L

∂ q= τi

dopo aver derivato i vari termini, otteniamo l’equazione seguente

∑j

Hij(q)qj +∑j

(∑k

hijk(q)qk

)︸︷︷︸

cij (q, q)

qj + gi (q) = τi

dove i termini hijk prendono il nome di simboli di simboli di Christoffel delprimo tipo.

hijk(q) =1

2

(∂ Hij(q)

∂ qk+

∂ Hik(q)

∂ qj−

∂ Hjk(q)

∂ qi

)= hikj(q) ∀k


Equazioni risultanti

Avendo posto cij (q, q) = ∑k

hijk(q) qk , otteniamo alla fine:

∑j

Hij(q)qj +∑j

cij(q, q)qj + gi (q) = τi

Le n equazioni dei bracci possono essere riassunte in una sola equazionematriciale

H(q) q(t) + C(q, q) q(t) + g(q) = τ

dove τ = τc + τe , e la somma delle coppie di comando fornite dagliattuatori τc e delle eventuali coppie esterne di interazione con l’ambienteτe . Gli elementi della matrice C(q, q) sono le quantita cij (q, q) indicatesopra.


Termini di attrito

Se sono presenti anche effetti dissipativi di carattere viscoso, queste sipossono includere nei termini di sinistra dell’equazione:

H(q)q(t) + C(q, q)q(t) + Bq + g(q) = τ

dove la matrice B di solito e diagonale con elementi costanti, che sono icoefficienti di attrito viscoso βi :

B = diag(βi )


Proprieta dell’equazione dinamica

Data l’equazione dinamica vettoriale del robot (senza i termini dissipativi)

H(q)q(t) + C(q, q)q(t)g(q) = τ

e possibile definire un insieme di np parametri, in parte geometrici, in parteinerziali, ma comunque dipendenti dalla struttura fisica del manipolatore,che possono venire raccolti in un vettore di parametri

θ =

θ1...

θnp

T

La dinamica del robot e lineare nei parametri, ossia

H(q)q(t) + C(q, q)q(t) + g(q) = Φ(q(t), q(t),q(t)) θ



Si puo quindi scrivere

Φ(q(t), q(t),q(t)) θ = τ(t)

dove la matrice Φ(q, q,q) ∈ Rn×np e detta matrice di regressione oregressore

Questo consente di mettere in relazione diretta le coppie generalizzate τ

con i parametri θ e quindi utilizzare la relazione per ricavarsi il valorenumerico dei parametri dalle misure delle coppie ai giunti.

Se si definisce una nuova matrice N(q, q) nel modo seguente

N(q, q) = H(q)−2C(q, q)

essa e antisimmetrica.



Come abbiamo gia visto, la proprieta di antisimmetria consente diaffermare che la forma quadratica associata a N(q, q) e identicamentenulla

qT(t)N(q, q) q(t)≡ 0, ∀ q(t)

Questa proprieta risulta utile nella costruzione delle funzioni di Lyapunovche permettono di stabilire la stabilita di algoritmi di controllo non lineari.

Un’ultima proprieta riguarda la matrice H(q), che, sotto condizioni moltogenerali e definita positiva, quindi invertibile, per ogni valore di q.


Equazioni di stato

A partire dalle equazioni dinamiche del manipolatore:

H(q)q(t) + C(q, q)q(t) + g(q) = τ

e possibile ottenere le equazioni di stato del sistema scegliendo comevettore di stato x(t) il seguente:

x(t)≡[

x1(t)x2(t)

]=

[q(t)q(t)

]


Equazioni di stato

Il sistema risulta descritto dalle seguenti equazioni di stato non lineari:

x1(t) = x2(t)

x2(t) =−H−1(x1){C(x1,x2)x2(t) + g(x1)}+ H−1(x1)τ(t)

Talvolta e necessario scrivere le equazioni di stato in forma lineare, adesempio per progettare il controllo con le tecniche classiche delle funzionidi trasferimento.

Per ottenere delle equazioni lineari approssimate del manipolatore si puo

approssimare la matrice d’inerzia come H(q)≈ H diagonale e indipendenteda q

H =

H11 0 0

0. . . 0

0 0 Hnn

In questo caso si ha pure C = 0 e l’equazione dinamica si riduce a

Hq(t) + g(q) = τ


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