U.Gasparini, Fisica I 1 - INFN Sezione di PadovaU.Gasparini, Fisica I “Dinamica” : studia le...

U.Gasparini, Fisica I 1

U.Gasparini, Fisica I

“Dinamica” : studia le relazioni tra il moto dei corpi, descritto dalle quantità

cinematiche (velocità, accelerazioni), e le “forze” (interazioni tra corpi) che lo

condizionano determinando le “variazioni dello stato di moto”

Il moto in “assenza di forze” (condizione sperimentale non realizzabile:

teoricamente, quella di un corpo infinitamente lontano da ogni altro corpo) o

in assenza di forze non equilibrate è regolato dal “principio di inerzia”

(o prima legge della dinamica, dovuta a Galileo Galilei) :

un corpo sul quale non agiscono forze, ovvero sul quale agiscono

forze che si equilibrano, persevera nel suo stato di quiete o

di moto, ossia non varia la sua velocità v

risultato di un procedimento di osservazione sperimentale

e di “astrazione”, intesa come estrapolazione dei risultati

ottenuti in una situazione reale ad una situazione ideale

di totale assenza di forze non equilibrate (ad es., attriti)

il principio d’inerzia soppianta le leggi aristoteliche del moto che associavano,

erroneamente, le forze alle velocità piuttosto che alle loro variazioni

(accelerazioni)

Principio d’inerzia


“Definizione operativa” di una grandezza fisica :

definire un procedimento ripetibile di misura,

attraverso cui associare un numero alla grandezza in questione

Intensità di una “forza” applicata ad un corpo :

misurata da un “dinamometro”, strumento opportunamente tarato;

l’operazione di “taratura del dinamometro” va considerata come parte

integrante della definizione operativa della grandezza fisica “forza”.

Intensità di una forza

Schematicamente:

1 “unità di

massa” m

(arbitraria) 1 “unità

di forza”

oggetto deformabile che risponde

in maniera riproducibile ad una

sollecitazione di

trazione e/o

compressione

0. (=posizione “di riposo”,

oggetto non deformato) Dx

( convenzionalmente :

per m 1 kg (unità di massa nel S.I.)

1 “unità di forza” 9,8 “Newton”)

unità di misura della

forza nel S.I .

2 “unità di forza”

2 m

…. ecc.

0.

Dx


Esperimenti sull’effetto dell’applicazione di una forza sul moto dei corpi :

Forze ed accelerazioni

2 “Newton” a F

a = 2 m/s2

F

1 “Newton”

m= 1 kg

a Il corpo di massa m=1kg

subisce un’accelerazione

a = 1 m/s2

a F

4 “Newton”

a = 4 m/s2

1 Newton

F a

a = 0.5 m/s2

m= 2 kg

2 N F a

a = 1 m/s2

4 N F a

a = 2 m/s2


Inoltre:

r = 1m v= 1 m/s

1 N a = v2 / r = 1 m/s2

m=1 kg

v

Forze e cambiamenti di direzione

v

v= 2 m/s

4 N

m r

a =v2 /r = 4 m/s2


a=3m/s2

F1=3 N

m=1 kg F2=4N

a=4m/s2

/ 2

Carattere “vettoriale” della forza e 2a legge di Newton

Forze applicate separatamente:

L’ accelerazione ottenuta e’ uguale (vettorialmente),

all’ accelerazione che si sarebbe avuta applicando

un’ unica forza R risultante della somma vettoriale

delle due forze F1 ed F2 applicate separatamente.

a=5m/s2

F1

F2

Forze applicate contemporaneamente:

R

risultante delle forze agenti sul corpo di massa m

L’insieme delle osservazioni sperimentali sopra schematicamente riportate si

riassume nella seguente relazione vettoriale:

2a legge della dinamica ( legge di Newton ) : “massa inerziale”

F = m a


p m v

m

ii) meccanica relativistica ( v ~ c=3 108 m/s, velocità della luce)

m vm

v

c

( )

0

2

21

“massa di riposo” (caratteristica intrinseca

del corpo)

Esempi:

i ) meccanica classica: razzo (sistema con massa variabile del combustibile)

“Quantità di moto”:

v

Fdp t

dt

( ) formulazione più generale

della 2a legge della dinamica,

valida anche per situazioni

in cui m costante

dt

tvmd

dt

tvdmamF

)]([)(


“Impulso” di una forza F(t) in un dato intervallo di tempo ( t1, t2 ) :

J t t F t dt

t

t

( , ) ( )1 2

1

2

[ J ] = N s

Impulso di una forza e teorema dell’ impulso

Forze che in tempi molto brevi (infinitesimi) esercitano un impulso finito:

lim ( ) lim ( )

0 00

0

0 J F t dt

t

t

(ossia l’intensità della forza tende all’infinito nel tempo molto

breve considerato) si dicono “forze impulsive”.

Teorema dell’impulso: J t t p p pi f f i( , ) D

Infatti, integrando la 2a legge di Newton:

Fdp t

dt

( )

F t dt

dp t

dtdt dp p

t

t

t

t

p

p

i

f

i

f

i

f

( )( )

D

J t ti f( , )


Teorema dell’ impulso: esempio di applicazione

Un punto materiale urta un muro e rimbalza con velocità opposta

Se l’urto dura Δt, quanto vale la forza media durante l’urto?

vmpin

vmp fin

m

nell’urto cambia il verso della velocità:

vmvmpptFdtF m

infinD

mF

tvmFm D/2

L’ urto e’ molto breve, ad esempio : Dt~10-3s;

La forza media che si sviluppa e’ molto intensa. Per una pallina da tennis (m= 0.1 kg) che impatta

su un muro con velocita’ v= 20 m/s :

Fm = 0.2∙ 20 /10-3 = 4000 N

iv

if vv


Terza legge delle dinamica: principio di azione

e reazione

ABF

ABBA FF

A

B

Se due corpi interagiscono esercitando mutuamente una forza tra loro,

la forza FBA che il corpo A esercita sul corpo B e’ uguale e contraria

alla forza FAB che il corpo B esercita sul corpo A.

forza su A esercitata da B

forza su B esercitata da A

Questo principio, verificato sperimentalmente

in ogni situazione fisica, e’ indipendente dalla

natura dell’ interazione (forza attrattiva o

repulsiva, interazione elettrica, gravitazionale…)

n.b.: le due forze, oltre ad essere antiparallele,

agiscono lungo la stessa retta d’ azione, congiungente

i due corpi A e B ( “coppia di forze a braccio nullo”)


Conservazione della quantita’ di moto

Conseguenza della 3a legge delle dinamica, e’ la conservazione

della quantita’ di moto totale di due oggetti interagenti tra loro ed

“isolati” rispetto al resto del mondo:

ABF

)()( tFtF ABBA

A

B

forza su A esercitata da B forza su B esercitata da A

i

Ap

f

Ap

f

Bp

i

Bp

B

t

t

B

t

t

BA

t

t

AB

t

t

AA pdt

dt

tpddtFdtFdt

dt

tpdp

f

i

f

i

f

i

f

i

DD

)()(

)(

f

B

i

B

i

A

f

A pppp

i

B

i

A

f

B

f

A pppp


E’ la forza di attrazione gravitazionale cui è soggetto un corpo a causa della Terra:

gp mF F kmp g

Sperimentalmente, si osserva che sotto l’azione della sola forza peso,

tutti i corpi si muovono con la stessa accelerazione a = 9,8 m/s2 g :

F km m a m gp g i i

legge di Newton

“massa inerziale”

indipendente

dalla massa

“massa gravitazionale”

mm

kg mg

ii la massa gravitazionale è proporzionale

alla massa inerziale

“Forza peso”:

la costante k dipende unicamente dall’unità di misura convenzionalmente scelta

per m mi g,

Si può porre : m mi g F mgp

(ossia k g)


2) Elettromagnetica interaz. tra cariche elettriche;

repulsiva ed attrattiva, raggio d’azione infinito;

ruolo fondamentale nella struttura di atomi e molecole

e nei processi chimici e biologici

3) interazione forte interaz. tra “quarks”, a “corto raggio” (5m);

Struttura dei nuclei atomici;

processi di fissione e fusione nucleare

4) interazione debole decadimenti radiativi, dinamica stellare

1) gravitazionale interazione tra masse (es.: pianeti,stelle, galassie…);

forza attrattiva; raggio d’azione infinito

Le interazioni fondamentali :


La presenza di “vincoli” che limitano le possibilità di movimento di un corpo

determina lo sviluppo di forze dette “reazioni vincolari”, dipendenti dalle

altre forze agenti sul corpo (es., forza peso) e dal moto che il corpo

è vincolato a compiere

Esempi:

i ) reazione vincolare di un piano d’appoggio orizzontale

esercitata su un corpo in quiete:

mg

F a 0 m

Reazioni vincolari

cos0

sin0

mga

ga

yy

xx

F

F

F mg

R mg ma F 0

risultante delle forze

agenti sul corpo

mg ma F

ii ) reazione vincolare di un piano inclinato “liscio”

(privo d’attrito capace di sviluppare una reazione

unicamente normale alla sua superficie):

mg x

y

F

ay 0

a

Esempio


v0=4 m/s

l = 1,5 m

Determinare la velocità finale di un

blocchetto in moto con velocità iniziale

v0=4 m/s , che sale lungo un piano di

lunghezza l = 1,5 m, inclinato di un

angolo ϑ=20o .

vf

ϑ

Determinare il tempo di salita tS, discutendo il significato fisico delle

due soluzioni algebriche trovate per tS.


Descrizione fenomenologica della forza d’attrito:

Si verifica sperimentalmente:

NFF s

Max

S

attr

S

“coefficiente di attrito

statico”, caratteristico

delle due superfici a contatto

Forza d’attrito statico

forza di

“attrito statico”

i ) forza d’attrito statico:

mg

Fy

F

F

x

y mg

0

R ma 0

0attr

SF

x mg

F F

F

F

xattr

y

F F

mg N

FF attr

S

“reazione

normale”

piano “scabro”

(= non liscio)

FSattr

17

Esempi Ad un blocco di massa M=5 kg poggiato su un piano

scabro con coefficiente di attrito statico S=0,3

è applicata una forza F = 4 N; si osserva che

Il blocco rimane in quiete.

1)

M F

F 2)

M

m Un secondo blocco di massa m=3 kg viene

appoggiato sul primo blocco; si supponga il piano liscio,

mentre vi è attrito statico tra i due blocchi, con S=0,3.

Si osserva che i due blocchi procedono insieme lungo il piano.

Determinare la forza d’attrito statico che si sviluppa tra i due blocchi.

Determinare il massimo valore Fmax di F affinché i due blocchi procedano insieme

(senza slittare un sull’altro)

F 3)

M

m Determinare Fmax ripetendo l’esercizio 2) applicando

la forza F al blocco superiore m.

Determinare la forza d’attrito esercitata dal piano sul

blocco ed il massimo valore Fmax della forza F applicabile

affinché il blocco rimanga fermo.


Nmg

Fmg

y

attr

Sx

F

F

cos

sin

Equilibrio statico su un piano inclinato “scabro”:

y

x

F

mg

condizione per l’equilibrio statico

su un piano scabro con coefficiente

d’attrito statico s

cossin mgNFmgF ss

Max

S

attr

S

Per la legge della forza d’attrito statico:

tan s

FSattr

“Forza d’ attrito

statico”

N R mg ma F 0

F mg

Nmg

F

y

attr

Dx

F

F

Esempio:

moto lungo un piano inclinato scabro:

y

v

mg

F

x

a g D (sin cos )

mg

x

Fa

y

Forza d’attrito dinamico

“coefficiente di attrito dinamico”,

indipendente dalla velocità

Legge del moto: v t v at( ) 0x t x v t at( ) 0 0

21

2

NF D

attr

D Si verifica sperimentalmente:

ma mg mg

mg

D

y

sin cos

cos

0 F

Legge di Newton: ma mg F


materiali d s

gomma su asfalto

(asciutto) 0.80 0.90

gomma su asfalto

(bagnato) 0.25 O.30

acciaio su acciaio 0.57 0.74

vetro su vetro 0.40 0.94

legno su cuoio 0.25 0.30

rame su acciaio 0.36 0.53

acciaio su ghiaccio 0.06 0.10

sci su neve 0.05 0.10

teflon(*) su teflon 0.04 0.04

Coefficienti d’attrito statico e dinamico

sd

NF s

MAXattr

s ,

NF s

attr

s

NF D

attr

D

Sperimentalmente si osserva:

(*) materiale plastico (polimero tertrafluoroetene) resistente alle alte temperature,

usato per produrre superfici “antiaderenti”; ha il piu’ basso coefficiente

d’attrito conosciuto

21

Forze di trazione

Una forza puo’ essere trasmessa ad un corpo per “trazione”

attraverso un filo o una corda tesa.

Filo o corda “inestensibile” : filo / corda le cui deformazioni sono trascurabili

per qualsiasi valore della forza di trazione applicata → la lunghezza del

filo rimane costante durante il moto degli oggetti

La velocita’ e l’ accelerazione di ogni punto del filo (in particolare: dei suoi

estremi, ai quali sono collegati gli oggetti in moto) ad un dato istante

sono le stesse

x A B

A’ B’ posizione del

filo al tempo t

posizione del

filo al tempo t+dt

'' BAAB BBBAAA xxdxxxdx ''

BB

AA a

dt

xda

dt

xd

2

2

2

2

e analogamente:

BB

AA v

dt

dxv

dt

dx

22

Filo (ideale) di massa trascurabile

Se la massa del filo e’ trascurabile (~ 0) , la forza di tensione

e’ la stessa in ogni punto del filo.

x

dx elemento di filo di massa dm = 0

)(xF

)( dxxF

Esempio: due corpi di masse mA, mB collegati da una fune di tensione T e

trainati da una forza F

F T -T mA mB

le due tensioni sono

uguali in modulo

amTF B

amT A aaa BA

(per l’ insestensibilita’

del filo)

)/( BA mmFa Fmm

mamT

BA

AA

ammF BA )(

0)()( admxFdxxF

Per la legge di Newton applicata all’ elemento di filo, essendo dm = 0:

)()( xFdxxF


O

x

y

R

l

g

g

l

g

R

gR

v2

222

cossin

tan

Il punto di massa m descrive una traiettoria

circolare nel piano orizzontale

(date opportune condizioni iniziali)

l

sinlR Rv

Per un pendolo conico di lunghezza l,

l’apertura del cono dipende solo dalla

velocità angolare (indipendente dalla

massa)

Pendolo conico

R

vmFT N

2

sin asse x:

0cos mgT asse y:

NF

T

gm

NF

mg+T = ma = FN


Curva piana e curva “sopraelevata”

Curva su strada piana L’attrito tra i pneumatici ed il terreno fornisce la "forza

centripeta " necessaria traiettoria: arco di circonferenza

di raggio r

=> forza d’attrito statico (se l’auto non sbanda)

Nss

max

N mamgNF velocità massima:

r

vmmgs

2

max rgv smax

Condizione perchè l’ auto percorra a velocità

costante un arco di circonferenza di raggio r

in un piano orizzontale , sotto l’azione di una

reazione vincolare N che sia normale al piano stradale

mgNy

r

vmmaRNx N

cos)

sin)2

gr

v2

tan

FN FN

Curva sopraelevata liscia (velodromo)

x

y

r

Esercizio


Un tratto curvo di autostrada, con raggio

di curvatura r = 400 m è stato progettato

con il piano stradale inclinato di un

angolo rispetto al piano orizzontale.

Determinare la componente della forza parallela al piano stradale necessaria per mantenere

in carreggiata una macchina di massa m= 103 kg, che percorra la curva alla velocità

v’=120 km/h .

Determinare l’ angolo di inclinazione, affinché un’ auto che percorra la curva

alla velocità consigliata v = 80 km/h subisca una reazione vincolare FN

perpendicolare al piano stradale. Verificare se il risultato trovato dipende dalla

massa della macchina.


Forza elastica - forza la cui intensita’ cresce linearmente con la distanza da un punto (x0,

punto di equilibrio) in cui la forza e’ nulla;

- la forza e’ una forza “di richiamo”, ossia e’ diretta sempre verso il punto

di equilibrio

F = -k x ux

dalla legge di Newton: F = m a Fx = m ax

kx t md x t

dt( )

( )2

2d x t

dtx t

2

2

2( )( )

k/m con:

x(posizione di equilibrio)

x

F x < 0.

Fx = -k x > 0.

F

xx

x > 0.

Fx = -k x < 0.

il moto di un punto materiale di massa m sotto l’azione di una “forza elastica” e’

un moto armonico:


Moto di un “pendolo semplice”

Moto in un piano verticale di un punto materiale sospeso ad un filo, sotto l’azione

della forza peso mg , per piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio

(asse verticale):

mg T

m

Proiezione lungo l’asse T tangente alla traiettoria:

maT = mg sin

l

md s t

dtmg t

2

2

( )sin ( )

a

ma = Ftot = mg + forza di tensione del filo

mld t

dtmg t

2

2

( )sin ( )

Equazione di un moto armonico nella variabile θ(t)

d2

2

2

2 )()(

dt

td

dt

tsd

Vale la relazione geometrica: ds = - l d

ds

l -l Per piccole oscillazioni: sin

d t

dtt

2

2

2

( )( )

dove:

/g / l

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